Edisi 6 Pebruari Pekan Ke-2, 2010 Nomor Soal: 51-60

  

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 6

Pebruari Pekan Ke-2, 2010

  

Nomor Soal: 51-60

n n a n n a n a n

   1   1   2 , untuk setiap bilangan bulat positif  1 .

    n   n   n

  51. Perhatikan bentuk  ^{1  1}

  a a a a _{1 2 50} a a Jika nilai  dan  , tentukanlah nilai dari ... .

  1 ₁ 2    a a a a _{1 2 3 51} Solusi: n a a n n a n n a n a

   Dari 

  1 ,  _{1  } 2 , dan  1 n   _{1    }

  1 n   2 n , ₁

  1

  

 

  Kita dapatkan bahwa

  1 a a a a

  1(2)  1(0)   ( 1)   1atau  _{2 2} 2!

  1

  1 a a a a

  2(3)  2(1)    2  1atau  _{3 2}   _{1 3} 2! 3!

  1

  1

  1

  1 a a a a

  3 4  3 2   1    6  atau      _{4 3 2}

₄

  3! 2! 2 4!

  1 n a

  Ini menunjukkan bahwa  ,  _n 1 , dan dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi. Jika

  n !

  1 a _{k } untuk k

  = 0, 1, 2, 3, … , n maka

  k ! n n a n n a n a

   1   1   2 , n 3.

    n   n   n  _{1 1}   n n n

   1 

  2

  1    

    n n n

  !  1  1 !    

  1 a n _{n ,}  

  3  ¹ n

   1 !   a _n n n

    1 , 

  2

  a _n 

  1 Sehingga a a a _{o 1 50}

  1

  2

  1   ...     3  4  5  ... 

  51

  4

  3

  4 5 ...

  51       

  a a a _{1 2 51}

  2 1 /

  2

  2

  1

  3

  51

  52 

  1

  1

  2

  3

  4 5 ... 51 1327 ,

  5            

  2

  2

  2 A .

  52. Jika A = jumlah 100 suku pertama deret 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + …, tentukanlah nilai 500

  Solusi: Perhatikan digram berikut ini.

  3

  7

  13

  21

  31 …

  4

  6

  8

  10

  2

  2

  2

• – (1):
• – (2):
• – (3):
• – (5):
• – (6):
• – (8):

  1

  5 , 1 ,

  3

  1         d c b a c b a

  3

  3

  5

  3

  3

  1     d

  

  d S n n n n

  3

  5

  3

  3

  5  c

  5

  7 1 ,

    

  b

  1 

  b

  7

  3

  3

  3

  1       c b a b a

  7 ) 1 (

  3

  3

  1 7      

    

  c

  1 ) ( ^{2 3}     

  3

  12   

  1

  1 ₁   a a

  Jika 1 

  n

  , maka

        _{1 1 1 1 1}

  

1

  1

  a a a a a a a a

  2

  1

  1

  1

  1 a a a

        

  2 ₂   a a

      Solusi:

  Hitunglah jumlah ₂₀₁₄ ²⁰¹³ ₃ ² ₂ ¹ ₁ ...

  3

  687 500 343500 500

  1 ²    n n n

    ) 3 100 100 ( 5 100

  3

  1 ) 100 ( ²      S A

  343500 

  Jadi, nilai dari

    A

  1 ₁   a a .

    ,... , , _{3 2 1} a a a

  dari bilangan real yang memenuhi hubungan rekursif

        n n n a n n a n a n n

  1

  2

  1 _{1 1}       

  untuk setiap bilangan bulat positif n, dengan

   

  1

  Misalnya jumlah n suku pertama deret itu adalah

  27    

      

  S d c b a

  

  23

  3

  9

  d c b a

  …. (2) 23 ) ) 3 (

  …. (3) 44 ) ) 4 (

  ) 4 ( ) 4 ( 4 ( ^{2 3}     

  S d c b a

  

  44

  4

  16 64    

  ) 3 ( ) 3 ( 3 ( ^{2 3}

  d c b a

  …. (4) (2)

  d c b a

  S d cn bn an n

      ^{2 3} ) (

  , maka 3 ) ) 1 (

  ) 1 ( ) 1 ( 1 ( ^{2 3}     

  S d c b a

    3   

  …. (1) 10 ) ) 2 (

  8    

  ) 2 ( ) 2 ( 2 ( ^{2 3}

      

  S d c b a

  

  10

  2

  4

  d c b a

  7

  3

  3

  2

  6 

  a

  

  3

  1  a

  1  a

  a

  

  6

  2

  12   b

  a

  6

  2

  …. (9) (9)

  2 18   b

  3

  …. (6) (4)

  7   

  c b a

  …. (5)

   (3)

  13

  5 19    c b a

  21

  8

  7 37   

  c b a

  …. (7) (6)

  6

  2 12   b

  a

  …. (8) (7)

53. Barisan

  a

  1

  a ₂  

  2

  2

  n a a a

  Jika 2 , maka      

  2 

  2 1   _{2 1}

  2 2  _{1 1}

2 

  2 1  ₂   a a

  6  ₃

  2

₂

  2

  3

  1

  1

  a ₃  a    ₂

  6

  6

  2

  6

  n a a a

  Jika 3 , maka

  3 3  1  3  2 

  

3

3 

  1

         _{3 1 3 1 3}

    a a a

  12   _{4 2}

  6

₃

  1

  1

  1

  a a a

  12  ₄ 6   _{3 2} 6   

  6

  2

  2

  1

  a ₄ 

  24 dan seterusnya

  a _n 1 n

  sehingga  untuk setiap n bilangan bulat positif

  a _n

  1

  a a a a _{1 2 2013}

  1 1 2014

  2 ... 1 2014 2 . 029 . 105

     ...      

  1  2  3  ...  2014     

  a a a a

  1

  1 _{1 2 3 2014}

  1

  2

  2

  6

54. Berapa banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang tidak habis dibagi 2 maupun 3?

  Solisi:

  Bilangan- bilangan asli dari 200 hingga 700 adalah 200, 201, 202, …, 700.

  a b u

  200 , 201 200 1 , dan 700     n 

  u a n b _{n     }

  1

  n

  700 200

  1

  1      700 199  n 

  n

  501  Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 adalah 501.

  Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dib agi 2 adalah 200, 202, …, 700.

  a b u

   200 ,  202  200  2 , dan n  700

  u a n b _{n    }

  1 

  n

  700  200    1 

  2 700  n 2  198

  n

  2  502

  n

  251  Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 adalah 251.

  Bilangan- bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 3 adalah 201, 204, …, 699.

  a b u

  201 , 204 201 3 , dan 699     n 

  u a n b _{n     }

  1

  n

  699 201

  1

  3     

  699 3 198  n 

  n

  3 501 

  n

  167  Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 3 adalah 167. Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 (habis dibagi 6) adalah 204, 210, 216, …, 666.

  a b u

  204 , 210 204 6 , dan 696     n 

  u a n b _{n     }

  1

  n

  696 204

  1

  6     

  696 6 198  n 

  n

  6 498 

  n

  83  Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 adalah 83.

  Dengan demikian, banyak bilangan dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 adalah 501 – 251 – 167 + 83 = 166.

55. Berapa banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, atau 5?

  Solusi: Kita menggunakan prinsip inklusi-eksklusi. n A Misalnya   adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2.

  Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 200, 202, 204, …, 500 .

  a b u

  200 , 202 200 2 , dan 500     n 

  u a n b _{n     }

  1

  n

  500 200

  1

  2     

  500 2 198  n 

  n

  2  302

  n

   151 Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 adalah 151, sehingga

  n A 151 .

     n B Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3.

   

  Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 201, 204, 207, …, 498 .

  a b u

   201 ,  204  201  3 , dan n  498

  u a n b _{n  }   

  1

  n

  498  201  

  1

  3

   

  498  n 3  198

  n

  3 300 

  n

  100 

  Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3 adalah 100, sehingga

  n B    100 . n C Misalnya   adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 5.

  Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 200, 205, …, 500.

  a b u

  200 205 200 5 500  ,    , dan n 

  u a n b _{n     }

  1

  n

  500  200    1 

  5 500  n 5  195

  n

  5  305

  n

  

  61 Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 5 adalah 61, sehingga

  n C

   61 .

    n A B

  Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 3

    

  (atau habis dibagi 6) adalah Bilangan- bilangan yang dimaksud adalah 204, 210, …, 498.

  a b u

  204 , 210 204 6 , dan 498     n 

  u a n b _{n     }

  1

  n

  498 204

  1

  6     

  498 6 198  n 

  n

  6 300 

  n

  50 

  Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 3 adalah 50, sehingga

  n A 50 .

    B   n A C

  Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 5

    

  (atau habis dibagi 10) adalah Bilangan- bilangan yang dimaksud adalah 200, 210, …, 500.

  a b u

  200 , 210 200 10 , dan 500     n 

  u a n b _{n     }

  1

  n

  500 200

  1

  10     

  500 10 190  n 

  n

  10 310 

  n

  

  31 Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 5 adalah 31, sehingga

  n A 31 .

   C   n B C

  Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3 dan 5

    

  (atau habis dibagi 15) adalah Bilangan- bilangan yang dimaksud adalah 210, 225, …, 495.

  a b u

  210 , 225 210 15 , dan 495     n 

  u a n b _{n     }

  1

  n

  495 210

  1

  15     

  495 15 195  n 

  n

  15  300

  n

  

  20 Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3 dan 5 adalah 20, sehingga

  n B 20 .

   C   n A B C

  Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3,

     

  dan 5 (atau habis dibagi 30) adalah Bilangan- bilangan yang dimaksud adalah 210, 240, …, 480.

  a b u

  210 240 210 30 480  ,    , dan n 

  u a n b _{n    }

  1 

  n

  480  210    1 

  30 480  n 30  180

  n

  30 300 

  n

  10 

  Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, dan 5 adalah 10, sehingga

  n A B C 10 .

      

  Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, atau 5 adalah

  n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C                              

  151 100

  61

  50

  31

  20 10 221 .        

56. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2?

  Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?

  Solusi:

  Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 .

  3 1 ,

  3 2 ,

  3 3 ,

  3 4 ,..., 3 333 Barisan ini dapat ditulis sebagai      . Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333. Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333.

  a n u

  3 333 Dari barisan tersebut diketahui  ,  , dan n  u  999 ₃₃₃

  n S a u _{n  n }  

  2 333 S

   3  999  166833 ₃₃₃  

  2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.

  Bilangan-bilangan dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2 (atau habis dibagi 6) adalah 6, 12, 18, 24, …, 996 Barisan ini dapat ditulis sebagai 6  1 , 6  2 , 6  3 , 6  4 ,..., 6  166 Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.

  Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166.

  a n u

  Dari barisan tersebut diketahui 6 , 166 , dan 996   n  u  ₁₆₆

  n S a u _{n  n }  

  2 166 S

   6  996  83 . 166 ₁₆₆  

  2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.

  Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2 adalah 333

• – 166 = 167. Sedangkan jumlahnya adalah 166.833 – 83.166 = 83.667.

  57. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2? Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?

  Solusi: Kita menggunakan prinsip inklusi-eksklusi. n A Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3.

   

  Bilangan-b ilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 . Barisan ini dapat ditulis sebagai 3  1 , 3  2 , 3  3 , 3  4 ,..., 3  333 . Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333. Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333, sehingga

    a n u

  n A  333 .

  Dari barisan tersebut diketahui  3 ,  333 , dan  u  999 _{n 333}

  n S a u _{n  n }  

  2 333 S

   3  999  166833 ₃₃₃  

2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.

  n B Misalnya   adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2.

  Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 2, 4, 6, 8, …, 1000 .

  2 1 ,

  2 2 ,

  2 3 ,

  2 4 ,..., 2 500 Barisan ini dapat ditulis sebagai      . Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 500. Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 500, sehingga

  n B    500 . a n u

  Dari barisan tersebut diketahui  2 ,  500 , dan n  u  1000 ₅₀₀

  n S a u _{n  n }  

  2 500 S

     ₅₀₀  2 1000  250 . 500

2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2 adalah 250.500.

  n A B

  Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2

    

  (atau habis dibagi 6) adalah 6, 12, 18, 24, …, 996

  6 1 ,

  6 2 ,

  6 3 ,

  6 4 ,..., 6 166 Barisan ini dapat ditulis sebagai      Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.

  Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166, sehingga

  n A   B   166 . a n u

  6 166 Dari barisan tersebut diketahui  ,  , dan n  u  996 ₁₆₆

  n S a u _{n  n }  

  2 166 S

   6  996  83 . 166 ₁₆₆  

2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.

  Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2 adalah

  n A B n A n B n A B

  333 500 166 667

                  

  Jumlahnya adalah 166.833 + 250.500

• – 83.166 = 334.167

  58. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibadi 4 dan 7? Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?

  Solusi:

  Bilangan-bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 (habis dibagi 28) adalah 28, 56, 84, …, 700.

  a b u

   28 ,  56  28  28 , dan n  700

  u a n b _{n    }

  1 

  n

  700

  28

  1

  28     

  n

  700

  28 

  n

  25  Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 adalah 25.

  a n u

  Dari barisan tersebut diketahui 28 , 25 , dan 700   n  u  ₂₅

  n S a u _{n  n }  

  2

  25 S  28  700  9 . 100 ₂₅  

  2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 adalah 9.100.

  59. Berapakah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2? Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?

  Solusi:

  Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 . Barisan ini dapat ditulis sebagai 3  1 , 3  2 , 3  3 , 3  4 ,..., 3  333 . Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333. Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333.

  a n u

  Dari barisan tersebut diketahui 3 , 333 , dan 999   n  u  ₃₃₃

  n S a u _{n  n }  

  2 333 S

   3  999  166833 ₃₃₃  

  2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.

  Bilangan-bilangan dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2 (atau habis dibagi 6) adalah 6, 12, 18, 24, …, 996 Barisan ini dapat ditulis sebagai 6  1 , 6  2 , 6  3 , 6  4 ,..., 6  166 Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.

  Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166.

  a n u

  Dari barisan tersebut diketahui 6 , 166 , dan 996   n  u  ₁₆₆

  n S a u _{n  n }  

  2 166 S _{166  }  6  996  83 . 166

  2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.

  Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2 adalah 333

• – 166 = 167. Sedangkan jumlahnya adalah 166.833 – 83.166 = 83.667.

  60. Berapakah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2? Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?

  Solusi: Kita menggunakan prinsip inklusi-eksklusi. n A Misalnya   adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3.

  Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 .

  3 1 ,

  3 2 ,

  3 3 ,

  3 4 ,..., 3 333 Barisan ini dapat ditulis sebagai      . Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333. Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333, sehingga

  n A    333 . a n u

  Dari barisan tersebut diketahui  3 ,  333 , dan n  u  999 ₃₃₃

  n S a u _{n  n }  

  2

  333 S

   3  999  166833 ₃₃₃  

2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.

  n B Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2.

   

  Bilangan-bilangan asli yang d imaksud adalah 2, 4, 6, 8, …, 1000 .

  2 1 ,

  2 2 ,

  2 3 ,

  2 4 ,..., 2 500 Barisan ini dapat ditulis sebagai      . Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 500. Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 500, sehingga

  n B    500 . a n u

  Dari barisan tersebut diketahui  2 ,  500 , dan n  u  1000 ₅₀₀

  n S a u _{n n}    

  2 500 S

     ₅₀₀  2 1000  250 . 500

2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2 adalah 250.500.

  n A B

  Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2

    

  (atau habis dibagi 6) adalah 6, 12, 18, 24, …, 996

  6 1 ,

  6 2 ,

  6 3 ,

  6 4 ,..., 6 166 Barisan ini dapat ditulis sebagai      Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.

  Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166, sehingga

  n A   B   166 . a n u

  Dari barisan tersebut diketahui  6 ,  166 , dan n  u  996 ₁₆₆

  n S a u _{n  n }  

  2 166 S

     ₁₆₆  6 996  83 . 166

2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.

  Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2 adalah

  n A B n A n B n A B               333  500  166  667

  Jumlahnya adalah 166.833 + 250.500

• – 83.166 = 334.167