SOLUSI POSITIF DARI SISTEM SINGULAR DISKRIT

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 77 – 81

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

SOLUSI POSITIF DARI SISTEM SINGULAR DISKRIT

BETTY ARYANI

  

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

_Abstrak.

betty.aryani1503@yahoo.com

Misalkan matriks A adalah suatu matriks singular. Maka sistem Ax n =

• ₊₁

  Bx n +f n tidak mempunyai solusi. Hal ini disebabkan adanya kondisi awal yang tidak da-

  pat memberikan solusi untuk sistem. Kondisi awal yang dapat memberikan solusi untuk

  sistem disebut sebagai kondisi awal yang konsisten. Perlu diperhatikan bahwa solusi x n

  untuk sistem mungkin positif atau mungkin saja non positif. Solusi x n dikatakan positif

  jika x i ≻ 0 untuk setiap i = 1, 2, · · · , n dan dikatakan non positif jika x i 0 untuk

  setiap i = 1, 2, · · · , n. Jika solusi x n untuk sistem adalah positif maka x n dikatakan so-

  lusi positif dari sistem singular diskrit. Dalam tulisan ini akan diuraikan tentang syarat

  untuk kepositifan dari solusi sistem singular diskrit dengan menggunakan invers Drazin.

  Kata Kunci : Sistem singular diskrit, invers Drazin

  1. Pendahuluan Diberikan suatu sistem singular diskrit sebagai berikut. _{r×r r r×r} Ax n n , n ∈ Z , _{n+1 = Bx + f (1.1) + n n ∈ R} di mana A, B ∈ R , dan x , f . Notasi R menyatakan himpunan _{r×r +} matriks-matriks riil berukuran r × r, R menyatakan himpunan matriks-matriks _r×r riil berukuran r × r yang entri-entrinya non negatif, R − menyatakan himpunan _r matriks-matriks riil berukuran r × r yang entri-entinya non positif, R meny-

• ₊ atakan himpunan vektor berdimensi r, Z menyatakan himpunan bilangan bulat non negatif, dan C menyatakan himpunan bilangan kompleks. Sistem (1.1) disebut sebagai sistem singular diskrit [5].

  Jika A adalah matriks non singular, maka dalam [5] telah diperoleh bahwa solusi dari sistem (1.1) adalah sebagai berikut. _{n−1 − n − − 1} X _{1 n−i−1 1} x ^{n B x B f i} = (A ) (A ) (A ). (1.2) _i=0

• Jika A adalah singular, sistem (1.1) mungkin tidak memiliki solusi. Hal ini dise- babkan adanya kondisi awal yang tidak dapat memberikan solusi untuk sistem (1.1). Kondisi awal yang dapat memberikan solusi untuk sistem (1.1) disebut sebagai kon- disi awal yang konsisten [5].

  Dalam [5], Kaczoreck menyatakan bahwa jika A adalah singular, maka sistem (1.1) mempunyai solusi untuk suatu kondisi awal yang konsisten x , jika det(λA −

78 Betty Aryani

  B ) 6= 0 untuk suatu λ ∈ C. Jika kondisi ini terpenuhi, maka solusi sistem (1.1) adalah _{n−1 k−1 n b b b b i b D n D D D D D i D}

  X _n−i−1

  X x = ( b A B ) A b A x + b A ( b A B ) f − (I − b A b A ) ( b A b B ) B bf n+i , _{− − − 1 i=0 i=0 1 1} A A B B f n f n di mana b = (λA − B) , b = (λA − B) , b = (λA − B) dan k adalah A indeks dari matriks b . _n

  Perlu diperhatikan bahwa solusi x mungkin positif dan mungkin saja non posi- _n tif. Jika solusi x untuk sistem (1.1) adalah positif untuk setiap n ∈ N, maka sistem (1.1) dikatakan sistem singular diskrit positif. Dalam tulisan ini akan dikaji syarat yang menjamin agar solusi sistem (1.1) adalah positif untuk setiap n ∈ N.

  2. Solusi Positif dari Sistem Singular Diskrit Pada bagian ini akan dikaji tentang bagaimana proses mendapatkan solusi posi- tif dari sistem singular diskrit. Asumsikan bahwa matriks A adalah singular dan det

  (λA − B) 6= 0 untuk suatu λ ∈ C, maka terdapat λ ∈ C sedemikian sehingga _{− 1} (λA − B) ada. _{− 1} Dengan mengalikan sistem (1.1) dengan (λA − B) , diperoleh _{− − − 1 1 1} Ax Bx n f n (λA − B) n+1 = (λA − B) + (λA − B) b

  Ax Bx n n _{n+1 = b + bf (2.1)} di mana _{− − − 1 1 1} b A

  A, b B B, bf n f n . = (λA − B) = (λA − B) = (λA − B) (2.2)

  Lema 2.1. [5] Untuk matriks b A dan b B yang didefinisikan dalam persamaan (2.2) berlaku, b

  B b A = b A b B. Bukti.

  Berdasarkan persamaan (2.2), diperoleh _{− − 1 1} λ b A − b B A − B

  = λ(λA − B) (λA − B) _{− 1} = (λA − B) (λA − B) = I, atau dapat ditulis

  B b A − I.

  = λ b Akibatnya b

  B b A A − I A A A − I A b B.

  = (λ b ) b = b (λ b ) = b Dalam Lema 2.2 berikut diberikan solusi umum dari sistem singular diskrit. Lema 2.2. [5] Solusi umum dari persamaan (2.1) adalah _{n−1 k−1 D n D D D D D i D}

  X _n−i−1

  X b b b b b x n A B A b A x A A B f − A b A A b B B bf

  = ( b ) + b ( b ) i (I− b ) ( b ) (2.3) _n+i

• ⁿ⁻¹
• ⁿ

  ) ⁿ⁻ⁱ A b b A ^D bf i − ⁿ⁻¹

  A b B ^D ) ⁱ⁺¹ bf _n+i+1 −

  X _i=0 [( b

  ) ^k−1

  (I − b A b A ^D

  ) ⁿ⁻ⁱ b f i −

  A ^D B b

  X _i=0 ( b

  A ^D B b

  ) ⁱ bf _{n+i ]} = b A b A ^D bf ⁿ + (I − b A b A ^D ) ^k−1

  X _i=0 ( b

  = ⁿ

  A b B ^D ) ⁱ bf _n+i

  X _i=0 ( b

  ) ^k−1

  A b B ^D ) ⁱ⁺¹ bf _{n+i+1 + (I − b} A b A ^D

  X _i=0 ( b

  ) ^k−1

  ( b A b B ^D

  X _i=0 [( b A b B ^D ) ⁱ bf n+i − ( b A b B ^D ) ⁱ⁺¹ bf n+i+1 ]

  B ) ⁿ⁻ⁱ b f i −

  A b A ^D )bf ^{n −} (I − b

  = b A b A ^D bf n

  A b B ^D ) ^k bf _n+k

  ) ^k bf _{n+k + ( b} A b A ^D )( b

  ( b A b B ^D

  = b A b A ^D bf n

  A b B ^D ) ^k bf _n+k

  A b A ^D )( b

  = b A b A ^D bf n

  = b A b A ^D bf ⁿ + (I − b A b A ^D ) ^k−1

  A b B ^D ) ^k bf _{n+k ]}

  A b A ^D )[bf ^{n −} ( b

  = b A b A ^D bf n

  A b B ^D ) ^k bf _{n+k )]}

  ) ^k−1 bf _n+k−1 − ( b

  A b B ^D ) ^k−1 bf _{n+k−1 ) + (( b} A b B ^D

  ) ^k−2 bf _n+k−2 − ( b

  X _i=0 [(bf ⁿ − ( b A b B ^D )bf n+1 ) + (( b A b B ^D )bf n+1 − ( b A b B ^D ) ² bf _{n+2 ) + · · · + (( b} A b B ^D

  (I − b A b A ^D

  A ^D b

  = bf ^{n .} Jadi, solusi (2.3) memenuhi sistem (2.1).

  Bx b n = ( b

  X _i=0 ( b

  A b A ^D ) ^k−1

  ) ⁿ⁻ⁱ b f ^{i −} (I − b

  A ^D B b

  X _i=0 ( b

  ) ⁿ⁺¹ Ax b

  A ^D B b

  Dengan mengalikan matriks b B dengan x ⁿ , diperoleh

  Selanjutnya, b Ax n+1 − b Bx ⁿ = ( b A ^D b

  X _i=0 ( b A b B ^D ) ⁱ⁺¹ bf n+i+1 .

  B ) ⁿ⁻ⁱ b A b A ^D bf ⁱ − (I − b A b A ^D ) ^k−1

  X _i=0 ( b A ^D b

  Ax + ⁿ

  Ax n+1 = ( b A ^D b B ) ⁿ⁺¹ b

  Bukti. Untuk membuktikan bahwa (2.3) memenuhi (2.1), akan ditunjukkan bahwa b Ax _n+1 − b Bx n = bf n . Dengan mengalikan matriks b A dengan x _n+1 , diperoleh b

  79 untuk n ≥ 1, di mana k = ind( b A ).

  Solusi Positif dari Sistem Singular Diskrit

  A b B ^D ) ⁱ bf n+i

  B ) ⁿ⁺¹ b Ax + ⁿ

  X _i=0 ( b

  Ax − ( b

  A b A ^D bf i − ⁿ⁻¹

  B ) ⁿ⁻ⁱ b

  A ^D b

  X _i=0 ( b

  A ^D x

  B ) ⁿ⁺¹ b

  A ^D b

  B ) ⁿ⁺¹ b

  X _i=0 ( b A ^D b

  = ( b A ^D b

  X _i=0 ( b A b B ^D ) ⁱ bf n+i ]

  B ) ⁿ⁻ⁱ b f ⁱ − (I − b A b A ^D ) ^k−1

  X _i=0 ( b A ^D b

  A ^D x + ⁿ⁻¹

  − [( b A ^D b B ) ⁿ⁺¹ b

  X _i=0 ( b A b B ^D ) ⁱ⁺¹ bf n+i+1

  B ) ⁿ⁻ⁱ b A b A ^D bf ⁱ − (I − b A b A ^D ) ^k−1

• (I − b
• (I − b
• bf ^{n − b A b A D} bf n −
• bf ^{n − b A b A D} bf n

80 Betty Aryani

  Dalam Teorema 2.3 berikut diberikan syarat cukup untuk kepositifan dari solusi sistem singular diskrit. _r×r Teorema 2.3. [4] Misalkan A, B ∈ R sedemikian sehingga _D

  A, b A B (i) Semua elemen diagonal dari matriks b dan b adalah tidak nol, _D

  (ii) b A 0, b A 0, dan b B 0, (iii) bf dan x . _n Misalkan pula x n = L n (x ) + z k (n), (2.4) di mana _{n−1 D n D D D}

  X _n−i−1 b b b L n A B A b A x A A B bf ,

  (x ) = ( b ) + b ( b ) i _{D P k−1 D i D i=0 k A b A A b B B bf . n ≻} b dan z (n) = −(I − b ) ( b ) Maka x 0 untuk 1 ≤ n ≤ N , _{i=0 n+i} jika vektor x memenuhi, _{D P k−1 D i D P n−1 D n−i n−i−1 n−i+1} b (I − b A b A ) ( b A b B ) B bf − [( b A ) ] [( b B ) ] r bf i _{i=0 i=0 n+i min min} x _{D n n+1} . A B d A

  (d max ( b )) (d max ( b )) max ( b ) Contoh.      

  3

  −n − 6 8 9 20 2

  2 A   − n  −  . = 0 0 0  , B = 8 18 −10  , f = 2n − 4

  − 12 16 18 6 6 34 3 − 6  − − −  _{3 3 2}

  − − − _D 6.9732 × 10 9.2977 × 10 1.0460 × 10 _{− − − 3 2 2} b A  − − −  .

  = 7.5054 × 10 1.0007 × 10 1.1258 × 10 _{− − − 3 2 2} − − −

  7.9313 × 10 1.0575 × 10 1.1897 × 10 dan  − − −  _{3 3 2}

  − − − _D 6.794 × 10 9.0295 × 10 1.0158 × 10 _{− − − 3 3 2} B b  − − −  .

  = 7.2889 × 10 9.7466 × 10 1.0933 × 10 _{− − − 3 2 2} − − −

  7.702 × 10 1.0270 × 10 1.1576 × 10 Untuk n = 1, diperoleh _{D D D 2} A b A B bf − A min bf

  (I − b ) b ^{1 [( b ) ]r} x _{D 2} (d ( b A )) (d ( b B ))(d ( b A ) _{max max max}

    1502.2   .

  1687.8 1723.7

    1502.2

   Misalkan x = 1687.8 , sehingga diperoleh

  1723.7           1573 1616 1659.5 1703.4 1747.8 x       . _{1 = 1693  , x 2 = 1739  , x 3 = 1786.1  , x 4 = 1833.4  , x 5 = 1881.1} 1789 1838 1887.5 1937.5 1987.9

  Solusi Positif dari Sistem Singular Diskrit

  81

    1600

   , sehingga diperoleh

  Misalkan x = 1700 1800

            1629.8 1674.4 1719.6 1765.2 1811.5       . x = 1754.1  , x = 1802.2  , x = 1850.8  , x = 1900.0  , x = 1949.6 _{1 2 3 4 5}

  1853.1 1904.5 1955.9 2007.8 2060.3

  3. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Muhafzan, Ibu Dr. Ferra Yanuar, Bapak Zulakmal, M.Si, Ibu Izzati Rahmi HG, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka [1] Anton, H. 1991. Aljabar Linier Elementer Edisi Kedelapan-Jilid 1. Penerbit Erlangga, Jakarta.

  [2] Campbell, S.L. 1979. Generalized Inverses of Linear Transformation. Dover.

  New York. [3] Jacob, B. 1990. Linear Algebra 1. Freeman, W.H. and Company. New York. [4] Jodar, L dan Merello, P. 2010. Positive Solution of Discrete Dynamic Leontief

  Input-Output Model with Possibly Singular Capital Matrix. Mathematical and Computer Modelling. [5] Kaczorek, T. 1992. Linear Control Systems Volume 1. Research Studies Press LTD, England.