Model ARIMA untuk Kurs Transaksi Bank In

MAKALAH TIME SERIES
MODEL ARIMA KURS TRANSAKSI BANK INDONESIA
MATA UANG USD
(Periode 2011-2015)

Disusun Oleh:
Nama

: Erlan Saputra

Nim

: 08011381320011

Dosen Pembimbing

: Oki Dwipurwani, M.Si

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2016/2017

Data dengan periode 2011-2015 sebagai berikut :
KURS TRANSAKSI BANK INDONESIA MATA UANG USD

Nilai
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

Nilai Kurs Jual (Zt)
9021
9087
8856

8742
8594
8583
8606
8523
8582
8970
8937
9171
9067
9143
9209
9239
9380
9448
9515
9633
9641
9676
9646

9733
9749
9726
9784
9779
9860
9984

Tanggal
03-Jan-11
01-Feb-11
01-Mar-11
01-Apr-11
02-Mei-11
01-Jun-11
01-Jul-11
01-Agust-11
05-Sep-11
03-Okt-11
01-Nop-11

02-Jan-12
01-Feb-12
01-Mar-12
02-Apr-12
01-Mei-12
01-Jun-12
02-Jul-12
01-Agust-12
03-Sep-12
01-Okt-12
01-Nop-12
03-Des-12
02-Jan-13
01-Feb-13
01-Mar-13
01-Apr-13
01-Mei-13
03-Jun-13
01-Jul-13

Nilai
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

Nilai Kurs Jual (Zt)
10339
10977
11651
11411
12006
12303
12312

11654
11327
11595
11799
11857
11649
11769
12249
12166
12325
12536
12764
13058
13108
13086
13296
13399
13398
13559
14151

14727
13750
13877

Tanggal
01-Agust-13
02-Sep-13
01-Okt-13
01-Nop-13
02-Des-13
02-Jan-14
03-Feb-14
03-Mar-14
01-Apr-14
02-Mei-14
02-Jun-14
01-Jul-14
01-Agust-14
01-Sep-14
01-Okt-14

03-Nop-14
01-Des-14
02-Jan-15
02-Feb-15
02-Mar-15
01-Apr-15
04-Mei-15
01-Jun-15
30-Jun-15
01-Jul-15
03-Agust-15
01-Sep-15
01-Okt-15
02-Nop-15
01-Des-15

1. Topik data : Menentukan model ARIMA untuk data dengan periode bulanan selama 5 tahun.
Sumber data : Bank Indonesia (Periode 2011-2015).
Alamat web : http://www.bi.go.id/id/moneter/informasi-kurs/transaksi-bi/Default.aspx
Data dibawah ini didapat dari Bank Indonesia dimana informasi kurs ini merupakan kurs referensi

oleh Jakarta Interbank Spot Dollar Rate (JISDOR), yang disusun berdasarkan kurs transaksi valuta
asing terhadap Rupiah antar bank di pasar domestik, melalui Sistem Monitoring Transaksi Valuta
Asing terhadap Rupiah (SISMONTAVAR) di Bank Indonesia secara real time.

Dari data ini kita akan menentukan model terbaik untuk data tersebut. Dimana data adalah kurs
jual transaksi Bank Indonesia mata uang Dollar (USD). Maksudnya kurs jual adalah harga yang
diberikan oleh bank kepada kita untuk membeli mata uang asing. Kasus disini berarti menukarkan
Rupiah (IDR) terhadap Dollar (USD). Data yang disajikan adalah data pada setiap awal bulan.
2. Menentukan Data Stasioner dan Membuat Grafik Trend
Untuk menentukan data tersebut stasioner atau tidak, kita dapat menggunakan Minitab 16.
Terlebih dahulu data dimasukkan. Untuk mengetahui plot data stasioner dengan :
* Pilih menu StatSubmenu Time Series Time Series Plots..
* Pada Kolom Time Series PlotsPilih SimpleOk
* Pada Kolom Time Series Plot-SimpleSeries
(Masukkan data kurs (plot data yang akan diuji))
* Ok.
Kemudian pada trend analisis digunakan untuk menentukan garis dari data tersebut.
Langkah-langkahnya yaitu :
*Pilih menu StatSubmenu Time SeriesSubmenu Trend Analysis
(akan muncul jendela tampilan)
*Klik data yang akan dianalisis garis trendnyaKlik select
(data nama kolom dari data tersebut akan tampil dalam kotak di samping Variable).
*Pilih model yang sesuai dengan data tersebut (Linier) Ok.
Berdasarkan data diatas kemudian dapat melihat plot data dan sebarannya dengan menggunakan
Minitab 16, sebagai berikut:
Time Series Plot of Kurs (Zt)
15000
14000

Kurs (Zt)

13000
12000
11000
10000
9000
8000
1

6

12

18

24

30
Index

36

42

48

54

60

Gambar 1.Grafik Kurs Jual Bank Indonesia (Data Asli)

Trend Analysis Plot for Kurs (Zt)
Linear Trend Model
Yt = 7837 + 99,3*t
15000

Variable
Actual
Fits

14000

Accuracy Measures
MAPE
3
MAD
349
MSD
213483

Kurs (Zt)

13000
12000
11000
10000
9000
8000
1

6

12

18

24

30
36
Index

42

48

54

60

Gambar 2. Grafik Trend (Data Asli)
Keterangan :
Data membentuk trend, menunjukkan data tidak stasioner dalam rata-rata. Dengan melihat pola
sebaran diatas, dapat disimpulkan bahwa data tersebut belum stasioner. Karena data tidak menyebar
disekitar rata-rata. Kemudian kita juga dapat melihat dari grafik autokorelogram untuk ACF-nya,
sebagai berikut :

3. Autokorelogram ACF dan PACF
Autokorelogram Fungsi Auto Korelasi (ACF) dan Fungsi Auto Korelasi Parsial (PACF)
digunakan untuk menentukan kestasioneran data runtun waktu dan model dari data tersebut.
Langkah-langkahnya sebagai berikut :
Untuk menggambar autokorelogram Fungsi Auto Korelasi (ACF) :
*Pilih menu StatSubmenu Time SeriesSubmenu Autocorrelation..
Untuk menggambar autokorelogram Fungsi Auto Korelasi Parsial (PACF) :
*Pilih menu StatSubmenu Time SeriesSubmenu Partial Autocorrelation..
Akan muncul jendela tampilan,
*Klik data yang ingin dicari grafik/autokorelogram Fungsi Auto Korelasi (ACF) dan Fungsi Auto
Korelasi Parsial (PACF).
*Klik tombol select (nama kolom data tersebut akan tampil dalam kotak disamping Series).
*Kemudian ketiklah judul grafik pada kotak disebelah Title Ok.

Autocorrelation Function for Kurs (Zt)
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
1,0
0,8

Autocorrelation

0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
1

5

10

15

20

25

30
Lag

35

40

45

50

55

Gambar 3. Grafik ACF (Data Asli)

Partial Autocorrelation Function for Kurs (Zt)
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1,0

Partial Autocorrelation

0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
1

5

10

15

20

25

30
Lag

35

40

45

50

55

Gambar 4. Grafik PACF (Data Asli)
Keterangan :
* Pada grafik ACF, dapat dilihat bahwa sebaran data ACF-nya menunjukkan tale off (plot menuju
angka nol dengan lambat) masih belum berubah secara signifikan (masih teratur) atau masih terlihat
kelinearan pada beberapa lag, hal itu menunjukkan bahwa data belum stasioner.
*Pada grafik PACF, data sudah berubah secara signifikan tetapi belum bisa disimpulkan bahwa data
sudah stasioner, karena dari plot data dan juga autograph ACF menunjukkan bahwa data belum
stasioner.
Maka lakukan diferensiasi (data selisih) pertama untuk menstasionerkan data tersebut.

Menghitung Diferensiasi (Data Selisih/Pembedaan)
a. Data Diferensiasi Pertama (Wt)
Data selisih/pembedaan digunakan untuk menentukan kestasioneran data runtun waktu jika data
aslinya tidak stasioner. Langkah-langkahnya yaitu :
*Pilih menu StatSubmenu Time SeriesSubmenu Differences..
(akan muncul jendela tampilan)

*Klik data yang ingin dicari selisihnyaKlik Select.
(Isi kolom mana yang akan ditempati hasil selisih tadi. Untuk lag selalu diisi dengan 1, jika kita
ingin mencari data selisih ke-n maka data yang dipilih dalam series adalah data ke-n untuk kotak
disebelah lag selalu diisi dengan 1).
Setelah dilakukan pembedaan pertama, maka dapat kita lihat hasil plot untuk data yang sudah
dilakukan pembedaan :
Trend Analysis Plot for Wt=(Zt)-(Zt-1)

Time Series Plot of Wt=(Zt)-(Zt-1)

Linear Trend Model
Yt = 19,0 + 2,04*t
500

Variable
Actual
Fits

Wt=(Zt)-(Zt-1)

Wt=(Zt)-(Zt-1)

500

0

-500

-1000

Accuracy Measures
MAPE
379,3
MAD
172,1
MSD
73274,7

0

-500

-1000
1

6

12

18

24

30
36
Index

42

48

54

1

60

6

12

18

24

30 36
Index

(a)

42

48

54

60

(b)

Gambar 5. (a).Grafik Kurs Jual Bank Indonesia dan (b).Grafik Trend (Pembedaan Pertama)
Selanjutnya kita lihat perubahan pola pada grafik ACF dan PACFnya:
Autocorrelation Function for Wt=(Zt)-(Zt-1)

Partial Autocorrelation Function for Wt=(Zt)-(Zt-1)
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

1,0

1,0

0,8

0,8

0,6

0,6

Partial Autocorrelation

Autocorrelation

(with 5% significance limits for the autocorrelations)

0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8

0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8

-1,0

-1,0

1

5

10

15

20

25

30
Lag

35

40

45

50

(a)

55

1

5

10

15

20

25

30
Lag

35

40

45

50

55

(b)

Gambar 6. (a).Grafik ACF dan (b).Grafik PACF (Pembedaan Pertama)
Keterangan :
* Pada Gambar 5. Dengan melihat pola sebaran diatas, data tersebut belum stasioner. Karena data
belum menyebar disekitar rata-rata.

*Pada grafik ACF dan grafik PACF, data sudah berubah secara signifikan tetapi tidak ada cut off,
belum bisa disimpulkan bahwa data sudah stasioner, karena dari plot data menunjukkan bahwa data
belum stasioner. Sehingga diperlukan data pembedaan/selisih kedua.

b. Data Diferensiasi Kedua (Yt)
Data diferensiasi kedua dari data Kurs Transaksi Bank Indonesia mata uang yaitu :
Trend Analysis Plot for Yt=(Wt)-(Wt-1)

Time Series Plot of Yt=(Wt)-(Wt-1)

Linear Trend Model
Yt = -1 + 0,0515*t

1000

Variable
Actual
Fits

1000

Accuracy Measures
MAPE
101
MAD
241
MSD
141102

500
Yt=(Wt)-(Wt-1)

Yt=(Wt)-(Wt-1)

500

0

-500

-1000

0
-500
-1000

-1500

-1500
1

6

12

18

24

30
36
Index

42

48

54

1

60

6

12

18

24

30 36
Index

(a)

42

48

54

60

(b)

Gambar 7. (a).Grafik Kurs Jual Bank Indonesia dan (b).Grafik Trend (Pembedaan Kedua)

Autocorrelation Function for Yt=(Wt)-(Wt-1)

Partial Autocorrelation Function for Yt=(Wt)-(Wt-1)

(with 5% significance limits for the autocorrelations)

(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

1,0

1,0

0,8

0,8

0,6

0,6

Partial A utocorrelation

A utocorrelation

Selanjutnya kita lihat perubahan pola pada grafik ACF dan PACFnya:

0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6

0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6

-0,8

-0,8

-1,0

-1,0
1

5

10

15

20

25

(a)

30
Lag

35

40

45

50

55

1

5

10

15

20

25

30
Lag

35

40

(b)

Gambar 8. (a).Grafik ACF dan (b).Grafik PACF (Pembedaan Kedua)

45

50

55

Keterangan :
*Pada Gambar 7. Melihat pola sebaran diatas, data tersebut sudah stasioner. Karena data telah
menyebar disekitar rata-rata.
*Pada grafik ACF terlihat data grafiknya tidak turun lambat dan linear dan juga ACF sudah cut off,
sehingga data dapat dikatakan sudah stasioner terhadap rata-rata.
*Pada grafik PACF, data sudah berubah secara signifikan dan juga terdapat cut off bisa disimpulkan
bahwa data sudah stasioner, karena dari plot data dan juga autograph ACF menunjukkan bahwa
data telah stasioner, sehingga dapat langsung diperkirakan modelnya.

Dapat dilihat bahwa data tersebut sudah stasioner. Dan dapat kita lihat pula bahwa model data
tersebut tidak mengandung musiman. Karena tidak terdapat pengulangan pola yang sama pada
periode-periode tertentu.
Runtun waktu tersebut mempunyai trend, sebuah hubungan signifikan terjadi diantara sejumlah
runtun waktu koefisien korelasi dengan tipe besar untuk time lag pertama, dan kemudian secara
berangsur akan turun mendekati nol sebagai jumlah dari penambahan lag. Runtun yang terdiri dari
trend dikatakan tidak stasioner bila koefisien autokorelasi untuk sebuah runtun waktu stasioner turun
menuju nol secara umum setelah waktu lag kedua atau ketiga.
4. Menentukan Model ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)L
Selanjutnya menentukan nilai-nilai p,d,q, P,D,Q dan L adalah dengan melihat pada hasil/output
data yang ada :
a. Nilai p dan P dapat dilihat dari autokorelogram PACF dari Yt
(Setelah pembedaan/diferensiasi kedua dari Zt (data asli) ).
b.Nilai d ditentukan dengan melihat beberapa kali pembedaan/diferensiasi yang dilakukan agar data
tersebut stasioner, dalam kasus ini hanya dilakukan satu kali pembedaan, maka d = 2.
c. Nilai q dan Q dapat dilihat dari autokorelogram ACF dari Yt (setelah pembedaan kedua).
d. Nilai L adalah dilihat dari musiman data. Karena data tidak mengandung pola musiman, maka kita
tidak perlu menggunakan (PDQ)L.
e. Untuk mencari model terbaik, kita harus mengidentifikasi model satu-persatu.

Untuk hasil analisa menggunakan Minitab’16 maka didapat hasil perhitungan untuk 10 model
percobaan sebagai berikut :
t

ARIMA (p,d,q)

Nilai MSE

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

(2,2,3)
(4,2,0)
(4,2,1)
(4,2,2)
(4,2,3)
(5,2,0)
(5,2,1)
(5,2,2)
(5,2,3)
(5,2,4)

180185
220236
138622
126295
113617
174937
126016
135887
132307
106447

Nilai p-value LjungBox
lag terakhir
0,015
0,063
0,047
0,164
0,100
0,153
0,144
0,085
0,200
0,120

Apakah ACF
residualnya
acak
Acak
Tidak Acak
Tidak Acak
Acak
Acak
Acak
Acak
Acak
Acak
Acak

5. Memilih Model ARIMA Terbaik
Melihat dari syarat-syarat memilih model ARIMA terbaik sebagai berikut :
a. Nilai ACF dan PACF yang ditunjukkan melalui grafik tidak berubah beraturan. Dalam hal ini acak.
Perubahan nilai sangat signifikan dan tidak melewati batas garis merah pada grafik (berdasarkan
grafik residual ARIMA-nya).
b. Memilik MSE yang kecil (mendekati nol)
c. Memiliki nilai Ljung-box yang terbesar (mendekati 1)
Dari ke-10 model ARIMA diatas, didapat bahwa model terbaik adalah ARIMA (4,2,3). Karena
memiliki nilai MSE yang cukup kecil yaitu 113617 dan nilai P-value Ljung-Box lag yang cukup
besar (mendekati 1) yaitu 0,100. Kemudian dilihat dari hasil ACF dan PACF-nya sudah berubah
secara signifikan, tidak berpola, dan menyebar secara acak.
Berikut adalah grafik hasil dari model ARIMA (4,2,3) :
Residual Plots for Yt=(Wt)-(Wt-1)
Normal Probability Plot

Versus Fits

99

500

Residual

Percent

90
50
10

0
-500
-1000

1
-1000

-500

0
Residual

500

1000

-500

Histogram

1000

Versus Order

20

500

15

Residual

Frequency

0
500
Fitted Value

10
5

0
-500
-1000

0
-1200

-800

-400
0
Residual

400

1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Observation Order

Gambar 9.Residual Plots for Yt (Model ARIMA (4,2,3))

PACF of Residuals for Yt=(Wt)-(Wt-1)
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1,0

Partial Autocorrelation

0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Lag

Gambar 10.PACF of Residual Plots for Yt (Model ARIMA (4,2,3))
ACF of Residuals for Yt=(Wt)-(Wt-1)
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
1,0
0,8

Autocorrelation

0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Lag

Gambar 11. ACF of Residual Plots for Yt (Model ARIMA (4,2,3))

Time Series Plot for Yt=(Wt)-(Wt-1)
1000

Yt=(Wt)-(Wt-1)

500

0

-500

-1000

-1500
1

5

10

15

20

25

30
35
Time

40

45

50

55

60

Gambar 12. Time Series Plots for Yt (Model ARIMA (4,2,3))

Gambar 13. Nilai MSE dan Ljung-box (Model ARIMA (4,2,3))
Keterangan :
Nilai error atau MSE dari model ini cukup kecil yaitu 113617. Dari hasil pengujian Box-Pierce
(Ljung-box), semua nilai P-value > 0,05 maka dikatakan residual memenuhi asumsi white noise.

Setelah didapat model terbaik dari data Kurs Transaksi Bank Indonesia Mata Uang USD periode
2011-2015 adalah ARIMA (4,2,3), dengan hasil penguraiannya sebagai berikut :
∅ 𝑝 (𝐵)(1 − 𝐵)𝑑 𝑍 𝑡 = 𝜃 𝑞 (𝐵)𝑒𝑡

(p,d,q)(4,2,3) = ∅ 4 (𝐵)(1 − 𝐵)2 𝑍 𝑡 = 𝜃 3 (𝐵)𝑒𝑡

(1 − ∅ 1 𝐵 − ∅ 2 𝐵 2 − ∅ 3 𝐵 3 −∅ 4 𝐵 4 )(1 − 2𝐵 + 𝐵 2 ). 𝑍 𝑡 = (1 − 𝜃 1 𝐵 − 𝜃 2 𝐵 2 − 𝜃 3 𝐵 3 )𝑒𝑡
1 − 2𝐵 + 𝐵2 − ∅ 1 𝐵 + 2∅ 1 𝐵2
−∅ 1 𝐵3 − ∅ 2 𝐵2 + 2∅ 2 𝐵3 − ∅ 2 𝐵4
. 𝑍 𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃 1 𝐵𝑒𝑡 − 𝜃 2 𝐵2 𝑒𝑡 − 𝜃 3 𝐵3 𝑒𝑡
−∅ 3 𝐵3 + 2∅ 3 𝐵4 − ∅ 3 𝐵5 − ∅ 4 𝐵4
+2∅ 4 𝐵5 − ∅ 4 𝐵6
[
]

1 − 2𝐵 + 𝐵2 − ∅ 1 (𝐵 − 2𝐵2 + 𝐵3 ) − ∅ 2 (𝐵2 − 2𝐵3 + 𝐵4 )
[
] . 𝑍 𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃 1 𝑒𝑡−1 − 𝜃 2 𝑒𝑡−2 − 𝜃 3 𝑒𝑡−3
−∅ 3 (𝐵3 − 2𝐵4 + 𝐵5 ) − ∅ 4 (𝐵4 − 2𝐵5 + 𝐵6 )

𝑍 − 2𝐵𝑍 𝑡 + 𝐵2 𝑍 𝑡 − ∅ 1 (𝐵 − 2𝐵2 + 𝐵3 )𝑍 𝑡 − ∅ 2 (𝐵2 − 2𝐵3 + 𝐵4 )𝑍 𝑡
] = 𝑒𝑡 − 𝜃 1 𝑒𝑡−1 − 𝜃 2 𝑒𝑡−2 − 𝜃 3 𝑒𝑡−3
[ 𝑡
−∅ 3 (𝐵3 − 2𝐵4 + 𝐵5 )𝑍 𝑡 − ∅ 4 (𝐵4 − 2𝐵5 + 𝐵6 )𝑍 𝑡

2𝐵𝑍 𝑡 − 𝐵2 𝑍 𝑡 + ∅ 1 (𝐵 − 2𝐵2 + 𝐵3 )𝑍 𝑡 + ∅ 2 (𝐵2 − 2𝐵3 + 𝐵4 )𝑍 𝑡 + ∅ 3 (𝐵3 − 2𝐵4 + 𝐵5 )𝑍 𝑡
]
𝑍𝑡 =[
+∅ 4 (𝐵4 − 2𝐵5 + 𝐵6 )𝑍 𝑡 + 𝑒𝑡 − 𝜃 1 𝑒𝑡−1 − 𝜃 2 𝑒𝑡−2 − 𝜃 3 𝑒𝑡−3

2𝑍 𝑡−1 − 𝑍 𝑡−2 + ∅ 1 (𝑍 𝑡−1 − 2𝑍 𝑡−2 + 𝑍 𝑡−3 ) + ∅ 2 (𝑍 𝑡−2 − 2𝑍 𝑡−3 + 𝑍 𝑡−4 ) +
𝑍𝑡 =[
]
∅ 3 (𝑍 𝑡−3 − 2𝑍 𝑡−4 + 𝑍 𝑡−5 ) + ∅ 4 (𝑍 𝑡−4 − 2𝑍 𝑡−5 + 𝑍 𝑡−6 ) + 𝑒𝑡 − 𝜃 1 𝑒𝑡−1 − 𝜃 2 𝑒𝑡−2 − 𝜃 3 𝑒𝑡−3

Maka diperoleh Model Terbaik sebagai berikut :

2𝑍 𝑡−1 − 𝑍 𝑡−2 + ∅ 1 (𝑍 𝑡−1 − 2𝑍 𝑡−2 + 𝑍 𝑡−3 ) + ∅ 2 (𝑍 𝑡−2 − 2𝑍 𝑡−3 + 𝑍 𝑡−4 ) +
∴𝑍𝑡 =[
]
∅ 3 (𝑍 𝑡−3 − 2𝑍 𝑡−4 + 𝑍 𝑡−5 ) + ∅ 4 (𝑍 𝑡−4 − 2𝑍 𝑡−5 + 𝑍 𝑡−6 ) + 𝑒𝑡 − 𝜃 1 𝑒𝑡−1 − 𝜃 2 𝑒𝑡−2 − 𝜃 3 𝑒𝑡−3

6. Estimasi Parameter-Parameter Model Terbaik

Gambar 13. Final Estimates of Parameters (Model ARIMA (4,2,3))
Keterangan :
Dari hasil pengujian diketahui bahwa pada pengujian t, semua nilai p-value