Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial Reguler Lengkap dalam Batasan Quasi Ideal Fuzzy

DALAM BATASAN QUASI-IDEAL FUZZY Karyati1_{, Dhoriva Urwatul Wutsqa}2

1,2_{Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta}

E-mail : 1 _{jengkaruny@gmail.com,} 1 _{karyati@uny.ac.id,} 2 _{dhoriva@yahoo.com}

ABSTRAK. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial

S

(

B

)

disebut reguler kiri (kanan) jika untuk setiap ~a∈S(B) terdapat ~x∈S(B)

sehingga berlaku

~

_{a ≤}

~

_x

~

_a

2 (

~

_{a ≤}

~

_a

2

~

_x

) atau berlaku (i) ~a∈¿ (

~

a∈¿ ) dan (ii)

A

⊆

S

(

B

)

A

2 (A

⊆

A

2

S

(

B

)

) untuk setiap

A⊆S(B) . Semigrup bentuk bilinear terurut parsial S(B) disebut reguler lengkap jika dan hanya jika

S

(

B

)

inji bersifat reguler, reguler kiri maupun reguler kanan. Jika S(B) adalah semigrup bentuk bilinear terurut parsial dan A adalah subhimpunan tak kosong dasi

S

(

B

)

, maka himpunan A∪(AS(B)∩ S

(

B

)

A) merupakan quasi-ideal yang dibangun oleh

A

. Jika

(

S

(

B

)

,

∘

,≤

)

semigrup bentuk bilinear terurut parsial dan

q

quasi ideal fuzzy dari S(B) , maka

q

membentuk quasi ideal fuzzy semiprima jika

q

(~

a

)

≥ q

(~

a

2

)

untuk setiap

~

a

∈

S

(

B

)

.

Dalam tulisan ini diselidiki sifat-sifat dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial. Dalam hal ini telah diperoleh beberapa sifat tersebut: (i) Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (S

(

B

)

,∘,≤) merupakan reguler lengkap jika dan hanya jika untuk setiap quasi ideal fuzzy q dari

S

(

B

)

berlaku

_q

(~

a

)=

q

(~

a

2

)

untuk setiap

~

a

∈

S

(

B

)

. (ii) Semigrup bentuk bilinear terurut parsial

₍

S

(

B

)

,

∘

,≤

)

merupakan reguler lengkap jika dan hanya jika untuk setiap quasi-ideal fuzzy

q

dari S(B) adalah semiprima.

Kata Kunci: semigrup bentuk bilinear, urutan parsial, quasi ideal fuzzy,

reguler lengkap, reguler kiri, reguler kanan, semiprima

1. PENDAHULUAN

Istilah subhimpunan fuzzy dari suatu himpunan pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh (1965). Rosenfeld adalah peneliti yang pertama kali memperkenalkan konsep struktur fuzzy. Banyak peneliti lain yang mengembangkan hasil penelitian dari Rosenfeld ini, termasukKuroki yang mendefinisikan tentang subsemigrup fuzzy. Beberapa penelitian terhadap struktur subsemigrup fuzzy telah dilakukan oleh Karyati, dkk. Di antara penelitiannya adalah tentang ideal kiri fuzzy, ideal kanan fuzzy dan ideal fuzzy pada semigrup beserta sifat-sifat yang melekat padanya.

Semigrup bentuk bilinear adalah semigrup yang elemen-elemennya adalah pasangan adjoin relatif terhadap pemetaan

B

. Karyati, dkk telah menyelidiki sifat dari semigrup

bentuk bilinear ini baik terkait dengan relasi biasa sampai dengan relasi fuzzy yang didefinisikan kepadanya.

Semigrup

(

S , .

)

yang di dalamnya dilengkapi urutan parsial (partial order)

' ≤' , sedemikian sehingga ( S ,≤ ) membentuk poset dan untuk setiap

x , y , z∈S dengan x ≤ y berlaku zx ≤ zy dan xz ≤ yz , maka

(

S , .

)

disebut semigrup terurut parsial. Beberapa penelitian terkait dengan semigrup terurut parsial ini telah banyak dikembangkan oleh banyak peneliti. Pendefinisian urutan parsial ini sangat berpengaruh pada definisi-definisi ideal (kiri/kanan), quasi ideal (kiri/kanan), relasi, ideal (kiri/kanan) fuzzy, quasi ideal (kiri/kanan) fuzzy yang selanjutnya akan memunculkan sifat-sifat dan teori-teori yang baru.

Semigrup bentuk bilinear terurut parsial

S

(

B

)

disebut reguler kiri (kanan) jika untuk setiap ~a∈S(B) terdapat ~x∈S(B) sehingga berlaku ~_{a ≤}~_x~_a2 ₍

~

a ≤

~

a

2

~

x

) atau berlaku (i) ~a∈¿ ( a~∈¿ ) dan (ii)

_A

_⊆

_S

(

B

)

A

2 (A

⊆

A

2

_S

(

B

)

) untuk setiap

A

⊆

S

(

B

)

. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial

S(B) disebut reguler lengkap jika dan hanya jika S(B) inji bersifat reguler lengkap, reguler kiri maupun reguler kanan. Jika

S

(

B

)

adalah semigrup bentuk bilinear terurut parsial dan

A

adalah subhimpunan tak kosong dasi S(B) , maka himpunan

A

∪(

AS

(

B

)

∩ S

(

B

)

A

)

merupakan quasi-ideal yang dibangun oleh

A

. Jika (S

(

B

)

,∘,≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dan q quasi ideal fuzzy dari S(B) , maka

q

membentuk quasi ideal fuzzy semiprima jika

q

(~

a

)

≥ q

(~

a

2

)

untuk setiap

~

a

∈

S

(

B

)

.

Dalam penelitian sebelumnya telah diselidiki tentang karakteristik semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy yang membentuk ideal kiri fuzzy maupun pada ideal kanan fuzzy, quasi ideal fuzzy. Berdasarkan hasil tersebut, maka dalam tulisan ini akan diselidiki sifat dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler lengkap dalam batasan quasi-idealnya.

2. TINJAUAN PUSTAKA/RUMUSAN MASALAH

Pada bagian ini akan diberikan beberapa pengertian dan sifat yang mendasari dalam pembahasan makalah ini.

2.1 Semigrup Terurut Parsial (po_semigrup)

Semigrup merupakan struktur aljabar yang melibatkan satu operasi biner dan bersifat asosiatif. Definisi semigrup secara eksplisit diberikan sebagai berikut:

Definisi 2.1. ([9], [10]) Misalkan S suatu himpunan tak kosong. Himpunan S

bersama operasi biner

' . '

disebut semigrup jika: i.

(

∀x , y∈S

)

x . y∈S

ii.

(

∀

x , y , z

∈

S

) (

x . y

)

. z

=

x .

(

y . z

)

Misalkan

S

adalah semigrup dan

a

∈

S

. Elemen

a

disebut elemen regular jika terdapat a '∈S sedemikian sehingga a=aa ' a . Semigrup S

disebut semigrup regular jika setiap elemen

S

merupakan elemen regular. Elemen

a disebut regular lengkap jika terdapat elemen a '∈S sedemikian sehingga

a=aa ' a dan

_{a a}

'

=

a ' a

. Semigrup S disebut semigrup regular lengkap jika setiap elemen S adalah regular lengkap.

Sebelum diberikan definisi tentang semigrup terurut parsial, maka diberikan definisi suatu himpunan terurut parsial sebagai berikut:

Definisi 2.2. ([9], [10])Himpunan tak kosong

P

disebut himpunan terurut parsial

' ≤' jika memenuhi:

i. Refleksif :

(

∀

x

∈

P

)

x ≤ x

ii. Antisimetri :

(

∀x , y∈P

)

x ≤ y dan

y ≤ x

⟹

x

=

y

iii. Transitif :

(

∀

x , y , z

∈

P

)

x ≤ y

dan y ≤ z ⟹y ≤ z

Himpunan terurut parsial biasa disebut juga sebagai poset, yaitu singkatan dari Partial Ordered Set.. Berikut diberikan definisi selengkapnya.

Definisi 2.3 .([12], [13]) Misalkan S suatu himpunan tak kosong. Himpunan S

bersama operasi biner

' . '

dan

' ≤'

disebut semigrup terurut parsial jika:

i.

(S , .) membentuk semigrup

ii.

(S ,≤)

membentuk himpunan terurut parsial (poset)

iii.

(

∀a , b , x∈S

)

a ≤ b⟹xa ≤ xb

dan ax ≤bx

Berdasarkan definisi semigrup terurut parsial tersebut, maka definisi ideal dalam semigrup terurut parsial juga bertambah aksioma. Definisi selengkapnya adalah:

Definisi 2.4. ([12], [13]) Misalkan (S , ., ≤) semigrup terurut parsial, maka subhimpunan tak kosong

I

disebut ideal dari semigrup

S

jika:

i.

(

∀a∈S

) (

∀b∈I

)

a ≤ b⟹a∈I

ii.

IS

⊆

I dan SI

⊆

I

2.2. Semigrup Bentuk Bilinear

Semigrup bentuk bilinear merupakan semigrup yang mempunyai elemen-elemen khusus. Secara lengkap, pembentukan semigrup bentuk bilinear ini dijelaskan sebagai berikut:

Himpunan

L

(

X

)

dan

L

(

Y

)

adalah himpunan semua operator linear X dan

Y

. Jika f ∈L(X) , maka diperoleh subruang vektor

X

:

N

(

f

)=

{

u

∈

X

|

f

(

u

)=

0

}

dan

R

(

f

)=

_{

v

∈

X

|

f

(

x

)=

v ,

untuk suatu

x

∈

X

}

Elemen f∈L(X) dikatakan pasangan adjoin dari g∈L(Y) relatif terhadap bentuk bilinear

B

dan sebaliknya jika

B

(

x , g

(

y

)

)

=

B

(

f

(

x

)

, y

)

untuk semua

x∈X dan y∈Y . Selanjutnya dinotasikan himpunan sebagai berikut:

L

'

(

X

)=

{

f

∈

L

(

X

)

|

N

(

B

¿

)⊆

N

(

f

)

, R

(

f

)

∩ N

(

B

¿

)=

{

0

}

}

L

'

(

Y

)=

{

g

∈

L

(

Y

)

|

N

(

B

¿

)

⊆

N

(

g

)

, R

(

g

)

∩ N

(

B

¿

)

=

{

0

}

}

S

(

B

)

=

{

(

f , g

)

_∈L'

₍

_X

₎

_{× L'}

(Y)op

|

(

f , g

)

pasangan adjoin

}

Karyati, dkk ([4], [5]) mebuktikan bahwa himpunan tersebut membentuk semigrup terhadap operasi biner berikut:

(

f , g

)

(

f

'

, g '

)=(

f f

'

, g' g

)

. Semigrup

S

(

B

)

ini selanjutnya disebut semigrup bentuk bilinear.

Berbagai sifat terkait dengan semigrup bentuk bilinear ini telah diselidiki oleh rajendran dkk ([17]), yang dilanjutkan oleh Karyati dkk ([4], [5], [6], [7], [8]). Penelitian dilanjutkan dalam versi fuzzy pada semigrup bentuk bilinear juga telah banyak dilakukan oleh Karyati, dkk.([6], [7], [8]) Penelitian tersebut meliputi sifat keregularan fuzzy dari

semigrup bentuk bilinear maupun pendefinisian relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear ini.

2.3.

Semigrup

Fuzzy

Merujuk pada tulisan Asaad ([1]), Kandasamy ([3]), Mordeson & Malik ([16]), Shabir ([18]) dan Zimmerman ([19]), maka yang dimaksud subhimpunan fuzzy α

pada himpunan

S

adalah suatu pemetaan dari

S

ke

[

0,1

]

, yaitu

α

:

S →

[

0,1

]

. Berikut diberikan definisi subsemigrup fuzzy.

Definisi 2.5. ([6], [7]) Misalkan

S

adalah semigrup. Pemetaan

α

:

S →

[

0,1

]

disebut subsemigrup fuzzy jika berlaku

α

(

xy

)

≥ min

{

α

(

x

)

, α

(

y

)

}

untuk setiap

x , y

∈

S

.

Definisi 2.6. ([6], [7]) Misal

α

adalah subsemigrup fuzzy pada semigrup

S

, maka:

(i) α disebut ideal kiri fuzzy jika

(

∀

x , y

∈

S

)

α

(

xy

)

≥ α

(

y

)

(ii) α disebut ideal kanan fuzzy jika

(

∀x , y∈S

)

α(xy)≥ α(x)

(iii)

α

disebut ideal fuzzy jika merupakan ideal kiri fuzzy sekaligus ideal kanan fuzzy, yaitu:

(

∀x , y∈S

)

α

(

xy

)

≥ maks{α

(

x

)

, α

(

y

)

}

Apabila

S

merupakan semigrup terurut parsial, maka definisi ideal kiri fuzzy, ideal kanan fuzzy dan ideal (dua sisi) fuzzy dari S didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.7. ([12], [13]) Misalkan

(

S , ., ≤

)

semigrup terurut parsial. Subhimpunan fuzzy α dari S disebut ideal kiri fuzzy jika :

i.

(

∀

x , y

∈

S

)

α

(

xy

)

≥ α

(

y

)

ii.

(

∀x , y∈S

)

x ≤ y⟹α(x)≥ α(y)

Definisi 2.8. ([12], [13]) Misalkan

(

S , ., ≤

)

semigrup terurut parsial. Subhimpunan fuzzy

α

dari

S

disebut ideal kanan fuzzy jika :

i.

(

∀x , y∈S

)

α(xy)≥ α(x)

ii.

(

∀

x , y

∈

S

)

x ≤ y

⟹

α

(

x

)

≥ α

(

y

)

2.4. Fuzzy Quasi-Ideals

Proposisi berikut merupaka salah satu sifat dari semigrup terurut parsial: Proposisi 2.1. Jika

(

S , ., ≤

)

semigrup terurut parsial dan A , B⊆S , maka:

a. A⊆B jika dan hanya jika f_A≼f_B

b.

f

A

∧

f

B

=

f

A ∩ B c. f_A∘f_B=f¿

Lemma 2.1. Misalkan S semigrup terurut parsial. Maka untuk setiap quasi-ideal

S

membentuk subsemigrup dari

S

.

Lemma 2.2. Semigrup terurut parsial

(

S , ., ≤

)

disebut reguler jika dan hanya jika untuk setiap ideal kanan l A dan setiap ideal kiri B dari semigrup S berlaku

Definisi 2. 9. Misalkan

(

S , ., ≤

)

semigrup terurut parsial. Subhimpunan fuzzy α

dari semigrup S disebut quasi-ideal fuzzy dari S jika: a.

(

α

∘

1

)

∧

(

1

∘

α

)

≼

α

b.

(

∀

x , y

∈

S

)

(

x ≤ y

⟹

α

(

x

)

≥ α

(

y

)

)

Definisi 2. 10. Misalkan (S , ., ≤) semigrup terurut parsial.. A fuzzy subset

α

of semigroup

S

disebut quasi-ideal fuzzy dari

S

jika:

a.

(

∀

x , y

∈

S

)

α

(

xy

)

≥min

{

α

(

x

)

, α

(

y

)

}

b.

(

∀

x , y , z

∈

S

)

α

(

xyz

)

≥ min

{

α

(

x

)

, α

(

z

)

}

c.

(

∀

x , y

∈

S

)

(

x ≤ y

⟹

α

(

x

)

≥ α

(

y

)

)

Lemma 2.3. Misalkan (S , ., ≤) semigrup terurut parsial dan

_∅

≠ A

⊆

S

, maka

A

membentuk ideal kiri (kanan) dari

S

jika dan hanya jika fungsi karakteristik

C_A membentuk ideal kiri (kanan) fuzzy dari S .

Lemma 2.4. Misalkan (S , ., ≤) semigrup terurut parsial dan

_∅

≠ A

⊆

S

maka

A

membentuk bi- ideal dari

S

jika dan hanya jika fungsi karakteristik

C

A membentuk bi-ideal fuzzy dari S .

Lemma 2.5. Let (S , ., ≤) be an ordered semigroup and

_∅

≠ A

⊆

S

. Then

A

is a quasi-ideal of

S

if and only if the characteristics function

C

A of

A

is a fuzzy quasi-ideal of S .

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Semigrup terurut parsial S disebut simple kiri (kanan) jika untuk setiap ideal kiri (kanan)

A

, maka

A

=

S

. Semigrup terurut parsial

S

disebut simple kiri (kanan) jika dan hanya jika

(

Sa

]=

S ((aS]=S) untuk setiap

a

∈

S

. Semigrup terurut parsial

S

disebut reguler, simple kiri (kanan) jika hanya jika setiap quasi-ideal fuzzy-nya berupa fungsi konstan. Semigrup terurut parsial S disebut reguler lengkap jika dan hanya jika

A

¿

A

⊆

¿

untuk setiap

A

⊆

S

atau ekuivalen dengan

~

a

∈

~

a

2

S

~

a

2 untuk setiap a~∈S . Jika A⊆S dan A ≠∅ , maka himpunan

¿

adalah quasi-ideal yang dibangun oleh A . Quasi-ideal fuzzy q disebut semiprima fuzzy jika

q

(

a

)

≥ q

(

a

2

)

, untuk setiap

a

∈

S

.

Theorema 3.1. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (S

(

B

)

,∘,≤) merupakan semigrup reguler lengkap jika dan hanya jika untuk setiap quasi-ideal

q

dari

S

(

B

)

berlaku

q

(~

a

)=

q

(~

a

2

)

untuk setiap

~

a

=(

f , g

)∈

S

(

B

)

.

Bukti. Misalkan

S

(

B

)

semigrup bentuk bilinear terurut parsial yang reguler lengkap,

q

suatu quasi-ideal dari semigrup S(B) dan ~a∈S(B) . Diketahui S(B) membentuk reguler lengkap, maka semigrup bentuk bilinear

S

(

B

)

merupakan reguler kiri sekaligus reguler kanan. Hal ini berarti ~a∈¿ dan ~a∈¿ , dan akibatnya terdapat

~

x ,

~

y

∈

S

(

B

)

sedemikian sehingga

~

_{a ≤ x}

~

_a

2 _dan

_~

halnya menyatakan bahwa

(

~

_{x ,}

~

_a

2

₎

_,

(~

a

2

_{, y}

)

∈

A

~_a . Dengan demikian A~_a≠∅ ,

sehingga diperoleh:

q

(~

a

)=

₍

min

(

(

q

∘

1

)

,

(

1

∘

q

)

)

)

(~

a

)

¿min {

(

q∘1

)

(~a),

(

1∘q

)

(~a)}

1

y

1

, z

¿

¿

2

y

₂

, z

_¿

¿

¿

¿

min

_{

q

(

y

₁

)

,

1

(

z

₁

)

}

¿

¿

min

¿

_{≥ min}

{

_min

{

_q

(

~

_a

2

₎

,

1

(~

y

)

}

, min

{

1

(~

x

)

,q

(~

a

2

)

}

¿

min

{

min

{

q

(

~

_a

2

₎

,

1

}

, min

{

1

, q

(~

a

2

)

}

¿

min

{

q

(

~

_a

2

₎

, q

(~

a

2

)

}

=

q

(~

a

2

)

¿

q

(~

a

~

a

)

≥ min

{

q

(~

a

)

, q

(~

a

)

}

=

q

(~

a

)

. Jadi diperoleh

q

(~

a

)=

q

(~

a

2

)

.

Sebaliknya, misalkan ~a∈S

(

B

)

. Quasi-ideal Q

(

~a

)

dari S

(

B

)

, dibangun oleh ~

a2 _{. Dengan demikian himpunan}

_Q

₍

~

_a

2

₎₌

¿

. Berdasarkan sifat fungsi karakteristik, maka

q

Q(~a2₎ merupakan quasi-ideal dari S

(

B

)

. Berdasarkan hipotesis, diperoleh:

q

_Q(~_a2₎

(~

a

)=

q

Q(~_a2₎

(~

a

2

)

Karena

~

_a

2

_∈

Q

(

~

a

2

)=

¿

, maka

q

Q(~_a2₎

(

~

a

2

₎₌

1

dan akhirnya dipunyai

a

∈

Q

(

~

a

2

)=

¿

. Maka ~a ≤~a2 _atau ~_{a ≤}~_a2_{x dan} ~_{a ≤ y}~_a2 _{untuk suatu}

~

_{x ,}

~

_y

_∈

_S

₍

_B

₎

_{. Jika}

~

_{a ≤}

~

_a

2 _maka

~

a ≤

~

a

2

=~

a

~

a ≤

~

a

2

~

a

2

=~

a

~

a

~

a

2

≤

~

a

2

~

a

~

a

2

∈

~

a

2

S

(

B

)~

a

2 . Dengan demikian

~

a

¿

¿

~

a

∈

¿

]. Jika

~

a ≤

~

a

2

~

_x

_dan

~

_{a ≤}

~

_y

~

_a

2 _{, maka}

~_y ~_x¿~_a

¿ ~_xy¿~_a2

~

a ≤

(

~a2~x

)(

~_y~_a2

₎

=~a2¿

. Karena

~

xy

∈

S

(

B

)

,

maka

~

xy

¿

~

a

2

_∈

_~

a

2

S

(

B

)~

a

2

~

a

2

¿

. Jadi

~

a

¿

¿

~

a

∈

¿

]

▄ Teorema 3.2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial

(

S

(

B

)

,

∘

,≤

)

reguler lengkap jika dan hanya jikasetiap quasi-ideal

q

dari S(B) adalah semiprima.

Bukti. Misalkan semigrup bentuk bilinear terurut parsial (S

(

B

)

,∘,≤) reguler lengkap dan

q

suatu quasi-ideal dari S(B) . Selanjutnya ambil sebarang ~a∈S(B) , maka

q

(~

a

2

)

≥ q

(~

a

)

. Dalam kenyataannya, karena

S

(

B

)

merupakan semigrup reguler kiri sekaligus kanan,

~

a

∈

S

(

B

)

, terdapat

~

x ,

~

y

∈

S

(

B

)

sedemikian sehingga ~_{a ≤}~_a2~_{x dan} ~_{a ≤}~_y~_a2 _{, maka}

₍

~

_{x ,}

~

_a

2

₎

_,

(~

a

2

_,

_~

_y

)

∈

A

~_a . Dengan demikian A~_a≠∅ , sehingga diperoleh:

q

(

~a

)

=

₍

min

(

(

q∘1

)

,

(

1∘q

)

)

)

(~a)

¿

min

{(

q

∘

1

)(~

a

)

,

(

1

∘

q

)(~

a

)}

1

y

1

, z

¿

¿

2

y

₂

, z

_¿

¿

¿

¿

min

_{

q

(

y

₁

)

,

1

(

z

₁

)

}

¿

¿

min

¿

≥ min

{

min

{

q

(

~

_a

2

₎

_,

₁

(~

y

)

}

, min

{

1

(~

x

)

,q

(~

a

2

)

}

¿

min

{

min

{

q

(

~

_a

2

₎

,

1

}

, min

{

1

, q

(~

a

2

)

}

¿min

{

q

(

~_a2

₎

, q(~a2)

}

=q(~a2)

¿

q

(~

a

~

a

)

≥ min

{

q

(~

a

)

, q

(~

a

)

}

=

q

(~

a

)

.

Sebaliknya, misalkan q quasi-ideal fuzzy dari

S

(

B

)

sedemikian sehingga

q

(~

a

2

)

≥ q

(~

a

)

untuk setiap ~a∈S(B) . Misalkan Q

(

~a

)

quasi-ideal dari S

(

B

)

yang dibangun oleh

~

_a

2 _{. Dengan demikian himpunan}

_Q

₍

~

_a

2

₎₌

¿

. Akibatnya fungsi karakteristik

q

_Q(~_a2₎

(

~

a

2

₎

membentuk quasi-ideal fuzzy dari S(B) . Berdasarkan yang diketahui, maka dipenuhi:

q

_Q(~_a2

)

(~

a

)=

q

Q(~_a2

)

(~

a

2

)

Karena

~

a

2

_∈

_Q

₍

~

_a

2

₎₌

¿

, maka

q

_Q(~_a2₎

(

~

a

2

₎₌

₁

dan akhirnya dipunyai

a

∈

Q

(

~

a

2

₎₌

¿

. Maka ~_{a ≤}~_a2 _{atau ~}

a ≤~a2x dan ~_{a ≤ y}~_a2 _{untuk suatu}

~

_{x ,}

~

_y

_∈

_S

₍

_B

₎

_{. Jika}

~

_{a ≤}

~

_a

2 _maka

~

a ≤

~

a

2

=~

a

~

a ≤

~

a

2

~

_a

2

=~

a

~

a

~

a

2

_≤

~

_a

2

~

_a

~

_a

2

_∈

~

_a

2

_S

(

B

)~

a

2 _{. Dengan demikian}

~

a

¿

¿

~

a

∈

¿

~

a ≤~a2~_{x dan} ~_{a ≤}~_y~_a2 _{, maka}

~

_y

~

_x

_¿

~

_a

¿

~

_xy

_¿

~

_a

2

~

a ≤

(

~

a

2

_~

_x

₎₍

_~

_y

~

_a

2

_)=~

_a

2

¿

. Karena ~xy∈S(B) ,

maka ~xy¿~a

2_∈~_a2_S

(B)~a2

~

a2¿ . Jadi

~

a

¿

¿

~

a

∈

¿

]

▄

4. KESIMPULAN

Berdasarkan uraian pada bagian hasil tersebut, maka dapat disimpulakan bahwa Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (S

(

B

)

,∘,≤) merupakan semigrup reguler lengkap jika dan hanya jika untuk setiap quasi-ideal q dari

S

(

B

)

berlaku

q

(~

a

)=

q

(~

a

2

)

untuk setiap

~

a

=(

f , g

)

∈

S

(

B

)

. Hal lain yang terjadi adalah semigrup bentuk bilinear terurut parsial (S

(

B

)

,∘,≤) reguler lengkap jika dan hanya jikasetiap quasi-ideal q dari

S

(

B

)

adalah semiprima.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Asaad,M. Group and Fuzzy Subgroup. Fuzzy Sets and systems 39 , pp: 323 - 328. 1999.

[2] Howie, J.M, An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press. London

[3] Kandasamy, W.B.V. (2003). Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press and W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA. 1976

[4] Karyati. Semigrup yang Dikonstruksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis: Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mad. Yogyakarta.2002.

[5] Karyati, Wahyuni, S. The Properties of Non-degenerate Bilinear Form. Proceeding of SEAMS-GMU: International Conference on Mathematics and Its Applications. 2003.

[6] Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup yang Dibangun oleh Subhimpunan Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Negeri Jember. 2009.

[7] Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. Subsemigrup S(B) Fuzzy. Prosiding Seminar Nasional PIPM, Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, UNY. 2009. [8] Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. The Fuzzy Regularity of Bilinear Form

Semigroups, Proceedings of ”The 6th SEAMS-UGM Conference 2011”. 2012. [9] Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial dalam Batasan Subhimpunan Fuzzy,

“Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Statistika FMIPA UNS”. 2013

[10] Karyati, Dhoriva UW, Partial Ordered Bilinear Form Semigroups in Term of Their Fuzzy Right and Fuzzy Left Ideals , Proceedings of “The South East Asean Conference of Mathemathics and Statistics”.2013.

[11] Karyati, Dhoriva UW, The Properties of Ordered Bilinear Form Semigroup in Term of Fuzzy Quasi-Ideals, The Proceeding of ‘International Conferences on Research, Implementation and Education on Mathematics and Sciences”. 2014.

[12] Kehayopulu, N. Ideals and Green Relations in Ordered Semigroups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 26, pp: 1-8. 2005. [13] Kehayopulu, N. Left Regular Ordered Semigroups in which the Fuzzy Left Ideals

are Two-Sided, International Journal of Algebra, Vol 6, no.10, pp:493-499. 2012. [14] Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B. Fuzzy Set Theory: Foundation and Applications.

Prentice-Hall, Inc. USA. 1997.

[15] Mohanraj, G, Krishnaswamy, D dan Hema, R, On Generalized Redefined Fuzzy Prime Ideals of Ordered Semigroups}, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, Volume X, No 10, pp: 1- 9. 2011.

[16] Mordeson, J.N, Malik, D.S, Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore. 1998.

[17] Rajendran, D, Nambooripad, K.S.S, Bilinear Form and a Semigroup of Linear Transformations. Southeast Asian Bulletin of Mathematics 24, p: 609-616. 2000. [18] Shabir, M, Khan, A, Characterizations of Ordered Semigroups by the Properties of

Their Fuzzy Ideals, Computers and Mathematics with Applications, Volume 59, pp: 539 – 549. 2010.

[19] Zimmermann, H.J, Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic Publishers. USA. 1991.

semigrup bentuk bilinear maupun pendefinisian relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear ini.

2.3.

Semigrup

Fuzzy

Merujuk pada tulisan Asaad ([1]), Kandasamy ([3]), Mordeson & Malik ([16]),

Shabir ([18]) dan Zimmerman ([19]), maka yang dimaksud subhimpunan fuzzy α

pada himpunan

S

adalah suatu pemetaan dari

S

ke

[

0,1

]

, yaitu

α

:

S →

[

0,1

]

. Berikut diberikan definisi subsemigrup fuzzy.

Definisi 2.5. ([6], [7]) Misalkan

S

adalah semigrup. Pemetaan

α

:

S →

[

0,1

]

disebut subsemigrup fuzzy jika berlaku

α

(

xy

)

≥ min

{

α

(

x

)

, α

(

y

)

}

untuk setiap

x , y

∈

S

.

Definisi 2.6. ([6], [7]) Misal

α

adalah subsemigrup fuzzy pada semigrup

S

, maka:

(i) α disebut ideal kiri fuzzy jika

(

∀

x , y

∈

S

)

α

(

xy

)

≥ α

(

y

)

(ii) α disebut ideal kanan fuzzy jika

(

∀x , y∈S

)

α(xy)≥ α(x)

(iii)

α

disebut ideal fuzzy jika merupakan ideal kiri fuzzy sekaligus ideal kanan fuzzy, yaitu:

(

∀x , y∈S

)

α

(

xy

)

≥ maks{α

(

x

)

, α

(

y

)}

Apabila

S

merupakan semigrup terurut parsial, maka definisi ideal kiri fuzzy, ideal kanan fuzzy dan ideal (dua sisi) fuzzy dari S didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.7. ([12], [13]) Misalkan

(

S , ., ≤

)

semigrup terurut parsial. Subhimpunan fuzzy α dari S disebut ideal kiri fuzzy jika :

i.

(

∀

x , y

∈

S

)

α

(

xy

)

≥ α

(

y

)

ii.

(

∀x , y∈S

)

x ≤ y⟹α(x)≥ α(y)

Definisi 2.8. ([12], [13]) Misalkan

(

S , ., ≤

)

semigrup terurut parsial. Subhimpunan fuzzy

α

dari

S

disebut ideal kanan fuzzy jika :

i.

(

∀x , y∈S

)

α(xy)≥ α(x)

ii.

(

∀

x , y

∈

S

)

x ≤ y

⟹

α

(

x

)

≥ α

(

y

)

2.4. Fuzzy Quasi-Ideals

Proposisi berikut merupaka salah satu sifat dari semigrup terurut parsial: Proposisi 2.1. Jika

(

S , ., ≤

)

semigrup terurut parsial dan A , B⊆S , maka:

a. A⊆B jika dan hanya jika f_A≼f_B

b.

f

A

∧

f

B

=

f

A ∩ B

c. f_A∘f_B=f¿

Lemma 2.1. Misalkan S semigrup terurut parsial. Maka untuk setiap quasi-ideal

S

membentuk subsemigrup dari

S

.

Lemma 2.2. Semigrup terurut parsial

(

S , ., ≤

)

disebut reguler jika dan hanya jika

untuk setiap ideal kanan l A dan setiap ideal kiri B dari semigrup S berlaku

Definisi 2. 9. Misalkan

(

S , ., ≤

)

semigrup terurut parsial. Subhimpunan fuzzy α

dari semigrup S disebut quasi-ideal fuzzy dari S jika:

a.

(

α

∘

1

)

∧

(

1

∘

α

)

≼

α

b.

(

∀

x , y

∈

S

)

(

x ≤ y

⟹

α

(

x

)

≥ α

(

y

)

)

Definisi 2. 10. Misalkan (S , ., ≤) semigrup terurut parsial.. A fuzzy subset

α

of

semigroup

S

disebut quasi-ideal fuzzy dari

S

jika:

a.

(

∀

x , y

∈

S

)

α

(

xy

)

≥min

{

α

(

x

)

, α

(

y

)

}

b.

(

∀

x , y , z

∈

S

)

α

(

xyz

)

≥ min

{

α

(

x

)

, α

(

z

)

}

c.

(

∀

x , y

∈

S

)

(

x ≤ y

⟹

α

(

x

)

≥ α

(

y

)

)

Lemma 2.3. Misalkan (S , ., ≤) semigrup terurut parsial dan

_∅

≠ A

⊆

S

, maka

A

membentuk ideal kiri (kanan) dari

S

jika dan hanya jika fungsi karakteristik

C_A membentuk ideal kiri (kanan) fuzzy dari S .

Lemma 2.4. Misalkan (S , ., ≤) semigrup terurut parsial dan

_∅

≠ A

⊆

S

maka

A

membentuk bi- ideal dari

S

jika dan hanya jika fungsi karakteristik

C

A

membentuk bi-ideal fuzzy dari S .

Lemma 2.5. Let (S , ., ≤) be an ordered semigroup and

_∅

≠ A

⊆

S

. Then

A

is

a quasi-ideal of

S

if and only if the characteristics function

C

A of

A

is a fuzzy

quasi-ideal of S .

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Semigrup terurut parsial S disebut simple kiri (kanan) jika untuk setiap ideal kiri

(kanan)

A

, maka

A

=

S

. Semigrup terurut parsial

S

disebut simple kiri

(kanan) jika dan hanya jika

(

Sa

]

=S ((aS]=S) untuk setiap

a

∈

S

. Semigrup terurut parsial

S

disebut reguler, simple kiri (kanan) jika hanya jika setiap quasi-ideal

fuzzy-nya berupa fungsi konstan. Semigrup terurut parsial S disebut reguler lengkap

jika dan hanya jika

A

¿

A

⊆

¿

untuk setiap

A

⊆

S

atau ekuivalen dengan

~

a

∈

~

a

2

S

~

a

2 untuk setiap a~∈S . Jika A⊆S dan A ≠∅ , maka himpunan

¿

adalah quasi-ideal yang dibangun oleh A . Quasi-ideal fuzzy q disebut semiprima fuzzy jika

q

(

a

)

≥ q

(

a

2

)

, untuk setiap

a

∈

S

.

Theorema 3.1. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (S

(

B

)

,∘,≤) merupakan semigrup reguler lengkap jika dan hanya jika untuk setiap quasi-ideal

q

dari

S

(

B

)

berlaku

q

(~

a

)=

q

(~

a

2

)

untuk setiap

~

a

=(

f , g

)∈

S

(

B

)

.

Bukti. Misalkan

S

(

B

)

semigrup bentuk bilinear terurut parsial yang reguler lengkap,

q

suatu quasi-ideal dari semigrup S(B) dan ~a∈S(B) . Diketahui S(B)

membentuk reguler lengkap, maka semigrup bentuk bilinear

S

(

B

)

merupakan reguler

kiri sekaligus reguler kanan. Hal ini berarti ~a∈¿ dan ~a∈¿ , dan akibatnya terdapat

~

x ,

~

y

∈

S

(

B

)

sedemikian sehingga

~

_{a ≤ x}

~

_a

2 _dan

_~

halnya menyatakan bahwa

(

~

_{x ,}

~

_a

2

₎

_,

(~

a

2

_{, y}

)

∈

A

~_a . Dengan demikian A~_a≠∅ ,

sehingga diperoleh:

q

(~

a

)=

₍

min

(

(

q

∘

1

)

,

(

1

∘

q

)

)

)

(~

a

)

¿min {(q∘1

)(~

a),

(

1∘q

)(~

a)}

1

y

1

, z

¿

¿

2

y

₂

, z

_¿

¿

¿

¿

min

_{

q

(

y

₁

)

,

1

(

z

₁

)

}

¿

¿

min

¿

_{≥ min}

{

_min

{

_q

(

~

_a

2

₎

,

1

(~

y

)

}

, min

{

1

(~

x

)

,q

(~

a

2

)

}

¿

min

{

min

{

q

(

~

_a

2

₎

,

1

}

, min

{

1

, q

(~

a

2

)

}

¿

min

{

q

(

~

_a

2

₎

, q

(~

a

2

)}=

q

(~

a

2

)

¿

q

(~

a

~

a

)

≥ min

{

q

(~

a

)

, q

(~

a

)

}

=

q

(~

a

)

. Jadi diperoleh

q

(~

a

)=

q

(~

a

2

)

.

Sebaliknya, misalkan ~a∈S

(

B

)

. Quasi-ideal Q

(

~a

)

dari S

(

B

)

, dibangun oleh

~

a2 _{. Dengan demikian himpunan}

_Q

₍

~

_a

2

₎

=

¿

. Berdasarkan sifat fungsi karakteristik,

maka

q

Q(~a2₎ merupakan quasi-ideal dari S

(

B

)

. Berdasarkan hipotesis, diperoleh:

q

_Q(~_a2₎

(~

a

)=

q

Q(~_a2₎

(~

a

2

)

Karena

~

_a

2

_∈

Q

(

~

a

2

)

=

¿

, maka

q

Q(~_a2₎

(

~

a

2

₎

=

1

dan akhirnya dipunyai

a

∈

Q

(

~

a

2

)

=

¿

. Maka ~a ≤~a2 _atau ~_{a ≤}~_a2_{x dan} ~_{a ≤ y}~_a2 _{untuk suatu}

~

_{x ,}

~

_y

_∈

_S

₍

_B

₎

_{. Jika}

~

_{a ≤}

~

_a

2 _maka

~

a ≤

~

a

2

=~

a

~

a ≤

~

a

2

~

a

2

=~

a

~

a

~

a

2

≤

~

a

2

~

a

~

a

2

∈

~

a

2

S

(

B

)~

a

2 . Dengan demikian

~

a

¿

¿

~

a

∈

¿

]. Jika

~

a ≤

~

a

2

~

_x

_dan

~

_{a ≤}

~

_y

~

_a

2 _{, maka}

~_y ~_x¿~_a

¿

~_xy¿~_a2 ~

a ≤

(

~a2~x

)(

~_y~_a2

₎

=~a2¿

. Karena

~

xy

∈

S

(

B

)

,

maka

~

xy

¿

~

a

2

_∈

_~

a

2

S

(

B

)~

a

2

~

a

2

¿

. Jadi

~

a

¿

¿

~

a

∈

¿

]

▄ Teorema 3.2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial

(

S

(

B

)

,

∘

,≤

)

reguler lengkap jika dan hanya jikasetiap quasi-ideal

q

dari S(B) adalah semiprima.

Bukti. Misalkan semigrup bentuk bilinear terurut parsial (S

(

B

)

,∘,≤) reguler lengkap dan

q

suatu quasi-ideal dari S(B) . Selanjutnya ambil sebarang ~a∈S(B) , maka

q

(~

a

2

)

≥ q

(~

a

)

. Dalam kenyataannya, karena

S

(

B

)

merupakan semigrup reguler kiri sekaligus kanan,

~

a

∈

S

(

B

)

, terdapat

~

x ,

~

y

∈

S

(

B

)

sedemikian sehingga ~_{a ≤}~_a2~_{x dan} ~_{a ≤}~_y~_a2 _{, maka}

₍

~

_{x ,}

~

_a

2

₎

_,

(~

a

2

_,

_~

_y

)

∈

A

~_a . Dengan demikian

A~_a≠∅ , sehingga diperoleh: q

(

~a

)=

₍

min

(

(

q∘1

)

,

(

1∘q

)

)

)

(~a)

¿

min

{(

q

∘

1

)(~

a

)

,

(

1

∘

q

)(~

a

)}

1

y1

, z

¿

¿

2

y

₂

, z

_¿

¿

¿

¿

min

_{

q

(

y

₁

)

,

1

(

z

₁

)

}

¿

¿

min

¿

≥ min

{

min

{

q

(

~

_a

2

₎

_,

₁

(~

y

)

}

, min

{

1

(~

x

)

,q

(~

a

2

)

}

¿

min

{

min

{

q

(

~

_a

2

₎

,

1

}

, min

{

1

, q

(~

a

2

)

}

¿min

{

q

(

~_a2

₎

, q(~a2)

}

=q(~a2)

¿

q

(~

a

~

a

)

≥ min

{

q

(~

a

)

, q

(~

a

)

}

=

q

(~

a

)

.

Sebaliknya, misalkan q quasi-ideal fuzzy dari

S

(

B

)

sedemikian sehingga

q

(~

a

2

)

≥ q

(~

a

)

untuk setiap ~a∈S(B) . Misalkan Q

(

~a

)

quasi-ideal dari S

(

B

)

yang dibangun oleh

~

_a

2 _{. Dengan demikian himpunan}

_Q

₍

~

_a

2

₎

=

¿

. Akibatnya fungsi

karakteristik

q

_Q(~_a2₎

(

~

a

2

₎

membentuk quasi-ideal fuzzy dari S(B) . Berdasarkan yang

diketahui, maka dipenuhi:

q

_Q(~_a2

)

(~

a

)=

q

Q(~_a2 )

(~

a

2

)

Karena

~

a

2

_∈

_Q

₍

~

_a

2

₎

=

¿

, maka

q

_Q(~_a2₎

(

~

a

2

₎

=

1

dan akhirnya dipunyai

a

∈

Q

(

~

a

2

₎

=

¿

. Maka ~_{a ≤}~_a2 _{atau ~}

a ≤~a2x dan ~_{a ≤ y}~_a2 _{untuk suatu}

~

_{x ,}

~

_y

_∈

_S

₍

_B

₎

_{. Jika}

~

_{a ≤}

~

_a

2 _maka

~

a ≤

~

a

2

=~

a

~

a ≤

~

a

2

~

_a

2

=~

a

~

a

~

a

2

_≤

~

_a

2

~

_a

~

_a

2

_∈

~

_a

2

_S

(

B

)~

a

2 _{. Dengan demikian}

~

a

¿

¿

~

a

∈

¿

~

a ≤~a2~_{x dan} ~_{a ≤}~_y~_a2 _{, maka}

~

_y

~

_x

_¿

~

_a

¿

~

_xy

_¿

~

_a

2

~

a ≤

(

~

a

2

_~

_x

₎₍

_~

_y

~

_a

2

₎

=~

a

2

¿

. Karena ~xy∈S(B) ,

maka ~xy¿~a

2_∈~_a2_S (B)~a2 ~

a2¿ . Jadi

~

a

¿

¿

~

a

∈

¿

]

▄

4. KESIMPULAN

Berdasarkan uraian pada bagian hasil tersebut, maka dapat disimpulakan bahwa

Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (S

(

B

)

,∘,≤) merupakan semigrup reguler

lengkap jika dan hanya jika untuk setiap quasi-ideal q dari

S

(

B

)

berlaku

q

(~

a

)=

q

(~

a

2

)

untuk setiap

~

a

=(

f , g

)

∈

S

(

B

)

. Hal lain yang terjadi adalah semigrup bentuk bilinear terurut parsial (S

(

B

)

,∘,≤) reguler lengkap jika dan hanya

jikasetiap quasi-ideal q dari

S

(

B

)

adalah semiprima.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Asaad,M. Group and Fuzzy Subgroup. Fuzzy Sets and systems 39 , pp: 323 - 328. 1999.

[2] Howie, J.M, An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press. London

[3] Kandasamy, W.B.V. (2003). Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press

and W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA. 1976

[4] Karyati. Semigrup yang Dikonstruksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis: Program

Pascasarjana Universitas Gadjah Mad. Yogyakarta.2002.

[5] Karyati, Wahyuni, S. The Properties of Non-degenerate Bilinear Form. Proceeding

of SEAMS-GMU: International Conference on Mathematics and Its Applications.

2003.

[6] Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup yang Dibangun oleh Subhimpunan Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Negeri Jember. 2009.

[7] Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. Subsemigrup S(B) Fuzzy. Prosiding Seminar Nasional PIPM, Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, UNY. 2009.

[8] Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. The Fuzzy Regularity of Bilinear Form

Semigroups, Proceedings of ”The 6th SEAMS-UGM Conference 2011”. 2012.

[9] Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial dalam Batasan Subhimpunan Fuzzy, “Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Statistika FMIPA UNS”. 2013

[10] Karyati, Dhoriva UW, Partial Ordered Bilinear Form Semigroups in Term of Their Fuzzy Right and Fuzzy Left Ideals , Proceedings of “The South East Asean Conference of Mathemathics and Statistics”.2013.

[11] Karyati, Dhoriva UW, The Properties of Ordered Bilinear Form Semigroup in Term

of Fuzzy Quasi-Ideals, The Proceeding of ‘International Conferences on Research,

Implementation and Education on Mathematics and Sciences”. 2014.

[12] Kehayopulu, N. Ideals and Green Relations in Ordered Semigroups, International

Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 26, pp: 1-8. 2005.

[13] Kehayopulu, N. Left Regular Ordered Semigroups in which the Fuzzy Left Ideals

are Two-Sided, International Journal of Algebra, Vol 6, no.10, pp:493-499. 2012. [14] Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B. Fuzzy Set Theory: Foundation and Applications.

Prentice-Hall, Inc. USA. 1997.

[15] Mohanraj, G, Krishnaswamy, D dan Hema, R, On Generalized Redefined Fuzzy

Prime Ideals of Ordered Semigroups}, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, Volume X, No 10, pp: 1- 9. 2011.

[16] Mordeson, J.N, Malik, D.S, Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore. 1998.

[17] Rajendran, D, Nambooripad, K.S.S, Bilinear Form and a Semigroup of Linear

Transformations. Southeast Asian Bulletin of Mathematics 24, p: 609-616. 2000.

[18] Shabir, M, Khan, A, Characterizations of Ordered Semigroups by the Properties of

Their Fuzzy Ideals, Computers and Mathematics with Applications, Volume 59, pp:

539 – 549. 2010.

[19] Zimmermann, H.J, Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic Publishers. USA. 1991.