Directory UMM :Journals:Journal_of_mathematics:VMJ:
Владикавказский математический журнал
2010, Том 12, Выпуск 1, С. 17–32
УДК 517.956
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
С НЕГЛАДКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И. Г. Мамедов
В данной статье построено фундаментальное решение начально-краевых задач для псевдопараболического уравнения с доминирующей производной четвертого порядка с негладкими коэффициентами.
Ключевые слова: задача Гурса, начально-краевая задача, фундаментальные решения.
§ 1. Введение
К настоящему времени усилиями многих математиков теория дифференциальных
уравнений с постоянными или достаточно гладкими коэффициентами развита достаточно хорошо (см., например, [1]).
В этих и других работах разработаны различные методы исследования вопросов корректной разрешимости начальных, начально-краевых задач, а также вопросов построения фундаментальных решений для таких уравнений.
В литературе существуют только отдельные работы, в которых исследованы вопросы
построения фундаментальных решений для гиперболических уравнений с доминирующими производными (или псевдопараболических уравнений) с переменными коэффициентами. Работы D. Colton [2], М. Х. Шханукова и А. П. Солдатова [3], выполненные в
этом направлении, показывают, что для некоторых классов таких уравнений с достаточно гладкими коэффициентами фундаментальное решение можно определить как аналог
классической функции Римана. Однако, примененный в этих работах метод характеристик Римана является весьма ограниченным методом и, вообще говоря, не допускает
обобщение даже на случай простых нелокальных задач, даже в случае уравнений с постоянными коэффициентами.
Особо нужно отметить, что в литературе до сих пор функцию Римана для различных
классов уравнений удавалось построить только для случая достаточно гладких коэффициентов [4–8].
Имеется ряд работ, в которых введены аналоги функции Римана для некоторых
специфических классов уравнений с переменными коэффициентами и доминирующи4
∂3
ми производными ∂x∂2 ∂y2 и ∂x∂y
2 . В связи с этим отметим работы М. Х. Шханукова [9] и
В. А. Водаховой [10].
В работе R. Di. Vincenzo и A. Villani [11] понятие функции Римана было обобщено
∂3
для уравнения с переменными коэффициентами и доминирующей производной ∂x∂y
2.
c 2010 Мамедов И. Г.
°
18
Мамедов И. Г.
Поэтому возникает весьма актуальный вопрос об исследовании вопросов корректной
разрешимости и построении фундаментальных решений для начально-краевых задач,
связных с гиперболическими уравнениями (или псевдопараболическими уравнениями) с
доминирующими производными, вообще говоря, с негладкими переменными коэффициентами.
В связи с этим данная продемонстрированная работа посвящена исследованию начально-краевых задач нового типа для псевдопараболических уравнений с доминирующими смешанными производными, обладающими, вообще говоря, негладкими L p -коэффициентами (т. е. коэффициентами из пространств типа Lp ) и вопросами разработки
метода построения их фундаментальных решений. Она изложена, в основном, применительно к псевдопараболическим уравнениям четвертого порядка с трехкратными характеристиками. При этом важным принципиальным моментом является то, что рассматриваемое уравнение обладает разрывными коэффициентами, которые удовлетворяют только некоторым условиям типа P -интегрируемости и ограниченности, т. е. рассмотренный
псевдопараболический дифференциальный оператор не имеет традиционного сопряженного оператора. Поэтому функция Римана для такого уравнения не может быть исследована классическим методом характеристик. В данной статье для исследований таких задач разработана методика, которая существенно использует современные методы теории
функций и функционального анализа. При помощи этой методики для начально-краевых
задач введено новое понятие сопряженной задачи. Такие сопряженные задачи, в отличие
от сопряженных задач традиционного вида, определяемых посредством формально-сопряженных дифференциальных операторов, по определению имеют вид интегрального
уравнения, и поэтому имеют смысл при достаточно слабых условиях на коэффициенты.
При помощи такой сопряженной задачи введено понятие фундаментального решения и
найдено интегральное представление для решений соответствующих начально-краевых
задач.
§ 2. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
(V3,1 u)(x) ≡ D13 D2 u(x) + a3,0 (x)D13 u(x) +
1
2 X
X
aij (x)D1i D2j u(x)
i=0 j=0
= ϕ3,1 (x) ∈ Lp (G),
(2.1)
x = (x1 , x2 ) ∈ G,
при следующих условиях Гурса нового типа [12]:
V0,0 u ≡ u(0, 0) = ϕ0,0 ∈ R;
V1,0 u ≡ D1 u(0, 0) = ϕ1,0 ∈ R;
2
V2,0 u ≡ D1 u(0, 0) = ϕ2,0 ∈ R;
(V3,0 u)(x1 ) ≡ D13 u(x1 , 0) = ϕ3,0 (x1 ) ∈ Lp (G1 );
(V0,1 u)(x2 ) ≡ D2 u(0, x2 ) = ϕ0,1 (x2 ) ∈ Lp (G2 );
(V1,1 u)(x2 ) ≡ D1 D2 u(0, x2 ) = ϕ1,1 (x2 ) ∈ Lp (G2 );
(V2,1 u)(x2 ) ≡ D12 D2 u(0, x2 ) = ϕ2,1 (x2 ) ∈ Lp (G2 ),
(2.2)
где ϕi,0 , i = 0, 2, — заданные постоянные, а остальные ϕi,j являются заданными измеримыми функциями; Dk = ∂x∂ k (k = 1, 2) — оператор обобщенного дифференцирования в смысле Соболева. Кроме того, выше заданные ai,j (x) — измеримые функции на
19
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
G = G1 × G2 ; G1 = (0, h1 ), G2 = (0, h2 ) и удовлетворяющие лишь следующим условиям:
ai,0 (x) ∈ Lp (G),
x1 ,x2
ai,1 (x) ∈ Lp,∞
(G),
i = 0, 2;
x1 ,x2
a3,0 (x) ∈ L∞,p
(G).
При наложенных условиях решение u(x) задачи (2.1), (2.2) естественно искать в пространстве Соболева
o
n
Wp(3,1) (G) ≡ u(x) : D1i D2j u(x) ∈ Lp (G), i = 0, 3, j = 0, 1 ,
(3,1)
Норму в пространстве Wp
1 6 p 6 ∞.
(G) будем определять равенством
ku(x)kWp (3,1)(G) =
3 X
1 °
°
X
°
° i j
°D1 D2 u(x)°
i=0 j=0
Lp (G)
.
(3,1)
§ 3. Некоторые структурные свойства пространства Соболева Wp
и операторный вид начально-краевой задачи (2.1), (2.2)
(G)
Задачу (2.1), (2.2) мы будем исследовать методом операторных уравнений и при этом
будем следовать схеме работы [13]. Предварительно задачу (2.1), (2.2) запишем в виде
операторного уравнения
V u = ϕ,
(3.1)
где V есть векторный оператор, определяемый посредством равенства
¢
¡
V = V0,0 , V1,0 , V2,0 , V3,0 , V0,1 , V1,1 , V2,1 , V3,1 : Wp(3,1) (G) → Ep(3,1) ,
а ϕ есть заданный векторный элемент вида ϕ = (ϕ0,0 , ϕ1,0 , ϕ2,0 , ϕ3,0 , ϕ0,1 , ϕ1,1 , ϕ2,1 , ϕ3,1 )
из пространства
Ep(3,1) ≡ R × R × R × Lp (G1 ) × Lp (G2 ) × Lp (G2 ) × Lp (G2 ) × Lp (G).
(3,1)
Заметим, что в пространстве Ep
при помощи равенства
норму будем определять естественным образом
kϕkE (3,1) = kϕ0,0 kR + kϕ1,0 kR + kϕ2,0 kR + kϕ3,0 kLp (G1 ) + kϕ0,1 kLp (G2 )
p
+ kϕ1,1 kLp (G2 ) + kϕ2,1 kLp (G2 ) + kϕ3,1 kLp (G) .
Прежде всего отметим, что интегральные представления функций из пространств ти(3,1)
па Wp (G) (из соболевских пространств с доминирующими смешанными производными
общего вида) изучены в работах Т. И. Аманова [14], С. М. Никольского [15], П. И. Лизоркина и С. М. Никольского [16], О. В. Бесова, В. П. Ильина и С. М. Никольского [17],
А. Дж. Джабраилова [18], С. С. Ахиева [19], А. М. Наджафова [20], И. Г. Мамедова [21]
и др. Но из них мы будем использовать интегральное представление из [22], по которому
20
Мамедов И. Г.
(3,1)
любая функция u(x) ∈ Wp
(G) единственным образом представима в виде
1
x2
u(x) = (Qb)(x) ≡ b0,0 + x1 b1,0 + 1 b2,0 +
2
2
Zx1
(x1 − τ1 )2 b3,0 (τ1 ) dτ1
0
+
Zx2
b0,1 (τ2 ) dτ2 + x1
0
Zx2
x2
b1,1 (τ2 ) dτ2 + 1
2
Zx2
b2,1 (τ2 ) dτ2
(3.2)
0
0
Zx1 Zx2
1
(x1 − τ1 )2 b3,1 (τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2
+
2
0
0
(3,1)
посредством единственного элемента b = (b0,0 , b1,0 , b2,0 , b3,0 , b0,1 , b1,1 , b2,1 , b3,1 ) ∈ Ep
При этом существуют положительные постоянные M10 и M20 такие, что
M10 kbkE (3,1) 6 k(Qb)(x)kW (3,1) (G) 6 M20 kbkE (3,1)
p
p
(3,1)
p
∀ b ∈ Ep(3,1) .
.
(3.3)
(3,1)
Очевидно, что оператор Q : Ep
→ Wp (G) является линейным ограниченным оператором. Неравенство (3.3) показывает, что оператор Q имеет также ограниченный обрат(3,1)
ный оператор, определенный на пространстве Wp (G). Следовательно, оператор Q есть
(3,1)
(3,1)
гомеоморфизм между банаховыми пространствами Ep
и Wp (G). Поэтому решение
уравнения (3.1) эквивалентно решению уравнения
V Qb = ϕ.
(3.4)
Уравнение (3.4) будем называть каноническим видом уравнения (3.1).
(3,1)
Кроме того, формула (3.2) показывает, что любая функция u(x) ∈ Wp (G) имеет следы u(0, 0), D1 u(0, 0), D12 u(0, 0), D13 u(x1 , 0), D2 u(0, x2 ), D1 D2 u(0, x2 ), D12 D2 u(0, x2 ),
(3,1)
и операции взятия этих следов непрерывны из Wp (G) в R, R, R, Lp (G1 ), Lp (G2 ),
Lp (G2 ), Lp (G2 ) соответственно. Далее, для этих следов справедливы также равенства:
u(0, 0) = b0,0 ; D1 u(0, 0) = b1,0 ; D12 u(0, 0) = b2,0 ; D13 u(x1 , 0) = b3,0 (x1 ); D2 u(0, x2 ) = b0,1 (x2 );
D1 D2 u(0, x2 ) = b1,1 (x2 ); D12 D2 u(0, x2 ) = b2,1 (x2 ).
Задачу (2.1), (2.2) мы будем изучать при помощи интегрального представления (3.2)
(3,1)
(3,1)
функций u(x) ∈ Wp (G). Формула (3.2) показывает, что функция u(x) ∈ Wp (G),
удовлетворяющая условиям (2.2), имеет вид:
ZZ
u(x) = g0 (x) +
R0 (τ1 , τ2 ; x1 , x2 )D13 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 ,
G
где
x2
1
g0 (x) = ϕ0,0 + x1 ϕ1,0 + 1 ϕ2,0 +
2
2
Zx1
(x1 − τ1 )2 ϕ3,0 (τ1 ) dτ1
0
+
Zx2
ϕ0,1 (τ2 ) dτ2 + x1
0
R0 (τ 1 , τ2 ; x1 , x2 ) =
Zx2
x2
ϕ1,1 (τ2 ) dτ2 + 1
2
ϕ2,1 (τ2 ) dτ2 ,
0
0
(x1 − τ1
2!
Zx2
)2
θ(x1 − τ1 ) θ(x2 − τ2 ),
(
1, z > 0,
причем θ(z) является функцией Хевисайда на R, т. е. θ(z) =
0, z 6 0.
21
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
Тогда после замены u = g0 + u
ˆ, где
ZZ
u
ˆ(x) =
R0 (τ1 , τ2 ; x1 , x2 )D13 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 ,
G
уравнение (2.1) можно записать в виде
(V3,1 u
ˆ)(x) = Tˆ(x),
(3.5)
где Tˆ = ϕ3,1 − V3,1 g0 . Очевидно, что производные функции u
ˆ можно вычислить посредством равенств
Zx1 Zx2
(x1 − τ1 )D13 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 ,
D1 u
ˆ(x) =
0
D12 u
ˆ(x)
=
0
0
D13 u
ˆ(x)
=
Zx2
D13 D2 u(x1 , τ2 ) dτ2 ,
Zx1
D2 u
ˆ(x) =
0
D1 D2 u
ˆ(x) =
Zx1 Zx2
D13 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 ,
0
(x1 − τ1 )2 3
D1 D2 u(τ1 , x2 ) dτ1 ,
2!
0
Zx1
(x1 −
τ1 )D13 D2 u(τ1 , x2 ) dτ1 ,
D12 D2 u
ˆ(x)
=
Zx1
D13 D2 u(τ1 , x2 ) dτ1 ,
0
0
D13 D2 u
ˆ(x) = D13 D2 u(x).
Теперь доминирующую производную рассмотрим как неизвестную функцию, иначе
говоря, произведем замену D13 D2 u(x) = b(x). Тогда уравнение (2.1) можно записать в
виде:
(N b)(x) ≡ b(x1 , x2 ) +
Zx1 Zx2
0
a0,0 (x1 , x2 )R0 (τ1 , τ2 ; x1 , x2 )
0
Zx1 Zx2
(x1 − τ1 ) a1,0 (x1 , x2 ) b(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2
×b(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 +
0
+
Zx1 Zx2
0
+
Zx1
0
a2,0 (x1 , x2 ) b(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 +
Zx2
a3,0 (x1 , x2 ) b(x1 , τ2 ) dτ2
(3.6)
0
0
(x1 − τ1 )2
a0,1 (x1 , x2 ) b(τ1 , x2 ) dτ1 +
2!
Zx1
(x1 − τ1 ) a1,1 (x1 , x2 ) b(τ1 , x2 ) dτ1
0
0
+
Zx1
a2,1 (x1 , x2 ) b(τ1 , x2 ) dτ1 = Tˆ(x),
x = (x1 , x2 ) ∈ G.
0
Оператор N уравнения (3.6) линеен. Используя условия, наложенные на коэффициенты ai,j , можно доказать, что этот оператор является ограниченным оператором из
Lp (G) в Lp (G), 1 6 p 6 ∞.
Определение 3.1. Если задача (2.1), (2.2) для любого
ϕ = (ϕ0,0 , ϕ1,0 , ϕ2,0 , ϕ3,0 , ϕ0,1 , ϕ1,1 , ϕ2,1 , ϕ3,1 ) ∈ Ep(3,1)
22
Мамедов И. Г.
(3,1)
имеет единственное решение u ∈ Wp
(G) такое, что kukW (3,1) (G) 6 M1 kϕkE (3,1) , то буp
p
дем говорить, что оператор V = (V0,0 , V1,0 , V2,0 , V3,0 , V0,1 , V1,1 , V2,1 , V3,1 ) задачи (2.1), (2.2)
(3,1)
(3,1)
(или уравнения (3.1)) является гомеоморфизмом из Wp (G) на Ep
или задача (2.1),
(2.2) везде корректно разрешима. Здесь M1 — постоянное, не зависящее от ϕ.
Очевидно, что если оператор V задачи (2.1), (2.2) является гомеоморфизмом из
(3,1)
на Ep , то существует ограниченный обратный оператор
(3,1)
Wp (G)
V −1 : Ep(3,1) → Wp(3,1) (G).
Оператор N является вольтерровым оператором относительно точки (0, 0). Это означает, что если функции b1 , b2 ∈ Lp (G) в области G(x1 ,x2 ) = (0, x1 ) × (0, x2 ) удовлетворяют
условию b1 (τ1 , τ2 ) = b2 (τ1 , τ2 ), то выполняется также условие (N b1 )(τ1 , τ2 ) = (N b2 )(τ1 , τ2 )
почти для всех (τ1 , τ2 ) ∈ G(x1 ,x2 ) , где (x1 , x2 ) ∈ G — произвольная точка.
Используя вольтерровость оператора N , при помощи, например, метода последовательных приближений можно доказать, что уравнение (3.6) для любой правой части
Tˆ(x) ∈ Lp (G) имеет единственное решение b ∈ Lp (G), где 1 6 p 6 ∞, и это решение
удовлетворяет условию kbkLp(G) 6 M2 kTˆkLp(G) , где M2 — постоянное, не зависящее от Tˆ.
Далее, очевидно, что если ϕ3,1 ∈ Lp (G), то Tˆ ∈ Lp (G). Кроме того, если b ∈ Lp (G)
есть решение уравнения (3.6), то решение задачи (2.1), (2.2) можно найти при помощи
равенства
Zx1 Zx2
u(x) = g0 (x) +
b(τ1 , τ2 )R0 (τ1 , τ2 ; x1 , x2 ) dτ1 dτ2 .
0
0
Поэтому справедлива
(3,1)
Теорема 3.1. Оператор V задачи (2.1), (2.2) есть гомеоморфизм из Wp
(G) на
(3,1)
Ep .
§ 4. Построение сопряженного оператора
Пусть
¡
¢
f = f0,0 , f1,0 , f2,0 , f3,0 (x1 ), f0,1 (x2 ), f1,1 (x2 ), f2,1 (x2 ), f3,1 (x1 , x2 ) ∈ Eq(3,1)
≡ R × R × R × Lq (G1 ) × Lq (G2 ) × Lq (G2 ) × Lq (G2 ) × Lq (G),
(3,1)
p
где q = p−1
— некоторый линейный ограниченный функционал на Eq . Тогда по определению имеем:
ZZ
f (V u) =
f3,1 (x1 , x2 )(V3,1 u)(x1 , x2 ) dG + f0,0 (V0,0 u) + f1,0 (V1,0 u)
G
+f2,0 (V2,0 u) +
Z
f3,0 (x1 )(V3,0 u)(x1 ) dG1 +
G1
+
Z
G2
f1,1 (x2 )(V1,1 u)(x2 ) dG2 +
Z
f0,1 (x2 )(V0,1 u)(x2 ) dG2
G2
Z
G2
f2,1 (x2 )(V2,1 u)(x2 ) dG2 .
(4.1)
23
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
Учитывая здесь выражения операторов Vi,j , имеем:
(
ZZ
f3,1 (x1 , x2 ) D13 D2 u(x) + a3,0 (x)D13 u(x)
f (V u) =
G
1
2 X
X
)
ai,j (x)D1i D2i u(x) dG + f0,0 u(0, 0) + f1,0 D1 u(0, 0)
i=0 j=0
Z
Z
2
3
+f2,0 D1 u(0, 0) + f3,0 (x1 )D1 u(x1 , 0) dG1 + f0,1 (x2 )D2 u(0, x2 ) dG2
+
+
Z
G1
f1,1 (x2 )D1 D2 u(0, x2 ) dG2 +
G2
Z
G2
f2,1 (x2 )D12 D2 u(0, x2 ) dG2 .
G2
(3,1)
Используя интегральное представление (3.2) функций u ∈ Wp
(
"
ZZ
G
1
+ D1 u(0, 0) +
2
2
+
2
Zx2
x2
1
2
0
(G), из (4.2) получим:
f3,1 (x1 , x2 ) D13 D2 u(x1 , x2 ) + a0,0 (x1 , x2 ) u(0, 0) + x1 D1 u(0, 0)
f (V u) =
x21
(4.2)
Zx2
Zx2
Zx1
2 3
(x1 − τ1 ) D1 u(τ1 , 0) dτ1 + D2 u(0, τ2 ) dτ2 + x1 D1 D2 u(0, τ2 ) dτ2
0
0
#
"
Zx1 Zx2
1
2 3
2
(x1 − τ1 ) D1 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 + a1,0 (x1 , x2 ) D1 u(0, 0)
D1 D2 u(0, τ2 ) dτ2 +
2
0
0
0
Zx2
Zx2
Zx1
3
2
+x1 D1 u(0, 0) + (x1 − τ1 )D1 u(τ1 , 0) dτ1 + D1 D2 u(0, τ2 ) dτ2 + x1 D12 D2 u(0, τ2 ) dτ2
0
0
# 0
"
Zx1 Zx2
(x1 − τ1 )D13 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 + a0,1 (x1 , x2 ) D2 u(0, x2 ) + x1 D1 D2 u(0, x2 )
+
0 0
x21 2
1
+ D1 D2 u(0, x2 ) +
2
2
#
"
Zx1
2 3
(x1 − τ1 ) D1 D2 u(τ1 , x2 ) dτ1 + a1,1 (x1 , x2 ) D1 D2 u(0, x2 )
0
#
"
Zx1
3
+x1 D1 D2 u(0, x2 ) + (x1 − τ1 )D1 D2 u(τ1 , x2 ) dτ1 + a2,0 (x1 , x2 ) D12 u(0, 0)
2
+
Zx1
D13 u(τ1 , 0) dτ1 +
Zx2
0
D12 D2 u(0, τ2 ) dτ2 +
0
0
"
× D12 D2 u(0, x2 ) +
+
+
Z
Zx2
Zx1
D13 D2 u(x1 , τ2 ) dτ2
0
0
f3,0 (x1 )D1 u(x1 , 0) dG1 +
G1
+
Z
G
Z2
G2
#
D13 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 + a2,1 (x1 , x2 )
0
#
"
D13 D2 u(τ1 , x2 ) dτ1 + a3,0 (x1 , x2 ) D13 u(x1 , 0)
0
#)
3
Zx1 Zx2
dG + f0,0 u(0, 0) + f1,0 D1 u(0, 0) + f2,0 D12 u(0, 0)
f0,1 (x2 )D2 u(0, x2 ) dG2 +
Z
G2
2
f2,1 (x2 )D1 D2 u(0, x2 ) dG2 .
f1,1 (x2 )D1 D2 u(0, x2 ) dG2
24
Мамедов И. Г.
Поменяв здесь порядок интегрирования в нужных местах и произведя некоторые
группировки, имеем:
#
" ZZ
" ZZ
³
f3,1 (x1 , x2 )a0,0 (x1 , x2 ) dG + f0,0 u(0, 0) +
f3,1 (x1 , x2 ) x1 a0,0 (x1 , x2 )
f (V u) =
G
#
" ZZ
µ 2G
´
x
+a1,0 (x1 , x2 ) dG + f1,0 D1 u(0, 0) +
f3,1 (x1 , x2 ) 1 a0,0 (x1 , x2 ) + x1 a1,0 (x1 , x2 )
2
G
#
¶
Z " Zh1 Zh2
(α1 − x1 )2
a0,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2
+a2,0 (x1 , x2 ) dG + f2,0 D12 u(0, 0) +
2
G1
x1 0
Zh1 Zh2
Zh1 Zh2
a2,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2
(α1 − x1 )a1,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2 +
+
x1 0
x1 0
+
Zh2
#
a3,0 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx2 f3,0 (x1 ) D13 u(x1 , 0) dG1
0
+
Z " Zh1 Zh2
G2
+
Zh1
0
+
0 x2
#
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f0,1 (x2 ) D2 u(0, x2 ) dG2
2
Z " Zh1 Zh2 2
x1
+
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
G2
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
x1 a1,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2 +
0 x2
+
Zh1
0
Zh1
x1 a1,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f1,1 (x2 ) D1 D2 u(0, x2 ) dG2
0
+
Z " Zh1 Zh2
G2
+
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
x1 a1,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2 +
0 x2
+
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1
2
#
Zh1 Zh2
a2,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
0 x2
Zh1
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 +
2
x1 a1,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1
0
0
+
Zh1
Zh1
a2,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 )dx1 + f2,1 (x2 ) D12 D2 u(0, x2 ) dG2
+
Z Z " Zh1 Zh2
#
0
G
x1 x2
(α1 − x1 )2
a0,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2
2
25
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
Zh1 Zh2
+
(α1 − x1 )a1,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2
x1 x2
+
Zh1 Zh2
a2,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2 +
x1 x2
+
Zh1
(α1 − x1 )2
a0,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 +
2
Zh2
a3,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dα2
x2
h
1
Z
(α1 − x1 )a1,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1
x1
x1
+
Zh1
#
a2,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 + f3,1 (x1 , x2 ) D13 D2 u(x1 , x2 ) dG.
x1
Таким образом, выражение f (V u) приведено к виду
f (V u) = (ω0,0 f )u(0, 0) + (ω1,0 f )D1 u(0, 0) + (ω2,0 f )D12 u(0, 0)
Z
Z
3
+ (ω3,0 f )(x1 D1 u(x1 , 0) dG1 + (ω0,1 f )(x2 )D2 u(0, x2 ) dG2
G1
+
Z
G2
(ω1,1 f )(x2 )D1 D2 u(0, x2 ) dG2 +
G2
Z
(ω2,1 f )(x2 )D12 D2 u(0, x2 ) dG2
(4.3)
G2
+
ZZ
3
(ω3,1 f )(x1 , x2 )D1 D2 u(x1 , x2 ) dG ≡ (V ∗ f )(u),
G
где
ω0,0 f ≡
ω1,0 f ≡
ZZ
f3,1 (x1 , x2 )a0,0 (x1 , x2 ) dG + f0,0 ;
G
ZZ
f3,1 (x1 , x2 ) [x1 a0,0 (x1 , x2 ) + a1,0 (x1 , x2 )] dG + f1,0 ;
G
ω2,0 f ≡
ZZ
G
¸
x21
f3,1 (x1 , x2 )
a0,0 (x1 , x2 ) + x1 a1,0 (x1 , x2 ) + a2,0 (x1 , x2 ) dG + f2,0 ;
2
·
(ω3,0 f )(x1 ) ≡
Zh1 Zh2
(α1 − x1 )2
a0,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2
2
x1 0
Zh1 Zh2
(α1 − x1 )a1,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2
+
x1 0
+
Zh1 Zh2
a2,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2 +
x1 0
Zh2
a3,0 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx2 + f3,0 (x1 );
0
(ω0,1 f )(x2 ) ≡
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
+
Zh1
0
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f0,1 (x2 );
2
(4.4)
26
Мамедов И. Г.
(ω1,1 f )(x2 ) ≡
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
+
Zh1 Zh2
x1 a1,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
0 x2
+
Zh1
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 +
2
0
Zh1
x1 a1,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f1,1 (x2 );
0
(ω2,1 f )(x2 ) ≡
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
+
Zh1 Zh2
x1 a1,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
0 x2
+
Zh1 Zh2
a2,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 )dx1 dα2 +
0 x2
+
Zh1
Zh1
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1
2
0
x1 a1,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 )dx1 +
Zh1
a2,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f2,1 (x2 );
0
0
(ω3,1 f )(x1 , x2 ) ≡
Zh1 Zh2
(α1 − x1 )2
a0,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2
2
x1 x2
Zh1 Zh2
Zh1 Zh2
+
(α1 − x1 )a1,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2 +
a2,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2
x1 x2
+
x1 x2
Zh2
x2
a3,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dα2 +
Zh1
(α1 − x1 )2
a0,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1
2
x1
Zh1
Zh1
+ (α1 − x1 )a1,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 + a2,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 + f3,1 (x1 , x2 ).
x1
x1
Используя равенство (4.3), т. е. равенство f (V u) = (V ∗ f )u, а также общий вид ли(3,1)
нейных ограниченных функционалов на WP (G), получим, что оператор V имеет сопряженный оператор вида
V ∗ = (ω0,0 , ω1,0 , ω2,0 , ω3,0 , ω0,1 , ω1,1 , ω2,1 , ω3,1 ) : Eq(3,1) → Eq(3,1) ,
где операторы ωi,j , i = 0, 3, j = 0, 1, определяются посредством равенств (4.4).
Поэтому сопряженное уравнение
V ∗f = ψ
(4.5)
27
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
можно записать в виде эквивалентной системы следующих интегро-алгебраических уравнений:
ZZ
ω0,0 f ≡
f3,1 (x1 , x2 )a0,0 (x1 , x2 ) dG + f0,0 = ψ0,0 ;
G
ω1,0 f ≡
ZZ
f3,1 (x1 , x2 ) [x1 a0,0 (x1 , x2 ) + a1,0 (x1 , x2 )] dG + f1,0 = ψ1,0 ;
G
ω2,0 f ≡
¸
x21
a0,0 (x1 , x2 ) + x1 a1,0 (x1 , x2 ) + a2,0 (x1 , x2 ) dG + f2,0 = ψ2,0 ;
f3,1 (x1 , x2 )
2
·
ZZ
G
(ω3,0 f )(x1 ) ≡
Zh1 Zh2
(α1 − x1 )2
a0,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2
2
x1 0
Zh1 Zh2
Zh1 Zh2
+
(α1 − x1 ) a1,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2 +
a2,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2
x1 0
x1 0
+
Zh2
a3,0 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx2 + f3,0 (x1 ) = ψ3,0 (x1 );
0
(ω0,1 f )(x2 ) ≡
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
+
Zh1
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f0,1 (x2 ) = ψ0,1 (x2 );
2
0
(ω1,1 f )(x2 ) ≡
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2 +
2
+
x1 a1,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
0 x2
0 x2
Zh1
Zh1 Zh2
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 +
2
0
Zh1
x1 a1,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f1,1 (x2 ) = ψ1,1 (x2 );
0
(ω2,1 f )(x2 ) ≡
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
+
Zh1 Zh2
x1 a1,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2 +
a2,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
0 x2
0 x2
+
Zh1 Zh2
Zh1
x2
1
2
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 +
0
Zh1
x1 a1,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1
0
+
Zh1
0
a2,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f2,1 (x2 ) = ψ2,1 (x2 );
(4.6)
28
Мамедов И. Г.
(ω3,1 f )(x1 , x2 ) ≡
Zh1 Zh2
(α1 − x1 )2
a0,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2
2
x1 x2
Zh1 Zh2
Zh1 Zh2
+
(α1 − x1 )a1,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2 +
a2,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2
x1 x2
+
x1 x2
Zh2
a3,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 )dα2 +
x2
Zh1
(α1 − x1 )2
a0,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1
2
x1
Zh1
+ (α1 − x1 )a1,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1
x1
+
Zh1
a2,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 + f3,1 (x1 , x2 ) = ψ3,1 (x1 , x2 ),
x1
¡
¢
(3,1)
где ψ = ψ0,0 , ψ1,0 , ψ2,0 , ψ3,0 (x1 ), ψ0,1 (x2 ), ψ1,1 (x2 ), ψ2,1 (x2 ), ψ3,1 (x1 , x2 ) ∈ Eq
— задан¡
¢
(3,1)
ный, а f = f0,0 , f1,0 , f2,0 , f3,0 (x1 ), f0,1 (x2 ), f1,1 (x2 ), f2,1 (x2 ), f3,1 (x1 , x2 ) ∈ Eq
— искомый элемент.
Последнее уравнение системы (4.6) является самостоятельным двумерным интегральным уравнением. Очевидно, что оператор ω3,1 этого уравнения является вольтерровым относительно точки (h1 , h2 ). Используя это, а также условия, наложенные на
коэффициенты aij (x1 , x2 ), можно доказать, что это уравнение для любой правой части
ψ3,1 ∈ Lq (G) имеет единственное решение f3,1 ∈ Lq (G). Очевидно, что если известно
решение f3,1 последнего уравнения системы (4.6), то остальные компоненты решения
¡
¢
f = f0,0 , f1,0 , f2,0 , f3,0 (x1 ), f0,1 (x2 ), f1,1 (x2 ), f2,1 (x2 ), f3,1 (x1 , x2 ) ∈ Eq(3,1)
можно вычислить посредством остальных равенств системы (4.6) при помощи решения
f3,1 ∈ Lq (G) последнего уравнения этой системы.
Следует отметить также, что оператор ψ3,1 : Lq (G) → Lq (G) можно рассматривать
как сопряженный оператор для оператора N : Lp (G) → Lp (G) эквивалентного интегрального уравнения (3.6). Иначе говоря, для всех 1 6 p 6 ∞ справедливо тождество
ZZ
ZZ
(N b)(x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 dx2 =
b(x1 , x2 )(ω3,1 f3,1 )(x1 , x2 ) dx1 dx2 ,
(4.7)
G
G
b ∈ Lp (G),
f3,1 ∈ Lq (G),
где ω3,1 f3,1 ≡ ω3,1 f .
Тождество (4.7) показывает, что если 1 6 p < ∞, то N ∗ = ω3,1 ; если же 1 < p 6 ∞,
∗ = N . Поэтому для всех 1 6 p 6 ∞ либо уравнение (3.6) является сопряженто ω3,1
ным уравнением для последнего уравнения системы (4.6), либо имеет место обратное
утверждение. Это показывает, что уравнение (3.6) и последнее уравнение системы (4.6)
являются «связанными» уравнениями. Поэтому из теоремы 3.1 следует, что справедлива
следующая теорема.
Теорема 4.1. Оператор ψ3,1 : Lq (G) → Lq (G) есть гомеоморфизм.
29
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
Следствие 4.1. Система (4.6) для любой ψ ∈ Eq(3,1) имеет единственное решение
f ∈ Eq(3,1) и при этом kf kE (3,1) 6 M kψkE (3,1) , где M — положительная постоянная, не
q
q
зависящая от ψ.
§ 5. Построение фундаментального решения
¯ и рассмотрим систему
Теперь возьмем произвольную точку (x1 , x2 ) ∈ G
ω0,0 f = 1,
ω1,0 f = x1 ,
x2
ω2,0 f = 21 ,
(ω3,0 f )(α1 ) = (x1 −α1 )2 θ(x1 − α1 ),
2
(ω0,1 f )(α2 ) = θ(x2 − α2 ),
(ω1,1 f )(α2 ) = x1 θ(x2 − α2 ),
(ω2,1 f )(α2 ) = x21 θ(x2 − α2 ),
2
2
1)
θ(x1 − α1 ) θ(x2 − α2 ),
(ω3,1 f )(α1 , α2 ) = (x1 −α
2
α1 ∈ (0, h1 ),
α2 ∈ (0, h2 ),
(5.1)
α2 ∈ (0, h2 ),
α2 ∈ (0, h2 ),
(α1 , α2 ) ∈ G,
которая является частным случаем системы (4.6).
¯
Определение 5.1. Если для каждой
¡ заданной точки (x1 , x2 ) ∈ G система (5.1) имеет хотя бы одно решение f (x1 , x2 ) = f0,0 (x1 , x2 ), f1,0 (x1 , x2 ), f2,0 (x1 , x2 ), f3,0 (α1 ; x1 , x2 ),
¢
(3,1)
f0,1 (α2 ; x1 , x2 ), f1,1 (α2 ; x1 , x2 ), f2,1 (α2 ; x1 , x2 ), f3,1 (α1 , α2 ; x1 , x2 ) ∈ Eq , то это решение
будем называть фундаментальным (θ-фундаментальным) решением задачи (2.1), (2.2).
Последнюю компоненту f3,1 (α1 , α2 ; x1 , x2 ) можно рассматривать как новую функцию
Римана для задачи Гурса. Можно показать, что если коэффициенты ai,j (x1 , x2 ) обладают
¯ то f3,1 (α1 , α2 ; x1 , x2 ) на самом
непрерывными производными D1i D2j ai,j (x1 , x2 ) в области G,
деле есть функция Римана задачи Гурса в классическом смысле.
Теорема 5.1. Задача (2.1), (2.2) имеет единственное θ-фундаментальное решение
(3,1)
f (x1 , x2 ). При этом решение u ∈ Wp (G) задачи (2.1), (2.2) может быть представлено
посредством θ-фундаментального решения в виде
u(x1 , x2 ) = ϕ0,0 f0,0 (x1 , x2 ) + ϕ1,0 f1,0 (x1 , x2 ) + ϕ2,0 f2,0 (x1 , x2 )
+
+
0
Zh2
Zh2
Zh2
Zh1
ϕ3,0 (α1 )f3,0 (α1 ; x1 , x2 ) dα1 +
ϕ0,1 (α2 )f0,1 (α2 ; x1 , x2 ) dα2
0
ϕ1,1 (α2 )f1,1 (α2 ; x1 , x2 ) dα2 +
(5.2)
ϕ2,1 (α2 )f2,1 (α2 ; x1 , x2 ) dα2
0
0
+
ZZ
ϕ3,1 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ; x1 , x2 ) dG.
G
⊳ Существование единственного θ-фундаментального решения следует из следствия 4.1. Для доказательства справедливости представления (5.2) будем сравнивать
30
Мамедов И. Г.
(3,1)
правые части тождеств (4.1) и (4.3) на решениях u ∈ Wp
(2.2) и системы (5.1). Тогда получим:
(3,1)
(G) и f ∈ Eq
задачи (2.1),
ϕ0,0 f0,0 (x1 , x2 ) + ϕ1,0 f1,0 (x1 , x2 ) + ϕ2,0 f2,0 (x1 , x2 )
+
+
ϕ0,1 (α2 )f0,1 (α2 ; x1 , x2 ) dα2
0
Zh2
Zh2
Zh2
ϕ2,1 (α2 )f2,1 (α2 ; x1 , x2 ) dα2
Zh1
ϕ3,0 (α1 )f3,0 (α1 ; x1 , x2 ) dα1 +
0
ϕ1,1 (α2 )f1,1 (α2 ; x1 , x2 ) dα2 +
0
0
+
ZZ
ϕ3,1 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ; x1 , x2 ) dα1 dα2 = u(0, 0) + x1 D1 u(0, 0) +
x21 2
D u(0, 0)
2 1
G
+
Zh1
(x1 − α1 )2
θ(x1 − α1 )D13 u(α1 , 0) dα1 +
2
+
θ(x2 − α2 )D2 u(0, α2 ) dα2
0
0
Zh2
Zh2
(5.3)
x1 θ(x2 − α2 )D1 D2 u(0, α2 ) dα2 +
Zh2
x21
θ(x2 − α2 )D12 D2 u(0, α2 ) dα2
2
0
0
+
Zh1 Zh2
0
(x1 − α1 )2
θ(x1 − α1 )D13 D2 u(α1 , α2 ) dα1 dα2 .
2
0
(3,1)
Интегральное представление (3.2) функций u ∈ Wp (G) показывает, что правая
часть формулы (5.3) совпадает со значением u(x1 , x2 ) решения u(α1 , α2 ) в точке (x1 , x2 ).
Этим справедливость представления (5.2) доказана. ⊲
Пример. Пусть ai,0 (x1 , x2 ) = ai,1 (x1 , x2 ) ≡ 0, i = 0, 2; a3,0 (x) ≡ 0. В этом случае
из (5.1) θ-фундаментальное решение задачи (2.1), (2.2) находится в виде
f0,0 (x1 , x2 ) = 1;
f1,0 (x1 , x2 ) = x1 ;
f3,0 (α1 ; x1 , x2 ) =
(x1 − α1 )2
θ(x1 − α1 ),
2
f0,1 (α2 ; x1 , x2 ) = θ(x2 − α2 ),
f2,0 (x1 , x2 ) =
α1 ∈ (0, h1 );
α2 ∈ (0, h2 );
f1,1 (α2 ; x1 , x2 ) = x1 θ(x2 − α2 ),
α2 ∈ (0, h2 );
x21
θ(x2 − α2 ),
2
α2 ∈ (0, h2 );
f2,1 (α2 ; x1 , x2 ) =
f3,1 (α1 , α2 ; x1 , x2 ) =
x21
;
2
(x1 − α1 )2
θ(x1 − α1 ) θ(x2 − α2 ),
2
(α1 , α2 ) ∈ G.
31
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
По формуле (5.2) в этом случае решение задачи (2.1), (2.2) можно найти в явном виде
x2
u(x1 , x2 ) = ϕ0,0 + ϕ1,0 x1 + ϕ2,0 1 +
2
Zh1
ϕ3,0 (α1 )
(x1 − α1 )2
θ(x1 − α1 ) dα1
2
0
+
Zh2
ϕ0,1 (α2 ) θ(x2 − α2 ) dα2 +
+
0
ϕ2,1 (α2 )
x21
θ(x2 − α2 ) dα2 +
2
ϕ1,1 (α2 )x1 θ(x2 − α2 ) dα2
0
0
Zh2
Zh2
ZZ
ϕ3,1 (α1 , α2 )
(x1 − α1 )2
θ(x1 − α1 ) θ(x2 − α2 ) dα1 dα2 .
2
G
При конструировании приведенной выше схемы построения θ-фундаментальных решений краевых задач важную роль сыграл тот факт, что уравнение и краевые условия
рассматривались нами в связанном виде, как различные компоненты одного операторного уравнения. Такой подход к краевым задачам открывает прямой путь к современным методам функционального анализа и является особенно удобным применительно
к вопросам, связанным с рассмотрением сопряженных задач. В рамках такого подхода
вопросы представления решения, а также разрешимости самой задачи и ее сопряженной
системы оказываются тесно связанными, что позволяет получить более окончательные
результаты в этом направлении. Более того, именно такой подход позволяет выявить так(3,1)
же некоторые пути постановки корректных краевых задач в пространствах W p (G).
Литература
1. Юрчук Н. И., Барановская С. Н., Яшкин В. И. О классических и ослабленных классических решениях гиперболических уравнений // Тез. докл. междунар. конф., посвященной 75-летию чл.-корр.
РАН проф. Л. Д. Кудрявцева.—Москва, 1998.—С. 71.
2. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Diff. equat.—1972.—Vol. 12, № 3.—
P. 559–565.
3. Шхануков М. Х., Солдатов А. П. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР.—1987.—Т. 297,
№ 3.—C. 547–552.
4. Жегалов В. И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа.—Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1990.—C. 94–98.
5. Лернер М. Е. О качественных свойствах функции Римана // Дифференц. уравнения.—1991.—T. 27,
№ 12.—C. 2106–2119.
6. Троицкая С. Д. О первой краевой задаче для гиперболического уравнения на плоскости // Мат.
заметки.—1999.—T. 65, № 2.—C. 294–306.
7. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка //
Изв. вузов.—1999.—T. 10.—C. 73–76.
8. Midodashvili B. Generalized Goursat problem for a spatial fourth order hyperbolic equation with
dominated low terms // Proc. of A. Razmadze Math. Institute.—2005.—Vol. 138.—P. 43–54.
9. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих
при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения.—1982.—
Т. 18, № 4.—C. 689–699.
10. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения.—1982.—Т. 18, № 2.—C. 280–285.
11. Vincenzo R. Di., Villani A. Sopra in problema ai limiti per un’equatione lineare del terzo ordine di
tipo iperbolico // Esistenza, unicita e rappresentazione della solutione. Mathematice.—1977.—Vol. 32,
№ 2.—P. 211–238.
12. Мамедов И. Г. О новой постановке задачи Гурса для одного нагруженного вольтерро-гиперболического интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка // Тез. докл. межд. конференц. по математике и механике, посвященной 50-летию со дня рождения чл.-корр. НАНА,
профессора И. Т. Мамедова.—Баку, 2005.—C. 123.
32
Мамедов И. Г.
13. Mamedov I. G. Generalization of multipoint boundary-value problems of Bitsadze — Samarski and
Samarski — Ionkin type for fourth order loaded hyperbolic integro-differential equation and their
operator generalization // Proceedings of IMM of NAS of Azerbaijan.—2005.—Vol. 23.—P. 77–84.
14. Аманов Т. И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной.—Алма-Ата: Наука, 1976.—171 c.
15. Никольский C. M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.—M.: Наука,
1969.—455 c.
16. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Классификация дифференцируемых функций на основе пространств с доминирующей производной // Труды МИ АН СССР.—1965.—T. 77.—C. 143–167.
17. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы
вложения.—M.: Наука, 1975.—480 c.
18. Джабраилов А. Дж. О некоторых функциональных пространствах. Прямые и обратные теоремы
вложения // Докл. АН СССР.—1964.—T. 159.—C. 254–257.
19. Ахиев С. С. Об общем виде линейных ограниченных функционалов в одном функциональном
пространстве типа С. Л. Соболева // Докл. АН. Азерб. ССР.—1976.—T. 35, № 6.—C. 3–7.
20. Наджафов А. М. Об интегральных представлениях функций из пространств с доминирующей
смешанной производной // Вестник БГУ. Cер. физ.-мат. наук.—2005.—T. 3.—C. 31–39.
21. Мамедов И. Г. Об одном разложении для непрерывной функции многих переменных // Вестник
БГУ. Cер. физ.-мат. наук.—1999.—T. 3.—C. 144–152.
22. Мамедов И. Г. Задача Гурса нового типа для нагруженных вольтерро-гиперболических интегродифференциальных векторных уравнений четвертого порядка с негладкими матричными коэффициентами // Изв. НАН Азербайджана. Cер. ФТМН.—2006.—T. 26, № 2.—C. 74–79.
Статья поступила 23 декабря 2008 г.
Ильгар Гурбат оглы Мамедов
Институт Кибернетики НАН Азербайджана,
вед. науч. сотр.
АЗЕРБАЙДЖАН, AZ 1141, Баку, ул. Ф. Агаева, 9
E-mail: [email protected]
FUNDAMENTAL SOLUTION OF INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM
FOR FOURTH-ORDER PSEUDOPARABOLIC EQUATIONS
WITH NONSMOOTH COEFFICIENTS
Mamedov I. G.
In this paper the fundamental solution of initial-boundary value problem for pseudoparabolic equations
with dominated derivatives of fourth order with nonsmooth coefficients is constructed.
Key words: Goursat problem, boundary value problem, fundamental solutions.
2010, Том 12, Выпуск 1, С. 17–32
УДК 517.956
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
С НЕГЛАДКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И. Г. Мамедов
В данной статье построено фундаментальное решение начально-краевых задач для псевдопараболического уравнения с доминирующей производной четвертого порядка с негладкими коэффициентами.
Ключевые слова: задача Гурса, начально-краевая задача, фундаментальные решения.
§ 1. Введение
К настоящему времени усилиями многих математиков теория дифференциальных
уравнений с постоянными или достаточно гладкими коэффициентами развита достаточно хорошо (см., например, [1]).
В этих и других работах разработаны различные методы исследования вопросов корректной разрешимости начальных, начально-краевых задач, а также вопросов построения фундаментальных решений для таких уравнений.
В литературе существуют только отдельные работы, в которых исследованы вопросы
построения фундаментальных решений для гиперболических уравнений с доминирующими производными (или псевдопараболических уравнений) с переменными коэффициентами. Работы D. Colton [2], М. Х. Шханукова и А. П. Солдатова [3], выполненные в
этом направлении, показывают, что для некоторых классов таких уравнений с достаточно гладкими коэффициентами фундаментальное решение можно определить как аналог
классической функции Римана. Однако, примененный в этих работах метод характеристик Римана является весьма ограниченным методом и, вообще говоря, не допускает
обобщение даже на случай простых нелокальных задач, даже в случае уравнений с постоянными коэффициентами.
Особо нужно отметить, что в литературе до сих пор функцию Римана для различных
классов уравнений удавалось построить только для случая достаточно гладких коэффициентов [4–8].
Имеется ряд работ, в которых введены аналоги функции Римана для некоторых
специфических классов уравнений с переменными коэффициентами и доминирующи4
∂3
ми производными ∂x∂2 ∂y2 и ∂x∂y
2 . В связи с этим отметим работы М. Х. Шханукова [9] и
В. А. Водаховой [10].
В работе R. Di. Vincenzo и A. Villani [11] понятие функции Римана было обобщено
∂3
для уравнения с переменными коэффициентами и доминирующей производной ∂x∂y
2.
c 2010 Мамедов И. Г.
°
18
Мамедов И. Г.
Поэтому возникает весьма актуальный вопрос об исследовании вопросов корректной
разрешимости и построении фундаментальных решений для начально-краевых задач,
связных с гиперболическими уравнениями (или псевдопараболическими уравнениями) с
доминирующими производными, вообще говоря, с негладкими переменными коэффициентами.
В связи с этим данная продемонстрированная работа посвящена исследованию начально-краевых задач нового типа для псевдопараболических уравнений с доминирующими смешанными производными, обладающими, вообще говоря, негладкими L p -коэффициентами (т. е. коэффициентами из пространств типа Lp ) и вопросами разработки
метода построения их фундаментальных решений. Она изложена, в основном, применительно к псевдопараболическим уравнениям четвертого порядка с трехкратными характеристиками. При этом важным принципиальным моментом является то, что рассматриваемое уравнение обладает разрывными коэффициентами, которые удовлетворяют только некоторым условиям типа P -интегрируемости и ограниченности, т. е. рассмотренный
псевдопараболический дифференциальный оператор не имеет традиционного сопряженного оператора. Поэтому функция Римана для такого уравнения не может быть исследована классическим методом характеристик. В данной статье для исследований таких задач разработана методика, которая существенно использует современные методы теории
функций и функционального анализа. При помощи этой методики для начально-краевых
задач введено новое понятие сопряженной задачи. Такие сопряженные задачи, в отличие
от сопряженных задач традиционного вида, определяемых посредством формально-сопряженных дифференциальных операторов, по определению имеют вид интегрального
уравнения, и поэтому имеют смысл при достаточно слабых условиях на коэффициенты.
При помощи такой сопряженной задачи введено понятие фундаментального решения и
найдено интегральное представление для решений соответствующих начально-краевых
задач.
§ 2. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
(V3,1 u)(x) ≡ D13 D2 u(x) + a3,0 (x)D13 u(x) +
1
2 X
X
aij (x)D1i D2j u(x)
i=0 j=0
= ϕ3,1 (x) ∈ Lp (G),
(2.1)
x = (x1 , x2 ) ∈ G,
при следующих условиях Гурса нового типа [12]:
V0,0 u ≡ u(0, 0) = ϕ0,0 ∈ R;
V1,0 u ≡ D1 u(0, 0) = ϕ1,0 ∈ R;
2
V2,0 u ≡ D1 u(0, 0) = ϕ2,0 ∈ R;
(V3,0 u)(x1 ) ≡ D13 u(x1 , 0) = ϕ3,0 (x1 ) ∈ Lp (G1 );
(V0,1 u)(x2 ) ≡ D2 u(0, x2 ) = ϕ0,1 (x2 ) ∈ Lp (G2 );
(V1,1 u)(x2 ) ≡ D1 D2 u(0, x2 ) = ϕ1,1 (x2 ) ∈ Lp (G2 );
(V2,1 u)(x2 ) ≡ D12 D2 u(0, x2 ) = ϕ2,1 (x2 ) ∈ Lp (G2 ),
(2.2)
где ϕi,0 , i = 0, 2, — заданные постоянные, а остальные ϕi,j являются заданными измеримыми функциями; Dk = ∂x∂ k (k = 1, 2) — оператор обобщенного дифференцирования в смысле Соболева. Кроме того, выше заданные ai,j (x) — измеримые функции на
19
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
G = G1 × G2 ; G1 = (0, h1 ), G2 = (0, h2 ) и удовлетворяющие лишь следующим условиям:
ai,0 (x) ∈ Lp (G),
x1 ,x2
ai,1 (x) ∈ Lp,∞
(G),
i = 0, 2;
x1 ,x2
a3,0 (x) ∈ L∞,p
(G).
При наложенных условиях решение u(x) задачи (2.1), (2.2) естественно искать в пространстве Соболева
o
n
Wp(3,1) (G) ≡ u(x) : D1i D2j u(x) ∈ Lp (G), i = 0, 3, j = 0, 1 ,
(3,1)
Норму в пространстве Wp
1 6 p 6 ∞.
(G) будем определять равенством
ku(x)kWp (3,1)(G) =
3 X
1 °
°
X
°
° i j
°D1 D2 u(x)°
i=0 j=0
Lp (G)
.
(3,1)
§ 3. Некоторые структурные свойства пространства Соболева Wp
и операторный вид начально-краевой задачи (2.1), (2.2)
(G)
Задачу (2.1), (2.2) мы будем исследовать методом операторных уравнений и при этом
будем следовать схеме работы [13]. Предварительно задачу (2.1), (2.2) запишем в виде
операторного уравнения
V u = ϕ,
(3.1)
где V есть векторный оператор, определяемый посредством равенства
¢
¡
V = V0,0 , V1,0 , V2,0 , V3,0 , V0,1 , V1,1 , V2,1 , V3,1 : Wp(3,1) (G) → Ep(3,1) ,
а ϕ есть заданный векторный элемент вида ϕ = (ϕ0,0 , ϕ1,0 , ϕ2,0 , ϕ3,0 , ϕ0,1 , ϕ1,1 , ϕ2,1 , ϕ3,1 )
из пространства
Ep(3,1) ≡ R × R × R × Lp (G1 ) × Lp (G2 ) × Lp (G2 ) × Lp (G2 ) × Lp (G).
(3,1)
Заметим, что в пространстве Ep
при помощи равенства
норму будем определять естественным образом
kϕkE (3,1) = kϕ0,0 kR + kϕ1,0 kR + kϕ2,0 kR + kϕ3,0 kLp (G1 ) + kϕ0,1 kLp (G2 )
p
+ kϕ1,1 kLp (G2 ) + kϕ2,1 kLp (G2 ) + kϕ3,1 kLp (G) .
Прежде всего отметим, что интегральные представления функций из пространств ти(3,1)
па Wp (G) (из соболевских пространств с доминирующими смешанными производными
общего вида) изучены в работах Т. И. Аманова [14], С. М. Никольского [15], П. И. Лизоркина и С. М. Никольского [16], О. В. Бесова, В. П. Ильина и С. М. Никольского [17],
А. Дж. Джабраилова [18], С. С. Ахиева [19], А. М. Наджафова [20], И. Г. Мамедова [21]
и др. Но из них мы будем использовать интегральное представление из [22], по которому
20
Мамедов И. Г.
(3,1)
любая функция u(x) ∈ Wp
(G) единственным образом представима в виде
1
x2
u(x) = (Qb)(x) ≡ b0,0 + x1 b1,0 + 1 b2,0 +
2
2
Zx1
(x1 − τ1 )2 b3,0 (τ1 ) dτ1
0
+
Zx2
b0,1 (τ2 ) dτ2 + x1
0
Zx2
x2
b1,1 (τ2 ) dτ2 + 1
2
Zx2
b2,1 (τ2 ) dτ2
(3.2)
0
0
Zx1 Zx2
1
(x1 − τ1 )2 b3,1 (τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2
+
2
0
0
(3,1)
посредством единственного элемента b = (b0,0 , b1,0 , b2,0 , b3,0 , b0,1 , b1,1 , b2,1 , b3,1 ) ∈ Ep
При этом существуют положительные постоянные M10 и M20 такие, что
M10 kbkE (3,1) 6 k(Qb)(x)kW (3,1) (G) 6 M20 kbkE (3,1)
p
p
(3,1)
p
∀ b ∈ Ep(3,1) .
.
(3.3)
(3,1)
Очевидно, что оператор Q : Ep
→ Wp (G) является линейным ограниченным оператором. Неравенство (3.3) показывает, что оператор Q имеет также ограниченный обрат(3,1)
ный оператор, определенный на пространстве Wp (G). Следовательно, оператор Q есть
(3,1)
(3,1)
гомеоморфизм между банаховыми пространствами Ep
и Wp (G). Поэтому решение
уравнения (3.1) эквивалентно решению уравнения
V Qb = ϕ.
(3.4)
Уравнение (3.4) будем называть каноническим видом уравнения (3.1).
(3,1)
Кроме того, формула (3.2) показывает, что любая функция u(x) ∈ Wp (G) имеет следы u(0, 0), D1 u(0, 0), D12 u(0, 0), D13 u(x1 , 0), D2 u(0, x2 ), D1 D2 u(0, x2 ), D12 D2 u(0, x2 ),
(3,1)
и операции взятия этих следов непрерывны из Wp (G) в R, R, R, Lp (G1 ), Lp (G2 ),
Lp (G2 ), Lp (G2 ) соответственно. Далее, для этих следов справедливы также равенства:
u(0, 0) = b0,0 ; D1 u(0, 0) = b1,0 ; D12 u(0, 0) = b2,0 ; D13 u(x1 , 0) = b3,0 (x1 ); D2 u(0, x2 ) = b0,1 (x2 );
D1 D2 u(0, x2 ) = b1,1 (x2 ); D12 D2 u(0, x2 ) = b2,1 (x2 ).
Задачу (2.1), (2.2) мы будем изучать при помощи интегрального представления (3.2)
(3,1)
(3,1)
функций u(x) ∈ Wp (G). Формула (3.2) показывает, что функция u(x) ∈ Wp (G),
удовлетворяющая условиям (2.2), имеет вид:
ZZ
u(x) = g0 (x) +
R0 (τ1 , τ2 ; x1 , x2 )D13 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 ,
G
где
x2
1
g0 (x) = ϕ0,0 + x1 ϕ1,0 + 1 ϕ2,0 +
2
2
Zx1
(x1 − τ1 )2 ϕ3,0 (τ1 ) dτ1
0
+
Zx2
ϕ0,1 (τ2 ) dτ2 + x1
0
R0 (τ 1 , τ2 ; x1 , x2 ) =
Zx2
x2
ϕ1,1 (τ2 ) dτ2 + 1
2
ϕ2,1 (τ2 ) dτ2 ,
0
0
(x1 − τ1
2!
Zx2
)2
θ(x1 − τ1 ) θ(x2 − τ2 ),
(
1, z > 0,
причем θ(z) является функцией Хевисайда на R, т. е. θ(z) =
0, z 6 0.
21
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
Тогда после замены u = g0 + u
ˆ, где
ZZ
u
ˆ(x) =
R0 (τ1 , τ2 ; x1 , x2 )D13 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 ,
G
уравнение (2.1) можно записать в виде
(V3,1 u
ˆ)(x) = Tˆ(x),
(3.5)
где Tˆ = ϕ3,1 − V3,1 g0 . Очевидно, что производные функции u
ˆ можно вычислить посредством равенств
Zx1 Zx2
(x1 − τ1 )D13 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 ,
D1 u
ˆ(x) =
0
D12 u
ˆ(x)
=
0
0
D13 u
ˆ(x)
=
Zx2
D13 D2 u(x1 , τ2 ) dτ2 ,
Zx1
D2 u
ˆ(x) =
0
D1 D2 u
ˆ(x) =
Zx1 Zx2
D13 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 ,
0
(x1 − τ1 )2 3
D1 D2 u(τ1 , x2 ) dτ1 ,
2!
0
Zx1
(x1 −
τ1 )D13 D2 u(τ1 , x2 ) dτ1 ,
D12 D2 u
ˆ(x)
=
Zx1
D13 D2 u(τ1 , x2 ) dτ1 ,
0
0
D13 D2 u
ˆ(x) = D13 D2 u(x).
Теперь доминирующую производную рассмотрим как неизвестную функцию, иначе
говоря, произведем замену D13 D2 u(x) = b(x). Тогда уравнение (2.1) можно записать в
виде:
(N b)(x) ≡ b(x1 , x2 ) +
Zx1 Zx2
0
a0,0 (x1 , x2 )R0 (τ1 , τ2 ; x1 , x2 )
0
Zx1 Zx2
(x1 − τ1 ) a1,0 (x1 , x2 ) b(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2
×b(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 +
0
+
Zx1 Zx2
0
+
Zx1
0
a2,0 (x1 , x2 ) b(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 +
Zx2
a3,0 (x1 , x2 ) b(x1 , τ2 ) dτ2
(3.6)
0
0
(x1 − τ1 )2
a0,1 (x1 , x2 ) b(τ1 , x2 ) dτ1 +
2!
Zx1
(x1 − τ1 ) a1,1 (x1 , x2 ) b(τ1 , x2 ) dτ1
0
0
+
Zx1
a2,1 (x1 , x2 ) b(τ1 , x2 ) dτ1 = Tˆ(x),
x = (x1 , x2 ) ∈ G.
0
Оператор N уравнения (3.6) линеен. Используя условия, наложенные на коэффициенты ai,j , можно доказать, что этот оператор является ограниченным оператором из
Lp (G) в Lp (G), 1 6 p 6 ∞.
Определение 3.1. Если задача (2.1), (2.2) для любого
ϕ = (ϕ0,0 , ϕ1,0 , ϕ2,0 , ϕ3,0 , ϕ0,1 , ϕ1,1 , ϕ2,1 , ϕ3,1 ) ∈ Ep(3,1)
22
Мамедов И. Г.
(3,1)
имеет единственное решение u ∈ Wp
(G) такое, что kukW (3,1) (G) 6 M1 kϕkE (3,1) , то буp
p
дем говорить, что оператор V = (V0,0 , V1,0 , V2,0 , V3,0 , V0,1 , V1,1 , V2,1 , V3,1 ) задачи (2.1), (2.2)
(3,1)
(3,1)
(или уравнения (3.1)) является гомеоморфизмом из Wp (G) на Ep
или задача (2.1),
(2.2) везде корректно разрешима. Здесь M1 — постоянное, не зависящее от ϕ.
Очевидно, что если оператор V задачи (2.1), (2.2) является гомеоморфизмом из
(3,1)
на Ep , то существует ограниченный обратный оператор
(3,1)
Wp (G)
V −1 : Ep(3,1) → Wp(3,1) (G).
Оператор N является вольтерровым оператором относительно точки (0, 0). Это означает, что если функции b1 , b2 ∈ Lp (G) в области G(x1 ,x2 ) = (0, x1 ) × (0, x2 ) удовлетворяют
условию b1 (τ1 , τ2 ) = b2 (τ1 , τ2 ), то выполняется также условие (N b1 )(τ1 , τ2 ) = (N b2 )(τ1 , τ2 )
почти для всех (τ1 , τ2 ) ∈ G(x1 ,x2 ) , где (x1 , x2 ) ∈ G — произвольная точка.
Используя вольтерровость оператора N , при помощи, например, метода последовательных приближений можно доказать, что уравнение (3.6) для любой правой части
Tˆ(x) ∈ Lp (G) имеет единственное решение b ∈ Lp (G), где 1 6 p 6 ∞, и это решение
удовлетворяет условию kbkLp(G) 6 M2 kTˆkLp(G) , где M2 — постоянное, не зависящее от Tˆ.
Далее, очевидно, что если ϕ3,1 ∈ Lp (G), то Tˆ ∈ Lp (G). Кроме того, если b ∈ Lp (G)
есть решение уравнения (3.6), то решение задачи (2.1), (2.2) можно найти при помощи
равенства
Zx1 Zx2
u(x) = g0 (x) +
b(τ1 , τ2 )R0 (τ1 , τ2 ; x1 , x2 ) dτ1 dτ2 .
0
0
Поэтому справедлива
(3,1)
Теорема 3.1. Оператор V задачи (2.1), (2.2) есть гомеоморфизм из Wp
(G) на
(3,1)
Ep .
§ 4. Построение сопряженного оператора
Пусть
¡
¢
f = f0,0 , f1,0 , f2,0 , f3,0 (x1 ), f0,1 (x2 ), f1,1 (x2 ), f2,1 (x2 ), f3,1 (x1 , x2 ) ∈ Eq(3,1)
≡ R × R × R × Lq (G1 ) × Lq (G2 ) × Lq (G2 ) × Lq (G2 ) × Lq (G),
(3,1)
p
где q = p−1
— некоторый линейный ограниченный функционал на Eq . Тогда по определению имеем:
ZZ
f (V u) =
f3,1 (x1 , x2 )(V3,1 u)(x1 , x2 ) dG + f0,0 (V0,0 u) + f1,0 (V1,0 u)
G
+f2,0 (V2,0 u) +
Z
f3,0 (x1 )(V3,0 u)(x1 ) dG1 +
G1
+
Z
G2
f1,1 (x2 )(V1,1 u)(x2 ) dG2 +
Z
f0,1 (x2 )(V0,1 u)(x2 ) dG2
G2
Z
G2
f2,1 (x2 )(V2,1 u)(x2 ) dG2 .
(4.1)
23
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
Учитывая здесь выражения операторов Vi,j , имеем:
(
ZZ
f3,1 (x1 , x2 ) D13 D2 u(x) + a3,0 (x)D13 u(x)
f (V u) =
G
1
2 X
X
)
ai,j (x)D1i D2i u(x) dG + f0,0 u(0, 0) + f1,0 D1 u(0, 0)
i=0 j=0
Z
Z
2
3
+f2,0 D1 u(0, 0) + f3,0 (x1 )D1 u(x1 , 0) dG1 + f0,1 (x2 )D2 u(0, x2 ) dG2
+
+
Z
G1
f1,1 (x2 )D1 D2 u(0, x2 ) dG2 +
G2
Z
G2
f2,1 (x2 )D12 D2 u(0, x2 ) dG2 .
G2
(3,1)
Используя интегральное представление (3.2) функций u ∈ Wp
(
"
ZZ
G
1
+ D1 u(0, 0) +
2
2
+
2
Zx2
x2
1
2
0
(G), из (4.2) получим:
f3,1 (x1 , x2 ) D13 D2 u(x1 , x2 ) + a0,0 (x1 , x2 ) u(0, 0) + x1 D1 u(0, 0)
f (V u) =
x21
(4.2)
Zx2
Zx2
Zx1
2 3
(x1 − τ1 ) D1 u(τ1 , 0) dτ1 + D2 u(0, τ2 ) dτ2 + x1 D1 D2 u(0, τ2 ) dτ2
0
0
#
"
Zx1 Zx2
1
2 3
2
(x1 − τ1 ) D1 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 + a1,0 (x1 , x2 ) D1 u(0, 0)
D1 D2 u(0, τ2 ) dτ2 +
2
0
0
0
Zx2
Zx2
Zx1
3
2
+x1 D1 u(0, 0) + (x1 − τ1 )D1 u(τ1 , 0) dτ1 + D1 D2 u(0, τ2 ) dτ2 + x1 D12 D2 u(0, τ2 ) dτ2
0
0
# 0
"
Zx1 Zx2
(x1 − τ1 )D13 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 + a0,1 (x1 , x2 ) D2 u(0, x2 ) + x1 D1 D2 u(0, x2 )
+
0 0
x21 2
1
+ D1 D2 u(0, x2 ) +
2
2
#
"
Zx1
2 3
(x1 − τ1 ) D1 D2 u(τ1 , x2 ) dτ1 + a1,1 (x1 , x2 ) D1 D2 u(0, x2 )
0
#
"
Zx1
3
+x1 D1 D2 u(0, x2 ) + (x1 − τ1 )D1 D2 u(τ1 , x2 ) dτ1 + a2,0 (x1 , x2 ) D12 u(0, 0)
2
+
Zx1
D13 u(τ1 , 0) dτ1 +
Zx2
0
D12 D2 u(0, τ2 ) dτ2 +
0
0
"
× D12 D2 u(0, x2 ) +
+
+
Z
Zx2
Zx1
D13 D2 u(x1 , τ2 ) dτ2
0
0
f3,0 (x1 )D1 u(x1 , 0) dG1 +
G1
+
Z
G
Z2
G2
#
D13 D2 u(τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 + a2,1 (x1 , x2 )
0
#
"
D13 D2 u(τ1 , x2 ) dτ1 + a3,0 (x1 , x2 ) D13 u(x1 , 0)
0
#)
3
Zx1 Zx2
dG + f0,0 u(0, 0) + f1,0 D1 u(0, 0) + f2,0 D12 u(0, 0)
f0,1 (x2 )D2 u(0, x2 ) dG2 +
Z
G2
2
f2,1 (x2 )D1 D2 u(0, x2 ) dG2 .
f1,1 (x2 )D1 D2 u(0, x2 ) dG2
24
Мамедов И. Г.
Поменяв здесь порядок интегрирования в нужных местах и произведя некоторые
группировки, имеем:
#
" ZZ
" ZZ
³
f3,1 (x1 , x2 )a0,0 (x1 , x2 ) dG + f0,0 u(0, 0) +
f3,1 (x1 , x2 ) x1 a0,0 (x1 , x2 )
f (V u) =
G
#
" ZZ
µ 2G
´
x
+a1,0 (x1 , x2 ) dG + f1,0 D1 u(0, 0) +
f3,1 (x1 , x2 ) 1 a0,0 (x1 , x2 ) + x1 a1,0 (x1 , x2 )
2
G
#
¶
Z " Zh1 Zh2
(α1 − x1 )2
a0,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2
+a2,0 (x1 , x2 ) dG + f2,0 D12 u(0, 0) +
2
G1
x1 0
Zh1 Zh2
Zh1 Zh2
a2,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2
(α1 − x1 )a1,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2 +
+
x1 0
x1 0
+
Zh2
#
a3,0 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx2 f3,0 (x1 ) D13 u(x1 , 0) dG1
0
+
Z " Zh1 Zh2
G2
+
Zh1
0
+
0 x2
#
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f0,1 (x2 ) D2 u(0, x2 ) dG2
2
Z " Zh1 Zh2 2
x1
+
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
G2
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
x1 a1,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2 +
0 x2
+
Zh1
0
Zh1
x1 a1,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f1,1 (x2 ) D1 D2 u(0, x2 ) dG2
0
+
Z " Zh1 Zh2
G2
+
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
x1 a1,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2 +
0 x2
+
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1
2
#
Zh1 Zh2
a2,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
0 x2
Zh1
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 +
2
x1 a1,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1
0
0
+
Zh1
Zh1
a2,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 )dx1 + f2,1 (x2 ) D12 D2 u(0, x2 ) dG2
+
Z Z " Zh1 Zh2
#
0
G
x1 x2
(α1 − x1 )2
a0,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2
2
25
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
Zh1 Zh2
+
(α1 − x1 )a1,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2
x1 x2
+
Zh1 Zh2
a2,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2 +
x1 x2
+
Zh1
(α1 − x1 )2
a0,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 +
2
Zh2
a3,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dα2
x2
h
1
Z
(α1 − x1 )a1,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1
x1
x1
+
Zh1
#
a2,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 + f3,1 (x1 , x2 ) D13 D2 u(x1 , x2 ) dG.
x1
Таким образом, выражение f (V u) приведено к виду
f (V u) = (ω0,0 f )u(0, 0) + (ω1,0 f )D1 u(0, 0) + (ω2,0 f )D12 u(0, 0)
Z
Z
3
+ (ω3,0 f )(x1 D1 u(x1 , 0) dG1 + (ω0,1 f )(x2 )D2 u(0, x2 ) dG2
G1
+
Z
G2
(ω1,1 f )(x2 )D1 D2 u(0, x2 ) dG2 +
G2
Z
(ω2,1 f )(x2 )D12 D2 u(0, x2 ) dG2
(4.3)
G2
+
ZZ
3
(ω3,1 f )(x1 , x2 )D1 D2 u(x1 , x2 ) dG ≡ (V ∗ f )(u),
G
где
ω0,0 f ≡
ω1,0 f ≡
ZZ
f3,1 (x1 , x2 )a0,0 (x1 , x2 ) dG + f0,0 ;
G
ZZ
f3,1 (x1 , x2 ) [x1 a0,0 (x1 , x2 ) + a1,0 (x1 , x2 )] dG + f1,0 ;
G
ω2,0 f ≡
ZZ
G
¸
x21
f3,1 (x1 , x2 )
a0,0 (x1 , x2 ) + x1 a1,0 (x1 , x2 ) + a2,0 (x1 , x2 ) dG + f2,0 ;
2
·
(ω3,0 f )(x1 ) ≡
Zh1 Zh2
(α1 − x1 )2
a0,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2
2
x1 0
Zh1 Zh2
(α1 − x1 )a1,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2
+
x1 0
+
Zh1 Zh2
a2,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2 +
x1 0
Zh2
a3,0 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx2 + f3,0 (x1 );
0
(ω0,1 f )(x2 ) ≡
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
+
Zh1
0
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f0,1 (x2 );
2
(4.4)
26
Мамедов И. Г.
(ω1,1 f )(x2 ) ≡
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
+
Zh1 Zh2
x1 a1,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
0 x2
+
Zh1
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 +
2
0
Zh1
x1 a1,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f1,1 (x2 );
0
(ω2,1 f )(x2 ) ≡
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
+
Zh1 Zh2
x1 a1,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
0 x2
+
Zh1 Zh2
a2,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 )dx1 dα2 +
0 x2
+
Zh1
Zh1
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1
2
0
x1 a1,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 )dx1 +
Zh1
a2,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f2,1 (x2 );
0
0
(ω3,1 f )(x1 , x2 ) ≡
Zh1 Zh2
(α1 − x1 )2
a0,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2
2
x1 x2
Zh1 Zh2
Zh1 Zh2
+
(α1 − x1 )a1,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2 +
a2,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2
x1 x2
+
x1 x2
Zh2
x2
a3,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dα2 +
Zh1
(α1 − x1 )2
a0,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1
2
x1
Zh1
Zh1
+ (α1 − x1 )a1,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 + a2,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 + f3,1 (x1 , x2 ).
x1
x1
Используя равенство (4.3), т. е. равенство f (V u) = (V ∗ f )u, а также общий вид ли(3,1)
нейных ограниченных функционалов на WP (G), получим, что оператор V имеет сопряженный оператор вида
V ∗ = (ω0,0 , ω1,0 , ω2,0 , ω3,0 , ω0,1 , ω1,1 , ω2,1 , ω3,1 ) : Eq(3,1) → Eq(3,1) ,
где операторы ωi,j , i = 0, 3, j = 0, 1, определяются посредством равенств (4.4).
Поэтому сопряженное уравнение
V ∗f = ψ
(4.5)
27
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
можно записать в виде эквивалентной системы следующих интегро-алгебраических уравнений:
ZZ
ω0,0 f ≡
f3,1 (x1 , x2 )a0,0 (x1 , x2 ) dG + f0,0 = ψ0,0 ;
G
ω1,0 f ≡
ZZ
f3,1 (x1 , x2 ) [x1 a0,0 (x1 , x2 ) + a1,0 (x1 , x2 )] dG + f1,0 = ψ1,0 ;
G
ω2,0 f ≡
¸
x21
a0,0 (x1 , x2 ) + x1 a1,0 (x1 , x2 ) + a2,0 (x1 , x2 ) dG + f2,0 = ψ2,0 ;
f3,1 (x1 , x2 )
2
·
ZZ
G
(ω3,0 f )(x1 ) ≡
Zh1 Zh2
(α1 − x1 )2
a0,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2
2
x1 0
Zh1 Zh2
Zh1 Zh2
+
(α1 − x1 ) a1,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2 +
a2,0 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 dx2
x1 0
x1 0
+
Zh2
a3,0 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx2 + f3,0 (x1 ) = ψ3,0 (x1 );
0
(ω0,1 f )(x2 ) ≡
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
+
Zh1
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f0,1 (x2 ) = ψ0,1 (x2 );
2
0
(ω1,1 f )(x2 ) ≡
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2 +
2
+
x1 a1,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
0 x2
0 x2
Zh1
Zh1 Zh2
x21
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 +
2
0
Zh1
x1 a1,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f1,1 (x2 ) = ψ1,1 (x2 );
0
(ω2,1 f )(x2 ) ≡
Zh1 Zh2
x21
a0,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
2
0 x2
+
Zh1 Zh2
x1 a1,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2 +
a2,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 ) dx1 dα2
0 x2
0 x2
+
Zh1 Zh2
Zh1
x2
1
2
a0,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 +
0
Zh1
x1 a1,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1
0
+
Zh1
0
a2,1 (x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 + f2,1 (x2 ) = ψ2,1 (x2 );
(4.6)
28
Мамедов И. Г.
(ω3,1 f )(x1 , x2 ) ≡
Zh1 Zh2
(α1 − x1 )2
a0,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2
2
x1 x2
Zh1 Zh2
Zh1 Zh2
+
(α1 − x1 )a1,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2 +
a2,0 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ) dα1 dα2
x1 x2
+
x1 x2
Zh2
a3,0 (x1 , α2 )f3,1 (x1 , α2 )dα2 +
x2
Zh1
(α1 − x1 )2
a0,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1
2
x1
Zh1
+ (α1 − x1 )a1,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1
x1
+
Zh1
a2,1 (α1 , x2 )f3,1 (α1 , x2 ) dα1 + f3,1 (x1 , x2 ) = ψ3,1 (x1 , x2 ),
x1
¡
¢
(3,1)
где ψ = ψ0,0 , ψ1,0 , ψ2,0 , ψ3,0 (x1 ), ψ0,1 (x2 ), ψ1,1 (x2 ), ψ2,1 (x2 ), ψ3,1 (x1 , x2 ) ∈ Eq
— задан¡
¢
(3,1)
ный, а f = f0,0 , f1,0 , f2,0 , f3,0 (x1 ), f0,1 (x2 ), f1,1 (x2 ), f2,1 (x2 ), f3,1 (x1 , x2 ) ∈ Eq
— искомый элемент.
Последнее уравнение системы (4.6) является самостоятельным двумерным интегральным уравнением. Очевидно, что оператор ω3,1 этого уравнения является вольтерровым относительно точки (h1 , h2 ). Используя это, а также условия, наложенные на
коэффициенты aij (x1 , x2 ), можно доказать, что это уравнение для любой правой части
ψ3,1 ∈ Lq (G) имеет единственное решение f3,1 ∈ Lq (G). Очевидно, что если известно
решение f3,1 последнего уравнения системы (4.6), то остальные компоненты решения
¡
¢
f = f0,0 , f1,0 , f2,0 , f3,0 (x1 ), f0,1 (x2 ), f1,1 (x2 ), f2,1 (x2 ), f3,1 (x1 , x2 ) ∈ Eq(3,1)
можно вычислить посредством остальных равенств системы (4.6) при помощи решения
f3,1 ∈ Lq (G) последнего уравнения этой системы.
Следует отметить также, что оператор ψ3,1 : Lq (G) → Lq (G) можно рассматривать
как сопряженный оператор для оператора N : Lp (G) → Lp (G) эквивалентного интегрального уравнения (3.6). Иначе говоря, для всех 1 6 p 6 ∞ справедливо тождество
ZZ
ZZ
(N b)(x1 , x2 )f3,1 (x1 , x2 ) dx1 dx2 =
b(x1 , x2 )(ω3,1 f3,1 )(x1 , x2 ) dx1 dx2 ,
(4.7)
G
G
b ∈ Lp (G),
f3,1 ∈ Lq (G),
где ω3,1 f3,1 ≡ ω3,1 f .
Тождество (4.7) показывает, что если 1 6 p < ∞, то N ∗ = ω3,1 ; если же 1 < p 6 ∞,
∗ = N . Поэтому для всех 1 6 p 6 ∞ либо уравнение (3.6) является сопряженто ω3,1
ным уравнением для последнего уравнения системы (4.6), либо имеет место обратное
утверждение. Это показывает, что уравнение (3.6) и последнее уравнение системы (4.6)
являются «связанными» уравнениями. Поэтому из теоремы 3.1 следует, что справедлива
следующая теорема.
Теорема 4.1. Оператор ψ3,1 : Lq (G) → Lq (G) есть гомеоморфизм.
29
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
Следствие 4.1. Система (4.6) для любой ψ ∈ Eq(3,1) имеет единственное решение
f ∈ Eq(3,1) и при этом kf kE (3,1) 6 M kψkE (3,1) , где M — положительная постоянная, не
q
q
зависящая от ψ.
§ 5. Построение фундаментального решения
¯ и рассмотрим систему
Теперь возьмем произвольную точку (x1 , x2 ) ∈ G
ω0,0 f = 1,
ω1,0 f = x1 ,
x2
ω2,0 f = 21 ,
(ω3,0 f )(α1 ) = (x1 −α1 )2 θ(x1 − α1 ),
2
(ω0,1 f )(α2 ) = θ(x2 − α2 ),
(ω1,1 f )(α2 ) = x1 θ(x2 − α2 ),
(ω2,1 f )(α2 ) = x21 θ(x2 − α2 ),
2
2
1)
θ(x1 − α1 ) θ(x2 − α2 ),
(ω3,1 f )(α1 , α2 ) = (x1 −α
2
α1 ∈ (0, h1 ),
α2 ∈ (0, h2 ),
(5.1)
α2 ∈ (0, h2 ),
α2 ∈ (0, h2 ),
(α1 , α2 ) ∈ G,
которая является частным случаем системы (4.6).
¯
Определение 5.1. Если для каждой
¡ заданной точки (x1 , x2 ) ∈ G система (5.1) имеет хотя бы одно решение f (x1 , x2 ) = f0,0 (x1 , x2 ), f1,0 (x1 , x2 ), f2,0 (x1 , x2 ), f3,0 (α1 ; x1 , x2 ),
¢
(3,1)
f0,1 (α2 ; x1 , x2 ), f1,1 (α2 ; x1 , x2 ), f2,1 (α2 ; x1 , x2 ), f3,1 (α1 , α2 ; x1 , x2 ) ∈ Eq , то это решение
будем называть фундаментальным (θ-фундаментальным) решением задачи (2.1), (2.2).
Последнюю компоненту f3,1 (α1 , α2 ; x1 , x2 ) можно рассматривать как новую функцию
Римана для задачи Гурса. Можно показать, что если коэффициенты ai,j (x1 , x2 ) обладают
¯ то f3,1 (α1 , α2 ; x1 , x2 ) на самом
непрерывными производными D1i D2j ai,j (x1 , x2 ) в области G,
деле есть функция Римана задачи Гурса в классическом смысле.
Теорема 5.1. Задача (2.1), (2.2) имеет единственное θ-фундаментальное решение
(3,1)
f (x1 , x2 ). При этом решение u ∈ Wp (G) задачи (2.1), (2.2) может быть представлено
посредством θ-фундаментального решения в виде
u(x1 , x2 ) = ϕ0,0 f0,0 (x1 , x2 ) + ϕ1,0 f1,0 (x1 , x2 ) + ϕ2,0 f2,0 (x1 , x2 )
+
+
0
Zh2
Zh2
Zh2
Zh1
ϕ3,0 (α1 )f3,0 (α1 ; x1 , x2 ) dα1 +
ϕ0,1 (α2 )f0,1 (α2 ; x1 , x2 ) dα2
0
ϕ1,1 (α2 )f1,1 (α2 ; x1 , x2 ) dα2 +
(5.2)
ϕ2,1 (α2 )f2,1 (α2 ; x1 , x2 ) dα2
0
0
+
ZZ
ϕ3,1 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ; x1 , x2 ) dG.
G
⊳ Существование единственного θ-фундаментального решения следует из следствия 4.1. Для доказательства справедливости представления (5.2) будем сравнивать
30
Мамедов И. Г.
(3,1)
правые части тождеств (4.1) и (4.3) на решениях u ∈ Wp
(2.2) и системы (5.1). Тогда получим:
(3,1)
(G) и f ∈ Eq
задачи (2.1),
ϕ0,0 f0,0 (x1 , x2 ) + ϕ1,0 f1,0 (x1 , x2 ) + ϕ2,0 f2,0 (x1 , x2 )
+
+
ϕ0,1 (α2 )f0,1 (α2 ; x1 , x2 ) dα2
0
Zh2
Zh2
Zh2
ϕ2,1 (α2 )f2,1 (α2 ; x1 , x2 ) dα2
Zh1
ϕ3,0 (α1 )f3,0 (α1 ; x1 , x2 ) dα1 +
0
ϕ1,1 (α2 )f1,1 (α2 ; x1 , x2 ) dα2 +
0
0
+
ZZ
ϕ3,1 (α1 , α2 )f3,1 (α1 , α2 ; x1 , x2 ) dα1 dα2 = u(0, 0) + x1 D1 u(0, 0) +
x21 2
D u(0, 0)
2 1
G
+
Zh1
(x1 − α1 )2
θ(x1 − α1 )D13 u(α1 , 0) dα1 +
2
+
θ(x2 − α2 )D2 u(0, α2 ) dα2
0
0
Zh2
Zh2
(5.3)
x1 θ(x2 − α2 )D1 D2 u(0, α2 ) dα2 +
Zh2
x21
θ(x2 − α2 )D12 D2 u(0, α2 ) dα2
2
0
0
+
Zh1 Zh2
0
(x1 − α1 )2
θ(x1 − α1 )D13 D2 u(α1 , α2 ) dα1 dα2 .
2
0
(3,1)
Интегральное представление (3.2) функций u ∈ Wp (G) показывает, что правая
часть формулы (5.3) совпадает со значением u(x1 , x2 ) решения u(α1 , α2 ) в точке (x1 , x2 ).
Этим справедливость представления (5.2) доказана. ⊲
Пример. Пусть ai,0 (x1 , x2 ) = ai,1 (x1 , x2 ) ≡ 0, i = 0, 2; a3,0 (x) ≡ 0. В этом случае
из (5.1) θ-фундаментальное решение задачи (2.1), (2.2) находится в виде
f0,0 (x1 , x2 ) = 1;
f1,0 (x1 , x2 ) = x1 ;
f3,0 (α1 ; x1 , x2 ) =
(x1 − α1 )2
θ(x1 − α1 ),
2
f0,1 (α2 ; x1 , x2 ) = θ(x2 − α2 ),
f2,0 (x1 , x2 ) =
α1 ∈ (0, h1 );
α2 ∈ (0, h2 );
f1,1 (α2 ; x1 , x2 ) = x1 θ(x2 − α2 ),
α2 ∈ (0, h2 );
x21
θ(x2 − α2 ),
2
α2 ∈ (0, h2 );
f2,1 (α2 ; x1 , x2 ) =
f3,1 (α1 , α2 ; x1 , x2 ) =
x21
;
2
(x1 − α1 )2
θ(x1 − α1 ) θ(x2 − α2 ),
2
(α1 , α2 ) ∈ G.
31
Фундаментальное решение начально-краевой задачи
По формуле (5.2) в этом случае решение задачи (2.1), (2.2) можно найти в явном виде
x2
u(x1 , x2 ) = ϕ0,0 + ϕ1,0 x1 + ϕ2,0 1 +
2
Zh1
ϕ3,0 (α1 )
(x1 − α1 )2
θ(x1 − α1 ) dα1
2
0
+
Zh2
ϕ0,1 (α2 ) θ(x2 − α2 ) dα2 +
+
0
ϕ2,1 (α2 )
x21
θ(x2 − α2 ) dα2 +
2
ϕ1,1 (α2 )x1 θ(x2 − α2 ) dα2
0
0
Zh2
Zh2
ZZ
ϕ3,1 (α1 , α2 )
(x1 − α1 )2
θ(x1 − α1 ) θ(x2 − α2 ) dα1 dα2 .
2
G
При конструировании приведенной выше схемы построения θ-фундаментальных решений краевых задач важную роль сыграл тот факт, что уравнение и краевые условия
рассматривались нами в связанном виде, как различные компоненты одного операторного уравнения. Такой подход к краевым задачам открывает прямой путь к современным методам функционального анализа и является особенно удобным применительно
к вопросам, связанным с рассмотрением сопряженных задач. В рамках такого подхода
вопросы представления решения, а также разрешимости самой задачи и ее сопряженной
системы оказываются тесно связанными, что позволяет получить более окончательные
результаты в этом направлении. Более того, именно такой подход позволяет выявить так(3,1)
же некоторые пути постановки корректных краевых задач в пространствах W p (G).
Литература
1. Юрчук Н. И., Барановская С. Н., Яшкин В. И. О классических и ослабленных классических решениях гиперболических уравнений // Тез. докл. междунар. конф., посвященной 75-летию чл.-корр.
РАН проф. Л. Д. Кудрявцева.—Москва, 1998.—С. 71.
2. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Diff. equat.—1972.—Vol. 12, № 3.—
P. 559–565.
3. Шхануков М. Х., Солдатов А. П. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР.—1987.—Т. 297,
№ 3.—C. 547–552.
4. Жегалов В. И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа.—Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1990.—C. 94–98.
5. Лернер М. Е. О качественных свойствах функции Римана // Дифференц. уравнения.—1991.—T. 27,
№ 12.—C. 2106–2119.
6. Троицкая С. Д. О первой краевой задаче для гиперболического уравнения на плоскости // Мат.
заметки.—1999.—T. 65, № 2.—C. 294–306.
7. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка //
Изв. вузов.—1999.—T. 10.—C. 73–76.
8. Midodashvili B. Generalized Goursat problem for a spatial fourth order hyperbolic equation with
dominated low terms // Proc. of A. Razmadze Math. Institute.—2005.—Vol. 138.—P. 43–54.
9. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих
при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения.—1982.—
Т. 18, № 4.—C. 689–699.
10. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения.—1982.—Т. 18, № 2.—C. 280–285.
11. Vincenzo R. Di., Villani A. Sopra in problema ai limiti per un’equatione lineare del terzo ordine di
tipo iperbolico // Esistenza, unicita e rappresentazione della solutione. Mathematice.—1977.—Vol. 32,
№ 2.—P. 211–238.
12. Мамедов И. Г. О новой постановке задачи Гурса для одного нагруженного вольтерро-гиперболического интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка // Тез. докл. межд. конференц. по математике и механике, посвященной 50-летию со дня рождения чл.-корр. НАНА,
профессора И. Т. Мамедова.—Баку, 2005.—C. 123.
32
Мамедов И. Г.
13. Mamedov I. G. Generalization of multipoint boundary-value problems of Bitsadze — Samarski and
Samarski — Ionkin type for fourth order loaded hyperbolic integro-differential equation and their
operator generalization // Proceedings of IMM of NAS of Azerbaijan.—2005.—Vol. 23.—P. 77–84.
14. Аманов Т. И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной.—Алма-Ата: Наука, 1976.—171 c.
15. Никольский C. M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.—M.: Наука,
1969.—455 c.
16. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Классификация дифференцируемых функций на основе пространств с доминирующей производной // Труды МИ АН СССР.—1965.—T. 77.—C. 143–167.
17. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы
вложения.—M.: Наука, 1975.—480 c.
18. Джабраилов А. Дж. О некоторых функциональных пространствах. Прямые и обратные теоремы
вложения // Докл. АН СССР.—1964.—T. 159.—C. 254–257.
19. Ахиев С. С. Об общем виде линейных ограниченных функционалов в одном функциональном
пространстве типа С. Л. Соболева // Докл. АН. Азерб. ССР.—1976.—T. 35, № 6.—C. 3–7.
20. Наджафов А. М. Об интегральных представлениях функций из пространств с доминирующей
смешанной производной // Вестник БГУ. Cер. физ.-мат. наук.—2005.—T. 3.—C. 31–39.
21. Мамедов И. Г. Об одном разложении для непрерывной функции многих переменных // Вестник
БГУ. Cер. физ.-мат. наук.—1999.—T. 3.—C. 144–152.
22. Мамедов И. Г. Задача Гурса нового типа для нагруженных вольтерро-гиперболических интегродифференциальных векторных уравнений четвертого порядка с негладкими матричными коэффициентами // Изв. НАН Азербайджана. Cер. ФТМН.—2006.—T. 26, № 2.—C. 74–79.
Статья поступила 23 декабря 2008 г.
Ильгар Гурбат оглы Мамедов
Институт Кибернетики НАН Азербайджана,
вед. науч. сотр.
АЗЕРБАЙДЖАН, AZ 1141, Баку, ул. Ф. Агаева, 9
E-mail: [email protected]
FUNDAMENTAL SOLUTION OF INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM
FOR FOURTH-ORDER PSEUDOPARABOLIC EQUATIONS
WITH NONSMOOTH COEFFICIENTS
Mamedov I. G.
In this paper the fundamental solution of initial-boundary value problem for pseudoparabolic equations
with dominated derivatives of fourth order with nonsmooth coefficients is constructed.
Key words: Goursat problem, boundary value problem, fundamental solutions.