Sifat Pasangan Adjoin Relatif Terhadap Bentuk Bilinear

Sifat Pasangan Adjoin Relatif Terhadap Bentuk Bilinear1
Karyati
Jurusan Pendidikan Matematika
FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta
Email: yatiuny@yahoo.com

Abstract
Let X and Y be vector spaces over a field K , then be
K . This paper discuss the
constructed a bilinear form B : X Y
properties of adjoin pairs with respect to the bilinear form B .
The result show that : f , g is an Adjoin pairs if and only if
f B B g , g
L Y defined as (t ) g
g t , t Y ;
f , g is
LX
Adjoin pairs if and only if g  B B  f , f
defined as
(t ) f
f  t , t X ; If B : X Y

K is a non degenerate bilinear
form and the dimension of X and Y are finite, then for every f L X
there is
Rg

g

LY

such that

is Adjoin pairs, N g

f ,g

N f . As the corollary , for every g

that f , g is Adjoin pairs, N g

L Y there is f

R f and R g

R f

and

L X such

N f .

Keywords: Bilinear form, non degenerate, adjoin pairs

1. Pendahuluan
Dari Aljabar Linear diperoleh beberapa pengertian dan sifat-sifat sebagai
berikut (Lang :1970): Misalkan X
lapangan

K . Himpunan X Y

dan Y
( x, y ) x

ruang vektor berdimensi hingga atas
X, y Y

membentuk ruang vektor atas

lapangan K terhadap operasi jumlah dan pergandaan biasa.
Pemetaan B : X Y

K disebut bentuk bilinear apabila linear terhadap

setiap variabelnya . Pemetaan ini menentukan dua pemetaan linear, yaitu:
1

Disampaikan pada Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Hotel Inna Garuda
Yogyakarta, 1 Agustus 2006

1

Y*

B* : X

B* : Y

dan

( x, ) B dan ( y ) B*

( x) B*

X*

yang

masing-masing

didefinisikan

oleh

( , y ) B . Dalam tulisan ini fungsi dianggap sebagai

operator kanan.
Selanjutnya yang dimaksud dengan L X
linear dari ruang vektor
Adjoin dengan g
untuk semua x

adalah himpunan transformasi

X ke dirinya sendiri. Transformasi f

LX

dikatakan

L Y relatif terhadap bentuk bilinear B jika ( x) f , y B

x, ( y) g B

X dan y Y . Dalam hal demikian dikatakan juga g

L X relatif terhadap B . Selanjutnya pasangan

dengan f

Adjoin

LY

f , g disebut pasangan

Adjoin.
Dalam penulisan ini akan diselidiki beberapa sifat pasangan adjoin relatif
terhadap bentuk bilinear B .

2. Ruang Dual

Misalkan
X

f :X

X

ruang

vektor

K f transforma si linear

atas

lapangan

K;

himpunan

merupakan ruang vektor atas lapangan K

terhadap operasi jumlah dua fungsional biasa dan pergandaan skalar.

Selanjutnya

ruang vektor X ini disebut ruang dual dari ruang vektor X . Salah satu sifat ruang
dual X adalah mempunyai dimensi yang sama dengan ruang vektor X .

3. Sifat Bentuk Bilinear
Bentuk bilinear B : X Y
B :X
( y) B

Y

dan

B :Y

X

, y B . Kernel dari B : X

K menentukan dua pemetaan linear yaitu

yang

didefinisikan

Y adalah N B

adalah fungsi nol dari Y ke K . Hal yang sama N B

oleh: ( x) B

= x X ( x) B
y Y ( y) B

x, B

dan

, dengan
dan

adalah fungsi nol dari X ke K . Bentuk bilinear B dikatakan non-degenerate jika
N B

N B

0 .

2

Annihilator dari U ( relatif terhadap B ), dengan U suatu ruang bagian dari X ,
^

adalah U

y Y

u, y B 0, u U . Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa U

adalah ruang bagian ruang vektor Y , yaitu: untuk setiap
u, a b B

setiap

u, a B

a, b U , maka

u, b B 0 0 0 untuk setiap u U . Sehingga a

K dan untuk setiap a U , maka u, a B

b U . Untuk

0 0 . Sehingga

u, a B

a U.

Hal yang sama didefinisikan annihilator ruang bagian V , dengan V ruang
bagian dari ruang Y , yaitu : V

x

X

x, v B 0, v V . Secara analog, dapat

^

ditunjukkan bahwa V adalah ruang bagian ruang vektor X . Jika ruang vektor X
dan Y

berdimensi hingga dan bentuk bilinear B : X Y

K merupakan bentuk

bilinear yang non degenerate, maka dimensi X sama dengan dimensi Y ( Karyati:
2002 ).
Dalam bagian berikut akan dibicarakan syarat perlu dan cukup Pasangan
Adjoin yang penulis kembangkan dari tulisan Rajendran dan Nambooripad (2000).

4. Sifat Pasangan Adjoin relatif terhadap Bentuk Bilinear
Lemma dan akibat berikut memberikan syarat perlu dan cukup agar
merupakan pasangan Adjoin:
Lemma 1. Jika f , g
a.

LX

L Y maka kondisi berikut ekuivalen:

f , g adalah pasangan adjoin
f B

b.

B  g , dengan g

LY

yang didefinisikan (t ) g

Bukti:
(

)

Dari yang diketahui dipenuhi : ( B ) g

gB .

3

g t ,

t Y

f ,g

f , g pasangan adjoin

( x) f , y B

x, ( y) g B

( y) B( x) f

(( y) g ) Bx

( definisi padangan adjoin )
(

y Y , B menentukan

dua pemetaan linear )
( y) g  B x

( y ) B( x ) f

g  Bx

B( x) f

( y Y )
(

x X)

( x) f B

g  ( x) B

( definisi B )

( x) f B

( x) B g

( definisi g )

( x) f  B

( x) B  g

( definisi komposisi
fungsi )

f B

(

B g .

)

Dipenuhi f  B

B g ,

dengan g

LY

yang didefinisikan (t ) g

g t ,

t Y , sehingga:
f B

B g

( x) f  B

( x) f B

( x) B  g

( x) B g

(

x X)

( definisi komposisi
fungsi )

( x) f B

B( x) f

g  ( x) B

g  Bx

( definisi g )
(definisi B )

( y ) B( x ) f

( y) g  B x

( y Y )

( y) B( x) f

(( y) g ) Bx

( definisi komposisi
fungsi )

( x) f , y B

x, ( y) g B

f , g pasangan adjoin

■

4

Akibat 2. Lemma di atas berakibat pernyataan berikut juga ekuivalen:
f , g adalah pasangan adjoin

a.
b.

gB

B  f , dengan f

didefinisikan oleh: (t ) f

LX

f t ,

t

X

Bukti:
(

)
f , g pasangan adjoin

( x) f , y B
( x) f B y

( x ) B( y ) g

( x) f  B y
f  By

( definisi padangan adjoin )

x, ( y) g B

( x ) B( y ) g

B( y ) g

f  ( y) B

( y) g B

( y) B

( y) g  B

f

( y) B  f

B  f

( y) g  B

gB

Dengan membalik arah buktyi tersebut dapat dibuktikan jika g  B
f

LX

didefinisikan oleh: (t ) f

f t ,

t

B  f , dengan

X , maka f , g pasangan adjoin .

■
Teorema dan akibat berikut merupakan konsekuensi dari Lemma 1 , Akibat 2 dan
salah satu sifat ruang dual.
Teorema 3. Misalkan X dan Y ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Jika
B: X Y

K non degenerate, maka untuk setiap

sedemikian sehingga g adjoin dengan f dan N g

Bukti:

5

f

LX

terdapat g

R f serta R g

N f .

LY

Bentuk
dim X

B: X Y

non

K

degenerate,

dimY . Sementara itu berlaku juga dim X

Diketahui
dim Y

bilinear

0 ,

N B

sehingga

dim R( B ) ,

dim N ( B )

sehingga

berlaku

dim X , sehingga dim Y

dim X .

injektif.

B

sehingga

Berlaku
dim X .

dim R B

juga

Akibatnya

B

surjektif. Jadi B isomorphisma.
Ambil

f

LX

sebarang

LX .

f

Selanjutnya

dan g  B

LY

B f  B

g

f  t untuk semua t

yang didefinisikan oleh: (t ) f

dual dari ruang X . Jelas bahwa g

dibentuk

1

,

X , suatu ruang

B f  B

1

B

B f .

Menurut Akibat 2 diperoleh g Adjoin dengan f .
Ambil x
Diketahui
sehingga x

N f , sehingga ( x) f

g

Adjoin

R g . Jadi N f

Ambil x

Rg

0 dan ( x) f , y B (0, y) B 0 , untuk semua y Y .

dengan

sehingga:

sehingga

B non degenerate, sehingga ( x) f

x, ( y) g B 0 untuk semua y Y . Diketahui g
x, ( y) g B 0 , untuk semua y Y . Diketahui

0 atau x

N f .

(2)

N f

Ambil y

N g , sehingga ( y) g

Adjoin dengan f ,sehingga ( x) f , y B
R f . Jadi N g

Ambil y

x, ( y) g B 0 ,

(1)

Dari persamaan (1) dan (2) terbukti bahwa R g

y

( x) f , y B

Rg

Adjoin dengan f , sehingga ( x) f , y B

Jadi R g

f ,

R f

N f .

0 dan x, ( y) g B

x,0 B 0 , diketahui g

x, ( y) g B 0 , untuk semua x

(3)

R f

maka ( x) f , y B 0 , untuk semua x

Adjoin dengan f , sehingga ( x) f , y B
B non degenerate, sehingga ( y) g

X , sehingga

X.

Diketahui g

x, ( y) g B 0 untuk semua x

X . Diketahui

0 atau y

6

N g .

Jadi R f

(4)

N g

Dari persamaan (3) dan (4) terbukti bahwa N g

R f .

■
Akibat 4 . Misalkan X dan Y ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Jika
B: X Y

K non degenerate, maka untuk setiap B : X Y

sedemikian sehingga f Adjoin dengan g dan N g

K terdapat f

R f serta R g

LX

N f .

Bukti:
Bukti analog dengan lemma sebelumnya. Pemetaan B juga isomorphisma, sehingga
dapat dibentuk

B g  B

f

1

. Bukti selanjutnya analog.

5. Kesimpulan
Dari uraian di atas diperoleh beberapa sifat pasangan adjoin sebagai berikut:
Jika

f ,g

LX

LY

maka kondisi berikut ekuivalen berlaku:

adjoin jika dan hanya jika f  B
(t ) g

g t ,

f

N g

dengan g

t Y , sebagai akibatnya berlaku juga:

dan hanya jika g  B
t

B g ,

B  f , dengan f

LX

X . Sifat lain diperoleh : Jika B : X Y
LX

terdapat g

R f serta R g

LY

LY

f ,g

f ,g

pasangan

yang didefinisikan
pasangan adjoin jika
f t ,

didefinisikan oleh: (t ) f

K non degenerate, maka untuk setiap

sedemikian sehingga

g adjoin dengan

f

N f . Sebagai akibatnya dipenuhi sifat: Jika B : X Y

non degenerate, maka untuk setiap f
g adjoin dengan f dan N g

L X terdapat g

R f serta R g

7

N f .

dan
K

L Y sedemikian sehingga

Kepustakaan
Karyati, 2002. Semigrup yang dikonstuksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis. Program
Pasca Sarjana, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta
Lang, S. 1970. Linear Algebra. Addison –Wesley Publishing Company, Inc, New
York.
Rajendran, D., Nambooripad, K.S.S., 2000. Bilinear Forms and a Semigrup of Linear
Transformations. Shoutheast Asian Bulletin of Mathematics 24:609-616.

8