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La construction de quelque fonction
par des moments donn´es
Janina Mihaela Mih˘ail˘a, Octav Olteanu and Constantin Udri¸ste
R´
esum´
e. Cette oeuvre continue notre note de [13] concernant la construction de la solution h d’un probl`eme de type Markov sur l’ellipse, en
connaissant les moments de la fonction h par rapport `a la mesure d´efinie
de l’´el´ement d’arc ds sur l’ellipse. Dans cette note nous solutionnons un
probl`eme de construction: c’est-`a-dire la construction de la solution d’un
probl`eme des moments en utilisant seulement les moments donn´es de la
fonction repective. Le th´eor`eme 2.1 donne une m´ethode naturelle de construire une fonction analytique f = f1 + if2 dans un disque centr´e en
l’origine D(0; R), en connaissant les moments
ZZ
ζ1k ζ2l f (ζ1 , ζ2 )dζ1 dζ2 , (k, l) ∈ Z2+ ,
m(k,l) (f ) :=
D(0,R1 )
comme int´egrales doubles sur D(0, R1 ) ⊂ C = R2 par rapport `a la
mesure de Lebesgue 2 - dimensionelle r´eelle (0 < R1 < R).
M.S.C. 2000: 28A20, 42A16, 30A05, 30B10, 30E05.
Key words: fonction analytique, le probl`eme des moments.
1
Deux m´
ethodes de construction de quelques fonctions par des moments donn´
es
Dans notre note [13] on r´esolut un probl`eme de construction; c’est-`a-dire la construction de la solution h d’un probl`eme de type Markov sur l’ellipse, en connaissant les
moments de la fonction h par rapport `a la mesure d´efinie de l’´el´ement d’arc ds
sur l’ellipse. Il s’agit de la construction d’une fonction borelienne h, en connaissant
seulement les moments d’ordre (j1 , j2 )
Z
tj11 tj22 h(t1 , t2 )ds, ∀ (j1 , j2 ) ∈ Z2+ ,
(1.1)
y(j1 ,j2 ) =
KE
o`
u nous supposons
∗
Balkan
Journal of Geometry and Its Applications, Vol.13, No.1, 2008, pp. 77-86.
c Balkan Society of Geometers, Geometry Balkan Press 2008.
°
78
Janina Mihaela Mih˘ail˘a, Octav Olteanu and Constantin Udri¸ste
(1.2)
0 ≤ h(t1 , t2 ) ≤ 1 ds − p.p.t. sur l’ellipse
¾
½
t2
t2
KE = (t1 , t2 ); 12 + 22 = 1 , (a, b > 0),
a
b
ds ´etant l’´el´ement d’arc sur l’ellipse.
Le th´eor`eme 2.5 de [13] donne le sch´ema de la construction d’une solution h d’un
probl`eme classique de type Markov des moments, sur l’ellipse KE .
Soit donn´ee une suite doublement index´ee des moments {y(j1 ,j2 ) ; (j1 , j2 )
∈ Z2+ } ⊂ R; on consid`ere les probl`emes suivants.
(P1 ) Le probl`eme d’existence d’une solution h.
On met le probl`eme d’existence d’une fonction h, mesurable Borel sur l’ellipse
KE , de mani`ere que les relations (1.1) et (1.2) soient accomplies.
Le probl`eme (P1 ) est r´esolu dans un contexte plus g´en´eral dans le Corollaire 2.3
de [14].
(P2 ) Le probl`eme d’unicit´e de la solution.
Dans le cas d’existence d’une solution h, quelles sont les conditions qui r´ealisent
l’unicit´e (”modulo” ds - p.p.t)?
Le probl`eme (P2 ) est clair: la solutions est unique parce que l’espace des fonctions
polynomiales sur l’ellipse KE est dense dans C(KE ). Donc, il s’agit d’un probl`eme
d´etermin´e des moments.
(P3 ) Le probl`eme de la construction de la solution h.
Dans le cas d’existence d’une solution h, comment on peut la d´eterminer?
Dans notre note [13] nous avons pr´esent´e l’esquisse d’une r´eponse possible pour le
probl`eme (P3 ).
Th´
eor`
eme 1.1 (Th´eor`eme 2.5 [13]). Soit donn´ee une suite doublement index´ee des
moments {y(j1 ,j2 ) ; (j1 , j2 ) ∈ Z2+ } ⊂ R et soit h une fonction borelienne sur l’ellipse
½
¾
t2
t2
KE = (t1 , t2 ); 12 + 22 = 1 , (a, b > 0),
a
b
de mani`ere que les relations suivantes
Z
tj11 tj22 h(t1 , t2 )ds = y(j1 ,j2 ) ,
KE
0 ≤ h(t1 , t2 ) ≤ 1
∀ (j1 , j2 ) ∈ Z2+ ,
ds − p.p.t sur
KE
La construction de quelque fonction
par des moments donn´es
79
soient accomplies. Nous notons
ϕ(θ) := h(a cos θ, b sin θ)(a2 sin2 θ + b2 cos2 θ)1/2 ,
θ ∈ [−π, π].
Alors,
ϕ(θ)
, θ ∈ [−π, π],
sin θ + b2 cos2 θ)1/2
o`
u ϕ est la limite ponctuelle dθ - p.p.t d’une sous-suite de la suite des sommes
partielles de la s´erie de Fourier attach´ee `
a ϕ dans l’espace L2 ([−π, π]) :
h(a cos θ, b sin θ) =
(a2
2
∞
(1.3)
a0 X
+
[an cos(nθ) + bn sin(nθ)],
2
n=1
avec an et bn donn´es par les relations
(1.4)
(1.5)
Z
1 π
1
a0 =
ϕ(θ)dθ = y(0,0) ,
π
π
−π
Z π
y(n−2,2)
1
1 h y(n,0)
a
=
− Cn2 n−2 2 + . . . +
ϕ(θ)
cos(nθ)dθ
=
n
n
π −π
π
a
a
b
i
y
+ . . . + (−1)k C 2k (n−2k,2k) + . . . (somme finie), n ∈ Z, n ≥ 1,
n
an−2k b2k
Z
1 π
bn =
ϕ(θ) sin(nθ)dθ =
π −π
y(n−3,3)
1 h 1 y(n−1,1)
=
Cn n−1 − Cn3 n−3 3 + . . . +
π
a
b
a
b
i
y(n−2k−1,2k+1)
k
2k+1
+
(−1)
C
+
.
.
.
n
an−2k−1 b2k+1
(somme finie), n ∈ Z, n ≥ 1.
Une conclusion plus forte que la premi`ere est la suivante:
ϕ est: ”la somme” de la s´erie de Fourier associ´ee, mais la convergence est valable
seulement dans l’espace L2 ([−π, π]), o`
u an et bn sont donn´es par les relations
(1.4) et (1.5). Ainsi, ϕ et donc h, peuvent ˆetre exprim´ees seulement `
a l’aide des
momentes y(j1 ,j2 ) , (j1 , j2 ) ∈ Z2+ .
La fonction h ”s’exprime” ds - p.p.t. sur l’ellipse KE .
Maintenant, on construit une fonction f = f1 + if2 : D(0; R) → C, analytique
dans le disque ouvert centr´e en l’origine, D(0; R), de rayon R, en partant d`es
moments d’ordre (k, l)
ZZ
ζ1k ζ2l f (ζ1 , ζ2 )dζ1 dζ2 , ∀ (k, l) ∈ Z2+ ,
m(k,l) (f ) :=
D(0;R1 )
o`
u 0 < R1 < R, et D(0; R1 ) est le disque ferm´e de rayon R1 centr´e en l’origine,
D(0; R1 ) = {ζ12 + ζ22 ≤ R12 }.
80
Janina Mihaela Mih˘ail˘a, Octav Olteanu and Constantin Udri¸ste
2
La construction d’une fonction analytique par des
moments donn´
es
Dans ce paragraphe on r´esout encore un probl`eme de construction, mais cette fois
concernant une fonction analytique, en connaissant les moments d’ordre (k, l) ∈ Z2+ .
Soit la fonction f = f1 + if2 : D(0; R) → C, analytique dans le disque ouvert
centr´e en l’origine de rayon R, D(0; R). Supposons que:
f (z) =
∞
X
f (n) (0) n
z ,
n!
n=0
|z| < R.
Nous fixons un disque ferm´e centr´e en l’origine de rayon R1 < R,
D(0; R1 ) = {ζ12 + ζ22 ≤ R12 }.
Nous supposons donn´es les moments d’ordre (k, l) ∈ Z2+ :
ZZ
(2.1)
m(k,l) (f ) :=
ζ1k ζ2l f (ζ1 , ζ2 )dζ1 dζ2 , (ζ1 , ζ2
nombres r´eels).
D(0;R1 )
Il se pose le probl`eme de connaˆıtre la fonction f dans le disque D(0; R), ce que,
en vertu de l’´egalit´e,
(2.2)
f (z) =
∞
X
f (n) (0) n
z ,
n!
n=0
on revient `a trouver les coefficients
m(k,l) (f ), d’ordre (k, l) ∈ Z2+ .
∀ z ∈ D(0; R) ⊃ D(0; R1 ),
R1 < R,
f (n) (0)
pour n ∈ Z+ , par rapport aux moments
n!
Ce probl`eme est r´esolu dans le th´eor`eme suivant, dont la d´emonstration se base
en principal sur la formule de Cauchy, qui conduit `a
Z
1
f (ζ1 , ζ2 )
f (n) (0)
=
(dζ1 + idζ2 )
(2.3)
n!
2πi ∂D(0,R1 ) (ζ1 + iζ2 )n+1
et sur la formule de Green, appliqu´ee aux parties r´eelle et imaginaire d’int´egrand qui
se trouve dans la relation (2.3).
Ainsi, les calculs font le passage d`es int´egrales sur le cercle ∂D(0; R1 ), aux
int´egrales doubles sur le disque ferm´e D(0; R1 ), qui conduisent aux moments donn´es
m(k,l) (f ), d’ordre (k, l) ∈ Z2+ , d´efinis par la relation (2.1).
Th´
eor`
eme 2.1 Dans les conditions ant´erieures, pour ∀ n ∈ Z+ , nous avons
(2.4)
1
f (n) (0)
=
·
2(n+1)
n!
2πiR1
La construction de quelque fonction
·
(n+1
X
81
par des moments donn´es
k
Cn+1
(−1)k ik [−km(n+1−k,k−1) (f )
)
+ i(n + 1 − k) · m(n−k,k) (f )] .
k=0
o`
u les moments m(k,l) (f ), d’ordre (k, l) ∈ Z2+ , sont donn´es par la relation (2.1).
D´
emonstration. En utilisant la relation (2.3) et en r´ealisant les calculs, on obtient
=
=
1
f (n) (0)
1
=
n!
2πi
Z
2(n+1)
2πiR1
1
2(n+1)
2πiR1
∂D(0,R1 )
f (ζ1 , ζ2 )(ζ1 − iζ2 )n+1 (dζ1 + idζ2 )
∂D(0,R1 )
Z
f (ζ1 , ζ2 )
∂D(0,R1 )
=
=
2(n+1)
2πiR1
"n+1
X
k
Cn+1
(−1)k ik
k=0
1
2(n+1)
2πiR1
"n+1
X
"n+1
X
k
Cn+1
ζ1n+1−k (−1)k ik ζ2k
k=0
(2.5)
1
f (ζ1 , ζ2 )
(dζ1 + idζ2 )
(ζ1 + iζ2 )n+1
Z
Z
∂D(0,R1 )
k
Cn+1
(−1)k ik In+1−k,k
k=0
#
#
(dζ1 + idζ2 )
ζ1n+1−k ζ2k f (ζ1 , ζ2 )(dζ1
+ idζ2 )
#
,
o`
u, pour (k, l) ∈ Z2+ , nous avons not´e
Z
ζ1k ζ2l f (ζ1 , ζ2 )(dζ1 + idζ2 ).
Ik,l (f ) =
∂D(0,R1 )
Il reste donc d’exprimer les int´egrales In+1−k,k , par rapport aux moments m(k,l) ,
d’ordre (k, l) ∈ Z2+ .
En utilisant la d´efinition de Ik,l , nous calculons
Ik,l (f )
=
Z
=
Z
=
Z
∂D(0,R1 )
∂D(0,R1 )
∂D(0,R1 )
ζ1k ζ2l f (ζ1 , ζ2 )(dζ1 + idζ2 ) =
ζ1k ζ2l [f1 (ζ1 , ζ2 ) + if2 (ζ1 , ζ2 )] (dζ1 + idζ2 ) =
ζ1k ζ2l (f1 dζ1
− f2 dζ2 ) + i
En utilisant la formule de Green, on obtient
Z
∂D(0,R1 )
ζ1k ζ2l (f2 dζ1 + f1 dζ2 ).
82
Janina Mihaela Mih˘ail˘a, Octav Olteanu and Constantin Udri¸ste
·
¸
∂
∂
k l
k l
(−f2 ζ1 ζ2 ) −
(f1 ζ1 ζ2 ) dζ1 dζ2 +
Ik,l (f ) =
∂ζ2
D(0,R1 ) ∂ζ1
¸
·
ZZ
∂
∂
(f1 ζ1k ζ2l ) −
(f2 ζ1k ζ2l ) dζ1 dζ2 .
+ i
∂ζ2
D(0,R1 ) ∂ζ1
ZZ
En d´erivant dans l’´egalit´e ant´erieure, on obtient
Ik,l (f )
=
+
·
¸
∂f2
∂f1
dζ1 dζ2
− ζ1k ζ2l
∂ζ1
∂ζ2
D(0,R1 )
¸
·
ZZ
∂f2
∂f1
−
) dζ1 dζ2 .
f1 kζ1k−1 ζ2l − f2 lζ1k ζ2l−1 + ζ1k ζ2l (
i
∂ζ1
∂ζ2
D(0,R1 )
ZZ
−f2 kζ1k−1 ζ2l − f1 lζ1k ζ2l−1 − ζ1k ζ2l
En conformit´e aux conditions de Cauchy-Riemann,
∂f2
∂f1
=
,
∂ζ1
∂ζ2
∂f1
∂f2
=−
,
∂ζ2
∂ζ1
les expressions pr´ec´edentes se r´ecrirent, apr`es les simplifications respectives, sous la
forme suivante
Ik,l (f )
=
ZZ
+
ZZ
i
=
−
=
−
=
ik
l
l
D(0,R1 )
ZZ
ZZ
ik
D(0,R1 )
£ k−1 l
¤
kζ1 ζ2 f1 (ζ1 , ζ2 ) − lζ1k ζ2l−1 f2 (ζ1 , ζ2 ) dζ1 dζ2
D(0,R1 )
D(0,R1 )
ZZ
ZZ
£
¤
−kζ1k−1 ζ2l f2 (ζ1 , ζ2 ) − lζ1k ζ2l−1 f1 (ζ1 , ζ2 ) dζ1 dζ2
ζ1k ζ2l−1 [f1 (ζ1 , ζ2 ) + if2 (ζ1 , ζ2 )] dζ1 dζ2
D(0,R1 )
D(0,R1 )
ζ1k−1 ζ2l [f1 (ζ1 , ζ2 ) + if2 (ζ1 , ζ2 )] dζ1 dζ2
ζ1k−1 ζ2l f (ζ1 , ζ2 )dζ1 dζ2
ζ1k ζ2l−1 f (ζ1 , ζ2 )dζ1 dζ2
ik · m(k−1,l) − l · m(k,l−1) .
En conclusion, pour une fonction analytique on obtient la relation suivante
(2.6)
Ik,l (f ) = −l · m(k,l−1) (f ) + ik · m(k−1,l) (f ).
Enfin, en rempla¸cant In+1−k,k , donn´ees par la relation (2.6), dans l’expression
f (n) (0)
de la relation (2.5), nous obtenons
de
n!
La construction de quelque fonction
f (n) (0)
n!
=
(2.7)
=
+
1
2(n+1)
2πiR1
1
2(n+1)
2πiR1
par des moments donn´es
"n+1
X
k
(−1)k ik In+1−k,k (f )
Cn+1
k=0
·
(n+1
X
83
#
k
Cn+1
(−1)k ik [−km(n+1−k,k−1) (f )
k=0
ª
i(n + 1 − k) · m(n−k,k) (f )] ,
∀ n ∈ Z+ .
f (n) (0)
Ainsi, on connaˆıt l’expression des coefficients de la s´erie de Taylor,
pour
n!
n ∈ Z+ , par rapport aux moments, et donc on connaˆıt la fonction analytique f ,
∞
X
f (n) (0) n
z , par rapport aux moments (et aux pouvoirs de z, ∀ z ∈
f (z) =
n!
n=0
D(0, R).)
Remarque 2.1
Si
f (n) (0) ∈ R
pour
∀ n ∈ Z+
(⇔ f (x) ∈ R pour ∀ x ∈ D(0, R) ∩ R) ,
f (n) (0)
alors la partie r´eelle de l’expression du membre droit de la relation (2.7) est
,
n!
mais la partie imaginaire est nulle. Donc, on pr´esente de l’int´erˆet la s´eparation des
parties r´eelle et imaginaire dans la derni`ere expression de la relation (2.7).
Remarque 2.2 En partant d’une fonction analytique pareille, connue, et en utilisant
les ´egalit´es (2.7) pour ∀ n ∈ Z+ , on obtient un syst`eme (avec une infinit´e d’´equations
et d’inconnues); les inconnues sont les moments m(k,l) d’ordre (k, l) ∈ Z2+ .
3
Exemples
Ce paragraphe contient deux cat´egories d’exemples pour lesquelles on peux appliquer
la m´ethode ant´erieure.
3.1 Des fonctions ´el´ementaires d´efinies autour de l’origine comme des sommes des
s´eries des pouvoirs avec le rayon de convergence R = ∞, pour lesquelles on peut
appliquer le th´eor`eme 2.1, pour n’importe quel R1 > 0:
∞
X
zn
f1 (z) = exp z :=
;
n!
n=0
f2 (z) = sin z :=
∞
X
(−1)n
n=0
f3 (z) = cos z :=
∞
X
n=0
(−1)n
z 2n+1
;
(2n + 1)!
z 2n
;
(2n)!
84
Janina Mihaela Mih˘ail˘a, Octav Olteanu and Constantin Udri¸ste
f4 (z) = sh z :=
f5 (z) = ch z :=
z 2n+1
;
(2n + 1)!
n=0
∞
X
∞
X
z 2n
.
(2n)!
n=0
3.2 Des fonctions d´efinies autour de l’origine par des s´eries des pouvoirs avec R = 1,
pour lesquelles on peut appliquer le th´eor`eme 2.1, avec R1 < 1:
f6 (z)
+
f7 (z)
=
f8 (z)
=
f9 (z)
α
α(α − 1) 2
z+
z + ...
1!
2!
α(α − 1)...(α − k + 1) k
z + ..., pour |z| < 1 (donc R = 1);
k!
∞
X
zn
ln (1 + z) :=
(−1)n−1 , pour |z| < 1;
n
n=1
µ
¶
z3
z5
1+z
:= 2 z +
+
+ ... , pour |z| < 1;
ln
1−z
3
5
α
= (1 + z) := 1 +
=
arctg z :=
∞
X
n=0
f10 (z) =
arcsin z :=
(−1)n
z 2n+1
,
2n + 1
pour |z| < 1;
∞
X
(2n − 1)!! z 2n+1
·
,
(2n)!!
2n + 1
n=0
pour |z| < 1.
Pour les fonctions f6 , ..., f10 , les rayons de convergence des s´eries des pouvoirs
du membre droit sont ´egals `a 1, ce qui justifie la condition R1 < 1.
En pr´esent, la recherche se dirige aussi vers l’utilisation d’un nombre r´eduit des moments d’une fonction de r´epartition, pour obtenir plus d’informations sur la r´epartition
inconnue.
On ”cherche” le support, la forme g´en´erale, des bornes sup´erieure et inf´erieure,
l’approximation de la densit´e de probabilit´e associ´ee `a la r´epartition respective, etc.
On travaille sur l’axe r´eel, mais aussi dans le plan; il s’agit des oeuvres de A.
Tagliani, [21] et de M. Elad, P. Milanfar et G. H. Golub, [5].
4
Conclusions
Les m´ethodes de r´esoudre ces deux probl`emes de construction sont compl´etement
diff´erentes, vu que dans le cas du premier probl`eme, la fonction h est suppos´ee ˆetre
seulement mesurable Borel et essentielement born´ee, pendant que, dans le deuxi`eme
probl`eme la fonction f = f1 + if2 est suppos´ee analytique, ce que permet, en particulier, l’utilisation de la formule de Cauchy et des conditions de Cauchy - Riemann.
La construction de quelque fonction
par des moments donn´es
85
Pour r´esoudre le premier probl`eme, les hypoth`eses sur h conduisent `a la construction naturelle d’une fonction
ϕ ∈ L∞ ([−π, π]) ⊂ L2 ([−π, π]),
ce que permet l’emploi du syst`eme trigonom´etrique (comme base de Hilbert) dans
l’espace L2 ([−π, π])), pour d´eveloppement de la fonction ϕ en s´erie de Fourier dans
l’espace L2 ([−π, π]).
Ensuite, on exprime les coefficients de Fourier de la fonction ϕ par rapport
aux moments et, en utilisant les r´esultats de la th´eorie de la mesure, on ”connaˆıt”
la fonction ϕ, donc la fonction h, p.p.t. par rapport aux moments donn´es
y(j1 ,j2 ) , ∀ (j1 , j2 ) ∈ Z2+ .
Pour la solution du deuxi`eme probl`eme, quoique les tehniques soient compl´etement
diff´erentes, (on use la formule int´egrale de Cauchy pour calculer les coefficients de la
f (n) (0)
, n ∈ Z+ , la formule de Green-Riemann pour passer
s´erie de Taylor
n!
de cercle `a disque et ensuite les conditions de Cauchy-Riemann pour simplifier les
r´esultats), pourtant l’id´ee est semblable `a celle du premier probl`eme.
Plus pr´ecis´ement, f ˆetant donn´ee par la somme d’une s´erie de Taylor autour de
f (n) (0)
de
l’origine, dans le disque D(0; R), il suffit exprimer les coefficients
n!
cette s´erie par rapport aux moments m(k,l) (f ) d’ordre (k, l), m(k,l) (f ) d´efinis par
la relation (2.1), ˆetant suppos´es donn´es.
Pendant que au premier probl`eme on ”connaˆıt” la fonction h seulement ds p.p.t. sur l’ellipse KE , dans le cas du deuxi`eme probl`eme on peut connaˆıtre f (z)
pour tout z ∈ D(0; R) par rapport aux moments.
R´
ef´
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two abstract moment problems to the classical moment problem, MATHEMATICA, 48 (71) (2006), 173-182.
[13] J. M. Mih˘ail˘a, O. Olteanu, C. Udri¸ste, Markov-type and operator-valued multidimensional moment problems, with some applications, Rev. Roumaine Math.
Pures Appl. 52, 4 (2007), 405-428.
[14] J. M. Mih˘ail˘a, O. Olteanu, C. Udri¸ste, Markov-type moment problems for arbitrary compact and for some non-compact Borel subsets of Rn , Rev. Roumaine
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[15] V. Olariu, O. Olteanu, Mathematical Analysis (en Roumaine), Ed. SEMNE, Bucarest, 1999.
[16] V. Olariu, O. Olteanu, Distributions attached to a moment problem and to the
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[17] O. Olteanu, Application de th´eor`emes de prolongement d’op´erateurs lin´eaires au
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C.R. Acad. Sci. Paris, S´erie I, 313 (1991), 739-742.
[18] O. Olteanu, Extension of linear operators and moment problems in spaces of
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[19] M. Putinar, F.-H. Vasilescu, Solution du probl`eme des moments par extension
dimensionnelle, C. R. Acad. Sci. Paris, Serie I, 328 (1999), 495-499.
[20] W. Rudin, Real and Complex Analysis (en Roumaine), III-rd Ed., Theta, Bucarest, 1999.
[21] A. Tagliani, Entropy estimate of probability densities having assigned moments:
Stieltjes case, Applied Mathematics and Computation 130, 1 (2002), 201-211.
Authors’ addresses:
Janina Mihaela Mih˘ail˘a
D´epartement des Math´ematiques et Informatique,
´
L’Universit´e Ecologique
de Bucarest, 22, Rue Francez˘a,
Bucarest, Roumanie.
E-mail: janinamihaelamihaila@yahoo.it
Octav Olteanu and Constantin Udri¸ste
D´epartement des Math´ematiques I,
L’Universit´e Polytechnique de Bucarest, Roumanie.
E-mail addresses: olteanuoctav@yahoo.ie, udriste@mathem.pub.ro
par des moments donn´es
Janina Mihaela Mih˘ail˘a, Octav Olteanu and Constantin Udri¸ste
R´
esum´
e. Cette oeuvre continue notre note de [13] concernant la construction de la solution h d’un probl`eme de type Markov sur l’ellipse, en
connaissant les moments de la fonction h par rapport `a la mesure d´efinie
de l’´el´ement d’arc ds sur l’ellipse. Dans cette note nous solutionnons un
probl`eme de construction: c’est-`a-dire la construction de la solution d’un
probl`eme des moments en utilisant seulement les moments donn´es de la
fonction repective. Le th´eor`eme 2.1 donne une m´ethode naturelle de construire une fonction analytique f = f1 + if2 dans un disque centr´e en
l’origine D(0; R), en connaissant les moments
ZZ
ζ1k ζ2l f (ζ1 , ζ2 )dζ1 dζ2 , (k, l) ∈ Z2+ ,
m(k,l) (f ) :=
D(0,R1 )
comme int´egrales doubles sur D(0, R1 ) ⊂ C = R2 par rapport `a la
mesure de Lebesgue 2 - dimensionelle r´eelle (0 < R1 < R).
M.S.C. 2000: 28A20, 42A16, 30A05, 30B10, 30E05.
Key words: fonction analytique, le probl`eme des moments.
1
Deux m´
ethodes de construction de quelques fonctions par des moments donn´
es
Dans notre note [13] on r´esolut un probl`eme de construction; c’est-`a-dire la construction de la solution h d’un probl`eme de type Markov sur l’ellipse, en connaissant les
moments de la fonction h par rapport `a la mesure d´efinie de l’´el´ement d’arc ds
sur l’ellipse. Il s’agit de la construction d’une fonction borelienne h, en connaissant
seulement les moments d’ordre (j1 , j2 )
Z
tj11 tj22 h(t1 , t2 )ds, ∀ (j1 , j2 ) ∈ Z2+ ,
(1.1)
y(j1 ,j2 ) =
KE
o`
u nous supposons
∗
Balkan
Journal of Geometry and Its Applications, Vol.13, No.1, 2008, pp. 77-86.
c Balkan Society of Geometers, Geometry Balkan Press 2008.
°
78
Janina Mihaela Mih˘ail˘a, Octav Olteanu and Constantin Udri¸ste
(1.2)
0 ≤ h(t1 , t2 ) ≤ 1 ds − p.p.t. sur l’ellipse
¾
½
t2
t2
KE = (t1 , t2 ); 12 + 22 = 1 , (a, b > 0),
a
b
ds ´etant l’´el´ement d’arc sur l’ellipse.
Le th´eor`eme 2.5 de [13] donne le sch´ema de la construction d’une solution h d’un
probl`eme classique de type Markov des moments, sur l’ellipse KE .
Soit donn´ee une suite doublement index´ee des moments {y(j1 ,j2 ) ; (j1 , j2 )
∈ Z2+ } ⊂ R; on consid`ere les probl`emes suivants.
(P1 ) Le probl`eme d’existence d’une solution h.
On met le probl`eme d’existence d’une fonction h, mesurable Borel sur l’ellipse
KE , de mani`ere que les relations (1.1) et (1.2) soient accomplies.
Le probl`eme (P1 ) est r´esolu dans un contexte plus g´en´eral dans le Corollaire 2.3
de [14].
(P2 ) Le probl`eme d’unicit´e de la solution.
Dans le cas d’existence d’une solution h, quelles sont les conditions qui r´ealisent
l’unicit´e (”modulo” ds - p.p.t)?
Le probl`eme (P2 ) est clair: la solutions est unique parce que l’espace des fonctions
polynomiales sur l’ellipse KE est dense dans C(KE ). Donc, il s’agit d’un probl`eme
d´etermin´e des moments.
(P3 ) Le probl`eme de la construction de la solution h.
Dans le cas d’existence d’une solution h, comment on peut la d´eterminer?
Dans notre note [13] nous avons pr´esent´e l’esquisse d’une r´eponse possible pour le
probl`eme (P3 ).
Th´
eor`
eme 1.1 (Th´eor`eme 2.5 [13]). Soit donn´ee une suite doublement index´ee des
moments {y(j1 ,j2 ) ; (j1 , j2 ) ∈ Z2+ } ⊂ R et soit h une fonction borelienne sur l’ellipse
½
¾
t2
t2
KE = (t1 , t2 ); 12 + 22 = 1 , (a, b > 0),
a
b
de mani`ere que les relations suivantes
Z
tj11 tj22 h(t1 , t2 )ds = y(j1 ,j2 ) ,
KE
0 ≤ h(t1 , t2 ) ≤ 1
∀ (j1 , j2 ) ∈ Z2+ ,
ds − p.p.t sur
KE
La construction de quelque fonction
par des moments donn´es
79
soient accomplies. Nous notons
ϕ(θ) := h(a cos θ, b sin θ)(a2 sin2 θ + b2 cos2 θ)1/2 ,
θ ∈ [−π, π].
Alors,
ϕ(θ)
, θ ∈ [−π, π],
sin θ + b2 cos2 θ)1/2
o`
u ϕ est la limite ponctuelle dθ - p.p.t d’une sous-suite de la suite des sommes
partielles de la s´erie de Fourier attach´ee `
a ϕ dans l’espace L2 ([−π, π]) :
h(a cos θ, b sin θ) =
(a2
2
∞
(1.3)
a0 X
+
[an cos(nθ) + bn sin(nθ)],
2
n=1
avec an et bn donn´es par les relations
(1.4)
(1.5)
Z
1 π
1
a0 =
ϕ(θ)dθ = y(0,0) ,
π
π
−π
Z π
y(n−2,2)
1
1 h y(n,0)
a
=
− Cn2 n−2 2 + . . . +
ϕ(θ)
cos(nθ)dθ
=
n
n
π −π
π
a
a
b
i
y
+ . . . + (−1)k C 2k (n−2k,2k) + . . . (somme finie), n ∈ Z, n ≥ 1,
n
an−2k b2k
Z
1 π
bn =
ϕ(θ) sin(nθ)dθ =
π −π
y(n−3,3)
1 h 1 y(n−1,1)
=
Cn n−1 − Cn3 n−3 3 + . . . +
π
a
b
a
b
i
y(n−2k−1,2k+1)
k
2k+1
+
(−1)
C
+
.
.
.
n
an−2k−1 b2k+1
(somme finie), n ∈ Z, n ≥ 1.
Une conclusion plus forte que la premi`ere est la suivante:
ϕ est: ”la somme” de la s´erie de Fourier associ´ee, mais la convergence est valable
seulement dans l’espace L2 ([−π, π]), o`
u an et bn sont donn´es par les relations
(1.4) et (1.5). Ainsi, ϕ et donc h, peuvent ˆetre exprim´ees seulement `
a l’aide des
momentes y(j1 ,j2 ) , (j1 , j2 ) ∈ Z2+ .
La fonction h ”s’exprime” ds - p.p.t. sur l’ellipse KE .
Maintenant, on construit une fonction f = f1 + if2 : D(0; R) → C, analytique
dans le disque ouvert centr´e en l’origine, D(0; R), de rayon R, en partant d`es
moments d’ordre (k, l)
ZZ
ζ1k ζ2l f (ζ1 , ζ2 )dζ1 dζ2 , ∀ (k, l) ∈ Z2+ ,
m(k,l) (f ) :=
D(0;R1 )
o`
u 0 < R1 < R, et D(0; R1 ) est le disque ferm´e de rayon R1 centr´e en l’origine,
D(0; R1 ) = {ζ12 + ζ22 ≤ R12 }.
80
Janina Mihaela Mih˘ail˘a, Octav Olteanu and Constantin Udri¸ste
2
La construction d’une fonction analytique par des
moments donn´
es
Dans ce paragraphe on r´esout encore un probl`eme de construction, mais cette fois
concernant une fonction analytique, en connaissant les moments d’ordre (k, l) ∈ Z2+ .
Soit la fonction f = f1 + if2 : D(0; R) → C, analytique dans le disque ouvert
centr´e en l’origine de rayon R, D(0; R). Supposons que:
f (z) =
∞
X
f (n) (0) n
z ,
n!
n=0
|z| < R.
Nous fixons un disque ferm´e centr´e en l’origine de rayon R1 < R,
D(0; R1 ) = {ζ12 + ζ22 ≤ R12 }.
Nous supposons donn´es les moments d’ordre (k, l) ∈ Z2+ :
ZZ
(2.1)
m(k,l) (f ) :=
ζ1k ζ2l f (ζ1 , ζ2 )dζ1 dζ2 , (ζ1 , ζ2
nombres r´eels).
D(0;R1 )
Il se pose le probl`eme de connaˆıtre la fonction f dans le disque D(0; R), ce que,
en vertu de l’´egalit´e,
(2.2)
f (z) =
∞
X
f (n) (0) n
z ,
n!
n=0
on revient `a trouver les coefficients
m(k,l) (f ), d’ordre (k, l) ∈ Z2+ .
∀ z ∈ D(0; R) ⊃ D(0; R1 ),
R1 < R,
f (n) (0)
pour n ∈ Z+ , par rapport aux moments
n!
Ce probl`eme est r´esolu dans le th´eor`eme suivant, dont la d´emonstration se base
en principal sur la formule de Cauchy, qui conduit `a
Z
1
f (ζ1 , ζ2 )
f (n) (0)
=
(dζ1 + idζ2 )
(2.3)
n!
2πi ∂D(0,R1 ) (ζ1 + iζ2 )n+1
et sur la formule de Green, appliqu´ee aux parties r´eelle et imaginaire d’int´egrand qui
se trouve dans la relation (2.3).
Ainsi, les calculs font le passage d`es int´egrales sur le cercle ∂D(0; R1 ), aux
int´egrales doubles sur le disque ferm´e D(0; R1 ), qui conduisent aux moments donn´es
m(k,l) (f ), d’ordre (k, l) ∈ Z2+ , d´efinis par la relation (2.1).
Th´
eor`
eme 2.1 Dans les conditions ant´erieures, pour ∀ n ∈ Z+ , nous avons
(2.4)
1
f (n) (0)
=
·
2(n+1)
n!
2πiR1
La construction de quelque fonction
·
(n+1
X
81
par des moments donn´es
k
Cn+1
(−1)k ik [−km(n+1−k,k−1) (f )
)
+ i(n + 1 − k) · m(n−k,k) (f )] .
k=0
o`
u les moments m(k,l) (f ), d’ordre (k, l) ∈ Z2+ , sont donn´es par la relation (2.1).
D´
emonstration. En utilisant la relation (2.3) et en r´ealisant les calculs, on obtient
=
=
1
f (n) (0)
1
=
n!
2πi
Z
2(n+1)
2πiR1
1
2(n+1)
2πiR1
∂D(0,R1 )
f (ζ1 , ζ2 )(ζ1 − iζ2 )n+1 (dζ1 + idζ2 )
∂D(0,R1 )
Z
f (ζ1 , ζ2 )
∂D(0,R1 )
=
=
2(n+1)
2πiR1
"n+1
X
k
Cn+1
(−1)k ik
k=0
1
2(n+1)
2πiR1
"n+1
X
"n+1
X
k
Cn+1
ζ1n+1−k (−1)k ik ζ2k
k=0
(2.5)
1
f (ζ1 , ζ2 )
(dζ1 + idζ2 )
(ζ1 + iζ2 )n+1
Z
Z
∂D(0,R1 )
k
Cn+1
(−1)k ik In+1−k,k
k=0
#
#
(dζ1 + idζ2 )
ζ1n+1−k ζ2k f (ζ1 , ζ2 )(dζ1
+ idζ2 )
#
,
o`
u, pour (k, l) ∈ Z2+ , nous avons not´e
Z
ζ1k ζ2l f (ζ1 , ζ2 )(dζ1 + idζ2 ).
Ik,l (f ) =
∂D(0,R1 )
Il reste donc d’exprimer les int´egrales In+1−k,k , par rapport aux moments m(k,l) ,
d’ordre (k, l) ∈ Z2+ .
En utilisant la d´efinition de Ik,l , nous calculons
Ik,l (f )
=
Z
=
Z
=
Z
∂D(0,R1 )
∂D(0,R1 )
∂D(0,R1 )
ζ1k ζ2l f (ζ1 , ζ2 )(dζ1 + idζ2 ) =
ζ1k ζ2l [f1 (ζ1 , ζ2 ) + if2 (ζ1 , ζ2 )] (dζ1 + idζ2 ) =
ζ1k ζ2l (f1 dζ1
− f2 dζ2 ) + i
En utilisant la formule de Green, on obtient
Z
∂D(0,R1 )
ζ1k ζ2l (f2 dζ1 + f1 dζ2 ).
82
Janina Mihaela Mih˘ail˘a, Octav Olteanu and Constantin Udri¸ste
·
¸
∂
∂
k l
k l
(−f2 ζ1 ζ2 ) −
(f1 ζ1 ζ2 ) dζ1 dζ2 +
Ik,l (f ) =
∂ζ2
D(0,R1 ) ∂ζ1
¸
·
ZZ
∂
∂
(f1 ζ1k ζ2l ) −
(f2 ζ1k ζ2l ) dζ1 dζ2 .
+ i
∂ζ2
D(0,R1 ) ∂ζ1
ZZ
En d´erivant dans l’´egalit´e ant´erieure, on obtient
Ik,l (f )
=
+
·
¸
∂f2
∂f1
dζ1 dζ2
− ζ1k ζ2l
∂ζ1
∂ζ2
D(0,R1 )
¸
·
ZZ
∂f2
∂f1
−
) dζ1 dζ2 .
f1 kζ1k−1 ζ2l − f2 lζ1k ζ2l−1 + ζ1k ζ2l (
i
∂ζ1
∂ζ2
D(0,R1 )
ZZ
−f2 kζ1k−1 ζ2l − f1 lζ1k ζ2l−1 − ζ1k ζ2l
En conformit´e aux conditions de Cauchy-Riemann,
∂f2
∂f1
=
,
∂ζ1
∂ζ2
∂f1
∂f2
=−
,
∂ζ2
∂ζ1
les expressions pr´ec´edentes se r´ecrirent, apr`es les simplifications respectives, sous la
forme suivante
Ik,l (f )
=
ZZ
+
ZZ
i
=
−
=
−
=
ik
l
l
D(0,R1 )
ZZ
ZZ
ik
D(0,R1 )
£ k−1 l
¤
kζ1 ζ2 f1 (ζ1 , ζ2 ) − lζ1k ζ2l−1 f2 (ζ1 , ζ2 ) dζ1 dζ2
D(0,R1 )
D(0,R1 )
ZZ
ZZ
£
¤
−kζ1k−1 ζ2l f2 (ζ1 , ζ2 ) − lζ1k ζ2l−1 f1 (ζ1 , ζ2 ) dζ1 dζ2
ζ1k ζ2l−1 [f1 (ζ1 , ζ2 ) + if2 (ζ1 , ζ2 )] dζ1 dζ2
D(0,R1 )
D(0,R1 )
ζ1k−1 ζ2l [f1 (ζ1 , ζ2 ) + if2 (ζ1 , ζ2 )] dζ1 dζ2
ζ1k−1 ζ2l f (ζ1 , ζ2 )dζ1 dζ2
ζ1k ζ2l−1 f (ζ1 , ζ2 )dζ1 dζ2
ik · m(k−1,l) − l · m(k,l−1) .
En conclusion, pour une fonction analytique on obtient la relation suivante
(2.6)
Ik,l (f ) = −l · m(k,l−1) (f ) + ik · m(k−1,l) (f ).
Enfin, en rempla¸cant In+1−k,k , donn´ees par la relation (2.6), dans l’expression
f (n) (0)
de la relation (2.5), nous obtenons
de
n!
La construction de quelque fonction
f (n) (0)
n!
=
(2.7)
=
+
1
2(n+1)
2πiR1
1
2(n+1)
2πiR1
par des moments donn´es
"n+1
X
k
(−1)k ik In+1−k,k (f )
Cn+1
k=0
·
(n+1
X
83
#
k
Cn+1
(−1)k ik [−km(n+1−k,k−1) (f )
k=0
ª
i(n + 1 − k) · m(n−k,k) (f )] ,
∀ n ∈ Z+ .
f (n) (0)
Ainsi, on connaˆıt l’expression des coefficients de la s´erie de Taylor,
pour
n!
n ∈ Z+ , par rapport aux moments, et donc on connaˆıt la fonction analytique f ,
∞
X
f (n) (0) n
z , par rapport aux moments (et aux pouvoirs de z, ∀ z ∈
f (z) =
n!
n=0
D(0, R).)
Remarque 2.1
Si
f (n) (0) ∈ R
pour
∀ n ∈ Z+
(⇔ f (x) ∈ R pour ∀ x ∈ D(0, R) ∩ R) ,
f (n) (0)
alors la partie r´eelle de l’expression du membre droit de la relation (2.7) est
,
n!
mais la partie imaginaire est nulle. Donc, on pr´esente de l’int´erˆet la s´eparation des
parties r´eelle et imaginaire dans la derni`ere expression de la relation (2.7).
Remarque 2.2 En partant d’une fonction analytique pareille, connue, et en utilisant
les ´egalit´es (2.7) pour ∀ n ∈ Z+ , on obtient un syst`eme (avec une infinit´e d’´equations
et d’inconnues); les inconnues sont les moments m(k,l) d’ordre (k, l) ∈ Z2+ .
3
Exemples
Ce paragraphe contient deux cat´egories d’exemples pour lesquelles on peux appliquer
la m´ethode ant´erieure.
3.1 Des fonctions ´el´ementaires d´efinies autour de l’origine comme des sommes des
s´eries des pouvoirs avec le rayon de convergence R = ∞, pour lesquelles on peut
appliquer le th´eor`eme 2.1, pour n’importe quel R1 > 0:
∞
X
zn
f1 (z) = exp z :=
;
n!
n=0
f2 (z) = sin z :=
∞
X
(−1)n
n=0
f3 (z) = cos z :=
∞
X
n=0
(−1)n
z 2n+1
;
(2n + 1)!
z 2n
;
(2n)!
84
Janina Mihaela Mih˘ail˘a, Octav Olteanu and Constantin Udri¸ste
f4 (z) = sh z :=
f5 (z) = ch z :=
z 2n+1
;
(2n + 1)!
n=0
∞
X
∞
X
z 2n
.
(2n)!
n=0
3.2 Des fonctions d´efinies autour de l’origine par des s´eries des pouvoirs avec R = 1,
pour lesquelles on peut appliquer le th´eor`eme 2.1, avec R1 < 1:
f6 (z)
+
f7 (z)
=
f8 (z)
=
f9 (z)
α
α(α − 1) 2
z+
z + ...
1!
2!
α(α − 1)...(α − k + 1) k
z + ..., pour |z| < 1 (donc R = 1);
k!
∞
X
zn
ln (1 + z) :=
(−1)n−1 , pour |z| < 1;
n
n=1
µ
¶
z3
z5
1+z
:= 2 z +
+
+ ... , pour |z| < 1;
ln
1−z
3
5
α
= (1 + z) := 1 +
=
arctg z :=
∞
X
n=0
f10 (z) =
arcsin z :=
(−1)n
z 2n+1
,
2n + 1
pour |z| < 1;
∞
X
(2n − 1)!! z 2n+1
·
,
(2n)!!
2n + 1
n=0
pour |z| < 1.
Pour les fonctions f6 , ..., f10 , les rayons de convergence des s´eries des pouvoirs
du membre droit sont ´egals `a 1, ce qui justifie la condition R1 < 1.
En pr´esent, la recherche se dirige aussi vers l’utilisation d’un nombre r´eduit des moments d’une fonction de r´epartition, pour obtenir plus d’informations sur la r´epartition
inconnue.
On ”cherche” le support, la forme g´en´erale, des bornes sup´erieure et inf´erieure,
l’approximation de la densit´e de probabilit´e associ´ee `a la r´epartition respective, etc.
On travaille sur l’axe r´eel, mais aussi dans le plan; il s’agit des oeuvres de A.
Tagliani, [21] et de M. Elad, P. Milanfar et G. H. Golub, [5].
4
Conclusions
Les m´ethodes de r´esoudre ces deux probl`emes de construction sont compl´etement
diff´erentes, vu que dans le cas du premier probl`eme, la fonction h est suppos´ee ˆetre
seulement mesurable Borel et essentielement born´ee, pendant que, dans le deuxi`eme
probl`eme la fonction f = f1 + if2 est suppos´ee analytique, ce que permet, en particulier, l’utilisation de la formule de Cauchy et des conditions de Cauchy - Riemann.
La construction de quelque fonction
par des moments donn´es
85
Pour r´esoudre le premier probl`eme, les hypoth`eses sur h conduisent `a la construction naturelle d’une fonction
ϕ ∈ L∞ ([−π, π]) ⊂ L2 ([−π, π]),
ce que permet l’emploi du syst`eme trigonom´etrique (comme base de Hilbert) dans
l’espace L2 ([−π, π])), pour d´eveloppement de la fonction ϕ en s´erie de Fourier dans
l’espace L2 ([−π, π]).
Ensuite, on exprime les coefficients de Fourier de la fonction ϕ par rapport
aux moments et, en utilisant les r´esultats de la th´eorie de la mesure, on ”connaˆıt”
la fonction ϕ, donc la fonction h, p.p.t. par rapport aux moments donn´es
y(j1 ,j2 ) , ∀ (j1 , j2 ) ∈ Z2+ .
Pour la solution du deuxi`eme probl`eme, quoique les tehniques soient compl´etement
diff´erentes, (on use la formule int´egrale de Cauchy pour calculer les coefficients de la
f (n) (0)
, n ∈ Z+ , la formule de Green-Riemann pour passer
s´erie de Taylor
n!
de cercle `a disque et ensuite les conditions de Cauchy-Riemann pour simplifier les
r´esultats), pourtant l’id´ee est semblable `a celle du premier probl`eme.
Plus pr´ecis´ement, f ˆetant donn´ee par la somme d’une s´erie de Taylor autour de
f (n) (0)
de
l’origine, dans le disque D(0; R), il suffit exprimer les coefficients
n!
cette s´erie par rapport aux moments m(k,l) (f ) d’ordre (k, l), m(k,l) (f ) d´efinis par
la relation (2.1), ˆetant suppos´es donn´es.
Pendant que au premier probl`eme on ”connaˆıt” la fonction h seulement ds p.p.t. sur l’ellipse KE , dans le cas du deuxi`eme probl`eme on peut connaˆıtre f (z)
pour tout z ∈ D(0; R) par rapport aux moments.
R´
ef´
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Authors’ addresses:
Janina Mihaela Mih˘ail˘a
D´epartement des Math´ematiques et Informatique,
´
L’Universit´e Ecologique
de Bucarest, 22, Rue Francez˘a,
Bucarest, Roumanie.
E-mail: janinamihaelamihaila@yahoo.it
Octav Olteanu and Constantin Udri¸ste
D´epartement des Math´ematiques I,
L’Universit´e Polytechnique de Bucarest, Roumanie.
E-mail addresses: olteanuoctav@yahoo.ie, udriste@mathem.pub.ro