Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring
Hutahaean
ISSN 0853-2982
Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil
Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring
Syawaluddin Hutahaean
Pusat Studi Teknik Kelautan
Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan
Institut Teknologi Bandung
Jl. Ganesha No.10 Bandung 40132
E-mail: syawaluddin@ocean.itb.ac.id
Abstrak
Paper ini merupakan kelanjutan dari paper sebelumnya yang ditulis oleh Hutahaean (2007b) dimana
persamaan dikembangkan untuk kondisi dasar perairan datar dan Hutahaean (2007c) untuk dasar perairan
miring. Pengembangan yang dilakukan adalah dengan mengerjakan persamaan momentum terbatas pada
perumusan persamaan dispersi. Selain itu diformulaskan juga persamaan shoaling dimana pada perhitungan
shoaling diperairan dangkal terlihat terjadinya fenomena breaking.
Kata-kata Kunci: Shoaling, breaking, persamaan momentum terbatas.
Abstract
This paper is an extension of earlier paper written by Hutahaean (2007b) for flat bottom and Hutahaean (2007c)
for sloping bottom. The improvement is the application of limited momentum equation in derivation of dispersion
equation. In this paper equation of shoaling is also derived where shoaling calculation in shallow water show
breaking phenomena.
Keywords: Shoaling, breaking, limited momentum equations.
1. Pendahuluan
Hutahaean (2007b) dan (2007c), telah merumuskan
suatu persamaan potensial aliran gelombang yang
mengandung fenomena breaking. Pada (2007b)
digunakan kondisi dasar perairan datar sehingga
terdapat kemungkinan akan menghasilkan perhitungan
shoaling yang kurang tepat. Pada (2007c), perumusan
dikerjakan untuk dasar perairan miring dan digunakan
untuk pemodelan refraksi gelombang. Model refraksi
tersebut dapat memodelkan breaking tetapi pada saat
terjadi breaking suatu komponen pada persamaan
potensial aliran harus diberi harga tertentu agar
simulasi dapat terus berlangsung. Pada model ini
breaking terjadi pada saat harga γ pada persamaan
potensial aliran (6.1) adalah kurang dari 0.65, dimana
setelah breaking harga γ tidak membesar dengan
sendirinya dan model terhenti. Agar model dapat terus
berjalan, maka pada saat harga γ < 0.65, diberikan
harga γ = 0.65.
tertentu pada suatu komponen persaman potensial
aliran.
Hutahaean (2005) mengembangkan persamaan muka
air yang merupakan superposisi dari persamaan
kontinuitas dengan persamaan kekekalan energi,
dimana persamaan tersebut dapat mensimulasikan
breaking yang sederhana. Dengan latar belakang ini
maka dilakukan pengembangan dari persamaan yang
dihasilkan oleh Hutahaean (2007c) dengan
mengerjakan persamaan momentum yang terbatas
yang dirumuskan berdasarkan persaman keseimbangan
momentum yang merupakan salah satu bentuk dari
persamaan kekekalan energi juga. Keuntungan lain
dari pengerjaan persaman momentum-x yang terbatas
ini, yaitu diperhitungkannya peranan percepatan arahz, tanpa harus mengerjakan persamaan momentum
pada arah sumbu-z.
2. Persamaan Muka Air dan Kondisi
2.1 Persamaan muka air pendekatan
Penelitian ini dimaksudkan untuk memperbaiki
fenomena breaking pada penelitian Hutahaean
(2007c) dimana diharapkan breaking dapat
disimulasikan tanpa bantuan pemberian suatu harga
Pada proses formulasi diperlukan bentuk dari ∂η/∂t
dan ∂η/∂x, karena itu perlu diketahui persamaan muka
air η. Untuk keperluan tersebut maka digunakan
Vol. 15 No. 1 April 2008
35
Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring
persamaan muka air dari teori gelombang linier yaitu:
η = A cos kx cos σt
(u – (u + δ u)) δ z + (w – (w + δ w)) δ x = 0
Baik potensial kecepatan maupun persamaan muka air
adalah bersifat sinusiodal. Untuk mempermudah
proses perumusan, maka perumusan dikerjakan pada
kondisi
1
cos kx = sin kx = cos σt = sin σt =
2
2
∂η
∂η
kA
σA
=−
=−
dan
∂t
∂x
2
2
(1)
2.2 Persamaan muka air pemodelan
Persamaan muka air untuk pengembangan model
digunakan persamaan kontinuitas yang diintegrasikan
terhadap kedalaman.
η
∂η ∂
+
udz = 0
∂t ∂x −∫h
(2)
3.1 Persamaan momentum permukaan fluida ideal
Sebagai persamaan momentum digunakan persamaan
momentum permukaan untuk fluida ideal, Hutahaean
(2007b dan 2007c), yaitu:
)
δu
δx
⎞
∂η
⎟⎟ = - g
∂x
⎠
+
δw
δz
δu ∂u
=
δx ∂x
=0
(3)
δv ∂v
=
δy ∂y
diperoleh persamaan nuitas
Pada penelitian ini δu/δx dan δw/δz akan dijabarkan
dengan cara lain. Berdasarkan deret Taylor,
u (x + δ x, z + δ z, t + δ t) = u (x, z, t) + δ x
∂u
∂x
∂u
∂u
u (x+δ x,z+δ z,t+δ t)-u(x, t)=δ x
+δt
∂t
∂z
∂u
∂u
∂u
+δz
+δt
∂x
∂z
∂t
δu=δx
∂u
∂u
∂u
+δz
+δt
∂x
∂z
∂t
∂u⎞
∂u
⎛ ∂u
⎟ δt
+
+w
∂t ⎠
∂z
⎝ ∂x
δ u = ⎜u
3.2 Persamaan keseimbangan momentum
Persamaan keseimbangan momentum dirumuskan
dengan prosedur sebagaimana halnya dengan
perumusan persamaan kontinuitas, yaitu sebagai
berikut:
dan
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
+δz
3. Persamaan momentum
1 ∂
∂ ⎛ ∂ φη
⎜
uη2 + wη2 2∂x
∂ x ⎜⎝ ∂ t
Persamaan dibagi dengan δx dan δz,
Persamaan ini adalah persamaan kekekalan masa
dimana bila diambil
Dimana pada kondisi ini berlaku persamaan:
(
Hukum kekekalan masa, pada sistim input-output
pada gambar di atas untuk fluida tak mampat adalah:
Persamaan dibagi dengan δ x,
δu
δx
∂u ∂u⎞ δ t
⎛ ∂u
+w
+
⎟
∂z
∂t ⎠ δ x
⎝ ∂x
= ⎜u
Dengan cara yang sama akan diperoleh
w+δw
δw
δz
∂ w⎞ δ t
⎛ ∂w
∂w
+w
+
⎟
∂t ⎠ δ z
∂z
⎝ ∂z
= ⎜u
Substitusí persamaan untuk
δz
u+δu
u
w
δx
36
Jurnal Teknik Sipil
δu
δx
dan
δw
δz
kepersamaan kekekalan masa,
∂w
∂u
∂u⎞ δ t
⎛∂u
⎛∂w
⎜
+u
+w
+u
⎟
+ ⎜
∂x
∂x
∂ z⎠ δ x ⎝ ∂t
⎝ ∂t
+w
∂ w⎞ δ t
⎟
=0
∂z⎠ δ z
Hutahaean
mengambil δ x = δ z = δ dan persamaan dibagi
dengan δ t/δ , maka diperoleh
∂u
∂u
∂u
∂w
∂w
+ u
+w
+
+u
∂t
∂x
∂z
∂t
∂x
+w
∂w
=0
∂z
(4)
Persamaan (4) ini terlihat merupakan persamaan
keseimbangan antara percepatan horizontal arah x dan
percepatan vertikal arah z. Meskipun persamaan ini
dirumuskan dari prinsip kekekalan masa tetapi yang
dihasilkan
adalah
persamaan
keseimbangan
momentum atau dapat juga disebut dengan persamaan
kekekalan momentum atau energi.
Dengan mengerjakan sifat irotasional fluida ideal,
−
∂φ
persamaan keseimbangan momentum menjadi
∂z
∂ ∂φ
∂ ∂φ 1 ∂ 2
u + w2 ) (
+
∂ t ∂z
∂ t ∂x 2 ∂x
1 ∂ 2
uη + wη2 = 0
2 ∂z
)
)
(6)
Persamaan (6) adalah persamaan momentum yang
terbatas yaitu bahwa ∂u/∂t dibatasi oleh ∂w/∂t. Atau
gaya horisontal pada arah sumbu-x, tidak hanya
memberi percepatan pada arah sumbu-x, juga
menimbulkan percepatan pada arah sumbu-z.
(7)
dimana,
;
β 1 ( z ) = αe k ( h + z ) + e − k ( h + z )
(8)
∂h
∂x
α=
∂h
1−
∂x
(9)
2π
L
L= panjang gelombang
σ = frekuensi sudut =
maka persamaan keseimbangan momentum menjadi
2π
T
T = perioda gelombang
∂ ∂φη
∂ ∂φη
1 ∂ 2
−
(
uη + wη2 ) +
∂ x ∂t
∂ z ∂t
2 ∂x
)
(
k = bilangan gelombang =
∂ ∂φη
∂ ∂φη
=
∂ z ∂t
∂t ∂z
(
∂ ∂φη
∂ z ∂t
1+
∂ ∂φη
∂ ∂φη
=
begitu juga
∂ x ∂t
∂t ∂x
1 ∂ 2
uη + wη2 = 0
2 ∂z
⎠
-
1 ∂ 2
∂η
uη + wη2 = − g
2 ∂z
∂x
β ( z ) = αe k ( h + z ) + e − k ( h + z )
f adalah statu fungsí yang kontinu, maka berlaku
+
)⎞⎟⎟
φ = Ge kh β ( z ) cos kx sin σt
∂ ∂φη
∂ ∂φη
1 ∂ 2
−
(
uη + wη2 ) +
∂ t ∂z
∂ t ∂x
2 ∂x
(
(
Persamaan potensial aliran dengan dasar perairan
miring pada Hutahaean (2007c) adalah:
)
Persamaan berlaku pada seluruh medan aliran termasuk juga pada permukaan,
+
⎛ ∂ ∂φη 1 ∂ 2
2⎜⎜ −
+
uη + wη2
2
∂
∂
∂
x
t
x
⎝
4. Persamaan Potensial Aliran
1 ∂ 2
u + w2 = 0
+
2 ∂z
(
Pada persamaan keseimbangan momentum terlihat
bahwa terdapat relasi antara ∂u/∂t dengan ∂w/∂t
dimana hal ini menunjukkan bahwa terdapat
keseimbangan antara percepatan pada arah sumbu-x
dengan percepatan pada arah sumbu-z. Karena itu
pada persamaan momentum seharusnya terdapat juga
relasi tersebut. Pembentukan persamaan momentum-x
dimana terdapat relasi antara ∂u/∂t dengan ∂w/∂t
dibentuk dengan menjumlahkan Persamaan (3)
dengan Persamaan (5),
+
∂u ∂w
∂w ∂u
∂φ
=
=
serta u = −
dan
dan
∂z ∂x
∂x ∂z
∂x
w= −
3.3 Persamaan momentum yang terbatas
h = kedalaman perairan
(5)
∂h
= keiringan dasar perairan
∂x
Vol. 15 No. 1 April 2008
37
Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring
dimana
5. Persamaan untuk G
Pada persamaan potencial Persamaan (10), terdapat
statu koefisien yatu G. Persamaan untuk G ini dirumuskan dengan menggunaan persamaan mukai air
yang terintegrasi terhadap kedalaman yaitu Persamaan (2) dan digunakan kondisi
cos kx = sin kx = cos σt = sin σt =
1
2
2
dimana pada kondisi ini dari hasil sebelumnya
∂η
kA
∂η
σA
=−
dan
=−
∂x
2
∂t
2
Dengan
φ = Ge β ( z ) cos kx sin σt
kh
⎛ ∂h k 2 A ⎞
∂B1
⎟
= β (η )⎜⎜ k
−
∂x
2 ⎟⎠
⎝ ∂x
Dengan hasil integrasi tersebut, persamaan kontinuitas
menjadi,
∂η
∂B
+ Ge kh B1 k cos kx sin σt + Gekh 1 sin kx sin σt
∂t
∂x
+ Ge kh (2 B1 + B2 )k
+
, maka
∂φ
= Ge kh β ( z )k sin kx sin σt
∂x
∂h
− Ge kh (β ( z ) + β 1 ( z ) )k cos kx sin σt
∂x
∂G kh
e β ( z ) cos kx sin σt
−
∂x
u=−
∂G kh
e B1 sin kx sin σt = 0
∂x
digunakan kondisi
cos kx = sin kx = cos σt = sin σt =
kh
B1 sin kx sin σt
=
−h
− Gekh (B1 + B2 )
−
∂h
cos kx sin σt
∂x
σA −
∂B
∂h ⎞
⎛
F = ⎜ B1 k + 1 + (2 B1 + B2 )k ⎟
∂x
∂x ⎠
⎝
dimana:
∫ β (z) dz =
β 1 (η ) - ( α - 1) B1
=
k
-h
G=
,
∫ β (z) dz =
G=
β (η ) - ( α + 1) B2
1
k
-h
=
k
η
∫ udz = Ge
kh
σA −
∂G B1e kh
∂x Fe kh
∂G
B1e kh
∂x
e kh F
(11)
B1 k cos kx sin σt
Persamaan (10) diturunkan terhadap x dengan
mengabaikan
∂ 2G
∂x 2
−h
+ Ge kh
∂h
∂B1
kh
sin kx sin σt + Ge B1k sin kx sin σt
∂x
∂x
+ Ge kh (B1 + B2 )k
38
e kh F
−
Jurnal Teknik Sipil
(10)
;
B2 = β ( η ) - ( α + 1)
∂
∂x
σA
k
B1 = β 1 ( η ) - ( α - 1)
η
∂G kh
e B1
∂x
Didefinisikan,
∂G kh B1
cos kx sin σt
e
∂x
k
η
1
2 , maka
2
∂B
∂h ⎞
⎛
Ge kh ⎜ B1 k + 1 + (2 B1 + B2 )k ⎟
∂x
∂x ⎠
⎝
η
∫ udz = Ge
∂h
sin kx sin σt
∂x
∂h
∂G
sin kx sin σt + ekh B1 sin kxsinσt
∂x
∂x
∂G
σA ∂kh ∂F ∂G
= − kh 2 (
+
)−
∂x
∂x
e F ∂x
∂x
+
∂G B1 ∂F
∂x F 2 e kh ∂x
e kh (
∂kh ∂B1
+
)
∂x ∂x
Fe kh
(12)
Hutahaean
∂kh ∂B1
⎛
⎞
+
)
⎜ (
⎟
∂x − B1 ∂F ⎟ ∂G =
⎜1 + ∂x
⎜
F
e kh F 2 ∂x ⎟ ∂x
⎜
⎟
⎝
⎠
σA ∂kh ∂F
− kh 2 (
+
)
∂x
e F ∂x
(13)
6. Kandungan Fenomena Breaking pada
Persamaan Potensial Aliran
Untuk dasar perairan datar, ∂h/∂x = 0, dan ∂G/∂x
dapat diabaikan maka harga G adalah G = σA/F0
dimana:
⎛
β (η )k 2 A ⎞
⎟⎟
F0 = e kh ⎜⎜ B1 k −
2
⎠
⎝
Didefinisikan
γ = ⎛⎜ β1 (η ) −
⎝
F0 = e kh kγ sedangkan G =
⎟ maka,
⎠
σA
e kh kγ
σA
β ( z ) cos kx sin σt
kγ
⎛ ∂ ∂φη 1 ∂ 2
uη + wη2
2⎜⎜ −
+
x
t
x
2
∂
∂
∂
⎝
(
)⎞⎟⎟
⎠
-
∂ ∂φη
∂ z ∂t
1 ∂ 2
∂η
(
uη + wη2 ) = − g
2 ∂z
∂x
∂G
B1e kh k
p
∂
x
. Didefinisikan R =
G=
F
e kh F
∂G kh
p
B1e k
, dimana p = σA −
Didefinisikan R =
∂x
F
σA −
(14)
Pada persamaan potensial aliran ini terlihat bahwa bila
γ sangat kecil, mendekati nol maka φ menjadi sangat
besar, demikian juga dengan
u=−
Persamaan dispersi akan dirumuskan dengan
menggunakan persamaan momentum terbatas dari
Persamaan (6), yaitu:
dimana, φ = Gekh β(z)coskxsin σt dengan G dari
Persamaan (11),
Persamaan potensial aliran menjadi
φ=
7. Persamaan Dispersi
+
β (η )kA ⎞
2
Kriteria breaking dari Miche adalah H/L = 0.142 tanh
kh, Sarpkaya (1981). Jadi bentuk kondisi breaking
dari potensial aliran yang diperoleh adalah sama
dengan kondisi breaking dari Miche. Yang terpenting
dalam hal ini adalah bahwa pada potensial aliran
terdapat karakteristik breaking atau dengan kata lain
persamaan potensial aliran dapat memodelkan
breaking.
∂φ
∂φ
dan w = −
∂x
∂z
Telah banyak diketahui bahwa pada pada saat
breaking terjadi kecepatan arus yang sangat besar.
Jadi beraking terjadi pada γ sangat kecil. Bila
breaking diambil untuk γ = 0, maka
sehingga G =
p
. Dengan harga G ini maka
e F
kh
persamaan potensial kecepatan menjadi φ = Rβ(z)
coskxsin σt.
u =−
∂φ
= Rβ ( z )k sin kx sin σt
∂x
− Rβ 1 ( z )
∂kh
∂R
cos kx sin σt − β ( z) cos kx sin σt
∂x
∂x
β (η )2πA
β (η )kA ⎞
⎛
= β1 (η )
⎜ β1 (η ) −
⎟ = 0 dan
2L
2 ⎠
⎝
w= −
H 2 β 1 (η )
2 αe k ( h +η ) − e − k ( h +η )
=
=
L π β (η )
π αe k ( h +η ) + e − k ( h +η )
Sebagaimana halnya dengan formulasi G, maka pada
formulasipersamaan dispersi ini digunakan kondisi
∂φ
= − Rβ 1 ( z )k cos kx sin σt
∂z
1
2
2
H
∂h
2 e k ( h +η ) − e − k ( h +η )
= 0 , α =1
untuk
=
L
∂x
π e k ( h +η ) + e − k ( h +η )
cos kx = sin kx = cos σt = sin σt =
Untuk amplitudo gelombang yang sangat kecil
dibandingkan dengan kedalaman h,
∂η
σA
kA
∂η
, diperoleh
dan
=−
=−
∂t
2
2
∂x
∂ uη
R2 2
R2
∂h
uη
β (η )k 3 +
β (η ) β1 (η )k 3
=
∂x
4
∂x
4
H
2 e kh − e − kh 2
= tanh(kh)
=
L
π e kh + e − kh π
dimana pada kondisi ini dari hasil sebelumnya
Vol. 15 No. 1 April 2008
39
Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring
R ∂R 2
β (η )k 2
4 ∂x
+
∂ wη
wη
∂x
=−
R ∂R 2
β1 (η )k 2
4 ∂x
+
∂ ⎛ ∂ φη
⎜
∂ x ⎜⎝ ∂ t
+
σ ∂R
2 ∂x
∂uη
uη
−
R2
∂h
R2 2
β 1 (η )k 3 + β (η)β1 (η )k 3
∂x
4
4
∂z
⎞
σ
∂h
σ
⎟⎟ = − Rβ (η )k + Rβ1 (η )k
2
∂x
2
⎠
β (η )
=
R2
R2 2
∂h
β (η ) β 1 (η )k 3 −
β (η )k 3
∂x
2
4
R ∂R
β (η ) β1 (η )k 2
2 ∂x
wη
∂wη
∂z
=
Dengan hasil formulasi tersebut, maka persamaan
momentum-x menjadi,
R2
∂h
R2 2
β (η ) β1 (η )k 3
β (η )k 3 +
∂x
2
2
+
2
R ∂R 2
β (η )k 2 − R β 12 (η )k 3
2 ∂x
2
+
R2
∂h R ∂R 2
β (η ) β1 (η )k 3
+
β1 (η )k 2
∂x 2 ∂x
2
−
−
∂h
∂x
gAk
2
R2
∂h R ∂R 2
β (η ) β1 (η )k 3
+
+
β1 (η )k 2
∂x 4 ∂x
4
+
−
+
σ ∂R
2 ∂x
σ
β (η ) +
2
Rβ 1 (η )k
∂h
∂x
R2
∂h
R2
β (η ) β1 (η )k 3 − β 2 (η)k3
∂x
2
4
1
R ∂R
β (η ) β1 (η )k 2 + R 2 k 3 β (η ) β 1 (η )
2 ∂x
4
σ
2
Rβ 1 (η )k −
gAk
=0
2
(16)
R ∂R 2
β1 (η )k 2
2 ∂x
+ σRβ (η )k − σ
Persamaan (15) adalah persamaan untuk k yang
bersifat nonlinier, sehingga peneyelesainnya adalah
−
Jurnal Teknik Sipil
2
Rβ (η )k −
Sampai pada saat ini untuk menentukan validitas suatu
persaman gelombang nonlinier adalah bahwa
persamaan gelombang tersebut harus mempunyai
karakteristik linier yaitu pada dasar perairan datar dan
dengan amplitudo sangat kecil mempunyai panjang
gelombang yang sama dengan panjang gelombang
dari teori gelombang linier, Li (1999) dan Meftah
(2004).
−
40
σ
8. Karakteristik Linier dari Persamaan
Dispersi dan Potensial Aliran
(15)
2
2
R ∂R 2
β (η )k 2 − R β 12 (η )k 3
4 ∂x
4
R ∂R 2
R2 2
R2 2
β (η )k 2 −
β (η )k 3 +
β 1 (η )k 3
2
x
∂
2
2
∂R
R2
R2 2
∂h
3
β (η ) +
β (η ) β1 (η )k − β (η)k3
∂x
4
2
∂x
Rβ 1 (η )k =
R2 2
R2
∂h
β (η )k 3 +
β (η ) β1 (η )k 3
∂x
4
4
Pada dasar perairan datar, berlaku persamaan R = σA/
F, sedangkan persamaan momentum menjadi,
R ∂R
1
β (η ) β1 (η )k 2 + R 2 k 3 β (η ) β 1 (η )
2 ∂x
4
σ
+
−
∂ ∂φη σ
= Rβ1 (η )k
2
∂z ∂t
−σ
f (k ) =
−
1 2 3
R k β (η ) β 1 (η )
4
+ σRβ (η )k − σRβ1 (η )k
dengan cara iterasi, antara lain metoda iterasi dari
Newton-Rhapson, Arden (1971). Adapun langkah
perhitungannya adalah sebagai berikut. Persamaan
dispersi dapat ditulis sebagai suatu fungsi ƒ(k) = 0,
yaitu:
∂R
R2
β (η ) +
β (η ) β1 (η )k 3
∂x
4
R ∂R
1
β (η ) β1 (η )k 2 + R 2 k 3 β (η ) β 1 (η )
2 ∂x
4
σ
2
Rβ 1 (η )k =
gAk
2
Hutahaean
Substitusi R =
σ 2 A2
2F
−
+
+
2
2F 2
σ 2A
σ A
4F
2
2
2σ 2 β (η )k − σ 2 β1 (η )k = gkF atau
σ 2 A 2 ∂F
2F
β (η )k −
2
1
β (η )k −
F
Persamaan dispersi menjadi:
F
β 2 (η )k 3 −
σ 2 A2
2
σA
3
∂x
3
β (η )k
2
1
2 F 3 ∂x
F 2 ∂x
β (η ) β1 (η )k 3 +
σ 2 β (η )⎜⎜ 2 −
⎝
σ 2 A 2 ∂F
σ 2 A ∂F
⎛
β 2 (η )k 2
Substitusi F =
2
σ A ∂F
2
2F
3
∂x
dimana pada dasar perairan datar dan amplitudo yang
sangat kecil,
β (η ) β 1 (η )k 2
gAk
σ A 3
σ A
=
+
(
)
k
β
(
η
)
β
(
η
)
−
β
η
k
1
1
2
2F
4F 2
2
2
2
σ 2A
F
−
−
+
β 2 (η )k 3 −
σ 2 A ∂F
F
2
∂x
σ 2 A ∂F
F
2
∂x
β 2 (η )k 2 −
σ2A
F
β12 (η)k 3
β 12 (η )k 2 + 2σ 2 β (η )k
2σ 2 ∂F
σ 2A
β (η ) +
β (η ) β1 (η )k 3
F ∂x
2F
σ A ∂F
2
F
2
∂x
β (η ) β 1 (η )k 2 +
σ A
2
2F
k 3 β (η ) β1 (η )
− σ 2 β1 (η )k = gkF
Pada amplitudo gelombang yang sangat kecil, suku
yang mengandung unsur A menjadi sangat kecil dan
dapat diabaikan,
2σ 2 β (η )k − σ 2
∂F
β (η ) − σ 2 β1 (η )k = gkF
∂x
Dari Persamaan (10), maka untuk dasar perairan datar
∂B ⎞
⎛
F = ⎜ B1 k + 1 ⎟ sedangkan B = β ( η )
1
1
∂x ⎠
⎝
∂B1
∂h k 2 A
−
) = 0 sehigga
= β (η )(k
∂x
2
∂x
F = β1 (η)k
∂F
=0
∂x
β 1 (η )
= tanh kh
β (η )
Pada perairan dalam dimana
tanh kh → 1 , maka persamaan dispersi menjadi
σ 2 = gk tanh kh
2F
A
Persamaan dikalikan dengan
β 1 (η )k dan persamaan dibagi dengan
β (η ) , σ 2 (2 − tan kh ) = gk tanh kh
β (η )
2
β1 (η ) ⎞
⎟ = gF
β (η ) ⎟⎠
,
yang merupakan persamaan dispersi dari teori
gelombang linier pada perairan dalam. Jadi persamaan
dispersi yang dihasilkan mempunyai karakteristik
linier pada perairan dalam, dasar perairan datar dan
amplitudo sangat kecil .
Selain persamaan dispersi, persaman potensial
kecepatan juga mempunyai karakteristik linier pada
perairan dalam dan untuk amplitudo gelombang yang
kecil dimana pada kondisi ini potensial aliran adalah
φ=
σA
F
β ( z ) cos kx sin σt
Telah ditunjukkan bahwa pada dasar perairan datar
dan amplitudo kecil,
F = β1 (η )k , persamaan potensial aliran menjadi
φ=
σA
β ( z ) cos kx sin σt
kβ1 (η )
Untuk amplitudo kecil dan dasar perairan datar telah
ditunjukkan bahwa persamaan dispersi adalah
k=
σ2
, persamaan potensial aliran menjadi
g tanh kh
gA tanh kh
β ( z ) cos kx sin σt
φ=
β 1 (η )
Berdasarkan definisi dari
β1 (η )
Berdasarkan definisi dari β1(η) dan β(η), maka untuk
amplitudo kecil dan dasar perairan datar, β1(η) = 2sinh
kh sedangkan β(z) = 2cosh k(h+z), potensial aliran
menjadi
Vol. 15 No. 1 April 2008
41
Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring
φ=
gA
cosh k (h + z ) cos kx sin σt
σ cosh kh
−2
yang merupakan potensial aliran dari teori gelombang
linier. Jadi baik persamaan dispersi maupun
persamaan potensial aliran mempunyai karakteristik
linier pada dasar perairan datar dan dan untuk
amplitudo gelombang yang sangat kecil dan pada
perairan dalam.
Pada perairan yang sangat dalam dimana tanh kh = 1,
persamaan dispersi menjadi k = s2/g sedangkan
persamaan potensial aliran menjadi,
φ=
gA
cosh k (h + z ) cos kx sin σt
2σ sinh kh
Jadi karakteristik linier dari persaman potensial aliran
terdapat pada kedalaman dimana tanh kh →1.
9. Analisis Shoaling
Shoaling adalah pembesaran amplitudo gelombang
akibat pengurangan kedalaman. Perhitungan shoaling
dapat dilakukan dengan membentuk persamaan elevasi muka air. Selanjutnya dengan menggunaan
persamaan muka air tersebut dibentuk persamaan
untuk elevasi muka air tertinggi. Amplitudo
gelombang pada suatu kedalaman adalah elevasi muka
air maksimum. Sebagai persamaan muka air
digunakan persamaan kontinuitas yang terintegrasi
terhadap kedalaman, yaitu:
∂η
∂
+
∂t
∂x
η
∫ u dz = 0
Selanjutnya digunakan potensial aliran gelombang
progressif, yaitu:
φ = − Rβ ( z ) sin(kx − σt )
(Dean, 1984) atau
φ = − Rβ (z ) sinψ
ψ = kx − σt
.
Dengan potensial aliran ini maka.
η
∂B
∂
udz = − RB1 k sinψ + R 1 cosψ
∫
∂x
∂x − h
+ RB2 k
∂R
∂h
cosψ + 2
B1 cosψ
∂x
∂x
η
∂η
∂
= − ∫ udz
∂t
∂x − h
∂B
∂h
∂η
= RB1 k sinψ − R 1 cosψ − RB2 k cosψ
∂x
∂x
∂t
42
Jurnal Teknik Sipil
Persamaan diintegrasikan terhadap t,
R ∂B1
sinψ
σ ∂x
σ
∂h
2 ∂R
R
B sinψ + c(t)
+ B2 k sinψ +
σ
σ ∂x 1
∂x
η ( x, t ) =
R
B1 k cosψ +
(17)
Persamaan (17) ini adalah persamaan muka air,
dimana berdasarkan Dean (1984), c(t) = 0.
Persamaan muka air diturunkan terhadap Ψ,
∂h
2 ∂R
B cosψ
cosψ +
σ
σ ∂x 1
∂x
∂η
R
R ∂B1
= − B1 k sinψ +
cosψ
∂ψ
σ
σ ∂x
∂η
Harga η max dicapai pada
= 0 , diperoleh
∂ψ
∂h 2 B1 ∂R ⎞
⎛ ∂B1
+ B2 k
+
⎜
⎟
∂x
∂x
R ∂x ⎠
⎝
(18)
tanψ =
B1
+
R
B2 k
Dengan menggunakan Ψ dari Persamaan (18), dapat
dihitung ηmax dengan menggunakan Persamaan (17)
yang merupakan ampitudo gelombang. Jadi amplitudo
gelombang pada suatu kedalaman h, dengan
amplitudo mula-mula A0 adalah A0 = ηmax. R, B1 dan k
dihitung dengan amplitudo mula-mula yaitu A0.
Dengan koefisien shoaling ks adalah k = A/A0.
10. Contoh Hasil Perhitungan
-h
dimana
∂R
B1 cosψ
∂x
10.1 Panjang gelombang pada perairan dalam
Tabel 1. Panjang gelombang pada perairan dalam
h (m)
L-lin (m)
L-0.0005 (m)
80.00
79.00
78.00
77.00
76.00
75.00
74.00
73.00
72.00
71.00
70.00
69.00
68.00
67.00
66.00
65.00
64.00
63.00
62.00
61.00
60.00
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
L-0.5 (m)
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
L-0.6 (m)
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
Hutahaean
Keterangan:
h
: kedalaman perairan
Ks-lin : koefisien shoaling hasil teori gelombang linier
Ks-0.x : koefisien shoaling hasil model, dengan amplitudo
diperairan dalam 0.x m
Telah banyak diketahui bahwa pada saat terjadi
breaking timbul arus dengan kecepatan yang besar,
dimana salah satunya adalah arus sejajar pantai (arus
littoral). Pada pmodelan 2 dimensi arah x-z ini tidak
terdapat komponen kecepatan arah-y yang merupakan
komponen kecepatan sejajar pantai. Jadi hasil
perhitungan breaking pada model arah x-z ini masih
kurang benar.
Keterangan:
h
: kedalaman perairan
Ks-lin : koefisien shoaling hasil teori gelombang linier
Ks-0.x : koefisien shoaling hasil model, dengan kemiringan
dasar perairan 0.x
11. Kesimpulan
1.
Potensial kecepatan dan persamaan dispersi yang
dihasilkan mempunyai karakteristik linier pada
perairan dalam dan dengan amplitudo kecil. Hal
ini telah dibuktikan baik secara analitis maupun
dengan hasil perhitungan. Bagi sejumlah peneliti
kandungan karakteristik linier pada suatu
persamaan gelombang nonlinier merupakan
petunjuk akan validitas suatu persamaan
gelombang nonlinier, Li (1999) dan Meftah
(2004).
2.
Persamaan potensial aliran yang dihasilkan
mengandung fenomena breaking dimana pada
penelitian ini pemodelan dapat terus berlangsung
pada saat terjadi breaking tanpa dibantu dengan
pemberi harga tertentu pada unsur persamaan
potensial aliran.
3.
Persamaan potensial aliran yang dihasilkan
mengandung fenomena breaking dimana pada
penelitian ini pemodelan dapat terus berlangsung
pada saat terjadi breaking tanpa dibantu dengan
memberi harga tertentu pada suatu unsur
persamaan potensial aliran. Hal ini sangat sesuai
dengan tujuan penelitian yaitu mendapatkan
persamaan potensial aliran yang dapat
memodelkan breaking secara otomatis.
4.
Meskipun persamaan dapat memodelkan
breaking
dengan
baik,
tetapi
perlu
pengembangan lebih lanjut yaitu pengerjaan
persaman kekekalan energi pada persamaan
muka air. Hal ini dikarenakan pada saat terjadi
breaking terjadi arus yang sangat besar atau
terjadi perubahan energi kinetik, karena itu
diperlukan suatu media untuk mentransfer energi
gelombang
menjadi energi kinetik, yaitu
persaman kekekalan energi.
10.2 Pengaruh kemiringan terhadap shoaling
Pada Tabel 2 disajikan hasil perhitungan koefisien
shoaling untuk amplitudo gelombang 0.6 m, perioda
gelombang 6 detik, dengan kemiringan dasar perairan
bervariasi yaitu 0.002, 0.004 dan 0.008. Pada tabel
tersebut terlihat bahwa pada kedalaman 8-20 m,
semakin besar kemiringan, semakin kecil koefisien
shoaling.
Tetapi pada kedalaman kurang dari 8 m, didapat
koefisien shoaling yang sama pada masing-masing
kemiringan, atau sedikit lebih besar, yaitu semakin
besar kemiringan semakin besar koefisien shoalingnya.
Pada kondisi setelah breaking, semakin kecil
kemiringan semakin besar pengurangan amplitudo
gelombang akibat breaking. Hal ini dikarenakan
setelah breaking masih terjadi shoaling sedangkan
kemiringan yang lebih besar menghasilkan shoaling
yang lebih besar pada perairan dangkal. Kondisi
shoaling dengan kemiringan yang cukup besar ini
menunjukkan potensi persamaan untuk digunakan pada
analisis run-up pada pantai maupun pada bangunan
pantai.
Tabel 2. Pengaruh kemiringan terhadap shoaling
dan fenomena breaking
h (m)
20.000
19.000
18.000
17.000
16.000
15.000
14.000
13.000
12.000
11.000
10.000
9.000
8.000
7.000
6.000
5.000
4.000
3.000
2.000
1.000
L-lin (m)
966
961
955
950
944
938
932
926
921
917
914
913
914
919
928
943
969
1.012
1.088
1.258
L-0.0005 (m)
L-0.5 (m)
L-0.6 (m)
995
996
996
996
996
996
997
997
997
997
997
997
996
996
995
992
987
977
946
790
993
992
993
993
994
994
995
995
995
996
996
996
997
997
996
994
991
982
955
826
985
986
987
988
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
997
997
995
990
971
876
Daftar Pustaka
Bruce, A.W., and Kenneth, A.N., 1970, Numerical
Algorithms: Origins and Applications. Addison-Wesley Publishing Company.
Dean, Robert G., and Dalrymple, 1984, Water Wave
Mechanics for Engineers and Scientists,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey.
Vol. 15 No. 1 April 2008
43
Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring
Hutahaean, S., 2005, Model Difraksi dengan
Persamaan Gelombang Air yang Disempurnakan, Thesis S3, Departemen Teknik Sipil,
ITB.
Hutahaean, S., 2007b, Kajian Teoritis terhadap
Persamaan Gelombang Nonlinier, Jurnal
Teknik Sipil, Volume 14, No. 3, Fakultas
Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB.
Hutahaean, S., 2007c, Model Refraksi Gelombang
dengan Menggunakan Persamaan Gelombang
Nonlinier,
Jurnal
Infrastruktur
dan
Lingkungan Binaan, Volume III, No. 2,
Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB.
Li, Y. S., Liu, S.-X., Yu, Y.-X., and Lai, G.-Z., 1999,
Numerical Modeling of Boussinesq Equations by Finite Element Method J. Coastal
Engineering, Elsevier.
Meftah, Sorgent, P., and Gami P., 2004, Linear Analysis of A New Type of Extended Boussinesq
Model. Coastal Engineering.
Sarpkaya, T., and Michael, I., 1981, Mechanics of
Wave Forces on Offshore Structures, Van
Nostrand Reinhold Company.
44
Jurnal Teknik Sipil
ISSN 0853-2982
Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil
Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring
Syawaluddin Hutahaean
Pusat Studi Teknik Kelautan
Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan
Institut Teknologi Bandung
Jl. Ganesha No.10 Bandung 40132
E-mail: syawaluddin@ocean.itb.ac.id
Abstrak
Paper ini merupakan kelanjutan dari paper sebelumnya yang ditulis oleh Hutahaean (2007b) dimana
persamaan dikembangkan untuk kondisi dasar perairan datar dan Hutahaean (2007c) untuk dasar perairan
miring. Pengembangan yang dilakukan adalah dengan mengerjakan persamaan momentum terbatas pada
perumusan persamaan dispersi. Selain itu diformulaskan juga persamaan shoaling dimana pada perhitungan
shoaling diperairan dangkal terlihat terjadinya fenomena breaking.
Kata-kata Kunci: Shoaling, breaking, persamaan momentum terbatas.
Abstract
This paper is an extension of earlier paper written by Hutahaean (2007b) for flat bottom and Hutahaean (2007c)
for sloping bottom. The improvement is the application of limited momentum equation in derivation of dispersion
equation. In this paper equation of shoaling is also derived where shoaling calculation in shallow water show
breaking phenomena.
Keywords: Shoaling, breaking, limited momentum equations.
1. Pendahuluan
Hutahaean (2007b) dan (2007c), telah merumuskan
suatu persamaan potensial aliran gelombang yang
mengandung fenomena breaking. Pada (2007b)
digunakan kondisi dasar perairan datar sehingga
terdapat kemungkinan akan menghasilkan perhitungan
shoaling yang kurang tepat. Pada (2007c), perumusan
dikerjakan untuk dasar perairan miring dan digunakan
untuk pemodelan refraksi gelombang. Model refraksi
tersebut dapat memodelkan breaking tetapi pada saat
terjadi breaking suatu komponen pada persamaan
potensial aliran harus diberi harga tertentu agar
simulasi dapat terus berlangsung. Pada model ini
breaking terjadi pada saat harga γ pada persamaan
potensial aliran (6.1) adalah kurang dari 0.65, dimana
setelah breaking harga γ tidak membesar dengan
sendirinya dan model terhenti. Agar model dapat terus
berjalan, maka pada saat harga γ < 0.65, diberikan
harga γ = 0.65.
tertentu pada suatu komponen persaman potensial
aliran.
Hutahaean (2005) mengembangkan persamaan muka
air yang merupakan superposisi dari persamaan
kontinuitas dengan persamaan kekekalan energi,
dimana persamaan tersebut dapat mensimulasikan
breaking yang sederhana. Dengan latar belakang ini
maka dilakukan pengembangan dari persamaan yang
dihasilkan oleh Hutahaean (2007c) dengan
mengerjakan persamaan momentum yang terbatas
yang dirumuskan berdasarkan persaman keseimbangan
momentum yang merupakan salah satu bentuk dari
persamaan kekekalan energi juga. Keuntungan lain
dari pengerjaan persaman momentum-x yang terbatas
ini, yaitu diperhitungkannya peranan percepatan arahz, tanpa harus mengerjakan persamaan momentum
pada arah sumbu-z.
2. Persamaan Muka Air dan Kondisi
2.1 Persamaan muka air pendekatan
Penelitian ini dimaksudkan untuk memperbaiki
fenomena breaking pada penelitian Hutahaean
(2007c) dimana diharapkan breaking dapat
disimulasikan tanpa bantuan pemberian suatu harga
Pada proses formulasi diperlukan bentuk dari ∂η/∂t
dan ∂η/∂x, karena itu perlu diketahui persamaan muka
air η. Untuk keperluan tersebut maka digunakan
Vol. 15 No. 1 April 2008
35
Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring
persamaan muka air dari teori gelombang linier yaitu:
η = A cos kx cos σt
(u – (u + δ u)) δ z + (w – (w + δ w)) δ x = 0
Baik potensial kecepatan maupun persamaan muka air
adalah bersifat sinusiodal. Untuk mempermudah
proses perumusan, maka perumusan dikerjakan pada
kondisi
1
cos kx = sin kx = cos σt = sin σt =
2
2
∂η
∂η
kA
σA
=−
=−
dan
∂t
∂x
2
2
(1)
2.2 Persamaan muka air pemodelan
Persamaan muka air untuk pengembangan model
digunakan persamaan kontinuitas yang diintegrasikan
terhadap kedalaman.
η
∂η ∂
+
udz = 0
∂t ∂x −∫h
(2)
3.1 Persamaan momentum permukaan fluida ideal
Sebagai persamaan momentum digunakan persamaan
momentum permukaan untuk fluida ideal, Hutahaean
(2007b dan 2007c), yaitu:
)
δu
δx
⎞
∂η
⎟⎟ = - g
∂x
⎠
+
δw
δz
δu ∂u
=
δx ∂x
=0
(3)
δv ∂v
=
δy ∂y
diperoleh persamaan nuitas
Pada penelitian ini δu/δx dan δw/δz akan dijabarkan
dengan cara lain. Berdasarkan deret Taylor,
u (x + δ x, z + δ z, t + δ t) = u (x, z, t) + δ x
∂u
∂x
∂u
∂u
u (x+δ x,z+δ z,t+δ t)-u(x, t)=δ x
+δt
∂t
∂z
∂u
∂u
∂u
+δz
+δt
∂x
∂z
∂t
δu=δx
∂u
∂u
∂u
+δz
+δt
∂x
∂z
∂t
∂u⎞
∂u
⎛ ∂u
⎟ δt
+
+w
∂t ⎠
∂z
⎝ ∂x
δ u = ⎜u
3.2 Persamaan keseimbangan momentum
Persamaan keseimbangan momentum dirumuskan
dengan prosedur sebagaimana halnya dengan
perumusan persamaan kontinuitas, yaitu sebagai
berikut:
dan
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
+δz
3. Persamaan momentum
1 ∂
∂ ⎛ ∂ φη
⎜
uη2 + wη2 2∂x
∂ x ⎜⎝ ∂ t
Persamaan dibagi dengan δx dan δz,
Persamaan ini adalah persamaan kekekalan masa
dimana bila diambil
Dimana pada kondisi ini berlaku persamaan:
(
Hukum kekekalan masa, pada sistim input-output
pada gambar di atas untuk fluida tak mampat adalah:
Persamaan dibagi dengan δ x,
δu
δx
∂u ∂u⎞ δ t
⎛ ∂u
+w
+
⎟
∂z
∂t ⎠ δ x
⎝ ∂x
= ⎜u
Dengan cara yang sama akan diperoleh
w+δw
δw
δz
∂ w⎞ δ t
⎛ ∂w
∂w
+w
+
⎟
∂t ⎠ δ z
∂z
⎝ ∂z
= ⎜u
Substitusí persamaan untuk
δz
u+δu
u
w
δx
36
Jurnal Teknik Sipil
δu
δx
dan
δw
δz
kepersamaan kekekalan masa,
∂w
∂u
∂u⎞ δ t
⎛∂u
⎛∂w
⎜
+u
+w
+u
⎟
+ ⎜
∂x
∂x
∂ z⎠ δ x ⎝ ∂t
⎝ ∂t
+w
∂ w⎞ δ t
⎟
=0
∂z⎠ δ z
Hutahaean
mengambil δ x = δ z = δ dan persamaan dibagi
dengan δ t/δ , maka diperoleh
∂u
∂u
∂u
∂w
∂w
+ u
+w
+
+u
∂t
∂x
∂z
∂t
∂x
+w
∂w
=0
∂z
(4)
Persamaan (4) ini terlihat merupakan persamaan
keseimbangan antara percepatan horizontal arah x dan
percepatan vertikal arah z. Meskipun persamaan ini
dirumuskan dari prinsip kekekalan masa tetapi yang
dihasilkan
adalah
persamaan
keseimbangan
momentum atau dapat juga disebut dengan persamaan
kekekalan momentum atau energi.
Dengan mengerjakan sifat irotasional fluida ideal,
−
∂φ
persamaan keseimbangan momentum menjadi
∂z
∂ ∂φ
∂ ∂φ 1 ∂ 2
u + w2 ) (
+
∂ t ∂z
∂ t ∂x 2 ∂x
1 ∂ 2
uη + wη2 = 0
2 ∂z
)
)
(6)
Persamaan (6) adalah persamaan momentum yang
terbatas yaitu bahwa ∂u/∂t dibatasi oleh ∂w/∂t. Atau
gaya horisontal pada arah sumbu-x, tidak hanya
memberi percepatan pada arah sumbu-x, juga
menimbulkan percepatan pada arah sumbu-z.
(7)
dimana,
;
β 1 ( z ) = αe k ( h + z ) + e − k ( h + z )
(8)
∂h
∂x
α=
∂h
1−
∂x
(9)
2π
L
L= panjang gelombang
σ = frekuensi sudut =
maka persamaan keseimbangan momentum menjadi
2π
T
T = perioda gelombang
∂ ∂φη
∂ ∂φη
1 ∂ 2
−
(
uη + wη2 ) +
∂ x ∂t
∂ z ∂t
2 ∂x
)
(
k = bilangan gelombang =
∂ ∂φη
∂ ∂φη
=
∂ z ∂t
∂t ∂z
(
∂ ∂φη
∂ z ∂t
1+
∂ ∂φη
∂ ∂φη
=
begitu juga
∂ x ∂t
∂t ∂x
1 ∂ 2
uη + wη2 = 0
2 ∂z
⎠
-
1 ∂ 2
∂η
uη + wη2 = − g
2 ∂z
∂x
β ( z ) = αe k ( h + z ) + e − k ( h + z )
f adalah statu fungsí yang kontinu, maka berlaku
+
)⎞⎟⎟
φ = Ge kh β ( z ) cos kx sin σt
∂ ∂φη
∂ ∂φη
1 ∂ 2
−
(
uη + wη2 ) +
∂ t ∂z
∂ t ∂x
2 ∂x
(
(
Persamaan potensial aliran dengan dasar perairan
miring pada Hutahaean (2007c) adalah:
)
Persamaan berlaku pada seluruh medan aliran termasuk juga pada permukaan,
+
⎛ ∂ ∂φη 1 ∂ 2
2⎜⎜ −
+
uη + wη2
2
∂
∂
∂
x
t
x
⎝
4. Persamaan Potensial Aliran
1 ∂ 2
u + w2 = 0
+
2 ∂z
(
Pada persamaan keseimbangan momentum terlihat
bahwa terdapat relasi antara ∂u/∂t dengan ∂w/∂t
dimana hal ini menunjukkan bahwa terdapat
keseimbangan antara percepatan pada arah sumbu-x
dengan percepatan pada arah sumbu-z. Karena itu
pada persamaan momentum seharusnya terdapat juga
relasi tersebut. Pembentukan persamaan momentum-x
dimana terdapat relasi antara ∂u/∂t dengan ∂w/∂t
dibentuk dengan menjumlahkan Persamaan (3)
dengan Persamaan (5),
+
∂u ∂w
∂w ∂u
∂φ
=
=
serta u = −
dan
dan
∂z ∂x
∂x ∂z
∂x
w= −
3.3 Persamaan momentum yang terbatas
h = kedalaman perairan
(5)
∂h
= keiringan dasar perairan
∂x
Vol. 15 No. 1 April 2008
37
Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring
dimana
5. Persamaan untuk G
Pada persamaan potencial Persamaan (10), terdapat
statu koefisien yatu G. Persamaan untuk G ini dirumuskan dengan menggunaan persamaan mukai air
yang terintegrasi terhadap kedalaman yaitu Persamaan (2) dan digunakan kondisi
cos kx = sin kx = cos σt = sin σt =
1
2
2
dimana pada kondisi ini dari hasil sebelumnya
∂η
kA
∂η
σA
=−
dan
=−
∂x
2
∂t
2
Dengan
φ = Ge β ( z ) cos kx sin σt
kh
⎛ ∂h k 2 A ⎞
∂B1
⎟
= β (η )⎜⎜ k
−
∂x
2 ⎟⎠
⎝ ∂x
Dengan hasil integrasi tersebut, persamaan kontinuitas
menjadi,
∂η
∂B
+ Ge kh B1 k cos kx sin σt + Gekh 1 sin kx sin σt
∂t
∂x
+ Ge kh (2 B1 + B2 )k
+
, maka
∂φ
= Ge kh β ( z )k sin kx sin σt
∂x
∂h
− Ge kh (β ( z ) + β 1 ( z ) )k cos kx sin σt
∂x
∂G kh
e β ( z ) cos kx sin σt
−
∂x
u=−
∂G kh
e B1 sin kx sin σt = 0
∂x
digunakan kondisi
cos kx = sin kx = cos σt = sin σt =
kh
B1 sin kx sin σt
=
−h
− Gekh (B1 + B2 )
−
∂h
cos kx sin σt
∂x
σA −
∂B
∂h ⎞
⎛
F = ⎜ B1 k + 1 + (2 B1 + B2 )k ⎟
∂x
∂x ⎠
⎝
dimana:
∫ β (z) dz =
β 1 (η ) - ( α - 1) B1
=
k
-h
G=
,
∫ β (z) dz =
G=
β (η ) - ( α + 1) B2
1
k
-h
=
k
η
∫ udz = Ge
kh
σA −
∂G B1e kh
∂x Fe kh
∂G
B1e kh
∂x
e kh F
(11)
B1 k cos kx sin σt
Persamaan (10) diturunkan terhadap x dengan
mengabaikan
∂ 2G
∂x 2
−h
+ Ge kh
∂h
∂B1
kh
sin kx sin σt + Ge B1k sin kx sin σt
∂x
∂x
+ Ge kh (B1 + B2 )k
38
e kh F
−
Jurnal Teknik Sipil
(10)
;
B2 = β ( η ) - ( α + 1)
∂
∂x
σA
k
B1 = β 1 ( η ) - ( α - 1)
η
∂G kh
e B1
∂x
Didefinisikan,
∂G kh B1
cos kx sin σt
e
∂x
k
η
1
2 , maka
2
∂B
∂h ⎞
⎛
Ge kh ⎜ B1 k + 1 + (2 B1 + B2 )k ⎟
∂x
∂x ⎠
⎝
η
∫ udz = Ge
∂h
sin kx sin σt
∂x
∂h
∂G
sin kx sin σt + ekh B1 sin kxsinσt
∂x
∂x
∂G
σA ∂kh ∂F ∂G
= − kh 2 (
+
)−
∂x
∂x
e F ∂x
∂x
+
∂G B1 ∂F
∂x F 2 e kh ∂x
e kh (
∂kh ∂B1
+
)
∂x ∂x
Fe kh
(12)
Hutahaean
∂kh ∂B1
⎛
⎞
+
)
⎜ (
⎟
∂x − B1 ∂F ⎟ ∂G =
⎜1 + ∂x
⎜
F
e kh F 2 ∂x ⎟ ∂x
⎜
⎟
⎝
⎠
σA ∂kh ∂F
− kh 2 (
+
)
∂x
e F ∂x
(13)
6. Kandungan Fenomena Breaking pada
Persamaan Potensial Aliran
Untuk dasar perairan datar, ∂h/∂x = 0, dan ∂G/∂x
dapat diabaikan maka harga G adalah G = σA/F0
dimana:
⎛
β (η )k 2 A ⎞
⎟⎟
F0 = e kh ⎜⎜ B1 k −
2
⎠
⎝
Didefinisikan
γ = ⎛⎜ β1 (η ) −
⎝
F0 = e kh kγ sedangkan G =
⎟ maka,
⎠
σA
e kh kγ
σA
β ( z ) cos kx sin σt
kγ
⎛ ∂ ∂φη 1 ∂ 2
uη + wη2
2⎜⎜ −
+
x
t
x
2
∂
∂
∂
⎝
(
)⎞⎟⎟
⎠
-
∂ ∂φη
∂ z ∂t
1 ∂ 2
∂η
(
uη + wη2 ) = − g
2 ∂z
∂x
∂G
B1e kh k
p
∂
x
. Didefinisikan R =
G=
F
e kh F
∂G kh
p
B1e k
, dimana p = σA −
Didefinisikan R =
∂x
F
σA −
(14)
Pada persamaan potensial aliran ini terlihat bahwa bila
γ sangat kecil, mendekati nol maka φ menjadi sangat
besar, demikian juga dengan
u=−
Persamaan dispersi akan dirumuskan dengan
menggunakan persamaan momentum terbatas dari
Persamaan (6), yaitu:
dimana, φ = Gekh β(z)coskxsin σt dengan G dari
Persamaan (11),
Persamaan potensial aliran menjadi
φ=
7. Persamaan Dispersi
+
β (η )kA ⎞
2
Kriteria breaking dari Miche adalah H/L = 0.142 tanh
kh, Sarpkaya (1981). Jadi bentuk kondisi breaking
dari potensial aliran yang diperoleh adalah sama
dengan kondisi breaking dari Miche. Yang terpenting
dalam hal ini adalah bahwa pada potensial aliran
terdapat karakteristik breaking atau dengan kata lain
persamaan potensial aliran dapat memodelkan
breaking.
∂φ
∂φ
dan w = −
∂x
∂z
Telah banyak diketahui bahwa pada pada saat
breaking terjadi kecepatan arus yang sangat besar.
Jadi beraking terjadi pada γ sangat kecil. Bila
breaking diambil untuk γ = 0, maka
sehingga G =
p
. Dengan harga G ini maka
e F
kh
persamaan potensial kecepatan menjadi φ = Rβ(z)
coskxsin σt.
u =−
∂φ
= Rβ ( z )k sin kx sin σt
∂x
− Rβ 1 ( z )
∂kh
∂R
cos kx sin σt − β ( z) cos kx sin σt
∂x
∂x
β (η )2πA
β (η )kA ⎞
⎛
= β1 (η )
⎜ β1 (η ) −
⎟ = 0 dan
2L
2 ⎠
⎝
w= −
H 2 β 1 (η )
2 αe k ( h +η ) − e − k ( h +η )
=
=
L π β (η )
π αe k ( h +η ) + e − k ( h +η )
Sebagaimana halnya dengan formulasi G, maka pada
formulasipersamaan dispersi ini digunakan kondisi
∂φ
= − Rβ 1 ( z )k cos kx sin σt
∂z
1
2
2
H
∂h
2 e k ( h +η ) − e − k ( h +η )
= 0 , α =1
untuk
=
L
∂x
π e k ( h +η ) + e − k ( h +η )
cos kx = sin kx = cos σt = sin σt =
Untuk amplitudo gelombang yang sangat kecil
dibandingkan dengan kedalaman h,
∂η
σA
kA
∂η
, diperoleh
dan
=−
=−
∂t
2
2
∂x
∂ uη
R2 2
R2
∂h
uη
β (η )k 3 +
β (η ) β1 (η )k 3
=
∂x
4
∂x
4
H
2 e kh − e − kh 2
= tanh(kh)
=
L
π e kh + e − kh π
dimana pada kondisi ini dari hasil sebelumnya
Vol. 15 No. 1 April 2008
39
Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring
R ∂R 2
β (η )k 2
4 ∂x
+
∂ wη
wη
∂x
=−
R ∂R 2
β1 (η )k 2
4 ∂x
+
∂ ⎛ ∂ φη
⎜
∂ x ⎜⎝ ∂ t
+
σ ∂R
2 ∂x
∂uη
uη
−
R2
∂h
R2 2
β 1 (η )k 3 + β (η)β1 (η )k 3
∂x
4
4
∂z
⎞
σ
∂h
σ
⎟⎟ = − Rβ (η )k + Rβ1 (η )k
2
∂x
2
⎠
β (η )
=
R2
R2 2
∂h
β (η ) β 1 (η )k 3 −
β (η )k 3
∂x
2
4
R ∂R
β (η ) β1 (η )k 2
2 ∂x
wη
∂wη
∂z
=
Dengan hasil formulasi tersebut, maka persamaan
momentum-x menjadi,
R2
∂h
R2 2
β (η ) β1 (η )k 3
β (η )k 3 +
∂x
2
2
+
2
R ∂R 2
β (η )k 2 − R β 12 (η )k 3
2 ∂x
2
+
R2
∂h R ∂R 2
β (η ) β1 (η )k 3
+
β1 (η )k 2
∂x 2 ∂x
2
−
−
∂h
∂x
gAk
2
R2
∂h R ∂R 2
β (η ) β1 (η )k 3
+
+
β1 (η )k 2
∂x 4 ∂x
4
+
−
+
σ ∂R
2 ∂x
σ
β (η ) +
2
Rβ 1 (η )k
∂h
∂x
R2
∂h
R2
β (η ) β1 (η )k 3 − β 2 (η)k3
∂x
2
4
1
R ∂R
β (η ) β1 (η )k 2 + R 2 k 3 β (η ) β 1 (η )
2 ∂x
4
σ
2
Rβ 1 (η )k −
gAk
=0
2
(16)
R ∂R 2
β1 (η )k 2
2 ∂x
+ σRβ (η )k − σ
Persamaan (15) adalah persamaan untuk k yang
bersifat nonlinier, sehingga peneyelesainnya adalah
−
Jurnal Teknik Sipil
2
Rβ (η )k −
Sampai pada saat ini untuk menentukan validitas suatu
persaman gelombang nonlinier adalah bahwa
persamaan gelombang tersebut harus mempunyai
karakteristik linier yaitu pada dasar perairan datar dan
dengan amplitudo sangat kecil mempunyai panjang
gelombang yang sama dengan panjang gelombang
dari teori gelombang linier, Li (1999) dan Meftah
(2004).
−
40
σ
8. Karakteristik Linier dari Persamaan
Dispersi dan Potensial Aliran
(15)
2
2
R ∂R 2
β (η )k 2 − R β 12 (η )k 3
4 ∂x
4
R ∂R 2
R2 2
R2 2
β (η )k 2 −
β (η )k 3 +
β 1 (η )k 3
2
x
∂
2
2
∂R
R2
R2 2
∂h
3
β (η ) +
β (η ) β1 (η )k − β (η)k3
∂x
4
2
∂x
Rβ 1 (η )k =
R2 2
R2
∂h
β (η )k 3 +
β (η ) β1 (η )k 3
∂x
4
4
Pada dasar perairan datar, berlaku persamaan R = σA/
F, sedangkan persamaan momentum menjadi,
R ∂R
1
β (η ) β1 (η )k 2 + R 2 k 3 β (η ) β 1 (η )
2 ∂x
4
σ
+
−
∂ ∂φη σ
= Rβ1 (η )k
2
∂z ∂t
−σ
f (k ) =
−
1 2 3
R k β (η ) β 1 (η )
4
+ σRβ (η )k − σRβ1 (η )k
dengan cara iterasi, antara lain metoda iterasi dari
Newton-Rhapson, Arden (1971). Adapun langkah
perhitungannya adalah sebagai berikut. Persamaan
dispersi dapat ditulis sebagai suatu fungsi ƒ(k) = 0,
yaitu:
∂R
R2
β (η ) +
β (η ) β1 (η )k 3
∂x
4
R ∂R
1
β (η ) β1 (η )k 2 + R 2 k 3 β (η ) β 1 (η )
2 ∂x
4
σ
2
Rβ 1 (η )k =
gAk
2
Hutahaean
Substitusi R =
σ 2 A2
2F
−
+
+
2
2F 2
σ 2A
σ A
4F
2
2
2σ 2 β (η )k − σ 2 β1 (η )k = gkF atau
σ 2 A 2 ∂F
2F
β (η )k −
2
1
β (η )k −
F
Persamaan dispersi menjadi:
F
β 2 (η )k 3 −
σ 2 A2
2
σA
3
∂x
3
β (η )k
2
1
2 F 3 ∂x
F 2 ∂x
β (η ) β1 (η )k 3 +
σ 2 β (η )⎜⎜ 2 −
⎝
σ 2 A 2 ∂F
σ 2 A ∂F
⎛
β 2 (η )k 2
Substitusi F =
2
σ A ∂F
2
2F
3
∂x
dimana pada dasar perairan datar dan amplitudo yang
sangat kecil,
β (η ) β 1 (η )k 2
gAk
σ A 3
σ A
=
+
(
)
k
β
(
η
)
β
(
η
)
−
β
η
k
1
1
2
2F
4F 2
2
2
2
σ 2A
F
−
−
+
β 2 (η )k 3 −
σ 2 A ∂F
F
2
∂x
σ 2 A ∂F
F
2
∂x
β 2 (η )k 2 −
σ2A
F
β12 (η)k 3
β 12 (η )k 2 + 2σ 2 β (η )k
2σ 2 ∂F
σ 2A
β (η ) +
β (η ) β1 (η )k 3
F ∂x
2F
σ A ∂F
2
F
2
∂x
β (η ) β 1 (η )k 2 +
σ A
2
2F
k 3 β (η ) β1 (η )
− σ 2 β1 (η )k = gkF
Pada amplitudo gelombang yang sangat kecil, suku
yang mengandung unsur A menjadi sangat kecil dan
dapat diabaikan,
2σ 2 β (η )k − σ 2
∂F
β (η ) − σ 2 β1 (η )k = gkF
∂x
Dari Persamaan (10), maka untuk dasar perairan datar
∂B ⎞
⎛
F = ⎜ B1 k + 1 ⎟ sedangkan B = β ( η )
1
1
∂x ⎠
⎝
∂B1
∂h k 2 A
−
) = 0 sehigga
= β (η )(k
∂x
2
∂x
F = β1 (η)k
∂F
=0
∂x
β 1 (η )
= tanh kh
β (η )
Pada perairan dalam dimana
tanh kh → 1 , maka persamaan dispersi menjadi
σ 2 = gk tanh kh
2F
A
Persamaan dikalikan dengan
β 1 (η )k dan persamaan dibagi dengan
β (η ) , σ 2 (2 − tan kh ) = gk tanh kh
β (η )
2
β1 (η ) ⎞
⎟ = gF
β (η ) ⎟⎠
,
yang merupakan persamaan dispersi dari teori
gelombang linier pada perairan dalam. Jadi persamaan
dispersi yang dihasilkan mempunyai karakteristik
linier pada perairan dalam, dasar perairan datar dan
amplitudo sangat kecil .
Selain persamaan dispersi, persaman potensial
kecepatan juga mempunyai karakteristik linier pada
perairan dalam dan untuk amplitudo gelombang yang
kecil dimana pada kondisi ini potensial aliran adalah
φ=
σA
F
β ( z ) cos kx sin σt
Telah ditunjukkan bahwa pada dasar perairan datar
dan amplitudo kecil,
F = β1 (η )k , persamaan potensial aliran menjadi
φ=
σA
β ( z ) cos kx sin σt
kβ1 (η )
Untuk amplitudo kecil dan dasar perairan datar telah
ditunjukkan bahwa persamaan dispersi adalah
k=
σ2
, persamaan potensial aliran menjadi
g tanh kh
gA tanh kh
β ( z ) cos kx sin σt
φ=
β 1 (η )
Berdasarkan definisi dari
β1 (η )
Berdasarkan definisi dari β1(η) dan β(η), maka untuk
amplitudo kecil dan dasar perairan datar, β1(η) = 2sinh
kh sedangkan β(z) = 2cosh k(h+z), potensial aliran
menjadi
Vol. 15 No. 1 April 2008
41
Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring
φ=
gA
cosh k (h + z ) cos kx sin σt
σ cosh kh
−2
yang merupakan potensial aliran dari teori gelombang
linier. Jadi baik persamaan dispersi maupun
persamaan potensial aliran mempunyai karakteristik
linier pada dasar perairan datar dan dan untuk
amplitudo gelombang yang sangat kecil dan pada
perairan dalam.
Pada perairan yang sangat dalam dimana tanh kh = 1,
persamaan dispersi menjadi k = s2/g sedangkan
persamaan potensial aliran menjadi,
φ=
gA
cosh k (h + z ) cos kx sin σt
2σ sinh kh
Jadi karakteristik linier dari persaman potensial aliran
terdapat pada kedalaman dimana tanh kh →1.
9. Analisis Shoaling
Shoaling adalah pembesaran amplitudo gelombang
akibat pengurangan kedalaman. Perhitungan shoaling
dapat dilakukan dengan membentuk persamaan elevasi muka air. Selanjutnya dengan menggunaan
persamaan muka air tersebut dibentuk persamaan
untuk elevasi muka air tertinggi. Amplitudo
gelombang pada suatu kedalaman adalah elevasi muka
air maksimum. Sebagai persamaan muka air
digunakan persamaan kontinuitas yang terintegrasi
terhadap kedalaman, yaitu:
∂η
∂
+
∂t
∂x
η
∫ u dz = 0
Selanjutnya digunakan potensial aliran gelombang
progressif, yaitu:
φ = − Rβ ( z ) sin(kx − σt )
(Dean, 1984) atau
φ = − Rβ (z ) sinψ
ψ = kx − σt
.
Dengan potensial aliran ini maka.
η
∂B
∂
udz = − RB1 k sinψ + R 1 cosψ
∫
∂x
∂x − h
+ RB2 k
∂R
∂h
cosψ + 2
B1 cosψ
∂x
∂x
η
∂η
∂
= − ∫ udz
∂t
∂x − h
∂B
∂h
∂η
= RB1 k sinψ − R 1 cosψ − RB2 k cosψ
∂x
∂x
∂t
42
Jurnal Teknik Sipil
Persamaan diintegrasikan terhadap t,
R ∂B1
sinψ
σ ∂x
σ
∂h
2 ∂R
R
B sinψ + c(t)
+ B2 k sinψ +
σ
σ ∂x 1
∂x
η ( x, t ) =
R
B1 k cosψ +
(17)
Persamaan (17) ini adalah persamaan muka air,
dimana berdasarkan Dean (1984), c(t) = 0.
Persamaan muka air diturunkan terhadap Ψ,
∂h
2 ∂R
B cosψ
cosψ +
σ
σ ∂x 1
∂x
∂η
R
R ∂B1
= − B1 k sinψ +
cosψ
∂ψ
σ
σ ∂x
∂η
Harga η max dicapai pada
= 0 , diperoleh
∂ψ
∂h 2 B1 ∂R ⎞
⎛ ∂B1
+ B2 k
+
⎜
⎟
∂x
∂x
R ∂x ⎠
⎝
(18)
tanψ =
B1
+
R
B2 k
Dengan menggunakan Ψ dari Persamaan (18), dapat
dihitung ηmax dengan menggunakan Persamaan (17)
yang merupakan ampitudo gelombang. Jadi amplitudo
gelombang pada suatu kedalaman h, dengan
amplitudo mula-mula A0 adalah A0 = ηmax. R, B1 dan k
dihitung dengan amplitudo mula-mula yaitu A0.
Dengan koefisien shoaling ks adalah k = A/A0.
10. Contoh Hasil Perhitungan
-h
dimana
∂R
B1 cosψ
∂x
10.1 Panjang gelombang pada perairan dalam
Tabel 1. Panjang gelombang pada perairan dalam
h (m)
L-lin (m)
L-0.0005 (m)
80.00
79.00
78.00
77.00
76.00
75.00
74.00
73.00
72.00
71.00
70.00
69.00
68.00
67.00
66.00
65.00
64.00
63.00
62.00
61.00
60.00
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
56.21
L-0.5 (m)
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
56.18
L-0.6 (m)
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
56.17
Hutahaean
Keterangan:
h
: kedalaman perairan
Ks-lin : koefisien shoaling hasil teori gelombang linier
Ks-0.x : koefisien shoaling hasil model, dengan amplitudo
diperairan dalam 0.x m
Telah banyak diketahui bahwa pada saat terjadi
breaking timbul arus dengan kecepatan yang besar,
dimana salah satunya adalah arus sejajar pantai (arus
littoral). Pada pmodelan 2 dimensi arah x-z ini tidak
terdapat komponen kecepatan arah-y yang merupakan
komponen kecepatan sejajar pantai. Jadi hasil
perhitungan breaking pada model arah x-z ini masih
kurang benar.
Keterangan:
h
: kedalaman perairan
Ks-lin : koefisien shoaling hasil teori gelombang linier
Ks-0.x : koefisien shoaling hasil model, dengan kemiringan
dasar perairan 0.x
11. Kesimpulan
1.
Potensial kecepatan dan persamaan dispersi yang
dihasilkan mempunyai karakteristik linier pada
perairan dalam dan dengan amplitudo kecil. Hal
ini telah dibuktikan baik secara analitis maupun
dengan hasil perhitungan. Bagi sejumlah peneliti
kandungan karakteristik linier pada suatu
persamaan gelombang nonlinier merupakan
petunjuk akan validitas suatu persamaan
gelombang nonlinier, Li (1999) dan Meftah
(2004).
2.
Persamaan potensial aliran yang dihasilkan
mengandung fenomena breaking dimana pada
penelitian ini pemodelan dapat terus berlangsung
pada saat terjadi breaking tanpa dibantu dengan
pemberi harga tertentu pada unsur persamaan
potensial aliran.
3.
Persamaan potensial aliran yang dihasilkan
mengandung fenomena breaking dimana pada
penelitian ini pemodelan dapat terus berlangsung
pada saat terjadi breaking tanpa dibantu dengan
memberi harga tertentu pada suatu unsur
persamaan potensial aliran. Hal ini sangat sesuai
dengan tujuan penelitian yaitu mendapatkan
persamaan potensial aliran yang dapat
memodelkan breaking secara otomatis.
4.
Meskipun persamaan dapat memodelkan
breaking
dengan
baik,
tetapi
perlu
pengembangan lebih lanjut yaitu pengerjaan
persaman kekekalan energi pada persamaan
muka air. Hal ini dikarenakan pada saat terjadi
breaking terjadi arus yang sangat besar atau
terjadi perubahan energi kinetik, karena itu
diperlukan suatu media untuk mentransfer energi
gelombang
menjadi energi kinetik, yaitu
persaman kekekalan energi.
10.2 Pengaruh kemiringan terhadap shoaling
Pada Tabel 2 disajikan hasil perhitungan koefisien
shoaling untuk amplitudo gelombang 0.6 m, perioda
gelombang 6 detik, dengan kemiringan dasar perairan
bervariasi yaitu 0.002, 0.004 dan 0.008. Pada tabel
tersebut terlihat bahwa pada kedalaman 8-20 m,
semakin besar kemiringan, semakin kecil koefisien
shoaling.
Tetapi pada kedalaman kurang dari 8 m, didapat
koefisien shoaling yang sama pada masing-masing
kemiringan, atau sedikit lebih besar, yaitu semakin
besar kemiringan semakin besar koefisien shoalingnya.
Pada kondisi setelah breaking, semakin kecil
kemiringan semakin besar pengurangan amplitudo
gelombang akibat breaking. Hal ini dikarenakan
setelah breaking masih terjadi shoaling sedangkan
kemiringan yang lebih besar menghasilkan shoaling
yang lebih besar pada perairan dangkal. Kondisi
shoaling dengan kemiringan yang cukup besar ini
menunjukkan potensi persamaan untuk digunakan pada
analisis run-up pada pantai maupun pada bangunan
pantai.
Tabel 2. Pengaruh kemiringan terhadap shoaling
dan fenomena breaking
h (m)
20.000
19.000
18.000
17.000
16.000
15.000
14.000
13.000
12.000
11.000
10.000
9.000
8.000
7.000
6.000
5.000
4.000
3.000
2.000
1.000
L-lin (m)
966
961
955
950
944
938
932
926
921
917
914
913
914
919
928
943
969
1.012
1.088
1.258
L-0.0005 (m)
L-0.5 (m)
L-0.6 (m)
995
996
996
996
996
996
997
997
997
997
997
997
996
996
995
992
987
977
946
790
993
992
993
993
994
994
995
995
995
996
996
996
997
997
996
994
991
982
955
826
985
986
987
988
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
997
997
995
990
971
876
Daftar Pustaka
Bruce, A.W., and Kenneth, A.N., 1970, Numerical
Algorithms: Origins and Applications. Addison-Wesley Publishing Company.
Dean, Robert G., and Dalrymple, 1984, Water Wave
Mechanics for Engineers and Scientists,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey.
Vol. 15 No. 1 April 2008
43
Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring
Hutahaean, S., 2005, Model Difraksi dengan
Persamaan Gelombang Air yang Disempurnakan, Thesis S3, Departemen Teknik Sipil,
ITB.
Hutahaean, S., 2007b, Kajian Teoritis terhadap
Persamaan Gelombang Nonlinier, Jurnal
Teknik Sipil, Volume 14, No. 3, Fakultas
Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB.
Hutahaean, S., 2007c, Model Refraksi Gelombang
dengan Menggunakan Persamaan Gelombang
Nonlinier,
Jurnal
Infrastruktur
dan
Lingkungan Binaan, Volume III, No. 2,
Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB.
Li, Y. S., Liu, S.-X., Yu, Y.-X., and Lai, G.-Z., 1999,
Numerical Modeling of Boussinesq Equations by Finite Element Method J. Coastal
Engineering, Elsevier.
Meftah, Sorgent, P., and Gami P., 2004, Linear Analysis of A New Type of Extended Boussinesq
Model. Coastal Engineering.
Sarpkaya, T., and Michael, I., 1981, Mechanics of
Wave Forces on Offshore Structures, Van
Nostrand Reinhold Company.
44
Jurnal Teknik Sipil