MAKALAH TEOREMA BINOMIAL docx 1

MAKALAH
“TEOREMA BINOMIAL”

Dosen Penguji

: Benny Nawa Trisna, M.Pd

Mata Kuliah

: Matematika Diskrit
Di Susun Oleh :

Ahmad Sairoji
Muhammad Hairul Saleh
Muhammad Salimi
Nurul Huda

(30613230
(3061323066)
(30613230
(30613230

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
(STKIP–PGRI) BANJARMASIN KAMPUS II BANJARBARU
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
TAHUN AJARAN 2015 / 2016

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Wr.Wb
Segala puji bagi Allah SWT. yang telah memberikan kami kemudahan sehingga dapat
menyelesaikan makalah ini. Tanpa pertolongan-Nya mungkin penyusun tidak akan sanggup
menyelesaikannya dengan baik. Shalawat dan salam semoga terlimpah curahkan kepada baginda
tercinta kita yakni Nabi Muhammad SAW.
Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu tentang "TEOREMA
BINOMIAL” dan untuk memenuhi tugas dari mata kuliah “MATEMATIKA DISKRIT” yang
kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai sumber. Makalah ini di susun oleh penyusun
dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri penyusun maupun yang datang dari
luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan dari Tuhan akhirnya makalah ini
dapat terselesaikan.

Penyusun juga mengucapkan terima kasih kepada Dosen Mata kuliah ini yaitu ibu
Benny Nawa Trisna, M.Pd yang telah memberikan tugas untuk pembuatan makalah ini.
Semoga makalah ini dapat memberikan pengetahuan yang lebih luas kepada pembaca. Walaupun
makalah ini memiliki kelebihan dan kekurangan. Penyusun membutuhkan kritik dan saran dari
pembaca yang membangun.

Terima kasih.
Banjarbaru, 20 Maret 2016

Penulis

DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR........................................................................................................i
DAFTAR ISI ......................................................................................................................ii
BAB I . PENDAHULUAN
A. Latar Belakang.................................................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah............................................................................................................... 1
C. Tujuan Penulisan................................................................................................................. 2
BAB II. PEMBAHASAN
A. Sejarah Teorema Binomial.................................................................................................. 3

B. Koefesien Binomial............................................................................................................. 3
C. Teorema Binomial............................................................................................................... 4
D. Identitas Pascal................................................................................................................... 5
E. Teorema Multinomial.......................................................................................................... 7
F. Penggunaan Teorema Binomial........................................................................................... 7
G. Penggunaan Identitas Pascal............................................................................................... 8
H. Penggunaan Teorema Multinomial..................................................................................... 10
I. Teorema Binomial untuk Sembarang Pangkat Real............................................................ 10
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan.......................................................................................................................... 11
B. Saran.................................................................................................................................... 11
DAFTAR PUSTAKA

BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam perkuliahan Sehari −¿ hari pasti kita tidak asing dengan kata Teorema. Secara
umum Teorema ialah pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya. Biasanya teorema
menjadi sarana umtuk menjawab permasalahan. Lebih jelasnya teorema adalah sebuah
pernyataan, sering dinyatakan dalam bahasa alami, yang dapat dibuktikan atas dasar asumsi yang

dinyatakan secara eksplisit ataupun yang sebelumnya disetujui. Dalam logika, sebuah teorema
adalah pernyataan dalam bahasa formal yang saat diturunkan dengan mengaplikasikan aturan
inferensi dan aksioma dari sebuah sistem deduktif.
Pembelajaran di bidang mata kuliah Matematika diskrit pun tidak luput dengan yang
namanya teorema dalam beberapa pembelajaran didalamnya. Dimana matematika diskrit atau
diskret adalah cabang matematika yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit
disini artinya tidak saling berhubungan(lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam
matematika diskrit seperti bilangan bulat,graf, atau kalimat logika dan tidak berubah secara
kontinyu, namun memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Salah satu yang akan dipelajari di
matematika diskrit adalah Teorema Binomial dimana ini juga dipelajari di Teori Bilangan
ataupun Aljabar Elementer. Dalam aljabar elementer, Teorema Binomial adalah teorema yang
menjelaskan mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variable
(binomial). Dimana dalam Teorema Binomial pun masih terdapat pembahasan −¿ pembahasan
lainnya seperti identitas pascal dan lain −¿ lainnya.

B. Rumusan Masalah
a) Bagaimana dengan Sejarah dari Teorema Binomial ?
b) Apa yang dimaksud dengan Koefesien Binomial ?
c) Apa yang dimaksud dengan Teorema Binomial ?
d) Apa yang dimaksud dengan identitas pascal ?

e) Apa yang dimaksud dengan Teorema Multinomial ?
f) Bagaimana dengan penggunaan Teorema Binomial ?
g) Bagaimana dengan penggunaan Identitas pascal ?
h) Bagaimana dengan penggunaan Teorema Multinomial ?

i) Apa yang dimaksud dengan Teorema Binomial untuk Sembarang Pangkat Real ?

B. Tujuan Penulisan
a) Mengetahui Sejarah dari Teorema Binomial
b) Mengetahui yang dimaksud dengan Koefesien Binomial
c) Mengetahui yang dimaksud dengan Teorema Binomial
d) Mengetahui yang dimaksud dengan identitas pascal
e) Mengetahui yang dimaksud dengan Teorema Multinomial
f) Mengetahui penggunaan Teorema Binomial
g) Mengetahui penggunaan Identitas pascal
h) Mengetahui penggunaan Teorema Multinomial
i) Mengetahui yang dimaksud dengan Teorema Binomial untuk Sembarang
Pangkat Real

BAB II

PEMBAHASAN
A.

Sejarah Teorema Binomial
Rumus dan susunan segitiga dari koefisien binomial ini sering dikaitkan dengan Blaise
Pascal, yang menguraikannya pada abad ke-17. Tetapi, sebenarnya rumus dan susunan tersebut
telah dikenal oleh banyak matematikawan jauh sebelum Pascal. Contohnya, Sir Isaac Newton
dihargai atas jasanya yang menjelaskan mengenai teorema binomial umum, yang berlaku untuk
setiap eksponen. Matematikawan Yunani abad ke-4 SM Euklides menyebutkan kasus khusus
teorema binomial untuk eksponen, seperti yang dilakukan oleh matematikawan India abad ke-3
SM Pingala untuk tingkat yang lebih tinggi. Sebuah teorema binomial yang lebih umum dan
kemudian disebut "segitiga Pascal" telah dikenal di abad ke-10 M oleh matematikawan India
Halayudha dan matematikawan Persia Al-Karaji, di abad ke-11 oleh penyair dan matematikawan
Persia Umar Khayyām, dan di abad ke-13 oleh matematikawan Cina Yang Hui, yang semuanya
memperoleh hasil yang sama. Al-Karaji juga memberikan sebuah pembuktian matematika dari
teorema binomial dan segitiga Pascal, dengan menggunakan induksi matematika.

B.

Koefesien Binomial

Koefesien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasil penjabaran
penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan, misalnya (x + y)n. Sepintas terlihat bahwa ekspresi
(x + y)n tidak ada hubungannya dengan kombinasi, tetapi kenyataannya kita bisa mendapatkan
rumus untuk penjabaran (x + y)n dengan menggunakan rumus banyaknya kombinasi-k dari n
unsur. Teori untuk menurunkan rumus yang diperoleh dari penjabaran

(x + y)n dengan

menggunakan kombinasi dikenal dengan Teorema Binomial. Sebelum membahas teorema ini,
perhatikan ilustrasi berikut ini. Dalam aljabar kita tahu bahwa :
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Penjabaran dari (x + y)2 merupakan perkalian 2 faktor (x + y), yaitu :
(x + y)2 = (x + y) ( x + y) = x2 + 2xy + y2

C. Teorema Binomial
Kita tentu telah akrab dengan formula (� + �)2 = �2 + 2�� + �2 atau (� + �)3 = �3 + 3�2b +
3��2 + �3. Ruas kiri dari persamaan-persamaan itu merupakan ekspresi binomial berpangkat
(power of binomial expression), sedang ruas kanan persamaan-persamaan tersebut dinamakan
ekspansi dari ekspresi binomial di ruas kiri. Pada sub bab ini akan dibahas sebuah teorema
penting dalam kombinatorika yang dikenal dengan nama Teorema Binomial. Teorema ini

memberikan koefisien-koefisien dari ekspansi ekspresi binomial berpangkat. Kita akan
membuktikan teorema ini menggunakan argumen kombinatorial. Ilustrasi berikut akan
memberikan gambaran bagaimana penalaran kombinatorial digunakan untuk membukti-kan
teorema tersebut.
ILUTRASI: Kita tahu bahwa (� + �)3 = (� + �)(� + �) (� + �) . Ketika melakukan
ekspansi, kita menjumlahkan semua hasil kali sebuah suku pada faktor pertama, sebuah suku
pada faktor ke dua, dan sebuah suku pada faktor ke tiga. Dihasilkan suku-suku dengan bentuk �3,
�2b, ��2, dan �3. Untuk menemukan suku dengan bentuk �3, pada tiap-tiap faktor harus dipilih
sebuah �. Ini dapat dilakukan dengan 1 cara. Dengan demikian, koefisien dari �3 adalah 1. Untuk
menemukan suku �2b, dari dua faktor harus dipilih masing-masing sebuah �, dan memilih � dari
faktor yang lain. Ini berarti kita memilih 2 dari 3 buah � yang tersedia, yang diketahui dapat kita
lakukan dengan

(31 )

(32)

= 3 cara. Sama halnya dengan suku ��2 yang dapat ditemukan dengan

=3 cara. Terakhir, suku �3 dapat ditemukan dengan 1 cara, yaitu memilih � dari setiap

faktor. Konsekuensinya, ditemukan (� + �)3=�3+3�2b+3��2+�3.



TEOREMA BINOMIAL: Misal � dan � merupakan bilangan-bilangan real, dan �
sebuah bilangan bulat nonnegatif, maka
n
n
n−1
n−2 2
n−1
n
(a+ b) = n a + n a b+ n a b n ab + n b
0
1
2
n−1
n

() ()

n

¿ ∑ n an−k bk
k=0 k

()

()

( )

()

Bilangan

(nk)

pada persamaan ini disebut koefisien binomial.

Bukti: Terdapat � faktor yang berbentuk (� + �). Faktor-faktor ini akan diekspansi
sehingga ditemukan suku-suku berbentuk �n−k �k , dengan � = 0, 1, 2, ⋯ , �. Banyak cara
menemukan suku berbentuk ��−� �k sama dengan banyak cara memilih � − � buah � dari � faktor

(n n– k)=( nk )

yang ada. Ini dapat dilakukan dengan

�k adalah

(n n– k)=( nk)

cara. Dengan demikian, koefisien dari ��−�

.

D. Identitas Pascal
 IDENTITAS PASCAL: Untuk � dan � bilangan bulat positif, dengan � ≤ , berlaku
n + n
(n+1k )=(k −1
) (k )

.

Bukti: Misal A adalah himpunan dengan � + 1 elemen. Asumsikan � sebuah elemen
dalam A dan misal B = A – {�}. Jelas bahwa, terdapat

(n+1k )

himpunan bagian dari A dengan

� elemen. Tentu saja, terdapat dua cara membentuk himpunan bagian dari A dengan � elemen: (1)
memuat � bersama �−1 elemen dari B; atau (2) hanya memuat � elemen dari B (tidak memuat �).
Jelas bahwa, karena terdapat

terdapat

n
(k −1
)

terdapat

(nk )

(nk )

n
(k −1
)

himpunan bagian dari B dengan �−1 elemen, maka

himpunan bagian dari A dengan � elemen yang memuat �. Juga karena

himpunan bagian dari B dengan � elemen, padahal B = A – {�}, maka terdapat

himpunan bagian dari A dengan � elemen yang tidak memuat �. Konsekuensinya,
n + n
(n+1k )=(k −1
) (k )

.

Catatan: Selain dengan bukti kombinatorial, seperti yang sudah dipaparkan, Identitas
Pascal dapat juga dibuktikan dengan manipulasi aljabar formula

(nk)

.

Identitas Pascal adalah dasar untuk sebuah susunan geometris koefisien-koefisien
binomial dalam sebuah segitiga, seperti ditunjukkan gambar berikut. Baris ke � dalam segitiga
memuat koefisien-koefisien binomial

(nk )

, dengan � = 0,1,2, ⋯ , � . Segitiga ini dikenal

dengan nama Segitiga Pascal.

Identitas pada proposisi berikut dapat diperoleh dari Teorema Binomial, tetapi kita akan
membuktikannya menggunakan argumen kombinatorial. Suatu identitas yang dihasilkan dari
proses counting (kombinatorial) dinamakan identitas kombinatorial.

 PROPOSISI: Jika � sebuah bilangan bulat nonnegatif, maka
n

∑ (nk )=(n0 )+( n1)+(n2 )+…+(nn )=2n
k=0

Bukti: Sebuah himpunan dengan � elemen mempunyai 2n himpunan bagian berbeda.
Setiap himpunan bagian mungkin mempunyai 0 elemen, 1 elemen, 2 elemen, . . . , atau � elemen.
Terdapat

(n0)

himpunan bagian dengan 0 elemen (sama dengan banyak cara memilih 0 elemen

himpunan bagian dengan 1 elemen,

(n2)

himpunan bagian dengan 2

himpunan bagian dengan 3 elemen, . . . , dan

(nn)

himpunan bagian dengan �

dari � elemen) ,

elemen,

(n3 )

(n1)

elemen. Konsekuensinya,
n

∑ (nk )=(n0 )+( n1)+(n2 )+…+(nn )=2n
k=0

 PROPOSISI: Jika � sebuah bilangan bulat positif, maka
n

∑ (−1)k ( nk)=(0n)−(n1 )+ (n2 )+…+(−1)n (nn )=0
k=0

Bukti: Berdasarkan Teorema Binomial, diperoleh
n

0=(1+ (−1 ))

n

∑(
k=0

n

n 1n−k (−1)k = (−1)k n
∑
k
k
k=0

)

()

E. Teorema Multinomial
 TEOREMA MULTINOMIAL: Jika �� (� = �, �, �,⋯, �) adalah bilangan-bilangan real,
dan � sebuah bilangan bulat nonnegatif, maka
(x 1+ x 2+ x 3+⋯+ xr )n=∑
ni

( n ,n , nn , … n ) x x x … n
n1
1

1

2

3

n2
2

n3
3

nr
r

r

dengan �1+�2+�3+⋯+�r = � dan �I = 0, 1, 2,⋯, �, untuk setiap �.
Bilangan

(n , n ,nn , … n )
1

2

3

r

disebut koefisien multinomial.

Bukti: Terlihat bahwa ruas kiri dari persamaan terdiri dari � faktor berbentuk �1 + �2 + �3 +
⋯ + �r. Pada saat melakukan ekspansi, tepat satu suku dari setiap faktor diambil untuk dikalikan.
Setiap dilakukan, perkalian ini menghasilkan sebuah suku berbentuk

n1

n2

n3

nr

x 1 x 2 x 3 … nr

dengan �1

+ �2 + �3 + ⋯ + �r = �. Koefisien dari hasil kali ini adalah banyak cara hasil ini terjadi saat
memilih tepat satu suku dari setiap faktor (ekspresi di ruas kiri). Hal ini dapat terjadi ketika kita
memilih suku �1 dari �1 faktor (dari � faktor), memilih �2 dari �2 faktor (dari � − �1 faktor), dan

seterusnya, memilih �r dari �r faktor (dari � − �1 − �2 − ⋯ − �r – 1 = �r faktor). Menurut Proposisi
1.2.20 dan 1.2.16, ini dapat dilakukan dengan

(n , n ,nn , … n )
1

2

3

r

car+a.

F. Penggunaan Teorema Binomial
Penggunaan Teorema Binomial diilustrasikan pada contoh-contoh berikut.
 CONTOH: Temukan ekspansi (�+�)5
Solusi: Menurut Teorema Binomial
5

5
( a+b ) =∑ 5 a5−k bk
k=0 k

()
¿ ( 5 ) a + ( 5 ) a b+ ( 5 ) a b + ( 5 ) a b +( 5 ) ab + ( 5 ) b
0
1
2
3
4
5
5

4

3

5

4

2

2

3

3

2

4

2

3

5

4

5

¿ a +5 a b+10 a b +10 a b +5 ab +b

 CONTOH: Carilah koefisien �4b6 dalam ekspansi (�+�)10
Solusi: Menurut Teorema Binomial, koefisien yang dimaksud adalah
10.9 .8 .7
=
=210
(106)= 610!
! 4 ! 4.3 .2.1

 CONTOH: Carilah koefisien �13 dalam ekspansi (1+�)n
Solusi: Menurut Teorema Binomial,
n

(1+ x) =∑ n x k
k=0 k
n

()

1–1
(Catatan: Formula ini juga sering disebut Teorema Binomial)
Koefisien �13 diperoleh jika � = 13, yaitu

(13n )

.

G. Penggunaan Identitas Pascal
Berikut diberikan beberapa contoh identitas kombinatorial yang dapat kita buktikan
dengan argumen kombinatorial atau menggunakan identitas-identitas kombinatorial sebelumnya.

 CONTOH: Gunakan argumen kombinatorial untuk membuktikan

(22n)=2(n2 )+n

2

Bukti: Misal � sebuah himpunan dengan 2� elemen yang dipartisi menjadi dua himpunan
saling lepas, � dan �, masing-masing dengan � elemen. Banyak himpunan bagian dengan 2
elemen dari � adalah

(22n)

. Sembarang himpunan bagian dari � mempunyai 2 elemen jika

dan hanya jika termuat dalam satu dari tiga kelas berikut: (1) kelas semua himpunan bagian
dengan 2 elemen dari �; (2) kelas semua himpunan bagian dengan 2 elemen dari �; atau (3)
kelas semua himpunan bagian dengan 2 elemen dari � sedemikian hingga setiap himpunan
bagian memuat tepat satu elemen dari � dan satu elemen dari �. Kelas (1) dan (2) masingmasing memuat

(n2)

himpunan bagian. Sebuah elemen dari � dapat dipilih dengan � cara, dan

sebuah elemen dari � juga dapat dipilih dengan � cara, sehingga kelas (3) memuat � ∙ � = �2
2
n
himpunan bagian. Dengan demikian, banyak himpunan bagian dari � adalah 2 +n
2

()

 CONTOH: Gunakan Identitas Pascal untuk menunjukkan bahwa
n

∑ (kr )=(n+1
r+ 1 )
k=r

Bukti: Menurut Identitas Pascal,
=( k )+( k ) ,
(kr +1
)
+1
r r +1
sehingga diperoleh
− k ,
(kr )=(kr +1
+1 ) ( r +1 )
n

+ r +2 + …+ n−1 + n
∑ (kr )=(rr )+ (r +1
( r ) (r)
r ) ( r )
k=r

¿ 1+ r +2 − r +1 + r + 3 − r + 2 +…+ n − n−1 + n+1 − n
r +1
r +1 r+ 1
r
r +1
r +1 r +1
r +1

( ) ( )( ) ( )

¿ n+ 1 .
r +1

( )

( )( )( )( )

 CONTOH: Buktikan bahwa
1+2+3+…+ n=

n(n+ 1)
2

Solusi: Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan induksi matematik, tetapi di sini kita akan
menggunakan identitas kombinatorial yang sudah kita buktikan pada Contoh sebelumnya,
1+2+3+…+ n= 1 + 2 + 3 +…+ n
1 1 1
1

()()()
¿ ( n+ 1)
2

¿

()

( n+1 ) !
2 ! ( n−1 ) !

¿

n(n+1)
2

H. Penggunaan Teorema Multinomial
Penggunaan Teorema Multinomial diilustrasikan pada contoh berikut.
2

2 a + 2 b + 2 c + 2 ab + 2 ac+ 2 bc
( 2,0,0
) (0,2,0 ) (0,0,2 ) (1,1,0 ) (1,0,1 ) (0,1,1 )

( a+b +c ) =

2

2

2

¿ a2 +b 2+ c2 +2 ab+2 ac +2 bc .

I. Teorema Binomial untuk Sembarang Pangkat Real.
kita perlu mendefinisikan

(nk )

agar berlaku untuk sembarang bilangan real � dan

bilangan bulat nonnegatif �.

didefinisikan

1.3.13 DEFINISI: Untuk bilangan real � dan bilangan bulat nonnegatif �,

1, jika k =0
n−k +1
¿
n( n−1)(n−2)…(¿¿ k !) , jika k > 0∧¿
¿
n =¿
k

()

Berdasarkan definisi ini, kita dapat
−2 =1; 3 =0 ; 2.5 = (2.5)(1.5)(0.5) =0.3125
3!
0
5
3

( ) () ( )


TEOREMA BINOMIAL DIPERLUAS (EXTENDED BINOMIAL THEOREM):

Untuk sembarang bilangan real � dan �, dengan |x|