Jari jari Konvergensix

Dwi Lestari, M.Sc: Jari-jari Konvergensi
Email: dwilestari@uny.ac.id
JARI-JARI KONVERGENSI
Untuk setiap deret pangkat

terdapat bilangan tunggal

dimana

, yang dinamakan jari-jari konvergensi deret, yang mempunyai sifat-sifat sebagai
berikut:
1. Jika

yang merupakan

maka deret pangkat konvergen hanya pada titik

pusatnya, dan divergen untuk semua z yang lain.
2. Jika

, maka deret pangkat konvergen mutlak. Menjadi konvergen untuk

semua z dengan
3. Jika

, dan divergen untuk semua z dengan

maka deret konvergen mutlak. Menjadi konvergen untuk setiap z

sedemikian sehingga
Lingkaran

, yaitu untuk semua z berhingga.

dinamakan lingkaran konvergensi untuk deret pangkat tersebut.

c
konvergen

divergen

Terdapat deret yang konvergen pada setiap titik di lingkaran konvergensinya, terdapat
deret lain yang tidak konvergen pada setiap titik tersebut, dan terdapat lain lagi yang konvergen
pada beberapa tetapi tidak semua titik di lingkaran konvergensinya.
Teorema
,

Andaikan bahwa untuk deret
, maka

ada dan sama dengan

adalah jari-jari konvergensi deret yang diberikan.

Teorema
Misal diberikan deret pangkat
maka

. Jika

adalah jari-jari kekonvergenan.

Jurdikmat FMIPA UNY

, dengan

dimana

Dwi Lestari, M.Sc: Jari-jari Konvergensi
Email: dwilestari@uny.ac.id
contoh soal :
!"

Diketahui deret pangkat

Dengan menggunakan teorema, maka dari soal di atas didapatkan

#

!"

$

%# !" %

#

&# ! ' # " &
pusat deret terletak pada

. Deret konvergen pada

Untuk sembarang titik pada
(&

!

&
"

(

!"

(

# dan divergen pada

#.

#

#
!"

deret di atas merupakan deret p dengan )

#.

Jadi deret tersebut konvergen untuk sembarang titik pada
bahwa deret pangkat konvergen pada

# dan divergen pada

Jurdikmat FMIPA UNY

#. Sehingga dapat disimpulkan
#.

Dwi Lestari, M.Sc: Jari-jari Konvergensi
Email: dwilestari@uny.ac.id
Sumber Pustaka:
Brown, J. W., and R. C. Churchill. “Complex Variables and Applications,” 7th ed. 2003.
New York: McGraw-HillCompanies, Inc.
Paliouras, J. D. “Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur”. 1975. Jakarta: Erlangga

Jurdikmat FMIPA UNY