Determinan Matriks dan Invers Matriks Onggo Wiryawan

  Matematika Lanjut 1

Onggo Wiryawan

   Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan

   Nilai determinan  skalar

   Matriks Singular = Matriks yang determinannya bernilai 0

  

Misalkan A suatu matriks bujursangkar

  11

  21

  22 −

  11

  22 =

  21

  12

  Maka det A = =

   Determinan dari A dinotasikan _

  22 

  21

  12

  11

  Misal =

  Untuk matriks ordo 2×2 

  _ det(A) |A| 

  12

   Contoh

  −5 

  Misal = 2 −3

  9 

  Maka −5 det A = = 2 −3 8 = 2 ⋅ 8 − −3 ⋅ −5 = 1

  

Untuk matriks ordo 3×3 (Metode Sarrus)

  12 ^{21 33 11 23 32 13 22 31 32}

²¹

^{13 31 23 12 33 22 11} ) det(

  A a a a a a a a a a a a a a a a a a a      

      

      

   _{33 32 31 23 22 21} ^{13 12 A 11} _{a a a} ^{a a a a a a}

   Contoh

   det(A) = |A| = = [(-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0)]

       

     

      

  1

  2

  3

  1

  1

  3

  2

• – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1) = 2 +12+0+6-0-2 = 18

   Definisi 1: Minor

   Misal A n×n

  MINOR unsur a ij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

   Dinotasikan dengan M ij

   Contoh Minor dari elemen a

  11

      

      

   _{33 32 31 23 22 21} ^{13 12 A 11} _{a a a} ^{a a a a a a}

  33 ^{32 23 22 M 11 a a a a} 

       

       

   _{44 43 42 41 34 33 32 31} ^{24 23 22 21 14 13 12 A 11} _{a a a a a a a a} ^{a a a a a a a a}

  44 ^{43 42 34 33 32 24 23 22 M 11 a a a a a a a a a} 

   Minor-minor dari Matrik A

  3×3

   Definisi 2: Kofaktor

   Misal A n×n

  KOFAKTOR dari baris ke-i dan kolom ke- j dituliskan dengan 

  Dinotasikan dengan c ij

   Contoh

   Kofaktor dari elemen a

  23

₂₃

_{23 3 2 23} ) 1 (

  M M c    

  

  

Determinan dari suatu matriks sama dengan

jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya

   Contoh:

   Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama

   |A|

      

      

   _{33 32 31 23 22 21} ^{13 12 A 11} _{a a a} ^{a a a a a a}

  32 ^{31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 13 13 12 12 11 11 13 13 12 12 11 11}

  a a a a a

a a

a a

a a a a a a M a M a M a c a c a c a

          

   Contoh:

   Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua

   |A|

      

      

   _{33 32 31 23 22 21} ^{13 12 A 11} _{a a a} ^{a a a a a a}

  32 ^{31 12 11 23 33 31 13 11 22 33 32 13 12 21 23 23 22 22 21 21 23 23 22 22 21 21}

  a a a a a a a a a a a a a a a M a M a M a c a c a c a

          

   Contoh:

   Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama

   |A|

      

      

   _{33 32 31 23 22 21} ^{13 12 A 11} _{a a a} ^{a a a a a a}

  23 ^{22 13 12 31 33 32 13 12 21 33 32 23 22 11 31 31 21 21 11 11 31 31 21 21 11 11}

  a a a a a a a a a a a a a a a M a M a M a c a c a c a

          

  Teorema Misalkan A adalah matriks bujursangkar Jika A memiliki satu baris nol atau kolom nol,maka

   det(A) = 0 _T

   det(A) = det (A )

  Teorema

Jika A adalah matriks segitiga n n (segitiga atas,

segitiga bawah atau diagonal), maka det(A) adalah perkalian entri-entri pada diagonal utamanya a det(A) = a ...a nn _{11 22}

  Teorema Misalkan A adalah matriks bujursangkar 

  Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian suatu baris atau kolom dengan skalar k ≠ 0 maka

det(B) = k det(A)

   Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua baris atau kolom dari A maka det(B) =

• –det(A)

  

Jika B adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu baris

ditambahkan dengan kelipatan baris lain atau suatu kolom

ditambahkan dengan kelipatan kolom lain dari A, maka

det(B) = det(A)

  ka ka ka a a a

  11

  12

  13

  11

  12

  13 Contoh a a a k a a a

  

  21

  22

  23

  21

  22

  23 a a a a a a

  31

  32

  33

  31

  32

  33 a a a a a a

  11

  12

  13

  11

  12

  13 a a a a a a

   

  31

  32

  33

  21

  22

  23 a a a a a a

  21

  22

  23

  31

  32

  33 a ka a ka a ka a a a

    

  11

  31

  12

  32

  13

  33

  11

  12

  13

a a a a a a

  

  21

  22

  23

  21

  22

  23

a a a a a a

  31

  32

  33

  31

  32

  33

Teorema

  

Misal E adalah matriks elementer ordo n  n,



  Jika E dihasilkan dari suatu baris I _n dikali k, maka det(E) = k 

  Jika E dihasilkan dari pertukaran dua baris pada I n

  , maka det(E) = 1 

  Jika E dihasilkan dari suatu baris ditambah kelipatan baris lain di I n

  , maka det(E) = 1

Contoh

  1

  1

  2

  2 

  1

  1

  1

  1  

  1

  2

  1

  1

  1 

Teorema

  Jika A adalah matriks bujursangkar dimana terdapat dua baris atau dua kolom yang saling berkelipatan , maka det(A) = 0

  1 3 0   

Contoh

    A

   

  2

  4

  1     5 

  2

  2   1 

  3 

  1

  3 1  3 0

  B B B B  2 

  5

  2

  1

  3

  1 

  2

  1 

  2

  1 

  2

  4

  1 

  

  5 

  2

  2

  13

  2 5 

  2

  2 1 

  3 1 

  3 B B _{1 3} 

  13 _{2 1}  2 0 1 

  = _{2  } 2 0

  1  _{17 2} 0 13

  2 ₂

  

17

    ( 2)(1)(1)  

  17   2  

Contoh

  3

  26     

  

1

  3

  7

  

3

  6

  7 (1)(7)(3)( 26) 546

  2

  1

   

  5  ^{4 1}

  1

  3

  7

  1

  3

  3

  2

  7

  6

  6

  3

  7

  1

  6

  5 A      

         

  1

  3

  2

  7

  6

Teorema

  Jika A dan B adalah matriks bujursangkar dengan ukuran sama, maka det(AB) = det(A).det(B)

Teorema

  Jika A invertible, maka

  1  ¹ A det( ) 

  A det( )

Definisi

  Jika A n n

  , C ij kofaktor dari a ij

  , maka disebut matriks kofaktor dari A.

  Transposenya disebut matriks Adjoin dari A, ditulis Adj(A) . ^{11 12 1 21 22 1 2 n n n nn}

  C C C C C C C C

 

 

 

 

 

 

Contoh

  1

  4 A     

  2

  3

  6

  

  1

  2

  3

  

  33 = 16

  23 = 16, C

  13 = 16, C

  10,

  C

  32 =

   C

  22 = 2,

   C

  12 = 6,

  C

  31 = 12,

   C

  21 = 4,

  11 = 12, C

  C

  Kofaktor dari A

         

Maka matriks kofaktor dari A adalah

  6

  16

  4

  2

  16

  12

  10

  16         

    

  12

  4

  12 Adj( )

  6 2 -10

  16 A           

  12

• 16 16

Teorema

   Jika A adalah matriks invertible, maka

   Jika A x = b adalah spl dengan n peubah, det(A ) ≠ 0 maka spl mempunyai solusi tunggal

   dimana A _i adalah matriks A dengan kolom ke-i diganti dengan b

  1

  1 Adj( ) det( )

  A A

A



   det( ) det( ) ^{i i}

Teorema (Aturan Cramer)

  A x A

  

Contoh

  Tentukan solusi dari spl

  2

  1

  − 3

  2

  = 6

  4

• 2

  1

  = 2 −3

  4

  1

  1

  2

  = 6

  25

  = 25 Jawab

  −4 Matriks Kofaktor dari A adalah = 1

  3

  2 T

  3 Adjoin A adalah Kofaktor = 1 −4 2

Determinan A =

  = 2 −3 4 1 = 2 − −12 = 14

Definisi

• 1

  Misal A , maka A disebut invers matriks n

  ×n dari A jika

  

−1 −1

  ∙ = = untuk I = matriks identitas ordo n ×n.

Teorema

  Misal matriks A dan B invertibel (punya invers).

  −1 −1 −1

  =

Teorema

  Misal matriks A invertibel

  1

  

−1

  = ⁡( )

   Rahmi Rusin, Determinan.  UB Informatika, Matriks.