Makalah Vektor Matematika - Makalah

MODUL MATEMATIKA
“

VEKTOR ”

Kementerian Pendidikan Nasional
Universitas Negeri Manado
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Jurusan Pendidikan Matematika
2007

1

Kata Pengantar
Modul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA dalam memahami
kompetensi konsep eksponen melalui penerapan belajar tuntas.
Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan sebanyak 4 milyar, menjelang tahun
2000 penduduk dunia akan mencapai 6,6 milyar. Bagaimana orang dapat meramalkannya? Ternyata
pertumbuhan penduduk dapat dinyatakan sebagai fungsi dari waktu, yang dapat dimodelkan secara
metematika mengikuti aturan vektor
Vektor telah dikenal sejak SMP dan ketika dikelas 1 SMA materi awal yang dipelajari adalah materi

aljabar linear (vektor). Dalam pembahasan modul ini, akan dikaji lebih dalam tentang . Ekspresi Vektor,
Operasi Aijabar Vektor, Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang
Vektor, Pembagian dalam Bentuk Koordinat.

Tondano, 12 Oktober 2007
Penyusun,

2

Daftar Isi
Halaman
Halaman Francis …………………………………………….................1
Kata Pengantar………………………………………………................ 2
Daftar Isi………………………………………………………................ 3
Peta kedudukan Modul..................................................................... 4
Glosarium......................................................................................... 6
Bab I

Pendahuluan

A. Deskripsi................................................................................ 7
B. Prasyarat............................................................................... 7
C. Petunjuk Penggunaan Modul.................................................8
D. Tujuan Akhir.......................................................................... 9 - 11
E. Kompetensi............................................................................ 11 - 13
F. Cek Kemampuan................................................................... 13

Bab II

Pembelajaran

A. Rencana Belajar Peserta Didik..............................................14 - 15
B. Kegiatan Belajar
1. Kegiatan Belajar 1............................................................. 16 - 31
2. Kegiatan Belajar 2............................................................ 32 - 41
3. Kegiatan Belajar 3............................................................ 42 - 52
4. Kegiatan Belajar 4 ........................................................... 53 - 72

Bab III Evaluasi
A. Evaluasi Kompetensi............................................................. 73 - 74

B. Kunci Evaluasi/Sistem Penilaian............................................ 75 - 80
Bab IV Penutup............................................................................ 81
Daftar Pustaka................................................................................ 82

3

Pembagian dalam Bentuk Koordinat

Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian
Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang
Vektor

Operasi Aijabar Vektor

Ekspresi Vektor

4

Memecahkan masalah dengan
Menggunakan Konsep Vektor

Aplikasi

Pembagian dalam Bentuk
Koordinat

Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar,
Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor

Operasi Aijabar Vektor

Ekspresi Vektor

Matriks

5

Glosarium

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.

Notasi Vektor PQ dapat dituliskan a atau a

Kesamaan Dua Vektor jika AB # CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis
CD maka AB = CD .

Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik P.

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali panjang
vektor a dan arahnya adalah
a. sama dengan arah vektor a jika k> 0
b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0
c. sama dengan nol jika k = 0

Jarak antara titik A(x1 + y1 + z1) dan B(x2 + y2 + z2) pada R3 sama dengan panjang vektor AB yaitu
│ AB │

6

Bab I
PENDAHULUAN

A. DESKRIPSI
Modul vektor terdiri atas 4 bagian proses pembelajaran sesuai dengan subkompetensinya yaitu :
1. Ekspresi vektor, sebagai kegiatan belajar 1 akan membahas tentang : pengertian vektor,
kesamaan dua vektor, vektor nol, vekktor posisi, vektor satuan, vektor dalam ruang , vektor basis,
panjang suatu vektor.
2. Operasi aljabar vektor, sebagai kegiatan belajar 2 akan membahas tentang penjumlahan vektor,
pengurangan vektor, hasil kali bilangan dengan vektor.
3. Rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor, sebagai
kegiatan belajar 3 akan membahas tentang rumus jarak, rumus pembagian.
4. Pembagian dalam bentuk koordinat, sebagai kegiatan belajar 4 akan membahas tentang hasil
kali skalar dua vektor, bentuk komponen perkalian skalar, besar sudut antara dua vektor, sifat –
sfaat perkalian skalar, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, perkalian silang dua
vektor.

B. PRASYARAT
Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah :





Memahami bentuk dan ciri matriks
Memahami invers matrik
Terampil dalam operasi hitung bilangan real

7

C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL
a. Penjelasan Bagi Peserta Didik
1. Bacalah modul ini dengan seksama mulai dari kata pengantar sampai dengan cek
kemampuan, kemudian pahami benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya.
2. Setelah Anda mengisi cek kemampuan, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang yang
masih harus mempelajari modul ini atau orang yang tidak lagi mempelajarinya karena sudah
menguasainya.
3. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi Anda
berkembang dengan baik.
4. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertianpengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan lembar latihan.

5. Dalam mengerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci jawaban terlebih
dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan.
6. Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban, hitung nilai yang Anda peroleh. Kemudian
kerjakan saran-saran sesuai dengan hasil latihan Anda.

b. Peranan Guru
1. membantu siswa dalam merencanakan proses belajar.
2. menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini.
3. membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang
diperlukan untuk belajar.
4. melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta didik
5. menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan
merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya.

8

D. TUJUAN AKHIR
Standar Kompetensi : - Menggunakan konsep vektor dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar

Kognitif

:
: - Dapat memahami dan menentukan ekspresi vektor dalam pemecahan
masalah
-

Dapat memahami dan menentukan

operasi aljabar vektor dalam

pemecahan masalah.
-

Dapat memahami dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor dalam

pemecahan

masalah.
-

Dapat memahami dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat
dalam pemecahan masalah.

Afektif

:

Siswa dengan senang menunjukkan kesiapan belajar matematika secara
bertanggung-jawab sehingga menunjukkan sikap yang positif dalam
mempelajari materi tentang vektor

Psikomotor

:

Siswa selalu menunjukkan kemahirannya setiap kali mengerjakan tugastugas yang membutuhkan keterampilan dalam mempelajari materi
tentang vektor.

Indikator Hasil Belajar :

Kognitif

: - Menjelaskan dan menentukan ekspresi vektor
- Menentukan penyelesaian ekspresi vektor
- Menjelaskan dan menentukan operasi aljabar vektor
- Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor
- Menjelaskan dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkalian
skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor
- Menentukan penyelesaian rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar,
proyeksi, dan perkalian silang vektor.
- Menjelaskan dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat
- Menentukan penyelesaian pembagian dalam bentuk koordinat.

9

Afektif

: - Siswa menunjukan sikap yang positif dalam kegiatan pembelajaran.
-

Siswa menenjukan kesiapan belajar.

-

Siswa selalu smemperhatikan pejelasan guru.

-

Siswa dengan serius mengikuti semua kegiatan pembelajaran.

-

Siswa selalu menanyakan apa yang belum di mengerti.

-

Siswa dengan kritis menanyakan pertanyaan pada guru.

-

Siswa merasa senang mengerjakan tugas.

-

Siswa dengan tekun mengukuti proses belajar mengajar.

-

Siswa dengan teliti mencermati penjelasan guru dalam mengerjakan
soal.

- Siswa selalu berusaha mencari solusi sebelum memperoleh
pemecahan.
- Siswa berusaha mau bertanya kepada teman yang tidak di mengerti.
- Siswa memberi diri mau bekerja sama dengan teman.
- Siswa dapat mencari soal yang sulit dan mampu memecahkanya.
- Siswa berinisiatif untuk membuat soal sendiri.
- Siswa selalu berusaha mencari buku sumber sesuai materi.
- Siswa selalu aktif mengikuti kegiatan mengenai

Psikomotor : -

Menuliskan simbol matematika seperti akar, ruang dimensi dua dan tiga
Menunjukan posisi badan yang baik dalam mengikuti kegiatan pembelajaran
Matematika

-

Melakukan pekerjaan dalam menyelesaikan soal secara teliti

-

Terbiasa menampilkan keterampilan gerakan fisik yang baik setiap belajar
matematika

10

E. KOMPETENSI : Menerapkan Ekspresi vektor
Sub

Kriteria

Lingkup

kompeten

kinerja

belajar

Materi pokok Pembelajaran
Kognitif

Afektif

Psikomotor

si
Mendeskri - Pengertian

1.Mengetahui

1. Memperlihatkan

1. Dapat

psikan

vektor,

dan

kesiapan dalam

menuliskan

ekspresi

Kesamaan

memahami

mengikuti

simbol-simbol

vektor

dua vektor,

pengertian

pembelajaran

(Notasi)

Vektor nol,

ekspresi

Vektor

vektor

posisi,

2. memperhatikan

2.Menentukan

Vektor

penyelesaian

satuan,

ekspresi

Vektor

vektor

khususnya dalam

dengan baik

materi vektor

setiap materi yang

tepat

diberikan
3. bertanya jika
belum dimengerti

dalam

2. Dapat
menggambar
ruang berdimensi
dua dan tiga.

ruang ,
Vektor
basis,
Panjang
suatu vektor

Mendeskri penjumlahan

1. Mengetahui

1 Mengikuti

1. Dapat

psikan

vektor,

dan

pembelajaran

menggambar

operasi

pengurangan

memahami

dengan serius

cara segitiga dan

aljabar

vektor, hasil

operasi vektor 2. Dengan antusias

vektor

kali bilangan

2. Menentukan

bertanya apabila

dengan

penyelesaian

ada materi yang

vektor

operasi

belum dimengerti

aljabar vektor

jajaran genjang

3. mengerjakan
latihan soal yang
diberikan guru

Mendeskri - Rumus

1. Menjelaskan
11

1.Selalu Berpikir

1. Dapat

psikan

jarak,

rumus jarak,

Kritis Ketika

menggambar

rumus

Rumus

perbandingan

pembelajaran

pembagian ruas

jarak,

pembagian.

, perkalian

berlangsung

garis AB dengan

perbandin

skalar,

apabila di dalam

perbandingan m :

gan,

proyeksi, dan

Materi Yang

n

perkalian

perkalian

disampaikan ada

skalar,

silang vektor

yang keliru

proyeksi,

2. Menentukan

2. Dapat
menggambar

2. Mau bertanya

pembagian ruas

dan

penyelesaian

kepada teman jika

garis AB dalam

perkalian

rumus jarak,

ada yang belum

bentuk vektor.

silang

perbandingan

dimengerti

vektor

, perkalian
skalar,
proyeksi, dan
perkalian
silang vektor

Mendeskri - Hasil kali

1. Menentukan

1. Selalu berpikir

psikan

skalar dua

Pembagian

kritis ketika

pembagia

vektor,

dalam Bentuk

pembelajaran

n dalam

bentuk

Koordinat

berlangsung

bentuk

komponen

apabila di dalam

vektor

perkalian

materi yang

skalar,

disampaikan ada

besar sudut

yang keliru

antara dua

2. Mau bertanya

vektor, sifat

kepada guru jika

– sfaat

tidak dimengerti.

perkalian
skalar,
proyeksi
ortogonal
suatu vektor
pada vektor
lain,
12

1

perkalian
silang dua
vektor.

F. CEK KEMAMPUAN
No

Pertanyaan

Ya

1

Apakah Anda telah memahami pengertian vektor ?

3

Apakah anda telah memahami definisi dan vektor ?

4

Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah

Tidak

penyelesaian vektor ?
5

Apakah anda telah memahami definisi vektor ?

6

Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah
penyelesaian definisi vektor ?

Jika Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka
pelajarilah materi tersebut dalam modul ini. Apabila Anda menjawab
BAB II
“YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan
tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.

13

BAB II
PEMBELAJARAN
A.

RANCANGAN BELAJAR SISWA
Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan, bahwa modul ini hanya sebagian
dari sumber belajar yang dapat Anda pelajari untuk menguasai kompetensi menerapkan konsep
aljabar. Untuk mengembangkan kompetensi anda dalam Substansi Non Instruksional, Anda perlu
latihan. Aktivitas-aktivitas yang dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi
matematika, juga mengembangkan kompetensi Substansi Non Instruksional. Untuk itu, maka
dalam menggunakan modul ini Anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah dirancang.

1. Buatlah rencana belajar Anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh
guru, untuk menguasai kompetensi Konsep vektor dengan menggunakan format sebagai
berikut.
N
o

Kegiatan
Tgl

Pencapaian
Jam Tempat

Mengetahui

Alasan
Perubahan bila
diperlukan

Paraf
Siswa
Guru

.............., ............ 20

Guru pembimbing

Peserta Diklat

(..............................)

(................................)

2. Rumuskan hasil belajar Anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan.
a. Untuk penguasaan pengetahuan, Anda dapat membuat suatu ringkasan menurut
pengertian Anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang
telah dipelajari. Selain ringkasan, Anda juga dapat melengkapinya dengan kliping terhadap
informasi-informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang Anda pelajari.

14

b. Tahapan pekerjaan Anda dapat dituliskan/digambarkan dalam diagram alir yang dilengkapi
dengan penjelasannya (siapa penanggung jawab setiap tahapan pekerjaan, siapa yang
terlibat, kapan direncanakan, kapan direalisasikan, dan hasilnya apa).
c. Produk hasil praktek dalam kegiatan ini dapat Anda kumpulkan berupa contoh benda
kerja, atau dalam bentuk visualisasinya (gambar, foto, dan lain-lain).
d. Setiap tahapan proses akan diakhiri dengan penilaian, lakukanlah diskusi dengan guru
pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang harus
diperbaiki/dilengkapi, maka Anda harus melaksanakan saran guru pembimbing Anda.

15

B.

KEGIATAN BELAJAR
1. Kegiatan Belajar 1 : Ekspresi Vektor
a. Tujuan Kegiatan Belajar 1
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :
1. Dapat mengetahui pengertian vektor,
2. Dapat menentukan kesamaan dua vektor,
3. Dapat memahami vektor nol,
4. Dapat memahami vekktor posisi,
5. Dapat memahami vektor satuan,
6. Dapat memahami vektor ruang ,
7. Dapat memahami vektor basis.
8. Dapat menentukan suatu vektor.
.
b. Uraian Materi

EKSPRESI VEKTOR
1. Pengertian Vektor
Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain
menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.
a. berapa jauh perpindahannya (jarak);
b. ke arah mana perpindahannya.

Perpindahan dari titik A ke titik B tersebut dapat digambarkan dengan suatu anak panah yang
berpangkal di A dan berujung di B. Panjang ruas garis AB menyatakan jauh perpindahannya,
sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan.
Anak panah yang menyatakan perpindahan itu disebut vektor. Jadi, vektor adalah besaran
yang mempunyai besar dan arah. Besaran seperti ini misalnya kecepatan, gaya, momen, dan
sebagainya.

A
Ganbar 5.1 perpindahan dari titik A ke titik B

16

Notasi Vektor
Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis
berarah menyatakan panjang (besar vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah vektor.
Vektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnya PQ .

PQ dapat dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak tebal atau
dengan huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas huruf itu, misalnya a atau a atau diberi
topi,misalnya
Q
a
P

a

Gambar 5.2 Notasi Vektor
Untuk vektor PQ dari gambar 5.2, titik P disebut titik pangkal (titik asal), sedangkan titik Q
disebut titik ujung (titik terminal).

2. Kesamaan Dua Vektor
a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB # CD dibaca :
ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB = CD . Dari pengertian ini
dapat disimpulkan bahwa sebuah vektor dapat digeser ke tempat lain dan tidak berubah
asalkan panjang dan arahnya sama dengan besar dan kedudukan vektor semula.
B
D
A
C
Gambar 5.3 Kesamaan dua vektor

Ingat !
Tanda # artinya sama dengan dan sejajar (bukan tidak sama
dengan)

17

b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. Dalam hal ini,
salah satu vektor dapat dinyatakan dengan vektor yang lain. Perhatikan Gambar 5.4 AB =
1
AB
2

2 CD . atau CD =

B

A

D
C

Gambar 5.4 vektor dengan arah yang sama tapi besarnya beda.

c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang dengan EF , tapi arahnya berlawanan. Dua
buah vektor disebut berlawanan apabila panjangnya sama, tetapi arahnya berlawanan. AB =
- EF atau EF = - AB
B
E
A
F
Gambar 5.5 Dua buah vektor yang berlawanan

d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yang
satu dapat dinyatakan dengan yang lain. Pada Gambar 5.6 tampak AB = - 3 EF atau EF =
1
AB
3

B
E
A

F

Gambar 5.6 Dua vektor yang berlawanan dengan panjang yang berbeda

3. Vektor Nol
Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tentu,
misalnya AA , BB , CC , dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor not dilambangkan dengan O

18

4. Vektor Posisi
Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik

 x1 
P. Jika koordinat titik P adalah (x1, y1) maka vektor posisi dari titik P adalah p = OP =  
 y1 
Y
P (x1, y1)
y1

p

O

x1

X

Gambar 5.7 Vektor posisi titik P

Hal ini berarti vektro p mempunyai komponen arah mendatar x1 dan komponen arah
vertikalnya adalah y1.
Jika titik A di R3 dengan koordinat A adalah (x1, y1, z1) maka vektor pasisi titik A adalah

Gambar 5.8 Vektor posisi titik A

 x1 
 
a = OA =  y1  sebaliknya, jika a =
z 
 1

 x1 
 
 y1  merupakan vektor posisi dari titik A, maka titik A
z 
 1

berkoordinat (x1, y1, z1)
5. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.
Vektor satuan dengan arah sumbu X, dinotasikan dengan i
Vektor satuan dengan arah sumbu Y, dinotasikan dengan j
Vektor satuan dengan arah sumbu Z, dinotasikan dengan k

19

Sehingga untuk vektor di R2 adalah
1 
i =  
0

0
j =  
1 

Y

B (0,1)

j
O

A (1,0)
i

X

Gambar 5.9 Vektor satuan pada R2
Sedangkan untuk di R3 adalah

1 
 
i = 0 ;
0
 

0
 
j = 1  ; k =
0
 

0
 
0
1 
 

Gambar 5.10 Vektor satuan pada R3

Catatan :
Kita sudah mengenal tentang vektor satuan, yaitu vektor yang
panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari suatu vektor a adalah
vektor yang arahnya sama dengan arah vektor a dan panjangnya

1
a

20

6. Vektor dalam Ruang
a. Vektor di R2
Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2 atau R2. Untuk menyajikan vektor di R2,
diperlukan susunan sumbu-sumbu koordinat. Untuk memudahkan perhitungan dipilih susunan
sumbu-sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu mendatar atau sumbu X dan sumbu vertikal
atau sumbu Y.
Vektor di R2 ditandai dengan berapa jauh perpindahan ke kanan atau ke kiri dan berapa jauh
perpindahan ke atas atau ke bawah. Perpindahan ke kanan diberi tanda positif, ke kiri diberi
tanda negatif, perpindahan ke atas diberi tanda positif, dan ke bawah diberi tanda negatif.
Dengan demikian vektor pada R2 dinyatakan dalam dua komponen mendatar dan vertikal.

AB artinya perpindahan dari titik A ke titik B. Pada Gambar 5.11 terlihat titik A (1, 1) dan

 1
dituliskan sebagai vektor kolom a =   dan titik B (4, 3) dengan- vektor kolom b =
 1

Gambar 5.11 Vektor dalam ruang dimensi dua

AB = b - a
 4
=   3

 1
  =
 1

3
 
 2

Dengan cara yang sama kita dapatkan:
  4
CD =  
1 
0 
EF =  
  4

4 
GH =  
  2

21

 4
 
3

b. Vektor di R3
Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3 atau R3. R3 ditandai dengan tiga buah
sumbu yang saling berpotongan. Untuk memudahkan dalam perhitungan, dipilih tiga sumbu yang
berpotongan saling tegak lurus (ortogonal) yang dikenal dengan:
1) arah ke depan atau ke belakang disebut sumbu X;
2) arah ke kanan atau ke kiri disebut sumbu Y;
3) arah ke atas atau ke bawah disebut sumbu Z.
Seperti Gambar 5.12 (i). Kemudian sumbu koordinat seperti Gambar 5.12 (i) diputar ke
kanan diperoleh sumbu koordinat Gambar 5.12 (ii).

Z

Z
Y
Y

O
O

X

X

Gambar 5.12 Vektor dalam ruang dimensi tiga

Contoh :
ABCD.EFGH adalah sebuah balok dengan AB = 4; AD = 2; AE = 6, dan sisi-sisinya sejajar
dengan sumbu
koordinat dengan koordinat A (0, 1, 0), B (4, 1, 0), E(0, 1, 6), F (4, 1, 6), G (4, 3 6) H (0, 3, 6) dan
titik koordinat lainnya dapat ditentukan (perhatikan Gambar5.13).

0
0
 
 
Misalkan titik A (0, 1, 0) dituliskan sebagai a = 1  dan titik E (0, 1, 6) dituliskan sebagai e = 1 
6
0
 
 
maka

AE = e - a

0
 
= 1  6
 

0
 
1  =
0
 

0
 
0
6
 
22

Z

Gambar 5.13 Balok ABCD.EFGH

Dengan cara yang sama didapatkan:

 4
 
AF =  0  ; AG =
6
 

 4
  4
 
 
 2  ; BH =  2 
6
6 
 
 

7. Vektor Basis
a. Vektor Basis di R2
Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OP merupakan titik terminal/ujung
dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat. Dari gambar tampak bahwa:
OP = OQ + QP
di mana OP = P

OQ = x1 i
QP = y1 j
sehingga dapat dituliskan :

P = x1 i + y1 j
Bentuk vektor ini disebut vektor basis i dan j

Gambar 5.14 Vektor basis pada R2

23

Jadi, setiap vektor di R2 dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari dua vektor
basis i dan j dalam bentuk
:

P = x1 i + y1 j

x1 dan y1 berturut-turut disebut komponen-komponen mendatar dan vertikal dari vektor P .

catatan
Vektor dapat disajikan dalam bentuk :
a. vektor basia, yaitu P = (x1, y1)
x 
b. vektor kolom, yaitu P =  1 
 y1 

b. Vektor Basis di R3
Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan r adalah vektor posisi R, maka komponenkomponen r dapat dinyatakan sebagai:
x1 i (searah dengan OX )
y1 j (searah dengan OY )
z1 k (searah dengan OZ )
Z

Gambar 5.15 Vektor basis pada R3
dan dari Gambar 5.15 tampak bahwa bentuk vektor ini merupakan kombinasi linear dari vektorvektor basis i , j , k
OR = OP + PR
OR = OQ + QP + PR , sehingga
24

OR = r = x1 i + y1 j + z1 k

r = x1 i + y1 j + z1 k

Jadi, setiap vektor F dalam ruang (di R3) dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tiga
vektor basis i , j , dan k yang tidak sebidang dalam bentuk:

Catatan :
Sebuah vektor dalam ruang dapat disajikan dalam
bentuk:
a. vektor baris, yaitu r = (x1, y1, z1)
b. vektor kolom, yaitu r =

 x1 
 
 y1 
 
 z1 

8. Panjang Suatu Vektor
Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan panjang
ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektor P ditulis dengan P .
a. Vektor di R2

x 
Jika p adalah titik (x1, y1) maka OP = P =  1 
 y1 
Y
P(x1, y1)
P
O

Q

X

Gambar 5.16 Panjang vektor P di R2

Dengan menggunakan pythagoras maka

OP

2

=

OQ

2

+

QP

2

(perhatikan Gambar 5.16)

2

P = x12 + y12 ( karena OP = P )
2

P =

x1  y 1
2

2

25

2
 x1 
Jadi, jika P =   maka panjang vektor P adalah P =
 y1 

x1  y1
2

2

b. Vektor di R3

 x1 
 
Misalkan OR = r =  y1  adalah vektor
z 
 1

Gambar 5.17 panjang vektor r di R3
posisi di R3 seperti pada Gambar 5.17. Dengan menggunakan pythagoras, maka

OR

2

= OP
= OQ

OR
r

2

=

2

2

+

+

PR
QP

2

2

+

PR

2

= x12 + y12 + Z12 (perhatikan Gambar 5.17)

X 1  Y1  Z1 ( karena OR = r )
2

2

2

 x1 
 
Jadi, r =  y1  , panjang vektor r adalah
z 
 1

r

=

X 1  Y1  Z1
2

2

2

C Rangkuman Kegiatan Belajar 1

1. Pengertian Vektor
Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain
menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.
a. berapa jauh perpindahannya (jarak);
b. ke arah mana perpindahannya.

26

2. Kesamaan Dua Vektor
a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB # CD dibaca
:

ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB = CD .
b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan.
c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang dengan EF , tapi arahnya berlawanan.
d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor
yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain.

3. Vektor Nol
Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tentu,
misalnya AA , BB , CC , dan semacamnya disebut vektor nol.

4. Vektor Posisi
Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik
P.

5. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.

6. Vektor dalam Ruang
a. Vektor di R2
Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2 atau R2.
b. Vektor di R3
Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3 atau R3. R3 ditandai dengan tiga
buah sumbu yang saling berpotongan.

7. Vektor Basis
a. Vektor Basis di R2
Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OP merupakan titik terminal/ujung
dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat.
b. Vektor Basis di R3
Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan r adalah vektor posisi R, maka komponenkomponen r dapat dinyatakan sebagai:
27

x1 i (searah dengan OX )
y1 j (searah dengan OY )
z1 k (searah dengan OZ )
8. Panjang Suatu Vektor
Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan
panjang ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektor P ditulis dengan P .

d. Tugas Kegiatan Belajar
Diskusikan soal-soal LKS tentang ekspresi vektor untuk dipresentasikan.

e.

Tes Formatif
1. Nyatakan titik-titik berikut dengan vektor posisi dalam bentuk komponen vektor kolom!
a. A (2, 3) dan B (-1, 4)

b. P (2, 1, 4) dan Q (3, 2, -5)

 2
  1
 
 
2. Nyatakan vektor-vektor a =  3  dan c =  0  sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k
1 
3 
 
 

3. Diketahui p = i - 2 j + 2 k dan q = 3 i + j - 2 k carilah
a.

P

b.

Q

c.

PQ

d.

Vektor satuan dari p

28

f.

Kunci Jawaban

 2
3 
 
 
b. p = 1  ; q =  2 
 4
  5
 
 

 2
  1
1. a. a =   ; b =  
3
4 

2. a = 2 i + 3 j + k
c = -i + 3 k

1 
 
3. p =   2  ; q =
2 
 

3 
 
1 
  2
 

a.

P = 12  (2) 2  2 2 = 1  4  4 = 3

b.

Q =

3 2  12  (2) 2 =

9  1  4 = 14

1   3 
   
c. Untuk menghitung P  Q , tentukan dulu p + q ; p + q =   2  + 1  =
 2    2
   

PQ =

4 2  (1) 2  0 2 = 16  1 = 17

d. vektor satuan dari p =

p

=

p

4 
 
  1
0 
 

2
i 2 J  2 K 1 2
= i- j+ k
3
3 3
3

g. Lembar Kerja Siswa (LKS)
Untuk lebih memahami apa yang telah anda baca, kerjakanlah soal-soal berikut. Anda dapat
mengarjakannya secara berkelompok belajar anda (3-4 orang).
1. Diketahui : a = 3 i + 2 j + 4 k
b = i - j + 2k
c = i + 3k
Nyatakan hasil penjumlahan vektor-vektor berikut sebagai vektor kolom!
a. a + b
b. b + c
c. ( a + b ) + c
29

d. a + ( b + c )
e. Apakah a + b = c + a , bila berlaku sifat apakah itu?
f. Apakah ( a + b ) + c = ( a + b ) + c , bila berlaku sifat apakah itu?

2. OABC•DEFG adalah balok yang rusuk-rusuknya pada sumbu X, Y, dan Z. Jika OA = 4; OC =
3, dan OD = 6, nyatakanlah vektor-vektor berikut sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k

a. OB

e. AF

b. AC

f. BD

c. FC

g. AG

d. EB

2 
 
3. Jika p =   4  dan q =
6 
 

 4
 
 4
7
 

Tentukan: a. P
b. Q

4. Diketahui:

c. P  Q
d. vektor satuan dari p dan q

a. 2 i - 3 j + 4 k

c. 3 i + 2 j + 3 k

b. - i + 5 k
Carilah:
a. a + b + c

c. vektor satuan dari a + b + c

b.│ a + b + c │
30

5. Diketahui vektor a = 4 i + 4 j + 2 k dan b = 2 i + 3 j - 5 k
a. Carilah │ a │ dan│ b │

c. Apakah │ a + b │= a + b

b. Carilah a b dan│ a + b │
h. Tingkat Penguasaan
Rumus :

Tingkat Penguasaan =

Jumlah Skor yang diperoleh
x100%
15

Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda
capai sebagai berikut:
1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan
dengan kegiatan belajar 3.
2.

60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih
seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan
bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

31

2. Kegiatan Belajar 2 : Operasi Aljabar Vekto r
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :
1. Dapat menentukan penjumlahan vektor,
2. Dapat menetukan pengurangan vektor,
3. Dapat menentukan hasil kali bilangan dengan vektor

b.

Uraian Materi

OPERASI ALJABAR VEKTOR
1 Penjumlahan Vektor
Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh dengan
menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan dengan cara
segitiga dan cara jajar genjang.

a. Cara Segitiga
Perhatikan Gambar 5.18

b

b

b

a
a

a
(i)

(ii)

Gambar 5.18 Penjumlahan vektor (i) cara segitiga (ii) cara jajar genjang

Jumlah vektor a dan vektor b yang merupakan vektor c dapat ditentukan dengan
memindahkan vektor b (tanpa mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal vektor b
berimpit dengan titik ujung vektor a .
32

Vektor c diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor a dengan titik ujung vektor
b yang telah dipindahkan. Penjumlahan vektor ini dikenal dengan cara segitiga Gambar 5.18(i).

b. Cara Jajar Genjang
Jumlah dari vektor a dan vektor b adalah vektor c yang
Tugas

dapat ditentukan dengan memindahkan vektor b (tanpa
mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal

Penjumlahan tiga vektor atau

vektor b berimpit dengan titik pangkal vektor a .

lebih dapat dilakukan dengan

Vektor c yang dimaksud adalah vektor yang titik

menggunakan aturan poligon
seperti berikut.

pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor a dan

P4

vektor b , serta titik ujungnya adalah titik sudut keempat
dari jajar genjang yang dibentuk oleh a dan b .
Cara menjumlahkan vektor seperti ini dikenal
dengan cara jajar genjang Gambar 5.18(ii).

Perhatikan Gambar 5.19 dari cara segitiga terlihat bahwa:
c= a + b

PR = PQ + QR

Gambar 5.19 Penjumlahan vektordengan cara segitiga

Dengan memperhatikan pola penjumlahan itu maka:

AB = AC + CB (untuk titik-titik, A, C, dan B)
AB = AP + PB (untuk titik-titik A, P, dan B)
AB = AD + DL + LB (untuk titik-titik A, D, L, dan B), dan seterusnya.

33

P5

P3

Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor
1) Komutatif
Perhatikan Gambar 5.20 (PQRS adalah jajar genjang)!
Misalkan PQ = a ,

SR = a

Misalkan PS = b ,

QR = b .

S

R

b

PR = PQ + QR = a + b
PR = PS + SR = b + a
Jadi, a + b

P

= b+ a

Q

a

Gambar 5.20 penjumlahan vektor secara

komulatif
Berarti penjumlahan pada vektor bersifat komutatif.

2) Asosiatif
Perhatikanlah Gambar 5.21!
SPQR adalah suatu limas segitiga

PQ = a , QR = b , RS = c
Maka:

S

( a + b ) + c = ( PQ + QR ) + RS
= PR + SR

c

= PS
a + ( b + c ) = PQ + ( QR + RS )

P

= PQ + QS

a

b

R

Q

= PS

Gambar 5.21 Penjumlahan vektor secara asosiatif

Jadi, ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Berarti penjumlahan pada vektor bersifat asosiatif.
Tugas
1
Jika a =   , b =
2

2
  dan c =
3

3
  , apakah a - b + c = a - ( b + c )?
4

Bagaimanakah dengan ( a + b ) - c , apakah sama dengan a + ( b - c )?

34

3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O (vektor nol) Sebab untuk semua vektor a berlaku
a + o= o+a= a

4) Lawan suatu vektor
Lawan atau invers jumlah atau negatif dari suatu vektor a
adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor a

a

menghasilkan vektor nol. Lawan dari vektor a ditulis
dengan - a . Apabila digambarkan dengan ruas garis berarah,

-a
Gambar 5. 22 Lawan dari

sebuah vektor
lawan dari vektor a adalah vektor yang panj angnya
sama dengan vektor a , tetapi arahnya berlawanan dengan vektor a .
Jadi, setiap vektor a mempunyai invers jumlah (lawan).
Sebab: a + (- a ) = (- a ) + a = o

2. Pengurangan Vektor
Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . Misalkan selisih vektor a dengan
vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan
vektor b .
Jadi, c = a - b = a + (- b )
Secara geometris selisih (pengurangan) vektor a dengan vektor b dapat diperlihatkan pada
Gambar 5.23.

Gambar 5.23 Pengurangan vektor

35

a - b = a + (- b )
= PQ + PS
= PT = RQ
Dari ∆ PQR terlihat bahwa :

PQ - PR = RQ

3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor
Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali
panjang vektor a dan arahnya adalah
a. sama dengan arah vektor a jika k> 0
b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0
c. sama dengan nol jika k = 0

Gambar 5.24 Hasil kali bilangan dengan vektor
1 
Jika a =   , maka 2 a = 2
  2

2 
 
Jika b =  3  , maka 3 b = 3
  4
 

1 
  =
  2

2 
 
3  =
  4
 

2 
 
  4

6 


9 
 12 



 p
 p
 
 
Secara umum, bila a =  q  maka k a = k  q  =
r 
r 
 
 

 kp 
 
 kq 
 kr 
 

Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor
Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka:
1 k (- a ) = - (k a )= - k a
2 k (l a ) = (kl) a
3 (k + l) a = k a + l a
36

4 k( a + b ) = k a + k b

c. Rangkuman Kegiatan Belajar 2
OPERASI ALJABAR VEKTOR
1. Penjumlahan Vektor
Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh dengan
menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan dengan
cara segitiga dan cara jajar genjang.
a. Cara Segitiga
b. Cara Jajar Genjang
Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor
1) Komutatif
2) Asosiatif
3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O (vektor nol) Sebab untuk semua vektor a
berlaku a + o = o + a = a
4) Lawan suatu vekto

2. Pengurangan Vektor
Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . Misalkan selisih vektor a dengan
vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan
lawan vektor b .

3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor
Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│
kali panjang vektor a dan arahnya adalah
a. sama dengan arah vektor a jika k> 0
b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0
c. sama dengan nol jika k = 0
Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor
Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka:
1. k (- a ) = - (k a )= - k a
2. k (l a ) = (kl) a
37

3. (k + l) a = k a + l a
4. k( a + b ) = k a + k b

d.

Tugas Kegiatan Belajar
Diskusikan soal-soal yang ada di LKS tentang operasi aljabar vektor untuk dipresentasikan..

e.

Tes Formatif

1. ABCD adalah jajar genjang dengan AB = u , AD = v , titik E dan F masing-masing titik
tengah DC dan BC . Nyatakan vektor-vektor berikut dalam u dan v
a. AE

b. EF

c. AF

2. Diketahui A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4) tunjukkan titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan
carilah AB : BC

3. Diketahui titik-titik A(-2, 5, 4), B(2, -1, -2), dan C( p, q, l). Jika A, B, dan C segaris, carilah
nilai p dan q.

f. Kunci Jawaban
1. a. AE = AD + DE
= v +
b.

D

C

1
1
u = u+ v
2
2

EF = EC + CF

v

1
1
u- v
2
2

A

=

E

c. AF = AB + BF
= u+

F
u

B

Gambar 5.25 Jajaran genjang ABCD

1
v
2

2. Langkah untuk menyelesaikan contoh soal 2 di atas adalah
1. Informasi dari soal memberikan tiga buah titik yang terletak pada sumbu - sumbu
koordinat x - y, yaitu A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4)
38

2. Dari titik-titik koordinat yang diketahui tersebut akan ditunjukkan bila titik A, B, dan C
segaris (kolinear) serta akan dicari perbandingan AB dan BC (AB: BC)
3. Untuk menunjukkan titik-titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan mengetahui perbandingan
AB : BC, dihitung nilai AB dan AC , yaitu

AB = b - a
 4
=    2

AC = c - a

 1
  =
 1

 3
 
1 

10 
=   4 

2 
 
3. AB = b - a =   1    2
 
 p
 
BC = c - b =  q  l 
 

 1
  =
 1

  2
 
5  =
4 
 

2 
 
 1  =
  2
 

9
 
3

4 
 
  6
  6
 

 p  2


 q 1 
3




Karena A,B, dan C segaris maka:

AB = m ∙ BC

4 
 
  6 = m
  6
 

 p  2


 q  1  , diperoleh m = -2
3




4 = -2 (p - 2)

-6 = -2(q + 1)

4 = -2p + 4

3=q+1

2p = 0

q=2

p =0

39

g. Lembar Kerja Siswa (LKS)
1. ABCD jajar genjang bila AB = a , AD = b , titik E perpotongan diagonal AC clan BD .
Nyatakan dengan a dan b vektor - vektor tersebut!
D

C
E

b

A

a. AC

d. BE

b. AE

e. ED

c. BD

f. EB

B

a

2. Dari gambar soal nomor 1, nyatakan selisih-selisih vektor berikut sebagai ruas garis berarah
tunggal!
a. AE - AD

c. BE - BC

b. AB - AC

d. CD - CB

3. Nyatakan vektor-vektor berikut dengan sebuah vektor tunggal!
a. AB + BC + CD + DE
b. AD + DC + CE + EK
c. AD - AB + CB - CD

  1
2 
 
 
4. Diketahui a =  2  , b = 1  , dan c =
3 
  2
 
 

 1 
 
  2
3 
 

Hitunglah:
a. 2 a + b - c

b. 3 a + 2 b + 4 c

c. 4 a + 3 b - 2 c

5. Diketahui: a = 3 i + 4 j + 5 k
b = i + 3k
c

= -2 i + 3 j - 4 k

Nyatakan sebagai vektor kolom!
a. a + b

d. ( a + b ) + c

b. b + a

e. a + ( b + c )

c. b + c

f. Apakah berlaku sifat komutatif dan asosiatif
40

h. Tingkat Penguasaan
Rumus :

Tingkat Penguasaan =

Jumlah Skor yang diperoleh
x100%
15

Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda
capai sebagai berikut:
1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan
dengan kegiatan belajar 3.
2.

60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih
seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan
bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

41

3. Kegiatan Belajar 3 : Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan
Perkalian Silang Vektor.
a. Tujuan Kegiatan Belajar 3:
Setelah selesai mempelajari uraian kegiatan ini, anda diharapkan dapat :
1. Mengetahui dan memahami rumus jarak
2. Mengetahui rumus pembagian.

b. Uraian Materi :

1. Rumus Jarak

 x1 
 
Diberikan titik A(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a =  y1  dan titik B(x2 + y2 + z2) dengan
z 
 1

 x2 
 
vektor posisi b =  y 2 
z 
 2

Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yaitu
│ AB │

AB = b - a

 x2 
 
=  y2  z 
 2

 x1 
 
 y1  =
z 
 1

 x2  x1 


 y 2  y1 
z  z 
 2 1

Z
Ingat
Jarak antara titik A(x1 + y1 +
z1) dan B(x2 + y2 + z2) pada R3
sama dengan panjang vektor
X
O
Gambar 5.26 Menentukan rumus jarak
│ AB │=

x2  x1 2   y2  y1 2  z 2  z1 2

42

Contoh :
1. Diketahui titik A(5, 7, -5), B(4, 7, -3), dan C(2, 7, -4). Perlihatkan dengan rumus jarak bahwa
∆ABC siku-siku sama kaki!
Jawab:
Untuk menyelesaikan contoh di atas dilakukan langkah-langkah berikut
1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki oleh
tiga buah titik, yaitu A (5, 7, -5), B (4, 7, -3), clan C (2, 7, -4).
2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bahwa
segitiga ABC yang disusun dari titik-titik A, B, dan C memang siku-siku sama kaki.
3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan sebuah
segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90°, sehingga dalam segitiga tersebut
berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga yang akan
dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebagai
berikut.

r

=

x2  x1 2   y2  y1 2  z 2  z1 2

4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu, yaitu
│ AB │=

4  52  7  7 2   3  52 =

│ AC │=

=

│ BC │=

2  52  7  7 2   4  52

2  42  7  72   4  32 =

1 0  4 =

5

4  0 1 =

5

9  0  1 = 10

5. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh
AB2 = 5

BC2 = 5

AC2 = 10

Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC , maka segitiga itu adalah sama
kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras yang
menyatakan AB2 + BC2 = AC2. Jadi, segitiga ABC siku-siku di B dan sama kaki.

2. Buktikan bahwa titik-titik A(1, 3, -1), B (3, 5, 0), dan C(-1, 4, 1) adalah titik-titik sudut segitiga
siku-siku sama kaki.
Jawab:
Masalah ini dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut.
1. Memahami masalah
Apa yang diketahui situasi ini, kita cari jarak dua titik dengan teorema pythagoras atau
dengan dot product.
43

2. Merencanakan penyelesaian
Dengan jarak dua titik =
atau cos x =

a b

x1  x2 2   y1  y2 2  z1  z 2 2

ab

3. Melaksanakan perhitungan
│ AB │=
│ AC │=
│ BC │=

1  32  3  52   1  02

=

1  12  3  42   1  12 =

3  12  5  42  0  12 =

4  4 1 = 3

4 1 4 = 3

16  1  1 = 15 = 3 2

Hasil perhitungan: │ BC │= │ AB │2+ │ AC │2
Jadi, segitiga ABC siku-siku sama kaki dan siku-siku di A.

 3  1 
   
Cara lain AB = b - a =  5  -  3  =
 0   1
   
  1 1 
   
AC = c - a =  4  -  3  =
1   1
   

 2
 
 2
1 
 

  2
 
1 
2 
 

A (1, 3, -1)

B(3, 5, 0)

C(-1, 4, 1)

Gambar 5.27 Segitiga siku-siku sama kaki.
Cos A =

422
=0
33

Jadi A = 90°
∆ ABC siku-siku di A.

44

2. Rumus Pembagian
Sebelum membahas tentang pembagian suatu ruas garis dengan menggunakan konsep
vektor, terlebih dulu dibahas pembagian pada ruas garis dengan perbandingan m : n.

a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n
Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m: n sedemikian rupa
sehingga AP : PB = m : n.
a. Jika P membagi di dalam, AP dan PB mempunyai arah yang sama sehingga m dan n
mempunyai tanda yang sama.
b. Jika P membagi di luar, AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan sehingga m dan n
berlawanan tanda

A

P

B

A

B

(a)

P

(b)

Gambar 5.28 (a) Titik P membagi garis AB di dalam garis (b) Titik P membagi garis AB di luar
garis

Contoh :
Perhatikan gambar berikut ini, dari gambar tersebut dapat ditulis perbandingan ruas garis,
sebagai berikut.
AP : PB = m : n

m

n

AP : AB = m : (m + n)
A

P

AP : PB = m : -n

B

m

AP : AB = m: (m - n)

n
A

B

P

AP : PB = 1 : 1
AP : AB = 1 : 2
A

P

45

B

AP : PB = 2 : 1
AP : AB = 2 : 3
A

P

B

AP : PB = 4 : -2 = 2 : -1
AP : AB = 4: 2 = 2 :1
A

B

P

Gambar 5.29 Pembagian ruas garis

b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor
Perhatikan Gambar 5.30!
Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n, P antara
A dan B, maka

p=

mb  n a
mn

O
Gambar 5.30 Pembagian ruas garis AB dengan Perk.dingan m : n
Bukti:
AP : PB = m : n
Untuk semua letak P : AB , di dalam maupun di luar berlaku:

AP : PB = m : n
n ( p - a ) = m (b - p )
n p - n a = mb - m p
m p + n p = mb + n a
(m + n) p = m b + n a

46

p=

mb  n a
(terbukti)
mn

O
Gambar 5.31 Pembagian ruas garis AB dalam bentuk vektor

Contoh:
1. Bila a , b , dan c adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B, dan C dari ∆ABC. Titik D pada
AC sehingga AD : DC = l : 2. Titik E pada BC sehingga EC : EC = 3 : 1
Nyatakan DE dalam a , b , dan c

Jawab:
d=
e =

C

1 c  2  a 1
= ( c +2 a )
1 2
3

D

3  c  1 b 1
= (3 c + b )
3 1
4

E

A

B

Gambar 5.31 pembagi ruas garis AB dalam bentuk vektor

DE = e - d =
=

1
1
(3 c + b ) - ( c +2 a )
4
3



 

3 3c  b  4 c  2a
12



=

1
(9 c +3 b - 4 c - 8 a )
12

=

1
(-8 a + 3 b - 5 c )
12

Catatan :
- Dalam hal ini untuk pembagian di luar,
rumus" akan lebih mudah digunakan
bila angka numerik m dan n yang lebih
besar diambil positif (misalnya 3 : -2
lebih mudah daripada -3 : 2).
- Jika P di tengah-tengah AB, m : n =1 : 1

47

2. Carilah vektor letak titik P dan Q yang membagi AB di dalam dan di luar dengan perbandingan
5:3
Jawab:
Untuk P, m : n = 5: 3

Maka p =

Untuk Q, m : n = 5 : -3

mb  n a
mn

=

5b  3a
53

=

1
(5 b +3 a )
8

Maka q =
=

mb  n a
mn

5b  3a
53

1
= (5 b -3 a )
2

c. Rangkuman kegiatan belajar 3:
1. Rumus Jarak

 x1 
 
Diberikan titik A(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a =  y1  dan titik B(x2 + y2 + z2) dengan
z 
 1

 x2 
 
vektor posisi b =  y 2 
z 
 2

Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yaitu
│ AB │

AB = b - a

 x2 
 
=  y2  z 
 2

 x1 
 
 y1  =
z 
 1

 x2  x1 


 y 2  y1 
z  z 
 2 1

2. Rumus Pembagian
a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n
Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m: n sedemikian rupa
sehingga AP : PB = m : n.
b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor
Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n, P antara
A dan B, maka
48

p=

mb  n a
mn

d. Tugas Kegiatan Belajar
Kerjakan soal-soal yang terdapat dalam LKS tentang rumus jarak, perbandingan, perkalian
skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor untuk dipresentasikan.

e. Tes Formatif
1. Sebuah pesawat terbang tinggal landas dari bandaraAdi Sucipto menuju bandara
Soekarno-Hatta. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat terbang tersebut bila pesawat
tersebut bergerak dari titik x (100, 60, 8) km menuju kota Jakarta sebelum mendarat yang
berposisi di titiky (300, 30, 18) km?
2. Hitung jarak antara titik-titik berikut!
a. O (0,0,0) dan P (4, 4, 2)
3. Tunjukkan bahwa P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11) adalah titik-titik sudut segitiga
sama kaki!
4. Pergunakan rumus p =

mb  n a
untuk menyatakan vektor-vektor posisi dari titik berikut
mn

dengan a dan b
a. C, membagi AB dengan perbandingan 3 : 2
b. D, membagi AB dengan perbandingan 3: -2

f. Kunci Jawaban
1. Jarak yang di tempuh pesawat terbang yang tinggal landas menuju Jakarta di hitung
dengan rumus jarak:

r

=

x2  x1 2   y2  y1 2  z 2  z1 2

Posisi awal pesawat terbang adalah x (100, 60, 8) km dengan titik tujuannya adalah y
(300, 20, 8) km. Jadi jarak yang ditempuh pesawat tersebut adalah

r

=
=

300  1002  20  602  10  82
2002  402  22

=

40000  1600  4

=

41604
49

= 203,97 km

2. O =

0

OP =

P=

4

0

4

0

4
4

0

4
4
│ OP │=

-

0
0

4  02  4  02  4  02

= 16  16  16

OP =

48

3, Untuk menyelesaikan soal di atas dilakukan langkah-langkah berikut
1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki
oleh tiga buah titik, yaitu P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11)
2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak
bahwa segitiga PQR yang disusun dari titik-titik P, Q, dan R memang siku-siku sama
kaki.
3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan
sebuah segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90°, sehingga dalam
segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi
segitiga yang akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan
rumus jarak sebagai berikut.
=

r

x2  x1 2   y 2  y1 2  z 2  z1 2

4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu,
yaitu
│ PQ │=
│ PR │=
│ QR │=

 9  3