← Bahan Ajar Matematika – Power Point 26. peluang2

2

2

Setelah menyaksikan

tayangan ini anda dapat

Menentukan

permutasi, kombinasi dan peluang kejadian

Permutasi

Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis P_rn atau

nPr)

adalah banyak cara menyusun

r unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia. Rumus: _nP_r = _{( n} n_ !_{r )!}

4

4

Contoh 1

Banyak cara menyusun pengurus yang terdiri dari Ketua, Sekretaris, dan Bendahara yang diambil dari 5 orang calon adalah….

Penyelesaian

•banyak calon pengurus 5  n = 5

•banyak pengurus yang akan dipilih 3  r = 3

_nP_r = =

₅P₃ = = )! r n ( ! n

 ( 5 3 )!

! 5  ! 2 ! 5 ! 2 5 . 4 . 3 !. 2

6

6

Contoh 2

Banyak bilangan yang terdiri dari tiga angka yang dibentuk dari

angka-angka 3, 4, 5, 6, 7, dan 8, di mana setiap angka hanya boleh digunakan satu kali adalah….

Penyelesaian

•banyak angka = 6  n = 6

•bilangan terdiri dari 3 angka  r = 3

_nP_r = =

₆P₃ = =

= 120 cara

)! r n ( ! n

 ( 6 3 )!

! 6  ! 3 ! 6 ! 3 6 . 5 . 4 !. 3

8

8

Kombinasi

Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis C_rn atau

nCr)

adalah banyak cara

mengelompokan r unsur yang

diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia.

Contoh 1

Seorang siswa diharuskan mengerjakan 6 dari 8 soal,

tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan .

Banyak pilihan yang dapat

10

10

Penyelesaian

• mengerjakan 6 dari 8 soal,

tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan

• berarti tinggal memilih 2 soal lagi dari soal nomor 5 sampai 8

• r = 2 dan n = 4

• ₄C₂ = 

2!.2! 4!

  2)!

(4 2!

4!

Contoh 2

Dari sebuah kantong yang berisi 10 bola merah dan 8 bola putih akan diambil 6 bola sekaligus secara acak.

Banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah….

12

12

Penyelesaian

• mengambil 4 bola merah dari 10 bola merah  r = 4, n = 10

 ₁₀C₄ = =

= =

• mengambil 2 bola putih dari 8 bola putih  r = 2, n = 8

 ₈C₂ = =

)! 4 10 ( ! 4 ! 10

 _4!6!

! 10 ! 6 . 4 . 3 . 2 . 1 10 . 9 . 8 . 7 !.

6 3 _7.3.10

)! 2 8 ( ! 2 ! 8

 2!6!

! 8

• ₈C₂ = = = 7.4

• Jadi banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah ₁₀C₄ x ₈C₂ = 7.3.10 x 7.4 = 5880 cara

! 6 ! 2

! 8

! 6 . 2 . 1

8 . 7 !.

14

14

Peluang atau Probabilitas

Peluang atau nilai kemungkinan

adalah perbandingan antara

kejadian yang diharapkan muncul dengan

banyaknya kejadian yang mungkin muncul.

Bila banyak kejadian yang

diharapkan muncul dinotasikan dengan n(A), dan banyaknya

kejadian yang mungkin muncul (ruang sampel = S) dinotasikan dengan n(S) maka

Peluang kejadian A ditulis

16

16

Contoh 1

Peluang muncul muka dadu

nomor 5 dari pelemparan sebuah dadu satu kali adalah….

Penyelesaian:

n(5) = 1 dan

n(S) = 6  yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Jadi P(5) = =

6 1 )

S ( n

) 5 ( n

Contoh 2

Dalam sebuah kantong terdapat 4 kelereng merah dan 3 kelereng biru .

Bila sebuah kelereng diambil dari dalam kantong

maka peluang terambilnya kelereng merah adalah….

18

18

Penyelesaian:

• Kejadian yang diharapkan muncul yaitu terambilnya kelereng merah ada 4  n(merah) = 4

• Kejadian yang mungkin muncul yaitu terambil 4 kelereng merah dan 3 kelereng biru

• Jadi peluang kelereng merah yang terambil adalah

P(merah) = P(merah) =

) S ( n

) merah (

n

7 4

20

20

Contoh 3

Dalam sebuah kantong terdapat 7 kelereng merah dan 3 kelereng biru .

Bila tiga buah kelereng diambil sekaligus maka peluang

terambilnya kelereng merah adalah….

Penyelesaian:

• Banyak kelereng merah = 7

dan biru = 3  jumlahnya = 10

• Banyak cara mengambil 3 dari 7  ₇C₃ =

=

= 35

  3 )!

7 ( ! 3 ! 7 ! 4 !. 3 ! 7 3 . 2 . 1 7 . 6 . 5

22

22

• Banyak cara mengambil 3 dari 10  ₁₀C₃ =

=

= 120

• Peluang mengambil 3 kelereng merah sekaligus =

= =

  3 )!

10 ( ! 3 ! 10 ! 7 !. 3 ! 10 3 . 2 . 1 10 . 9 . 8 120 35 C C 3 10 3 7 24 7

Komplemen Kejadian

• Nilai suatu peluang antara 0 sampai dengan 1  0 ≤ p(A) ≤ 1

• P(A) = 0  kejadian yang tidak

mungkin terjadi

• P(A) = 1  kejadian yang pasti

terjadi • P(A1) = 1 – P(A)

24

24

Contoh 1

Sepasang suami istri mengikuti keluarga berencana.

Mereka berharap mempunyai dua anak.

Peluang paling sedikit mempunyai seorang anak laki-laki adalah ….

Penyelesaian:

• kemungkinan pasangan anak yang akan dimiliki: keduanya laki-laki,

keduanya perempuan atau 1 laki- laki dan 1 perempuan  n(S) = 3

• Peluang paling sedikit 1 laki-laki

= 1 – peluang semua perempuan

= 1 – = 1 – 

3 1 )

S ( n

) p , p ( n

3 2

26

26

Contoh 2

Dalam sebuah keranjang terdapat 50 buah salak, 10 diantaranya

busuk. Diambil 5 buah salak.

Peluang paling sedikit mendapat

sebuah salak tidak busuk adalah…. a. b. c.

d. e.

5 50 5 10 C C 1  5 50 5 40 C C 1  5 50 5 10 P P 1  5 50 5 10 C C 5 50 5 40 C C

Penyelesaian:

• banyak salak 50, 10 salak busuk • diambil 5 salak  r = 5

• n(S) = ₅₀C₅

• Peluang paling sedikit 1 salak tidak busuk

= 1 – peluang semua salak busuk

28

28

Kejadian Saling Lepas

Jika A dan B adalah

dua kejadian yang saling lepas maka peluang kejadian A atau B

adalah

Contoh 1

Dari satu set kartu bridge (tanpa joker) akan diambil dua kartu

satu persatu berturut-turut, kemudian kartu tersebut

dikembalikan.

Peluang terambilnya kartu as

30

30

Penyelesaian:

• kartu bridge = 52  n(S) = 52

• kartu as = 4  n(as) = 4

• P(as) =

• kartu king = 4  n(king) = 4

• P(king) =

• P(as atau king) = P(as) + P(king) =

52 4

52 4



52

4



52

4

52 8

Contoh 2

Sebuah dompet berisi uang logam

5 keping lima ratusan dan 2 keping

ratusan rupiah.Dompet yang lain

berisi uang logam 1 keping lima

ratusan dan 3 keping ratusan.

Jika sebuah uang logam diambil

secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah….

32

32

Penyelesaian

• dompet I: 5 keping lima ratusan dan

2 keping ratusan

P(dompet I,ratusan) = ½. =

• dompet II: 1 keping lima ratusan dan

3 keping ratusan.

P(dompet II, ratusan) = ½. =

• Jadi peluang mendapatkan uang logam ratusan rupiah

P(ratusan) = + =

7 2 4 3 7 1 8 3 7 1 8 3 56 29

Kejadian Saling Bebas

Kejadian A dan B saling bebas Jika keduanya tidak saling

mempengaruhi

34

34

Contoh 1

Anggota paduan suara suatu sekolah terdiri dari 12 putra

dan 18 putri. Bila diambil dua anggota dari kelompok tersebut

untuk mengikuti lomba perorangan maka peluang terpilihnya putra dan putri adalah….

Penyelesaian

• banyak anggota putra 12 dan banyak anggota putri 18

 n(S) = 12 + 18 = 30

• P(putra dan putri)

= P(putra) x P(putri)

= x =

30 12

30 18 6

2

5 5

36

36

Contoh 2

Peluang Amir lulus pada Ujian

Nasional adalah 0,90. Sedangkan peluang Badu lulus pada Ujian

Nasional 0,85.

Peluang Amir lulus tetapi Badu

Penyelesaian:

• Amir lulus  P(A_L) = 0,90

• Badu lulus  P(B_L) = 0,85

• Badu tidak lulus

 P(B_TL) = 1 – 0,85 = 0,15

• P(A_L tetapi B_TL) = P(A_L) x P(B_TL)

38

38

Contoh 3

Dari sebuah kantong berisi 6

kelereng merah dan 4 kelereng biru diambil 3 kelereng sekaligus secara acak.

Peluang terambilnya 2 kelereng merah dan 1 biru adalah….

Penyelesaian:

• banyak kelereng merah = 6

dan biru = 4  jumlahnya = 10

• banyak cara mengambil 2 merah dari 6  r = 2 , n = 6

 ₆C₂ =

=

= 5.3

  2 )!

6 ( ! 2 ! 6 ! 4 !. 2 ! 6 2 . 1 6 . 5 3

40

40

• banyak cara mengambil 1 biru

dari 4 kelereng biru  r = 1, n = 4

 ₄C₁ =

• banyak cara mengambil 3 dari 10  n(S) = ₁₀C₃ =

=

= 12.10

  1 )!

4 ( ! 1 ! 4 4   3 )!

10 ( ! 3 ! 10 ! 7 !. 3 ! 10 3 . 2 . 1 10 . 9 . 8 12

• Peluang mengambil 2 kelereng merah dan 1 biru =

= =

Jadi peluangnya = ½ n(A) n(S)

6C2. 1C4 10C3

5.3. 4 12.10

42

42

Contoh 4

Dari sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 3 bola putih di-ambil 2 bola sekaligus secara acak.

Peluang terambilnya keduanya merah adalah….

Penyelesaian:

• banyak bola merah = 5

dan putih = 3  jumlahnya = 8

• banyak cara mengambil 2 dari 5  ₅C₂ =

=

= 10

  2 )!

5 ( ! 2 ! 5 ! 3 !. 2 ! 5 2 . 1 5 . 4

44

44

Penyelesaian:

• banyak cara mengambil 2 dari 8  ₈C₂ =

=

= 28

• Peluang mengambil 2 bola merah sekaligus =

  2 )!

8 ( ! 2 ! 8 ! 6 !. 2 ! 8 2 . 1 8 . 7 28 10

SELAMAT BELAJAR

SELAMAT BELAJAR

40

40

• banyak cara mengambil 1 biru

dari 4 kelereng biru  r = 1, n = 4

 ₄C₁ =

• banyak cara mengambil 3 dari 10  n(S) = ₁₀C₃ =

=

= 12.10

  1 )!

4 ( ! 1 ! 4 4   3 )!

10 ( ! 3 ! 10 ! 7 !. 3 ! 10 3 . 2 . 1 10 . 9 . 8 12

• Peluang mengambil 2 kelereng merah dan 1 biru =

= =

Jadi peluangnya = ½

n(A) n(S)

6C2. 1C4 10C3

5.3. 4 12.10

42

42

Contoh 4

Dari sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 3 bola putih di-ambil 2 bola sekaligus secara acak.

Peluang terambilnya keduanya merah adalah….

Penyelesaian:

• banyak bola merah = 5

dan putih = 3  jumlahnya = 8

• banyak cara mengambil 2 dari 5  ₅C₂ =

=

  2 )!

5 ( ! 2

! 5

! 3 !. 2

! 5

2 . 1

5 . 4

44

44

Penyelesaian:

• banyak cara mengambil 2 dari 8  ₈C₂ =

=

= 28

• Peluang mengambil 2 bola merah sekaligus =

  2 )!

8 ( ! 2 ! 8 ! 6 !. 2 ! 8 2 . 1 8 . 7 28 10

SELAMAT BELAJAR