Makalah Vektor Matematika - Makalah ruang vektor umum1

MAKALAH
RUANG VEKTOR UMUM

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linier
Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

Disusun oleh
Kelompok II:
Mujiati

08411.192

Puji Astuti

08411.226

Siti Nur Aminah

08411.255

Supinaryuti

08411.264

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN
ILMU PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI MADIUN
2010

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah
memberikan rahmat dan Karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah
dengan judul “Ruang Vektor Umum”. Dalam menyelesaikan makalah ini, penulis telah
mendapatkan bantuan dari berbagai pihak.
Penulis menyadari dalam penulisan makalah ini, masih banyak kekurangan atau
bahkan kekeliruan dalam penyusunannya. Untuk itu kritik dan saran yang bersifat
membangun sangat penulis harapkan. Semoga makalah ini, bermanfaat bagi penulis
khususnya dan pembaca pada umumnya.

Madiun, Oktober 2010

Penulis

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ......................................................................................... i
KATA PENGANTAR ....................................................................................... ii
DAFTAR ISI ...................................................................................................... iii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................. 1
A.Latar Belakang ..................................................................................... 1
B.Rumusan Masalah ............................................................................... 1
C.Tujuan Penulisan .................................................................................. 1
D.Manfaat Penulisan ................................................................................ 1
BAB II PEMBAHASAN ................................................................................... 2
A.Ruang Vektor Dan Aksioma Yang Terdapat Di Dalam Vektor ....... 2
B.Macam-macam Ruang Vektor............................................................. 3
C.Sifat-sifat Vektor .................................................................................. 5

BAB III PENUTUP ........................................................................................... 6
A.Simpulan ............................................................................................... 6
DAFTAR PUSTAKA
HASIL DISKUSI TANYA JAWAB

iii

BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang
Pada bab ini, kita menggeneralisasikan konsep vektor lebih lanjut lagi.
Kita akan menyusun satu himpunan aksioma yang jika dipenuhi oleh suatu
golongan objek yang disebut sebagai “vektor”. Vektor – vektor yang di
generalisasi inin antara lain berbagai matrik dan fungsi. Dalam bab ini akan
memberikan suatu cara yang sangat berguna untuk mengembangkan visualisasi
geometrik dalam berbagai variasi soal matematika, dimana instuisi geometrik
tidak dapat digunakan. Kita dapat memvisualisasikan vektor – vektor pada
dan
sebagai anak panah, sehingga kita dapat menggambar atau menyusun gambar

– gambar untuk membantu menyelesaikan soal karena aksioma – aksioma yang
dapat digunakan untuk mendefinisikan vektor – vektor pada
dan
, maka
vektor – vektor baru tersebut akan memiliki banyak sifat.
B. Rumusan Masalah
1. Apakah yang dimaksud dengan vektor, dan apa saja aksioma yang terdapat
didalam vektor?
2. Apa saja macam – macam dari ruang vektor ?
3. Bagaimana sifat – sifat dari vektor?
C. Tujuan Penulisan
1. Untuk mengetahui pengertian dari ruang vektor dan aksioma yang terdapat
terdapat didalam vektor.
2. Untuk mengetahui macam – macam ruang vektor.
3. Untuk mengetahui sifat – sifat vektor.
D. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui pengertian
dari ruang vektor beserta aksioma-aksioma yang terdapat di dalam suatu vector
dan mengetahui sifat dan macam dan sifat dari ruang vektor.

1

BAB II
PEMBAHASAN

A. Ruang Vektor dan Aksioma yang terdapat didalam vektor
Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong dan objek – objek
sembarang,

dimana

operasi penjumlahan

dan

perkalian dengan

skalar

didefinisikan.

 Operasi penjumlahan (addition) suatu aturan yang mengasosialisasikan

setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek u  v yang

disebut jumlah (sum) dari u dan v.

 Operasi perkalian sckalar(scalar multiplication); suatu aturan yang
mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada V dengan suatu
objek k.u, yang disebut kelipatan scalar (scalar multiple) dari u oleh k .
Jika aksioma – aksioma berikut dipenuhi oleh semua objek u, v, w pada
Vdan semua scalar k dan l , maka kita menyebut objek – objek pada V
sebagai ruang vektor (vector space) dan kita menyebut objek – objek
pada V sebagai vektor.
Berikut ini diberikan sepuluh aksioma mengenai ruang vektor umu yang
berguna untuk menjadi pedoman kita dalam melakukan operasi ialjabar
pada vektor.
Operasi aljabar pada vektor :

1. Jika u dan v adalah objek – objek pad V, maka u  v berada pada V,

2.

u v = vu

3. u  (u  w)  (u  v)  w
4. Terdapat suatu objek 0 di V yang disebut vektor nol (zero vektor) untuk
V, sedemikian rupa sehingga 0  u  u  0  u untuk semua u padaV,

5. Untuk setiap u di V, terdapat suatu objek –u di V, yang disebut sebagai
negative u, sedemikian rupa sehingga u  (u)  (u)  u  0

2

6. Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang objek di V,
maka k.u berada di V.

7. k(u  v)  ku  kv
8. (k  l )  ku  lu

9. k(l.u)  (k.l )(u)

10. l.u  u

B. Macam – Macam Ruang vektor
Macam – macam vektor ruang antara lain :
1. Ruang vektor matrik 2x2
Himpunan V dari semua matrik 2x2 dengan entri entri real adalah suatu ruang
vektor yang jika penjumlahan vektor didefinisikan sebagai perkalian scalar
matrik.
Bukti :
Misalkan

dan

. Untuk membuktikann aksioma

1, maka kita harus menunjukkan bahwa u  v adalah objek di V. dengan kata

lain kita, kita harus menunjukkan bahwa u  v adalah matrik 2x2. Hal ini
dapat diper oleh dan didefinisi penjumlahan matrik, kerena :

Dengan cara serupa, aksioma 6 juga berlaku, karena untuk bilangan real
sembarang k kita memperoleh :

Sehingga ku adalah matriks 2x2 dan yang berarti merupakan objek di V.
Aksioma 2 sesuai dengan teorema 1 karena :

3

Demikian juga aksioma 3 sesuai dengna bagian dari teorema tersebut, dan
aksioma 7, 8, 9 berturut-turut sesuai dengan bagian untuk membuktikan
aksioma 4, kita harus menentukan suatu objek D di V sedemikian rupa
sehingga o+ u = u+ o = u untuk semua u di objek V. Ini dapat dilakukan
dengan mendefinisikan o sebagai :

Yakni matriks nol, dengan definisi ini maka :

Dan demikian juga untuk u+ o = u
Untuk membuktikan aksioma 5, kita harus menunjukkan bahwa setiap objek
U di V memiliki bentuk negatif –u.
u+ (-u)= 0 dan (-u)+ u = 0

ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan negatif u sebagai :

dengan definisi tersebut kita peroleh :

=

=

dan dengan demikian juga (-u)+ u = 0. Akhirnya, aksioma 10 merupakan perhitungan
yang sederhana sebagai berikut :

dengan demikian, matriks berordo 2 merupakan suatu ruang vektor.

2. Ruang vektor dari fungsi bernilai Real

4

Misalkan V adalah himpunan fungsi-fungsi bernilai real yang didefinisikan
sepanjang garis real (- ̴ , ̴ ). Jika F = F(x) dan g = g(x) adalah dua fungsi

sedemikian dan k adalah bilangan real sembarang maka :
(F+g) (x) = F(x) + g(x) dan (kF) (x) = kf(x)
Dengan kata lain:




Nilai dan fungsi f+g pada x diperoleh dengan menjumlahkan nilai-nilai
dari f dan g pada x.
Nilai kf pada x adalah k kali nilai dari f pada x.

3. Ruang vektor nol
Misalnya V terdiri dari suatu objek tunggal, yang dinotasikan dengan 0,
definisi: 0+0 = 0 dan k0 = 0
Untuk semua skalar k.
4. Himpunan yang bukan merupakan ruang vektor
Misalkan

V=R2 dan didefinisikan operasi-operasi penjumlahn dan

perkalian sebagai berikut:
Jika u = (u1, u2) dan v = (v1, v2 ) maka: u+v = (u1 + v1 , u2 +v2 ) dan jika k adalah
bilangan real ssembarang, maka:
ku = (ku,0)
contoh:
Jika u = (2,4), v = (-3,5), dan k=7, maka:
U+v = (2+(-3), 4+5) = (-1,9)
Ku = 7u = (7.2,0) = (14,0)
Operasi penjumlahan merupakan operasi penjumlahan standar pada R 2 , tetapi
operasi perkalian scalar bukan merupakan perkalian skalar standar. Terdapat
nilai-nilai u yang menyebabkan aksioma 10 tidak berlaku. Sebagai contoh,
jika u = (u1, u2) sedemikian rupa sehingga u 2 ≠0, maka:
1u = 1 (u1, u2) = (1. u1 ,0) ≠ u
Jadi, V bukan merupakan ruang vektor.
C. Sifat – Sifat Vektor
5

Misalkan V adalah suatu ruang vektor, u adalah suatu vektor pada V dan k
adalah suatu skalar, maka didapat sifat vektor, antara lain :
1. 0u = 0
2. k0 = 0
3. (-1)u = -u
4. Jika ku = 0, maka k=0 atau u=0

6

BAB III
PENUTUP

A.

Simpulan




Vektor umum mempunyai aksioma yang berguna untuk menjadi pedoman
dalam melakukan operasi aljabar.
Sepuluh aksioma mengenai ruang vektor :
1.
2.

Jika u dan v adalah objek – objek pad V, maka u  v berada pada V,
u v = vu

3.

u  (u  w)  (u  v)  w

4.

Terdapat suatu objek 0 di V yang disebut vektor nol (zero vektor) untuk

5.

Untuk setiap u di V, terdapat suatu objek –u di V, yang disebut sebagai

negative u, sedemikian rupa sehingga u  (u)  (u)  u  0

6.

Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang objek di V,

V, sedemikian rupa sehingga 0  u  u  0  u untuk semua u padaV,

maka k.u berada di V.
7.
8.
9.


10.

k(u  v)  ku  kv

(k  l )  ku  lu

k(l.u)  (k.l )(u)

l.u  u

Macam-macam vektor :
1. Ruang vektor matriks 2x2.
2. Ruang vektor dari fungsi bernilai real.
3. Ruang vektor nol.



4. Himpunan yang bukan merupakan ruang vektor.
Sifat-sifat vektor :
1. 0u = 0
2. k0 = 0
3. (-1)u = -u
4. Jika ku = 0, maka k=0 atau u=0
7

DAFTAR PUSTAKA

Heri Purwanto, Gina Indriani, Erlina Dayanti. 2005. Aljabar Linier. PT Ercontara
Rajawali; Jakarta

HASIL DISKUSI
TANYA JAWAB

1. Pertanyaan dari ELIN EKAWATI S. (08411.117)
Menurut makalah hal. 2 point 6
”Jika k adalah sembarang skalar dan uadalah sembarang objek di V, maka k.u berada di V”.
Bagaimana menurut anda / bagaimana penggambarannya?
Jawab:

ku adalah matriks 2x2 yang merupakan objek di V.

2. Pertanyaan dari ARLITA ROSYIDA (08411.081)
Menurut buku modul hal. 144
”Ku = (ku1,0) , 0 (nol)”. Didapat dari mana?
Jawab:

Karena 0 (nol) sebagai devinisi operasi ku = (ku1,0)
3. Pertanyaan dari SUPRIHATIN (08411.265)
Menurut modul hal. 147 latihan 4.2
”Himpunan semua pasangan bilangan real (u,v) dengan operasi (u,v) + (u’,v’) = (u+u’,v+v’)
dan k(u,v) = (2ku,2kv)”. Bagaimana penyelesaiannya?
Jawab:

Dimulai dari pembuktian dari 10 aksioma.
» Aksioma 1
u+v = (u1,u2) + (v1,v2)
= (u1+v1,u2+v2)
= (u1,u2) + (v1 ,v2)
= u+v

(Terbukti)
» Aksioma 2
v+u = (u1,u2) + (v1 ,v2 )
= (u1+v1 ,u2+v2)
= (v1+u1,v2+u2)
= (v1,v2) + (u1 ,u2)
= v+u
(Terbukti)
» Aksioma 3
u+(v+w) = (u+v)+w
= (u1,u2)+((v1,v2)+ (w1,w 2))
= (u1,u2)+ (v1+w1, v2+w 2)
= u1+(v1+ w1) , u2+(v2+w 2)
= (u1+v1)+ w1 , (u2+v2)+w 2
= (u1+v1 , u2+v2)+( w1,w 2)
= (u1,u2)+(v1,v2)+ (w1 ,w 2)
= (u+v)+w
(Terbukti)
» Aksioma 4
0+u = u+0 = u
0+u = (0,0) + (u1,u2)
= (0+u1 , 0+u2)
= (u1,u2)
=u
u+0 = (u1,u2) + (0,0)
= (u1+0 , u2+0)

= (u1,u2)
=u
(Terbukti)
» Aksioma 5
u+(-u) = (-u)+u+0
ambil uϵv sebarang sehingga v = (v1,v2)
terdapat –u = (-u1,-u2)
u+(-u) = (v1 ,v2) + (-u1,-u2)
= (u1-v1 , u2 -v2)
= (0,0)
=0
(-u)+u = (-u1 ,-u2) + (v1,v2)
= (-u1+v1 , -u2+v2)
= (0,0)
=0
(Terbukti)
» Aksioma 6
Ambil u+v sebarang dan KϵR
Ku = K(u1,u2)
= (2ku1, 2ku2)
(Terbukti)
» Aksioma 7
k(u+v) = k((u1,u2) + (v1,v2))
= k(u1+v1 , u2+v2)
= (k(u1+v1 , u2+v2))
= (ku1+kv1 , ku2+kv2)

ϵK

= (ku1,ku2) + (kv1,kv2)
= k(u1,u2) + k(v1,v2)
= ku+kv
(Terbukti)
» Aksioma 8
(k+l)u = (k+l) (u1,u2)
= (2(k+l)u1 , 2(k+l)u2)
= (2ku1 + 2lu1 , 2ku2 + 2lu2)
= (2ku1, 2ku2 + 2lu1,2lu2)
= k(u1,u2) + l(u1,u2)
= ku + lu
(Terbukti)
» Aksioma 9
(kl)u = (kl) (u1,u2)
= (2(kl)u1 , 2(kl)u2)
k(lu) = k(l(u1,u2)
= k(2lu1 , 2lu2)
= (2k2lu1 , 2k2lu2)
= (4klu1 , 4klu2)
(Tidak Terbukti Sama)
» Aksioma 10
1u = 1(u1 ,u2)
= (2u1 , 2u2)
u = (u1 ,u2)
(Tidak Terbukti Sama)