← Bahan Ajar Matematika – Power Point 40. trigonometri-2
1
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menyelesaikan
soal yang berkaitan
dengan rumus perkalian, jumlah
dan selisih
sinus dan cosinus
2
Rumus
Perkalian kosinus
2cos.cos =
cos( + ) + cos( - )
3
1.Nyatakan 2cos100°.cos35°
sebagai bentuk penjumlahan.
Bahasan:
2cos.cos = cos( + ) + cos( - )
2cos100°.cos35°
= cos(100 + 35)° + cos(100 - 35)°
= cos135° + cos 65°
4
2. Nyatakan 2cos45°.cos15°
sebagai bentuk penjumlahan,
kemudian tentukan nilainya.
Bahasan:
2cos.cos = cos( + ) + cos( - )
2cos45°.cos15°
= cos(45 + 15)° + cos(45 - 15)°
= cos60° + cos 30°
5
2cos45°.cos15°
= cos60° + cos 30°
= ½ + ½√3
= ½(1 + √3)
Jadi, nilai 2cos45°.cos15°
adalah ½(1 + √3)
6
3. Sederhanakan
2cos(p + ¼π)cos(p - ¼π)
Bahasan:
2cos.cos = cos( + ) + cos( - )
2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π)
= cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} +
cos{(p + ¼π) – (p - ¼π)}
7
2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π)
= cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} +
cos{(p + ¼π) – (p - ¼π)}
= cos2p +cos½π
= cos2p + 0
Jadi, bentuk sederhana dari
2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos2p
8
Rumus
Perkalian Sinus
2sin.sin =
cos( - ) - cos( + )
9
1.Nyatakan 2sin40°.sin20°
sebagai bentuk penjumlahan.
Bahasan:
2sin.sin = cos( - ) - cos( + )
2sin40°.sin20°
= cos(40 - 20)° - cos(40 + 20)°
= cos20° - cos60°
= cos20° - ½
10
2. Hitunglah sin75°.sin15°
Bahasan:
2sin.sin = cos( - ) - cos( + )
sin75°.sin15° = ½(2sin75°.sin15°)
= ½{cos(75 - 15)° - cos(75 + 15)°}
= ½(cos60° - cos90°)
= ½( ½ - 0) = ¼
11
3. Nyatakan bentuk 2sin½π.sin¼π
sebagai bentuk penjumlahan,
kemudian tentukan nilainya.
Bahasan:
2sin.sin = cos( - ) - cos( + )
2sin½π.sin¼π
= cos(½π - ¼π) - cos(½π + ¼π)
= cos¼π - cos¾π
12
2sin½π.sin¼π
= cos¼π - cos¾π
= ½√2 – (-½√2)
= ½√2 + ½√2
=√2
Jadi, nilai 2sin½π.sin¼π = √2
13
Rumus
Perkalian sinus dan kosinus
2sin.cos =
sin( + ) + sin( - )
2cos.sin =
sin( + ) – sin( - )
14
1.Nyatakan 2sin80°.cos50°
sebagai bentuk penjumlahan.
Bahasan:
2sincos = sin( + ) + sin( - )
2sin80°cos50°
= sin(80 + 50)° + sin(80 - 50)°
= sin130° + sin 30°
= sin 130 + ½
15
2. Nyatakan 2sin3A.cosA
sebagai bentuk penjumlahan.
Bahasan:
2sincos = sin( + ) + sin( - )
2sin3AcosA
= sin(3A + A)° + sin(3A - A)°
= sin4A + sin A
16
3. Hitunglah nilai 4 sin 81 cos 83
Bahasan:
2sin.cos = sin( + ) + sin( - )
4 sin 81 cos 83 = 2.2 sin 81 cos 83
3
1
1
sin
sin
8
8
8
= 2.
1
1
sin
sin
2
4
= 2.
3
8
=2.{1 - sin¼π}
17
4 sin 81 cos 83 = 2.{1 - sin¼π}
= 2(1 - ½√2)
= 2 - √2
3
1
4
sin
cos
Jadi, nilai
8
8
adalah 2 - √2
18
4. Sederhanakan bentuk
2cos75°.sin15°
Bahasan:
2cossin = sin( + ) - sin( - )
2cos75°sin15°
= sin(75 + 15)° - sin(75 - 15)°
= sin90° - sin 60°
= 1 - ½√3
19
5. Nyatakan cos2.sin5
Bahasan:
2cossin = sin( + ) - sin( - )
cos2.sin5 = ½(2cos2.sin5)
=½{sin(2 + 5)° - sin(2 –5)}
= ½{(sin7 - sin(-3)}
= ½(sin7 + sin3)
20
6. Hitunglah cos82,5°.sin37,5°
Bahasan:
2cossin = sin( + ) - sin( - )
cos82,5°.sin37,5°
= ½(2cos82,5°.sin37,5°)
= ½{sin(82,5 + 37,5)° sin(82,5 – 37,5)°}
21
cos82,5°.sin37,5°
= ½{sin(82,5 + 37,5)° sin(82,5 – 37,5)°}
= ½(sin120° - sin 45°)
= ½(½ - ½√2)
= ¼ - ¼√2
22
Rumus
Jumlah dan selisih sinus
sin + sin =
2sin½( + ).cos½( - )
sin - sin =
2cos½( + ).sin½( - )
23
1.Nyatakan sin6A + sin4A
sebagai bentuk perkalian.
Bahasan:
sin + sin = 2sin½( + ).cos½( - )
sin6A + sin4A
= 2sin½(6A + 4A).cos½(6A – 4A)
= 2sin5A.cosA
24
2. Sederhanakan sin160° + sin20°
Bahasan:
sin + sin = 2sin½( + ).cos½( - )
sin160° + sin20°
= 2sin½(160 + 20)°.cos½(160 – 20)°
= 2sin90°.cos70°
= 2.1.cos70°
= cos70°
25
3. Sederhanakan
sin(⅓π + p) + sin(⅓π – p)
Bahasan:
sin + sin = 2sin½( + ).cos½( - )
sin(⅓π + p) + sin(⅓π – p)
= 2sin½{(⅓π + p) + (⅓π - p)} x
cos½{(⅓π + p) - (⅓π - p)}
26
sin(⅓π + p) + sin(⅓π – p)
= 2sin½{(⅓π + p) + (⅓π - p)} x
cos½{(⅓π + p) - (⅓π - p)}
= 2.sin½(⅔π).cos½(2p)
= 2.sin⅓π.cosp
= 2. ½√3.cosp
= √3.cosp
27
4. Nyatakan sin4x – sin6x
sebagai bentuk perkalian.
Bahasan:
sin - sin = 2cos½( + ).sin½( - )
sin4x – sin6x
= 2cos½(4x + 6x).sin½(4x – 6x)
= 2cos5x.sin(-x)
= -2cos5x.sinx
28
5. Sederhanakan sin155° - sin25°
Bahasan:
sin - sin = 2cos½( + ).sin½( - )
sin155° + sin25°
= 2cos½(155 + 25)°.sin½(155 – 25)°
= 2cos90°.sin65°
= 2.0.sin65°
=0
29
6. Nilai
sin 81 0 sin 210
....
0
0
sin 69 sin 171
Bahasan:
2sin½(81 + 21).cos½(81 – 21)
sin 81 0 sin 21 0
0
0
sin 69 sin 171
2cos½(69 + 171).sin½(69 – 171)
sin51°.cos30°
= cos120°.sin(-51°)
1
2
1
2
3 . sin 51 0
.( sin 51 0 )
= √3
30
Rumus
Jumlah dan selisih kosinus
cos + cos =
2cos½( + ).cos½( - )
cos - cos =
-2sin½( + ).sin½( - )
31
1.Nyatakan cos6x + cos2x
sebagai bentuk perkalian.
Bahasan:
cos + cos = 2cos½( + ).cos½( - )
cos6x + cos2x
= 2cos½(6x + 2x).cos½(6x – 2x)
= 2cos5x.cos2x
32
2. Nyatakan cos160° + cos80°
sebagai bentuk perkalian.
Bahasan:
cos + cos = 2cos½( + ).cos½( - )
cos160° + cos80°
= 2cos½(160 + 80)°.cos½(160 – 80)°
= 2cos120°.cos40°
=2.(-½).cos40° = -cos40°
33
3. Bentuk
sin 5 x sin 3 x
....
cos 5 x cos 3 x
Bahasan:
sin 5 x sin 3 x
2sin½(5x + 3x).cos½(5x – 3x)
cos 5 x cos 3 x
2cos½(5x + 3x).cos½(5x – 3x)
=
sin4x
cos4x
= tan4x
34
4. Nilai cos105° – cos15°
Bahasan:
cos - cos = -2sin½( + ).sin½( - )
cos105° + cos15°
= -2sin½(105 + 15)°.sin½(105 – 15)°
= -2sin60°.sin45°
= -2.½√3.½√2
= -½√6
35
5. Nilai
cos 80 0 cos 40 0
....
0
sin 40
Bahasan:
cos 80 0 cos 40 0 -2sin½(80 + 40).sin½(80 – 40)
0
sin 40
=
sin40°
-2sin60°.sin20°
2sin20°.cos20°
1
2
3
cos 20 0
= -½√3sec20°
36
6. Nilai
cos 4 a cos 8 a
....
6 sin 6 a . sin 2 a
Bahasan:
-2sin½(4a + 8a).sin½(4a – 8a)
cos 4 a cos 8 a
6 sin 6 a . sin 2 a
6sin6a.sin2a
=
=
=
⅓
-2sin6a.sin(-2a)
6sin6a.sin2a
2.sin2a
6.sin2a
37
SELAMAT BELAJAR
38
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menyelesaikan
soal yang berkaitan
dengan rumus perkalian, jumlah
dan selisih
sinus dan cosinus
2
Rumus
Perkalian kosinus
2cos.cos =
cos( + ) + cos( - )
3
1.Nyatakan 2cos100°.cos35°
sebagai bentuk penjumlahan.
Bahasan:
2cos.cos = cos( + ) + cos( - )
2cos100°.cos35°
= cos(100 + 35)° + cos(100 - 35)°
= cos135° + cos 65°
4
2. Nyatakan 2cos45°.cos15°
sebagai bentuk penjumlahan,
kemudian tentukan nilainya.
Bahasan:
2cos.cos = cos( + ) + cos( - )
2cos45°.cos15°
= cos(45 + 15)° + cos(45 - 15)°
= cos60° + cos 30°
5
2cos45°.cos15°
= cos60° + cos 30°
= ½ + ½√3
= ½(1 + √3)
Jadi, nilai 2cos45°.cos15°
adalah ½(1 + √3)
6
3. Sederhanakan
2cos(p + ¼π)cos(p - ¼π)
Bahasan:
2cos.cos = cos( + ) + cos( - )
2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π)
= cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} +
cos{(p + ¼π) – (p - ¼π)}
7
2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π)
= cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} +
cos{(p + ¼π) – (p - ¼π)}
= cos2p +cos½π
= cos2p + 0
Jadi, bentuk sederhana dari
2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos2p
8
Rumus
Perkalian Sinus
2sin.sin =
cos( - ) - cos( + )
9
1.Nyatakan 2sin40°.sin20°
sebagai bentuk penjumlahan.
Bahasan:
2sin.sin = cos( - ) - cos( + )
2sin40°.sin20°
= cos(40 - 20)° - cos(40 + 20)°
= cos20° - cos60°
= cos20° - ½
10
2. Hitunglah sin75°.sin15°
Bahasan:
2sin.sin = cos( - ) - cos( + )
sin75°.sin15° = ½(2sin75°.sin15°)
= ½{cos(75 - 15)° - cos(75 + 15)°}
= ½(cos60° - cos90°)
= ½( ½ - 0) = ¼
11
3. Nyatakan bentuk 2sin½π.sin¼π
sebagai bentuk penjumlahan,
kemudian tentukan nilainya.
Bahasan:
2sin.sin = cos( - ) - cos( + )
2sin½π.sin¼π
= cos(½π - ¼π) - cos(½π + ¼π)
= cos¼π - cos¾π
12
2sin½π.sin¼π
= cos¼π - cos¾π
= ½√2 – (-½√2)
= ½√2 + ½√2
=√2
Jadi, nilai 2sin½π.sin¼π = √2
13
Rumus
Perkalian sinus dan kosinus
2sin.cos =
sin( + ) + sin( - )
2cos.sin =
sin( + ) – sin( - )
14
1.Nyatakan 2sin80°.cos50°
sebagai bentuk penjumlahan.
Bahasan:
2sincos = sin( + ) + sin( - )
2sin80°cos50°
= sin(80 + 50)° + sin(80 - 50)°
= sin130° + sin 30°
= sin 130 + ½
15
2. Nyatakan 2sin3A.cosA
sebagai bentuk penjumlahan.
Bahasan:
2sincos = sin( + ) + sin( - )
2sin3AcosA
= sin(3A + A)° + sin(3A - A)°
= sin4A + sin A
16
3. Hitunglah nilai 4 sin 81 cos 83
Bahasan:
2sin.cos = sin( + ) + sin( - )
4 sin 81 cos 83 = 2.2 sin 81 cos 83
3
1
1
sin
sin
8
8
8
= 2.
1
1
sin
sin
2
4
= 2.
3
8
=2.{1 - sin¼π}
17
4 sin 81 cos 83 = 2.{1 - sin¼π}
= 2(1 - ½√2)
= 2 - √2
3
1
4
sin
cos
Jadi, nilai
8
8
adalah 2 - √2
18
4. Sederhanakan bentuk
2cos75°.sin15°
Bahasan:
2cossin = sin( + ) - sin( - )
2cos75°sin15°
= sin(75 + 15)° - sin(75 - 15)°
= sin90° - sin 60°
= 1 - ½√3
19
5. Nyatakan cos2.sin5
Bahasan:
2cossin = sin( + ) - sin( - )
cos2.sin5 = ½(2cos2.sin5)
=½{sin(2 + 5)° - sin(2 –5)}
= ½{(sin7 - sin(-3)}
= ½(sin7 + sin3)
20
6. Hitunglah cos82,5°.sin37,5°
Bahasan:
2cossin = sin( + ) - sin( - )
cos82,5°.sin37,5°
= ½(2cos82,5°.sin37,5°)
= ½{sin(82,5 + 37,5)° sin(82,5 – 37,5)°}
21
cos82,5°.sin37,5°
= ½{sin(82,5 + 37,5)° sin(82,5 – 37,5)°}
= ½(sin120° - sin 45°)
= ½(½ - ½√2)
= ¼ - ¼√2
22
Rumus
Jumlah dan selisih sinus
sin + sin =
2sin½( + ).cos½( - )
sin - sin =
2cos½( + ).sin½( - )
23
1.Nyatakan sin6A + sin4A
sebagai bentuk perkalian.
Bahasan:
sin + sin = 2sin½( + ).cos½( - )
sin6A + sin4A
= 2sin½(6A + 4A).cos½(6A – 4A)
= 2sin5A.cosA
24
2. Sederhanakan sin160° + sin20°
Bahasan:
sin + sin = 2sin½( + ).cos½( - )
sin160° + sin20°
= 2sin½(160 + 20)°.cos½(160 – 20)°
= 2sin90°.cos70°
= 2.1.cos70°
= cos70°
25
3. Sederhanakan
sin(⅓π + p) + sin(⅓π – p)
Bahasan:
sin + sin = 2sin½( + ).cos½( - )
sin(⅓π + p) + sin(⅓π – p)
= 2sin½{(⅓π + p) + (⅓π - p)} x
cos½{(⅓π + p) - (⅓π - p)}
26
sin(⅓π + p) + sin(⅓π – p)
= 2sin½{(⅓π + p) + (⅓π - p)} x
cos½{(⅓π + p) - (⅓π - p)}
= 2.sin½(⅔π).cos½(2p)
= 2.sin⅓π.cosp
= 2. ½√3.cosp
= √3.cosp
27
4. Nyatakan sin4x – sin6x
sebagai bentuk perkalian.
Bahasan:
sin - sin = 2cos½( + ).sin½( - )
sin4x – sin6x
= 2cos½(4x + 6x).sin½(4x – 6x)
= 2cos5x.sin(-x)
= -2cos5x.sinx
28
5. Sederhanakan sin155° - sin25°
Bahasan:
sin - sin = 2cos½( + ).sin½( - )
sin155° + sin25°
= 2cos½(155 + 25)°.sin½(155 – 25)°
= 2cos90°.sin65°
= 2.0.sin65°
=0
29
6. Nilai
sin 81 0 sin 210
....
0
0
sin 69 sin 171
Bahasan:
2sin½(81 + 21).cos½(81 – 21)
sin 81 0 sin 21 0
0
0
sin 69 sin 171
2cos½(69 + 171).sin½(69 – 171)
sin51°.cos30°
= cos120°.sin(-51°)
1
2
1
2
3 . sin 51 0
.( sin 51 0 )
= √3
30
Rumus
Jumlah dan selisih kosinus
cos + cos =
2cos½( + ).cos½( - )
cos - cos =
-2sin½( + ).sin½( - )
31
1.Nyatakan cos6x + cos2x
sebagai bentuk perkalian.
Bahasan:
cos + cos = 2cos½( + ).cos½( - )
cos6x + cos2x
= 2cos½(6x + 2x).cos½(6x – 2x)
= 2cos5x.cos2x
32
2. Nyatakan cos160° + cos80°
sebagai bentuk perkalian.
Bahasan:
cos + cos = 2cos½( + ).cos½( - )
cos160° + cos80°
= 2cos½(160 + 80)°.cos½(160 – 80)°
= 2cos120°.cos40°
=2.(-½).cos40° = -cos40°
33
3. Bentuk
sin 5 x sin 3 x
....
cos 5 x cos 3 x
Bahasan:
sin 5 x sin 3 x
2sin½(5x + 3x).cos½(5x – 3x)
cos 5 x cos 3 x
2cos½(5x + 3x).cos½(5x – 3x)
=
sin4x
cos4x
= tan4x
34
4. Nilai cos105° – cos15°
Bahasan:
cos - cos = -2sin½( + ).sin½( - )
cos105° + cos15°
= -2sin½(105 + 15)°.sin½(105 – 15)°
= -2sin60°.sin45°
= -2.½√3.½√2
= -½√6
35
5. Nilai
cos 80 0 cos 40 0
....
0
sin 40
Bahasan:
cos 80 0 cos 40 0 -2sin½(80 + 40).sin½(80 – 40)
0
sin 40
=
sin40°
-2sin60°.sin20°
2sin20°.cos20°
1
2
3
cos 20 0
= -½√3sec20°
36
6. Nilai
cos 4 a cos 8 a
....
6 sin 6 a . sin 2 a
Bahasan:
-2sin½(4a + 8a).sin½(4a – 8a)
cos 4 a cos 8 a
6 sin 6 a . sin 2 a
6sin6a.sin2a
=
=
=
⅓
-2sin6a.sin(-2a)
6sin6a.sin2a
2.sin2a
6.sin2a
37
SELAMAT BELAJAR
38