Matematika Industri 1 TIP – FP – UB

DERET
Matematika Industri 1
TIP – FP – UB

Matematika Industri 1

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Barisan
Deret
Deret aritmetik

Deret geometrik
Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
Deret tak berhingga
Nilai-nilai limit
Deret konvergen dan deret divergen
Uji konvergensi
Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Barisan
Deret
Deret aritmetik
Deret geometrik
Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
Deret tak berhingga
Nilai-nilai limit
Deret konvergen dan deret divergen
Uji konvergensi
Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1

Barisan
• Barisan
– Suatu set kuantitas, u1, u2, u3, …, yang
dinyatakan dalam suatu urutan dan setiap
sukunya terbentuk menurut pola tertentu,
dengan kata lain ur = f (r)
– Barisan berhingga hanya mengandung sukusuku yang berhingga banyaknya

– Barisan tak berhingga tidak mempunyai suku
terakhir
Matematika Industri 1

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Barisan
Deret
Deret aritmetik
Deret geometrik

Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
Deret tak berhingga
Nilai-nilai limit
Deret konvergen dan deret divergen
Uji konvergensi
Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1

Deret
• Suatu deret dibentuk oleh jumlah dari
suku-suku suatu barisan
• Jika u1, u2, u3, … adalah barisan, maka
S1  u1

S 2  u1  u2
S3  u1  u2  u3
S n  u1  u2  u3 

 un

merupakan deret
Matematika Industri 1

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Barisan
Deret
Deret aritmetik
Deret geometrik
Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

Deret tak berhingga
Nilai-nilai limit
Deret konvergen dan deret divergen
Uji konvergensi
Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1

Deret Aritmetik (Deret Hitung)
• Suku ke-n suatu deret aritmetik didefinisikan
sebagai:

un  a  (n  1)d

• Dimana a adalah suku pertama dan d adalah
beda.
• Jumlah dari n suku pertama deret aritmetik Sn
adalah:
n
S n   2a  [n  1]d 
2

Matematika Industri 1

Deret Aritmetik (Deret Hitung)
• Rata-rata aritmetik
– Rata-rata aritmetik dua bilangan P dan Q
adalah sebuah bilangan A sdrs P  A  Q
– Membentuk deret aritmetik, sehingga
A  P  d and Q  A  d so that A  P  Q  A
PQ
2 A  P  Q giving A 
2

– Rata-rata aritmetik dari dua bilangan adalah
rata-rata kedua bilangan tersebut
Matematika Industri 1

Deret Aritmetik (Deret Hitung)
• Rata-rata aritmetik
– Penyisipan tiga rata-rata aritmetik,
A, B, dan C, diantara dua bilangan

P dan Q sdrs
QP
4
– Membentuk deret aritmetik, maka
QP
BP
QP
2
Q  P  4d so d 
4
QP
C  P3
4

P  A B C Q

A P

Matematika Industri 1

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Barisan
Deret
Deret aritmetik
Deret geometrik
Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
Deret tak berhingga
Nilai-nilai limit
Deret konvergen dan deret divergen

Uji konvergensi
Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1

Deret Geometrik (Deret Ukur)
• Bentuk umum deret geometik dengan suku
ke-n
n 1

un  ar

• Dimana a adalah suku pertama dan r adalah
rasio
• Jumlah n suku pertama deret geometrik Sn
a(1  r )
Sn 
1 r
n

Matematika Industri 1

Deret Geometrik (Deret Ukur)
• Rata-rata geometrik
– Rata-rata geometrik dari dua bilangan, P dan
Q, adalah A sdrs P  A  Q
– Membentuk deret geometrik, sehingga
A
Q
A Q
 r and
 r so that

P
A
P A

A2  PQ giving A  PQ

– Rata-rata geometrik dari dua bilangan adalah
akar dari hasilkali kedua bilangan
Matematika Industri 1

Deret Geometrik (Deret Ukur)
• Rata-rata geometrik
– Penyisipan 3 rata-rata geometrik antara P dan
Q sdrs membentuk deret geometrik
P  A B C Q
Q
Q
4
4
 r so r 
P
P

Q
A P
P
4

 Q
B  P 4 
 P

2

 Q
C  P 4 
 P
Matematika Industri 1

3

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Barisan
Deret
Deret aritmetik
Deret geometrik
Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
Deret tak berhingga
Nilai-nilai limit
Deret konvergen dan deret divergen
Uji konvergensi
Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1

Deret Pangkat dari Bilanganbilangan Asli
• Deret
1 2  3  4  5 

n

 n  r
r 1

• Merupakan deret aritmetik dengan a=1
dan d=1, sehingga
n

r 
r 1

n
n(n  1)
(2a  [n  1]d ) 
2
2

Matematika Industri 1

Deret Pangkat dari Bilanganbilangan Asli
• Deret semisal
12  22  32  42  52 

n

 n2   r 2
r 1

• Dinotasikan
(r  1)3  r 3  3r 2  3r  1

• sehingga
n

n

n

n

r 1

r 1

r 1

r 1

3
3
2


(
r
1)
r
3
r




  3 r  1


Matematika Industri 1

Deret Pangkat dari Bilanganbilangan Asli
• Jika dilanjutkan
n

3
3
3
3
3
2


(
r
1)
r
(
n
1)
1
n
3
n







 3n and


r 1

n

1  n
r 1

n(n  1)
3 r  3 r  n  n  3n  3n where  r 
2
r 1
r 1
r 1
n

n

n

2

3

2

n(n  1)(2n  1)
r 

6
r 1
n

2

Matematika Industri 1

Deret Pangkat dari Bilanganbilangan Asli
• Jumlah dari pangkat tiga-pangkat tiga
menggunakan identitas
 n(n  1) 
r 

 2 
r 1
n

2

3

Matematika Industri 1

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Barisan
Deret
Deret aritmetik
Deret geometrik
Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
Deret tak berhingga
Nilai-nilai limit
Deret konvergen dan deret divergen
Uji konvergensi
Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1

Deret Tak Berhingga
• Deret tak berhingga
merupakan deret dengan
banyak sukunya tak
berhingga
• Deret geometrik dengan
a=1 dan r=1/2 dengan
jumlah n suku pertama

1 1 1
1, , , ,
2 4 8

Matematika Industri 1

Sn  1 




1 1 1
  ,
2 4 8

1 1  1/ 2

n

1  1/ 2
 2 1  1/ 2n 



,

Deret Tak Berhingga
• Jika n sangat besar,
maka 1/2n akan sangat
kecil dan mendekati nol

1
as n   so n  0
2

1
n

S


0
so
2(1
1/
2
)2
• Dengan kata lain n
n
2

• Kita katakan limit Sn
seiring n mendekati tak
berhingga adalah 2

Lim S n  S  2
n 

Matematika Industri 1

Deret Tak Berhingga
1, 3, 5, 7,
• Terkadang deret tak
berhingga tidak
Sn  1  3  5  7, , 2n  1
memiliki limit
n
  2   n  1 2 
• Sebuah deret
2
aritmetik dengan a=1  n 2
dan d=2 :
2

as n   so Sn  n  
Lim S n  S   
n 

Matematika Industri 1

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Barisan
Deret
Deret aritmetik
Deret geometrik
Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
Deret tak berhingga
Nilai-nilai limit
Deret konvergen dan deret divergen
Uji konvergensi
Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1

Nilai-nilai Limit
f ( n)
Lim
n  g ( n)

Lim f (n)  0 and Lim g (n)  0
n 

n 

Lim f (n)   and Lim g (n)  
n 

n 

1
as n   so
0
n
5n  3
5  3/ n
dividing top and bottom by n
Lim
 Lim
n  2n  7
n  2  7 / n
50

20
5

2
Matematika Industri 1

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Barisan
Deret
Deret aritmetik
Deret geometrik
Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
Deret tak berhingga
Nilai-nilai limit
Deret konvergen dan deret divergen
Uji konvergensi
Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1

Deret Konvergen dan Deret
Divergen
• Suatu deret dimana jumlah (Sn) dari n
suku dari deret tersebut cenderung
mendekati suatu nilai tertentu, yaitu ketika,
n   disebut deret konvergen
• Jika Sn tidak mendekati suatu nilai tertentu
ketika n   , deret ini disebut deret
divergen
• Uji konvergensi diperlukan jika sulit
mencari rumus untuk Sn
Matematika Industri 1

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Barisan
Deret
Deret aritmetik
Deret geometrik
Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
Deret tak berhingga
Nilai-nilai limit
Deret konvergen dan deret divergen
Uji konvergensi
Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1

Uji Konvergensi
• Uji 1: Suatu deret tidak mungkin
konvergen terkecuali suku-sukunya
akhirnya mendekati nol; lebih tepatnya,
un   0

terkecuali Lim
n
• Jika Sn  u1  u2  u3   un
un   0

• Maka Sn divergen jika Lim
n
• Pengecualian:
1
1 1 1
Sn  1    
2 3 4

1

n

Matematika Industri 1

 
Lim    0
n 
n

Uji Konvergensi
• Uji 2: Uji Komparasi (Comparasion Test)
– Suatu deret yang terdiri dari suku-suku positif
akan konvergen jika suku-sukunya lebih kecil
daripada suku-suku padanannya dari suatu
deret positif lain yang sudah diketahui
konvergen. Dengan cara serupa, suatu deret
akan divergen jika suku-sukunya lebih besar
daripada suku-suku padanannya dari suatu
deret lain yang diketahui divergen.
Matematika Industri 1

Uji Konvergensi
• Uji 2:
– Konvergen jika p > 1
1 1
1
1
 p p p
p
1 2
3
4



1
 p
n

1
 p
r 1 r

1
 p
n



– Divergen jika p  1
1 1
1
1
 p p p
p
1 2
3
4

Matematika Industri 1

1
 p
r 1 r

Uji Konvergensi
• Uji 3: Uji rasio D’Alembert untuk suku-suku
positif

• Jika u1  u2  u3  u4   un    ur
r 1
merupakan deret dengan suku-suku positif
un 1
 1, the series converges
Lim
n  u
n
Lim

un 1
 1, the series diverges
un

Lim

un 1
 1, the series may converge or diverge
un

n 

n 

Matematika Industri 1

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Barisan
Deret
Deret aritmetik
Deret geometrik
Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
Deret tak berhingga
Nilai-nilai limit
Deret konvergen dan deret divergen
Uji konvergensi
Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1

Deret Secara Umum
Konvergensi Mutlak




• Jika deret  u konvergen, maka deret  u
sangat mungkin tidak konvergen
• Jika  u deret konvergen, maka  u
dipastikan konvegen
• Jika  u konvergen, maka deret  u
dikatakan konvergen mutlak
• Jika  u tidak konvergen, tapi  u
konvergen, maka  u konvergen
bersyarat
r 1

r

r 1





r 1

r

r 1




r 1

r

r 1





r 1

r

r

r 1



r 1

r

Matematika Industri 1

r

r

r

Hasil Pembelajaran
• Menggunakan deret aritmetik dan deret geometrik
• Menggunakan deret pangkat dan bilangan-bilangan asli
• Menentukan nilai limit dari deret aritmetik dan deret
geometrik
• Menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tak tentu yang
sederhana
• Menerapkan berbagai uji konvergensi pada deret tak
berhingga
• Membedakan antara konvergensi mutlak dan
konvergensi bersyarat

Matematika Industri 1