Menentukan Minimum Spanning Tree Pada Pemasangan Kabel Fiber Optik Jaringan 4g Di Universitas Sumatera Utara Menggunakan Algoritma Sollin Dan Algoritma Prim’s
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas landasan teori, penelitian terdahulu, kerangka berpikir, dan
hipotesis yang mendasari penyelesaian masalah dalam menentukan minimum
spanning tree pemasangan kabel fiber optik jaringan 4G di Universitas Sumatera
Utara dengan algoritma Sollin dan algoritma Prim’s.
2.1 Graf
Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari mengenai
terminology dari graf, jenis, dan sifat – sifatnya. Graf yang dimaksud dalam teori graf
berbeda dengan “grafik”. Dalam teori graf, sebuah graf merupakan kumpulan benda
yang direpresentasikan dalam bentuk simpul (vertex) dan terdapat garis – garis atau
yang disebut dengan sisi (edge) yang menghubungkan simpul – simpul. Garis pada
graf dapat berupa garis panah atau garis lurus.
Graf dalam teknologi masa kini banyak diterapkan dalam mekanisme
pencarian rute terpendek dalam GPS, algoritma pencarian dalam game atau
penanganan serangan virus dalam sebuah jaringan, dan permasalahan penjadwalan.
Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan
dengan G = (V, E), dimana: V adalah himpunan tidak kosong dari titik, simpul, vertex
atau nodes dari G yaitu V = {v 1 , v 2 , v 3 , ......... v n } dan E adalah himpunan rusuk, edges
atau sisi dari G yang menghubungkan sepasang simpul, yaitu E = {e 1 , e 2 , e 3 , .........
e n }.
Definisi graf diatas menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E
boleh kosong. Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buahpun,
tetapi
simpulnya
harus
ada,
minimal
satu
graf.
(Rinaldi,
2005)
Universitas Sumatera Utara
2.2 Jenis – Jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis. Pengelompokan jenis graf
bergantung pada sudut pandang pengelompokkannya. Pengelompokkan graf dapat
dipandang berdasarkan ada atau tidak adanya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan
jumlah simpul, berdasarkan orientasi arah pada sisi, berdasarkan keterhubungan
simpul, serta berdasarkan bobotnya.
Berdasarkan ada atau tidak adanya sisi ganda pada suatu graf, maka graf data
dikategorikan menjadi dua jenis, yaitu:
1.
Graf Sederhana (Simple Graph)
Graf sederhana merupakan graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda.
Pada graf sederhana, sisi (u,v) sama dengan sisi (v,u).
2.
Graf Tak Sederhana (Unsimple Graph)
Graf tak sederhana merupakan graf yang mengandung sisi ganda atau gelang. Ada dua
jenis graf tak sederhana, yaitu:
a. Graf Ganda (Multigraph) yaitu graf yang mengandung sisi ganda yang
menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah simpul. Sisi ganda
dapat diasosiasikan sebagai pasangan tak terurut yang sama.
b. Graf Semu (Pseudograph) yaitu graf yang mengandung gelang (loop) yang dapat
terhubung ke dirinya sendiri.
Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka graf dapat dikategorikan
menjadi dua jenis, yaitu:
1.
Graf Berhingga (Limited Graph)
Graf berhingga merupakan graf yang jumlah simpulnya sejumlah n berhingga.
2.
Graf Tak Berhingga (Unlimited Graph)
Graf tak berhingga merupakan graf yang jumlah simpulnya, n, tidak berhingga
banyaknya.
Universitas Sumatera Utara
Berdasarkan orientasi arah pada sisiya, graf dapat dikategorikan menjadi dua
jenis, yaitu:
1.
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Graf tak berarah merupakan graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah
sehingga urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Graf
tak berarah G terdiri dari suatu himpunan V dari simpul – simpul dan suatu himpunan
E dari sisi – sisi sedemikian rupa sehingga setiap sisi e ε E dikaitkan dengan pasangan
simpul tak terurut. Jika terdapat sebuah sisi e yang menghubungkan simpul (vertex) v
dan w, maka dapat dituliskan dengan e = (v,w) atau e = (w,v) yang menyatakan sebuah
sisi (edge) antara v dan w.
e1
v1
v5
e2
v2
e3
e6
e5
v3
e4
Gambar 2. 1 Graf Tak Berarah
v4
2.
Graf Berarah (Directed Graph atau Digraph).
Graf berarah merupakan graf yang pada setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada
graf tak berarah (undirected graph) elemen dari E disebut dengan edge, sedangkan
pada graf berarah (directed graph) elemen dari E(A) disebut dengan arc. Graph
berarah G terdiri dari suatu himpunan V dari simpul - simpul dan suatu himpunan
E(A) dari arc sedemikian rupa sehingga setiap arc a ε A menghubungkan pasangan
simpul terurut. Jika terdapat sebuah arc a yang menghubungkan pasangan terurut
(v,w) dari simpul - simpul, maka dapat ditulis dengan a=(v,w), yang menyatakan
sebuah arc dari v ke w.
Pada suatu graf jika dua buah simpul (vertex) v 1 dan v 2 dihubungkan oleh suatu
edge(arc), maka kedua simpul (vertex) tersebut dikatakan adjacent. Pada Gambar 4
simpul (vertex) v 1 adjacent (bertetangga) dengan simpul v 2 . Sementara itu, arc a 1
dikatakan incident (bersisian) dengan simpul v 1 dan simpul v 2 .
Universitas Sumatera Utara
v1
v2
e1
e2
e4
v3
e3
v4
Gambar 2. 2 Graf Berarah
Berdasarkan keterhubungan simpul pada suatu graf, maka graf dikategorikan
menjadi dua jenis, yaitu:
1.
Graf Terhubung (Connected Graph)
Graf terhubung merupakan graf yang terdapat bila ada dua titik dalam graf G yang
terhubung. Misalkan u dan v adalah titik yang berbeda pada graf G. Maka titik u dan v
dapat dikatakan terhubung (connected) jika terdapat lintasan u – v di G. Sedangkan
suatu graf G dapat dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap titik u dan v di G
terhubung. (Lubis, Ibnu H. 2011)
v1
e1
v2
e4
e2
v4
e3
v3
Gambar 2. 3 Graf Terhubung
2.
Graf Tidak Terhubung (Unconnected Graph)
Sebuah graf G dikatakan tidak terhubung bila dan hanya bila ada dua titik dalam graf
G tidak membentuk lintasan.
v1
e1
v2
e2
v4
e3
v3
Gambar 2. 4 Graf Tidak Terhubung
Berdasarkan bobotnya graf dapat dikategorikan menjadi dua jenis, yaitu:
1.
Graf Tidak Berbobot (Unweighted Graph)
Graf Tidak Berbobot (Unweighted Graph) merupakan graf yang tidak mempunyai
bobot atau nilai.
Universitas Sumatera Utara
2.
Graf Berbobot (Weighted Graph)
Graf berbobot (weighted graph) adalah suatu graf yang setiap garisnya berhubungan
dengan suatu bilangan riil positif yang menyatakan bobot garis tersebut. Bobot garis e
biasanya diberi simbol w(e). Jumlah bobot semua garis disebut total bobot. (Surendro,
R. 2008)
v5
3
v2
2
v1
5
7
4
v4
8
v3
Gambar 2. 5 Graf Berbobot
2.3 Pohon (Tree)
Pohon dapat didefinisikan sebagai graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung
sirkuit. Menurut definisi diatas, ada dua sifat penting pada pohon yaitu terhubung dan
tidak mengandung sirkuit. Pohon (Tree) dinotasikan dengan T. (Munir, R. 2005)
Konsep pohon sebelumnya sudah diterapkan oleh Arthur Cayley, seorang
Matematikawan asal Inggris pada tahun 1870 – an. Arthur menerapkan konsep pohon
dalam perhitungan molekul kimia. Tetapi, pada masa kini konsep pohon banyak
diterapkan dalam berbagai bidang, mulai dari lingkuistik hingga komputer.
Sebuah graf G dengan n simpul (vertex) dapat dikatakan sebuah tree, jika:
1. G terhubung dan tidak memuat sirkuit, atau
2. G terhubung dan memiliki n – 1 edge, atau
3. G tidak memuat sirkuit dan memiliki n – 1 edge, atau
4. Terdapat tepat satu path diantara setiap pasangan simpul di G, atau
5. G setidaknya merupakan sebuah graf terhubung.
Pada Gambar 2.6, (a) tidak termasuk sebuah pohon karena mengandung sirkuit
yaitu a – d – f – a, (b) juga tidak termasuk sebuah pohon karena merupakan graf tidak
terhubung, sedangkan (c) merupakan sebuah pohon karena merupakan graf terhubung
tetapi tidak memiliki sirkuit.
Universitas Sumatera Utara
a
b
a
b
a
b
c
c
d
c
d
d
e
f
e
e
f
f
(a)
(b)
(c)
Gambar 2. 6 (a) dan (b) bukan pohon, sedangkan (c) adalah pohon
2.4 Minimum Spanning Tree (MST)
Pohon yang mengandung simpul – simpul dalam sebuah grafik yang saling terhubung
disebut spanning tree. Permasalahannya adalah bagaimana mendapatkan suatu pohon
T yang mengandung semua simpul dalam grafik G dan mengandung jumlah minimum
dari bobot simpul – simpulnya (u,v) dari pohon T. (Purwanto, E. 2008)
Pernyataan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan:
………… (1)
Algoritma minimum spanning tree mengelola sebuah himpunan suatu simpul
A, kemudian menjalankan iterasi secara invariant (tidak berbeda). Perhatian utama
pada setiap iterasi adalah bahwa A sebagai sub – himpunan dari beberapa MST,
sehingga setiap langkah akan ditentukan simpul yang akan ditambahkan ke simpul A
tersebut tanpa menghilangkan sifat invariant-nya. (Purwanto, E. 2008)
Perlu dicermati bahwa spanning tree hanya untuk graf terhubung karena pohon
selalu terhubung. Kasus yang dipecahkan dalam minimum spanning tree adalah
mencari jarak minimum dari setiap ruas (ujung) pada grafik yang membentuk pohon
pencarian. Sebagai catatan bahwa tidak semua grafik bisa dihitung menggunakan
MST karena untuk menghitung jarak minimum atas terbentuknya sebuah grafik harus
memenuhi kriteria – kriteria spanning tree yaitu:
a. Setiap ruas pada grafik harus terhubung
b. Setiap ruas pada grafik harus mempunyai nilai (bobot)
c. Setiap ruas pada grafik tidak mempunyai arah
Pada suatu graf G, total jarak minimum dapat dihitung dengan langkah –
langkah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
1. Pada suatu graf G yang terbentuk, perhatikan apakah memenuhi kriteria sebagai
suatu spanning tree.
2. Lakukan pelacakan secara berurutan dimulai dari simpul pertama hingga simpul
terakhir.
3. Pada setiap simpul perhatikan bobot tiap – tiap edge.
4. Ambil nilai atau bobot terkecil yang artinya jarak terpendek dari setiap ruas (edge)
simpul.
5. Lanjutkan sampai seluruh simpul membentuk suatu spanning tree.
6. Jumlahkan bobot yang telah dipilih yang menghubungkan simpul – simpul
tersebut.
2.5 Lintasan (Path)
Misalkan v 0 sampai v n adalah simpul - simpul yang ada dalam sebuah graph. Sebuah
lintasan dari v 0 sampai v n adalah sebuah barisan berselang – seling dari n+1 simpul
dan n edges yang berawal dari v 0 dan berakhir di v n yang berbentuk (v 0 , e 1 , v 1 , e 2 , v 2 ,
... v n-1 , e n , v n+1 ) dengan edge e i insiden pada simpul v i-1 dan v i untuk i = 1, ... , n
(Johnsonbaugh, 1998).
Jika lintasan berawal dan berakhir pada satu simpul (vertex)yang sama, maka
graph dengan lintasan tersebut disebut dengan graph tertutup, dan sebaliknya, jika
lintasan berawal dan berakhir pada lintasan berbeda, maka graph dengan lintasan
tersebut disebut dengan graph terbuka. Panjang lintasan pada graph adalah jumlah
semua bobot edge pada graph tersebut. (Lubis, H. 2009)
2.6 Path Minimum
Misalkan G adalah suatu graph, dimana v dan w adalah dua simpul (vertex) dalam G.
Suatu walk dari v ke w adalah barisan simpul - simpul berhubungan dan edge secara
berselang – seling. Path dengan panjang n dari v ke w adalah walk dari v ke w yang
semua sisi (edge)-nya berbeda. Jika dua buah simpul (vertex)dihubungkan oleh dua
atau lebih beberapa sisi (edges), maka path minimum diambil dari sisi (edges) dengan
bobot yang terkecil. Untuk mencari jalur tercepat, path minimum tetap dipakai dengan
cara mengganti nilai sisi (edges). (Lubis, H. 2009)
Universitas Sumatera Utara
2.7 Jarak Euclidean (Euclidean Distance)
Jarak Euclidean (Euclidean Distance) diperkenalkan oleh Euclid, seorang
matematikawan dari Yunani sekitar tahun 300 SM untuk mempelajari hubungan
antara sudut dan jarak. Euclidean berkaitan dengan teorema Phytagoras dan biasanya
diterapkan pada satu, dua, dan tiga dimensi.
Jarak Euclidean merupakan suatu metode metrika yang paling sering
digunakan untuk menghitung atau mencari kedekatan nilai jarak dari dua buah
variabel. Jarak Euclidean adalah sebuah fungsi heuristik yang diperoleh berdasarkan
jarak langsung bebas hambatan, misalnya ntuk mendapatkan nilai dari panjang garis
diagonal pada sebuah segitiga. Dalam kasus ini, maka rumus Euclidean digunakan
untuk mencari nilai jarak antara dua buah titik dalam koordinat dua dimensi (x,y).
Gambar 2. 7 Cara Menghitung Jarak Euclidean
Rumus dari Euclidean distance adalah akar dari kuadrat perbedaan dua titik
koordinat atau dapat dituliskan sebagai berikut:
Keterangan:
d = jarak Euclidean
x 1 = nilai koordinat x pada titik 1
x 2 = nilai koordinat x pada titik 2
y 1 = nilai koordinat y pada titik 1
y 2 = nilai koordinat y pada titik 2
2.8 Algoritma
Istilah algoritma mulai dikenalkan oleh seorang ilmuwan Persia bernama Abu Ja’far
Muhammad Ibn Musa Al-Khowarizmi yang hidup antara tahun 780 – 850 di Baghdad,
Irak. (Purwanto, E. 2008)
Universitas Sumatera Utara
Al Khowarizmi dibaca orang barat menjadi Algorism. Kata ini diambil dari
makna khusus di ilmu komputer, dimana “algoritma” merujuk pada metode yang
dapat digunakan komputer untuk memberikan solusi pada masalah yang ada. Inilah
yang membuat algoritma berbeda dari kata – kata proses, teknik, atau metode.
Algoritma adalah himpunan berhingga dari instruksi, yang apabila diikuti
dapat menyelesaikan masalah tertentu. (Horowitz, E., Sahni, S., Rajasekaran, S.
1998).
Terdapat beberapa definisi yang diberikan untuk kata algoritma antara lain:
1. Algoritma adalah sekelompok aturan untuk menyelesaikan perhitungan yang
dilakukan oleh tangan atau mesin.
2. Algoritma adalah langkah demi langkah sebuah prosedur berhingga yang
dibutuhkan untuk menghasilkan sebuah penyelesaian.
3. Algoritma adalah urutan langkah – langkah perhitungan yang mentransformasikan
dari nilai masukan menjadi keluaran.
4. Algoritma adalah urutan operasi yang dilakukan terhadap data yang terorganisasi
dalam struktur data.
5. Algoritma adalah sebuah program abstrak yang dapat dieksekusi secara fisik oleh
mesin.
6. Algoritma adalah sebuah model perhitungan yang dilakukan oleh komputer.
Sebagai tambahan, semua algoritma harus memenuhi kriteria sebagai berikut:
1. Input. Sebuah algoritma memiliki nol atau lebih input yang diberikan kepada
algoritma sebelum dijalankan.
2. Output. Sebuah algoritma memiliki satu atau lebih output, yang biasanya
bergantung kepada input.
3. Definitenes. Setiap langkah harus didefinisikan secara tepat, tidak boleh
membingungkan (ambiguous).
4. Finiteness. Algoritma harus berhenti after a finite number of steps.
5. Effectiveness. Setiap algoritma diharapkan miliki sifat efektif.
Algoritma terdiri dari satu set langkah yang terbatas, yang masing-masing
mungkin memerlukan satu atau lebih operasi. Kemungkinan komputer melaksanakan
operasi ini mengharuskan bahwa kendala tertentu ditempatkan pada jenis operasi dari
algoritma didalamnya. (Horowitz, E., Sahni, S., Rajasekaran, S. 1998).
Universitas Sumatera Utara
Jadi dapat disimpulkan bahwa algoritma lebih merupakan alur pemikiran atau
urutan-urutan dari instruksi untuk menyelesaikan suatu pekerjaan atau suatu masalah
dari pada pembuatan program komputer dalam rentang waktu tertentu. Algoritma
inilah yang kemudian dijadikan landasan atau pedoman untuk membuat program
komputer.
2.8.1 Algoritma Sollin
Algoritma Sollin adalah suatu algoritma dalam teori graf yang digunakan untuk
menentukan minimum spanning tree di dalam graf berbobot terhubung dengan cara
melakukan penghapusan sisi – sisi yang tidak menyebabkan graf menjadi tidak
terhubung atau membentuk sirkuit. (Lubis, Ibnu H. 2011)
Langkah – langkah dalam menentukan hasil dari Algoritma Sollin ini adalah:
1. Menginisialisasi bahwa graf T masih berupa graf kosong.
2. Memilih edge dengan nilai bobot terbesar dari masing – masing titik yang saling
berhubungan kemudian mengeliminasi edge yang sama jika pada edge yang
terpilih terdapat edge dengan titik yang sama.
3. Mengelompokkan edge yang telah terpilih ke dalam tree-nya masing – masing.
Menghubungkan masing – masing tree yang telah terbentuk di dalam graf T agar
menjadi suatu penyelesaian MST. (Wamiliana. Kurniawan, D. Shavitri, C. 2014).
Contoh dari algoritma Sollin dapat dilihat pada Gambar 2.8. Graf berikut
merupakan suatu graf berbobot yang memiliki 10 simpul dan 16 sisi dengan bobot
awal adalah 2 + 9 + 6 + 7 + 1 + 8 + 3 + 5 + 4 + 3 + 2 + 11 + 10 + 2 + 8 + 6 = 87.
9
b
6
c
10
d
e
3
2
a
7
11
j
5
4
2
8
2
3
8
i
h
1
6
g
f
(a) Pencarian MST pada algoritma Sollin dilakukan dengan memilih sisi yang
memiliki bobot terbesar yaitu sisi c – g dengan bobot 11.
9
b
10
d
e
3
2
5
a
6
c
11
j
4
2
8
2
3
i
7
8
h
1
g
6
f
Universitas Sumatera Utara
(b) Kemudian dari masing – masing verteks yang saling berhubungan dicari sisi yang
mempunyai bobot terbesar dan menghapus sisi yang membentuk sirkuit pada
graf.
9
b
10
d
e
3
2
a
6
c
11
j
5
4
7
2
8
2
3
8
i
h
1
6
g
f
(c) Sisi (edge) c – d dihapus karena membentuk sirkuit c - d – g – c.
9
b
c
e
3
2
5
a
10
d
11
j
4
7
2
8
2
3
8
i
h
1
6
g
f
(d) Langkah berikutnya mencari kembali sisi dengan bobot terbesar dari masing –
masing verteks yang saling berhubungan.
9
b
c
e
3
2
a
10
d
7
11
j
5
4
2
8
2
3
8
i
h
1
6
g
f
(e) Langkah yang dilakukan sama seperti langkah sebelumnya.
9
b
c
e
3
2
5
a
10
d
11
j
4
2
8
2
3
i
7
8
h
1
g
6
f
Universitas Sumatera Utara
(f) Sisi f – g dihapus karena membentuk sirkuit d – e – f – g – d, dan sisi e – g
dihapus karena membentuk sirkuit d – e – g – d.
9
b
c
e
3
2
a
10
d
4
7
11
j
5
8
2
3
8
i
h
1
g
f
(g) Sisi h – g dihapus karena membentuk sirkuit b – c – g – h – i – b.
9
b
c
e
3
2
a
10
d
4
7
11
j
5
8
2
3
8
i
h
g
f
(h) Sisi i – j dihapus karena membentuk sirkuit i – j – h – i, dan sisi c – j dihapus
karena membentuk sirkuit b – c – j – h – i – b.
b
9
c
10
d
e
2
5
a
11
j
7
8
2
3
8
i
h
g
f
(i) Sisi a – b dihapus karena membentuk sirkuit a – b – i – a. Total bobot akhir adalah
3 + 5 + 9 + 11 + 7 + 10 + 8 + 2 + 8 = 63.
b
5
a
9
c
11
j
10
d
e
7
8
2
3
i
8
h
g
f
Gambar 2. 8 Proses pengerjaan graf berbobot dengan menggunakan Algoritma
Sollin
Universitas Sumatera Utara
2.8.2 Algoritma Prim’s
Salah satu algoritma yang sering digunakan untuk menyelesaikan persoalan minimum
spanning tree adalah algoritma Prim’s. Algoritma ini ditemukan oleh Robert C. Prim.
(Syahfitri, R. 2009)
Algoritma Prim’s adalah suatu algoritma di dalam teori graf yang bertujuan
menentukan suatu minimum spanning tree dari suatu graf terhubung yang berbobot.
Metode ini digunakan untuk menentukan suatu subset dari sisi yang membentuk suatu
pohon yang melibatkan tiap – tiap titik, dimana total bobot dari semua sisi di dalam
pohon adalah minimum. (Lubis, Ibnu H. 2011)
Algoritma Prim’s dimulai dari graf kosong. Algoritma ini membentuk
minimum spanning tree langkah demi langkah dimana pada setiap langkah kita
mengambil verteks – verteks yang berkaitan dengan sisi (edge) tersebut, namun pada
pemilihan edge berikutnya selalu terhubung dengan minimum spanning tree T yang
telah terbentuk. Langkah – langkah dalam menentukan hasil dari Algoritma Prim’s ini
adalah:
1. Ambil sembarang simpul (vertex) sebagai simpul awal dari graf G, kemudian cari
sisi (edge) yang berbobot minimum dari simpul (vertex) awal tersebut, masukkan
ke dalam T.
2. Pilih edge (u,v) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul T,
tetapi (u,v) tidak membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u,v) ke dalam T.
3. Ulangi langkah 2 sampai minimum spanning tree terbentuk, yaitu setelah
mengalami pengulangan sebanyak n – 2 kali dimana n adalah jumlah simpul graf
G. (Syahfitri, R. 2009)
Contoh dari algoritma Prim’s dapat dilihat pada Gambar 2.9. Graf berikut
merupakan suatu graf berbobot yang memiliki 10 verteks dan 16 sisi dengan bobot
awal adalah 2 + 9 + 6 + 10 + 8 + 6 + 1 + 8 + 3 + 5 + 4 + 3 + 2 + 11 + 7 + 2 = 87.
9
b
10
d
e
3
2
5
a
6
c
11
j
4
2
8
2
3
i
7
8
h
1
g
6
f
Universitas Sumatera Utara
(a) Proses pencarian MST dilakukan dengan mencari sisi yang memiliki bobot atau
nilai terkecil dari verteks awal, yaitu a.
9
b
10
d
e
3
2
5
a
6
c
11
j
4
7
2
8
2
3
8
i
h
1
6
g
f
(b) Kemudian selanjutnya dilakukan pencarian dengan memilih sisi yang bersisian
dengan verteks dan memiliki bobot terkecil dan tidak membentuk sirkuit.
Langkah ini dilakukan secara berulang hingga terbentuk sebuah minimum
spanning tree (MST) dari graf tersebut.
9
b
6
c
10
d
e
3
2
a
5
7
11
j
4
2
8
2
3
8
i
h
1
g
6
f
d
10
e
(c)
9
b
3
2
5
a
6
c
11
j
4
7
2
8
2
3
8
i
h
1
g
6
f
d
10
e
(d)
9
b
3
2
5
a
6
c
11
j
4
7
2
8
2
3
8
i
h
1
g
6
f
d
10
e
(e)
9
b
3
2
a
6
c
4
2
8
2
3
i
7
11
j
5
8
h
1
g
6
f
Universitas Sumatera Utara
(f) Sisi b – i tidak dihitung di dalam graf karena membentuk sirkuit a – b – i – a.
9
b
10
d
e
3
2
5
a
6
c
11
j
4
2
8
2
3
8
i
7
h
1
g
6
d
10
f
(g)
9
b
e
3
2
5
a
6
c
11
j
4
7
2
8
2
3
8
i
h
1
g
6
f
d
10
e
(h)
9
b
3
2
a
6
c
7
11
j
5
4
2
8
2
3
8
i
h
1
6
g
f
(i) Total bobot akhir dari graf adalah 2 + 3 + 4 + 2 + 1 + 3 + 6 + 2 + 8 = 31.
9
b
10
d
e
3
2
5
a
6
c
11
j
4
2
8
2
3
i
7
8
h
1
g
6
f
Gambar 2. 9 Proses pengerjaan graf berbobot dengan menggunakan algoritma
Prim’s untuk menentukan minimum spanning tree dengan verteks awal adalah a.
2.9
Kompleksitas Algoritma
Kompleksitas dari suatu algoritma merupakan seberapa banyak komputasi yang
dibutuhkan algoritma tersebut untuk menyelesaikan masalah. Secara informal,
algoritma yang dapat menyelesaikan suatu permasalahan dalam waktu yang singkat
memiliki kompleksitas yang rendah, sementara algoritma yang membutuhkan waktu
Universitas Sumatera Utara
lama untuk menyelesaikan masalahnya mempunyai kompleksitas yang tinggi (Ulfah
Nur Azizah, 2013).
Dua hal penting untuk mengukur efektivitas suatu algoritma yaitu
kompleksitas ruang (keadaan) dan kompleksitas waktu. Kompleksitas ruang berkaitan
dengan sistem memori yang dibutuhkan dalam eksekusi program. Kompleksitas waktu
dari algoritma berisi ekspresi bilangan dan jumlah langkah yang dibutuhkan sebagai
fungsi dari ukuran permasalahan. Analisa asimtotik menghasilkan notasi Ο (Big O)
dan dua notasi untuk komputer sain yaitu
(Big Theta) d an Ω (Big Omega)
(Purwanto, E. 2008)
Kinerja algoritma dibuktikan dengan menjumlahkan bilangan bulat dari
masing-masing operasi ketika algoritma di jalankan. Kinerja sebuah algoritma
dievaluasi sebagai fungsi ukuran masukan n dan konstanta modulo pengali yang
digunakan.
2.9.1 Big – O Notation
Di definisikan bahwa f(n) merupakan Big-O dari g(n) dan dinotasikan f(n) = O(g(n))
jika dan hanya jika terdapat dua konstanta positif n 0 dan c sedemikian sehingga
berlaku | f (n) |≤ C | g (x) | ; ketika n > n 0 . Dalam grafik nilai f(n) di sebelah kanan n 0
selalu berada di bawah cg(n). (Anany Levitin, 2011)
Gambar 2. 10 Grafik fungsi big-O
(Sumber: Anany Levitin, 2011)
2.9.2 Big Theta ( ) Notation
(g(n)) adalah himpunan semua fungsi yang memiliki tingkat pertumbuhan yang sama
dengan g(n) (hingga beberapa konstanta, sampai n ke tak terhingga). Sebuah fungsi
t(n) dikatakan bagian dari (g(n)), dilambangkan dengan t(n) Є (g(n)), jika t(n) batas
Universitas Sumatera Utara
atas dan bawahnya adalah beberapa konstanta positif g(n) untuk semua n yang besar,
yaitu jika ada beberapa konstanta positif c 1 dan c 2 serta beberapa bilangan bulat nonnegatif n 0 seperti c 2 g(n) ≤ t(n) ≤ c 1 g(n) untuk semua n ≥ n 0 . (Anany Levitin, 2011)
Gambar 2. 11 Grafik fungsi big-theta
(Sumber: Anany Levitin, 2011)
2.9.3 Big Omega (Ω) Notation
Di definisikan bahwa f(n) merupakan Omega dari g(n) dan dinotasikan f(n) = Ω(g(n))
jika dan hanya jika terdapat dua konstanta positif n 0 dan c sedemikian sehingga
berlaku | f (n) |≥ C | g (x) | ketika n > n 0 . Dalam grafik nilai f(n) di sebelah kanan n 0
selalu berada di atas cg(n). (Anany Levitin, 2011)
Gambar 2. 12 Grafik fungsi big- omega
(Sumber: Anany Levitin, 2011)
2.10 Fiber Optik
Serat optik merupakan media transmisi yang terbuat dari bahan kaca (glass) yang
berkualitas, sehingga memiliki kehandalan dan kelebihan dibandingkan media
transmisi yang terbuat dari bahan logam seperti kabel tembaga, kabel coaxial dan
stripline. (Hanafiah, Ali. 2009).
Universitas Sumatera Utara
Sistem komunikasi serat optik secara umum dapat digambarkan dalam blok
diagram pada Gambar 2.13 berikut:
(Pengirim)
(Penerima)
Informasi asli:
suara, video, data
Informasi asli:
suara, video, data
Transducer
Transducer
Data
Processing
Data
Processing
Sumber
Optik
Detektor
Optik
Pengkopel
Kanal
Pengkopel
Kanal
Media Transmisi
Serat Optik
Gambar 2. 13 Diagram Blok Sistem Komunikasi Serat Optik Secara Umum
(Sumber: Hanafiah, Ali. 2009)
Transducer mengubah informasi asli yang berupa suara, video, dan data
menjadi sinyal informasi elektrik. Pada data processing, sinyal disesuaikan agar dapat
dimodulasikan pada sumber optik. Sumber optik mengubah sinyal informasi elektrik
menjadi sinyal informasi optik. Sejumlah daya diberikan oleh pengkopel kanal
(masukan) ke media transmisi serat optik agar sinyal informasi optik dapat diterima
pada sisi penerima setelah melalui saluran serat optik. Sinyal informasi optik diubah
kembali menjadi sinyal informasi elektrik. Dan setelah disesuaikan, sinyal informasi
elektrik diubah menjadi informasi aslinya oleh suatu transducer. (Hanafiah, Ali.
2009).
Sumber optik berfungsi sebagai pemancar cahaya yang membawa informasi.
Menurut Ali Hanafiah, 2009 dari (Zanger, 1991, Thomas, 1995) sumber tersebut harus
memenuhi persyaratan diantaranya adalah:
• Cahaya yang dihasilkan harus mendekati monokhromatis.
• Mempunyai keluaran cahaya yang berintensitas tinggi sehingga mampu mengatasi
redaman di sepanjang saluran serat.
• Mudah dimodulasi oleh sinyal informasi.
• Memiliki dimensi yang kecil dan mudah dihubungkan dengan serat.
Universitas Sumatera Utara
Sumber optik yang umum digunakan pada sistem komunikasi serat optik
adalah LED (Light Emitting Diode) dan LD (Laser Diode). (Hanafiah, Ali. 2009)
Pengkopel kanal merupakan alat penghubung antara sumber optik dan serat
optik serta antara serat optik dan detektor optik. (Hanafiah, Ali. 2009)
Menurut Ali Hanafiah yang dikutip dari (Zanger, 1991, Thomas, 1995) serat
optik memiliki beberapa keunggulan dibandingkan dengan media transmisi yang
lainnya, yaitu:
• Mempunyai lebar bidang (bandwidth) yang sangat lebar, tetapi ukuran serat yang
sangat kecil dan murah.
• Sinyal cahayanya tidak terpengaruh oleh medan elektrik dan medan magnetik serta
terjamin keamanannya.
• Tidak akan terjadi percikan api karena di dalam serat tidak terdapat tenaga listrik,
tahan terhadap gas beracun, bahan kimia, dan air sehingga mampu ditanam dalam
tanah.
• Redaman yang sangat rendah sehingga mampu digunakan untuk komunikasi jarak
jauh tanpa penguat dan pengulang (repeater).
Detektor optik berfungsi untuk mengubah sinyal informasi optik menjadi sintal
informasi elektrik. Menurut Ali Hanafiah yang dikutip dari (Zanger, 1991, Thomas,
1995) detektor tersebut harus memiliki sensitivitas yang tinggi, memiliki waktu
respon yang cepat, dan memiliki noise internal yang kecil.
Karakteristik penting lainnya yang harus dipenuhi adalah kestabilan,
keakuratan, tidak peka terhadap perubahan suhu, dan harga yang sesuai. (Hanafiah,
Ali. 2009)
Universitas Sumatera Utara
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas landasan teori, penelitian terdahulu, kerangka berpikir, dan
hipotesis yang mendasari penyelesaian masalah dalam menentukan minimum
spanning tree pemasangan kabel fiber optik jaringan 4G di Universitas Sumatera
Utara dengan algoritma Sollin dan algoritma Prim’s.
2.1 Graf
Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari mengenai
terminology dari graf, jenis, dan sifat – sifatnya. Graf yang dimaksud dalam teori graf
berbeda dengan “grafik”. Dalam teori graf, sebuah graf merupakan kumpulan benda
yang direpresentasikan dalam bentuk simpul (vertex) dan terdapat garis – garis atau
yang disebut dengan sisi (edge) yang menghubungkan simpul – simpul. Garis pada
graf dapat berupa garis panah atau garis lurus.
Graf dalam teknologi masa kini banyak diterapkan dalam mekanisme
pencarian rute terpendek dalam GPS, algoritma pencarian dalam game atau
penanganan serangan virus dalam sebuah jaringan, dan permasalahan penjadwalan.
Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan
dengan G = (V, E), dimana: V adalah himpunan tidak kosong dari titik, simpul, vertex
atau nodes dari G yaitu V = {v 1 , v 2 , v 3 , ......... v n } dan E adalah himpunan rusuk, edges
atau sisi dari G yang menghubungkan sepasang simpul, yaitu E = {e 1 , e 2 , e 3 , .........
e n }.
Definisi graf diatas menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E
boleh kosong. Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buahpun,
tetapi
simpulnya
harus
ada,
minimal
satu
graf.
(Rinaldi,
2005)
Universitas Sumatera Utara
2.2 Jenis – Jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis. Pengelompokan jenis graf
bergantung pada sudut pandang pengelompokkannya. Pengelompokkan graf dapat
dipandang berdasarkan ada atau tidak adanya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan
jumlah simpul, berdasarkan orientasi arah pada sisi, berdasarkan keterhubungan
simpul, serta berdasarkan bobotnya.
Berdasarkan ada atau tidak adanya sisi ganda pada suatu graf, maka graf data
dikategorikan menjadi dua jenis, yaitu:
1.
Graf Sederhana (Simple Graph)
Graf sederhana merupakan graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda.
Pada graf sederhana, sisi (u,v) sama dengan sisi (v,u).
2.
Graf Tak Sederhana (Unsimple Graph)
Graf tak sederhana merupakan graf yang mengandung sisi ganda atau gelang. Ada dua
jenis graf tak sederhana, yaitu:
a. Graf Ganda (Multigraph) yaitu graf yang mengandung sisi ganda yang
menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah simpul. Sisi ganda
dapat diasosiasikan sebagai pasangan tak terurut yang sama.
b. Graf Semu (Pseudograph) yaitu graf yang mengandung gelang (loop) yang dapat
terhubung ke dirinya sendiri.
Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka graf dapat dikategorikan
menjadi dua jenis, yaitu:
1.
Graf Berhingga (Limited Graph)
Graf berhingga merupakan graf yang jumlah simpulnya sejumlah n berhingga.
2.
Graf Tak Berhingga (Unlimited Graph)
Graf tak berhingga merupakan graf yang jumlah simpulnya, n, tidak berhingga
banyaknya.
Universitas Sumatera Utara
Berdasarkan orientasi arah pada sisiya, graf dapat dikategorikan menjadi dua
jenis, yaitu:
1.
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Graf tak berarah merupakan graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah
sehingga urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Graf
tak berarah G terdiri dari suatu himpunan V dari simpul – simpul dan suatu himpunan
E dari sisi – sisi sedemikian rupa sehingga setiap sisi e ε E dikaitkan dengan pasangan
simpul tak terurut. Jika terdapat sebuah sisi e yang menghubungkan simpul (vertex) v
dan w, maka dapat dituliskan dengan e = (v,w) atau e = (w,v) yang menyatakan sebuah
sisi (edge) antara v dan w.
e1
v1
v5
e2
v2
e3
e6
e5
v3
e4
Gambar 2. 1 Graf Tak Berarah
v4
2.
Graf Berarah (Directed Graph atau Digraph).
Graf berarah merupakan graf yang pada setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada
graf tak berarah (undirected graph) elemen dari E disebut dengan edge, sedangkan
pada graf berarah (directed graph) elemen dari E(A) disebut dengan arc. Graph
berarah G terdiri dari suatu himpunan V dari simpul - simpul dan suatu himpunan
E(A) dari arc sedemikian rupa sehingga setiap arc a ε A menghubungkan pasangan
simpul terurut. Jika terdapat sebuah arc a yang menghubungkan pasangan terurut
(v,w) dari simpul - simpul, maka dapat ditulis dengan a=(v,w), yang menyatakan
sebuah arc dari v ke w.
Pada suatu graf jika dua buah simpul (vertex) v 1 dan v 2 dihubungkan oleh suatu
edge(arc), maka kedua simpul (vertex) tersebut dikatakan adjacent. Pada Gambar 4
simpul (vertex) v 1 adjacent (bertetangga) dengan simpul v 2 . Sementara itu, arc a 1
dikatakan incident (bersisian) dengan simpul v 1 dan simpul v 2 .
Universitas Sumatera Utara
v1
v2
e1
e2
e4
v3
e3
v4
Gambar 2. 2 Graf Berarah
Berdasarkan keterhubungan simpul pada suatu graf, maka graf dikategorikan
menjadi dua jenis, yaitu:
1.
Graf Terhubung (Connected Graph)
Graf terhubung merupakan graf yang terdapat bila ada dua titik dalam graf G yang
terhubung. Misalkan u dan v adalah titik yang berbeda pada graf G. Maka titik u dan v
dapat dikatakan terhubung (connected) jika terdapat lintasan u – v di G. Sedangkan
suatu graf G dapat dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap titik u dan v di G
terhubung. (Lubis, Ibnu H. 2011)
v1
e1
v2
e4
e2
v4
e3
v3
Gambar 2. 3 Graf Terhubung
2.
Graf Tidak Terhubung (Unconnected Graph)
Sebuah graf G dikatakan tidak terhubung bila dan hanya bila ada dua titik dalam graf
G tidak membentuk lintasan.
v1
e1
v2
e2
v4
e3
v3
Gambar 2. 4 Graf Tidak Terhubung
Berdasarkan bobotnya graf dapat dikategorikan menjadi dua jenis, yaitu:
1.
Graf Tidak Berbobot (Unweighted Graph)
Graf Tidak Berbobot (Unweighted Graph) merupakan graf yang tidak mempunyai
bobot atau nilai.
Universitas Sumatera Utara
2.
Graf Berbobot (Weighted Graph)
Graf berbobot (weighted graph) adalah suatu graf yang setiap garisnya berhubungan
dengan suatu bilangan riil positif yang menyatakan bobot garis tersebut. Bobot garis e
biasanya diberi simbol w(e). Jumlah bobot semua garis disebut total bobot. (Surendro,
R. 2008)
v5
3
v2
2
v1
5
7
4
v4
8
v3
Gambar 2. 5 Graf Berbobot
2.3 Pohon (Tree)
Pohon dapat didefinisikan sebagai graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung
sirkuit. Menurut definisi diatas, ada dua sifat penting pada pohon yaitu terhubung dan
tidak mengandung sirkuit. Pohon (Tree) dinotasikan dengan T. (Munir, R. 2005)
Konsep pohon sebelumnya sudah diterapkan oleh Arthur Cayley, seorang
Matematikawan asal Inggris pada tahun 1870 – an. Arthur menerapkan konsep pohon
dalam perhitungan molekul kimia. Tetapi, pada masa kini konsep pohon banyak
diterapkan dalam berbagai bidang, mulai dari lingkuistik hingga komputer.
Sebuah graf G dengan n simpul (vertex) dapat dikatakan sebuah tree, jika:
1. G terhubung dan tidak memuat sirkuit, atau
2. G terhubung dan memiliki n – 1 edge, atau
3. G tidak memuat sirkuit dan memiliki n – 1 edge, atau
4. Terdapat tepat satu path diantara setiap pasangan simpul di G, atau
5. G setidaknya merupakan sebuah graf terhubung.
Pada Gambar 2.6, (a) tidak termasuk sebuah pohon karena mengandung sirkuit
yaitu a – d – f – a, (b) juga tidak termasuk sebuah pohon karena merupakan graf tidak
terhubung, sedangkan (c) merupakan sebuah pohon karena merupakan graf terhubung
tetapi tidak memiliki sirkuit.
Universitas Sumatera Utara
a
b
a
b
a
b
c
c
d
c
d
d
e
f
e
e
f
f
(a)
(b)
(c)
Gambar 2. 6 (a) dan (b) bukan pohon, sedangkan (c) adalah pohon
2.4 Minimum Spanning Tree (MST)
Pohon yang mengandung simpul – simpul dalam sebuah grafik yang saling terhubung
disebut spanning tree. Permasalahannya adalah bagaimana mendapatkan suatu pohon
T yang mengandung semua simpul dalam grafik G dan mengandung jumlah minimum
dari bobot simpul – simpulnya (u,v) dari pohon T. (Purwanto, E. 2008)
Pernyataan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan:
………… (1)
Algoritma minimum spanning tree mengelola sebuah himpunan suatu simpul
A, kemudian menjalankan iterasi secara invariant (tidak berbeda). Perhatian utama
pada setiap iterasi adalah bahwa A sebagai sub – himpunan dari beberapa MST,
sehingga setiap langkah akan ditentukan simpul yang akan ditambahkan ke simpul A
tersebut tanpa menghilangkan sifat invariant-nya. (Purwanto, E. 2008)
Perlu dicermati bahwa spanning tree hanya untuk graf terhubung karena pohon
selalu terhubung. Kasus yang dipecahkan dalam minimum spanning tree adalah
mencari jarak minimum dari setiap ruas (ujung) pada grafik yang membentuk pohon
pencarian. Sebagai catatan bahwa tidak semua grafik bisa dihitung menggunakan
MST karena untuk menghitung jarak minimum atas terbentuknya sebuah grafik harus
memenuhi kriteria – kriteria spanning tree yaitu:
a. Setiap ruas pada grafik harus terhubung
b. Setiap ruas pada grafik harus mempunyai nilai (bobot)
c. Setiap ruas pada grafik tidak mempunyai arah
Pada suatu graf G, total jarak minimum dapat dihitung dengan langkah –
langkah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
1. Pada suatu graf G yang terbentuk, perhatikan apakah memenuhi kriteria sebagai
suatu spanning tree.
2. Lakukan pelacakan secara berurutan dimulai dari simpul pertama hingga simpul
terakhir.
3. Pada setiap simpul perhatikan bobot tiap – tiap edge.
4. Ambil nilai atau bobot terkecil yang artinya jarak terpendek dari setiap ruas (edge)
simpul.
5. Lanjutkan sampai seluruh simpul membentuk suatu spanning tree.
6. Jumlahkan bobot yang telah dipilih yang menghubungkan simpul – simpul
tersebut.
2.5 Lintasan (Path)
Misalkan v 0 sampai v n adalah simpul - simpul yang ada dalam sebuah graph. Sebuah
lintasan dari v 0 sampai v n adalah sebuah barisan berselang – seling dari n+1 simpul
dan n edges yang berawal dari v 0 dan berakhir di v n yang berbentuk (v 0 , e 1 , v 1 , e 2 , v 2 ,
... v n-1 , e n , v n+1 ) dengan edge e i insiden pada simpul v i-1 dan v i untuk i = 1, ... , n
(Johnsonbaugh, 1998).
Jika lintasan berawal dan berakhir pada satu simpul (vertex)yang sama, maka
graph dengan lintasan tersebut disebut dengan graph tertutup, dan sebaliknya, jika
lintasan berawal dan berakhir pada lintasan berbeda, maka graph dengan lintasan
tersebut disebut dengan graph terbuka. Panjang lintasan pada graph adalah jumlah
semua bobot edge pada graph tersebut. (Lubis, H. 2009)
2.6 Path Minimum
Misalkan G adalah suatu graph, dimana v dan w adalah dua simpul (vertex) dalam G.
Suatu walk dari v ke w adalah barisan simpul - simpul berhubungan dan edge secara
berselang – seling. Path dengan panjang n dari v ke w adalah walk dari v ke w yang
semua sisi (edge)-nya berbeda. Jika dua buah simpul (vertex)dihubungkan oleh dua
atau lebih beberapa sisi (edges), maka path minimum diambil dari sisi (edges) dengan
bobot yang terkecil. Untuk mencari jalur tercepat, path minimum tetap dipakai dengan
cara mengganti nilai sisi (edges). (Lubis, H. 2009)
Universitas Sumatera Utara
2.7 Jarak Euclidean (Euclidean Distance)
Jarak Euclidean (Euclidean Distance) diperkenalkan oleh Euclid, seorang
matematikawan dari Yunani sekitar tahun 300 SM untuk mempelajari hubungan
antara sudut dan jarak. Euclidean berkaitan dengan teorema Phytagoras dan biasanya
diterapkan pada satu, dua, dan tiga dimensi.
Jarak Euclidean merupakan suatu metode metrika yang paling sering
digunakan untuk menghitung atau mencari kedekatan nilai jarak dari dua buah
variabel. Jarak Euclidean adalah sebuah fungsi heuristik yang diperoleh berdasarkan
jarak langsung bebas hambatan, misalnya ntuk mendapatkan nilai dari panjang garis
diagonal pada sebuah segitiga. Dalam kasus ini, maka rumus Euclidean digunakan
untuk mencari nilai jarak antara dua buah titik dalam koordinat dua dimensi (x,y).
Gambar 2. 7 Cara Menghitung Jarak Euclidean
Rumus dari Euclidean distance adalah akar dari kuadrat perbedaan dua titik
koordinat atau dapat dituliskan sebagai berikut:
Keterangan:
d = jarak Euclidean
x 1 = nilai koordinat x pada titik 1
x 2 = nilai koordinat x pada titik 2
y 1 = nilai koordinat y pada titik 1
y 2 = nilai koordinat y pada titik 2
2.8 Algoritma
Istilah algoritma mulai dikenalkan oleh seorang ilmuwan Persia bernama Abu Ja’far
Muhammad Ibn Musa Al-Khowarizmi yang hidup antara tahun 780 – 850 di Baghdad,
Irak. (Purwanto, E. 2008)
Universitas Sumatera Utara
Al Khowarizmi dibaca orang barat menjadi Algorism. Kata ini diambil dari
makna khusus di ilmu komputer, dimana “algoritma” merujuk pada metode yang
dapat digunakan komputer untuk memberikan solusi pada masalah yang ada. Inilah
yang membuat algoritma berbeda dari kata – kata proses, teknik, atau metode.
Algoritma adalah himpunan berhingga dari instruksi, yang apabila diikuti
dapat menyelesaikan masalah tertentu. (Horowitz, E., Sahni, S., Rajasekaran, S.
1998).
Terdapat beberapa definisi yang diberikan untuk kata algoritma antara lain:
1. Algoritma adalah sekelompok aturan untuk menyelesaikan perhitungan yang
dilakukan oleh tangan atau mesin.
2. Algoritma adalah langkah demi langkah sebuah prosedur berhingga yang
dibutuhkan untuk menghasilkan sebuah penyelesaian.
3. Algoritma adalah urutan langkah – langkah perhitungan yang mentransformasikan
dari nilai masukan menjadi keluaran.
4. Algoritma adalah urutan operasi yang dilakukan terhadap data yang terorganisasi
dalam struktur data.
5. Algoritma adalah sebuah program abstrak yang dapat dieksekusi secara fisik oleh
mesin.
6. Algoritma adalah sebuah model perhitungan yang dilakukan oleh komputer.
Sebagai tambahan, semua algoritma harus memenuhi kriteria sebagai berikut:
1. Input. Sebuah algoritma memiliki nol atau lebih input yang diberikan kepada
algoritma sebelum dijalankan.
2. Output. Sebuah algoritma memiliki satu atau lebih output, yang biasanya
bergantung kepada input.
3. Definitenes. Setiap langkah harus didefinisikan secara tepat, tidak boleh
membingungkan (ambiguous).
4. Finiteness. Algoritma harus berhenti after a finite number of steps.
5. Effectiveness. Setiap algoritma diharapkan miliki sifat efektif.
Algoritma terdiri dari satu set langkah yang terbatas, yang masing-masing
mungkin memerlukan satu atau lebih operasi. Kemungkinan komputer melaksanakan
operasi ini mengharuskan bahwa kendala tertentu ditempatkan pada jenis operasi dari
algoritma didalamnya. (Horowitz, E., Sahni, S., Rajasekaran, S. 1998).
Universitas Sumatera Utara
Jadi dapat disimpulkan bahwa algoritma lebih merupakan alur pemikiran atau
urutan-urutan dari instruksi untuk menyelesaikan suatu pekerjaan atau suatu masalah
dari pada pembuatan program komputer dalam rentang waktu tertentu. Algoritma
inilah yang kemudian dijadikan landasan atau pedoman untuk membuat program
komputer.
2.8.1 Algoritma Sollin
Algoritma Sollin adalah suatu algoritma dalam teori graf yang digunakan untuk
menentukan minimum spanning tree di dalam graf berbobot terhubung dengan cara
melakukan penghapusan sisi – sisi yang tidak menyebabkan graf menjadi tidak
terhubung atau membentuk sirkuit. (Lubis, Ibnu H. 2011)
Langkah – langkah dalam menentukan hasil dari Algoritma Sollin ini adalah:
1. Menginisialisasi bahwa graf T masih berupa graf kosong.
2. Memilih edge dengan nilai bobot terbesar dari masing – masing titik yang saling
berhubungan kemudian mengeliminasi edge yang sama jika pada edge yang
terpilih terdapat edge dengan titik yang sama.
3. Mengelompokkan edge yang telah terpilih ke dalam tree-nya masing – masing.
Menghubungkan masing – masing tree yang telah terbentuk di dalam graf T agar
menjadi suatu penyelesaian MST. (Wamiliana. Kurniawan, D. Shavitri, C. 2014).
Contoh dari algoritma Sollin dapat dilihat pada Gambar 2.8. Graf berikut
merupakan suatu graf berbobot yang memiliki 10 simpul dan 16 sisi dengan bobot
awal adalah 2 + 9 + 6 + 7 + 1 + 8 + 3 + 5 + 4 + 3 + 2 + 11 + 10 + 2 + 8 + 6 = 87.
9
b
6
c
10
d
e
3
2
a
7
11
j
5
4
2
8
2
3
8
i
h
1
6
g
f
(a) Pencarian MST pada algoritma Sollin dilakukan dengan memilih sisi yang
memiliki bobot terbesar yaitu sisi c – g dengan bobot 11.
9
b
10
d
e
3
2
5
a
6
c
11
j
4
2
8
2
3
i
7
8
h
1
g
6
f
Universitas Sumatera Utara
(b) Kemudian dari masing – masing verteks yang saling berhubungan dicari sisi yang
mempunyai bobot terbesar dan menghapus sisi yang membentuk sirkuit pada
graf.
9
b
10
d
e
3
2
a
6
c
11
j
5
4
7
2
8
2
3
8
i
h
1
6
g
f
(c) Sisi (edge) c – d dihapus karena membentuk sirkuit c - d – g – c.
9
b
c
e
3
2
5
a
10
d
11
j
4
7
2
8
2
3
8
i
h
1
6
g
f
(d) Langkah berikutnya mencari kembali sisi dengan bobot terbesar dari masing –
masing verteks yang saling berhubungan.
9
b
c
e
3
2
a
10
d
7
11
j
5
4
2
8
2
3
8
i
h
1
6
g
f
(e) Langkah yang dilakukan sama seperti langkah sebelumnya.
9
b
c
e
3
2
5
a
10
d
11
j
4
2
8
2
3
i
7
8
h
1
g
6
f
Universitas Sumatera Utara
(f) Sisi f – g dihapus karena membentuk sirkuit d – e – f – g – d, dan sisi e – g
dihapus karena membentuk sirkuit d – e – g – d.
9
b
c
e
3
2
a
10
d
4
7
11
j
5
8
2
3
8
i
h
1
g
f
(g) Sisi h – g dihapus karena membentuk sirkuit b – c – g – h – i – b.
9
b
c
e
3
2
a
10
d
4
7
11
j
5
8
2
3
8
i
h
g
f
(h) Sisi i – j dihapus karena membentuk sirkuit i – j – h – i, dan sisi c – j dihapus
karena membentuk sirkuit b – c – j – h – i – b.
b
9
c
10
d
e
2
5
a
11
j
7
8
2
3
8
i
h
g
f
(i) Sisi a – b dihapus karena membentuk sirkuit a – b – i – a. Total bobot akhir adalah
3 + 5 + 9 + 11 + 7 + 10 + 8 + 2 + 8 = 63.
b
5
a
9
c
11
j
10
d
e
7
8
2
3
i
8
h
g
f
Gambar 2. 8 Proses pengerjaan graf berbobot dengan menggunakan Algoritma
Sollin
Universitas Sumatera Utara
2.8.2 Algoritma Prim’s
Salah satu algoritma yang sering digunakan untuk menyelesaikan persoalan minimum
spanning tree adalah algoritma Prim’s. Algoritma ini ditemukan oleh Robert C. Prim.
(Syahfitri, R. 2009)
Algoritma Prim’s adalah suatu algoritma di dalam teori graf yang bertujuan
menentukan suatu minimum spanning tree dari suatu graf terhubung yang berbobot.
Metode ini digunakan untuk menentukan suatu subset dari sisi yang membentuk suatu
pohon yang melibatkan tiap – tiap titik, dimana total bobot dari semua sisi di dalam
pohon adalah minimum. (Lubis, Ibnu H. 2011)
Algoritma Prim’s dimulai dari graf kosong. Algoritma ini membentuk
minimum spanning tree langkah demi langkah dimana pada setiap langkah kita
mengambil verteks – verteks yang berkaitan dengan sisi (edge) tersebut, namun pada
pemilihan edge berikutnya selalu terhubung dengan minimum spanning tree T yang
telah terbentuk. Langkah – langkah dalam menentukan hasil dari Algoritma Prim’s ini
adalah:
1. Ambil sembarang simpul (vertex) sebagai simpul awal dari graf G, kemudian cari
sisi (edge) yang berbobot minimum dari simpul (vertex) awal tersebut, masukkan
ke dalam T.
2. Pilih edge (u,v) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul T,
tetapi (u,v) tidak membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u,v) ke dalam T.
3. Ulangi langkah 2 sampai minimum spanning tree terbentuk, yaitu setelah
mengalami pengulangan sebanyak n – 2 kali dimana n adalah jumlah simpul graf
G. (Syahfitri, R. 2009)
Contoh dari algoritma Prim’s dapat dilihat pada Gambar 2.9. Graf berikut
merupakan suatu graf berbobot yang memiliki 10 verteks dan 16 sisi dengan bobot
awal adalah 2 + 9 + 6 + 10 + 8 + 6 + 1 + 8 + 3 + 5 + 4 + 3 + 2 + 11 + 7 + 2 = 87.
9
b
10
d
e
3
2
5
a
6
c
11
j
4
2
8
2
3
i
7
8
h
1
g
6
f
Universitas Sumatera Utara
(a) Proses pencarian MST dilakukan dengan mencari sisi yang memiliki bobot atau
nilai terkecil dari verteks awal, yaitu a.
9
b
10
d
e
3
2
5
a
6
c
11
j
4
7
2
8
2
3
8
i
h
1
6
g
f
(b) Kemudian selanjutnya dilakukan pencarian dengan memilih sisi yang bersisian
dengan verteks dan memiliki bobot terkecil dan tidak membentuk sirkuit.
Langkah ini dilakukan secara berulang hingga terbentuk sebuah minimum
spanning tree (MST) dari graf tersebut.
9
b
6
c
10
d
e
3
2
a
5
7
11
j
4
2
8
2
3
8
i
h
1
g
6
f
d
10
e
(c)
9
b
3
2
5
a
6
c
11
j
4
7
2
8
2
3
8
i
h
1
g
6
f
d
10
e
(d)
9
b
3
2
5
a
6
c
11
j
4
7
2
8
2
3
8
i
h
1
g
6
f
d
10
e
(e)
9
b
3
2
a
6
c
4
2
8
2
3
i
7
11
j
5
8
h
1
g
6
f
Universitas Sumatera Utara
(f) Sisi b – i tidak dihitung di dalam graf karena membentuk sirkuit a – b – i – a.
9
b
10
d
e
3
2
5
a
6
c
11
j
4
2
8
2
3
8
i
7
h
1
g
6
d
10
f
(g)
9
b
e
3
2
5
a
6
c
11
j
4
7
2
8
2
3
8
i
h
1
g
6
f
d
10
e
(h)
9
b
3
2
a
6
c
7
11
j
5
4
2
8
2
3
8
i
h
1
6
g
f
(i) Total bobot akhir dari graf adalah 2 + 3 + 4 + 2 + 1 + 3 + 6 + 2 + 8 = 31.
9
b
10
d
e
3
2
5
a
6
c
11
j
4
2
8
2
3
i
7
8
h
1
g
6
f
Gambar 2. 9 Proses pengerjaan graf berbobot dengan menggunakan algoritma
Prim’s untuk menentukan minimum spanning tree dengan verteks awal adalah a.
2.9
Kompleksitas Algoritma
Kompleksitas dari suatu algoritma merupakan seberapa banyak komputasi yang
dibutuhkan algoritma tersebut untuk menyelesaikan masalah. Secara informal,
algoritma yang dapat menyelesaikan suatu permasalahan dalam waktu yang singkat
memiliki kompleksitas yang rendah, sementara algoritma yang membutuhkan waktu
Universitas Sumatera Utara
lama untuk menyelesaikan masalahnya mempunyai kompleksitas yang tinggi (Ulfah
Nur Azizah, 2013).
Dua hal penting untuk mengukur efektivitas suatu algoritma yaitu
kompleksitas ruang (keadaan) dan kompleksitas waktu. Kompleksitas ruang berkaitan
dengan sistem memori yang dibutuhkan dalam eksekusi program. Kompleksitas waktu
dari algoritma berisi ekspresi bilangan dan jumlah langkah yang dibutuhkan sebagai
fungsi dari ukuran permasalahan. Analisa asimtotik menghasilkan notasi Ο (Big O)
dan dua notasi untuk komputer sain yaitu
(Big Theta) d an Ω (Big Omega)
(Purwanto, E. 2008)
Kinerja algoritma dibuktikan dengan menjumlahkan bilangan bulat dari
masing-masing operasi ketika algoritma di jalankan. Kinerja sebuah algoritma
dievaluasi sebagai fungsi ukuran masukan n dan konstanta modulo pengali yang
digunakan.
2.9.1 Big – O Notation
Di definisikan bahwa f(n) merupakan Big-O dari g(n) dan dinotasikan f(n) = O(g(n))
jika dan hanya jika terdapat dua konstanta positif n 0 dan c sedemikian sehingga
berlaku | f (n) |≤ C | g (x) | ; ketika n > n 0 . Dalam grafik nilai f(n) di sebelah kanan n 0
selalu berada di bawah cg(n). (Anany Levitin, 2011)
Gambar 2. 10 Grafik fungsi big-O
(Sumber: Anany Levitin, 2011)
2.9.2 Big Theta ( ) Notation
(g(n)) adalah himpunan semua fungsi yang memiliki tingkat pertumbuhan yang sama
dengan g(n) (hingga beberapa konstanta, sampai n ke tak terhingga). Sebuah fungsi
t(n) dikatakan bagian dari (g(n)), dilambangkan dengan t(n) Є (g(n)), jika t(n) batas
Universitas Sumatera Utara
atas dan bawahnya adalah beberapa konstanta positif g(n) untuk semua n yang besar,
yaitu jika ada beberapa konstanta positif c 1 dan c 2 serta beberapa bilangan bulat nonnegatif n 0 seperti c 2 g(n) ≤ t(n) ≤ c 1 g(n) untuk semua n ≥ n 0 . (Anany Levitin, 2011)
Gambar 2. 11 Grafik fungsi big-theta
(Sumber: Anany Levitin, 2011)
2.9.3 Big Omega (Ω) Notation
Di definisikan bahwa f(n) merupakan Omega dari g(n) dan dinotasikan f(n) = Ω(g(n))
jika dan hanya jika terdapat dua konstanta positif n 0 dan c sedemikian sehingga
berlaku | f (n) |≥ C | g (x) | ketika n > n 0 . Dalam grafik nilai f(n) di sebelah kanan n 0
selalu berada di atas cg(n). (Anany Levitin, 2011)
Gambar 2. 12 Grafik fungsi big- omega
(Sumber: Anany Levitin, 2011)
2.10 Fiber Optik
Serat optik merupakan media transmisi yang terbuat dari bahan kaca (glass) yang
berkualitas, sehingga memiliki kehandalan dan kelebihan dibandingkan media
transmisi yang terbuat dari bahan logam seperti kabel tembaga, kabel coaxial dan
stripline. (Hanafiah, Ali. 2009).
Universitas Sumatera Utara
Sistem komunikasi serat optik secara umum dapat digambarkan dalam blok
diagram pada Gambar 2.13 berikut:
(Pengirim)
(Penerima)
Informasi asli:
suara, video, data
Informasi asli:
suara, video, data
Transducer
Transducer
Data
Processing
Data
Processing
Sumber
Optik
Detektor
Optik
Pengkopel
Kanal
Pengkopel
Kanal
Media Transmisi
Serat Optik
Gambar 2. 13 Diagram Blok Sistem Komunikasi Serat Optik Secara Umum
(Sumber: Hanafiah, Ali. 2009)
Transducer mengubah informasi asli yang berupa suara, video, dan data
menjadi sinyal informasi elektrik. Pada data processing, sinyal disesuaikan agar dapat
dimodulasikan pada sumber optik. Sumber optik mengubah sinyal informasi elektrik
menjadi sinyal informasi optik. Sejumlah daya diberikan oleh pengkopel kanal
(masukan) ke media transmisi serat optik agar sinyal informasi optik dapat diterima
pada sisi penerima setelah melalui saluran serat optik. Sinyal informasi optik diubah
kembali menjadi sinyal informasi elektrik. Dan setelah disesuaikan, sinyal informasi
elektrik diubah menjadi informasi aslinya oleh suatu transducer. (Hanafiah, Ali.
2009).
Sumber optik berfungsi sebagai pemancar cahaya yang membawa informasi.
Menurut Ali Hanafiah, 2009 dari (Zanger, 1991, Thomas, 1995) sumber tersebut harus
memenuhi persyaratan diantaranya adalah:
• Cahaya yang dihasilkan harus mendekati monokhromatis.
• Mempunyai keluaran cahaya yang berintensitas tinggi sehingga mampu mengatasi
redaman di sepanjang saluran serat.
• Mudah dimodulasi oleh sinyal informasi.
• Memiliki dimensi yang kecil dan mudah dihubungkan dengan serat.
Universitas Sumatera Utara
Sumber optik yang umum digunakan pada sistem komunikasi serat optik
adalah LED (Light Emitting Diode) dan LD (Laser Diode). (Hanafiah, Ali. 2009)
Pengkopel kanal merupakan alat penghubung antara sumber optik dan serat
optik serta antara serat optik dan detektor optik. (Hanafiah, Ali. 2009)
Menurut Ali Hanafiah yang dikutip dari (Zanger, 1991, Thomas, 1995) serat
optik memiliki beberapa keunggulan dibandingkan dengan media transmisi yang
lainnya, yaitu:
• Mempunyai lebar bidang (bandwidth) yang sangat lebar, tetapi ukuran serat yang
sangat kecil dan murah.
• Sinyal cahayanya tidak terpengaruh oleh medan elektrik dan medan magnetik serta
terjamin keamanannya.
• Tidak akan terjadi percikan api karena di dalam serat tidak terdapat tenaga listrik,
tahan terhadap gas beracun, bahan kimia, dan air sehingga mampu ditanam dalam
tanah.
• Redaman yang sangat rendah sehingga mampu digunakan untuk komunikasi jarak
jauh tanpa penguat dan pengulang (repeater).
Detektor optik berfungsi untuk mengubah sinyal informasi optik menjadi sintal
informasi elektrik. Menurut Ali Hanafiah yang dikutip dari (Zanger, 1991, Thomas,
1995) detektor tersebut harus memiliki sensitivitas yang tinggi, memiliki waktu
respon yang cepat, dan memiliki noise internal yang kecil.
Karakteristik penting lainnya yang harus dipenuhi adalah kestabilan,
keakuratan, tidak peka terhadap perubahan suhu, dan harga yang sesuai. (Hanafiah,
Ali. 2009)
Universitas Sumatera Utara