← Bahan Ajar Matematika – Power Point 39. trigonometri(4)

Pengertian Perbandingan Trigonometri
 Nilai Sinus, Cosinus dan Tangen
 Teorema Phytagoras
 Aturan Sinus dan Cosinus
 Jumlah dan selisih dari sinus dan cosinus


Pengertian Perbandingan Trigonometri
P3

A

P2
P1

a0
o
Akibatnya,

M1

M2

M3 X

Titik P1, P2, dan P3 terletak pada garis OA.
Titik M1, M2, dan M3 terletak pada garis OX.
Jika titik-titik P1, P2, dan P3 dihubungkan
dengan titik-titik M1, M2, dan M3 sedemikian
sehingga P1M1, P2M2, dan P3M3 tegaklurus
pada OX, maka akan terbentuk tiga buah
segitiga siku-siku, yaitu ∆OM1P1, ∆OM2P2,
dan ∆OM3P3 yang sebangun.

a.

M 1 P1 M 2 P2 M 3 P3


OP1
OP2

OP3

b.

OM 1 OM 2 OM 3


yang disebut cosinus  AOX
OP1
OP2
OP3

c.

M 1 P1 M 2 P2 M 3 P3


yang disebut tangen  AOX
OM 1 OM 2 OM 3

yang disebut sinus

 AOX

Dengan mengacu gambar berikut, maka ketiga perbandingan trigonometri dapat
didefinisikan sebagai berikut:
sisi depan a o
o

im
sis
ao

O

)
mi
(
g
irin

sisi samping ao ( sa

P

sin a 
o

sisi depan
ao ( de )

cos a 

sisi miring

de
 mi

sisi samping a o
sisi miring

sisi depan a o

sa
 mi

tan a o  sisi samping a o  de
sa

) M

Contoh 1 :
Tentukan ketiga perbandingan trigonometri dari setiap segitiga siku-siku berikut
untuk sudut do!
s
r
do

b

r

a
p

do

q

c

(i)

( ii )

t
do

( iii )

Contoh 2:

Tentukan sin θ dan cos θ dari segitiga siku-siku pada
gambar berikut
3
θ
4

Daftar nilai sinus, cosinus, dan tangen sudut istimewa

ao

0o

30o

45o

60o

90o

sin ao

0

½

½ √2

½ √3

1

cos ao

1

½ √3

½ √2

½

0

tan ao

0

1
3 √3

1

√3

~

TEOREMA PHYTAGORAS
sa
u

ten
o
p
hy

A sisi siku-siku B






sisi siku-siku

C

Pada segitiga ABC ini, sisi terpanjang atau sisi di
depan sudut siku-siku, yaitu AC disebut hypotenusa
(sisi miring), sedangkan kedua sisi yang lainnya,
yaitu AB dan BC disebut sisi siku-sikunya.

Pada segitiga siku-siku, luas persegi pada hypotenusa sama
dengan jumlah luas persegi pada kedua sisi siku-sikunya.
Jadi, jika pada segitiga siku-siku panjang hypotenusanya a, panjang
kedua sisi siku-sikunya b dan c, maka
a2 = b2 + c2
2
2
a

b

c
2
2
2
Bentuk seperti a = b + c atau
disebut rumus
phytagoras

Contoh 1:
Diagonal suatu persegi panjang 20 cm dan lebarnya 12 cm.
Hitung panjangnya!

Contoh 2:
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk
AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan CG = 5 cm.
Hitung:
a. panjang diagonal sisi AC
b. panjang diagonal ruang AG

Contoh 3:
Seorang anak mengamati puncak pohon cemara yang berdiri tegak di
atas lapangan mendatar dengan sudut elevasi 30o. Jika jarak antara anak
dan pohon tersebut 12 m dan tinggi dari tanah ke mata anak 1,5 m.
Hitunglah tinggi pohon tersebut!
Sudut elevasi adalah sudut yang dibentuk oleh arah pandang dan arah horisontal
jika kita memandang ke atas.
Solusi : Tinggi pohon 8,4 m

Contoh 4:
Seorang pengamat berada di puncak menara yang tingginya 23 m. Pada suatu
saat pengamat tersebut melihat sebuah perahu yang akan berlabuh. Jika sudut
depresi perahu tersebut 30o. Hitunglah jarak antara perahu dan menara pada
saat itu!
Sudut depresi adalah sudut yang dibentuk oleh arah pandang dan arah horisontal
jika kita memandang ke bawah.
Solusi : Jarak antara perahu dan menara adalah 39,8 m

Aturan Sinus
Pada setiap segitiga ABC berlaku

a
b
c


sin A sin B sin C

Contoh 1:
Pada ∆ ABC, sisi b = 4,2 , A = 62o dan B = 46o.
Hitunglah sisi a.
Jawab:

a
4,2

o
sin 62
sin 46o
4,2 sin 62o
 a
5,2
o
sin 46

B
Y
c
A

a
b D

C

X

Contoh 2 :
Pada ∆ ABC, sisi c = 5,8, sisi b = 6,7, dan
Hitunglah  C .



B = 48o.

Aturan Kosinus

Y

Pada setiap segitiga ABC berlaku
2

2

B (c cos A, c sin A)

2

a b  c  2 b c cos A
Contoh :
Pada ∆ ABC, a = 4,36, b = 3,84 dan
Hitunglah c.

C

= 101 .
o

c

A

Jawab :
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
= (4,36)2 + (3,84)2 – 2 (4,36) (3,84) cos 101o
= 6,34

a
b

C (b,0) X



Rumus perkalian dari sinus dan kosinus
cos    cos  cos   sin  sin  ……………………(1)
cos    cos  cos   sin  sin  ……………………(2)
sin     sin  cos   cos sin 
sin     sin  cos   cos sin 

……………………(3)
……………………(4)

Rumus (1) tambah (2) menghasilkan

cos     cos    2 cos cos 
Jadi

2 cos  cos  cos     cos   

…………………..(A)

Contoh 1:
2 cos 43o cos 35o = cos (43+35)o + cos (43-35)o
= cos 78o + cos 8o
Contoh 2:
2 cos 65o cos 25o = cos (65+25)o + cos (65-25)o
= cos 90o + cos 40o = 0 + cos 40o = cos 40o

Rumus (2) dikurangi (1) menghasilkan

cos     cos     cos  cos   sin  sin     cos  cos   sin  sin  
2 sin  sin 
Jadi

2 sin  sin  cos     cos   

…………………..(B)

Contoh 3:
2 sin 27o sin 14o = cos (27-14)o – cos (27+14)o
= cos 13o – cos 41o
Contoh 4:
2 sin 1/3 π sin 1/6 π = cos 1/6 π – cos ½ π
= ½ √3
Rumus (3) tambah (4) menghasilkan

sin      sin     2 sin  cos 
Jadi

2 sin  cos  sin      sin    

…………………..(C)

Rumus (3) dikurangi (4) menghasilkan

sin      sin     2 cos  sin 

Jadi

2 cos  sin  sin      sin    

…………………..(D)

Jumlah dan Selisih
Dari

cos     cos    2 cos  cos 
cos     cos    2 sin  sin 

sin      sin     2 sin  cos 
sin      sin     2 cos  sin 
Substitusikan
α + β = C yang menghasilkan α = ½ ( C + D )
α - β = D yang menghasilkan β = ½ ( C - D )
sehingga
cos C + cos D = 2 cos ½ ( C + D ) cos ½ ( C – D )
cos C - cos D = -2 sin ½ ( C + D ) sin ½ ( C – D )
sin C + sin D = 2 sin ½ ( C + D ) cos ½ ( C - D )
sin C - sin D = 2 cos ½ ( C + D ) sin ½ ( C - D )

Contoh 1 :
sin 32o + sin 28o = 2 sin 30o cos 2o
= cos 2o

Contoh 2 :
cos 5θ – cos 3θ = -2 sin 4θ sinθ

Rumus Penjumlahan
• cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b
• cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b
• sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
• sin ( a-b) = sin a cos b – cos a sin b
tg a  tg b
tg  a  b  
1  tg a tg b

tg a  tg b
tg  a  b  
1  tg a tg b

Rumus-rumus untuk sudut rangkap
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2 a – sin2 a
= 2 cos2a -1
= 1 – 2 sin2 a

2 tg a
tg 2a 
1  tg 2 a

cos2 a = ½ (1 + cos 2a)
sin2 a = ½ (1 – cos 2a)