OPTIMASI BENTUK ROTATING DISK BERDASARKAN TEGANGAN TANGENSIAL DAN VOLUME MENGGUNAKAN OPTIMISASI - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

8

2.1. Konsep Dasar Optimasi Rotating Disk Bertingkat

Rotating disk merupakan benda solid simetris yang berputar. Untuk rotating disk yang bertingkat terdapat perbedaan ketebalan pada masing-masing tingkatan yang diukur dari titik pusat. Sehingga terdapat beberapa variabel desain yang perlu diperhatikan, antara lain: profil, diameter, pemilihan material, banyaknya segmen (tingkatan) dan lain-lain. [Ref. 1 hal. 97].

Pada saat rotating disk berputar pada kecepatan tinggi, akan dihasilkan tegangan akibat dari gaya sentrifugal. Jika tegangan berada di dalam daerah elastis dari bahan rotating disk tersebut dan menghasilkan sebuah deformasi, maka ukuran dari rotating disk akan kembali seperti keadaan semula ketika tegangan dihilangkan. Tetapi jika tegangan mempunyai nilai yang besar, maka terdapat sebagian regangan hasil tegangan tersebut yang tertinggal dalam rotating disk. Jika hal demikian dibiarkan terus-menerus akan menyebabkan material ini gagal dan permulaan keretakan meningkat yang dapat menyebabkan rotating disk pecah.

Gambar 2.1Contoh rotating disk 4 tingkat. [atas seizin Wisnu Aji P.]

Gambar 2.1merupakan contoh profil dari rotating disk 4 segmen/tingkat. Profil dari rotating disk pada Gambar 2.1 masih dapat kita optimalkan sehingga diperoleh

Po

distribusi tegangan dan desain yang lebih baik, yakni lebih ringan tapi kuat. Salah satu cara untuk mencapai tujuan tersebut adalah dengan metode optimisasi. Optimisasi merupakan metode untuk mendapatkan hasil yang terbaik dengan batasan-batasan tertentu. [Ref. 6 hal. 1]. Dalam Tugas Akhir ini yang akan kita kaji adalah optimasi geometri rotating disk (dengan variabel radius dan ketebalan yang akan divariasikan) untuk mendapatkan distribusi tegangan yang lebih baik.

2.2. Aplikasi Rotating Disk

Berdasarkan tipe poros, rotating disk dibagi menjadi dua macam: a. Press Fitted with Central Hole

Merupakan rotating disk dengan bagian tengah yang berlubang. Lubang poros ini dinotasikan dengan harga Rm. Harga Rm ini ditentukan sebagai ukuran radius dari poros. Aplikasi dari rotating disk tipe ini banyak digunakan pada turbin uap dan gas.

Gambar 2.2Rotating disk dengan bagian tengah yang berlubang.

[Ref. 1 hal. 100]

Pemasangan antara piringan dengan poros dilakukan dengan cara sambungan susut. Poros penggerak dipasang setelah jari-jari dalam piringan dipanaskan yang kemudian didinginkan, maka antara kedua bagian terjadi tekanan kontak yang disebut tekanan sambungan susut.

b. Disk with Integral saft

Merupakan rotating disk dengan integral poros atau poros menjadi satu dengan piringan. Pada saat proses pembuatan piringan misalkan dengan cara pengecoran poros dan piringan dibuat menjadi satu. Rotating disk tipe ini dipakai pada rotor pada kondisi temperatur tinggi dan mempunyai diameter yang relatif kecil.

Gambar 2.3Rotating disk dengan integral poros. [Ref. 1 hal. 105]

Berikut merupakan aplikasi dari rotating disk dalam permesinan: a. Turbin

Turbin adalah sebuah mesin berputar yang mengambil energi dari aliran fluida. Turbin sederhana memiliki satu bagian yang bergerak, "asembli rotor-blade". Fluida yang bergerak menjadikan baling-baling berputar dan menghasilkan energi untuk menggerakkan rotor. Dalam turbin ini menggunakan elemen yang berbentuk rotating disk yang digunakan pada dudukan sudu atau blade.

Gambar2.4Aplikasi rotating disk pada sudu turbin.

b. Kompresor

Kompresor adalah alat mekanik yang berfungsi untuk meningkatkan tekanan fluida mampu mampat, yaitu gas atau udara. Tujuan meningkatkan tekanan dapat untuk mengalirkan atau kebutuhan proses dalam suatu sistem proses yang lebih besar (contohnya pada pabrik-pabrik kimia untuk kebutuhan reaksi). Rotating disk terdapat pada pemegang sudu hantar, pada rotor radial.

c. Hard disk

Rotating disk juga digunakan dalam aplikasi penyimpanan data berupa hard disk drives. Stabilitas dan kepresisian yang tinggi pada operasi kecepatan tinggi merupakan kemampuan dan hasil dari sistem ini.

d. Rem cakram

Rem cakram adalah perangkat pengereman yang digunakan pada kendaraan modern. Rem ini bekerja dengan menjepit cakram yang biasanya dipasangkan pada roda kendaraan, untuk menjepit cakram digunakan caliper yang digerakkan oleh piston untuk mendorong sepatu rem (brake pads) ke cakram. Rem jenis ini juga digunakan pada kereta api, sepeda motor, sepeda.

Gambar 2.6Rem cakram sepeda motor.

e. Giroskop

Giroskop adalah roda berat yang berputar pada jari-jarinya. Sebuah giroskop mekanis terdiri dari sebuah roda yang diletakkan pada sebuah bingkai. Roda ini berada di sebuah batang besi yang disebut dengan poros roda. Ketika giroskop digerakkan, maka ia akan bergerak mengitari poros tersebut. Poros tersebut terhubung dengan lingkaran-lingkaran yang disebut gimbal. Gimbal tersebut juga terhubung dengan gimbal lainnya pada dasar lempengan. Jadi saat piringan itu berputar, unit giroskop itu akan tetap menjaga posisinya saat pertama kali dia diputar.

Gambar 2.7Aplikasi rotating disk pada giroskop.

Giroskop kemudian dikembangkan menjadi penemuan penting, antara lain aplikasinya pada penyeimbang (stabilizers) pesawat udara dan kapal laut.

2.3. Tegangan pada Rotating Disk

Hukum Pertama Newton tentang aksi dan reaksi, bila sebuah balok terletak di atas lantai, balok akan memberikan aksi pada lantai, demikian pula sebaliknya lantai akan memberikan reaksi yang sama, sehingga benda dalam keadaan setimbang. Gaya aksi sepusat (F) dan gaya reaksi (F’) dari bawah akan bekerja pada setiap penampang balok tersebut. Jika kita ambil penampang A-A dari balok, gaya sepusat (F) yang arahnya ke bawah, dan di bawah penampang bekerja gaya reaksinya (F’) yang arahnya ke atas.

Pada bidang penampang tersebut, molekul-molekul di atas dan di bawah bidang penampang A-A saling tekan menekan, maka setiap satuan luas penampang menerima beban sebesar: F/A. Tegangan timbul akibat adanya tekanan, tarikan, bengkokan, dan reaksi. Pada pembebanan tarik terjadi tegangan tarik, pada pembebanan tekan terjadi tegangan tekan, begitu pula pada pembebanan yang lain. [Ref. 11].

2.4.3. Konsep Tegangan Rotating Disk Statik

Persamaan distribusi tegangan untuk rotating disk dapat diselesaikan dengan pemecahan persoalan umum pada silinder dinding tebal. Asumsi yang digunakan adalah rotating disk dalam kondisi statik atau tidak berputar. Pada sebuah silinder dengan tebal seragam yang mengalami aksi tekanan dalam (Pi) dan tekanan luar (Po) yang merata seperti dapat kita lihat pada Gambar 2.9 (a), maka deformasi yang dihasilkan adalah simetris terhadap sumbu dan tidak berubah sepanjang sumbu tersebut. Demikian pula dengan besar tegangan tangensial dan radial yang terjadi merupakan fungsi dari radiusnya (r) dan tidak berubah terhadap sudut (dΦ) yang dibentuk dari sumbunya. [Ref. 8 hal. 236].

Gambar 2.9Distribusi tegangan pada rotating disk. [Ref. 8 hal. 237]

Dari pernyataan diatas, maka untuk mempermudah analisa tegangan yang bekerja pada piringan tersebut dapat kita potong menjadi bagian kecil seperti pada Gambar 2.9 (b) di atas. Hal ini tidak akan merubah besar nilai dari tegangan tersebut karena rotating disk bersifat simetris sepanjang sumbu. Pada Gambar 2.9 (b) juga

dijelaskan terdapat dua tegangan yang bekerja pada rotating disk tersebut, yakni tegangan tangensial (σt) dan tegangan radial (σr).

2.3.2.1. Tegangan Tangensial

Tegangan tangensial (tangential stress) atau Tegangan Keliling (Circumferential Stress atau Hoop Stress) adalah gaya per satuan luas yang arah gayanya searah dengan garis singgung penampang rotating disk. [Ref. 10]. Satuan (SI) untuk tegangan tangensial adalah Pascal (Pa).

Gambar 2.10Tegangan tangensial dan radial pada satu segmen rotating disk. [Ref. 14]

Gambar 2.10 diatas menjelaskan letak bekerjanya tegangan tangensial (σt) yang terdapat pada satu segmen rotating disk. Dalam kondisi statik, tegangan tangensial terjadi akibat adanya tekanan luar (Po) dan tekanan dalam (Pi) dari rotating disk itu sendiri. Berikut merupakan persamaan tegangan tangensial (σt) untuk rotating disk dengan ketebalan seragam:

2.3.2.2. Tegangan Radial

Tegangan radial (radial stress) adalah gaya per satuan luas yang arah gayanya searah dengan jari-jari penampang rotating disk. [Ref. 10]. Satuan (SI) untuk tegangan radial adalah Pascal (Pa). Letak bekerjanya tegangan radial (σr) yang terdapat pada satu segmen rotating disk diperlihatkan pada Gambar 2.10. Dalam kondisi statik, tegangan radial terjadi akibat adanya tekanan luar (Po) dan tekanan dalam (Pi) dari rotating disk itu sendiri. Berikut merupakan persamaan tegangan radial (σr) untuk rotating disk dengan ketebalan seragam:

[Ref. 8 hal. 239]

2.4.3. Tegangan pada Rotating Disk dengan Variabel Ketebalan

Pada rotating disk dengan ketebalan seragam, harga ketebalan dalam perhitungan tegangannya dapat diabaikan. Sedangkan pada perhitungan tegangan rotating disk bertingkat (terdapat variasi ketebalan), harga ketebalan pada tiap tingkat harus diperhitungkan.

Gambar 2.11Geometri rotating disk (tampak samping) dengan variasi ketebalan. [Ref. 1 hal. 100]

Gambar 2.11 di atas merupakan gambar geometri setengah bagian rotating disk sebanyak n segmen dengan radius R2, R3, hingga Rm dan dengan variasi ketebalan mulai dari L2 (tebal pada segmen terluar) hingga Lm (tebal pada segmen paling dalam yang berimpit dengan poros).

Pada batas segmen (cincin) satu dengan yang lain, gaya aksi reaksi dapat dinyatakan dalam hubungan tekanan dengan ketebalan. Pada Gambar 2.11 di bawah merupakan gambar hubungan antara ketebalan dengan tekanan pada perbatasan cincin. Pada cincin bagian atas jika mendapat beban sebesar akan mendapat reaksi sebesar Pn+1. Untuk mendapat tekanan yang sama terhadap Pn+1, maka harga tekanan

dikali dengan rasio antara ketebalan cincin Ln dan Ln+1 yakni menjadi

dan akan mendapat reaksi dari Pn+2dan seterusnya untuk cincin-cincin berikutnya.

Gambar 2.12Hubungan antara ketebalan dengan tekanan pada rotating disk [Ref. 1 hal. 105]

Untuk lebih jelasnya, dapat kita lihat contoh pada Gambar 2.13berikut ini:

Gambar 2.13Substitusi n=2 pada hubungan antara ketebalan dengan tekanan.

Jika kita substitusikan n=2, maka dari Gambar 2.13 dapat kita lihat hubungan tekanan dengan ketebalan pada segmen L2 dan L3. Pada cincin L2, tekanan yang bekerja adalah P2 (karena L1=L2, maka yang bekerja hanyalah P2) dan P3. Sedangkan pada cincin dengan ketebalan L3, tekanan yang bekerja adalah dan P4.

Pada perbatasan antar cincin terdapat dua sisi yang bekerja, yakni pada sisi sebelah atas disebut dengan sisi outer dan pada sisi bawah disebut dengan sisi inner seperti yang dapat kita lihat pada Gambar 2.13.

2.3.2.1. Tegangan Tangensial

Apabila banyaknya segmen (tingkat) pada rotating disk dinyatakan sebagai n maka persamaan tegangan tangensial berdasarkan penyebabnya dibagi menjadi dua macam:

a. Tegangan tangensial karena rotasi. b. Tegangan tangensial karena tekanan.

[Ref. 1]

Dan karena pada setiap sambungan pada permukaan rotating disk terdapat dua macam sisi yang bekerja, yakni sisi inner dan outer maka tegangan tangensial yang terjadi pada tiap tingkat dibagi menjadi empat [Ref. 1 hal. 101], yaitu:

1. Tegangan tangensial (σt)yang terjadi pada radius ke- (n+1) berada pada sisi luar (outer = o) akibat dari tekanan:

(1)

dimana :

(σ

t

)

(n+1)o = tegangan tangensial akibat tekanan

(

σ

t

)

yang terjadi pada radius ke- (n+1) pada sisi outer (o).

Rn = radius sisi luar pada segmen (cincin) terluar.

Rn+1 = radius yang berada pada pertemuan antarmuka dari dua

segmen (cincin).

Pn, Pn+1, Pn+2 = tekanan arah radial pada permukaan cekung yang terjadi

pada radius Rn, Rn+1, Rn+2.

Ln-1, Ln, Ln+1 = ketebalan pada segmen (n-1), dimana n = 2, 3, 4, ...

2. Tegangan tangensial (σt)yang terjadi pada radius ke- (n+1) berada pada sisi luar (outer = o) akibat dari rotasi:

₍₂₎

dimana :

(σV)(n+1)o = tegangan tangensial akibat rotasi (σV) yang terjadi pada radius ke- (n+1) pada sisi outer (o)

γ = berat jenis material disk (lbf/in3) g = percepatan gravitasi

v = poisson’s ratio

batas luar disk

V = circumferential velocity (kecepatan pada arah keliling) dari disk (dalam 100 in/s)

3. Tegangan tangensial (σt)yang terjadi pada radius ke- (n+1) berada pada sisi

dalam (inner = i) akibat dari tekanan:

(3)

dimana :

(σt)(n+1)i =tegangan tangensial akibat tekanan (σt) yang terjadi pada radius ke- (n+1) pada sisi inner (i).

Rn+2 = radius sisi dalam pada segmen (cincin) terdalam

4. Tegangan tangensial (σt)yang terjadi pada radius ke- (n+1) berada pada sisi dalam (inner = i) akibat dari rotasi:

₍₄₎

dimana :

(σV)(n+1)i = tegangan tangensial akibat rotasi (σV) yang terjadi pada radius ke- (n+1) pada sisi inner (i)

Gambar 2.14Ilustrasi letak tegangan tangensial (σt). [atas seizin Wisnu Aji P.]

Pada Gambar 2.14 menunjukkan letak tegangan tangensial maupun radial yang bekerja pada dua permukaan rotating disk. Permukaan bagian atas (luar) bekerja tegangan tangensial dan radial sisi outer (luar) sedangkan pada bagian bawah (dalam) bekerja tangensial dan radial sisi inner (dalam).

Untuk mendapatkan nilai tekanan (Pn+2) dapat dicari dengan persamaan berikut:

(5.a) Dimana:

(5.b)

(5.c)

(5.e)

(5.f)

(5.g)

(5.h)

Dari persamaan (1), (2), (3) dan (4), persamaan tegangan tangensial pada sisi inner dan outer bentuknya seperti demikian:

(6.a)

Dimana:

(6.b)

_(6.c)

[Ref. 1 hal. 101-102]

Nilai tegangan tangensial di atas merupakan nilai rata-rata tegangan tangensial dari rotating disk akibat rotasi dan tekanan pada sisi inner serta outer-nya.

2.3.2.2. Tegangan Radial

Nilai tegangan radial (σr) dapat ditentukan menggunakan persamaan berikut ini [Ref. 1

(7) Nilai tegangan radial di atas merupakan nilai rata-rata tegangan radial dari rotating disk akibat rotasi dan tekanan pada sisi inner serta outer-nya.

2.4.Komponen Perancangan Optimasi Rotating Disk 2.4.3. Design Vector [Ref. 6 hal. 6-7]

Suatu sistem dapat digambarkan sebagai kumpulan variabel selama proses desain. Kumpulan yang telah ditetapkan harganya disebut sebagai preassigned parameters. Sedangkan semua kumpulan yang dianggap sebagai variabel disebut dengan variabel desain (design variable) atau decision variables misal xi, i = 1, 2, ..., n.

Contoh problem design pasangan roda gigi. Karakteristik dari desain roda gigi:

a. jumlah gigi T1 dan T2, jarak center b. lebar roda gigi b

c. sudut kerja

d. profil gigi dan material

Bila jarak center, sudut kerja, profil gigi dan material telah ditetapkan, maka kumpulan ini dikenal sebagai preassigned parameters. Jika dinyatakan sebagai design vector menjadi seperti berikut ini:

X =

=

Gambar 2.15Pasangan roda gigi dengan pembatas terhadap fungsi tujuan.

2.4.2. Constrained [Ref. 6 hal. 8]

Dalam mendesain suatu variabel harus memenuhi spesifikasi dari fungsi dan kebutuhan yang lain. Batasan-batasan yang harus dipenuhi suatu variabel untuk mendapatkan suatu desain yang dapat diterima disebut design constraints. Sedangkan constrained itu sendiri dapat didefinisikan sebagai suatu batasan yang mempunyai fungsi untuk membatasi darimana optimasi tersebut dilakukan dan juga sebagai syarat agar desain variabel dapat ditampilkan. Berikut merupakan desain point yang dapat diterima maupun yang tak dapat diterima:

a. Free and acceptable point b. Free and unacceptable point c. Bound and acceptable point d. Bound and unacceptable point

Gambar 2.16Constraint surfaces pada ruang desain hypothetical dua-dimensi

Constraints dibagi menjadi empat macam, yaitu: a. Linear Equality Constraints , .x = b b. Linear Inequality Constraints, .x ≥ b c. Nonlinear Equality Constraints, (x) = 0 d. Nonlinear Inequality Constraints, (x) = 0

Constraint yang akan digunakan disini adalah jenis linear inequality constraints. Sebuah formulasi optimasi dapat dituliskan sebagai berikut:

= dengan yarat,

Constraints:

b. Upper Bound (batas atas) Subject to (contoh untuk variabel radius R3, R4)

Misal: untuk L2= 6 inch; L5= 2 inch dimana,

Gambar 2.17Ilustrasi untuk radius R2, R3, R4 dan R5. [Ref. 1 hal. 113]

2.4.3. Objective Function [Ref. 6 hal. 9]

Tujuan dari optimisasi adalah memilih yang terbaik dari desain yang tersedia, sedangkan pada umumnya terdapat lebih dari satu desain yang memenuhi. Kriteria yang menentukan disebut sebagai objective function. Optimasi dapat melibatkan lebih dari satu objective function atau biasa disebut multiobjective function. Untuk multiobjective function ini, kita dapat menganggapnya sebagai sebuah kombinasi yang linier.











4₅ 3



₄

2 3

1

,

0

1

,

0

1

,

0

R

R

R

R

R

R













b

x

A

.



 

















































1

,

2

1

,

0

9

,

5

.

1

0

1

1

0

1

x

N

Perhatikan contoh sebagai berikut :

dimana α1 dan α2 adalah konstan dengan nilai-nilai yang menunjukkan kepentingan relatif dari satu relatif objective function ke yang lainnya.

Pada rotating disk sendiri terdapat 8 objective function yang dapat dianalisis, diantaranya:

a. Minimize the maximum tangential stress. b. Minimize the average tangential stress.

c. Minimize the difference between the maximum and minimum tangential stress. d. Minimize the volume of the disk, the maximum tangential stress and the average

tangential stress with different weighing factors. e. Minimize maximum equivalent stress.

f. Minimize the maximum shear stress. g. Maximize the Inertia over Volume.

h. Maximize the difference between the Inertia over Volume ratio and the average tangential stress ratio with different weighing factors.

[Ref. 1 hal. 109]

Untuk Tugas Akhir ini, objective function yang akan dianalisis adalah:

a. Minimize the difference between the maximum and minimum tangential stress. b. Minimize the volume of the disk, the maximum tangential stress and the average

tangential stress with different weighing factors.

2.4.3.1. Objective Function 1

Objective function 1 adalah fungsi untuk minimize the volume of the disk, the maximum tangential stress and the average tangential stress with different weighing factors. Untuk meminimumkan nilai objective function 2 tersebut didapatkan dengan mengubah-ubah nilai radius serta ketebalannya. Objective function ini dapat dinyatakan dalam persamaan matematis menjadi:

Min U = (σt)max - (σt)min

Gambar 2.18Grafik 1 distribusi tegangan tangensial. [Ref. 8 hal. 256]

Dari Gambar 2.18 di atas diperlihatkan grafik distribusi tegangan tangensial. Dalam gambar tersebut terlihat antara tegangan tangensial maksimum dengan minimumnya terdapat perbedaan rasio yang cukup besar. Optimasi yang akan dilakukan dalam objective function ini meminimumkan jarak rasio tersebut sehingga distribusi tegangan tangensialnya dapat lebih merata.

2.4.3.2. Objective Function 2

Objective function 2 adalah fungsi untuk minimize the difference between the maximum and minimum tangential stress. Dalam objective function 1 ini bertujuan meminimumkan nilai perbedaan antara tegangan tangensial maksimum ((σt)max) dengan

tegangan tangensial minimum ((σt)min). Untuk meminimumkan nilai objective function 1

tersebut didapatkan dengan mengubah-ubah nilai radius serta ketebalannya. Objective function ini dapat dinyatakan dalam persamaan matematis menjadi:

Min U = α1{Volume Ratio} + α2{(σt)max} + α3{(σt)average}

Gambar 2.19Grafik 2 distribusi tegangan tangensial. [Ref. 8 hal. 256]

Dari Gambar 2.19 di atas diperlihatkan grafik distribusi tegangan tangensial. Dalam gambar tersebut terlihat antara tegangan tangensial maksimum dengan rata-ratanya terdapat perbedaan rasio yang cukup besar. Optimasi yang akan dilakukan dalam objective function ini meminimumkan jarak rasio tersebut sehingga distribusi tegangan tangensialnya dapat lebih merata.

2.5. Solusi Permasalahan Optimasi menggunakan Matlab 2.4.3. Fungsi Fmincon

Optimasi yang akan dilakukan dalam penelitian ini menggunakan fungsi fmincon. Analisa dengan metode fmincon berfungsi untuk meminimalkan suatu fungsi skalar dengan beberapa constrained dari beberapa variabel mulai dari tebakan awal yang diberikan. [Ref.9]. Penggunaan metode ini dapat dilakukan dengan mengetikkan

objective function tersebut dalam m-file matlab dan dijalankan dengan optimization toolbox di matlab maupun langsung dijalankan menggunakan m-file tersebut.

Persamaan matematis dalam metode ini adalah sebagai berikut:

x, b, beq, lb, dan ub adalah vektor, A dan Aeq adalah matriks, c (x) dan ceq (x) adalah fungsi yang mengembalikan vektor, dan f (x) adalah fungsi yang mengembalikan skalar f (x ), c (x), dan ceq (x) yang dapat menjadi fungsi non-linier.

Beberapa contoh syntax dalam fmincon adalah :

x = fmincon(fun,x0,A,b)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x = fmincon(problem)

[x,fval] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(...)

[Ref. 9]

Contoh kasus untuk fmincon :

Cari harga dari x yang meminimumkan f(x) = -x1x2x3, dimulai pada tebakan di titik x = [10; 10; 10] dan dibatasi oleh constraints.

0 ≤ x1 +2x2 + 2x3 ≤ 72

Pertama, menuliskan fungsi persamaan yang akan dicari pada M-file. function f = myfun(x)

f = -x(1) * x(2) * x(3);

Kemudian menuliskan kembali constraints kedalam bentuk berikut: - x1 -2x2 - 2x3 ≤ 0

x1 +2x2 + 2x3 ≤ 72

Dengan kedua persamaan constraints tersebut adalah linier, kita dapat menuliskan persamaannya kedalam bentuk matrix inequality A . x ≤ b seperti berikut ini:

Berikutnya, berikan harga tebakan awal untuk x1, x2, x3 dan masukkan routine optimasinya.

x0 = [10; 10; 10]; % Harga tebakan awal untuk masing-masing x1, x2, x3 [x,fval] = fmincon(@myfun,x0,A,b)

Setelah proses iterasi optimasi ke-66, solusinya sebagai berikut: x =

24.0000 12.0000 12.0000

Dimana harga fungsinya adalah fval =

-3.4560e+03

Perhatikan contoh sebagai berikut :

dimana α1 dan α2 adalah konstan dengan nilai-nilai yang menunjukkan kepentingan relatif dari satu relatif objective function ke yang lainnya.

Pada rotating disk sendiri terdapat 8 objective function yang dapat dianalisis, diantaranya:

a. Minimize the maximum tangential stress. b. Minimize the average tangential stress.

c. Minimize the difference between the maximum and minimum tangential stress. d. Minimize the volume of the disk, the maximum tangential stress and the average

tangential stress with different weighing factors. e. Minimize maximum equivalent stress.

f. Minimize the maximum shear stress. g. Maximize the Inertia over Volume.

h. Maximize the difference between the Inertia over Volume ratio and the average tangential stress ratio with different weighing factors.

[Ref. 1 hal. 109]

Untuk Tugas Akhir ini, objective function yang akan dianalisis adalah:

a. Minimize the difference between the maximum and minimum tangential stress. b. Minimize the volume of the disk, the maximum tangential stress and the average

tangential stress with different weighing factors.

2.4.3.1. Objective Function 1

Objective function 1 adalah fungsi untuk minimize the volume of the disk, the maximum tangential stress and the average tangential stress with different weighing factors. Untuk meminimumkan nilai objective function 2 tersebut didapatkan dengan mengubah-ubah nilai radius serta ketebalannya. Objective function ini dapat dinyatakan dalam persamaan matematis menjadi:

Min U = (σt)max - (σt)min

Gambar 2.18 Grafik 1 distribusi tegangan tangensial. [Ref. 8 hal. 256]

Dari Gambar 2.18 di atas diperlihatkan grafik distribusi tegangan tangensial. Dalam gambar tersebut terlihat antara tegangan tangensial maksimum dengan minimumnya terdapat perbedaan rasio yang cukup besar. Optimasi yang akan dilakukan dalam objective function ini meminimumkan jarak rasio tersebut sehingga distribusi tegangan tangensialnya dapat lebih merata.

2.4.3.2. Objective Function 2

Objective function 2 adalah fungsi untuk minimize the difference between the maximum and minimum tangential stress. Dalam objective function 1 ini bertujuan meminimumkan nilai perbedaan antara tegangan tangensial maksimum ((σt)max) dengan tegangan tangensial minimum ((σt)min). Untuk meminimumkan nilai objective function 1 tersebut didapatkan dengan mengubah-ubah nilai radius serta ketebalannya. Objective function ini dapat dinyatakan dalam persamaan matematis menjadi:

Min U = α1{Volume Ratio} + α2{(σt)max} + α3{(σt)average}

Gambar 2.19 Grafik 2 distribusi tegangan tangensial. [Ref. 8 hal. 256]

Dari Gambar 2.19 di atas diperlihatkan grafik distribusi tegangan tangensial. Dalam gambar tersebut terlihat antara tegangan tangensial maksimum dengan rata-ratanya terdapat perbedaan rasio yang cukup besar. Optimasi yang akan dilakukan dalam objective function ini meminimumkan jarak rasio tersebut sehingga distribusi tegangan tangensialnya dapat lebih merata.

2.5. Solusi Permasalahan Optimasi menggunakan Matlab 2.4.3. Fungsi Fmincon

Optimasi yang akan dilakukan dalam penelitian ini menggunakan fungsi fmincon. Analisa dengan metode fmincon berfungsi untuk meminimalkan suatu fungsi skalar dengan beberapa constrained dari beberapa variabel mulai dari tebakan awal yang diberikan. [Ref.9]. Penggunaan metode ini dapat dilakukan dengan mengetikkan

objective function tersebut dalam m-file matlab dan dijalankan dengan optimization toolbox di matlab maupun langsung dijalankan menggunakan m-file tersebut.

Persamaan matematis dalam metode ini adalah sebagai berikut:

x, b, beq, lb, dan ub adalah vektor, A dan Aeq adalah matriks, c (x) dan ceq (x) adalah fungsi yang mengembalikan vektor, dan f (x) adalah fungsi yang mengembalikan skalar f (x ), c (x), dan ceq (x) yang dapat menjadi fungsi non-linier.

Beberapa contoh syntax dalam fmincon adalah : x = fmincon(fun,x0,A,b)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x = fmincon(problem)

[x,fval] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(...) [Ref. 9]

Contoh kasus untuk fmincon :

Cari harga dari x yang meminimumkan f(x) = -x1x2x3, dimulai pada tebakan di titik x = [10; 10; 10] dan dibatasi oleh constraints.

0 ≤ x1 +2x2 + 2x3 ≤ 72

Pertama, menuliskan fungsi persamaan yang akan dicari pada M-file.

function f = myfun(x) f = -x(1) * x(2) * x(3);

Kemudian menuliskan kembali constraints kedalam bentuk berikut:

- x1 -2x2 - 2x3 ≤ 0 x1 +2x2 + 2x3 ≤ 72

Dengan kedua persamaan constraints tersebut adalah linier, kita dapat menuliskan persamaannya kedalam bentuk matrix inequality A . x ≤ b seperti berikut ini:

Berikutnya, berikan harga tebakan awal untuk x1, x2, x3 dan masukkan routine optimasinya.

x0 = [10; 10; 10]; % Harga tebakan awal untuk masing-masing x1, x2, x3 [x,fval] = fmincon(@myfun,x0,A,b)

Setelah proses iterasi optimasi ke-66, solusinya sebagai berikut:

x =

24.0000 12.0000 12.0000

Dimana harga fungsinya adalah

fval =

-3.4560e+03