Makalah Vektor Matematika - Makalah
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
VEKTOR DAN SKALAR
Materi pokok pertemuan ke I:
1. Vektor dan skalar
2. Komponen vektor
3. Operasi dasar aljabar vektor
URAIAN MATERI
Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, sedangkan skalar adalah
besaran yang memiliki nilai tetapi tidak memiliki arah.
Coba sebutkan apa saja yang termasuk vektor dan apa saja yang termasuk
skalar? Ya, panjang, waktu, volume, serta usaha termasuk skalar, sedangkan
yang termasuk vektor adalah kecepatan, gaya, perpindahan, dan percepatan.
Selain contoh di atas, coba Anda sebutkan contoh vektor dan skalar yang
lainnya!
Perpindahan merupakan salah satu contoh vektor. Apa itu perpindahan?
Bagaimana menghitung besar perpindahan?
Sebelumnya, coba Anda perhatikan gambar berikut!
C
A
A : titik awal
A : titik awal
C : titik akhir
B
Apakah yang dapat Anda lihat dari gambar di atas?
Dari gambar di atas, seorang anak berlari dengan lintasan dari titik A ke titik
B, dan berakhir di titik C. Anak tersebut mengalami perpindahan, karena
terjadi perubahan posisi dari titik A ke titik C. Jadi, perpindahan adalah
perubahan posisi yang terjadi dalam selang waktu tertentu. Kemudian,
bagaimanakah kita mengukur perpindahannya? Jika kita mengukur besar
perpindahan, maka kita mengukur panjang dari titik awal ke titik akhir
lintasan. Sehingga besar perpindahan yang dilakukan anak tersebut adalah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
1
C : titik akhir
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
panjang lintasan dari titik A ke titik C, sedangkan arah perpindahannya
adalah dari titik A ke titik C.
Berikut ini definisi vektor secara lengkap.
Secara grafik
Coba lihat gambar di bawah ini!
P
O
Apa yang Anda lihat pada gambar di atas? Ada sebuah anak panah yang
berawal di titik O dan berujung di titik P. Gambar tersebut merupakan
sebuah vektor, dimana titik O adalah titik pangkal (titik awal) vektor dan titik
P adalah titik akhir (titik ujung) vektor. Titik ujung vektor menunjukkan arah
yang dituju.
Secara analisis
Vektor dilambangkan oleh sebuah huruf. Anak panah diletakkan di atas huruf
atau dengan menebalkan huruf tersebut, yang menandakan bahwa vektor
memiliki arah. Jadi, vektor OP dilambangkan dengan
. Besar
dinyatakan dengan
.
Setelah Anda mengetahui definisi vektor secara grafik dan aljabar, maka
selanjutnya akan dijelaskan mengenai aljabar vektor.
Aljabar Vektor
Vektor juga memiliki operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan
perkalian. Penjelasannya sebagai berikut.
1. Dua buah vektor
dan
dikatakan sama jika vektor-vektor tersebut
memiliki besar/panjang dan arah yang sama tanpa memandang titik-titik
awalnya. Jadi
seperti pada gambar dibawah ini.
pada gambar disamping, terlihat bahwa
dan memiliki besar/panjang yang sama
dan arah yang dituju pun sama. Oleh karena
itu,
, walaupun titik awal/pangkalnya
berbeda.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
2
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
2. Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor , tetapi
memiliki besar/panjang yang sama dinyatakan oleh
, dinyatakan
dalam gambar berikut.
pada gambar disamping,
terlihat bahwa dan
memiliki besar/panjang yang
sama namun arah yang dituju
berbeda 1800 (berlawanan).
3. Jumlah atau resultan dari vektor-vektor dan ditulis dengan
,
adalah sebuah vektor yang dibentuk dengan menempatkan titik pangkal
vektor pada titik ujung vektor , dan kemudian menghubungkan titik
pangkal vektor dengan titik ujung vektor .
Perhatikanlah contoh berikut.
Misalkan dan seperti gambar berikut.
Untuk mencari resultan, maka letakkan titik pangkal
ujung , sehingga diperoleh gambar berikut.
pada titik
Resultan yang diperoleh adalah dengan membuat garis yang
menghubungkan titik pangkal dengan titik ujung . Jadi, resultan
yang dihasilkan merupakan vektor dimana titik pangkalnya
berada pada titik pangkal dan titik ujungnya berada pada titik ujung
.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
3
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
4. Selisih dari vektor-vektor
didefinisikan dengan resultan
dan
ditulis dengan
, dapat
.
Perhatikan contoh berikut.
Untuk mencari
sama juga artinya dengan mencari
,
maka Anda perlu mencari
terlebih dulu. Berikut ini akan
diperlihatkan .
Setelah itu, dapat dicari resultan
dengan menggunakan cara
no.3 di atas. Buat garis yang menghubungkan titik pangkal dengan
titik ujung vektor
, maka
merupakan vektor dimana titik
pangkalnya berada pada titik pangkal
dan titik ujungnya berada
pada titik ujung . Sehingga,
dapat kita lihat pada gambar di
bawah ini.
5. Hasil kali sebuah vektor dengan sebuah skalar adalah sebuah vektor
yang besarnya
kali besarnya
. Arah vektor ini memiliki arah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
4
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
yang sama atau berlawanan dengan , bergantung pada apakah
atau negatif. Jika
, maka
adalah sebuah vektor nol.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Misalkan vektor , yaitu
dengan
positif
2cm
Karena skalar
dan panjang
, maka
adalah
Berikut sifat-sifat aljabar vektor.
adalah
4 cm
cm
cm
Sifat-sifat Aljabar Vektor
Jika
, dan adalah vektor-vektor dan serta adalah skalar-skalar,
6.
maka
1.
Hukum Komutatif Penjumlahan
Hukum Asosiatif Penjumlahan
2.
3.
Hukum Komutatif Perkalian
4.
Hukum Asosiatif Perkalian
5.
Hukum Distributif
6.
Hukum Distributif
CONTOH SOAL
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini
Contoh 1
Jika A dan B seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Gambarkanlah A – 2B
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
5
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
B
A
Penyelesaian
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
a. Buat vektor -2B, di mana panjangnya 2 |B| dan arahnya berlawanan
dengan arah B
b. Pindahkan -2B dengan meletakkan titik pangkalnya pada titik ujung A
c. Hubungkan titik pangkal A dengan titik ujung -2B yang baru
dipindahkan, maka didapat A – 2B
-2B
A -2B
A
Contoh 2
Sebuah bus bergerak sejauh 50 km menuju arah timur, kemudian dilanjutkan
sejauh 25 km menuju timur laut.
a. Gambarkanlah dengan grafik perpindahan yang dilakukan bus
tersebut. Gunakan skala 1 cm mewakili 10 km.
b. Jika R adalah resultan dari perpindahan yang dilakukan bus tersebut,
hitung panjang dan arah dari R dengan menggunakan grafik dan
secara analitik.
Penyelesaian
a. Untuk menggambar grafik perpindahan yang dilakukan bus, pertamatama buat sumbu koordinat dan namai masing-masing sesuai dengan
arah mata angin. Gunakan skala 1:100.000, artinya untuk 1 cm
mewakili 1 km. Kemudian, gambar perpindahan sejauh 50 km ke arah
timur dengan membuat garis (OA) sepanjang 5 cm ke arah timur.
Perpindahan 25 km kerah timur laut digambar dengan membuat garis
(AB) sepanjang 2,5 cm ke arah timur laut. Lalu, hubungkan titik awal
ke titik akhir setelah perpindahan, garis ini dinamakan resultan
perpindahan (BO = R). Sehingga diperoleh gambar berikut ini.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
6
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Utara
B
R
Ѳ
O
Timur
A
Gambar 3
b. Secara grafik:
Besar resultan perpindahan dapat ditentukan dengan mengukur
panjang R, panjang R setelah diukur ternyata 7 cm. Ini berarti |R| = 7 x
10 km = 70 km. Arah R ditentukan dengan menggunakan busur
derajat, setelah diukur diperoleh arah R =
ke sebelah utara dari
timur.
Secara analitik:
Untuk menghitung panjang R secara analitik gunakan rumus
menghitung panjang sisi sebuah segitiga berkenaan dengan dalil
kosinus, yaitu:
|R|2 = |OA|2 + |AB|2 – 2|OA| |AB| cos
= 2500 + 625 – 2500 cos
= 4892,7670
|R| = 69,9483
Selanjutnya menghitung arah R, gunakan dalil sinus. Misalkan
∠
yang merupakan arah R
Akibatnya
, dengan arah ke sebelah utara dari timur.
LATIHAN TERBIMBING
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
7
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Latihan 1
Jika vektor-vektor A, B, dan C seperti terlihat pada gambar di bawah ini.
Gambarkan R = A – 2B – C
B
A
C
Penyelesaian
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
a. Buat vektor -2B dimana panjangnya …… dan arahnya …………… dengan
arah B
b. Pindahkan …… dengan meletakkan ……………… di ……………..A
c. Buat vektor ........ dimana panjangnya …… dan arahnya ……………..
dengan ……
d. Pindahkan C dengan meletakkan …………….. di ujung ……
e. Hubungkan titik pangkal …… dengan titik …….……… …… sehingga
diperoleh A – 2B – C
Sehingga diperoleh gambar A + 2B – C berikut ini.
Latihan 2
Sederhanakanlah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
8
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Penyelesaian
Latihan 3
Misalkan titik-titik P(1, -2), Q(-3, 4), dan R(2, -3). Dapatkanlah (a) PQ, (b) QR,
(c) PQ – QR, (d) -3RP
Penyelesaian
(a) PQ = (-3 - ..., ... + ... ) = (-4, ...)
(b) QR = ( ... + ..., ... – 4) = (... , ... )
(c) PQ – QR = (-4, ...) – ( ... , ... )
= (-4 - ... , ... + ... )
= ( ... , 13)
(d) -3RP = -3( ... – 2 , ... + ...) = -3( ..., ...) = ( ... , ... )
Latihan 3
Sebuah pesawat terbang menempuh jarak 200 km ke arah barat dan
kemudian 150 km ke arah
ke sebelah utara dari barat. Tentukan
pergeseran resultan a. secara grafis, b. secara analitis.
Penyelesaian
a. Secara grafis
Gambar vektor perpindahan resultan
Skala ……
U
B
T
O
Misalkan vektor perpindahan ke arah barat adalah A dan
di
sebelah utara dari barat sebagai B, resultan perpindahan R. Dengan
menggunakan penggaris diperoleh resultan perpindahan R …… dan
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
9
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
dengan menggunakan busur derajat diperoleh sudut ….. Maka R
besarnya …… dengan arah …… ke sebelah utara dari ……
b. Secara analitis
|R2| = |A2| + |B2| - 2|A||B cos ∠……
Jadi R ……
maka
Dari hukum sinus
Sin ∠ …..
…… …… - … … cos
……
…..
∠…. …..
jadi C besarnya …… km dan arahnya ....... ke ..………… dari ………..
LATIHAN MANDIRI
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia
Latihan 1
Dua buah sisi sebuah segitiga dibentuk oleh vektor-vektor V = 3i + 4j dan W
= 5i +2j. Hitunglah panjang sisi-sisi segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor
tersebut.
Penyelesaian
Latihan 2
Diketahui vektor-vektor A, B, C dan D.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
10
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
A
B
C
D
Bentuklah
a. 3A – 2B – (C – D)
b.
C + (A – B + 2D)
Penyelesaian
Latihan 3
Sebuah mobil bergerak sejauh 100 km menuju ke arah barat, kemudian
dilanjutkan sejauh 60 km menuju barat laut, dan 80 km menuju timur.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
11
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
a. Gambarkan dengan grafik perpindahan yang dilakukan bus tersebut.
Untuk itu gunakan skala 1 cm untuk mewakili 20 km
b. Jika R adalah perpindahan yang dilakukan oleh bus tersebut, hitunglah
panjang dan arah R dengan menggunakan grafik dan secara analitik
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
12
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Kunci Jawaban
Latihan 1 : 5,
, 10
Latihan 3 : b. besarnya 80 km, arahnya
ke sebelah utara dari barat
Kesimpulan
Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan
dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
13
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Materi pokok pertemuan ke 2:
4. Vektor satuan
5. Komponen vektor dan vektor komponen
6. Himpunan vektor kolinear dan takkolinear
URAIAN MATERI
Vektor satuan
Vektor satuan adalah suatu vektor yang besarnya satu satuan. Jika sebuah
vektor yang diketahui dan
adalah sebuah vektor satuan, maka vektor
satuannya dapat dituliskan dengan
dimana
.
Vektor Basis Satuan
Vektor basis satuan dalam
Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam . Pilih dua vektor satuan
dan sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x
dan y positif dan berpangkal di O.
O
Vektor dan disebut dengan vektor-vektor basis di
.
Vektor basis satuan dalam
Pada sistem koordinat dalam
, terdapat tiga vektor satuan, yaitu vektor
satuan , , dan yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x, y,
dan z positif dan berpangkal di O.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
14
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
O
Vektor Posisi
Vektor posisi dalam
Jika dan adalah vektor-vektor basis di
yaitu vektor satuan yang masingmasing sejajar dan searah dengan sumbu x dan sumbu y dan berpangkal di
titik O dalam , maka sebarang vektor dari titik O ke titik P(x,y) dalam
bidang XOY selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor basis
dan .
Sehingga, vektor posisi titik P diberikan oleh
dimana
;
disebut vektor-vektor komponen.
adalah komponen vektor pada sumbu x
adalah komponen vektor pada sumbu y
Vektor
disebut vektor posisi titik P, karena komponenkomponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P.
Panjang/besar dari dinyatakan oleh
, dimana
.
Vektor posisi dalam
Vektor-vektor basis dalam
adalah vektor-vektor satuan , , dan yang
masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu x, y, dan z positif
dan berpangkal di titik O.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
15
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Vektor posisi titik P(x,y,z) diberikan oleh
Panjang/besar dari dinyatakan oleh
, dimana
Secara umum untuk sebarang vektor pada
yang mempunyai komponenkomponen vektor
, , dan
dapat dituliskan dalam bentuk
,
, dan
disebut vektor-vektor komponen dari
koordinat tegak lurus X, Y, dan Z.
pada sistem
z
y
x
Panjang vektor
diberikan oleh
... 1.1
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
16
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Kemudian jika vektor satuan dari , maka
... 1.2
Berikut sifat-sifat aljabar vektor.
Sifat-sifat aljabar vektor:
Misalkan
, dan
adalah vektor-vektor,
dan
adalah skalar,
maka berlaku sifat-sifat:
a.
(komutatif pada penjumlahan)
b.
(asosiatif pada penjumlahan)
c.
(identitas pada penjumlahan)
d.
(identitas pada perkalian)
e.
(distributif perkalian skalar terhadap
vektor)
f.
(distributif)
g.
jika dan hanya jika
h.
i.
Himpunan vektor yang bergantung linear dan bebas linear
Himpunan vektor
disebut bergantung linear jika dan hanya jika ada
himpunan skalar
yang tidak semuanya nol, sehingga
.
Jika himpunan skalar
semuanya nol, maka himpunan vektor
tersebut dikatakan bebas linear.
Beberapa sifat dari himpunan vektor yang bergantung linear:
1. Jika
dan
adalah dua vektor kolinear/sejajar, maka kedua vektor
tersebut bergantung linear.
2. Jika , , dan adalah tiga buah vektor yang terletak pada sebuah bidang,
maka ketiga vektor tersebut bergantung linear.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
17
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
3. Jika , , , dan adalah empat buah vektor yang terletak dalam ruang
dimensi tiga, maka keempat vektor tersebut bergantung linear.
CONTOH SOAL
Contoh 1
Jika A = 3i + 2j + 4k, B = i + 3j - 2k, dan C = 2i – j. Carilah a. A + 2B – C ,
b. |A + 2B – C|, c. vektor satuan dari A + 2B – C.
Penyelesaian
a. A + 2B + C = (3i + 2j + 4k) + 2(i + 3j - 2k) - (2i – j)
= (3i + 2i - 2i) + (2j + 6j + j) + (4k – 4k)
= 3i + 9j
=
b. |A + 2B + C| =
c. Misalkan u adalah vektor satuan dari A + 2B – C, maka
u=
Contoh 2
Apakah A = 3i + j dan B = -i + 3j bergantung linear?
Penyelesaian
Jika A dan B bergantung linear, maka skalar a dan b tidak keduanya nol
sehingga aA + bB =0
a(3i + j) + b(-i + 3j) = 0
karena i dan j takkolinear, maka
(3a – b)i + (a + 3b)j = 0
sehingga
3a – b = 0
(1)
a + 3b = 0
(2)
dari (1) dan (2) diperoleh a = 0 dan b = 0.
Jadi, karena semua skalarnya 0 sehingga aA + bB = 0. Maka vektor A dan B
tidak bergantung linear (bebas linear).
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
18
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
LATIHAN TERBIMBING
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong
Latihan 1
Jika A = 3i – j – 4k, B = -2i + 4j – 3k, dan C = i + 2j – k. Carilah a. 2A – B + 3C,
b. |A + B + C|, c. |3A – 2B + 4C|, dan d. vektor satuan yang sejajar dengan
3A – 2B + 4C
Penyelesaian
a. 2A – B + 3C = 2 (....... - …… - …... – ….. .…. - …..) …… …… …… - ...…
= (…… …… …… (…… - …… ……
…… …… - ……
…… i …… j …… k
b. A + B + C = …… –…… – ……
…… …… ……
|A + B + C| =
…
…
…… …… – …… + …… …… – ……
…
…..
c. 3A – 2B + 4C … ..… –…… – ….. - … …… …… – …… +… ….. .….. – .…)
…… –…… – ……
…… …… – …… + …… …… – ……
= ....... …… ……
|3A – 2B + 4C| =
…
…
…
…..
d. Vektor satuan yang sejajar dengan 3A – 2B + 4C
=
Latihan 2
–
–
….
….
……
….
Misalkan A = i – j + 2k, B = 2i + 2j + k, dan C = 3i + j + 2k. Selidiki apakah A, B,
dan C bergantung linear?.
Penyelesaian
Jika A, B, dan C bergantung linear, maka skalar a, b dan c tidak semuanya nol
sehingga aA + bB + cC =0
a(i – …… ……
b …… …… …… c …… …… …… = 0
Karena i, j, dan k takkolinear, maka
(a + …… ……)i + (…… + 2b ……)j
…… …… …… k = 0
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
19
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
sehingga
…… + 2b …… = 0
…… ….. ……
…… ….. ……
(1)
(2)
(3)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh
4b …… ……
….. …… ……
(4)
Eliminasi persamaan (2) dan (3) diperoleh
…… …… ……
(5)
Eliminasi persamaan (4) dan (5) diperoleh
b ……
Substitusi b …… ke persamaan
c ……
diperoleh
Substitusi b …… dan c …… ke persamaan (1) sehingga diperoleh
a ……
Jadi, karena terdapat skalar a, b, c yang ……………… sehingga aA + bB + cC = 0.
Maka A, B, dan C …………….. linear.
LATIHAN MANDIRI
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia
Latihan 1
Carilah vektor satuan yang sejajar dengan resultan dari vektor-vektor
r1 = -5i + 4j + 2k dan r2 = 3i + 2j + k.
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
20
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Latihan 2
Dalam tiap-tiap kasus berikut apakah vektor-vektornya bebas linear atau
bergantung linear:
a. A = 2i + j – 3k, B = i – 4k, C = 4i + 3j – k
b. A = i – 3j + 2k, B = 2i – 4j – k, C = 3i + 2j – k
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
21
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Latihan 3
Jika a dan b adalah vektor-vektor takkolinear dan A = (x + 4y)a +
(2x + y + 1)b dan B = (y – 2x + 2)a + (2x – 3y – 1)b, maka carilah x dan y
sehingga 3A = 2B.
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
22
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Kunci Jawaban
Latihan 1 :
Latihan 2 : a. bebas linear, b. bergantung linear
Latihan 3 : x = 2 dan y = -1
Kesimpulan
Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan
dari materi ini di tempat kosong di bawah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
23
Kerja 1
Vektor dan Skalar
VEKTOR DAN SKALAR
Materi pokok pertemuan ke I:
1. Vektor dan skalar
2. Komponen vektor
3. Operasi dasar aljabar vektor
URAIAN MATERI
Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, sedangkan skalar adalah
besaran yang memiliki nilai tetapi tidak memiliki arah.
Coba sebutkan apa saja yang termasuk vektor dan apa saja yang termasuk
skalar? Ya, panjang, waktu, volume, serta usaha termasuk skalar, sedangkan
yang termasuk vektor adalah kecepatan, gaya, perpindahan, dan percepatan.
Selain contoh di atas, coba Anda sebutkan contoh vektor dan skalar yang
lainnya!
Perpindahan merupakan salah satu contoh vektor. Apa itu perpindahan?
Bagaimana menghitung besar perpindahan?
Sebelumnya, coba Anda perhatikan gambar berikut!
C
A
A : titik awal
A : titik awal
C : titik akhir
B
Apakah yang dapat Anda lihat dari gambar di atas?
Dari gambar di atas, seorang anak berlari dengan lintasan dari titik A ke titik
B, dan berakhir di titik C. Anak tersebut mengalami perpindahan, karena
terjadi perubahan posisi dari titik A ke titik C. Jadi, perpindahan adalah
perubahan posisi yang terjadi dalam selang waktu tertentu. Kemudian,
bagaimanakah kita mengukur perpindahannya? Jika kita mengukur besar
perpindahan, maka kita mengukur panjang dari titik awal ke titik akhir
lintasan. Sehingga besar perpindahan yang dilakukan anak tersebut adalah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
1
C : titik akhir
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
panjang lintasan dari titik A ke titik C, sedangkan arah perpindahannya
adalah dari titik A ke titik C.
Berikut ini definisi vektor secara lengkap.
Secara grafik
Coba lihat gambar di bawah ini!
P
O
Apa yang Anda lihat pada gambar di atas? Ada sebuah anak panah yang
berawal di titik O dan berujung di titik P. Gambar tersebut merupakan
sebuah vektor, dimana titik O adalah titik pangkal (titik awal) vektor dan titik
P adalah titik akhir (titik ujung) vektor. Titik ujung vektor menunjukkan arah
yang dituju.
Secara analisis
Vektor dilambangkan oleh sebuah huruf. Anak panah diletakkan di atas huruf
atau dengan menebalkan huruf tersebut, yang menandakan bahwa vektor
memiliki arah. Jadi, vektor OP dilambangkan dengan
. Besar
dinyatakan dengan
.
Setelah Anda mengetahui definisi vektor secara grafik dan aljabar, maka
selanjutnya akan dijelaskan mengenai aljabar vektor.
Aljabar Vektor
Vektor juga memiliki operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan
perkalian. Penjelasannya sebagai berikut.
1. Dua buah vektor
dan
dikatakan sama jika vektor-vektor tersebut
memiliki besar/panjang dan arah yang sama tanpa memandang titik-titik
awalnya. Jadi
seperti pada gambar dibawah ini.
pada gambar disamping, terlihat bahwa
dan memiliki besar/panjang yang sama
dan arah yang dituju pun sama. Oleh karena
itu,
, walaupun titik awal/pangkalnya
berbeda.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
2
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
2. Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor , tetapi
memiliki besar/panjang yang sama dinyatakan oleh
, dinyatakan
dalam gambar berikut.
pada gambar disamping,
terlihat bahwa dan
memiliki besar/panjang yang
sama namun arah yang dituju
berbeda 1800 (berlawanan).
3. Jumlah atau resultan dari vektor-vektor dan ditulis dengan
,
adalah sebuah vektor yang dibentuk dengan menempatkan titik pangkal
vektor pada titik ujung vektor , dan kemudian menghubungkan titik
pangkal vektor dengan titik ujung vektor .
Perhatikanlah contoh berikut.
Misalkan dan seperti gambar berikut.
Untuk mencari resultan, maka letakkan titik pangkal
ujung , sehingga diperoleh gambar berikut.
pada titik
Resultan yang diperoleh adalah dengan membuat garis yang
menghubungkan titik pangkal dengan titik ujung . Jadi, resultan
yang dihasilkan merupakan vektor dimana titik pangkalnya
berada pada titik pangkal dan titik ujungnya berada pada titik ujung
.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
3
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
4. Selisih dari vektor-vektor
didefinisikan dengan resultan
dan
ditulis dengan
, dapat
.
Perhatikan contoh berikut.
Untuk mencari
sama juga artinya dengan mencari
,
maka Anda perlu mencari
terlebih dulu. Berikut ini akan
diperlihatkan .
Setelah itu, dapat dicari resultan
dengan menggunakan cara
no.3 di atas. Buat garis yang menghubungkan titik pangkal dengan
titik ujung vektor
, maka
merupakan vektor dimana titik
pangkalnya berada pada titik pangkal
dan titik ujungnya berada
pada titik ujung . Sehingga,
dapat kita lihat pada gambar di
bawah ini.
5. Hasil kali sebuah vektor dengan sebuah skalar adalah sebuah vektor
yang besarnya
kali besarnya
. Arah vektor ini memiliki arah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
4
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
yang sama atau berlawanan dengan , bergantung pada apakah
atau negatif. Jika
, maka
adalah sebuah vektor nol.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Misalkan vektor , yaitu
dengan
positif
2cm
Karena skalar
dan panjang
, maka
adalah
Berikut sifat-sifat aljabar vektor.
adalah
4 cm
cm
cm
Sifat-sifat Aljabar Vektor
Jika
, dan adalah vektor-vektor dan serta adalah skalar-skalar,
6.
maka
1.
Hukum Komutatif Penjumlahan
Hukum Asosiatif Penjumlahan
2.
3.
Hukum Komutatif Perkalian
4.
Hukum Asosiatif Perkalian
5.
Hukum Distributif
6.
Hukum Distributif
CONTOH SOAL
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini
Contoh 1
Jika A dan B seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Gambarkanlah A – 2B
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
5
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
B
A
Penyelesaian
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
a. Buat vektor -2B, di mana panjangnya 2 |B| dan arahnya berlawanan
dengan arah B
b. Pindahkan -2B dengan meletakkan titik pangkalnya pada titik ujung A
c. Hubungkan titik pangkal A dengan titik ujung -2B yang baru
dipindahkan, maka didapat A – 2B
-2B
A -2B
A
Contoh 2
Sebuah bus bergerak sejauh 50 km menuju arah timur, kemudian dilanjutkan
sejauh 25 km menuju timur laut.
a. Gambarkanlah dengan grafik perpindahan yang dilakukan bus
tersebut. Gunakan skala 1 cm mewakili 10 km.
b. Jika R adalah resultan dari perpindahan yang dilakukan bus tersebut,
hitung panjang dan arah dari R dengan menggunakan grafik dan
secara analitik.
Penyelesaian
a. Untuk menggambar grafik perpindahan yang dilakukan bus, pertamatama buat sumbu koordinat dan namai masing-masing sesuai dengan
arah mata angin. Gunakan skala 1:100.000, artinya untuk 1 cm
mewakili 1 km. Kemudian, gambar perpindahan sejauh 50 km ke arah
timur dengan membuat garis (OA) sepanjang 5 cm ke arah timur.
Perpindahan 25 km kerah timur laut digambar dengan membuat garis
(AB) sepanjang 2,5 cm ke arah timur laut. Lalu, hubungkan titik awal
ke titik akhir setelah perpindahan, garis ini dinamakan resultan
perpindahan (BO = R). Sehingga diperoleh gambar berikut ini.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
6
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Utara
B
R
Ѳ
O
Timur
A
Gambar 3
b. Secara grafik:
Besar resultan perpindahan dapat ditentukan dengan mengukur
panjang R, panjang R setelah diukur ternyata 7 cm. Ini berarti |R| = 7 x
10 km = 70 km. Arah R ditentukan dengan menggunakan busur
derajat, setelah diukur diperoleh arah R =
ke sebelah utara dari
timur.
Secara analitik:
Untuk menghitung panjang R secara analitik gunakan rumus
menghitung panjang sisi sebuah segitiga berkenaan dengan dalil
kosinus, yaitu:
|R|2 = |OA|2 + |AB|2 – 2|OA| |AB| cos
= 2500 + 625 – 2500 cos
= 4892,7670
|R| = 69,9483
Selanjutnya menghitung arah R, gunakan dalil sinus. Misalkan
∠
yang merupakan arah R
Akibatnya
, dengan arah ke sebelah utara dari timur.
LATIHAN TERBIMBING
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
7
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Latihan 1
Jika vektor-vektor A, B, dan C seperti terlihat pada gambar di bawah ini.
Gambarkan R = A – 2B – C
B
A
C
Penyelesaian
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
a. Buat vektor -2B dimana panjangnya …… dan arahnya …………… dengan
arah B
b. Pindahkan …… dengan meletakkan ……………… di ……………..A
c. Buat vektor ........ dimana panjangnya …… dan arahnya ……………..
dengan ……
d. Pindahkan C dengan meletakkan …………….. di ujung ……
e. Hubungkan titik pangkal …… dengan titik …….……… …… sehingga
diperoleh A – 2B – C
Sehingga diperoleh gambar A + 2B – C berikut ini.
Latihan 2
Sederhanakanlah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
8
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Penyelesaian
Latihan 3
Misalkan titik-titik P(1, -2), Q(-3, 4), dan R(2, -3). Dapatkanlah (a) PQ, (b) QR,
(c) PQ – QR, (d) -3RP
Penyelesaian
(a) PQ = (-3 - ..., ... + ... ) = (-4, ...)
(b) QR = ( ... + ..., ... – 4) = (... , ... )
(c) PQ – QR = (-4, ...) – ( ... , ... )
= (-4 - ... , ... + ... )
= ( ... , 13)
(d) -3RP = -3( ... – 2 , ... + ...) = -3( ..., ...) = ( ... , ... )
Latihan 3
Sebuah pesawat terbang menempuh jarak 200 km ke arah barat dan
kemudian 150 km ke arah
ke sebelah utara dari barat. Tentukan
pergeseran resultan a. secara grafis, b. secara analitis.
Penyelesaian
a. Secara grafis
Gambar vektor perpindahan resultan
Skala ……
U
B
T
O
Misalkan vektor perpindahan ke arah barat adalah A dan
di
sebelah utara dari barat sebagai B, resultan perpindahan R. Dengan
menggunakan penggaris diperoleh resultan perpindahan R …… dan
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
9
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
dengan menggunakan busur derajat diperoleh sudut ….. Maka R
besarnya …… dengan arah …… ke sebelah utara dari ……
b. Secara analitis
|R2| = |A2| + |B2| - 2|A||B cos ∠……
Jadi R ……
maka
Dari hukum sinus
Sin ∠ …..
…… …… - … … cos
……
…..
∠…. …..
jadi C besarnya …… km dan arahnya ....... ke ..………… dari ………..
LATIHAN MANDIRI
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia
Latihan 1
Dua buah sisi sebuah segitiga dibentuk oleh vektor-vektor V = 3i + 4j dan W
= 5i +2j. Hitunglah panjang sisi-sisi segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor
tersebut.
Penyelesaian
Latihan 2
Diketahui vektor-vektor A, B, C dan D.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
10
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
A
B
C
D
Bentuklah
a. 3A – 2B – (C – D)
b.
C + (A – B + 2D)
Penyelesaian
Latihan 3
Sebuah mobil bergerak sejauh 100 km menuju ke arah barat, kemudian
dilanjutkan sejauh 60 km menuju barat laut, dan 80 km menuju timur.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
11
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
a. Gambarkan dengan grafik perpindahan yang dilakukan bus tersebut.
Untuk itu gunakan skala 1 cm untuk mewakili 20 km
b. Jika R adalah perpindahan yang dilakukan oleh bus tersebut, hitunglah
panjang dan arah R dengan menggunakan grafik dan secara analitik
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
12
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Kunci Jawaban
Latihan 1 : 5,
, 10
Latihan 3 : b. besarnya 80 km, arahnya
ke sebelah utara dari barat
Kesimpulan
Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan
dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
13
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Materi pokok pertemuan ke 2:
4. Vektor satuan
5. Komponen vektor dan vektor komponen
6. Himpunan vektor kolinear dan takkolinear
URAIAN MATERI
Vektor satuan
Vektor satuan adalah suatu vektor yang besarnya satu satuan. Jika sebuah
vektor yang diketahui dan
adalah sebuah vektor satuan, maka vektor
satuannya dapat dituliskan dengan
dimana
.
Vektor Basis Satuan
Vektor basis satuan dalam
Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam . Pilih dua vektor satuan
dan sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x
dan y positif dan berpangkal di O.
O
Vektor dan disebut dengan vektor-vektor basis di
.
Vektor basis satuan dalam
Pada sistem koordinat dalam
, terdapat tiga vektor satuan, yaitu vektor
satuan , , dan yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x, y,
dan z positif dan berpangkal di O.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
14
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
O
Vektor Posisi
Vektor posisi dalam
Jika dan adalah vektor-vektor basis di
yaitu vektor satuan yang masingmasing sejajar dan searah dengan sumbu x dan sumbu y dan berpangkal di
titik O dalam , maka sebarang vektor dari titik O ke titik P(x,y) dalam
bidang XOY selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor basis
dan .
Sehingga, vektor posisi titik P diberikan oleh
dimana
;
disebut vektor-vektor komponen.
adalah komponen vektor pada sumbu x
adalah komponen vektor pada sumbu y
Vektor
disebut vektor posisi titik P, karena komponenkomponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P.
Panjang/besar dari dinyatakan oleh
, dimana
.
Vektor posisi dalam
Vektor-vektor basis dalam
adalah vektor-vektor satuan , , dan yang
masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu x, y, dan z positif
dan berpangkal di titik O.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
15
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Vektor posisi titik P(x,y,z) diberikan oleh
Panjang/besar dari dinyatakan oleh
, dimana
Secara umum untuk sebarang vektor pada
yang mempunyai komponenkomponen vektor
, , dan
dapat dituliskan dalam bentuk
,
, dan
disebut vektor-vektor komponen dari
koordinat tegak lurus X, Y, dan Z.
pada sistem
z
y
x
Panjang vektor
diberikan oleh
... 1.1
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
16
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Kemudian jika vektor satuan dari , maka
... 1.2
Berikut sifat-sifat aljabar vektor.
Sifat-sifat aljabar vektor:
Misalkan
, dan
adalah vektor-vektor,
dan
adalah skalar,
maka berlaku sifat-sifat:
a.
(komutatif pada penjumlahan)
b.
(asosiatif pada penjumlahan)
c.
(identitas pada penjumlahan)
d.
(identitas pada perkalian)
e.
(distributif perkalian skalar terhadap
vektor)
f.
(distributif)
g.
jika dan hanya jika
h.
i.
Himpunan vektor yang bergantung linear dan bebas linear
Himpunan vektor
disebut bergantung linear jika dan hanya jika ada
himpunan skalar
yang tidak semuanya nol, sehingga
.
Jika himpunan skalar
semuanya nol, maka himpunan vektor
tersebut dikatakan bebas linear.
Beberapa sifat dari himpunan vektor yang bergantung linear:
1. Jika
dan
adalah dua vektor kolinear/sejajar, maka kedua vektor
tersebut bergantung linear.
2. Jika , , dan adalah tiga buah vektor yang terletak pada sebuah bidang,
maka ketiga vektor tersebut bergantung linear.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
17
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
3. Jika , , , dan adalah empat buah vektor yang terletak dalam ruang
dimensi tiga, maka keempat vektor tersebut bergantung linear.
CONTOH SOAL
Contoh 1
Jika A = 3i + 2j + 4k, B = i + 3j - 2k, dan C = 2i – j. Carilah a. A + 2B – C ,
b. |A + 2B – C|, c. vektor satuan dari A + 2B – C.
Penyelesaian
a. A + 2B + C = (3i + 2j + 4k) + 2(i + 3j - 2k) - (2i – j)
= (3i + 2i - 2i) + (2j + 6j + j) + (4k – 4k)
= 3i + 9j
=
b. |A + 2B + C| =
c. Misalkan u adalah vektor satuan dari A + 2B – C, maka
u=
Contoh 2
Apakah A = 3i + j dan B = -i + 3j bergantung linear?
Penyelesaian
Jika A dan B bergantung linear, maka skalar a dan b tidak keduanya nol
sehingga aA + bB =0
a(3i + j) + b(-i + 3j) = 0
karena i dan j takkolinear, maka
(3a – b)i + (a + 3b)j = 0
sehingga
3a – b = 0
(1)
a + 3b = 0
(2)
dari (1) dan (2) diperoleh a = 0 dan b = 0.
Jadi, karena semua skalarnya 0 sehingga aA + bB = 0. Maka vektor A dan B
tidak bergantung linear (bebas linear).
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
18
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
LATIHAN TERBIMBING
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong
Latihan 1
Jika A = 3i – j – 4k, B = -2i + 4j – 3k, dan C = i + 2j – k. Carilah a. 2A – B + 3C,
b. |A + B + C|, c. |3A – 2B + 4C|, dan d. vektor satuan yang sejajar dengan
3A – 2B + 4C
Penyelesaian
a. 2A – B + 3C = 2 (....... - …… - …... – ….. .…. - …..) …… …… …… - ...…
= (…… …… …… (…… - …… ……
…… …… - ……
…… i …… j …… k
b. A + B + C = …… –…… – ……
…… …… ……
|A + B + C| =
…
…
…… …… – …… + …… …… – ……
…
…..
c. 3A – 2B + 4C … ..… –…… – ….. - … …… …… – …… +… ….. .….. – .…)
…… –…… – ……
…… …… – …… + …… …… – ……
= ....... …… ……
|3A – 2B + 4C| =
…
…
…
…..
d. Vektor satuan yang sejajar dengan 3A – 2B + 4C
=
Latihan 2
–
–
….
….
……
….
Misalkan A = i – j + 2k, B = 2i + 2j + k, dan C = 3i + j + 2k. Selidiki apakah A, B,
dan C bergantung linear?.
Penyelesaian
Jika A, B, dan C bergantung linear, maka skalar a, b dan c tidak semuanya nol
sehingga aA + bB + cC =0
a(i – …… ……
b …… …… …… c …… …… …… = 0
Karena i, j, dan k takkolinear, maka
(a + …… ……)i + (…… + 2b ……)j
…… …… …… k = 0
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
19
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
sehingga
…… + 2b …… = 0
…… ….. ……
…… ….. ……
(1)
(2)
(3)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh
4b …… ……
….. …… ……
(4)
Eliminasi persamaan (2) dan (3) diperoleh
…… …… ……
(5)
Eliminasi persamaan (4) dan (5) diperoleh
b ……
Substitusi b …… ke persamaan
c ……
diperoleh
Substitusi b …… dan c …… ke persamaan (1) sehingga diperoleh
a ……
Jadi, karena terdapat skalar a, b, c yang ……………… sehingga aA + bB + cC = 0.
Maka A, B, dan C …………….. linear.
LATIHAN MANDIRI
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia
Latihan 1
Carilah vektor satuan yang sejajar dengan resultan dari vektor-vektor
r1 = -5i + 4j + 2k dan r2 = 3i + 2j + k.
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
20
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Latihan 2
Dalam tiap-tiap kasus berikut apakah vektor-vektornya bebas linear atau
bergantung linear:
a. A = 2i + j – 3k, B = i – 4k, C = 4i + 3j – k
b. A = i – 3j + 2k, B = 2i – 4j – k, C = 3i + 2j – k
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
21
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Latihan 3
Jika a dan b adalah vektor-vektor takkolinear dan A = (x + 4y)a +
(2x + y + 1)b dan B = (y – 2x + 2)a + (2x – 3y – 1)b, maka carilah x dan y
sehingga 3A = 2B.
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
22
Buku
Kerja 1
Vektor dan Skalar
Kunci Jawaban
Latihan 1 :
Latihan 2 : a. bebas linear, b. bergantung linear
Latihan 3 : x = 2 dan y = -1
Kesimpulan
Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan
dari materi ini di tempat kosong di bawah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny
STKIP PGRI SUMBAR
23