Matematika Bisnis. Diferensial Fungsi Ma
Nilai Ekstrim, Optimisasi
Bersyarat, Homogenitas Fungsi,
dan Elastisitas Dua Variabel
Bebas
Matematika Bisnis
Kelompok VI:
Edwin Putra P
145020200111043
Rio Chandra
145020200111049
Atika Dewi Septarini
145020200111054
Wiwanda Agus Widodo 145020200111066
Gogot Putra Pamungkas 145020200111070
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
FAKULTAS EKONOMI DAN BISNIS
JURUSAN MANAJEMEN
MALANG
2014
I.
Nilai Ekstrim (Maksimum dan Minimum)
Nilai-nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari
satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif ke-2 nya.
Untuk
y=f ( x , z )
Syarat Pertama (Necessarry Condition)
Derivatif atau turunan pertama harus sama dengan 0.
∂y
∂y
= y x =0 dan
= y z =0
∂x
∂z
Syarat Kedua (Sufficient Condition)
Derivatif kedua dari darivatif pertama, maksimum jika kurang dari nol (0) dan
minimum jika lebih dari nol (0).
Maksimum
Minimum
∂2 y
∂2 y
0
∂ x2
∂ z2
Syarat Ketiga
Syarat ketiga diperlukan untuk mengetahui kebenaran suatu fungsi dua veriabel
bebas memiliki nilai ekstrim atau tidak.
∂2 y ∂2 y
∂2 y
∙
>
∂ x 2 ∂ z2 ∂ x ∂ y
(
2
)
Contoh Soal
Diketahui
2
2
y=−x +12 x−z −10 z−45 , cari nilai ekstrimnya!
∂y
=−2 x+12=0
∂x
∂y
=−2 z+10=0
∂z
x=6
x=5
2
2
y=−( 6 ) +12 ( 6 )−( 5 ) −10 (5 )−45=16
∂2 y
=−2 0
4 >0
II.
Maka, terbukti fungsi y memiliki nilai
ekstrim. Yaitu maksimum dengan
Ymax = 16
Optimisasi Bersyarat
Optimisasi bersyarat merupakan suatu kondisi dimana suatu fungsi memiliki
fungsi kendala. Contoh dalam dunia nyata seseorang ingin meningkatkan
kepuasannya atau memaksimumkan utilitasnya (TU atau Total Utility) namun
terikat pada pendapatan orang tersebut yang dalam hal ini sebagai fungsi
kendala.
Fungsi Objektif z =f (x , y)
Fungsi Kendala g ( x , y )=c (constanta)
Pengganda Lagrange (Lagrange Multiplier)
Fungsi Lagrangian Z=f ( x , y ) + λ [ c−g ( x , y ) ]
Dengan syarat
Z λ =c−g ( x , y )=0
Z x =f x −λg x =0
Z y =f y −λg y =0
Contoh Soal
Z = xy dangan syarat X + Y = 6 carilah titik ekstrimnya!
Pertama carilah fungsi lagrangian:
Z =xy+ λ(6−x− y )
Lakukan eliminasi untuk mengetahui nilai stationer Z:
Z λ =6−x − y=0
Z x = y−λ=0
Z y =x−λ=0
x+ y=6
−λ+ y=0
−λ+ z=0
Dengan ini didapat: λ = 3 dan x = 3 dan y = 3
Z =( 3 )( 3 )+ (3 ) [ 6−( 3 ) −( 3 ) ]=9
Dengan ini diketahui nilai stationer dari Z = 9. Untuk mengetahui maksimum
atau minimum menggunakan cara yang sama dengan nilai ekstrim.
III.
Elastisitas Dua Variabel Bebas (Parsial)
Apabila ada dau macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya.
Maka, permintaan masing-masing barang akan menjadi fungsional terhadap
harga kedua mcam barang tersebut.
Misalnya barang A dan B:
Qda=f ( P a , Pb ) dan Qdb =f ( Pa , P b )
Derivatif pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi-fungsi permintaan marjinalnya,
di mana:
∂Qda
adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa
∂ Pa
∂Qda
adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb
∂ Pb
∂Qdb
adalah permintaanmarjinal akan B berkenaan dengan Pa
∂ Pa
∂Qd b
adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan P b
∂ Pb
Elastisitas Harga Permintaan
Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang
berkenaan dengan perubahan harga barang itu sendiri.
ηda=
∂ Qda Pa
.
∂ Pa Q da
ηdb=
∂ Qdb Pb
.
∂ Pb Q db
Elastisitas Silang Permintaan
Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang
berkenaan dengan perubahan harga barang lain.
ηa b =
∂ Q da P b
.
∂ Pb Q da
ηb a =
∂ Qdb P a
.
∂ Pa Q db
Jika ηab 0 maupun ηba > 0 atau ketika keduanya negatif maka barang A dan B
merupakan barang kompetitif atau substitusi.
Contoh Soal
2
3
Qda . Pa . P b−1=0
Qda=
1
3
P . Pb
2
a
3
Q db . Pa . P b−1=0
Qdb=
1
P . Pb
3
a
−3
Qda=P−2
a . Pb
−1
Qdb=P−3
a . Pb
∂Qda
−3
=−2 P−3
a . Pb
∂ Pa
∂Qdb
−2
=−P−3
a . Pb
∂ Pb
∂Qda
−4
=−3 P−2
a . Pb
∂ Pb
∂Qdb
−1
=−3 P−4
a . Pb
∂ Pa
ηda=
∂ Qda Pa
Pa
−3
.
=−2 P−3
=−2
a . P b ∙ −2
−3
∂ Pa Q da
Pa . P b
ηdb=
∂ Qdb Pb
Pb
−3
−1
.
=P a . P b ∙ −3 −1 =−1
∂ Pb Q db
P a . Pb
ηa b =
∂ Qda P b
Pb
−4
.
=−3 P−2
=−3
a . Pb ∙ −2
∂ Pb Q da
Pa . P−3
b
ηb a =
∂ Q db P a
Pa
−1
.
=−3 P−4
=−3
a . P b ∙ −2
−3
∂ Pa Q db
Pa . P b
Ingat dalam menafsirkan elastisitas harga permintaan tidak perlu dihiraukan
tanda minus (-), cukup dilihat besarna angka. Dalam hal ini barang A adalah
barang elastis karena ηda >1 . Sedangkan, barang B barang unitary elastic
karena
ηdb=1 .
Sedangkan berdasarkan elastisitas silangnya barang A dan barang B bersifat
komplementer ηa b ¿ 0 dan ηba
Bersyarat, Homogenitas Fungsi,
dan Elastisitas Dua Variabel
Bebas
Matematika Bisnis
Kelompok VI:
Edwin Putra P
145020200111043
Rio Chandra
145020200111049
Atika Dewi Septarini
145020200111054
Wiwanda Agus Widodo 145020200111066
Gogot Putra Pamungkas 145020200111070
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
FAKULTAS EKONOMI DAN BISNIS
JURUSAN MANAJEMEN
MALANG
2014
I.
Nilai Ekstrim (Maksimum dan Minimum)
Nilai-nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari
satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif ke-2 nya.
Untuk
y=f ( x , z )
Syarat Pertama (Necessarry Condition)
Derivatif atau turunan pertama harus sama dengan 0.
∂y
∂y
= y x =0 dan
= y z =0
∂x
∂z
Syarat Kedua (Sufficient Condition)
Derivatif kedua dari darivatif pertama, maksimum jika kurang dari nol (0) dan
minimum jika lebih dari nol (0).
Maksimum
Minimum
∂2 y
∂2 y
0
∂ x2
∂ z2
Syarat Ketiga
Syarat ketiga diperlukan untuk mengetahui kebenaran suatu fungsi dua veriabel
bebas memiliki nilai ekstrim atau tidak.
∂2 y ∂2 y
∂2 y
∙
>
∂ x 2 ∂ z2 ∂ x ∂ y
(
2
)
Contoh Soal
Diketahui
2
2
y=−x +12 x−z −10 z−45 , cari nilai ekstrimnya!
∂y
=−2 x+12=0
∂x
∂y
=−2 z+10=0
∂z
x=6
x=5
2
2
y=−( 6 ) +12 ( 6 )−( 5 ) −10 (5 )−45=16
∂2 y
=−2 0
4 >0
II.
Maka, terbukti fungsi y memiliki nilai
ekstrim. Yaitu maksimum dengan
Ymax = 16
Optimisasi Bersyarat
Optimisasi bersyarat merupakan suatu kondisi dimana suatu fungsi memiliki
fungsi kendala. Contoh dalam dunia nyata seseorang ingin meningkatkan
kepuasannya atau memaksimumkan utilitasnya (TU atau Total Utility) namun
terikat pada pendapatan orang tersebut yang dalam hal ini sebagai fungsi
kendala.
Fungsi Objektif z =f (x , y)
Fungsi Kendala g ( x , y )=c (constanta)
Pengganda Lagrange (Lagrange Multiplier)
Fungsi Lagrangian Z=f ( x , y ) + λ [ c−g ( x , y ) ]
Dengan syarat
Z λ =c−g ( x , y )=0
Z x =f x −λg x =0
Z y =f y −λg y =0
Contoh Soal
Z = xy dangan syarat X + Y = 6 carilah titik ekstrimnya!
Pertama carilah fungsi lagrangian:
Z =xy+ λ(6−x− y )
Lakukan eliminasi untuk mengetahui nilai stationer Z:
Z λ =6−x − y=0
Z x = y−λ=0
Z y =x−λ=0
x+ y=6
−λ+ y=0
−λ+ z=0
Dengan ini didapat: λ = 3 dan x = 3 dan y = 3
Z =( 3 )( 3 )+ (3 ) [ 6−( 3 ) −( 3 ) ]=9
Dengan ini diketahui nilai stationer dari Z = 9. Untuk mengetahui maksimum
atau minimum menggunakan cara yang sama dengan nilai ekstrim.
III.
Elastisitas Dua Variabel Bebas (Parsial)
Apabila ada dau macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya.
Maka, permintaan masing-masing barang akan menjadi fungsional terhadap
harga kedua mcam barang tersebut.
Misalnya barang A dan B:
Qda=f ( P a , Pb ) dan Qdb =f ( Pa , P b )
Derivatif pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi-fungsi permintaan marjinalnya,
di mana:
∂Qda
adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa
∂ Pa
∂Qda
adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb
∂ Pb
∂Qdb
adalah permintaanmarjinal akan B berkenaan dengan Pa
∂ Pa
∂Qd b
adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan P b
∂ Pb
Elastisitas Harga Permintaan
Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang
berkenaan dengan perubahan harga barang itu sendiri.
ηda=
∂ Qda Pa
.
∂ Pa Q da
ηdb=
∂ Qdb Pb
.
∂ Pb Q db
Elastisitas Silang Permintaan
Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang
berkenaan dengan perubahan harga barang lain.
ηa b =
∂ Q da P b
.
∂ Pb Q da
ηb a =
∂ Qdb P a
.
∂ Pa Q db
Jika ηab 0 maupun ηba > 0 atau ketika keduanya negatif maka barang A dan B
merupakan barang kompetitif atau substitusi.
Contoh Soal
2
3
Qda . Pa . P b−1=0
Qda=
1
3
P . Pb
2
a
3
Q db . Pa . P b−1=0
Qdb=
1
P . Pb
3
a
−3
Qda=P−2
a . Pb
−1
Qdb=P−3
a . Pb
∂Qda
−3
=−2 P−3
a . Pb
∂ Pa
∂Qdb
−2
=−P−3
a . Pb
∂ Pb
∂Qda
−4
=−3 P−2
a . Pb
∂ Pb
∂Qdb
−1
=−3 P−4
a . Pb
∂ Pa
ηda=
∂ Qda Pa
Pa
−3
.
=−2 P−3
=−2
a . P b ∙ −2
−3
∂ Pa Q da
Pa . P b
ηdb=
∂ Qdb Pb
Pb
−3
−1
.
=P a . P b ∙ −3 −1 =−1
∂ Pb Q db
P a . Pb
ηa b =
∂ Qda P b
Pb
−4
.
=−3 P−2
=−3
a . Pb ∙ −2
∂ Pb Q da
Pa . P−3
b
ηb a =
∂ Q db P a
Pa
−1
.
=−3 P−4
=−3
a . P b ∙ −2
−3
∂ Pa Q db
Pa . P b
Ingat dalam menafsirkan elastisitas harga permintaan tidak perlu dihiraukan
tanda minus (-), cukup dilihat besarna angka. Dalam hal ini barang A adalah
barang elastis karena ηda >1 . Sedangkan, barang B barang unitary elastic
karena
ηdb=1 .
Sedangkan berdasarkan elastisitas silangnya barang A dan barang B bersifat
komplementer ηa b ¿ 0 dan ηba