Kontrol pada mesin bor Optimal
Kontrol Optimal
Kontrol Optimal merupakan perluasan dari kalkulus variasi, yaitu metode optimasi
matematika untuk menurunkan kebijakan pengendalian. Metode ini sebagian besar
dikembangkan oleh Lev Pontryagin dan rekan-rekannya di Uni Soviet, serta Richard Bellman di
Amerika Serikat.
Metode Umum
Kontrol optimal berkaitan dengan masalah menemukan hukum kontrol untuk sistem tertentu
seperti bahwa kriteria optimalitas tertentu dicapai. Sebuah masalah pengendalian mencakup
biaya fungsional yang merupakan fungsi dari variabel dan kontrol negara. Sebuah kontrol
optimal adalah satu set persamaan diferensial yang menggambarkan jalan dari variabel-variabel
kontrol yang meminimalkan biaya fungsional. Kontrol optimal dapat diturunkan dengan
menggunakan prinsip maksimum's Pontryagin (suatu kondisi yang diperlukan), atau dengan
memecahkan Jacobi-Bellman persamaan Hamilton (a kondisi yang cukup).
Kita mulai dengan contoh sederhana. Pertimbangkan sebuah mobil bepergian dengan garis
lurus melalui jalan perbukitan. Pertanyaannya adalah, “Bagaimana seharusnya pers driver pedal
gas dalam rangka meminimalkan waktu total perjalanan?” Jelas dalam contoh ini, hukum kontrol
mengacu khusus untuk cara yang menekan pedal gas driver dan menggeser gigi. "Sistem" terdiri
dari kedua mobil dan jalan, dan kriteria optimalitas adalah meminimalkan waktu total perjalanan.
Pengendalian masalah biasanya termasuk tambahan kendala. Misalnya jumlah bahan bakar yang
tersedia mungkin terbatas, pedal gas tidak dapat didorong melalui lantai mobil, batas kecepatan,
dll.
Masalah lain kontrol optimal adalah menemukan cara untuk mengemudikan mobil sehingga
mengurangi konsumsi bahan bakarnya, mengingat bahwa ia harus menyelesaikan kursus
diberikan dalam waktu tidak melebihi jumlah tertentu. Namun masalah lain kontrol adalah untuk
meminimalkan biaya total moneter menyelesaikan perjalanan, diberikan harga moneter
diasumsikan untuk waktu dan bahan bakar.
dimana x(t) adalah negara, u(t) adalah kontrol, t adalah variabel independen (secara umum,
waktu), t 0 adalah waktu awal, dan t f adalah waktu terminal. Istilah Φ dan disebut biaya akhir
dan Lagrange, masing-masing. Selain itu, dicatat bahwa kendala jalan dalam kendala
ketimpangan umum dan dengan demikian tidak mungkin aktif (misalnya, sama dengan nol) pada
solusi optimal. Hal ini juga mencatat bahwa masalah kontrol optimal sebagaimana disebutkan di
atas mungkin memiliki beberapa solusi (misalnya, solusinya mungkin tidak unik). Dengan
demikian, hal ini sangat
Kuadrat Kontrol Linear
Sebuah kasus khusus dari optimal mengontrol masalah nonlinier umum yang diberikan pada
bagian sebelumnya adalah kuadrat linier (LQ) masalah kontrol optimal. Masalah LQ dinyatakan
sebagai berikut. Minimalkan biaya kontinu kuadrat fungsional:
Dalam kasus terbatas cakrawala matriks yang dibatasi Q(t) dan R(t) adalah semi definit
positif dan definit positif, masing-masing. Dalam kasus horizon tak terbatas, seperti matriks.
tidak hanya semi definit positif dan definit positif, masing-masing, tetapi juga konstan. Ini
tambahan pembatasan Q dan R dalam kasus cakrawala tak terbatas diberlakukan untuk
memastikan bahwa biaya fungsional tetap positif.
Selanjutnya, dalam rangka untuk memastikan bahwa fungsi biaya dibatasi, pembatasan
tambahan yang dikenakan pasangan (A, B) adalah terkendali. Perhatikan bahwa LQ atau biaya
LQR fungsional dapat dianggap secara fisik sebagai mencoba untuk meminimalkan energi
kontrol (diukur sebagai bentuk kuadrat).
Masalah cakrawala tak terbatas (misalnya, LQR) mungkin tampak terlalu ketat dan pada
dasarnya tidak berguna karena mengasumsikan bahwa operator mengemudi sistem nol-negara
dan karenanya mengemudi output dari sistem untuk nol. Ini memang benar. Namun masalah
mengemudi output ke level nol yang diinginkan dapat diselesaikan setelah output nol satu.
Bahkan, dapat dibuktikan bahwa masalah LQR sekunder dapat diselesaikan dengan cara yang
sangat mudah. Telah ditunjukkan dalam teori kendali klasik optimal bahwa LQ (atau LQR)
kontrol optimal memiliki bentuk umpan balik
Memahami bahwa “adalah” timbul dari masalah cakrawala yang tak terbatas. Matriks A, B,
Q dan R semua konstan. Perlu dicatat bahwa pada umumnya ada dua solusi untuk persamaan
Riccati aljabar dan yang pasti positif (atau positif semi-pasti) adalah salah satu solusi yang
digunakan untuk menghitung keuntungan umpan balik. Perlu dicatat bahwa LQ (LQR) masalah
yang elegan diselesaikan oleh Rudolf Kalman.
Metode Numerik untuk Kontrol yang Optimal
Masalah kontrol optimal umumnya nonlinier dan karena itu, umumnya tidak memiliki solusi
analitik (misalnya, seperti masalah kontrol linear-kuadrat optimal). Akibatnya, perlu untuk
menggunakan metode numerik untuk memecahkan masalah kontrol optimal. Pada tahun-tahun
awal kendali optimal (sekitar tahun 1950-an hingga 1980-an) pendekatan disukai untuk
memecahkan masalah kontrol optimal adalah metode tidak langsung.
Dalam metode tidak langsung, kalkulus variasi digunakan untuk mendapatkan kondisi orde
pertama optimal. Kondisi ini mengakibatkan titik dua (atau, dalam kasus masalah yang
kompleks, multi-point) batas-masalah nilai. Masalah batas-nilai sebenarnya memiliki struktur
khusus karena timbul dari mengambil derivatif dari Hamiltonian. Dengan demikian, sistem
dinamis yang dihasilkan adalah suatu sistem Hamiltonian, yaitu:
Pendekatan yang telah bangkit menjadi terkenal dalam kontrol optimal numerik selama dua
dekade terakhir (yaitu dari tahun 1980-an sampai sekarang) adalah bahwa metode langsung
disebut demikian. Dalam metode langsung, negara dan / atau kontrol didekati dengan
menggunakan pendekatan fungsi yang sesuai (misalnya, pendekatan polinomial atau sesepenggal
parameterisasi konstan). Secara bersamaan, biaya fungsional diperkirakan sebagai fungsi biaya.
Kemudian, koefisien dari fungsi aproksimasi diperlakukan sebagai variabel optimasi dan
masalahnya adalah "ditranskripsikan" untuk masalah optimasi nonlinier dalam bentuk:
Memperkecil F(z),
Sesuai pada batasan aljabar:
Tergantung pada jenis metode langsung digunakan, ukuran dari masalah optimasi nonlinier
bisa sangat kecil (misalnya, seperti dalam penembakan langsung atau metode quasilinearization)
atau mungkin cukup besar (misalnya, sebuah metode kolokasi langsung). Dalam kasus terakhir
(yaitu metode kolokasi), masalah optimasi nonlinier mungkin ribuan sampai puluhan ribu
variabel dan kendala. Mengingat ukuran NLPs banyak yang timbul dari suatu metode langsung,
mungkin tampak agak kontra-intuitif bahwa penyelesaian masalah optimasi nonlinier lebih
mudah daripada memecahkan masalah batas-nilai.
Namun demikian, fakta bahwa NLP lebih mudah untuk memecahkan masalah daripada
batas-nilai. Alasan kemudahan relatif komputasi, terutama metode kolokasi langsung, adalah
bahwa NLP adalah jarang dan banyak dikenal-baik program perangkat lunak ada (misaalnya,
snopt) untuk memecahkan NLP jarang besar. Akibatnya, berbagai masalah yang dapat
diselesaikan melalui metode langsung (kolokasi metode langsung terutama yang sangat populer
hari ini) secara signifikan lebih besar dari berbagai masalah yang dapat diselesaikan melalui
metode tidak langsung. Bahkan, metode langsung telah menjadi begitu populer hari ini bahwa
banyak orang telah menulis program perangkat lunak yang rumit yang menggunakan metode ini.
Secara khusus, program seperti itu banyak ditulis dalam fortran termasuk dircol, socs, otis, gesop
dan ditan. Dalam beberapa tahun terakhir, karena munculnya bahasa pemrograman matlab,
perangkat lunak kontrol optimal dalam matlab telah menjadi lebih umum.
Waktu Diskrit Kontrol Optimal
Contoh-contoh sejauh ini telah menunjukkan waktu kontinu dan solusi sistem kontrol.
Bahkan, sebagai solusi kontrol optimal yang sekarang sering dilaksanakan digital , teori kontrol
kontemporer sekarang terutama berkaitan dengan waktu diskrit sistem dan solusi. Teori
Konsisten perkiraan menyediakan kondisi dimana solusi serangkaian semakin mengontrol
masalah berkumpul optimal diskretisasi akurat untuk solusi yang terus-menerus, masalah waktu
asli. Tidak semua metode beda memiliki properti, bahkan yang tampak jelas. Misalnya, dengan
menggunakan langkah ukuran variabel rutin untuk mengintegrasikan persamaan dinamik
masalah mungkin menghasilkan gradien yang tidak konvergen ke nol (atau titik dalam arah yang
benar) sebagai solusi didekati. Metode langsung didasarkan pada Teori Aproksimasi Konsisten.
Contoh
Sebuah strategi solusi umum dalam banyak masalah kontrol optimal untuk memecahkan
costate (kadang-kadang disebut harga bayangan) λ(t). Costate ini ikhtisar di nomor satu nilai
marjinal memperluas atau tertular variabel keadaan giliran berikutnya. Nilai marjinal tidak hanya
keuntungan yang diperoleh untuk itu giliran berikutnya tetapi berhubungan dengan durasi
program. Hal ini bagus ketika λ (t) dapat diselesaikan secara analitis, tetapi biasanya yang paling
dapat Anda lakukan adalah menggambarkannya cukup baik bahwa intuisi dapat menangkap
karakter dari solusi dan persamaan solver dapat memecahkan numerik untuk nilai.
Setelah diperoleh λ(t), t optimal nilai-turn untuk mengontrol biasanya dapat diselesaikan
sebagai persamaan diferensial tergantung pada pengetahuan λ(t). Sekali lagi itu jarang terjadi,
terutama dalam masalah kontinu-waktu, bahwa seseorang mendapatkan nilai control atau negara
secara eksplisit. Biasanya strategi adalah untuk memecahkan untuk ambang dan daerah yang
menjadi ciri kontrol optimal dan menggunakan solver numerik untuk mengisolasi nilai pilihan
yang sebenarnya pada waktunya.
Finite Time
Pertimbangkan masalah pemilik tambang yang harus memutuskan pada tingkat apa untuk
mengekstrak bijih dari tambang itu. Dia memiliki hak atas bijih dari tanggal 0 sampai T saat ini.
Pada tanggal 0 ada x 0 bijih di tanah, dan saham seketika bijih x (t) menurun pada tingkat pemilik
tambang ekstrak itu u (t). Pemilik tambang ekstrak bijih di u biaya (t) 2 / x (t) dan menjual bijih di
p harga konstan. Dia tidak nilai sisa bijih di tanah pada waktu T (tidak ada "nilai memo"). Dia
memilih tingkat ekstraksi di u waktu (t) untuk memaksimalkan laba selama periode kepemilikan
tanpa diskon waktu.
Sehingga, dengan menggunakan dan putar T kondisi awal, seri t x dapat diselesaikan secara
eksplisit, memberi t u.
Versi Waktu Kontinu
Atur Π untuk memaksimalkan keuntungan:
Sehingga, dengan menggunakan kondisi awal dan putar T, fungsi dapat dipecahkan secara
numerik.
Kontrol Optimal merupakan perluasan dari kalkulus variasi, yaitu metode optimasi
matematika untuk menurunkan kebijakan pengendalian. Metode ini sebagian besar
dikembangkan oleh Lev Pontryagin dan rekan-rekannya di Uni Soviet, serta Richard Bellman di
Amerika Serikat.
Metode Umum
Kontrol optimal berkaitan dengan masalah menemukan hukum kontrol untuk sistem tertentu
seperti bahwa kriteria optimalitas tertentu dicapai. Sebuah masalah pengendalian mencakup
biaya fungsional yang merupakan fungsi dari variabel dan kontrol negara. Sebuah kontrol
optimal adalah satu set persamaan diferensial yang menggambarkan jalan dari variabel-variabel
kontrol yang meminimalkan biaya fungsional. Kontrol optimal dapat diturunkan dengan
menggunakan prinsip maksimum's Pontryagin (suatu kondisi yang diperlukan), atau dengan
memecahkan Jacobi-Bellman persamaan Hamilton (a kondisi yang cukup).
Kita mulai dengan contoh sederhana. Pertimbangkan sebuah mobil bepergian dengan garis
lurus melalui jalan perbukitan. Pertanyaannya adalah, “Bagaimana seharusnya pers driver pedal
gas dalam rangka meminimalkan waktu total perjalanan?” Jelas dalam contoh ini, hukum kontrol
mengacu khusus untuk cara yang menekan pedal gas driver dan menggeser gigi. "Sistem" terdiri
dari kedua mobil dan jalan, dan kriteria optimalitas adalah meminimalkan waktu total perjalanan.
Pengendalian masalah biasanya termasuk tambahan kendala. Misalnya jumlah bahan bakar yang
tersedia mungkin terbatas, pedal gas tidak dapat didorong melalui lantai mobil, batas kecepatan,
dll.
Masalah lain kontrol optimal adalah menemukan cara untuk mengemudikan mobil sehingga
mengurangi konsumsi bahan bakarnya, mengingat bahwa ia harus menyelesaikan kursus
diberikan dalam waktu tidak melebihi jumlah tertentu. Namun masalah lain kontrol adalah untuk
meminimalkan biaya total moneter menyelesaikan perjalanan, diberikan harga moneter
diasumsikan untuk waktu dan bahan bakar.
dimana x(t) adalah negara, u(t) adalah kontrol, t adalah variabel independen (secara umum,
waktu), t 0 adalah waktu awal, dan t f adalah waktu terminal. Istilah Φ dan disebut biaya akhir
dan Lagrange, masing-masing. Selain itu, dicatat bahwa kendala jalan dalam kendala
ketimpangan umum dan dengan demikian tidak mungkin aktif (misalnya, sama dengan nol) pada
solusi optimal. Hal ini juga mencatat bahwa masalah kontrol optimal sebagaimana disebutkan di
atas mungkin memiliki beberapa solusi (misalnya, solusinya mungkin tidak unik). Dengan
demikian, hal ini sangat
Kuadrat Kontrol Linear
Sebuah kasus khusus dari optimal mengontrol masalah nonlinier umum yang diberikan pada
bagian sebelumnya adalah kuadrat linier (LQ) masalah kontrol optimal. Masalah LQ dinyatakan
sebagai berikut. Minimalkan biaya kontinu kuadrat fungsional:
Dalam kasus terbatas cakrawala matriks yang dibatasi Q(t) dan R(t) adalah semi definit
positif dan definit positif, masing-masing. Dalam kasus horizon tak terbatas, seperti matriks.
tidak hanya semi definit positif dan definit positif, masing-masing, tetapi juga konstan. Ini
tambahan pembatasan Q dan R dalam kasus cakrawala tak terbatas diberlakukan untuk
memastikan bahwa biaya fungsional tetap positif.
Selanjutnya, dalam rangka untuk memastikan bahwa fungsi biaya dibatasi, pembatasan
tambahan yang dikenakan pasangan (A, B) adalah terkendali. Perhatikan bahwa LQ atau biaya
LQR fungsional dapat dianggap secara fisik sebagai mencoba untuk meminimalkan energi
kontrol (diukur sebagai bentuk kuadrat).
Masalah cakrawala tak terbatas (misalnya, LQR) mungkin tampak terlalu ketat dan pada
dasarnya tidak berguna karena mengasumsikan bahwa operator mengemudi sistem nol-negara
dan karenanya mengemudi output dari sistem untuk nol. Ini memang benar. Namun masalah
mengemudi output ke level nol yang diinginkan dapat diselesaikan setelah output nol satu.
Bahkan, dapat dibuktikan bahwa masalah LQR sekunder dapat diselesaikan dengan cara yang
sangat mudah. Telah ditunjukkan dalam teori kendali klasik optimal bahwa LQ (atau LQR)
kontrol optimal memiliki bentuk umpan balik
Memahami bahwa “adalah” timbul dari masalah cakrawala yang tak terbatas. Matriks A, B,
Q dan R semua konstan. Perlu dicatat bahwa pada umumnya ada dua solusi untuk persamaan
Riccati aljabar dan yang pasti positif (atau positif semi-pasti) adalah salah satu solusi yang
digunakan untuk menghitung keuntungan umpan balik. Perlu dicatat bahwa LQ (LQR) masalah
yang elegan diselesaikan oleh Rudolf Kalman.
Metode Numerik untuk Kontrol yang Optimal
Masalah kontrol optimal umumnya nonlinier dan karena itu, umumnya tidak memiliki solusi
analitik (misalnya, seperti masalah kontrol linear-kuadrat optimal). Akibatnya, perlu untuk
menggunakan metode numerik untuk memecahkan masalah kontrol optimal. Pada tahun-tahun
awal kendali optimal (sekitar tahun 1950-an hingga 1980-an) pendekatan disukai untuk
memecahkan masalah kontrol optimal adalah metode tidak langsung.
Dalam metode tidak langsung, kalkulus variasi digunakan untuk mendapatkan kondisi orde
pertama optimal. Kondisi ini mengakibatkan titik dua (atau, dalam kasus masalah yang
kompleks, multi-point) batas-masalah nilai. Masalah batas-nilai sebenarnya memiliki struktur
khusus karena timbul dari mengambil derivatif dari Hamiltonian. Dengan demikian, sistem
dinamis yang dihasilkan adalah suatu sistem Hamiltonian, yaitu:
Pendekatan yang telah bangkit menjadi terkenal dalam kontrol optimal numerik selama dua
dekade terakhir (yaitu dari tahun 1980-an sampai sekarang) adalah bahwa metode langsung
disebut demikian. Dalam metode langsung, negara dan / atau kontrol didekati dengan
menggunakan pendekatan fungsi yang sesuai (misalnya, pendekatan polinomial atau sesepenggal
parameterisasi konstan). Secara bersamaan, biaya fungsional diperkirakan sebagai fungsi biaya.
Kemudian, koefisien dari fungsi aproksimasi diperlakukan sebagai variabel optimasi dan
masalahnya adalah "ditranskripsikan" untuk masalah optimasi nonlinier dalam bentuk:
Memperkecil F(z),
Sesuai pada batasan aljabar:
Tergantung pada jenis metode langsung digunakan, ukuran dari masalah optimasi nonlinier
bisa sangat kecil (misalnya, seperti dalam penembakan langsung atau metode quasilinearization)
atau mungkin cukup besar (misalnya, sebuah metode kolokasi langsung). Dalam kasus terakhir
(yaitu metode kolokasi), masalah optimasi nonlinier mungkin ribuan sampai puluhan ribu
variabel dan kendala. Mengingat ukuran NLPs banyak yang timbul dari suatu metode langsung,
mungkin tampak agak kontra-intuitif bahwa penyelesaian masalah optimasi nonlinier lebih
mudah daripada memecahkan masalah batas-nilai.
Namun demikian, fakta bahwa NLP lebih mudah untuk memecahkan masalah daripada
batas-nilai. Alasan kemudahan relatif komputasi, terutama metode kolokasi langsung, adalah
bahwa NLP adalah jarang dan banyak dikenal-baik program perangkat lunak ada (misaalnya,
snopt) untuk memecahkan NLP jarang besar. Akibatnya, berbagai masalah yang dapat
diselesaikan melalui metode langsung (kolokasi metode langsung terutama yang sangat populer
hari ini) secara signifikan lebih besar dari berbagai masalah yang dapat diselesaikan melalui
metode tidak langsung. Bahkan, metode langsung telah menjadi begitu populer hari ini bahwa
banyak orang telah menulis program perangkat lunak yang rumit yang menggunakan metode ini.
Secara khusus, program seperti itu banyak ditulis dalam fortran termasuk dircol, socs, otis, gesop
dan ditan. Dalam beberapa tahun terakhir, karena munculnya bahasa pemrograman matlab,
perangkat lunak kontrol optimal dalam matlab telah menjadi lebih umum.
Waktu Diskrit Kontrol Optimal
Contoh-contoh sejauh ini telah menunjukkan waktu kontinu dan solusi sistem kontrol.
Bahkan, sebagai solusi kontrol optimal yang sekarang sering dilaksanakan digital , teori kontrol
kontemporer sekarang terutama berkaitan dengan waktu diskrit sistem dan solusi. Teori
Konsisten perkiraan menyediakan kondisi dimana solusi serangkaian semakin mengontrol
masalah berkumpul optimal diskretisasi akurat untuk solusi yang terus-menerus, masalah waktu
asli. Tidak semua metode beda memiliki properti, bahkan yang tampak jelas. Misalnya, dengan
menggunakan langkah ukuran variabel rutin untuk mengintegrasikan persamaan dinamik
masalah mungkin menghasilkan gradien yang tidak konvergen ke nol (atau titik dalam arah yang
benar) sebagai solusi didekati. Metode langsung didasarkan pada Teori Aproksimasi Konsisten.
Contoh
Sebuah strategi solusi umum dalam banyak masalah kontrol optimal untuk memecahkan
costate (kadang-kadang disebut harga bayangan) λ(t). Costate ini ikhtisar di nomor satu nilai
marjinal memperluas atau tertular variabel keadaan giliran berikutnya. Nilai marjinal tidak hanya
keuntungan yang diperoleh untuk itu giliran berikutnya tetapi berhubungan dengan durasi
program. Hal ini bagus ketika λ (t) dapat diselesaikan secara analitis, tetapi biasanya yang paling
dapat Anda lakukan adalah menggambarkannya cukup baik bahwa intuisi dapat menangkap
karakter dari solusi dan persamaan solver dapat memecahkan numerik untuk nilai.
Setelah diperoleh λ(t), t optimal nilai-turn untuk mengontrol biasanya dapat diselesaikan
sebagai persamaan diferensial tergantung pada pengetahuan λ(t). Sekali lagi itu jarang terjadi,
terutama dalam masalah kontinu-waktu, bahwa seseorang mendapatkan nilai control atau negara
secara eksplisit. Biasanya strategi adalah untuk memecahkan untuk ambang dan daerah yang
menjadi ciri kontrol optimal dan menggunakan solver numerik untuk mengisolasi nilai pilihan
yang sebenarnya pada waktunya.
Finite Time
Pertimbangkan masalah pemilik tambang yang harus memutuskan pada tingkat apa untuk
mengekstrak bijih dari tambang itu. Dia memiliki hak atas bijih dari tanggal 0 sampai T saat ini.
Pada tanggal 0 ada x 0 bijih di tanah, dan saham seketika bijih x (t) menurun pada tingkat pemilik
tambang ekstrak itu u (t). Pemilik tambang ekstrak bijih di u biaya (t) 2 / x (t) dan menjual bijih di
p harga konstan. Dia tidak nilai sisa bijih di tanah pada waktu T (tidak ada "nilai memo"). Dia
memilih tingkat ekstraksi di u waktu (t) untuk memaksimalkan laba selama periode kepemilikan
tanpa diskon waktu.
Sehingga, dengan menggunakan dan putar T kondisi awal, seri t x dapat diselesaikan secara
eksplisit, memberi t u.
Versi Waktu Kontinu
Atur Π untuk memaksimalkan keuntungan:
Sehingga, dengan menggunakan kondisi awal dan putar T, fungsi dapat dipecahkan secara
numerik.