files.indowebster.com TUTORIAL IPA by MathZ (1).1 21
MATEMATIKA DASAR
FUNGSI
Bentuk linear: f ( x) = ax + b
Bentuk pecahan:
f ′( x ) =
⇒
f −1 ( x) = a log x
ax + b
cx + d
− dx + b
f −1 ( x) =
cx − a
Bentuk eksponen:
f ( x) =
f ′( x) = a x
F ( x) = a px
⇒
Bentuk logaritma: f ( x ) = a log x
Bentuk akar pangkat:
f ( x) = n ax + b ⇒
f −1 ( x) =
x−b
a
⇒
f −1 ( x) = a log x p
1
⇒
f −1 ( x) = a x
xn − b
a
Bentuk fungsi kuadrat:
f ( x) = ax 2 + bx + c ⇒
f −1 ( x) = ±
1
a
D⎞ b
⎛
⎜x+
⎟−
4a ⎠ 2a
⎝
Komposisi fungsi :
Jika f ( x) = ax + b ⇒ fog ( x) = px + q
px + q − b
Maka : g ( x) =
a
Jika f ( x) = ax + b ⇒ fog ( x) = px 2 + qx + r
px 2 + qx + r − b
Maka : g ( x) =
a
f ( ax + b) = px 2 + qx + r , maka :
f ( x) = f ( ax + b ) = px 2 + qx + r
(
)
f ( g ( x )) = h( x) maka : f ( x) = h g −1 ( x )
1
LIMIT
Limit fungsi aljabar
1. Bentuk pecahan :
ax n + ............... .....
bx m + ............... .....
lim
x→~
2. Bentuk akar :
ax 2 + bx + c −
lim
x→~
jika n > m
jika n < m
jawab : ~
jawab : 0
a
jika n = m jawab :
b
n adalah pangkat tertinggi pembilang
m adalah pangkat tertinggi penyebut
⇒
px 2 + qx + r
Perhatikan nilai a dan b
(1). Jika a = p
b−q
2 a
jawaban :
−~
jawaban :
(2) jika a < p
(3). jika a > p
jawaban + ~
lim x = 0
lim k = k ⇒ k = kons tan ta
Jika lim f ( x ) ada dan lim g ( x ) , maka :
lim k f ( x) = k lim f ( x)
lim [ f ( x) + f ( g )] = lim f ( x) + lim g ( x)
lim [ f ( x) − f ( g )] = lim f ( x) − lim g ( x)
lim [ f ( x) ⋅ f ( g )] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x)
f ( x)
f ( x) lim
lim g ( x) =
lim g ( x)
1
x→~
n
x→~
x →!~
x →~
x→~
x→~
x→~
x→~
x →~
x→~
x →~
x→~
x→~
x →~
x→~
x→~
x→~
x→~
[ f ( x)] = ⎡⎢ lim f ( x)⎤⎥
lim
x→~
⎦
⎣ x→~
n
ax + ...............
⇒ bagilah ma sin g − ma sin g suku dengan x pangkat tertinggi
lim
m
x → ~ bx + ...............
n
m
lim
x→~
ax 2 + bx + c −
px 2 + qx + r
kalikan dengan :
2
ax 2 + bx + r +
ax 2 + bx + r +
px 2 + qx + r
px 2 + qx + r
LIMIT
1. lim
x →0
MENDEKATI
BILANGAN TERTENTU
ax n + bx n −1 + ................ + c c
=
px m + qx m −1 + ............... + r r
............... + n2 x p +1 + n1 x p
2. lim
p +1
+ m1 x q
x → 0 ............... + m2 x
3. lim
x →0
ax
a ( p + q)
=
p + bx − q − cx ( p − q ) + b + c
f ( x)
lim g ( x)
x →0
⇒
⇒
jika
jika
jika
p > q maka = 0
n
p = q maka 1
m1
p < q maka ~
substitusikan a ke fungsi
0⎞
a
a
⎛
atau
atau
jika hasi ln ya : tertentu ⎜ misalkan
⎟ merupakan jawaban yang dicari
0
b
b⎠
⎝
0
~
0⎞
⎛
tak tentu ⎜ misalkan
atau
atau
⎟ selesaikan dengan menguraikan
0
~
~⎠
⎝
3
LOGARITMA
a
log x syarat , maka : a ≠ 0 , a ≠ 1 , a ∉ Bilangan negatif
maka : x ≠ 0 , x ∉ bilangan negatif ( x ≥ 0 )
1. a log b = c ⇒ a c = b
mempunyai akar − akar
3. a log (b : c ) = a log b − a log c
t
t
log a
log b
−b
dan t ≥ 0 dan t ≠ 1
15.
1
5. log b = b
log a
11.
am
log b n =
n a
log b ⇒ sehingga :
m
= b ⇒ sehingga :
n
r
m s
13. a log b m ⋅ b log a s = ⋅
n r
12. a
a
⎛b+c⎞
= log ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
log b
(a )
GRAFIK
⎛a⎞
f ⎜ ⎟ = f (a ) − f (b )
⎝b⎠
f (a ⋅ b ) = f (a ) + f (b )
17. Jika f ( x) =
am
⎞
⎛ an
⎜
log b r ⎟
⎟
⎜
⎠
m⎝
log a n =
( )
= br
ke − atas ⇒
ke − kanan ⇒
ke − kiri ⇒
maka :
⎛a⎞
F ( x) + F ⎜ ⎟ = F (a ) = −1
⎝ x⎠
n
m
m
n
FUNGSI
y = a log x digeser n satuan
ke − bawah ⇒
a
log x
1 − 2 a log x
LOGARITMA
y = a log x , a > 1
y
Jika grafik
2
g
16. Jika f ( x) = g log x , maka :
9. a log b ⋅ b log c ⋅ c log d ⋅ d log e = a log e
log b n = a log b
f ( x) = g log b + g log c maka :
f MAKS
6. a log b n = n a log b
1
7. a log b = a log b
2
m a
8. a log n b m =
log b
n
an
x1 dan x2
maka x1 x2 = 10 a
a
10.
dan a ≠ 1) ,
14. a log 2 x + b log x + c = 0
2. a log (b ⋅ c ) = a log b + a log c
4. a log b =
(a ≥ 0
( )
(1 , 0 )
y = a log a n x
⎛ x ⎞
y = a log ⎜ n ⎟
⎝a ⎠
y = a log ( x − n )
y = a log x , a < 1
y = a log ( x + n )
4
PERTIDAKSAMAAN
Pertidaksamaan h arg a mutlak
f ( x) < a ⇔ a < f ( x) < a
f ( x) > a ⇔
a
1.
x2 = x
2.
x untuk x ≥ 0 ⇒
3.
x ≤a ⇔
4.
untuk x ≤ 0 ⇒
x2 ≤ a2
x + a ≤ 2x + b
x ≥ 0 maka
6.
x
7.
x+ y ≤ x + y
8.
9.
log f ( x) < b ⇔
1
< f ( x) < a
ab
x =x
x = −x
⇔
5.
f ( x) < − a atau a < f ( x)
x∈R
(x + a )2 ≤ (2 x + b )2
⇒ tidak ada h arg a x yang memenuhi
x ≤0 ⇒ x=0
x⋅ y = x
y
10. x − y ≤ x − z + z − y
11. x − y ≤ x + y
f ( x)
x
syarat
log f ( y ) syarat
a
syarat b ≠ 0
b
* Sifat − sifat :
f ( x) > 0
x ≠ 0 , x ∉ bilangan negatif , x ≠ 1
f ( y ) ≠ 0 , f ( y ) ∉ bilangan negatif
a > b ⇔ ac > bc untuk c > 0
a > b ⇔ ac < bc untuk c < 0
* Bentuk log aritma :
a > b ⇔ a + c > b + c untuk c ∈ R
a > b untuk
untuk
a > b maka : a 2 > b 2
a < b maka : a 2 < b 2
: ax + b ≥ 0
log f ( x) ≥ a log g ( x) maka :
f ( x) ≥ g ( x)
Jika a > 1 dan
a
log f ( x) ≤ a log g ( x) maka :
f ( x) ≤ g ( x)
Jika 0 < a < 1 dan
* Bentuk umum : ax + b > c
syarat
a
Jika 0 < a < 1 dan
a
> 0 ⇒ a ⋅b > 0
b
a > b , b > c maka : a > c
penyelesaian : ax + b > c 2
Jika a > 1 dan
a
log f ( x) ≥ a log g ( x) maka :
f ( x) ≤ g ( x)
a
log f ( x) ≥ a log g ( x) maka :
f ( x) ≥ g ( x)
* Bentuk eksponen :
a > 1 maka : a x > a y
⇒x>y
0 < a < 1 maka : a < a y
x
5
⇒
y
GRAFIK DAN PERSAMAAN KUADRAT
Grafik fungsi f ( x) = ax 2 + bx + c
1. Pengaruh faktor a :
y
y
x
a > 0
a < 0
2. Pengaruh faktor b :
y
⇒
x
y
x
b > 0
y
b=0
x
b < 0
y
y
x
y
x
b < 0
putar kurva 900 ke − kiri
x
x
b > 0
* Bila kurva memotong sumbu y di atas sumbu x maka : c > 0
b=0
* Bila kurva memotong sumbu y di bawah sumbu x maka : c < 0
* Bila kurva melalui pangkal koordinat maka : c = 0
* D = b 2 − 4 ac
y
×c>0
c = 0×
x
× c 0 dan D < 0 maka f ( x ) disebut definit positif ⎜⎜
⎠
⎝ f ( x ) selalu positif
⎛ semua grafik di bawah sumbu x ⎞
⎟⎟
* Jika a < 0 dan D < 0 maka f ( x ) disebut definit negatif ⎜⎜
⎠
⎝ f ( x) selalu negatif
* f = f ( x ) = ax + bx + c dapat ditulis :
2
*x = −
b
2a
disebut sumbu simetri ⇒
⎛
b ⎞ b 2 − 4 ac
⎟ +
f ( x) = a ⎜⎜ x +
2 a ⎟⎠
− 4a
⎝
2
penyebab f ( x) ekstrem
b 2 − 4 ac
D
diesbut nilai ekstrem
=
− 4a
− 4a
* Jika a > 0 maka yekstrem = ymin imum ⇔ Jika a < 0 maka yekstrem = ymaksimum
*y =
⎛ b b 2 − 4 ac ⎞
⎟
* Puncak parabola ⇒ ⎜⎜ −
,
− 4 a ⎟⎠
⎝ 2a
* Titik potong dengan sumbu y adalah ( 0 , c )
6
Sifat akar − akar persamaan kuadrat
Jika x1 dan x2 akar − akar persamaan : ax 2 + bx + c = 0 , maka berlaku :
1. x1 + x2 =
2. x1 x2 =
3.
−b
a
3 abc − b3
a3
−b D
7. x12 − x22 =
a2
6. x13 + x23 =
c
a
1
b
=
x1 x2 c
[
]
8. x14 + x24 = ( x1 + x2 ) − 2 ( x1 x2 ) − 2 ( x1 x2 )
4. x1 − x2 =
D
dengan D = b 2 − 4 ac
a
b 2 − 2 ac
5. x12 + x22 =
a2
(
(x
=
)( x
+x )
9. x14 − x24 = x12 − x22
10.
1
1
+ 2
2
x1 x2
* Bila akar − akar saling berlawanan ( x1 = − x2 ) , syarat ⇒ b = 0
2
2
2
1
+ x22
)
( x1 x2 )
2
1
2
2
2
⎛
1⎞
* Bila akar − akar saling berkebalikan ⎜⎜ x1 = ⎟⎟ , syarat ⇒ a = c
x2 ⎠
⎝
* Bila salah satu akarnya = 0 , syarat ⇒ c = 0
* Bila kedua akarnya sama (x1 = x2 ) , syarat ⇒ x1 = x2 = −
b
2a
ax 2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dengan a , b , c ∈ R dapat diselesaikan dengan cara :
1. memfaktorkan
2. membentuk pers. kuadrat sempurna
3. dengan rumus : x1, 2
− b ± b 2 − 4 ac
=
2a
⇒ dapat ditulis : D = b 2 − 4 ac
DISKRIMINAN (D ) :
* D ≥ 0 ⇒ memiliki akar real
* D = k2
⇒ memiliki akar rasional
* D > 0 ⇒ memiliki dua akar real yang berlainan
* D = 0 ⇒ memiliki akar sama ( x1 = x2 )
* D < 0 ⇒ tidak memiliki akar real
* Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 memiliki akar x1 dan x2 sedemikian sehingga h arg a
x1 = kx2 dim ana k = kons tan ta pembanding berlaku : kb 2 = (k + 1) ac
2
* Pers. kuadrat ax 2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2 + n , maka
selisih akar
D = ( n ⋅ a)
2
dengan D = b 2 − 4 ac
7
2
Persamaan Kuadrat Baru (PKB)
a x 2 + bx + c = 0
1. PKB yang akar − akarnya k kali (kx1 dan kx2 ) dari ax 2 + bx + c = 0
adalah ax 2 + kbx + ck 2 = 0
⎛1
1⎞
2. PKB yang akar − akarnya kebalikan ⎜⎜ dan ⎟⎟ dari ax 2 + bx + c = 0
x2 ⎠
⎝ x1
adalah cx 2 + bx + a = 0
3. PKB yang akar − akarnya berlawanan (− x1 dan − x2 ) dari ax 2 + bx + c = 0
adalah ax 2 − bx + c = 0
4. PKB yang akar − akarnya x12 dan x22 dari ax 2 + bx + c = 0
(
)
adalah a 2 x − b 2 − 2 ac x + c 2 = 0
5. PKB yang akar − akarnya x13 dan x22 dari ax 2 + bx + c = 0
(
)
a 3 x − 3 abc − b 3 x + c3 = 0
6. PKB yang akar − akarnya x1 + k dan x2 + k (k lebihnya dari ) dari ax 2 + bx + c = 0
adalah a ( x − k ) + b ( x − k ) + c = 0
7. PKB yang akar − akarnya x1 − k dan x2 − k (k kurangnya dari ) dari ax 2 + bx + c = 0
2
adalah a ( x + k ) + b ( x + k ) + c = 0
x
x
8. PKB yang akar − akarnya 1 dan 2 dari ax 2 + bx + c = 0
x1
x2
2
(
)
(
)
adalah acx 2 − b 2 − 2 ac x + ac = 0
1
1
9. PKB yang akar − akarnya 2 dan 2 dari ax 2 + bx + c = 0
x1
x2
adalah c 2 x 2 − b 2 − 2 ac x + a 2 = 0
10. PKB yang akar − akarnya x1 + x2 dan x1 ⋅ x2 dari ax 2 + bx + c = 0
adalah a 2 x 2 + ( ab − c ) x − bc = 0
Persamaan kuadrat yang akar − akarnya α dan β adalah x 2 − ( α + β ) x + ( α ⋅ β ) = 0
a1 x 2 + b1 x + c1
Kuadrat ganda : r =
a2 x 2 + b2 x + c2
Pers. kuadrat ganda yang mempunyai akar − akar , dim ana h arg a akarnya
ditentukan oleh h arg a r ⇒ D2 r − ( 2 b1 b2 − 4 ( a1 c1 + a2 c2 )) r + D1 = k
8
PERSAMAAN
1. Persamaan garis melalui dua titik
x2 y1 = Q
x1
GARIS
K ( x1 , y1 ) dan L ( x2 , y2 ) :
y1 − y 2 = B
y1
x1 − x2 = A
y2 x1 y 2 = P
Hasil pers. yang dim aksud : A y = Bx + (P − Q )
A y = Bx + ( P − Q )
2. Pers. garis melalui titik M ( x3 , y3 ) dan ⊥ garis yang melalui titik K ( x1 , y1 )
x2
dan titik L ( x2 , y2 ) :
3.
4.
5.
6.
x1
y1
x2
y2
x1 − x2 = A
⇒
_
y1 − y2 = B
Ax + By = Ax3 + By3
Hasil : Ax + By = Ax3 + By3
Pers. garis melalui ( a , b ) sejajar Ax + By + C = 0 ⇒ Ax + By = Aa + Bb
Pers. garis melalui ( a , b ) ⊥ Ax + By + C = 0 ⇒ Bx − Ay = Ba − Ab
Pers. garis melalui ( 0 , a ) dan ( b , 0) ⇒ ax + by = ab (Hukum Hess )
Titik potong garis g : y = m1 x + c1 dan garis h : y = m2 x + c2 adalah :
x=
c1 − c2
m2 − m1
y=
dan
m2 c1 − m1 c2
m2 − m1
7. Jarak titik A ( x1 , y1 ) dengan garis ax + by + c = 0 ⇒ d =
ax1 + by1 + c
a 2 + b2
8. Jarak dua buah garis yang sejajar antara ax + by + c1 = 0 dengan ax + by + c2 = 0 , adalah :
d=
c1 − c2
a 2 + b2
9. Tiga buah titik ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) terletak dalam satu garis jika :
x3 − x1 y3 − y1
=
x2 − x1 y2 − y1
10. Jika garis ax + by + c = 0 digeser
k satuan ke − kanan ⇒ a ( x − k ) + by + c = 0
k satuan ke − kiri ⇒ a ( x + k ) + by + c = 0
k satuan ke − atas ⇒ ax + b ( y − k ) + c = 0
k satuan ke − bawah ⇒ ax + b ( y + k ) + c = 0
9
GRADIEN
1. * Gradien suatu garis m =
y
x
atau m = tan a
* Gradien suatu garis ax + by + c = 0 ⇒ m =
* Gradien suatu garis
y = mx + c ⇒ m
−a
b
* Gradien garis melalui (x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) ⇒ m =
2. Pers. garis melalui (a , b ) dengan gradien m ⇒
3. Pers. garis melalui titik ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 )
4. Pers. dua garis : g ⇒ y = m1 x + c1
l ⇒
y
y2 − y1
x2 − x1
y − b = m (x − a )
y − y1
x − x1
⇒
=
y2 − y1 x2 − x1
y = m2 x + c2
garis g sejajar garis l , bila : m1 = m2
garis g ⊥ l , bila : m1 ⋅ m2 = −1
5. Pers. garis ax + by + c = 0 dan px + qy + r = 0 akan :
a p
* sejajar bila :
dan c ≠ r
=
b q
a p c
* berimpit bila :
= =
b q r
* berpotongan bila : aq − bq ≠ 0
6. Dua garis berpotongan bebas , mak : tan α =
dim ana α
m1 − m2
1 + m1 m2
adalah sudut yang dibentuk oleh kedua garis.
10
a
x
TRIGONOMETRI
* sin a =
y
r
x
* cos a =
y
y
* tan a =
x
* cos ec a =
r
y
a
r
y
⇒ sec a =
* sin 2 a + cos 2 a = 1
x
r
x
⇒ cot a =
x
y
dengan r 2 = x 2 + y 2
* cos 2 a = 1 − sin 2 a
* sin 2 a = 1 − cos 2 a
sin a
* tan a =
cos a
2
* tan a + 1 = sec 2 a
* cot 2 a + 1 = cos ec 2 a
(90 − a ) = + cos a
(90 − a ) = + sin a
(
)
(90 − a ) = + cot a
(90 − a ) = + tan a
sin (180 − a ) = + sin a
cos (180 − a ) = − cos a
untuk sudut (180 − a ) atau (90 + a ) :
tan (180 − a ) = − tan a
cot (180 − a ) = − cot a
sin (90 + a ) = + cos a
cos (90 + a ) = − sin a
tan (90 + a ) = − cot a
cot (90 + a ) = − tan a
sin (180 + a ) = − sin a
cos (180 + a ) = − cos a
tan (180 + a ) = + tan a
cot (180 + a ) = + cot a
untuk sudut (180 + a ) atau (270 − a ) :
sin (270 − a ) = − cos a
cos (270 − a ) = − sin a
tan (270 − a ) = + cot a
cot (270 − a ) = + tan a
sin
cos
1. Kuadran Ι : untuk sudut 900 − a 0 :
tan
cot
2. Kuadran ΙΙ :
3. Kuadran ΙΙΙ :
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4. Bentuk y = A sin px + c atau y = A cos px + c
ymaksimum = A + c ⇒ ymin imum = − A + c
Periode :
π
P
5. Bentuk f ( x) = a cos x + b sin x + c
dapat ditulis f ( x) = k cos ( x − α ) + c , dengan k = a 2 + b 2
f ( x) maksimum = k + c ⇒ f ( x) min imum = −k + c
6. Jumlah (α + β ) dan selisih (α − β ) untuk dua sudut :
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
tan α + tan β
tan (α + β ) =
1 − tan α tan β
tan α − tan β
tan (α − β ) =
1 + tan α tan β
7. Fungsi trigonometri dengan sudut berbeda :
sin α + sin β = 2 sin 12 (α + β )cos 12 (α − β )
sin α − sin β = 2 cos 12 (α + β )sin 12 (α − β )
cos α + cos β = 2 cos 12 (α + β )cos 12 (α − β )
cos α − cos β = −2 sin 12 (α + β )sin 12 (α − β )
8. Perkalian fungsi trigonometri dengan sudut berbeda :
2 sin α cos β = sin (α + β ) + sin (α − β )
2 cos α sin β = sin (α + β ) − sin (α − β )
2 cos α cos β = cos (α + β ) + cos (α − β )
− 2 sin α cos β = cos (α + β ) − cos (α − β )
9. Untuk sudut kembar :
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
= 2 cos 2 α − 1
= 1 − 2 sin 2 α
2 tan α
1 − tan 2 α
10. Rumus pengembangan :
tan 2α =
sin α = 2 sin 12 α cos 12 α
cos α = cos 2 12 α − sin 2 12 α = 2 cos 2 12 α − 1
= 1 − 2 sin 2 12 α
12
dan tan α =
b
a
11. Sudut rangkap 3α :
sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α
3 tan α − tan 3 α
1 − 3 tan 2 α
12. Aturan sin us :
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
13. Aturan cos inus :
tan 3α =
C
a = b + c − 2 bc cos A
2
2
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos C
14. L Δ =
1
2
a
b
2
A
B
c
ab sin C = 12 ac sin B = 12 bc sin A
= s (s − a ) (s − b ) (s − c ) ⇒ dengan s =
a+b+c
2
15. Grafik fungsi trigonometri :
y
y = sin x
1
00
900
1800
2700
x
3600
–1
y = cos x
y
1
00
902
1800
2700
3600
x
–1
y = tan x
y
00
900
1800
2700
3600
13
x
BARISAN
DAN
DERET
A. Deret Aritmetika :
Bentuk umum : a , a + b , a + 2b , a + 3b , .................. , a + (n − 1)
U1 U 2
U3
U 4 , .................. ,
Un
1. U n = a + (n − 1) n
2. S n =
=
1
2
1
2
n (a + U n ) ⇒
n (2 a + (n − 1) b ) ⇒
jika suku terakhir diketahui
jika suku terakhir tidak diketahui
a + Un
2
4. U n = S n − S n − 1 ⇒ dipakai untuk deret aritmetika dan deret geometri
3. U t =
5. b = U n − U n −1
6. Bila diketahui suku ke − n1 adalah k1 dan jumlah suku ke − n2 dan n3 adalah k2 ,
maka beda dari suku tersebut :
U n1 = k1
n1 = m1
U n 2 + U n3 = k 2
n2 + n3 = m2
⇒ b=
2k1 − k 2
2m1 − m2
7. Jumlah suku pertama deret aritmetika kuadrat tan pa kons tan :
* U n = 2 pn + (q − p )
⇒
S n = pn 2 + qn
* b = 2p
8. Suku ke − n linear :
p 2 ⎛
p⎞
n + ⎜q + ⎟ n
2
2⎠
⎝
9. Segitiga siku − siku yang membentuk deret aritmetika memiliki kelipa tan 3 , 4 , 5 :
Jika a , b , c , d , dan e membentuk deret aritmetika , berlaku :
suku tengah = rata − rata suku simetrisnya
b+d a+e
a+c
c+d
=
c=
atau b =
atau d =
2
2
2
2
10. Bila disisipkan k suku diantara dua suku deret aritmetika maka :
U n = pn + q ⇒ S n =
* b′ =
b
k +1
* U n′ = U1 = (n − 1) b′
n
(2 U1 + (n − 1) b′)
2
* n′ = n + (n − 1) k
denngan : b′ = beda baru ; S n′ = jumlah suku ke − n baru ; n′ = banyaknya suku baru ;
U n′ = suku ke − n baru
* S n′ =
14
B. Deret Geometri :
1. Bentuk umum : a , ar , ar 2 , ar 3 , .................. , ar n −1
U1 U 2 U 3 U 4 , .................. , U n
2. Jika : U n = suku ke − n ; U t = suku tengah ; S n = jumlah n suku pertama ;
a = U1 = suku awal ; r = rasio
U n = ar n −1
(
)
a rn −1
rn −1
a 1− rn
Sn =
1− rn
Sn =
(
)
r=
Un
U n −1
⇒ untuk
r >1
Ut =
⇒ untuk
r 1 ⇒ r < −1 atau r > 1
7. Deret log aritma :
log b + a log 2b + a log 3b + a log 4b + .................. = b log b
8. Deret bujur sangkar :
1
* rasio deret luas bujursangkar =
2
1
* rasio deret keliling bujursangkar =
2
2
1
9. * Rasio deret luas segitiga samasisi =
4
1
* rasio deret keliling segitiga samasisi =
2
a
a
10. Panjang l int asan bola jatuh ⇒ s = jatuh pertama ×
15
jumlah perbandingan
selisih perbandingan
( TURUNAN )
DIFERENSIA L
f ′( x) = lim
1. Turunan fungsi aljabar :
y = c ( c = kons tan ) ⇒ y′ = 0
y = xn
⇒
h →0
U
V
⇒
y′ = n x n −1
y = ex
⇒
y = tan ax
⇒
y = cot ax
ax + b
cx + d
⇒
⇒
y′ =
y =Un
y = 1n U
y = aU
ad − bc
(cx + d )2
y′ = n U n −1 ⋅ U ′
U′
⇒ y′ =
U
⇒ y ′ = aU 1 n a U ′
⇒
⇒ y′ = eU ⋅ U ′
⇒ y′ = U ′ cos U
⇒ y′ = −U ′ sin U
y = cot U
⇒
6. y = a sin n bx ⇒
y′ = n a b sin n −1 bx cos bx atau
7. y = a cos n bx ⇒
y′ = n a b cos n −1 bx sin bx atau
( a , b)
y′ = a e ax
y = eU
y = sin U
y = cos U
y = tan U
y′ = − a cos ec 2 ax
g
⇒
y′ = e x
4. Fungsi majemuk : fungsi mejemuk merupakan
komposisi yang terdiri dari beberapa fungsi ,
dim ana salah satu komposi sin ya dim isalkan
menjadi U (untuk mengganti var iabel x )
y′ = a sec 2 ax
8. Garis sin ggung kurva :
y = f (x)
⇒
y = e ax
y′ = − cos ec 2 x
⇒ y′ = − cos ec x ⋅ cot x
⇒ y′ = sec x ⋅ tan x
⇒ y′ = a cos ax
⇒ y′ = − a sin ax
y = cot x
y = cos ec x
y = sec x
y = sin ax
y = cos ax
5. y =
y′ = sec 2 x
f ( x)
2. Turunan fungsi eksponen dan log aritma
1
⇒ y′ =
y = 1n x
x
a
⇒ y′ =
y = 1n ax
x
1
⇒ y′ =
y = a log x
x 1n a
3. Turunan fungsi trigonometri
⇒ y′ = cos x
y = sin x
⇒ y′ = − sin x
y = cos x
y = tan x
( x + h) −
h
⇒ y′ = a n x n −1
⇒ y′ = U ′ + V ′
⇒ y′ = U ′ − V ′
⇒ y′ = U ′V + U V ′
U ′V − U V ′
⇒ y′ =
V2
y = a xn
y = U +V
y = U −V
y = U ⋅V
y=
f
⇒
y′ = U ′ sec 2 U
y′ = −U ′ cos ec 2U
y′ =
nab
sin n − 2 bx sin 2bx
2
nab
y′ = −
cos n − 2 bx sin 2 bx
2
Persamaan garis sin ggung kurva g :
y −b = m (x−a )
dengan gradien m = f ′( x) = f ′(a)
16
9. Naik / turun suatu fungsi :
* Jika f ′( x) = m = 0 , maka titik ( x1 , y1 ) ⇒ titik stasioner
* Jika f ′( x) > 0 , maka grafik y = f ( x) ⇒ naik
* Jika f ′( x) < 0 , maka grafik y = f ( x) ⇒ turun
10. Nilai ekstrem suatu fungsi :
* Fungsi y = f ( x) mempunyai nilai maksimum di
* Fungsi y = f ( x) mempunyai nilai min imum di
⎧ f ′( x1 ) = 0
x = x1 bila ⎨
⎩ f ′′( x1 ) < 0
⎧ f ′( x2 ) = 0
x = x2 bila ⎨
⎩ f ′′( x2 ) > 0
⎧* f ′ disekitar x = x1 tidak berubah
11. Titik belok : (x1 , f ( x1 ) ) merupakan titik belok fungsi f ( x) bila ⎨
* f ′′( x1 ) = 0
⎩
12. Turunan pada mekanika : jika a = percepa tan , V = kecepa tan , S = jarak , t = waktu , maka :
V =
ds
= S′
dt
⇒
a=
dv
= V′
dt
13. Nilai maksimum dan min imum :
⎧ ab = maks ⇒ a = 12 c
⎪ 2
1
⎪ ab = maks ⇒ a = 3 c
* a +b = c ⎨ 2 3
2
⎪a b = maks ⇒ a = 5 c
⎪⎩
ab maks = 14 c 2
14. Luas maksimum daerah yang di arsir ⇒
b
⎧ ab = min
⎪ 2
⎪ ab = min
* a −b = c ⎨ 2 3
⎪a b = min
⎪⎩ ab min
1
4
( ab )
1
2
( ab )
3
4
ab
( x , y)
a
Luas maksimum daerah yang di arsir ⇒
b
−a
a
Luas maksimum daerah yang di arsir ⇒
3
( a , b)
●
17
⇒ a = 12 c
⇒ a = 13 c
⇒ a = 52 c
= − 14 c 2
MATRIKS
⎛a b ⎞
⎟⎟ det er min an A = det A = A = ad − bc
1. A = ⎜⎜
⎝c d⎠
⎛ d − b⎞
1
⎟
⎜
2. Invers A = A−1 =
ad − bc ⎜⎝ − c a ⎟⎠
3. Matriks sin gular adalah matriks yang tidak memiliki invers ( matriks dengan det er min an = 0 )
⎛a c ⎞
⎛a b⎞
⎟⎟
⎟⎟
4. A = ⎜⎜
matriks transposnya ⇒ At = ⎜⎜
⎝b d ⎠
⎝c d⎠
ax + by = c
⎛ a b⎞
⎛ a b⎞ ⎛ x ⎞ ⎛c⎞
⎟⎟ ⇒ matriks koefisien
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜
5.
⇒ dapat ditulis ⎜⎜
px + qy = r
⎝ p q⎠
⎝ p q⎠ ⎝ y⎠ ⎝r ⎠
6. AB ≠ BA ⇒ tidak berlaku sifat komutatif ( perkalian )
7. Dua matriks dikatakan sama bila memiliki ordo sama daan belemen − elemen seletaknya sama
8. Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks − matriks
yang ber − ordo sama.
9. Perkalian matriks hanya dapat dilakukan bila :
banyaknya kolom matriks pertama dan kedua sama ⇒
Am× n × Bn× p = Cm× p
⎧
⎪* MN = MP , maka
⎛u v⎞
⎛ p q⎞
⎛a b ⎞
⎪
⎟⎟ ⇒ ⎨
⎟⎟ ; M = ⎜⎜
⎟⎟ ; N = ⎜⎜
10. A = ⎜⎜
⎝w x⎠
⎝ r s⎠
⎝c d ⎠
⎪* MN = MP , maka
⎪⎩
c b
a c
ax + by = c
p r
r q
maka ⇒ x =
dan y =
a b
a b
px + qy = r
p q
p q
11. A B = C , maka B = A−1 C
⎛a b
⎜
12. N = ⎜ d e
⎜g h
⎝
dan
b c a−d
= =
q r p−s
a c w−r x−s
= =
=
c d p−u q −v
A = C B −1
c⎞
⎟
f ⎟ det matriks N =
i ⎠⎟ cara Sarrus
a b
d e
g h
c
f
i
a
d
g
b
e
f
A B C
D E F
dengan A = c ⋅ e ⋅ g ; B = a ⋅ f ⋅ h ; C = b ⋅ d ⋅ i ; D = a , e , i ; E = b ⋅ f ⋅ g ; F = c ⋅ d ⋅ f
det N = ( D + E + F ) − ( A + B + C )
13. Deter min an :
1
* det ( AB ) = det A ⋅ det B
* det (A−1 ) =
det A
( )
* det At = det A
14. * ( AB ) = B t At
t
* AB = I
⇒
⎛1 0⎞
⎟⎟
I = ⎜⎜
⎝0 1⎠
* ( AB ) = B −1 A−1
−1
A = B −1 atau B = A−1 dengan I matriks satuan (matriks identitas )
18
STATISTIK
A. Data tunggal :
1. Rata − rata (mean) ⇒
x=
∑x
x=
atau
∑fx
n
n
2. Median (Me) ⇒ data tengah yang telah diurutkan
x +1
⇒ untuk n ganjil positif
Me = n
2
x n + ⎛⎜ x n + 1⎞⎟
Me = 2 ⎝ 2 ⎠ ⇒ untuk n genap positif
2
3. Kuartil : membagi data terurut menjadi 4 bagian yang sama
●
●
●
Q1
Q2
Q3
Q1 = kuartil bawah ; Q2 = kuartil tengah (median ) ; Q3 = kuartil atas
4. Modus : adalah data yang sering muncul
B. Data int erval (data tersusun )
1. Rata − rata (mean ) ⇒ x
∑f x
∑f
i
i
i
simpangan rata − rata ⇒ x = m +
∑d
i
m = rata − rata hitungan sementara ; di = xi − m = simpangan
x=m+
∑f d
∑f
i
n
i
⎛n
⎞
⎜ −F⎟
⎟P
2. Me = Tb + ⎜ 2
⎜ F me ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
dengan : Me = median ; Tb = tepi bawah kelas median ; P = panjang int erval kelas median ;
1
F = jumlah frekuensi ; F me = frekuensi kelas median ; n = banyaknya data
CATATAN :
* tepi bawah kelas = batas bawah kelas − 0,5
* tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5
* panjang int erval kelas = tepi atas kelas − tepi bawah kelas
* titik tengah imterval kelas =
*
panjang int erval kelas =
1
2
(batas atas kelas + batas bawah kelas )
jangkauan
banyaknya int erval kelas
19
⎛ S1i ⎞
⎟⎟ P
3. Modus ⇒ Mo = Tb + ⎜⎜
⎝ S1i + s2 ⎠
Mo = mod us ; Tb = tepi kelas mod us ;
S1 = selisih frekuensi kelas mod us dengan frekuensi kelas sebelumnya
S 2 = selisih frekuensi kelas mod us dengan frekuensi kelas sesudahnya
P = panjang int erval kelas
⎞
⎛k
⎜ n−∑ f s⎟
⎟P
4. Kuartil ⇒ Qk = Tb + ⎜ 4
⎜ f (Qk ) ⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
Qk = kuartil ke − k ; Tb = tepi bawah kelas kuartil ke − k ;
∑fs=
jumlah frekuensi kelas − kelas sebelum kelas Qk berada ;
f (Qk ) = frekuensi kelas Qk
C. Simpangan :
1. rata − rata simpangan = deviasi rata − rata = mean deviasi ⇒ Md =
∑
2. simpangan baku = deviasi baku = deviasi s tan dar
S=
S=
∑ (x − x )
2
∑ f (x − x )
i
n
xi − x
n
⇒ untuk data tunggal
⇒ untuk data tersusun
n
S 2 (var iansi sampel ) = kuadrat dari simpangan baku
2
i
S 2 ( gabungan )
3.
i
ni S12 + ni S 22
=
n1 + n2
jangkauan = data terbesar − data terkecil
4. simpangan kuartil ( jangkauan semi kuartil ) ⇒ Qd =
1
(Q3 − Q1 )
2
5. Bila ada n dengan rata − rata x0 , kemudian ditambah data baru x1 sejumlah m
(
)
n x1 − x0
m
x1 = nilai data baru ; x1 = rata − rata sekarang ; x0 = rata − rata semula ;
hingga didapat rata − rata baru
x1 maka : x1 = x1 +
n = banyaknya data lama ; m = banyaknya data baru
6. Rata − rata dari sekelompok data :
*
penambahan data
xb =
*
pengurangan data
xb =
n x + pq
( n + p)
n x − pq
( n − p)
dengan : x = rata − rata lama ; xb = rata − rata baru ; p = banyaknya data yang ditambahkan
q = nilai yang ditambahkan ; banyaknya data mula − mula
20
7. Perbandingan rata − rata gabungan
x2 − xgab
Q
n1
=
=
n2
P
xgab − x1
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + .................. = ( n1 + n2 + n3 + ..................) x
EKSPONEN
1. a m ⋅ a n = a m + n
6.
2. a m : a n = a m − n
3.
(a )
m n
7. a 0 = 1
= a m⋅n
am = a n
8. a − n =
n
5. a f ( x ) = a g ( x )
⇒
1
an
9. Jika a f ( x ) > a g ( x )
m
4.
( ab )n = a nb n
f ( x) = g ( x)
*
*
f ( x) > g ( x) dengan a > 1
f ( x) < g ( x) dengan 0 < a < 1
Persamaan eksponen :
ax = a y
⇒ x=y
a x = b ⇒ x = a log b
( )
( )
a g x + b g x + c = 0 ⇒ x1 + x2 = g log
2
2
c
a
PERMUTASI & KOMBINASI
1. * Permutasi k unsur dari n unsur untuk k ≤ n , adalah semua uru tan yan berbeda
yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda
n!
P ( n , k ) = Pkn =
( n − k )!
* Banyaknya permutasi P dari unsur n unsur yang diambil semuanya sec ara bersamaan
dim ana ada n1 unsur sama , n2 unsur sama , n3 unsur sama dst.
P=
n!
n1 ! × n2 ! × n3 ! × .........
* Banyaknya cara penyusunan n objek yang berbeda pada sebuah lingkaran :
( n − 1)!
2. Kombinasi
C ( n , k ) = Ckn =
n!
( n − k )! k !
21
FUNGSI
Bentuk linear: f ( x) = ax + b
Bentuk pecahan:
f ′( x ) =
⇒
f −1 ( x) = a log x
ax + b
cx + d
− dx + b
f −1 ( x) =
cx − a
Bentuk eksponen:
f ( x) =
f ′( x) = a x
F ( x) = a px
⇒
Bentuk logaritma: f ( x ) = a log x
Bentuk akar pangkat:
f ( x) = n ax + b ⇒
f −1 ( x) =
x−b
a
⇒
f −1 ( x) = a log x p
1
⇒
f −1 ( x) = a x
xn − b
a
Bentuk fungsi kuadrat:
f ( x) = ax 2 + bx + c ⇒
f −1 ( x) = ±
1
a
D⎞ b
⎛
⎜x+
⎟−
4a ⎠ 2a
⎝
Komposisi fungsi :
Jika f ( x) = ax + b ⇒ fog ( x) = px + q
px + q − b
Maka : g ( x) =
a
Jika f ( x) = ax + b ⇒ fog ( x) = px 2 + qx + r
px 2 + qx + r − b
Maka : g ( x) =
a
f ( ax + b) = px 2 + qx + r , maka :
f ( x) = f ( ax + b ) = px 2 + qx + r
(
)
f ( g ( x )) = h( x) maka : f ( x) = h g −1 ( x )
1
LIMIT
Limit fungsi aljabar
1. Bentuk pecahan :
ax n + ............... .....
bx m + ............... .....
lim
x→~
2. Bentuk akar :
ax 2 + bx + c −
lim
x→~
jika n > m
jika n < m
jawab : ~
jawab : 0
a
jika n = m jawab :
b
n adalah pangkat tertinggi pembilang
m adalah pangkat tertinggi penyebut
⇒
px 2 + qx + r
Perhatikan nilai a dan b
(1). Jika a = p
b−q
2 a
jawaban :
−~
jawaban :
(2) jika a < p
(3). jika a > p
jawaban + ~
lim x = 0
lim k = k ⇒ k = kons tan ta
Jika lim f ( x ) ada dan lim g ( x ) , maka :
lim k f ( x) = k lim f ( x)
lim [ f ( x) + f ( g )] = lim f ( x) + lim g ( x)
lim [ f ( x) − f ( g )] = lim f ( x) − lim g ( x)
lim [ f ( x) ⋅ f ( g )] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x)
f ( x)
f ( x) lim
lim g ( x) =
lim g ( x)
1
x→~
n
x→~
x →!~
x →~
x→~
x→~
x→~
x→~
x →~
x→~
x →~
x→~
x→~
x →~
x→~
x→~
x→~
x→~
[ f ( x)] = ⎡⎢ lim f ( x)⎤⎥
lim
x→~
⎦
⎣ x→~
n
ax + ...............
⇒ bagilah ma sin g − ma sin g suku dengan x pangkat tertinggi
lim
m
x → ~ bx + ...............
n
m
lim
x→~
ax 2 + bx + c −
px 2 + qx + r
kalikan dengan :
2
ax 2 + bx + r +
ax 2 + bx + r +
px 2 + qx + r
px 2 + qx + r
LIMIT
1. lim
x →0
MENDEKATI
BILANGAN TERTENTU
ax n + bx n −1 + ................ + c c
=
px m + qx m −1 + ............... + r r
............... + n2 x p +1 + n1 x p
2. lim
p +1
+ m1 x q
x → 0 ............... + m2 x
3. lim
x →0
ax
a ( p + q)
=
p + bx − q − cx ( p − q ) + b + c
f ( x)
lim g ( x)
x →0
⇒
⇒
jika
jika
jika
p > q maka = 0
n
p = q maka 1
m1
p < q maka ~
substitusikan a ke fungsi
0⎞
a
a
⎛
atau
atau
jika hasi ln ya : tertentu ⎜ misalkan
⎟ merupakan jawaban yang dicari
0
b
b⎠
⎝
0
~
0⎞
⎛
tak tentu ⎜ misalkan
atau
atau
⎟ selesaikan dengan menguraikan
0
~
~⎠
⎝
3
LOGARITMA
a
log x syarat , maka : a ≠ 0 , a ≠ 1 , a ∉ Bilangan negatif
maka : x ≠ 0 , x ∉ bilangan negatif ( x ≥ 0 )
1. a log b = c ⇒ a c = b
mempunyai akar − akar
3. a log (b : c ) = a log b − a log c
t
t
log a
log b
−b
dan t ≥ 0 dan t ≠ 1
15.
1
5. log b = b
log a
11.
am
log b n =
n a
log b ⇒ sehingga :
m
= b ⇒ sehingga :
n
r
m s
13. a log b m ⋅ b log a s = ⋅
n r
12. a
a
⎛b+c⎞
= log ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
log b
(a )
GRAFIK
⎛a⎞
f ⎜ ⎟ = f (a ) − f (b )
⎝b⎠
f (a ⋅ b ) = f (a ) + f (b )
17. Jika f ( x) =
am
⎞
⎛ an
⎜
log b r ⎟
⎟
⎜
⎠
m⎝
log a n =
( )
= br
ke − atas ⇒
ke − kanan ⇒
ke − kiri ⇒
maka :
⎛a⎞
F ( x) + F ⎜ ⎟ = F (a ) = −1
⎝ x⎠
n
m
m
n
FUNGSI
y = a log x digeser n satuan
ke − bawah ⇒
a
log x
1 − 2 a log x
LOGARITMA
y = a log x , a > 1
y
Jika grafik
2
g
16. Jika f ( x) = g log x , maka :
9. a log b ⋅ b log c ⋅ c log d ⋅ d log e = a log e
log b n = a log b
f ( x) = g log b + g log c maka :
f MAKS
6. a log b n = n a log b
1
7. a log b = a log b
2
m a
8. a log n b m =
log b
n
an
x1 dan x2
maka x1 x2 = 10 a
a
10.
dan a ≠ 1) ,
14. a log 2 x + b log x + c = 0
2. a log (b ⋅ c ) = a log b + a log c
4. a log b =
(a ≥ 0
( )
(1 , 0 )
y = a log a n x
⎛ x ⎞
y = a log ⎜ n ⎟
⎝a ⎠
y = a log ( x − n )
y = a log x , a < 1
y = a log ( x + n )
4
PERTIDAKSAMAAN
Pertidaksamaan h arg a mutlak
f ( x) < a ⇔ a < f ( x) < a
f ( x) > a ⇔
a
1.
x2 = x
2.
x untuk x ≥ 0 ⇒
3.
x ≤a ⇔
4.
untuk x ≤ 0 ⇒
x2 ≤ a2
x + a ≤ 2x + b
x ≥ 0 maka
6.
x
7.
x+ y ≤ x + y
8.
9.
log f ( x) < b ⇔
1
< f ( x) < a
ab
x =x
x = −x
⇔
5.
f ( x) < − a atau a < f ( x)
x∈R
(x + a )2 ≤ (2 x + b )2
⇒ tidak ada h arg a x yang memenuhi
x ≤0 ⇒ x=0
x⋅ y = x
y
10. x − y ≤ x − z + z − y
11. x − y ≤ x + y
f ( x)
x
syarat
log f ( y ) syarat
a
syarat b ≠ 0
b
* Sifat − sifat :
f ( x) > 0
x ≠ 0 , x ∉ bilangan negatif , x ≠ 1
f ( y ) ≠ 0 , f ( y ) ∉ bilangan negatif
a > b ⇔ ac > bc untuk c > 0
a > b ⇔ ac < bc untuk c < 0
* Bentuk log aritma :
a > b ⇔ a + c > b + c untuk c ∈ R
a > b untuk
untuk
a > b maka : a 2 > b 2
a < b maka : a 2 < b 2
: ax + b ≥ 0
log f ( x) ≥ a log g ( x) maka :
f ( x) ≥ g ( x)
Jika a > 1 dan
a
log f ( x) ≤ a log g ( x) maka :
f ( x) ≤ g ( x)
Jika 0 < a < 1 dan
* Bentuk umum : ax + b > c
syarat
a
Jika 0 < a < 1 dan
a
> 0 ⇒ a ⋅b > 0
b
a > b , b > c maka : a > c
penyelesaian : ax + b > c 2
Jika a > 1 dan
a
log f ( x) ≥ a log g ( x) maka :
f ( x) ≤ g ( x)
a
log f ( x) ≥ a log g ( x) maka :
f ( x) ≥ g ( x)
* Bentuk eksponen :
a > 1 maka : a x > a y
⇒x>y
0 < a < 1 maka : a < a y
x
5
⇒
y
GRAFIK DAN PERSAMAAN KUADRAT
Grafik fungsi f ( x) = ax 2 + bx + c
1. Pengaruh faktor a :
y
y
x
a > 0
a < 0
2. Pengaruh faktor b :
y
⇒
x
y
x
b > 0
y
b=0
x
b < 0
y
y
x
y
x
b < 0
putar kurva 900 ke − kiri
x
x
b > 0
* Bila kurva memotong sumbu y di atas sumbu x maka : c > 0
b=0
* Bila kurva memotong sumbu y di bawah sumbu x maka : c < 0
* Bila kurva melalui pangkal koordinat maka : c = 0
* D = b 2 − 4 ac
y
×c>0
c = 0×
x
× c 0 dan D < 0 maka f ( x ) disebut definit positif ⎜⎜
⎠
⎝ f ( x ) selalu positif
⎛ semua grafik di bawah sumbu x ⎞
⎟⎟
* Jika a < 0 dan D < 0 maka f ( x ) disebut definit negatif ⎜⎜
⎠
⎝ f ( x) selalu negatif
* f = f ( x ) = ax + bx + c dapat ditulis :
2
*x = −
b
2a
disebut sumbu simetri ⇒
⎛
b ⎞ b 2 − 4 ac
⎟ +
f ( x) = a ⎜⎜ x +
2 a ⎟⎠
− 4a
⎝
2
penyebab f ( x) ekstrem
b 2 − 4 ac
D
diesbut nilai ekstrem
=
− 4a
− 4a
* Jika a > 0 maka yekstrem = ymin imum ⇔ Jika a < 0 maka yekstrem = ymaksimum
*y =
⎛ b b 2 − 4 ac ⎞
⎟
* Puncak parabola ⇒ ⎜⎜ −
,
− 4 a ⎟⎠
⎝ 2a
* Titik potong dengan sumbu y adalah ( 0 , c )
6
Sifat akar − akar persamaan kuadrat
Jika x1 dan x2 akar − akar persamaan : ax 2 + bx + c = 0 , maka berlaku :
1. x1 + x2 =
2. x1 x2 =
3.
−b
a
3 abc − b3
a3
−b D
7. x12 − x22 =
a2
6. x13 + x23 =
c
a
1
b
=
x1 x2 c
[
]
8. x14 + x24 = ( x1 + x2 ) − 2 ( x1 x2 ) − 2 ( x1 x2 )
4. x1 − x2 =
D
dengan D = b 2 − 4 ac
a
b 2 − 2 ac
5. x12 + x22 =
a2
(
(x
=
)( x
+x )
9. x14 − x24 = x12 − x22
10.
1
1
+ 2
2
x1 x2
* Bila akar − akar saling berlawanan ( x1 = − x2 ) , syarat ⇒ b = 0
2
2
2
1
+ x22
)
( x1 x2 )
2
1
2
2
2
⎛
1⎞
* Bila akar − akar saling berkebalikan ⎜⎜ x1 = ⎟⎟ , syarat ⇒ a = c
x2 ⎠
⎝
* Bila salah satu akarnya = 0 , syarat ⇒ c = 0
* Bila kedua akarnya sama (x1 = x2 ) , syarat ⇒ x1 = x2 = −
b
2a
ax 2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dengan a , b , c ∈ R dapat diselesaikan dengan cara :
1. memfaktorkan
2. membentuk pers. kuadrat sempurna
3. dengan rumus : x1, 2
− b ± b 2 − 4 ac
=
2a
⇒ dapat ditulis : D = b 2 − 4 ac
DISKRIMINAN (D ) :
* D ≥ 0 ⇒ memiliki akar real
* D = k2
⇒ memiliki akar rasional
* D > 0 ⇒ memiliki dua akar real yang berlainan
* D = 0 ⇒ memiliki akar sama ( x1 = x2 )
* D < 0 ⇒ tidak memiliki akar real
* Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 memiliki akar x1 dan x2 sedemikian sehingga h arg a
x1 = kx2 dim ana k = kons tan ta pembanding berlaku : kb 2 = (k + 1) ac
2
* Pers. kuadrat ax 2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2 + n , maka
selisih akar
D = ( n ⋅ a)
2
dengan D = b 2 − 4 ac
7
2
Persamaan Kuadrat Baru (PKB)
a x 2 + bx + c = 0
1. PKB yang akar − akarnya k kali (kx1 dan kx2 ) dari ax 2 + bx + c = 0
adalah ax 2 + kbx + ck 2 = 0
⎛1
1⎞
2. PKB yang akar − akarnya kebalikan ⎜⎜ dan ⎟⎟ dari ax 2 + bx + c = 0
x2 ⎠
⎝ x1
adalah cx 2 + bx + a = 0
3. PKB yang akar − akarnya berlawanan (− x1 dan − x2 ) dari ax 2 + bx + c = 0
adalah ax 2 − bx + c = 0
4. PKB yang akar − akarnya x12 dan x22 dari ax 2 + bx + c = 0
(
)
adalah a 2 x − b 2 − 2 ac x + c 2 = 0
5. PKB yang akar − akarnya x13 dan x22 dari ax 2 + bx + c = 0
(
)
a 3 x − 3 abc − b 3 x + c3 = 0
6. PKB yang akar − akarnya x1 + k dan x2 + k (k lebihnya dari ) dari ax 2 + bx + c = 0
adalah a ( x − k ) + b ( x − k ) + c = 0
7. PKB yang akar − akarnya x1 − k dan x2 − k (k kurangnya dari ) dari ax 2 + bx + c = 0
2
adalah a ( x + k ) + b ( x + k ) + c = 0
x
x
8. PKB yang akar − akarnya 1 dan 2 dari ax 2 + bx + c = 0
x1
x2
2
(
)
(
)
adalah acx 2 − b 2 − 2 ac x + ac = 0
1
1
9. PKB yang akar − akarnya 2 dan 2 dari ax 2 + bx + c = 0
x1
x2
adalah c 2 x 2 − b 2 − 2 ac x + a 2 = 0
10. PKB yang akar − akarnya x1 + x2 dan x1 ⋅ x2 dari ax 2 + bx + c = 0
adalah a 2 x 2 + ( ab − c ) x − bc = 0
Persamaan kuadrat yang akar − akarnya α dan β adalah x 2 − ( α + β ) x + ( α ⋅ β ) = 0
a1 x 2 + b1 x + c1
Kuadrat ganda : r =
a2 x 2 + b2 x + c2
Pers. kuadrat ganda yang mempunyai akar − akar , dim ana h arg a akarnya
ditentukan oleh h arg a r ⇒ D2 r − ( 2 b1 b2 − 4 ( a1 c1 + a2 c2 )) r + D1 = k
8
PERSAMAAN
1. Persamaan garis melalui dua titik
x2 y1 = Q
x1
GARIS
K ( x1 , y1 ) dan L ( x2 , y2 ) :
y1 − y 2 = B
y1
x1 − x2 = A
y2 x1 y 2 = P
Hasil pers. yang dim aksud : A y = Bx + (P − Q )
A y = Bx + ( P − Q )
2. Pers. garis melalui titik M ( x3 , y3 ) dan ⊥ garis yang melalui titik K ( x1 , y1 )
x2
dan titik L ( x2 , y2 ) :
3.
4.
5.
6.
x1
y1
x2
y2
x1 − x2 = A
⇒
_
y1 − y2 = B
Ax + By = Ax3 + By3
Hasil : Ax + By = Ax3 + By3
Pers. garis melalui ( a , b ) sejajar Ax + By + C = 0 ⇒ Ax + By = Aa + Bb
Pers. garis melalui ( a , b ) ⊥ Ax + By + C = 0 ⇒ Bx − Ay = Ba − Ab
Pers. garis melalui ( 0 , a ) dan ( b , 0) ⇒ ax + by = ab (Hukum Hess )
Titik potong garis g : y = m1 x + c1 dan garis h : y = m2 x + c2 adalah :
x=
c1 − c2
m2 − m1
y=
dan
m2 c1 − m1 c2
m2 − m1
7. Jarak titik A ( x1 , y1 ) dengan garis ax + by + c = 0 ⇒ d =
ax1 + by1 + c
a 2 + b2
8. Jarak dua buah garis yang sejajar antara ax + by + c1 = 0 dengan ax + by + c2 = 0 , adalah :
d=
c1 − c2
a 2 + b2
9. Tiga buah titik ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) terletak dalam satu garis jika :
x3 − x1 y3 − y1
=
x2 − x1 y2 − y1
10. Jika garis ax + by + c = 0 digeser
k satuan ke − kanan ⇒ a ( x − k ) + by + c = 0
k satuan ke − kiri ⇒ a ( x + k ) + by + c = 0
k satuan ke − atas ⇒ ax + b ( y − k ) + c = 0
k satuan ke − bawah ⇒ ax + b ( y + k ) + c = 0
9
GRADIEN
1. * Gradien suatu garis m =
y
x
atau m = tan a
* Gradien suatu garis ax + by + c = 0 ⇒ m =
* Gradien suatu garis
y = mx + c ⇒ m
−a
b
* Gradien garis melalui (x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) ⇒ m =
2. Pers. garis melalui (a , b ) dengan gradien m ⇒
3. Pers. garis melalui titik ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 )
4. Pers. dua garis : g ⇒ y = m1 x + c1
l ⇒
y
y2 − y1
x2 − x1
y − b = m (x − a )
y − y1
x − x1
⇒
=
y2 − y1 x2 − x1
y = m2 x + c2
garis g sejajar garis l , bila : m1 = m2
garis g ⊥ l , bila : m1 ⋅ m2 = −1
5. Pers. garis ax + by + c = 0 dan px + qy + r = 0 akan :
a p
* sejajar bila :
dan c ≠ r
=
b q
a p c
* berimpit bila :
= =
b q r
* berpotongan bila : aq − bq ≠ 0
6. Dua garis berpotongan bebas , mak : tan α =
dim ana α
m1 − m2
1 + m1 m2
adalah sudut yang dibentuk oleh kedua garis.
10
a
x
TRIGONOMETRI
* sin a =
y
r
x
* cos a =
y
y
* tan a =
x
* cos ec a =
r
y
a
r
y
⇒ sec a =
* sin 2 a + cos 2 a = 1
x
r
x
⇒ cot a =
x
y
dengan r 2 = x 2 + y 2
* cos 2 a = 1 − sin 2 a
* sin 2 a = 1 − cos 2 a
sin a
* tan a =
cos a
2
* tan a + 1 = sec 2 a
* cot 2 a + 1 = cos ec 2 a
(90 − a ) = + cos a
(90 − a ) = + sin a
(
)
(90 − a ) = + cot a
(90 − a ) = + tan a
sin (180 − a ) = + sin a
cos (180 − a ) = − cos a
untuk sudut (180 − a ) atau (90 + a ) :
tan (180 − a ) = − tan a
cot (180 − a ) = − cot a
sin (90 + a ) = + cos a
cos (90 + a ) = − sin a
tan (90 + a ) = − cot a
cot (90 + a ) = − tan a
sin (180 + a ) = − sin a
cos (180 + a ) = − cos a
tan (180 + a ) = + tan a
cot (180 + a ) = + cot a
untuk sudut (180 + a ) atau (270 − a ) :
sin (270 − a ) = − cos a
cos (270 − a ) = − sin a
tan (270 − a ) = + cot a
cot (270 − a ) = + tan a
sin
cos
1. Kuadran Ι : untuk sudut 900 − a 0 :
tan
cot
2. Kuadran ΙΙ :
3. Kuadran ΙΙΙ :
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4. Bentuk y = A sin px + c atau y = A cos px + c
ymaksimum = A + c ⇒ ymin imum = − A + c
Periode :
π
P
5. Bentuk f ( x) = a cos x + b sin x + c
dapat ditulis f ( x) = k cos ( x − α ) + c , dengan k = a 2 + b 2
f ( x) maksimum = k + c ⇒ f ( x) min imum = −k + c
6. Jumlah (α + β ) dan selisih (α − β ) untuk dua sudut :
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
tan α + tan β
tan (α + β ) =
1 − tan α tan β
tan α − tan β
tan (α − β ) =
1 + tan α tan β
7. Fungsi trigonometri dengan sudut berbeda :
sin α + sin β = 2 sin 12 (α + β )cos 12 (α − β )
sin α − sin β = 2 cos 12 (α + β )sin 12 (α − β )
cos α + cos β = 2 cos 12 (α + β )cos 12 (α − β )
cos α − cos β = −2 sin 12 (α + β )sin 12 (α − β )
8. Perkalian fungsi trigonometri dengan sudut berbeda :
2 sin α cos β = sin (α + β ) + sin (α − β )
2 cos α sin β = sin (α + β ) − sin (α − β )
2 cos α cos β = cos (α + β ) + cos (α − β )
− 2 sin α cos β = cos (α + β ) − cos (α − β )
9. Untuk sudut kembar :
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
= 2 cos 2 α − 1
= 1 − 2 sin 2 α
2 tan α
1 − tan 2 α
10. Rumus pengembangan :
tan 2α =
sin α = 2 sin 12 α cos 12 α
cos α = cos 2 12 α − sin 2 12 α = 2 cos 2 12 α − 1
= 1 − 2 sin 2 12 α
12
dan tan α =
b
a
11. Sudut rangkap 3α :
sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α
3 tan α − tan 3 α
1 − 3 tan 2 α
12. Aturan sin us :
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
13. Aturan cos inus :
tan 3α =
C
a = b + c − 2 bc cos A
2
2
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos C
14. L Δ =
1
2
a
b
2
A
B
c
ab sin C = 12 ac sin B = 12 bc sin A
= s (s − a ) (s − b ) (s − c ) ⇒ dengan s =
a+b+c
2
15. Grafik fungsi trigonometri :
y
y = sin x
1
00
900
1800
2700
x
3600
–1
y = cos x
y
1
00
902
1800
2700
3600
x
–1
y = tan x
y
00
900
1800
2700
3600
13
x
BARISAN
DAN
DERET
A. Deret Aritmetika :
Bentuk umum : a , a + b , a + 2b , a + 3b , .................. , a + (n − 1)
U1 U 2
U3
U 4 , .................. ,
Un
1. U n = a + (n − 1) n
2. S n =
=
1
2
1
2
n (a + U n ) ⇒
n (2 a + (n − 1) b ) ⇒
jika suku terakhir diketahui
jika suku terakhir tidak diketahui
a + Un
2
4. U n = S n − S n − 1 ⇒ dipakai untuk deret aritmetika dan deret geometri
3. U t =
5. b = U n − U n −1
6. Bila diketahui suku ke − n1 adalah k1 dan jumlah suku ke − n2 dan n3 adalah k2 ,
maka beda dari suku tersebut :
U n1 = k1
n1 = m1
U n 2 + U n3 = k 2
n2 + n3 = m2
⇒ b=
2k1 − k 2
2m1 − m2
7. Jumlah suku pertama deret aritmetika kuadrat tan pa kons tan :
* U n = 2 pn + (q − p )
⇒
S n = pn 2 + qn
* b = 2p
8. Suku ke − n linear :
p 2 ⎛
p⎞
n + ⎜q + ⎟ n
2
2⎠
⎝
9. Segitiga siku − siku yang membentuk deret aritmetika memiliki kelipa tan 3 , 4 , 5 :
Jika a , b , c , d , dan e membentuk deret aritmetika , berlaku :
suku tengah = rata − rata suku simetrisnya
b+d a+e
a+c
c+d
=
c=
atau b =
atau d =
2
2
2
2
10. Bila disisipkan k suku diantara dua suku deret aritmetika maka :
U n = pn + q ⇒ S n =
* b′ =
b
k +1
* U n′ = U1 = (n − 1) b′
n
(2 U1 + (n − 1) b′)
2
* n′ = n + (n − 1) k
denngan : b′ = beda baru ; S n′ = jumlah suku ke − n baru ; n′ = banyaknya suku baru ;
U n′ = suku ke − n baru
* S n′ =
14
B. Deret Geometri :
1. Bentuk umum : a , ar , ar 2 , ar 3 , .................. , ar n −1
U1 U 2 U 3 U 4 , .................. , U n
2. Jika : U n = suku ke − n ; U t = suku tengah ; S n = jumlah n suku pertama ;
a = U1 = suku awal ; r = rasio
U n = ar n −1
(
)
a rn −1
rn −1
a 1− rn
Sn =
1− rn
Sn =
(
)
r=
Un
U n −1
⇒ untuk
r >1
Ut =
⇒ untuk
r 1 ⇒ r < −1 atau r > 1
7. Deret log aritma :
log b + a log 2b + a log 3b + a log 4b + .................. = b log b
8. Deret bujur sangkar :
1
* rasio deret luas bujursangkar =
2
1
* rasio deret keliling bujursangkar =
2
2
1
9. * Rasio deret luas segitiga samasisi =
4
1
* rasio deret keliling segitiga samasisi =
2
a
a
10. Panjang l int asan bola jatuh ⇒ s = jatuh pertama ×
15
jumlah perbandingan
selisih perbandingan
( TURUNAN )
DIFERENSIA L
f ′( x) = lim
1. Turunan fungsi aljabar :
y = c ( c = kons tan ) ⇒ y′ = 0
y = xn
⇒
h →0
U
V
⇒
y′ = n x n −1
y = ex
⇒
y = tan ax
⇒
y = cot ax
ax + b
cx + d
⇒
⇒
y′ =
y =Un
y = 1n U
y = aU
ad − bc
(cx + d )2
y′ = n U n −1 ⋅ U ′
U′
⇒ y′ =
U
⇒ y ′ = aU 1 n a U ′
⇒
⇒ y′ = eU ⋅ U ′
⇒ y′ = U ′ cos U
⇒ y′ = −U ′ sin U
y = cot U
⇒
6. y = a sin n bx ⇒
y′ = n a b sin n −1 bx cos bx atau
7. y = a cos n bx ⇒
y′ = n a b cos n −1 bx sin bx atau
( a , b)
y′ = a e ax
y = eU
y = sin U
y = cos U
y = tan U
y′ = − a cos ec 2 ax
g
⇒
y′ = e x
4. Fungsi majemuk : fungsi mejemuk merupakan
komposisi yang terdiri dari beberapa fungsi ,
dim ana salah satu komposi sin ya dim isalkan
menjadi U (untuk mengganti var iabel x )
y′ = a sec 2 ax
8. Garis sin ggung kurva :
y = f (x)
⇒
y = e ax
y′ = − cos ec 2 x
⇒ y′ = − cos ec x ⋅ cot x
⇒ y′ = sec x ⋅ tan x
⇒ y′ = a cos ax
⇒ y′ = − a sin ax
y = cot x
y = cos ec x
y = sec x
y = sin ax
y = cos ax
5. y =
y′ = sec 2 x
f ( x)
2. Turunan fungsi eksponen dan log aritma
1
⇒ y′ =
y = 1n x
x
a
⇒ y′ =
y = 1n ax
x
1
⇒ y′ =
y = a log x
x 1n a
3. Turunan fungsi trigonometri
⇒ y′ = cos x
y = sin x
⇒ y′ = − sin x
y = cos x
y = tan x
( x + h) −
h
⇒ y′ = a n x n −1
⇒ y′ = U ′ + V ′
⇒ y′ = U ′ − V ′
⇒ y′ = U ′V + U V ′
U ′V − U V ′
⇒ y′ =
V2
y = a xn
y = U +V
y = U −V
y = U ⋅V
y=
f
⇒
y′ = U ′ sec 2 U
y′ = −U ′ cos ec 2U
y′ =
nab
sin n − 2 bx sin 2bx
2
nab
y′ = −
cos n − 2 bx sin 2 bx
2
Persamaan garis sin ggung kurva g :
y −b = m (x−a )
dengan gradien m = f ′( x) = f ′(a)
16
9. Naik / turun suatu fungsi :
* Jika f ′( x) = m = 0 , maka titik ( x1 , y1 ) ⇒ titik stasioner
* Jika f ′( x) > 0 , maka grafik y = f ( x) ⇒ naik
* Jika f ′( x) < 0 , maka grafik y = f ( x) ⇒ turun
10. Nilai ekstrem suatu fungsi :
* Fungsi y = f ( x) mempunyai nilai maksimum di
* Fungsi y = f ( x) mempunyai nilai min imum di
⎧ f ′( x1 ) = 0
x = x1 bila ⎨
⎩ f ′′( x1 ) < 0
⎧ f ′( x2 ) = 0
x = x2 bila ⎨
⎩ f ′′( x2 ) > 0
⎧* f ′ disekitar x = x1 tidak berubah
11. Titik belok : (x1 , f ( x1 ) ) merupakan titik belok fungsi f ( x) bila ⎨
* f ′′( x1 ) = 0
⎩
12. Turunan pada mekanika : jika a = percepa tan , V = kecepa tan , S = jarak , t = waktu , maka :
V =
ds
= S′
dt
⇒
a=
dv
= V′
dt
13. Nilai maksimum dan min imum :
⎧ ab = maks ⇒ a = 12 c
⎪ 2
1
⎪ ab = maks ⇒ a = 3 c
* a +b = c ⎨ 2 3
2
⎪a b = maks ⇒ a = 5 c
⎪⎩
ab maks = 14 c 2
14. Luas maksimum daerah yang di arsir ⇒
b
⎧ ab = min
⎪ 2
⎪ ab = min
* a −b = c ⎨ 2 3
⎪a b = min
⎪⎩ ab min
1
4
( ab )
1
2
( ab )
3
4
ab
( x , y)
a
Luas maksimum daerah yang di arsir ⇒
b
−a
a
Luas maksimum daerah yang di arsir ⇒
3
( a , b)
●
17
⇒ a = 12 c
⇒ a = 13 c
⇒ a = 52 c
= − 14 c 2
MATRIKS
⎛a b ⎞
⎟⎟ det er min an A = det A = A = ad − bc
1. A = ⎜⎜
⎝c d⎠
⎛ d − b⎞
1
⎟
⎜
2. Invers A = A−1 =
ad − bc ⎜⎝ − c a ⎟⎠
3. Matriks sin gular adalah matriks yang tidak memiliki invers ( matriks dengan det er min an = 0 )
⎛a c ⎞
⎛a b⎞
⎟⎟
⎟⎟
4. A = ⎜⎜
matriks transposnya ⇒ At = ⎜⎜
⎝b d ⎠
⎝c d⎠
ax + by = c
⎛ a b⎞
⎛ a b⎞ ⎛ x ⎞ ⎛c⎞
⎟⎟ ⇒ matriks koefisien
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜
5.
⇒ dapat ditulis ⎜⎜
px + qy = r
⎝ p q⎠
⎝ p q⎠ ⎝ y⎠ ⎝r ⎠
6. AB ≠ BA ⇒ tidak berlaku sifat komutatif ( perkalian )
7. Dua matriks dikatakan sama bila memiliki ordo sama daan belemen − elemen seletaknya sama
8. Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks − matriks
yang ber − ordo sama.
9. Perkalian matriks hanya dapat dilakukan bila :
banyaknya kolom matriks pertama dan kedua sama ⇒
Am× n × Bn× p = Cm× p
⎧
⎪* MN = MP , maka
⎛u v⎞
⎛ p q⎞
⎛a b ⎞
⎪
⎟⎟ ⇒ ⎨
⎟⎟ ; M = ⎜⎜
⎟⎟ ; N = ⎜⎜
10. A = ⎜⎜
⎝w x⎠
⎝ r s⎠
⎝c d ⎠
⎪* MN = MP , maka
⎪⎩
c b
a c
ax + by = c
p r
r q
maka ⇒ x =
dan y =
a b
a b
px + qy = r
p q
p q
11. A B = C , maka B = A−1 C
⎛a b
⎜
12. N = ⎜ d e
⎜g h
⎝
dan
b c a−d
= =
q r p−s
a c w−r x−s
= =
=
c d p−u q −v
A = C B −1
c⎞
⎟
f ⎟ det matriks N =
i ⎠⎟ cara Sarrus
a b
d e
g h
c
f
i
a
d
g
b
e
f
A B C
D E F
dengan A = c ⋅ e ⋅ g ; B = a ⋅ f ⋅ h ; C = b ⋅ d ⋅ i ; D = a , e , i ; E = b ⋅ f ⋅ g ; F = c ⋅ d ⋅ f
det N = ( D + E + F ) − ( A + B + C )
13. Deter min an :
1
* det ( AB ) = det A ⋅ det B
* det (A−1 ) =
det A
( )
* det At = det A
14. * ( AB ) = B t At
t
* AB = I
⇒
⎛1 0⎞
⎟⎟
I = ⎜⎜
⎝0 1⎠
* ( AB ) = B −1 A−1
−1
A = B −1 atau B = A−1 dengan I matriks satuan (matriks identitas )
18
STATISTIK
A. Data tunggal :
1. Rata − rata (mean) ⇒
x=
∑x
x=
atau
∑fx
n
n
2. Median (Me) ⇒ data tengah yang telah diurutkan
x +1
⇒ untuk n ganjil positif
Me = n
2
x n + ⎛⎜ x n + 1⎞⎟
Me = 2 ⎝ 2 ⎠ ⇒ untuk n genap positif
2
3. Kuartil : membagi data terurut menjadi 4 bagian yang sama
●
●
●
Q1
Q2
Q3
Q1 = kuartil bawah ; Q2 = kuartil tengah (median ) ; Q3 = kuartil atas
4. Modus : adalah data yang sering muncul
B. Data int erval (data tersusun )
1. Rata − rata (mean ) ⇒ x
∑f x
∑f
i
i
i
simpangan rata − rata ⇒ x = m +
∑d
i
m = rata − rata hitungan sementara ; di = xi − m = simpangan
x=m+
∑f d
∑f
i
n
i
⎛n
⎞
⎜ −F⎟
⎟P
2. Me = Tb + ⎜ 2
⎜ F me ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
dengan : Me = median ; Tb = tepi bawah kelas median ; P = panjang int erval kelas median ;
1
F = jumlah frekuensi ; F me = frekuensi kelas median ; n = banyaknya data
CATATAN :
* tepi bawah kelas = batas bawah kelas − 0,5
* tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5
* panjang int erval kelas = tepi atas kelas − tepi bawah kelas
* titik tengah imterval kelas =
*
panjang int erval kelas =
1
2
(batas atas kelas + batas bawah kelas )
jangkauan
banyaknya int erval kelas
19
⎛ S1i ⎞
⎟⎟ P
3. Modus ⇒ Mo = Tb + ⎜⎜
⎝ S1i + s2 ⎠
Mo = mod us ; Tb = tepi kelas mod us ;
S1 = selisih frekuensi kelas mod us dengan frekuensi kelas sebelumnya
S 2 = selisih frekuensi kelas mod us dengan frekuensi kelas sesudahnya
P = panjang int erval kelas
⎞
⎛k
⎜ n−∑ f s⎟
⎟P
4. Kuartil ⇒ Qk = Tb + ⎜ 4
⎜ f (Qk ) ⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
Qk = kuartil ke − k ; Tb = tepi bawah kelas kuartil ke − k ;
∑fs=
jumlah frekuensi kelas − kelas sebelum kelas Qk berada ;
f (Qk ) = frekuensi kelas Qk
C. Simpangan :
1. rata − rata simpangan = deviasi rata − rata = mean deviasi ⇒ Md =
∑
2. simpangan baku = deviasi baku = deviasi s tan dar
S=
S=
∑ (x − x )
2
∑ f (x − x )
i
n
xi − x
n
⇒ untuk data tunggal
⇒ untuk data tersusun
n
S 2 (var iansi sampel ) = kuadrat dari simpangan baku
2
i
S 2 ( gabungan )
3.
i
ni S12 + ni S 22
=
n1 + n2
jangkauan = data terbesar − data terkecil
4. simpangan kuartil ( jangkauan semi kuartil ) ⇒ Qd =
1
(Q3 − Q1 )
2
5. Bila ada n dengan rata − rata x0 , kemudian ditambah data baru x1 sejumlah m
(
)
n x1 − x0
m
x1 = nilai data baru ; x1 = rata − rata sekarang ; x0 = rata − rata semula ;
hingga didapat rata − rata baru
x1 maka : x1 = x1 +
n = banyaknya data lama ; m = banyaknya data baru
6. Rata − rata dari sekelompok data :
*
penambahan data
xb =
*
pengurangan data
xb =
n x + pq
( n + p)
n x − pq
( n − p)
dengan : x = rata − rata lama ; xb = rata − rata baru ; p = banyaknya data yang ditambahkan
q = nilai yang ditambahkan ; banyaknya data mula − mula
20
7. Perbandingan rata − rata gabungan
x2 − xgab
Q
n1
=
=
n2
P
xgab − x1
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + .................. = ( n1 + n2 + n3 + ..................) x
EKSPONEN
1. a m ⋅ a n = a m + n
6.
2. a m : a n = a m − n
3.
(a )
m n
7. a 0 = 1
= a m⋅n
am = a n
8. a − n =
n
5. a f ( x ) = a g ( x )
⇒
1
an
9. Jika a f ( x ) > a g ( x )
m
4.
( ab )n = a nb n
f ( x) = g ( x)
*
*
f ( x) > g ( x) dengan a > 1
f ( x) < g ( x) dengan 0 < a < 1
Persamaan eksponen :
ax = a y
⇒ x=y
a x = b ⇒ x = a log b
( )
( )
a g x + b g x + c = 0 ⇒ x1 + x2 = g log
2
2
c
a
PERMUTASI & KOMBINASI
1. * Permutasi k unsur dari n unsur untuk k ≤ n , adalah semua uru tan yan berbeda
yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda
n!
P ( n , k ) = Pkn =
( n − k )!
* Banyaknya permutasi P dari unsur n unsur yang diambil semuanya sec ara bersamaan
dim ana ada n1 unsur sama , n2 unsur sama , n3 unsur sama dst.
P=
n!
n1 ! × n2 ! × n3 ! × .........
* Banyaknya cara penyusunan n objek yang berbeda pada sebuah lingkaran :
( n − 1)!
2. Kombinasi
C ( n , k ) = Ckn =
n!
( n − k )! k !
21