Invers dari matriks 2X2

  

Ca ta ta n Ku lia h 2

Ma te m a tika Eko n o m i

Me m a h a m i d a n Me n ga n a lis a Alja ba r Ma triks ( 2 )

1.

  2 a a x a a x

  22

  11 1 12 2 21 1

  − ⎝ ⎠⎝ ⎠

  = ⎜ ⎟⎜ ⎟

  − ⎛ ⎞⎛ ⎞

  λ λ

  22

  ( ) ( )

  21

  1

  12

  11

  ⎣ ⎦

  ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − =

  2

  a x a x a x a x

  X a a

  − − − =

  ( ) ( ) 0 a a a a a a λ λ

  11 22 11 22 12 21

  2

  λ λ λλ − − + − =

  11 22 21 22 a a a a a a

  11 22

  ( )( ) a a a a λ λ

  λ λ

  11 22 21 22

  − = −

  a a a a λ λ

  Maka determinan dari matriks di atas adalah : _{11 12 21 22}

  − ⎝ ⎠

  = ⎜ ⎟

  − ⎛ ⎞

  λ ⎡ ⎤

  a a

   Vektor dan Akar Karakteristik

  X

  2

  2

  2

  λ . Selanjutnya λ disebut akar karakteristik. Sedangkan X yang memenuhi persamaan di atas dikatakan sebagai vektor karakteristik yang bersesuaian dengan akar karakteristik apabila juga memenuhi

  A

  ≠ (solusinya bukan trivial) maka haruslah = − I

  Agar

  2 ...

  λ − =

  I X

  ( ) A

  λ = atau

  X

  AX

  Apabila A adalah matriks berordo n n × dan X adalah vector × , akan dicari 1 n skalar λ ∈ℜ yang memenuhi persamaan :

  1

  1 _n

  1 0 0 1

  X A

  22

  21

  12

  11

  λ λ = → − =

  I X

  ( ) AX

  X X X + + + = Akar karakteristik digunakan untuk menguji sign-definiteness.

  ⎟ ⎝ ⎠

  ⎛ ⎞ = ⎜

  22 a a A a a

  21

  12

  11

  Misalkan suatu matriks A berdimensi 2 2 × ,

  − + + − =

  4 × =

  3 λ = −

  − = = − −

  ( 6 )( 6 ) (3)(3) 0 λ λ − − − − − =

  2

  λ 12 27 0 λ + + = ( 9)( 3) 0 λ λ + + =

  1

  9 λ = − dan

  2

  Karena kedua akar karakteristik memiliki tanda negative, matriks A merupakan negative definite. ¾

  λ λ

  Vektor karakteristik ? 2.

   Matriks Inverse

  (inverse) dari 4 adalah

  1

  4 dimana

  1

  4

  1

  λ − −

  I

  Kesimpulan hasil akar karakteristik : ƒ

  3

  Jika seluruh akar karakteristik ( λ ) positive, A adalah positive definite ƒ

  Jika seluruh λ negative, A adalah negative definite ƒ

  Jika seluruh λ nonnegative dan minimal salah satu λ = , A positive semidefinite

  ƒ Jika seluruh λ nonpositive dan minimal salah satu

  λ = , A negative semi definite. ƒ Jika λ ada yang positif dan negative, A adalah indefinite.

  Contoh :

  6

  3

  6 A −

  6 A

  ⎡ ⎤ = ⎢

  ⎥ −

  ⎣ ⎦ Tentukan akar dan vektor karakteristiknya. ¾

  Untuk menemukan akar karakteristik dari A, determinan dari matriks karakteristik

  I A λ − harus sama dengan nol.

  6

  3

  3

• Analoginya sama dengan kebalikan dari suatu bilangan. Misal kebalikan
• Sedangkan untuk matriks, hasil perkalian matriks inverse dengan matriks

1 AA A A

• 1
• Matriks yang mungkin memiliki invers adalah matriks bujur sangkar (square matrix) tapi tidak setiap matriks bujur sangkar memiliki invers.
• Matriks bujur sangkar yang memiliki inverse adalah matriks yang bersifat non-singular matrix.
• Sifat Inverse : a.
• Invers matriks dapat dirumuskan sebagai berikut:

  = =

  − −

  22

  12

  21

  11

  −

  − =

  ⎢ ⎣ ⎡

  21

  = ⎥ ⎦ ⎤

  − −

  ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎦ ⎤

  c c c c A A

  1

  1

  11

  12

  21

  a a a a A a a a a a a a a A

  3 A

  2

  1

  =

  ⎢ ⎣ ⎡

  1) ⎥ ⎦ ⎤

  Contoh :

  1

  22

  1 ) (

  | |

  1

  22

  11

  21

  12

  11

  12

  Inverse dari suatu inverse matriks adalah matriks asalnya.

  = c. Inverse dari suatu transpose adalah transpose dari inverse matriks tersebut.

  A adj A A

  =

  A A − −

  ' '

  1

  1

  ( ) ( )

  1 AB B A − − −

  1

  1

  1

  ( )

  = b. Hasil perkalian suatu matriks adalah perkalian dari suatu inverse matriks dalam urutan yang terbalik.

  1 A A − −

  1

  ( )

  1

  =

  I − −

  1

  −

  =

  ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎦ ⎤

  −

  =

  1

  A A adj A A

  − Invers dari matriks 2X2

  11 a a a a

  12

  21

  22

  =

  ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎦ ⎤

  22

1 A

  2

  1

  2

  2

  1

  3

  1

  1

  3

  ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  2

  −

  − =

  − −

  ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎦ ⎤

  − =

  ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  Invers untuk matriks 3X3

• Untuk mencari invers matriks 3X3 perlu diketahui matriks adjoint terlebih dahulu
• Matriks adjoint adalah transpose dari sebuah matriks yang terbentuk dari kofaktor-kofaktor matriks asalnya (transpose dari “matriks kofaktor”). Misalkan matriks

  12

  31

  Invers matriks A diperoleh dengan cara :

  ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  = = ⎢ ⎥

  ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

  33 Adj(A) ^T C C C

C C C C

C C C

  23

  13

  32

  22

  12

  21

  21

  11

  Matriks Adjoint :

  C

  22 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

  23

  32

  33

  21

  23

  31

  33

  11

  

31

  22

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  10 A

  1

  8

  1

  2

  1

  3

  2

  =

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  Contoh :

  1

  = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

  C C C A C C C A A C C C −

  1 Adj(A) | | | |

  1

  

33

  23

  13

  

32

  22

  12

  21

  31

  13

  12

  ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dimana

  = ⎢ ⎥

  ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

  

33

C C C C C C C C C C

  32

  31

  

23

  22

  21

  

13

  11

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  Matriks kofaktor :

  ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  = ⎢ ⎥

  ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

  a a a A a a a a a a

  33

  32

  31

  23

  22

  21

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  − − −

  32

  32

  12

  13

  32

  33

  11

  13

  31

  33

  11

  11

  31

  12

  − =

  13

  22

  23

  11

  13

  21

  23

  11

  12

  21

  22

  12

  0, 0

  15

  19 A

  30

  3

  32

  2

  20

  2

  1

  22

  − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  1

  32

  

32

  32

  19

  30

  3

  32

  

32

  − − − − −

  = − − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  2

  X A −

  ( )

  Banyak solusi, satu diantaranya adalah

  AX = IV A =

  0, 0

  ( )

  Tidak unique atau banyak solusi Tidak termasuk

  A = AX d = III A =

  = = Unique, Trivial solution

  1

  − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3.

  AX = II

  = Unique solution

  −

  1

  AX d = I

  ≠

  Homogen A

  Non-homogen d =

   Sistem Persamaan Linear d ≠

  32

  2

  Jawab : Matriks kofaktor dari A adalah : 2 1 1 1 1 2

  2

  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  − ⎡ ⎤

  − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  2 C ⎡ ⎤

  1

  1

  1

  19 1 8 10 8 10 1 2 1

  15

  ⎢ ⎥ ⎢

  3

  2

  30 3 2

  20

  22

  3 1 8 10 8 10 1

  2

  1

  3 2 0 2 0 3

  ⎢ ⎥ = − − = −

  ⎥ ⎢ ⎥ − −

  20

  Adj C

  1

  32

  

32

  32

  22

  1

  15

  = = − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦

  − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

  19 ^T

  ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  30

  3

  2

  20

  2

  15 (A)

  22

  1

  − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

• X A d
• 0 0

  4

  4

  2

  2

  5

  (3,1)

  ⎬

  x x solusi tidak unique x x

  2

  = + x x

  2

  1 ²

  Contoh SPL IV : _{1 2}

  ⎬

  x x solusi tidak unique x x

  10

  1

  5

  2 _{2 1} = − x x ²

  x

• 1
• = = ⎫
• 1

  1 x

  2 x x − =

  2

  1

• 1
• =
• 1

  = + x

  1

  1 x

  1 x ² x

• 2 x x =
• = ⎫

  2

  2

  5

  1 ²

  x ² x

  5

  2

  2

  Contoh SPL I :

  2

  1

  2

  2

  2

  5

  3

  2

  5

  1

  x x x x x x

  ⎬ − = =

  ⎭

  Contoh SPL II :

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  Contoh SPL III :

  ⎭

  − = =

  = ⎫ ⎬

  x x x x x x

  2

  2

  2

  2

• = ⎭

  2 x

• = ⎫
• = ⎭

4. Cramer’s Rule Solusi persamaan linear bisa dihitung dengan Cramer’s rule.

  A _j x j

  = ; A ≠

  A A dimana adalah matriks yang kolom ke-j nya diganti vektor B . _j

  Misalkan suatu SPL :

• a x a x d
_{11 1 12 2} = _{1 21 1 22 2} + a x a x = d ₂ Jika kedua persamaan di atas diubah ke dalam bentuk matriks AX B

  = maka :

  a a x d

  ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  11

  12

  1

  1

  = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  a a x d

  21

  22

  2

  2

  ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ _{A X B}

  a a

  11

  12 A = = ( a a − a a ) 11 22 21 12 a a

  21

  22 d a

  1

  12 A = = ( d a − d a ) 1 1 22 2 12 d a

  2

  22 a d

  11

1 A a d a d

  = = ( − )

  2 11 2 21 1 a d

  21

  2 − − A A

  1

  2 x x

  = dan =

  1

2 A A

  Contoh :

  Carilah solusi dari sistem persamaan berikut :

  a. − + x 3 x = −

  3

  1

  2

  4 x x

  12 − =

  1

  2

• b. x

  3 y − 2 z =

  7

  4

  x y

• =

  5 3 x + = z

  4

5. Aplikasi Dalam Model Ekonomi a. Market Model

  2

  16 _{A B X} P

  3

  1

  12

  1

  5

  1

  − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  3 P 16 P − = − …(ii) Persamaan (i) dan (ii) diubah ke dalam bentuk matriks AX B = :

  2

  1

  Q Q P P P = → + − = − +

  15 1 2 _{d s}

  2

  P

  = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  1

  1

  I G − = +

  Y C

  0;0 > 1 a b < < Tentukan solusi * Y dan * C Jawab : Pisahkan antara variabel endogen dan eksogen :

  I G = + + C a bY = + ( )

   Model Pendapatan Nasional Y C

  2

  ke fungsi permintaan atau penawaran komoditi 1 dan 2, sehingga diperoleh nilai

  − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  2

  dan

  1

  2

  1

  Dengan aturan Cramer’s, diperoleh nilai

  2

  1

  Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dari 2 komoditi :

  2

  Q P = − +

  2 3 _s

  1

  1

  Q P P = + −

  15 _d

  1

  2

  2

  Q P P = − +

  10 2 _d

  2

  1

  1

  2

  1 2 _s

  1

  1

  12 P P − = …(i)

  5

  2

  1

  Q Q P P P = → − + = − +

  10 2 2 3 _{d s}

  2

  

Q P = − +

Tentukan solusi equilibrium.

  1

  1

  1

  =

  Q Q

  Jawab : Syarat equilibrium : _{d s}

• P dan
• P Kemudian substitusi nilai
• P

• P

• Q dan
• Q b.

  1

  1

  I G

  − − =

  ( )

  1 b t Y C a − − = − I ei d + =

  kY li M − =

  Kemudian ubah ke dalam bentuk matriks AX

  B

  = :

  ( )

  1

  1

  = − Pisahkan antara variabel endogen dan eksogen dari persamaan IS dan LM :

  1

  1

  1 _{A X B}

  G Y

a

b t C

d

e

  I M k l i

  − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

  − − − ⎜ ⎟ ⎜

  ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

  − ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  Dengan aturan Cramer’s, diperoleh nilai *

  Y C

  M kY li

  1

   Model IS-LM : Closed Economy

  1 _{A X B}

  Y

  I G b C a

  − + ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  − ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  Dengan aturan Cramer’s, diperoleh nilai *

  Y

  dan *

  C c.

  IS : Y C

  Tentukan solusi * Y Jawab : Jika disederhanakan persamaan LM menjadi :

  I G

  = + +

  ( )

  = + 1 C a b t Y − I d ei

  = −

  G G =

  LM : _{d s}

  M M

  = _d

  M kY li = − _s M M =

  Y