Edisi 9 Maret Pekan Ke-1, 2015 Nomor Soal: 81-90

  

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 9

Maret Pekan Ke-1, 2015

  

Nomor Soal: 81-90

  81. Dari titik A dan B pada lingkaran, garis singgung AP dan BQ digambarkan sama, seperti diperlihatkan pada gambar. Buktikan bahwa AB membagi PQ sama panjang.

  Q B A P Solusi: Perpanjang PA sampai ke R, sehingga PA = AR.

  Q Perpanjang AB sampai memotong PQ di titik S.

  Perpanjang QB sampai memotong PR di titik T. Karenanya TB = TA (garis singgung dari titik T) dan

  S

  BAT = ABT. Sehingga BQ = AP = AR, TR = TQ. B Dari sini BA // QR , karena itu A adalah titik tengah RP, S

  A R T P

  adalah titik tengah QP. (qed)

  82. Sisi-sisi sebuah segitiga sama dengan tiga bilangan bulat beraturan. Garis berat dari titik sudut

  1 terbesar adalah 74 . Hitunglah luas segitiga tersebut.

  2 Solusi:        

  Misalnya BC a p 1 , AC b p , dan AB c p 1 . Rumus Garis Berat dalam ABC

  C

  yang ditarik dari C ke sisi AB dirumuskan sebagai: ₂

  1 ₂

  1 ₂

  1 ₂

  z a b c _c   

  2 ₂

  2

  4  

  1

  1 ²

  1 ²

  1 ²   74  ( p 

  1 )  p  ( p  1 )

  z _c

   

  2

  2

  2

  4  

  1

  1 ₂

  1 ₂

  1 ₂ A 74 ( p 1 ) p ( p 1 )

       D

  B

  2

  2 ₂

  2 ₂

  4 ₂ 298  ₂ 2 p  4 p  2  2 p  p  2 p 

  1 3 p  p ₂ 6  297   p  

  p

  2

  99   

  ( p 11 )( p 9 )  (diterima) atau p   9 (ditolak)

  p

  11

  a  p 

  1  11  1 

  10

  b  p 

  11

  c  p 

  1  11  1 

  12 Menurut Heron: 1 luas L  ABC  s ( s  a )( s  b )( s  c ) , dengan s ( a b c ) adalah

  ABC adalah   

   

  2 setengah keliling ABC .

  1

  33

  s  (

  10  11  12 )  cm

  2

  2

  33 33  33   33   33  33  13   11   9 

       39 satuan luas  L  10   11   12        

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  4             _o

83. Diberikan persegi ABCD, dengan AB = 10 cm dan DCE = 60

  . Hitunglah luas BEC.

  

A B

F _o

  60 D C

   Solusi: _{o o o}

  = 30 BCE = 90  60 _{o o o}

  A B

  CBE = 90  45 = 45 _o

BF  EF

  45 E

  F

  

CF EF

  3 _o

BF  CF  BC

  30  EF 

  BF

  3

  8 _o

  60 BF 1  3 

  8

    D C

  8 BF  1 

  3

  1

  1

  8

  32 ₂  BC  EF   8   cm

   luas BEC

  2

  2 1 

  3 1 

  3

84. Sebuah segmen garis yang panjangnya 100 cm dibagi atas dua bagian. Rasio yang pendek terhadap yang panjang sama dengan rasio yang panjang terhadap segmen garis itu seluruhnya.

  Carilah bagian-bagian itu.

  Solusi: Perhatikan gambar di bawah ini.

p q

p   q 100

  Segmen garis yang pendek = p, maka segmen garis yang panjang = q = (100 – p).

   

  p : q q : ( p q )

    

  p : ( 100 p ) ( 100 p ) : 100 ₂

  100 p  ( 100  p ) ₂ 100 p  10000  200 p  p ₂

  p  300 p  10000 

  2

        ( 300 ) ( 300 )

  4 1 ( 10000 ) 300  90000  40000 300  50000

  p   

  2 

  1

  2

  2 300  100

  5 

   150 

  50

  5

  2   (ditolak)   (diterima)

  p 150

  50 5 p 150

  50

  5        

  q 100 p 100 150

  50

  5

  50

  50

  5 Jadi, panjang segmen garis yang pendek adalah 150 

  50 5 cm dan panjang segmen garis yang

   

  panjang adalah  50 

  50 5 cm.

    85. Tentukan keseluruhan luas dari daerah yang diarsir pada gambar itu.

  5

  7

  6

  8 Solusi: Keseluruhan luas dari daerah yang diarsir pada gambar itu adalah

  L  L  AED  L  BCE D

  5  ( L  ABD  L  ABE )  ( L  ABC  L  ABE )

  C

  1

  1

  1

  1    

  8

  18

  8

  6

  8

  13

  8

  6                

  2

  2

  2

  2

  7    

  E

   72  24  52 

  24

     

   

  48

  28

  6 A  satuan luas

  76 B

  8

  86. Perhatikan jarum jam kinetik, pada jam berapa antara jam 10 dan 11 jarum pendek dan jarum _o panjang membentuk sudut 90 ?

  Solusi: _o Jarum menit berputar dengan kecepatan 360 per jam. _o Jarum jam berputar dengan kecepatan 30 per jam. _o Pada jam 10.00 sudut antara kedua jarum (jarum jam dan menit) adalah 60 .

  Besar sudut antara jarum jam dan jarum menit setelah t jam adalah _{o o o o}

  

  60  360 t   30 t  60  330 t

  o

  Kedua jarum membentuk sudut

  

90 pada dua posisi, yaitu:

  (a) (b)

  12

  12

  11

  1

  11

  1

  2

  2

  10

  10

  9

  3

  9

  3

  4

  4

  8

  8

  5

  5

  7

  7

  6

  6 Untuk

  o o o

  10

  10 

  10

  y x

  1  

  1

  1

  1  

  x x y _{2 2 2 2 2}

  1

  1

  CD EF AB EF EF CD AB

  1  

    

   

  

  ( 60 ) 40 x b a y      _{2 2 2 2}

   

  x x x

  A D C B E a F x y

  60 m 10 m

  x x x x

  20 ^{2 3 4}     

   2000 200000 40000

     

  20 100 1600 x

  60

  3600 100

    _{2 2 2}

    

      

  x x

  10 40 x

  10

  CF BF BF CF BF CF CD EF AB EF

  CF BF BF CD EF

  90 330 60   t , diperoleh

  1 jam atau

  11

  5 05 . 10 dan pada

  11

  5 menit setelah jam 10.00 atau pukul

  5

  11

  11

  11

  Sehingga sudut kedua jarum siku-siku pada

  7  t jam.

  11

  Untuk ^{o o o} 270 330 60   t , diperoleh

  1  t jam.

  11

  7 jam atau

  2 38 menit setelah jam 10.00 atau pukul

   

  Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh: …. (4)

  BF EF CF BF CD

   

  CF BF CF AB EF

   

  CF EF CF BF AB

  Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (4) diperoleh: (qed)

  Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: …. (3)

  11

  …. (1) …. (2)

  Solusi:

  20 ^{2 3 4}      x x x x .

  masing ke titik temu kedua tali itu adalah 25 m dan 30 m. Buktikan bahwa 2000 200000 40000

  B, sehingga tinggi titik temu kedua tali dari tanah adalah 4 m. Jarak dari titik C dan D masing-

  87. Terdapat dua buah dinding AB = x dan CD = y yang berdiri tegak lurus pada tanah. Dari masing- masing A dibentangkan tali ke bawah dinding C dan dari D dibentangkan tali ke bawah dinding

  2 38 . 10 .

  40 m

     dan DE//CB. Jika AB = AC = 2 BC, tentukanlah

  CDB ABC

  88. Dalam ABC,     L ABC : L BCD : L DEB : L ADE .

  A D E C B Solusi:

  Perhatikan ABC dan BDC:

   CDB   ABC (diberikan)  ACB   DCB (sudut seletak)

  Sehingga ABC  BDC

  1

  1 BC AB AC (diberikan)  

  2

  2 CD : BC  BC : AB ₂  1  ₂  AB 

  BC

  1

  2  

  CD   AB

  

  AB AB

  4

  1

  1 CD AB AC  

  4

  4

  1

  1

  1

  1 BCD CD t AC t ABC      

     

  2

  2

  4

  4 Perhatikan ADE dan ACB:

   ADE   ACB (sehadap)    (sudut seletak)

  DAE BAC

  Sehingga ADE  ACB

  AB = AC = 2 BC

  1

  1

  3

  3

  3 CD AB AC AD AC

  2 BC BC       

  4

  4

  4

  4

  2 

  AD : DE AC : CB AD CB AD CB

  1

  1

  3

  3  

  DE AD BC BC

       

  AC

  2 CB

  2

  2

  2

  4 DE

  3

  k   BC

  4 _{2 2  }

  3

  9 ADE  k  ABC   ABC ABC     

       

  4

  16  

   

  1 9 

  3 DEB  1       ABC  ABC

       

   

  4

  16

  16  

   

  1

  3

  9 ABC : BCD : DEB : ADE ABC : ABC : ABC : ABC

                  

  4

  16

  16

  1

  3

  9 1 : : :  16 : 4 : 3 :

  9 

  4

  16

  16

  89. Dalam ABC,

  8

  9

   ²

    

    

    ABC 

      ABC k ADE   ²

  BC DE k

  8  

  9

  1   

  3

  3

    ABC

  8

  9

  1  BC BC

  3

   AD

  3 

  CB CB AD

   

  CB AC DE AD : :  AC CB AD DE

  8   

  9

  3

  8

  81

  3

  64 :

  64 : 8 : 9 : 81 

  1 : 1 

  9

  8 :

  81

  64 :

  81

  1 : 

  9

  8 :

  81

  81

  64 

          ABC ABC ABC ABC

          ADE DEB BCD ABC : : :

  8 

  81

    ABC

         

  81 DEB ABC        

  9

  1

  64

  1

     

  8

  8  BC BC

  ABC CDB

  AC AB BC

    

  1   

  3

  AB AB ²

  

  2

  AB BC BC CD : :  AB BC CD

  1   (diberikan)

  3

  1

  3

  Sehingga ABC  BDC

  9

     (sudut seletak)

  DCB ACB

     (diberikan)

  ABC CDB

   BDC:

   ABC dan

  Perhatikan

  Solusi:

          ADE DEB BCD ABC : : : .

  3   , tentukanlah

  BC AC AB

     dan DE // CB. Jika

   AB

  1 

  9

  9

  AC AD

  

  1  

  9

  1

  9

  AB = AC = 2 BC AC AB CD

  Sehingga ADE  ACB

     (sudut seletak)

  ACB ADE    (sehadap) BAC DAE

  Perhatikan ADE dan ACB:

  1 

    ABC

  AC AB CD

  1

  2

  1

  9

  1 AC t   

  2

   

    t CD BCD

  1  

  9

  1

  9

  C A B E D

     dan DE // CB. Jika

ABC CDB

90. Dalam ABC,

     ₂

  1

  1  

    t CD BCD  

  2

  1 AC t

  n

  2

  1

  AC nBC AB

  1

    ABC n ²

  1 

  Perhatikan ADE dan ACB:

     (sehadap)

     (sudut seletak)

  CD _{2 2}

  AC n AB n

  1 

  BC

    , tentukanlah

          ADE DEB BCD ABC : : : .

  Solusi:

  Perhatikan ABC dan BDC:

  ABC CDB    (diberikan) DCB ACB    (sudut seletak)

  Sehingga ABC  BDC

  AC n AB n

  1

  n ²

  1   (diberikan)

  AB BC BC CD : :  AB BC CD

  2

  

  AB AB n ²

  1   

    

   AB

  C A B E D

ACB ADE

BAC DAE

    

   

  

     

 

          ADE DEB BCD ABC : : :

  1  

  2

  4

    ABC n n

     

  ABC n ABC ₄ ^{2 2} ₄ ² ₂

       

       

    

     

  n DEB ABC n n

  1

    ABC n n ABC n n

  1 :

  1

    

  Sehingga ADE  ACB

  AB = AC = n BC AC n AB n CD _{2 2}

  1

  1   

  1 : : 1 :    n n n n

      ^{2 2 2 2 4}

  

n

n

n n n

  1 :

  1

  1 :

  1 :

  1 :

    ₄ ²

²

₄ ² ₂

    

  1 :

  1

    ^{2 2} _{2 4}

     

  CB AC DE AD : :  AC CB AD DE

  n n BC n n n ^{2 2 2}

  AC n AD

  n

    AD

  nCB CB AD

   

  

  1

    

  1 ² ₂ ² 

  1

  n n nBC n

n

  1 BC

  1

   ₂

  1

  1 

     

    

  

  1 

  ABC n n

₄

^{2 2}

  

 

 

  1

    ² ₂ ²

     

   

  ABC n n

      ABC k ADE   ²  

   

  n n

  1

  BC DE k  ₂ ²

   

  1  BC