SMP Negeri 22 Bandung 14 Materi Pelajara
IX - Gs
BAB 1
Kesebangunan dan Kekongruenan
Dua bangun datar yang sebangun
1.
Kedua bangun di atas, ABCD dan KLMN adalah dua bangun yang sebangun,
karena memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
a.
Pasangan sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama, yaitu
:
Pasangan sisi AD dan KN =
Pasangan sisi AB dan KL =
Pasangan sisi BC dan LM =
Pasangan sisi CD dan MN =
Jadi,
b.
Besar sudut yang bersesuaian sama,
yaitu :
2.
Dua segi tiga yang sebangun
Segitiga ABC dan PQR adalah sebangun, karena memiliki sifat :
a.
Perbandingan sisi yang sama besar bersesuaian sama besar, yaitu :
AC bersesuaian dengan PR =
AB bersesuaian dengan PQ =
BC bersesuaian dengan QR =
Jadi,
Jadi,
b.
Besar sudut-sudut yang bersesuaian sama,
yaitu :
Perhatikan segitiga berikut !
dan
sebangun, maka :
Pada segitiga siku-siku dapat dibuat garis tinggi ke sisi miring, maka
diperoleh rumus :
AB2 = BD x BC
AC2 = CD x CB
AD2 = BD x CD
Kongruenan Bangun
1.
Dua bangun datar yang kongruen
Perhatikan dua bangun datar berikut !
KL = PQ
LM = QR
MN = RS
NK = SP
KLMN dan PQRS kongruen. Dua bangun dikatakan kongruen jika kedua bangun
tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama.
2.
Dua segitiga yang kongruen
Secara geometris dua segitiga konsruen adalah dua segitiga yang saling
menutpi dengan tepat. Sifat dua segitiga kongruen :
a.
Pasangan sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
b.
Sudut yang bersesuaian sama besar.
Syarat dua segitiga kongruen adalah sebagai berikut :
a.
Tiga sisi yang bersesuaian sama besar (sisi, sisi, sisi)
AB = PQ (sisi)
AC = PR (sisi)
BC = QR (sisi)
b.
Dua sisi dan satu sudut apit yang bersesuaian sama besar (sisi, sudut,
sisi)
AB = PQ (sisi)
BC = QR (sisi)
c.
Satu sisi api dan dua sudut bersesuaian sama besar (sudut, sisi, sudut)
AC = RP (sisi)
CONTOH SOAL
Pada gambar di bawah diketahui AB = 6 cm dan BC. Tentukan
a. AC;
b. AD;
c. BD.
Jawab:
a. AC2 = AB2+BC2
= 62 + 82
= 36+64
= 100
AC = √100 = 10
b. AB2 = AD x AC
62 = AD x 10
36 = AD x l0
AD =36/10
= 3,6 cm
DC = l0 cm – 3,6cm
= 6,4 cm
c. BD2 = AD x DC
= 3,6 x 6,4
= 23,04
BD = √23,04 = 4,8 cm
Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang Belum Diketahui
dari Dua Segitiga yang Sebangun
Konsep kesebangunan dua segitiga dapat digunakan untuk menghitung panjang
salah satu sisi segitiga sebangun yang belum diketahui. Coba perhatikan contoh
berikut! Contoh :
Diketahui ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF. Tentukan EF ?
jawab:
Garis-Garis Sejajar pada Sisi Segitiga
Pada Gambar Dibawah, ∆ ABC dan ∆ DEC sebangun. Berikut akan ditentukan
perbandingan ruas garis dari kedua segitiga tersebut.
Perhatikan Gambar dibawah.
Dari gambar tersebut terlihat bahwa ruas garis .DE // AB sehingga diperoleh
ﮮACB = ﮮDCE (berimpit)
ﮮCAB = ﮮCDE (sehadap)
Karena dua sudut yang bersesuaian dari ∆ ABC dan ∆ DEC sama besar maka kedua
segitiga itu sebangun. Karena sebansun maka berlaku
Kedua ruas dikalikan (a + d)(c + b) sehingga diperoleh
Contoh:
Dalam ∆ PRT, PT//QS, hitunglah QR dan ST!
Jawab :
Menyelesaikan Soal Cerita yang Berkaitan dengan
Kesebangunan
Konsep dan sifat-sifat kesebangunan dapat digunakan untuk menyelesaikan
masalah-masalah atau soal cerita yang berkaitan dengan kesebangunan. Untuk
menyelesaikan soal cerita dapat dibantu dengan membuat sketsa atau gambar. Dari
gambar itu, baru
diselesaikan.
Contoh:
Sebuah kawat baja dipancangkan untuk menahan sebuah tiang listrik yang berdiri
tegak lurus. Sebuah tongkat didirikan tegak lurus sehingga ujung atas tongkat
menyentuh kawat. Diketahui panjang tongkat 2 m, jarak tongkat ke ujung bawah
kawat 3 m dan jarak tiang listrik ke tongkat 6 m. Berapa tinggi tiang listrik?
Jawab:
Misalnya, tinggi tiang listrik adalah t sehingga diperoleh perbandingan sebagai
berikut.
Jadi, tinggi listrik adalah 6 cm.
Pengertian Segitiga yang Kongruen
Pengubinan pada lantai yang telah kita kenal dapat digunakan untuk memahami
pengertian kongruen. Pola pengubinan yang kita gunakan adalah pengubinan
bangun segitiga. Perhatikan Gambar disamping Jika dilakukan pergeseran atau
pemutaran terhadap salah satu ubin maka segitiga tersebut akan menempati ubin
yang lain dengan tepat. Keadaan tersebut menunjukkan bahwa ubin yang satu
dengan ubin yang lain mempunyai bentuk sama (sebangun) dan mempunyai ukuran
yang sama. Segitiga-segitiga yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama
disebut segitiga-segitiga yang kongruen (sama dan sebangun).
Sifat-Sifat Dua Segitiga yang Kongruen
Untuk dapat memahami sifat-sifat dua segitiga yang kongruen, perhatikan Gambar
diatas ini. Karena segitiga-segitiga yang kongruen mempunyai bentuk dan ukuran
yang sama maka masing-masing segitiga jika diimpitkan akan tepat saling menutupi
satu sama lain.
Gambar di samping menunjukkan ∆, PQT dan ∆ QRS kongruen. Perhatikan panjang
sisi-sisinya. Tampak bahwa PQ = QR, QT = RS. dan QS = PT sehingga sisi-sisi yang
bersesuaian dari kedua segitiga sama panjang.
Selanjutnya, perhatikan besar sudut-sudutnya. Tampak bahwa ﮮTPQ = ﮮSQR, ﮮ
PQT = ﮮQRS , dan ﮮPTQ = ﮮQSR sehingga sudut-sudut yang bersesuaian dari
kedua segitiga tersebut sama besar.
Dari uraian di atas. dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua buah segitiga dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat
berikut.
1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Syarat Dua Segitiga Kongruen
Dua segitiga dikatakan kongruen jika dipenuhi salah satu dari tiga syarat berikut.
1. Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi, sisi, sisi).
2. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang dibentuk oleh sisisisi itu sama besar (sisi, sudut, sisi).
3. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan
kedua titik sudut itu sama panjang (sudut, sisi, sudut).
Ketiga Pasang Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (Sisi, Sisi, Sisi)
Dua segitiga di bawah ini, yaitu ∆ ABC dan ∆ DEF mempunyai panjang sisi-sisi yang
sama.
Perbandingan yang senilai untuk sisi-sisi yang bersesuaian menunjukkan bahwa
kedua segitiga tersebut sebangun. Karena sebangun maka sudut-sudut bersesuaian
juga sama besar, yaitu ﮮA= ﮮD, ﮮB= ﮮE,dan ﮮC= ﮮF.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian
sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.
Dua Sisi.yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Dibentuk
oleh Sisi-Sisi itu Samar Besar (Sisi, Sudut, Sisi)
Pada gambar di atas, diketahui bahwa AB = DE, AC = DF, dan ﮮCAB = ﮮEDF.
Apakah ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen? Jika dua segitiga tersebut diimpitkan maka
akan tepat berimpit sehingga diperoleh :
Hal ini berarti ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun sehingga diperoleh
ﮮA = ﮮD, ﮮB = ﮮE, dan ﮮC = ﮮE Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang,
maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.
Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang
Menghubungkan Kedua Sudut itu Sama Panjang (Sudut, Sisi. Sudut)
Pada gambar di atas, ∆ ABC dan ∆ DEF mempunyai sepasang sisi bersesuaian yang
sama panjang dan dua sudut bersesuaian yang sama besar, yaitu AB = DE, ﮮA = ﮮ
D. Dan ﮮB = ﮮE. Karena ﮮA = ﮮD dan ﮮB =ﮮE maka ﮮC = ﮮF. Jadi. ∆ ABC dan ∆
DEF sebangun. Karena sebangun maka sisi-sisi yang bersesuaian rnempunyai
perbandingan yang senilai.
Contoh:
Perhatikan gambar layang-layang pada Gambar. Sebutkan pasangan segitigasegitiga yang kongruen!
Jawab:
Pasangan segi tiga-segi tiga yang kongruen adalah :
∆ AED dengan ∆ ABE:
∆ DEC dengan ∆ BEC:
∆ ACD dengan ∆ ABC.
a) ∆ AED kongruen dengan ∆ ABE
Bukti; Karena ∆ ABD sama kaki dan AE adalah garis bagi maka diperoleh AD = AB
(diketahui)
ﮮDAE = ﮮBAE
AE = AE (berimpit)
Maka terbukti bahwa ∆ AED kongruen dengan ∆ ABE. (Sisi, Sudut, Sisi)
b) ∆ DEC kongruen dengan ∆ BEC
Bukti; Karena ∆ BCD sama kaki dan CE adalah garis bagi maka diperoleh CD = CB
(diketahui)
ﮮDCE = ﮮBCE
CE = CE (berimpit)
Jadi. terbukti bahwaA DEC kongruen dengan L ABE. (Sisi. Sudut. Sisi)
∆ ACD konsruen dengan ∆ ABC
Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut SegitigaSegitiga kongruen
Dengan menggunakan sifat-sifat dua segitiga yang kongruen dapat ditentukan sisisisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar.
Contoh:
Perhatikan Gambar
Diketahui ∆ KNM kongruen dengan ∆ NLM! Panjang KN = 5 cm, KM = l0 cm, ﮮ
NKM = 60′. Tentukan panjang sisi dan sudut yang belum diketahui!
Jawab:
Karena ∆ KNM dan ∆ NLM kongruen maka KM = ML = l0 cm dan NL = KN = 5 cm.
Dengan demikian, panjang MN dapat ditentukan dengan menggunakan dalil
Pythagoras.
BAB 2
Bangun Ruang Sisi Lengkung
Di sekitar kita banyak dijumpai benda-benda yang merupakan refleksi dari bangun
ruang sisi lengkung. Bahkan benda-benda tersebut sering kita gunakan baik
sebagai peralatan maupun permainan. Sebut saja bola, kelereng, kaleng minuman,
bedug, terompet, dan corong. Jika demikian, benda-benda tersebut tidak asing lagi
bagi kita. Benda-benda tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang yang berupa
bola, tabung, dan kerucut. Akan lebih menyenangkan jika kita dapat mengetahui
berapa banyak benda-benda tersebut menampung udara, air, serta berapa panjang
dan luas kulit bola atau kaleng tersebut. Untuk itu kita akan pelajari lebih lanjut
dalam bab Bangun Ruang Sisi Lengkung. Setelah mempelajari bab ini diharapkan
kalian dapat mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut, dan bola serta
menghitung luas selimut dan volume bangun tersebut. Yang tak kalah penting
adalah kalian dapat memecahkan masalah yang berkaitan dengan bangun ruang
tersebut.
A. Tabung (Silinder)
Perhatikan gambar di samping. Bentuk apakah yang dimanfaatkan alat musik
tersebut. Mengapa drum selalu berbentuk tabung?
1. Unsur-unsur Tabung dan Melukis Jaring-jaring Tabung
Sebelum kita mempelajari lebih lanjut mengenai tabung, coba sebutkan bendabenda di sekitar kalian yang berbentuk tabung. Berikut ini akan kita pelajari
berbagai hal tentang tabung.
a. Unsur-unsur Tabung
Dapatkah kalian menyebutkan unsur-unsur sebuah tabung? Agar dapat
menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut.
Dari kegiatan tersebut kita akan dapat mengetahui unsur-unsur tabung. Salin dan
isikan unsur-unsur itu pada tempat yang tersedia.
a. Tinggi tabung ....
b. Jari-jari alas tabung ... dan jari-jari atas tabung ....
c. Diameter alas tabung ... dan diameter atap tabung ....
d. Alas dan atap tabung berupa bidang datar yang berbentuk ....
e. Selimut tabung berupa bidang lengkung. Apabila dibuka dan dilembarkan
berbentuk ....
b. Jaring-jaring Tabung
Dari kegiatan sebelumnya kita dapat mengetahui bahwa tabung atau silinder
tersusun dari tiga buah bangun datar, yaitu:
a. dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder,
b. satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnya atau selimut tabung.
Rangkaian dari ketiga bidang datar itu disebut sebagai jaring-jaring tabung. Coba
kalian gambarkan jaring-jaring dari kaleng tersebut. Apakah kalian mendapatkan
jaring-jaring tabung seperti gambar berikut?
Gambar 2.3 menunjukkan jaring-jaring sebuah tabung dengan jari-jari alas dan
atapnya yang berupa lingkaran adalah r dan tinggi tabung adalah t.
Jaring-jaring tabung terdiri atas:
a. Selimut tabung yang berupa persegi panjang, dengan panjang selimut sama
dengan keliling lingkaran alas tabung 2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi
tabung t.
b. Dua lingkaran dengan jari-jari r.
2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Tabung
Sebuah benda berbentuk tabung memiliki jari-jari r dan tinggi t. Jika kalian ingin
membuat tabung dari kertas yang ukurannya tepat sama dengan ukuran benda
tersebut, berapakah luas kertas yang kalian perlukan? Untuk menjawabnya,
pelajari uraian materi berikut.
a. Luas Selimut
Dengan memerhatikan gambar 2.3, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh
permukaan tabung atau luas sisi tabung merupakan jumlah dari luas alas ditambah
luas selimut dan luas atap. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar jaring-jaring
tabung sekali lagi.
Sehingga kita dapatkan rumus:
b. Volume Tabung
Tabung merupakan pendekatan dari prisma segi-n, dimana n mendekati tak hingga.
Artinya, jika rusuk-rusuk pada alas prisma diperbanyak maka akan membentuk
sebuah tabung dimana hanya mendekati satu bidang alas, satu bidang atas dan satu
sisi tegak. Karena alas dan tutup tabung berbentuk lingkaran maka volume tabung
adalah perkalian luas daerah lingkaran alas dengan tinggi tabung.
B. Kerucut
1. Unsur-unsur Kerucut dan Melukis Jaring-jaring Kerucut
Perhatikan gambar di samping. Pernahkan kalian melihat bangunan ini? Jika kita
cermati bentuknya, bangunan tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang
dengan sisi lengkung yaitu kerucut.
a. Unsur-unsur Kerucut
Untuk lebih memahami unsur-unsur kerucut, dapat kita ilustrasikan seperti pada
gambar 2.5 berikut.
Dengan mengamati gambar tersebut, kita dapat mengetahui unsur-unsur kerucut
dengan melengkapi pernyataan berikut.
1) Tinggi kerucut = ….
2) Jari-jari alas kerucut = ….
3) Diameter alas kerucut = ….
4) Apotema atau garis pelukis = ….
b. Jaring-jaring Kerucut
Berdasarkan kegiatan dan gambar di atas kita ketahui bahwa kerucut tersusun dari
dua bangun datar, yaitu lingkaran sebagai alas dan selimut yang berupa bidang
lengkung (juring lingkaran). Kedua bangun datar yang menyusun kerucut tersebut
disebut jaring-jaring kerucut. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 2.6(a) menunjukkan kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r, tinggi kerucut
t, apotema atau garis pelukis s. Terlihat bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas dua
buah bidang datar yang ditunjukkan gambar 2.6 (b) yaitu:
a. selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari s dan panjang
busur 2πr,
b. alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r.
2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Kerucut
Dapatkah kalian menghitung luas bahan yang diperlukan untuk membuat kerucut
dengan ukuran tertentu? Perhatikan uraian berikut.
a. Luas Selimut
Dengan memerhatikan gambar, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh
permukaan kerucut atau luas sisi kerucut merupakan jumlah dari luas juring
ditambah luas alas yang berbentuk lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan
jaring-jaring kerucut ini.
Jadi luas juring TAA1 atau luas selimut kerucut dapat ditentukan.
Karena luas selimut kerucut sama dengan luas juring TAA 1 maka kita dapatkan:
Sedangkan luas permukaan kerucut
= luas selimut + luas alas kerucut
= πrs + πr2
= πr (s + r)
Jadi
dengan r = jari-jari lingkaran alas kerucut
s = garis pelukis (apotema)
b. Volume Kerucut
Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Oleh
karena itu kita dapat merumuskan volume kerucut sebagai berikut.
Hubungan antara r, t dan apotema (s) adalah s2 = r2 + t2
c. Luas Selimut dan Volume Kerucut Terpancung
1) Luas selimut
Luas selimut kerucut terpancung adalah luas kerucut besar dikurangi luas selimut
kerucut kecil. Kerucut besar ACC' mempunyai tinggi t 1, jari-jari r, dan apotema s1.
Sedangkan kerucut kecil ABB' mempunyai tinggi t2, jari-jari r2, dan apotema s2.
Luas selimut kerucut terpancung adalah luas selimut kerucut besar dikurangi luas
selimut kecil.
C. Bola
Perhatikan gambar di samping. Mengapa dalam olahraga bowling, benda yang
dilemparkan berbentuk bola? Apakah kelebihannya sehingga benda-benda
berbentuk bola digunakan dalam olahraga sepak bola, bola voli, bowling, dan
billiard? Agar dapat lebih mengenal bangun bola, pelajarilah materi berikut ini.
1. Unsur-unsur Bola
Perhatikan gambar berikut.
Suatu lingkaran diputar setengah putaran dengan diameter sebagai sumbu
putarnya akan diperoleh bangun ruang seperti gambar 2.10 (b). Bentuk bangun
yang demikian disebut bola dengan jari-jari bola r dan tinggi d.
2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Bola
Sebelum mempelajari luas selimut dan volume bola, lakukanlah kegiatan berikut.
Ternyata dari kegiatan di atas kita dapat merumuskan luas selimut atau permukaan
(sisi) bola. Jika jari-jari alas tabung tersebut r dan tingginya sama dengan diameter
d, maka luas selimut atau sisi bola dengan jari-jari r adalah:
D. Hubungan Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung
dengan Jari-jari
Pada rumus mencari volume bangun ruang sisi lengkung, semua tergantung pada
unsur-unsur bangun tersebut, misalnya jari-jari dan tinggi bangun tersebut.
1. Perbandingan Volume Tabung, Kerucut, dan Bola karena Perubahan
Jari-jari
a. Perbandingan Volume Tabung
Apabila ada dua buah tabung dengan tinggi yang sama, tetapi jari-jari berbeda,
maka perbandingan kedua volume tabung sama dengan perbandingan kuadrat
masing-masing jari-jarinya.
b. Perbandingan Volume pada Kerucut
Apabila ada dua buah kerucut dengan tinggi sama, tetapi jari-jari alasnya berbeda,
maka perbandingan volume kedua kerucut dengan perbandingan kuadrat masingmasing jari-jarinya.
c. Perbandingan Volume pada Bola
Apabila ada dua buah bola dengan jari-jari yang berbeda, maka perbandingan
volumenya sama dengan perbandingan di pangkat tiga dan masing-masing jarijarinya.
2. Selisih Volume Tabung, Kerucut, dan Bola karena Perubahan Jari-jari
a. Selisih Volume pada Tabung
Sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggi t diperbesar sehingga
jari-jari lingkaran alas menjadi r2 dengan r2 > r1 dan tinggi tetap. Maka berlaku:
b. Selisih Volume pada Kerucut
Sebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggi t diperbesar sehingga
jari-jari lingkaran alas menjadi r2 dengan r2 > r1 dan tinggi tetap. Berlaku:
Jadi selisih volumenya:
dengan r1 = jari- jari awal r2 = jari-jari setelah diperbesar Bagaimana jika jari-jari
kerucut diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata berlaku r2 = r1 + k, sehingga:
c. Selisih Volume pada Bola
Sebuah bola dengan jari-jari r1 diperbesar sehingga jarijarinya menjadi r2 dengan
r2 > r1. Berlaku:
Jadi selisih volumenya:
dengan r1 = jari-jari awal, r2 = jari-jari setelah diperbesar
Bagaimana jika jari-jari bola diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata berlaku r 2 =
r1 + k, sehingga:
BAB 3
Statistika
Statistika
Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan,
mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data.
Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah
'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic).
Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah
data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari
kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau
mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar
konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah
statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.
Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam
(misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi
dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri. Statistika juga
digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus
penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi
statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau
polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat
(perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi,
statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan
buatan.
Diagram Garis
Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus
disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya
digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan
pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Sumbu -X menunjukkan
waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data
pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan
membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang
berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh
diagram garis atau grafik garis.
Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan
gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran
menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat
diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek
terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.
Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan
nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang
menunjukkan keterangan-keterangan dengan batangbatang tegak atau
mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.
Contoh soal-X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y
menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan
waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom
dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus
sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik garis.
2. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan
gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran
menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat
diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek
terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.
3. Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan
nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang
menunjukkan keterangan-keterangan dengan batangbatang tegak atau
mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.
Contoh soala) daftar atau tabel,
b) grafik atau diagram.
1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel
Misalkan, hasil ulangan Bahasa Indonesia 37 siswa kelas XI SMA 3 disajikan
dalam tabel di samping. Penyajian data pada Tabel 1.1 dinamakan penyajian
data sederhana. Dari tabel 1.1, Anda dapat menentukan banyak siswa yang
mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang. Berapa orang siswa yang mendapat
nilai 5? Nilai berapakah yang paling banyak diperoleh siswa? Jika data hasil
ulangan bahasa Indonesia itu disajikan dengan cara mengelompokkan data nilai
siswa, diperoleh tabel frekuensi berkelompok seperti pada Tabel 1.2. Tabel 1.2
dinamakan Tabel Distribusi Frekuensi.
2. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
Kerapkali data yang disajikan dalam bentuk tabel sulit untuk dipahami. Lain
halnya jika data tersebut disajikan dalam bentuk diagram maka Anda akan
dapat lebih cepat memahami data itu. Diagram adalah gambar yang menyajikan
data secara visual yang biasanya berasal dari tabel yang telah dibuat. Meskipun
demikian, diagram masih memiliki kelemahan, yaitu pada umumnya diagram
tidak dapat memberikan gambaran yang lebih detail.
a. Diagram Batang
Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan data diskrit (data
cacahan). Diagram batang adalah bentuk penyajian data statistik dalam bentuk
batang yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius. Ada dua
jenis diagram batang, yaitu
1) diagram batang vertikal, dan
2) diagram batang horizontal.
b. Diagram Garis
Pernahkah Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadap rupiah atau
pergerakan saham di TV? Grafik yang seperti itu disebut diagram garis.
Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan data tentang m
keadaan yang berkesinambungan (sekumpulan data kontinu). Misalnya, jumlah
penduduk setiap tahun, perkembangan berat badan bayi setiap bulan, dan suhu
badan pasien setiap jam.Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun
memerlukan sistem sumbu datar (horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang
saling berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar biasanya menyatakan jenis
data, misalnya waktu dan berat
Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data. Langkah-langkah yang
dilakukan untuk membuat diagram garis adalah sebagai berikut.
1) Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan) dengan sumbu mendatar
menunjukkan waktu dan sumbu tegak menunjukkan data pengamatan.
2) Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu t.
3) Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titiktitik koordinat
tersebut dengan garis lurus.
c. Diagram Lingkaran
Untuk mengetahui perbandingan suatu data terhadap keseluruhan, suatu data
lebih tepat disajikan dalam bentuk diagram lingkaran. Diagram lingkaran
adalah bentuk penyajian data statistika dalam bentuk lingkaran yang dibagi
menjadi beberapa juring lingkaran. Langkah-langkah untuk membuat diagram
lingkaran adalah sebagai berikut.
1. Buatlah sebuah lingkaran pada kertas.
2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring lingkaran untuk
menggambarkan kategori yang datanya telah diubah ke dalam derajat.
3. Tabel Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif dan Kumulatif, Histogram,
Poligon Frekuensi, dan Ogive
a. Tabel Distribusi Frekuensi
Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi
frekuensi, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas
tertentu. Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai
berikut.
• Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus "Sturgess" yaitu:
K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data. Banyak kelas harus merupakan
bilangan bulat positif hasil pembulatan.
• Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan menggunakan
rumus:
• Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan
batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas
interval kelas terakhir. • Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas
yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus. •
Menuliskan turus-turus dalambilangan yang bersesuaian dengan banyak turus.
b. Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi frekuensi bersifat
mutlak. Adapun frekuensi relatif dari suatu data adalah dengan
membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan banyak data
dinyatakan dalam persen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah 20. Total data
seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas ini adalah
Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut.
Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensi pada kelas yang
dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya. Ada dua macam frekuensi
kumulatif, yaitu
1) frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil terhadap tepi atas
kelas)
2) frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil terhadap tepi bawah
kelas).
c. Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya seperti
diagram batang. Batang yang berdekatan harus berimpit. Untuk pembuatan
histogram, pada setiap interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas
ini digunakan unntuk menentukan titik tengah kelas yang dapat ditulis sebagai
berikut.
Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan titik-titik tengah setiap
puncak persegipanjang dari histogram secara berurutan. Agar poligon
"tertutup" maka sebelum kelas paling bawah dan setelah kelas paling atas,
masing-masing ditambah satu kelas.
d. Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi
kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif. Untuk populasi yang besar,
poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang menyerupai kurva sehingga
poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif. Ada dua
macam ogif, yaitu sebagai berikut.
a. Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
b. Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.
simpangan, dan ragam
1. Rumus Rataan Hitung (Mean)
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan
banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.
a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal
b) Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi
Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i
c) Rumus Rataan Hitung Gabungan
2. Rumus Modus
a. Data yang belum dikelompokkan
Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki
frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.
b. Data yang telah dikelompokkan
Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:
Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i =
Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat
sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat
sesudahnya
3. Rumus Median (Nilai Tengah)
a) Data yang belum dikelompokkan
Untuk mencari median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang
terkecil sampai yang terbesar.
b) Data yang Dikelompokkan
Dengan : Qj = Kuartil ke-j
j = 1, 2, 3
i = Interval kelas
Lj = Tepi bawah kelas Qj
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj
f = Frekuensi kelas Qj
n = Banyak data
4. Rumus Jangkauan ( J )
Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.
5. Rumus Simpangan Quartil (Qd)
6. Rumus Simpangan baku ( S )
7. Rumus Simpangan rata – rata (SR)
8. Rumus Ragam (R)
BAB 1
Kesebangunan dan Kekongruenan
Dua bangun datar yang sebangun
1.
Kedua bangun di atas, ABCD dan KLMN adalah dua bangun yang sebangun,
karena memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
a.
Pasangan sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama, yaitu
:
Pasangan sisi AD dan KN =
Pasangan sisi AB dan KL =
Pasangan sisi BC dan LM =
Pasangan sisi CD dan MN =
Jadi,
b.
Besar sudut yang bersesuaian sama,
yaitu :
2.
Dua segi tiga yang sebangun
Segitiga ABC dan PQR adalah sebangun, karena memiliki sifat :
a.
Perbandingan sisi yang sama besar bersesuaian sama besar, yaitu :
AC bersesuaian dengan PR =
AB bersesuaian dengan PQ =
BC bersesuaian dengan QR =
Jadi,
Jadi,
b.
Besar sudut-sudut yang bersesuaian sama,
yaitu :
Perhatikan segitiga berikut !
dan
sebangun, maka :
Pada segitiga siku-siku dapat dibuat garis tinggi ke sisi miring, maka
diperoleh rumus :
AB2 = BD x BC
AC2 = CD x CB
AD2 = BD x CD
Kongruenan Bangun
1.
Dua bangun datar yang kongruen
Perhatikan dua bangun datar berikut !
KL = PQ
LM = QR
MN = RS
NK = SP
KLMN dan PQRS kongruen. Dua bangun dikatakan kongruen jika kedua bangun
tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama.
2.
Dua segitiga yang kongruen
Secara geometris dua segitiga konsruen adalah dua segitiga yang saling
menutpi dengan tepat. Sifat dua segitiga kongruen :
a.
Pasangan sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
b.
Sudut yang bersesuaian sama besar.
Syarat dua segitiga kongruen adalah sebagai berikut :
a.
Tiga sisi yang bersesuaian sama besar (sisi, sisi, sisi)
AB = PQ (sisi)
AC = PR (sisi)
BC = QR (sisi)
b.
Dua sisi dan satu sudut apit yang bersesuaian sama besar (sisi, sudut,
sisi)
AB = PQ (sisi)
BC = QR (sisi)
c.
Satu sisi api dan dua sudut bersesuaian sama besar (sudut, sisi, sudut)
AC = RP (sisi)
CONTOH SOAL
Pada gambar di bawah diketahui AB = 6 cm dan BC. Tentukan
a. AC;
b. AD;
c. BD.
Jawab:
a. AC2 = AB2+BC2
= 62 + 82
= 36+64
= 100
AC = √100 = 10
b. AB2 = AD x AC
62 = AD x 10
36 = AD x l0
AD =36/10
= 3,6 cm
DC = l0 cm – 3,6cm
= 6,4 cm
c. BD2 = AD x DC
= 3,6 x 6,4
= 23,04
BD = √23,04 = 4,8 cm
Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang Belum Diketahui
dari Dua Segitiga yang Sebangun
Konsep kesebangunan dua segitiga dapat digunakan untuk menghitung panjang
salah satu sisi segitiga sebangun yang belum diketahui. Coba perhatikan contoh
berikut! Contoh :
Diketahui ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF. Tentukan EF ?
jawab:
Garis-Garis Sejajar pada Sisi Segitiga
Pada Gambar Dibawah, ∆ ABC dan ∆ DEC sebangun. Berikut akan ditentukan
perbandingan ruas garis dari kedua segitiga tersebut.
Perhatikan Gambar dibawah.
Dari gambar tersebut terlihat bahwa ruas garis .DE // AB sehingga diperoleh
ﮮACB = ﮮDCE (berimpit)
ﮮCAB = ﮮCDE (sehadap)
Karena dua sudut yang bersesuaian dari ∆ ABC dan ∆ DEC sama besar maka kedua
segitiga itu sebangun. Karena sebansun maka berlaku
Kedua ruas dikalikan (a + d)(c + b) sehingga diperoleh
Contoh:
Dalam ∆ PRT, PT//QS, hitunglah QR dan ST!
Jawab :
Menyelesaikan Soal Cerita yang Berkaitan dengan
Kesebangunan
Konsep dan sifat-sifat kesebangunan dapat digunakan untuk menyelesaikan
masalah-masalah atau soal cerita yang berkaitan dengan kesebangunan. Untuk
menyelesaikan soal cerita dapat dibantu dengan membuat sketsa atau gambar. Dari
gambar itu, baru
diselesaikan.
Contoh:
Sebuah kawat baja dipancangkan untuk menahan sebuah tiang listrik yang berdiri
tegak lurus. Sebuah tongkat didirikan tegak lurus sehingga ujung atas tongkat
menyentuh kawat. Diketahui panjang tongkat 2 m, jarak tongkat ke ujung bawah
kawat 3 m dan jarak tiang listrik ke tongkat 6 m. Berapa tinggi tiang listrik?
Jawab:
Misalnya, tinggi tiang listrik adalah t sehingga diperoleh perbandingan sebagai
berikut.
Jadi, tinggi listrik adalah 6 cm.
Pengertian Segitiga yang Kongruen
Pengubinan pada lantai yang telah kita kenal dapat digunakan untuk memahami
pengertian kongruen. Pola pengubinan yang kita gunakan adalah pengubinan
bangun segitiga. Perhatikan Gambar disamping Jika dilakukan pergeseran atau
pemutaran terhadap salah satu ubin maka segitiga tersebut akan menempati ubin
yang lain dengan tepat. Keadaan tersebut menunjukkan bahwa ubin yang satu
dengan ubin yang lain mempunyai bentuk sama (sebangun) dan mempunyai ukuran
yang sama. Segitiga-segitiga yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama
disebut segitiga-segitiga yang kongruen (sama dan sebangun).
Sifat-Sifat Dua Segitiga yang Kongruen
Untuk dapat memahami sifat-sifat dua segitiga yang kongruen, perhatikan Gambar
diatas ini. Karena segitiga-segitiga yang kongruen mempunyai bentuk dan ukuran
yang sama maka masing-masing segitiga jika diimpitkan akan tepat saling menutupi
satu sama lain.
Gambar di samping menunjukkan ∆, PQT dan ∆ QRS kongruen. Perhatikan panjang
sisi-sisinya. Tampak bahwa PQ = QR, QT = RS. dan QS = PT sehingga sisi-sisi yang
bersesuaian dari kedua segitiga sama panjang.
Selanjutnya, perhatikan besar sudut-sudutnya. Tampak bahwa ﮮTPQ = ﮮSQR, ﮮ
PQT = ﮮQRS , dan ﮮPTQ = ﮮQSR sehingga sudut-sudut yang bersesuaian dari
kedua segitiga tersebut sama besar.
Dari uraian di atas. dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua buah segitiga dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat
berikut.
1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Syarat Dua Segitiga Kongruen
Dua segitiga dikatakan kongruen jika dipenuhi salah satu dari tiga syarat berikut.
1. Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi, sisi, sisi).
2. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang dibentuk oleh sisisisi itu sama besar (sisi, sudut, sisi).
3. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan
kedua titik sudut itu sama panjang (sudut, sisi, sudut).
Ketiga Pasang Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (Sisi, Sisi, Sisi)
Dua segitiga di bawah ini, yaitu ∆ ABC dan ∆ DEF mempunyai panjang sisi-sisi yang
sama.
Perbandingan yang senilai untuk sisi-sisi yang bersesuaian menunjukkan bahwa
kedua segitiga tersebut sebangun. Karena sebangun maka sudut-sudut bersesuaian
juga sama besar, yaitu ﮮA= ﮮD, ﮮB= ﮮE,dan ﮮC= ﮮF.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian
sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.
Dua Sisi.yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Dibentuk
oleh Sisi-Sisi itu Samar Besar (Sisi, Sudut, Sisi)
Pada gambar di atas, diketahui bahwa AB = DE, AC = DF, dan ﮮCAB = ﮮEDF.
Apakah ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen? Jika dua segitiga tersebut diimpitkan maka
akan tepat berimpit sehingga diperoleh :
Hal ini berarti ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun sehingga diperoleh
ﮮA = ﮮD, ﮮB = ﮮE, dan ﮮC = ﮮE Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang,
maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.
Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang
Menghubungkan Kedua Sudut itu Sama Panjang (Sudut, Sisi. Sudut)
Pada gambar di atas, ∆ ABC dan ∆ DEF mempunyai sepasang sisi bersesuaian yang
sama panjang dan dua sudut bersesuaian yang sama besar, yaitu AB = DE, ﮮA = ﮮ
D. Dan ﮮB = ﮮE. Karena ﮮA = ﮮD dan ﮮB =ﮮE maka ﮮC = ﮮF. Jadi. ∆ ABC dan ∆
DEF sebangun. Karena sebangun maka sisi-sisi yang bersesuaian rnempunyai
perbandingan yang senilai.
Contoh:
Perhatikan gambar layang-layang pada Gambar. Sebutkan pasangan segitigasegitiga yang kongruen!
Jawab:
Pasangan segi tiga-segi tiga yang kongruen adalah :
∆ AED dengan ∆ ABE:
∆ DEC dengan ∆ BEC:
∆ ACD dengan ∆ ABC.
a) ∆ AED kongruen dengan ∆ ABE
Bukti; Karena ∆ ABD sama kaki dan AE adalah garis bagi maka diperoleh AD = AB
(diketahui)
ﮮDAE = ﮮBAE
AE = AE (berimpit)
Maka terbukti bahwa ∆ AED kongruen dengan ∆ ABE. (Sisi, Sudut, Sisi)
b) ∆ DEC kongruen dengan ∆ BEC
Bukti; Karena ∆ BCD sama kaki dan CE adalah garis bagi maka diperoleh CD = CB
(diketahui)
ﮮDCE = ﮮBCE
CE = CE (berimpit)
Jadi. terbukti bahwaA DEC kongruen dengan L ABE. (Sisi. Sudut. Sisi)
∆ ACD konsruen dengan ∆ ABC
Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut SegitigaSegitiga kongruen
Dengan menggunakan sifat-sifat dua segitiga yang kongruen dapat ditentukan sisisisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar.
Contoh:
Perhatikan Gambar
Diketahui ∆ KNM kongruen dengan ∆ NLM! Panjang KN = 5 cm, KM = l0 cm, ﮮ
NKM = 60′. Tentukan panjang sisi dan sudut yang belum diketahui!
Jawab:
Karena ∆ KNM dan ∆ NLM kongruen maka KM = ML = l0 cm dan NL = KN = 5 cm.
Dengan demikian, panjang MN dapat ditentukan dengan menggunakan dalil
Pythagoras.
BAB 2
Bangun Ruang Sisi Lengkung
Di sekitar kita banyak dijumpai benda-benda yang merupakan refleksi dari bangun
ruang sisi lengkung. Bahkan benda-benda tersebut sering kita gunakan baik
sebagai peralatan maupun permainan. Sebut saja bola, kelereng, kaleng minuman,
bedug, terompet, dan corong. Jika demikian, benda-benda tersebut tidak asing lagi
bagi kita. Benda-benda tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang yang berupa
bola, tabung, dan kerucut. Akan lebih menyenangkan jika kita dapat mengetahui
berapa banyak benda-benda tersebut menampung udara, air, serta berapa panjang
dan luas kulit bola atau kaleng tersebut. Untuk itu kita akan pelajari lebih lanjut
dalam bab Bangun Ruang Sisi Lengkung. Setelah mempelajari bab ini diharapkan
kalian dapat mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut, dan bola serta
menghitung luas selimut dan volume bangun tersebut. Yang tak kalah penting
adalah kalian dapat memecahkan masalah yang berkaitan dengan bangun ruang
tersebut.
A. Tabung (Silinder)
Perhatikan gambar di samping. Bentuk apakah yang dimanfaatkan alat musik
tersebut. Mengapa drum selalu berbentuk tabung?
1. Unsur-unsur Tabung dan Melukis Jaring-jaring Tabung
Sebelum kita mempelajari lebih lanjut mengenai tabung, coba sebutkan bendabenda di sekitar kalian yang berbentuk tabung. Berikut ini akan kita pelajari
berbagai hal tentang tabung.
a. Unsur-unsur Tabung
Dapatkah kalian menyebutkan unsur-unsur sebuah tabung? Agar dapat
menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut.
Dari kegiatan tersebut kita akan dapat mengetahui unsur-unsur tabung. Salin dan
isikan unsur-unsur itu pada tempat yang tersedia.
a. Tinggi tabung ....
b. Jari-jari alas tabung ... dan jari-jari atas tabung ....
c. Diameter alas tabung ... dan diameter atap tabung ....
d. Alas dan atap tabung berupa bidang datar yang berbentuk ....
e. Selimut tabung berupa bidang lengkung. Apabila dibuka dan dilembarkan
berbentuk ....
b. Jaring-jaring Tabung
Dari kegiatan sebelumnya kita dapat mengetahui bahwa tabung atau silinder
tersusun dari tiga buah bangun datar, yaitu:
a. dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder,
b. satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnya atau selimut tabung.
Rangkaian dari ketiga bidang datar itu disebut sebagai jaring-jaring tabung. Coba
kalian gambarkan jaring-jaring dari kaleng tersebut. Apakah kalian mendapatkan
jaring-jaring tabung seperti gambar berikut?
Gambar 2.3 menunjukkan jaring-jaring sebuah tabung dengan jari-jari alas dan
atapnya yang berupa lingkaran adalah r dan tinggi tabung adalah t.
Jaring-jaring tabung terdiri atas:
a. Selimut tabung yang berupa persegi panjang, dengan panjang selimut sama
dengan keliling lingkaran alas tabung 2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi
tabung t.
b. Dua lingkaran dengan jari-jari r.
2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Tabung
Sebuah benda berbentuk tabung memiliki jari-jari r dan tinggi t. Jika kalian ingin
membuat tabung dari kertas yang ukurannya tepat sama dengan ukuran benda
tersebut, berapakah luas kertas yang kalian perlukan? Untuk menjawabnya,
pelajari uraian materi berikut.
a. Luas Selimut
Dengan memerhatikan gambar 2.3, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh
permukaan tabung atau luas sisi tabung merupakan jumlah dari luas alas ditambah
luas selimut dan luas atap. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar jaring-jaring
tabung sekali lagi.
Sehingga kita dapatkan rumus:
b. Volume Tabung
Tabung merupakan pendekatan dari prisma segi-n, dimana n mendekati tak hingga.
Artinya, jika rusuk-rusuk pada alas prisma diperbanyak maka akan membentuk
sebuah tabung dimana hanya mendekati satu bidang alas, satu bidang atas dan satu
sisi tegak. Karena alas dan tutup tabung berbentuk lingkaran maka volume tabung
adalah perkalian luas daerah lingkaran alas dengan tinggi tabung.
B. Kerucut
1. Unsur-unsur Kerucut dan Melukis Jaring-jaring Kerucut
Perhatikan gambar di samping. Pernahkan kalian melihat bangunan ini? Jika kita
cermati bentuknya, bangunan tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang
dengan sisi lengkung yaitu kerucut.
a. Unsur-unsur Kerucut
Untuk lebih memahami unsur-unsur kerucut, dapat kita ilustrasikan seperti pada
gambar 2.5 berikut.
Dengan mengamati gambar tersebut, kita dapat mengetahui unsur-unsur kerucut
dengan melengkapi pernyataan berikut.
1) Tinggi kerucut = ….
2) Jari-jari alas kerucut = ….
3) Diameter alas kerucut = ….
4) Apotema atau garis pelukis = ….
b. Jaring-jaring Kerucut
Berdasarkan kegiatan dan gambar di atas kita ketahui bahwa kerucut tersusun dari
dua bangun datar, yaitu lingkaran sebagai alas dan selimut yang berupa bidang
lengkung (juring lingkaran). Kedua bangun datar yang menyusun kerucut tersebut
disebut jaring-jaring kerucut. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 2.6(a) menunjukkan kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r, tinggi kerucut
t, apotema atau garis pelukis s. Terlihat bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas dua
buah bidang datar yang ditunjukkan gambar 2.6 (b) yaitu:
a. selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari s dan panjang
busur 2πr,
b. alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r.
2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Kerucut
Dapatkah kalian menghitung luas bahan yang diperlukan untuk membuat kerucut
dengan ukuran tertentu? Perhatikan uraian berikut.
a. Luas Selimut
Dengan memerhatikan gambar, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh
permukaan kerucut atau luas sisi kerucut merupakan jumlah dari luas juring
ditambah luas alas yang berbentuk lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan
jaring-jaring kerucut ini.
Jadi luas juring TAA1 atau luas selimut kerucut dapat ditentukan.
Karena luas selimut kerucut sama dengan luas juring TAA 1 maka kita dapatkan:
Sedangkan luas permukaan kerucut
= luas selimut + luas alas kerucut
= πrs + πr2
= πr (s + r)
Jadi
dengan r = jari-jari lingkaran alas kerucut
s = garis pelukis (apotema)
b. Volume Kerucut
Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Oleh
karena itu kita dapat merumuskan volume kerucut sebagai berikut.
Hubungan antara r, t dan apotema (s) adalah s2 = r2 + t2
c. Luas Selimut dan Volume Kerucut Terpancung
1) Luas selimut
Luas selimut kerucut terpancung adalah luas kerucut besar dikurangi luas selimut
kerucut kecil. Kerucut besar ACC' mempunyai tinggi t 1, jari-jari r, dan apotema s1.
Sedangkan kerucut kecil ABB' mempunyai tinggi t2, jari-jari r2, dan apotema s2.
Luas selimut kerucut terpancung adalah luas selimut kerucut besar dikurangi luas
selimut kecil.
C. Bola
Perhatikan gambar di samping. Mengapa dalam olahraga bowling, benda yang
dilemparkan berbentuk bola? Apakah kelebihannya sehingga benda-benda
berbentuk bola digunakan dalam olahraga sepak bola, bola voli, bowling, dan
billiard? Agar dapat lebih mengenal bangun bola, pelajarilah materi berikut ini.
1. Unsur-unsur Bola
Perhatikan gambar berikut.
Suatu lingkaran diputar setengah putaran dengan diameter sebagai sumbu
putarnya akan diperoleh bangun ruang seperti gambar 2.10 (b). Bentuk bangun
yang demikian disebut bola dengan jari-jari bola r dan tinggi d.
2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Bola
Sebelum mempelajari luas selimut dan volume bola, lakukanlah kegiatan berikut.
Ternyata dari kegiatan di atas kita dapat merumuskan luas selimut atau permukaan
(sisi) bola. Jika jari-jari alas tabung tersebut r dan tingginya sama dengan diameter
d, maka luas selimut atau sisi bola dengan jari-jari r adalah:
D. Hubungan Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung
dengan Jari-jari
Pada rumus mencari volume bangun ruang sisi lengkung, semua tergantung pada
unsur-unsur bangun tersebut, misalnya jari-jari dan tinggi bangun tersebut.
1. Perbandingan Volume Tabung, Kerucut, dan Bola karena Perubahan
Jari-jari
a. Perbandingan Volume Tabung
Apabila ada dua buah tabung dengan tinggi yang sama, tetapi jari-jari berbeda,
maka perbandingan kedua volume tabung sama dengan perbandingan kuadrat
masing-masing jari-jarinya.
b. Perbandingan Volume pada Kerucut
Apabila ada dua buah kerucut dengan tinggi sama, tetapi jari-jari alasnya berbeda,
maka perbandingan volume kedua kerucut dengan perbandingan kuadrat masingmasing jari-jarinya.
c. Perbandingan Volume pada Bola
Apabila ada dua buah bola dengan jari-jari yang berbeda, maka perbandingan
volumenya sama dengan perbandingan di pangkat tiga dan masing-masing jarijarinya.
2. Selisih Volume Tabung, Kerucut, dan Bola karena Perubahan Jari-jari
a. Selisih Volume pada Tabung
Sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggi t diperbesar sehingga
jari-jari lingkaran alas menjadi r2 dengan r2 > r1 dan tinggi tetap. Maka berlaku:
b. Selisih Volume pada Kerucut
Sebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggi t diperbesar sehingga
jari-jari lingkaran alas menjadi r2 dengan r2 > r1 dan tinggi tetap. Berlaku:
Jadi selisih volumenya:
dengan r1 = jari- jari awal r2 = jari-jari setelah diperbesar Bagaimana jika jari-jari
kerucut diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata berlaku r2 = r1 + k, sehingga:
c. Selisih Volume pada Bola
Sebuah bola dengan jari-jari r1 diperbesar sehingga jarijarinya menjadi r2 dengan
r2 > r1. Berlaku:
Jadi selisih volumenya:
dengan r1 = jari-jari awal, r2 = jari-jari setelah diperbesar
Bagaimana jika jari-jari bola diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata berlaku r 2 =
r1 + k, sehingga:
BAB 3
Statistika
Statistika
Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan,
mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data.
Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah
'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic).
Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah
data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari
kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau
mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar
konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah
statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.
Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam
(misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi
dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri. Statistika juga
digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus
penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi
statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau
polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat
(perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi,
statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan
buatan.
Diagram Garis
Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus
disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya
digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan
pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Sumbu -X menunjukkan
waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data
pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan
membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang
berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh
diagram garis atau grafik garis.
Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan
gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran
menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat
diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek
terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.
Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan
nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang
menunjukkan keterangan-keterangan dengan batangbatang tegak atau
mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.
Contoh soal-X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y
menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan
waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom
dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus
sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik garis.
2. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan
gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran
menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat
diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek
terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.
3. Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan
nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang
menunjukkan keterangan-keterangan dengan batangbatang tegak atau
mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.
Contoh soala) daftar atau tabel,
b) grafik atau diagram.
1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel
Misalkan, hasil ulangan Bahasa Indonesia 37 siswa kelas XI SMA 3 disajikan
dalam tabel di samping. Penyajian data pada Tabel 1.1 dinamakan penyajian
data sederhana. Dari tabel 1.1, Anda dapat menentukan banyak siswa yang
mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang. Berapa orang siswa yang mendapat
nilai 5? Nilai berapakah yang paling banyak diperoleh siswa? Jika data hasil
ulangan bahasa Indonesia itu disajikan dengan cara mengelompokkan data nilai
siswa, diperoleh tabel frekuensi berkelompok seperti pada Tabel 1.2. Tabel 1.2
dinamakan Tabel Distribusi Frekuensi.
2. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
Kerapkali data yang disajikan dalam bentuk tabel sulit untuk dipahami. Lain
halnya jika data tersebut disajikan dalam bentuk diagram maka Anda akan
dapat lebih cepat memahami data itu. Diagram adalah gambar yang menyajikan
data secara visual yang biasanya berasal dari tabel yang telah dibuat. Meskipun
demikian, diagram masih memiliki kelemahan, yaitu pada umumnya diagram
tidak dapat memberikan gambaran yang lebih detail.
a. Diagram Batang
Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan data diskrit (data
cacahan). Diagram batang adalah bentuk penyajian data statistik dalam bentuk
batang yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius. Ada dua
jenis diagram batang, yaitu
1) diagram batang vertikal, dan
2) diagram batang horizontal.
b. Diagram Garis
Pernahkah Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadap rupiah atau
pergerakan saham di TV? Grafik yang seperti itu disebut diagram garis.
Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan data tentang m
keadaan yang berkesinambungan (sekumpulan data kontinu). Misalnya, jumlah
penduduk setiap tahun, perkembangan berat badan bayi setiap bulan, dan suhu
badan pasien setiap jam.Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun
memerlukan sistem sumbu datar (horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang
saling berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar biasanya menyatakan jenis
data, misalnya waktu dan berat
Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data. Langkah-langkah yang
dilakukan untuk membuat diagram garis adalah sebagai berikut.
1) Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan) dengan sumbu mendatar
menunjukkan waktu dan sumbu tegak menunjukkan data pengamatan.
2) Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu t.
3) Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titiktitik koordinat
tersebut dengan garis lurus.
c. Diagram Lingkaran
Untuk mengetahui perbandingan suatu data terhadap keseluruhan, suatu data
lebih tepat disajikan dalam bentuk diagram lingkaran. Diagram lingkaran
adalah bentuk penyajian data statistika dalam bentuk lingkaran yang dibagi
menjadi beberapa juring lingkaran. Langkah-langkah untuk membuat diagram
lingkaran adalah sebagai berikut.
1. Buatlah sebuah lingkaran pada kertas.
2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring lingkaran untuk
menggambarkan kategori yang datanya telah diubah ke dalam derajat.
3. Tabel Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif dan Kumulatif, Histogram,
Poligon Frekuensi, dan Ogive
a. Tabel Distribusi Frekuensi
Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi
frekuensi, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas
tertentu. Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai
berikut.
• Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus "Sturgess" yaitu:
K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data. Banyak kelas harus merupakan
bilangan bulat positif hasil pembulatan.
• Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan menggunakan
rumus:
• Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan
batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas
interval kelas terakhir. • Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas
yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus. •
Menuliskan turus-turus dalambilangan yang bersesuaian dengan banyak turus.
b. Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi frekuensi bersifat
mutlak. Adapun frekuensi relatif dari suatu data adalah dengan
membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan banyak data
dinyatakan dalam persen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah 20. Total data
seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas ini adalah
Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut.
Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensi pada kelas yang
dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya. Ada dua macam frekuensi
kumulatif, yaitu
1) frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil terhadap tepi atas
kelas)
2) frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil terhadap tepi bawah
kelas).
c. Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya seperti
diagram batang. Batang yang berdekatan harus berimpit. Untuk pembuatan
histogram, pada setiap interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas
ini digunakan unntuk menentukan titik tengah kelas yang dapat ditulis sebagai
berikut.
Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan titik-titik tengah setiap
puncak persegipanjang dari histogram secara berurutan. Agar poligon
"tertutup" maka sebelum kelas paling bawah dan setelah kelas paling atas,
masing-masing ditambah satu kelas.
d. Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi
kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif. Untuk populasi yang besar,
poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang menyerupai kurva sehingga
poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif. Ada dua
macam ogif, yaitu sebagai berikut.
a. Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
b. Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.
simpangan, dan ragam
1. Rumus Rataan Hitung (Mean)
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan
banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.
a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal
b) Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi
Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i
c) Rumus Rataan Hitung Gabungan
2. Rumus Modus
a. Data yang belum dikelompokkan
Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki
frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.
b. Data yang telah dikelompokkan
Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:
Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i =
Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat
sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat
sesudahnya
3. Rumus Median (Nilai Tengah)
a) Data yang belum dikelompokkan
Untuk mencari median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang
terkecil sampai yang terbesar.
b) Data yang Dikelompokkan
Dengan : Qj = Kuartil ke-j
j = 1, 2, 3
i = Interval kelas
Lj = Tepi bawah kelas Qj
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj
f = Frekuensi kelas Qj
n = Banyak data
4. Rumus Jangkauan ( J )
Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.
5. Rumus Simpangan Quartil (Qd)
6. Rumus Simpangan baku ( S )
7. Rumus Simpangan rata – rata (SR)
8. Rumus Ragam (R)