Invers Matriks dengan Adjoin
INVERS MATRIKS DENGAN ADJOIN
Matriks kofaktor dari A ialah matriks yang berbentuk
K(A) =
Transpose matriks kofaktor disebut matriks Adjoin ,ditulis adj (A)
Adj(A) =
Invers matriks A dapat dihitung dengan matriks adjoin dengan rumus
=
adj (A)
Contoh :
A=
K11 = 12
k23 = 16
K12 = 6
k31 = 12
K13 = -16
k32 = -10
K21 = 4
k33 = 16
K22 = 2
Sehingga k(A) =
Adj (A)=
|A| =
–3
= -1
= 16+48+0
= 64
+0
Invers Matriks
=
adj (A)
=
=
=
Contoh Soal
-
Carilah invers matriks A dengan Menggunakan metode matriks Adjoin
1. A =
-
Carilah invers matriks A dengan Menggunakan metode matriks Adjoin dan OBE
kemudian bandingkan ke-2 operasi tersebut lebih mudah yang mana ?
2. A =
Jawaban :
1. A =
K11 = 3
K12 = -3
K13 = 2
K21 = 8
K22 = -6
k23 = 3
k31 = -5
k32 = 4
k33 = -2
K(A) =
Determinan ekspansi kolom ke-3
adj(A) =
|A| =
–3
=2
+6
= 2(2) – 3(-3) + 6(-2)
= 4 + 9 – 12
=1
Invers Matriks
=
adj (A)
=
=
2. Invers matriks Menggunakan Adjoin
A=
K11 = 6
K12 = 2
K13 = -3
K21 = 0
K22 = 1
k23 = 0
k31 = -3
k32 = -1
k33 = 3
K(A) =
adj(A) =
Determinan ekspansi kolom ke-3
|A| =
=1
–0
= 1(-3) – 0(0) + 2(3)
= -3 + 6
=3
+2
Rumus Invers Matriks :
=
adj (A)
=
=
-
Invers matriks Menggunakan OBE
A=
Jadi
=
Menurut saya invers matriks Menggunakan OBE lebih mudah dibandingkan Adjoin
dikarenakan proses pengerjaannya yang lebih cepat .
Soal latihan MID semester :
1. Manakah yang termasuk eselon baris tereduksi :
a.)
d.)
(bukan)
(iya)
e.)
b.)
(bukan)
(bukan)
c.)
f.)
2. Yang manakah matriks berikut yang merupakan bentuk eselon baris :
a.
(bukan)
b.
c.
(iya)
(iya)
(bukan)
d.
e.
(bukan)
f.
(iya)
(bukan)
(iya)
3. Selesaikan persamaan matriks a.b.c.d
Jawab :
(i)
a-b = 8
(i) dan (iv) a = 8+b
b+c = 1
(ii)
3d+c = 7
2a-4d = 6
c = 1-b
(iii)
b+c = 1
2 (8+b) – 4d = 6
(ii) dan (iii) 3d+c = 7
(iv)
2a-4d = 6
16 + 2b – 4d = 6
3d + (1-b) = 7
2b – 4d = -10 …….(v)
3d-b =6 ………(vi)
(v) Dan (vi)
2b – 4d = -10
1 2b – 4d = -10
3d – b = 6
-b + 3d = 6
2 -2b + 6d = 12
3 (1) – b = 6
2d = 2
d =1
c=1–b
a=8+b
c=1+3
=8-3
c=4
a=5
jadi dapat diketahui bahwa :
a=5
b = -3
c=4
d=1
3–b=6
b = -3
4. Misalkan :
Carilah :
a. baris pertama dari AB
= [67 41 41]
b. kolom ke-2 dari AB
=
c. baris ke-3 dari AA
= [24 56 97]
d. kolom pertama dari BA =
5. Carilah semua nilai ƛ sehingga det (A) = 0
a.
b.
Jawab :
a.
( -1) ( -4) -1 (-2) = 0
2
–5 +6=0
( -2) ( - 3) = 0
=2
=3
b. ( - 6) ( ) ( - 4) = 0
3
-4
2
-6
3
- 10
2
+ 24 = 0
= 2 dan
2
+ 24
=0
=6
6. Hitung determinan :
a)
= k2 – 4k + 3 – 8
= k2 -4k - 5
b)
= 12k + (-3k-3) + 18k2 – [36 - k4 + k3 – 18]
= k4 – k3 + 18k2 + 9k - 21
c)
= [(-1) (-3)] – [(-8) (7)]
= 59
d)
= 0+0+96-0+8-0
= 104
6. Carilah determinan matriks dengan ekspansi kofaktor :
A.
= -6 (-8)
= 48
B.
=0
C.
8. Carilah invers matriks berikut :
a.
Jawab :
R21(-2)
R31(-1)
R41(-1)
R12(-3)
~
~
R12(-3)
~
R34
~
Matriks kofaktor dari A ialah matriks yang berbentuk
K(A) =
Transpose matriks kofaktor disebut matriks Adjoin ,ditulis adj (A)
Adj(A) =
Invers matriks A dapat dihitung dengan matriks adjoin dengan rumus
=
adj (A)
Contoh :
A=
K11 = 12
k23 = 16
K12 = 6
k31 = 12
K13 = -16
k32 = -10
K21 = 4
k33 = 16
K22 = 2
Sehingga k(A) =
Adj (A)=
|A| =
–3
= -1
= 16+48+0
= 64
+0
Invers Matriks
=
adj (A)
=
=
=
Contoh Soal
-
Carilah invers matriks A dengan Menggunakan metode matriks Adjoin
1. A =
-
Carilah invers matriks A dengan Menggunakan metode matriks Adjoin dan OBE
kemudian bandingkan ke-2 operasi tersebut lebih mudah yang mana ?
2. A =
Jawaban :
1. A =
K11 = 3
K12 = -3
K13 = 2
K21 = 8
K22 = -6
k23 = 3
k31 = -5
k32 = 4
k33 = -2
K(A) =
Determinan ekspansi kolom ke-3
adj(A) =
|A| =
–3
=2
+6
= 2(2) – 3(-3) + 6(-2)
= 4 + 9 – 12
=1
Invers Matriks
=
adj (A)
=
=
2. Invers matriks Menggunakan Adjoin
A=
K11 = 6
K12 = 2
K13 = -3
K21 = 0
K22 = 1
k23 = 0
k31 = -3
k32 = -1
k33 = 3
K(A) =
adj(A) =
Determinan ekspansi kolom ke-3
|A| =
=1
–0
= 1(-3) – 0(0) + 2(3)
= -3 + 6
=3
+2
Rumus Invers Matriks :
=
adj (A)
=
=
-
Invers matriks Menggunakan OBE
A=
Jadi
=
Menurut saya invers matriks Menggunakan OBE lebih mudah dibandingkan Adjoin
dikarenakan proses pengerjaannya yang lebih cepat .
Soal latihan MID semester :
1. Manakah yang termasuk eselon baris tereduksi :
a.)
d.)
(bukan)
(iya)
e.)
b.)
(bukan)
(bukan)
c.)
f.)
2. Yang manakah matriks berikut yang merupakan bentuk eselon baris :
a.
(bukan)
b.
c.
(iya)
(iya)
(bukan)
d.
e.
(bukan)
f.
(iya)
(bukan)
(iya)
3. Selesaikan persamaan matriks a.b.c.d
Jawab :
(i)
a-b = 8
(i) dan (iv) a = 8+b
b+c = 1
(ii)
3d+c = 7
2a-4d = 6
c = 1-b
(iii)
b+c = 1
2 (8+b) – 4d = 6
(ii) dan (iii) 3d+c = 7
(iv)
2a-4d = 6
16 + 2b – 4d = 6
3d + (1-b) = 7
2b – 4d = -10 …….(v)
3d-b =6 ………(vi)
(v) Dan (vi)
2b – 4d = -10
1 2b – 4d = -10
3d – b = 6
-b + 3d = 6
2 -2b + 6d = 12
3 (1) – b = 6
2d = 2
d =1
c=1–b
a=8+b
c=1+3
=8-3
c=4
a=5
jadi dapat diketahui bahwa :
a=5
b = -3
c=4
d=1
3–b=6
b = -3
4. Misalkan :
Carilah :
a. baris pertama dari AB
= [67 41 41]
b. kolom ke-2 dari AB
=
c. baris ke-3 dari AA
= [24 56 97]
d. kolom pertama dari BA =
5. Carilah semua nilai ƛ sehingga det (A) = 0
a.
b.
Jawab :
a.
( -1) ( -4) -1 (-2) = 0
2
–5 +6=0
( -2) ( - 3) = 0
=2
=3
b. ( - 6) ( ) ( - 4) = 0
3
-4
2
-6
3
- 10
2
+ 24 = 0
= 2 dan
2
+ 24
=0
=6
6. Hitung determinan :
a)
= k2 – 4k + 3 – 8
= k2 -4k - 5
b)
= 12k + (-3k-3) + 18k2 – [36 - k4 + k3 – 18]
= k4 – k3 + 18k2 + 9k - 21
c)
= [(-1) (-3)] – [(-8) (7)]
= 59
d)
= 0+0+96-0+8-0
= 104
6. Carilah determinan matriks dengan ekspansi kofaktor :
A.
= -6 (-8)
= 48
B.
=0
C.
8. Carilah invers matriks berikut :
a.
Jawab :
R21(-2)
R31(-1)
R41(-1)
R12(-3)
~
~
R12(-3)
~
R34
~