07 Invers Perkalian Matriks Ordo 2x2
MATRIKS
D. Invers Perkalian Matriks ordo (2 x 2)
Matriks identitas perkalian (dilambangkan dengan I) adalah sebuah matriks persegi
yang memenuhi sifat: Jika A adalah matriks persegi yang berordo sama dengan I,
maka berlaku
A x I = I x A = A
1 0
Untuk matriks identitas ordo (2 x 2) dapat dinyatakan sebagai I =
0 1
Bukti :
a b
a b
1 0 a 0 0 b
maka A x I =
x
Misalkan A =
=
=
c d
c d
0 1 c 0 0 d
a b
c d = A
Jika A sebuah matriks persegi maka terdapat invers perkalian dari matriks A yang
dilambangkan dengan A 1 dan memenuhi sifat:
A x A 1 = A 1 x A = I
a b
Untuk matriks ordo (2 x 2), invers dari matriks A =
dapat ditentukan sebagai
c d
berikut :
p q
Misalkan A 1 =
r s
maka
A x A 1 = I
a b p q
1 0
c d x r s = 0 1
ap br aq bs
1 0
cp dr cq ds = 0 1
Sehingga : ap + br = 1 ........................................................................................... (1)
cp + dr = 0 ........................................................................................... (2)
aq + bs = 0 ............................................................................................ (3)
cq + ds = 1 ............................................................................................ (4)
Dari (1)(2) ap + br = 1 (d)
adp + bdr = d
cp + dr = 0 (b)
bcp + bdr = 0
adp – bcp = d
(ad – bc) p = d
Matriks
jadi p =
d
ad bc
1
Dari (1)(2) ap + br = 1 (c)
cp + dr = 0 (a)
acp + bcr = c
acp + adr = 0
bcr – adr = c
adr – bcr = –c
(ad – bc) r = –c
Dari (3)(4) aq + bs = 0 (d)
cq + ds = 1 (b)
adq + bds = 0
bcq + bds = b
adq – bcq = –b
(ad – bc) q = –b
Dari (3)(4) aq + bs = 0 (c)
cq + ds = 1 (a)
jadi r =
acq
acq
bcs
ads
+
+
–
–
bcs =
ads =
ads =
bcs =
c
ad bc
b
ad bc
jadi q =
0
a
–a
a
(ad – bc) s = a
jadi s =
a
ad bc
b
d b
1
ad bc =
Jadi : A 1
a
ad bc c a
ad bc
d b
1
maka invers dari A dirumuskan A 1 =
ad bc c a
dimana ad – bc dinamakan determinan.
Jika matriks A mempunyai determinan 0 maka A dikatakan matriks singular, yaitu
matriks yang tidak mempunyai invers.
d
p q
=
= ad bc
c
r s
ad bc
Terdapat beberapa sifat yang berkenaan dengan invers matriks, yaitu :
Sifat 1
Jika A adalah matriks berordo (2 x 2) dan k adalah bilangan real, maka
(k.A) 1
1
k
A 1
ka kb
a b
a b
Misalkan A =
, maka k.A = k
=
c d
c d
kc kd
kd kb
1
Sehingga (k. A) 1 =
(ka)(kd) (kb)(kc) kc ka
d b
k
=
k 2 (ad bc) c a
d b
1
1
.
=
k (ad bc) c a
Bukti
=
Matriks
1
k
A
1
2
Sifat 2
Jika A adalah transpose matriks A maka berlaku ( At ) 1 ( A 1 ) t
Bukti
a c
a b
Jika A =
, maka A t =
sehingga (A t ) 1 =
c d
b d
d b
1
1
sehingga (A 1 ) t =
A 1 =
ad bc c a
ad bc
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa ( At ) 1 ( A 1 ) t
d c
1
ad bc b a ….....(1)
d c
b a .......................(2)
Sifat 2
Jika A adalah matriks berordo (2 x 2) maka berlaku (A 1 ) 1 = A
Bukti
Misalkan : (A 1 ) 1 = B .......................................................................................... (1)
Maka A 1 (A 1 ) 1 = A 1 . B
I =
A 1 . B
(kedua ruas dikalikan dengan A 1 dari kiri)
A x I = A x A 1 . B
(Kedua ruas dikalikan dengan A)
A = I x B
A = B .......................................................................................... (2)
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa (A 1 ) 1 = A
Sifat 3
Jika A dan B adalah matriks berordo (2 x 2) maka berlaku : (A x B) 1 B 1 x A 1
Bukti
Misalkan (A x B) 1 = C
maka
………………………………………………………………(1)
((A x B) 1 ) 1 = C 1
A x B = C 1
A 1 x A x B = A 1 x C 1
I x B = A 1 x C 1
(kedua ruas di inverskan)
(Kedua ruas dikalikan dengan A 1 dari kiri)
B = A 1 x C 1
B x C = A 1 x C 1 x C (Kedua ruas dikalikan dengan C dari kanan)
B x C = A 1 x I
B x C = A 1
B 1 x B x C = B 1 x A 1
I x C = B 1 x A 1
(Kedua ruas dikalikan dengan B 1 dari kiri)
C = B 1 x A 1 ……………………………………………..………….. (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh :
Matriks
(A x B) 1 B 1 x A 1
3
Sifat 4
Jika A, B dan C adalah matriks-matriks berordo (2 x 2) maka :
(1) Tidak berlaku sifat komutatif perkalian, sehingga A x B ≠ B x A
(2) Berlaku sifat asosiatif perkalian, sehingga : (A x B) x C = A x (B x C)
(3) Berlaku sifat distributif, sehingga A(B + C) = AB + AC
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini
01. Tentukanlah invers setiap matriks berikut ini :
2 5
(a) A =
1 3
2 4
(b) B =
3 5
Jawab
3 5
1
(2)(3) (5)(1) 1 2
1 5 4
A 1 =
6 1 3 2
5 4
A 1 =
3 2
Untuk membuktikannya harus ditunjukkan bahwa A x B = I
2 5
(a) A =
1 3
maka
A 1 =
3 - 5
2 5
x
Tinjau : A x B =
- 1 2
1 3
6 5 10 10
=
3 3 5 6
2 4
(b) A =
3 5
1 0
=
0 1
= I
Jadi terbukti bahwa A dan B saling invers
maka
A 1
A 1
Matriks
5 4
1
(2)(5) (4)(3) 3 2
1 5 4
=
2 3 2
5 / 2 2
=
3 / 2 1
A 1 =
4
02. Tentukan invers setiap matriks berikut ini :
1 3/2
(a) A =
3/4 5/4
Jawab
32 - 64
(b) B =
16 - 48
4/4 6/4
1 3/2
(a) A =
=
3/4 5/4
3/4 5/4
maka
A 1
A 1
1 4 6
4 3 5
5 6
1
= 4.
(4)(5) (6)(3) 3 4
5 6
4
=
20 18 3 4
5 6
A 1 = 2.
3 4
2 4
32 - 64
(b) B =
= 16.
16 - 48
1 3
maka
B 1 =
B 1 =
B 1 =
B 1 =
B 1 =
=
10 12
=
6 8
3 4
1
1
.
16 (2)(3) (4)(1) 1 2
3 4
1
1
.
16 6 4 1 2
1 3 4
1
.
16 2 1 2
1 3 4
.
32 1 2
3 / 32 1 / 8
1 / 32 1 / 16
5 3
03. Jika A =
dan B =
6 4
(A x B) 1 x A
3 2
4 3 , maka tentukanalah matriks hasil dari
Jawab
1
x A 1 x A
(A x B) 1 x A = B
= B 1 x I
= B 1
=
Matriks
3 2
1
(3)(3) (2)(4) 4 3
5
1 3 2
9 8 4 3
3 2
=
4 3
=
x 4 6 x
04. Jika matriks A =
merupakan matriks singular maka tentukanlah
x 2
3
nilai x
Jawab
Jika A matriks singular maka det (A) = 0
Sehingga : det(A) = (x – 4)(x – 2) – (6 – x)3 = 0
x2 – 2x – 4x + 8 – 18 + 3x = 0
x2 – 3x – 10 = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
Jadi x = –2 dan x = 5
5 2
05. Jika matriks A =
adalah invers dari matriks B =
6 2
tentukanlah nilai x dan y
Jawab
x y
1
2 x 1 5 / 2 maka
A 1 = B
2 2
1
(5)(2) (2)(6) 6 5
2 2
1
10 12 6 5
1 2 2
2 6 5
1 1
3 5 / 2
Maka : 2x + 1 = –3
2x = –4
x = –2
Matriks
x y
1
=
2 x 1 5 / 2
x y
1
=
2 x 1 5 / 2
x y
1
=
2 x 1 5 / 2
1 x y
=
2 x 1 5 / 2
x+y=1
–2 + y = 1
y = 3
6
Matriks
7
D. Invers Perkalian Matriks ordo (2 x 2)
Matriks identitas perkalian (dilambangkan dengan I) adalah sebuah matriks persegi
yang memenuhi sifat: Jika A adalah matriks persegi yang berordo sama dengan I,
maka berlaku
A x I = I x A = A
1 0
Untuk matriks identitas ordo (2 x 2) dapat dinyatakan sebagai I =
0 1
Bukti :
a b
a b
1 0 a 0 0 b
maka A x I =
x
Misalkan A =
=
=
c d
c d
0 1 c 0 0 d
a b
c d = A
Jika A sebuah matriks persegi maka terdapat invers perkalian dari matriks A yang
dilambangkan dengan A 1 dan memenuhi sifat:
A x A 1 = A 1 x A = I
a b
Untuk matriks ordo (2 x 2), invers dari matriks A =
dapat ditentukan sebagai
c d
berikut :
p q
Misalkan A 1 =
r s
maka
A x A 1 = I
a b p q
1 0
c d x r s = 0 1
ap br aq bs
1 0
cp dr cq ds = 0 1
Sehingga : ap + br = 1 ........................................................................................... (1)
cp + dr = 0 ........................................................................................... (2)
aq + bs = 0 ............................................................................................ (3)
cq + ds = 1 ............................................................................................ (4)
Dari (1)(2) ap + br = 1 (d)
adp + bdr = d
cp + dr = 0 (b)
bcp + bdr = 0
adp – bcp = d
(ad – bc) p = d
Matriks
jadi p =
d
ad bc
1
Dari (1)(2) ap + br = 1 (c)
cp + dr = 0 (a)
acp + bcr = c
acp + adr = 0
bcr – adr = c
adr – bcr = –c
(ad – bc) r = –c
Dari (3)(4) aq + bs = 0 (d)
cq + ds = 1 (b)
adq + bds = 0
bcq + bds = b
adq – bcq = –b
(ad – bc) q = –b
Dari (3)(4) aq + bs = 0 (c)
cq + ds = 1 (a)
jadi r =
acq
acq
bcs
ads
+
+
–
–
bcs =
ads =
ads =
bcs =
c
ad bc
b
ad bc
jadi q =
0
a
–a
a
(ad – bc) s = a
jadi s =
a
ad bc
b
d b
1
ad bc =
Jadi : A 1
a
ad bc c a
ad bc
d b
1
maka invers dari A dirumuskan A 1 =
ad bc c a
dimana ad – bc dinamakan determinan.
Jika matriks A mempunyai determinan 0 maka A dikatakan matriks singular, yaitu
matriks yang tidak mempunyai invers.
d
p q
=
= ad bc
c
r s
ad bc
Terdapat beberapa sifat yang berkenaan dengan invers matriks, yaitu :
Sifat 1
Jika A adalah matriks berordo (2 x 2) dan k adalah bilangan real, maka
(k.A) 1
1
k
A 1
ka kb
a b
a b
Misalkan A =
, maka k.A = k
=
c d
c d
kc kd
kd kb
1
Sehingga (k. A) 1 =
(ka)(kd) (kb)(kc) kc ka
d b
k
=
k 2 (ad bc) c a
d b
1
1
.
=
k (ad bc) c a
Bukti
=
Matriks
1
k
A
1
2
Sifat 2
Jika A adalah transpose matriks A maka berlaku ( At ) 1 ( A 1 ) t
Bukti
a c
a b
Jika A =
, maka A t =
sehingga (A t ) 1 =
c d
b d
d b
1
1
sehingga (A 1 ) t =
A 1 =
ad bc c a
ad bc
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa ( At ) 1 ( A 1 ) t
d c
1
ad bc b a ….....(1)
d c
b a .......................(2)
Sifat 2
Jika A adalah matriks berordo (2 x 2) maka berlaku (A 1 ) 1 = A
Bukti
Misalkan : (A 1 ) 1 = B .......................................................................................... (1)
Maka A 1 (A 1 ) 1 = A 1 . B
I =
A 1 . B
(kedua ruas dikalikan dengan A 1 dari kiri)
A x I = A x A 1 . B
(Kedua ruas dikalikan dengan A)
A = I x B
A = B .......................................................................................... (2)
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa (A 1 ) 1 = A
Sifat 3
Jika A dan B adalah matriks berordo (2 x 2) maka berlaku : (A x B) 1 B 1 x A 1
Bukti
Misalkan (A x B) 1 = C
maka
………………………………………………………………(1)
((A x B) 1 ) 1 = C 1
A x B = C 1
A 1 x A x B = A 1 x C 1
I x B = A 1 x C 1
(kedua ruas di inverskan)
(Kedua ruas dikalikan dengan A 1 dari kiri)
B = A 1 x C 1
B x C = A 1 x C 1 x C (Kedua ruas dikalikan dengan C dari kanan)
B x C = A 1 x I
B x C = A 1
B 1 x B x C = B 1 x A 1
I x C = B 1 x A 1
(Kedua ruas dikalikan dengan B 1 dari kiri)
C = B 1 x A 1 ……………………………………………..………….. (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh :
Matriks
(A x B) 1 B 1 x A 1
3
Sifat 4
Jika A, B dan C adalah matriks-matriks berordo (2 x 2) maka :
(1) Tidak berlaku sifat komutatif perkalian, sehingga A x B ≠ B x A
(2) Berlaku sifat asosiatif perkalian, sehingga : (A x B) x C = A x (B x C)
(3) Berlaku sifat distributif, sehingga A(B + C) = AB + AC
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini
01. Tentukanlah invers setiap matriks berikut ini :
2 5
(a) A =
1 3
2 4
(b) B =
3 5
Jawab
3 5
1
(2)(3) (5)(1) 1 2
1 5 4
A 1 =
6 1 3 2
5 4
A 1 =
3 2
Untuk membuktikannya harus ditunjukkan bahwa A x B = I
2 5
(a) A =
1 3
maka
A 1 =
3 - 5
2 5
x
Tinjau : A x B =
- 1 2
1 3
6 5 10 10
=
3 3 5 6
2 4
(b) A =
3 5
1 0
=
0 1
= I
Jadi terbukti bahwa A dan B saling invers
maka
A 1
A 1
Matriks
5 4
1
(2)(5) (4)(3) 3 2
1 5 4
=
2 3 2
5 / 2 2
=
3 / 2 1
A 1 =
4
02. Tentukan invers setiap matriks berikut ini :
1 3/2
(a) A =
3/4 5/4
Jawab
32 - 64
(b) B =
16 - 48
4/4 6/4
1 3/2
(a) A =
=
3/4 5/4
3/4 5/4
maka
A 1
A 1
1 4 6
4 3 5
5 6
1
= 4.
(4)(5) (6)(3) 3 4
5 6
4
=
20 18 3 4
5 6
A 1 = 2.
3 4
2 4
32 - 64
(b) B =
= 16.
16 - 48
1 3
maka
B 1 =
B 1 =
B 1 =
B 1 =
B 1 =
=
10 12
=
6 8
3 4
1
1
.
16 (2)(3) (4)(1) 1 2
3 4
1
1
.
16 6 4 1 2
1 3 4
1
.
16 2 1 2
1 3 4
.
32 1 2
3 / 32 1 / 8
1 / 32 1 / 16
5 3
03. Jika A =
dan B =
6 4
(A x B) 1 x A
3 2
4 3 , maka tentukanalah matriks hasil dari
Jawab
1
x A 1 x A
(A x B) 1 x A = B
= B 1 x I
= B 1
=
Matriks
3 2
1
(3)(3) (2)(4) 4 3
5
1 3 2
9 8 4 3
3 2
=
4 3
=
x 4 6 x
04. Jika matriks A =
merupakan matriks singular maka tentukanlah
x 2
3
nilai x
Jawab
Jika A matriks singular maka det (A) = 0
Sehingga : det(A) = (x – 4)(x – 2) – (6 – x)3 = 0
x2 – 2x – 4x + 8 – 18 + 3x = 0
x2 – 3x – 10 = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
Jadi x = –2 dan x = 5
5 2
05. Jika matriks A =
adalah invers dari matriks B =
6 2
tentukanlah nilai x dan y
Jawab
x y
1
2 x 1 5 / 2 maka
A 1 = B
2 2
1
(5)(2) (2)(6) 6 5
2 2
1
10 12 6 5
1 2 2
2 6 5
1 1
3 5 / 2
Maka : 2x + 1 = –3
2x = –4
x = –2
Matriks
x y
1
=
2 x 1 5 / 2
x y
1
=
2 x 1 5 / 2
x y
1
=
2 x 1 5 / 2
1 x y
=
2 x 1 5 / 2
x+y=1
–2 + y = 1
y = 3
6
Matriks
7