Tutor senior olimpiade matematika lima benua tingkat SMP

  See discussions, stats, and author profiles for this publication at:

Book · January 2012 CITATIONS

  READS 4,871

  1 author:

  9 PUBLICATIONS    

  6 CITATIONS    

  Some of the authors of this publication are also working on these related projects: Biometric Fusion

  

Kata Pengantar

  Olimpiade matematika bertujuan untuk melatih logika dan kemampuan menganalisa suatu masalah matematika (problem solving). Materi yang dipelajari adalah matematika dasar. Secara umum materi untuk olimpiade matematika tingkat SMP adalah teori bilangan, aljabar, geometri, serta peluang dan statistika. Selain itu, ada juga kapita selekta yang biasanya berisi penggunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari, kemampuan menyerap materi baru (definisi baru), serta soal tentang permainan. Tidak ada teori khusus untuk kapita selekta ini, di sini kita dituntut untuk menggunakan aljabar, teori bilangan, peluang dan statistika, serta geometri secara bersamaan. Namun demikian, pembaca disarankan untuk memahami materi sekolah secara baik karena ini akan menjadi dasar dari setiap materi pada buku ini.

  Buku ini menyajikan review tentang materi olimpiade yanng telah dipelajari di sekolah dan juga menawarkan definisi baru dari materi yang tidak didapatkan di sekolah serta dilengkapi dengan contoh soal-soal dari OSK, OSP, dan OSN. Di samping itu, dalam buku ini disediakan soal-soal OSK, OSP, dan OSN dua tahu terakhir yaitu 2010 dan 2011. Namun sayangnya untuk tahun 2010 penulis tidak berhasil menemukan soal OSN 2010 sehingga diganti dengan OSN 2009. Menariknya selain soal-soal dari olimpiade- olimpiade di Indonesia, buku ini juga menyajikan soal olimpiade nasional dari beberapa negara mulai dari yang mudah sampai yang sulit. Negara-negara yang dipilih penulis adalah United Kingdom, United States of America, The Netherlands, Australia, dan Malaysia. Diharapkan dari soal-soal dari luar Indonesia kita dapat melihat medan ”pertempuran” lomba-lomba internasional. Tidak lupa penulis juga memberikan soal olimpiade internasional yaitu Junior Balkan. Jangan khawatir, karena semua soal-soal dibahas pada bab tersendiri. Meskipun semua soal dilengkapi dengan solusi, pembaca disarankan untuk mengerjakan sendiri soal-soal yang ada. Ingat bahwa matematika adalah ilmu yang dipelajari dengan cara cara berlatih learning by doing. Usahakan membaca solusi hanya jika kita Anda sudah buntu dan tidak punya ide sama sekali.

  Nanang S Model soal olimpiade adalah soal-soal yang tidak rutin atau berorientasi pada pemecahan masalah (problem solving). Ini berarti bahwa untuk menyelesaikan soal olimpiade memerlukan kematangan matematika yaitu wawasan, kecermatan, ketelitian, kejelian, kecerdikan, dan pengalaman. Hal-hal tersebut akan kita dapatkan dengan memahami konsep matematika yang ada di sekolah secara baik dan benar serta berlatih soal yang berbau problem solving yang tentu saja terdapat dalam buku ini.

  Di dalam buku ini, dijelaskan beberapa trik untuk mengerjakan soal olimpiade. Ada beberapa teknik dasar untuk menyelesaikan beberapa soal yang punya ciri khusus diantaranya membaca pola, telescoping, pembatasan, membagi kasus, dan lain sebagainya. Teknik membaca pola dapat kita temui pada saat kita membahas barisan bilangan dan peluang, telescoping dapat kita temui saat kita membahas barisan bilangan, pembatasan dapat kita temui saat membahas persamaan Diophantine dan peluang, serta membagi kasus dapat kita temukan pada saat kita membahas peluang dan persamaan. Jangan khawatir!!!! Sebagai tambahan pengetahuan, dalam buku ini juga dibahas beberapa materi pengayaan. Untuk sampai level nasional, materi pengayaan ini sangat jarang keluar bahkah dapat dikatakan tidak keluar mulai dari OSK, OSP, maupun OSN. Namun demikian, penulis menyajikan materi pengayaan ini karena dalam olimpiade nasional SMP negara lain sudah sampai materi tersebut. Di samping itu, tidak ada ruginya kita belajar materi pengayaan tersebut karena kelak di olimpiade SMA materi-materi tersebut merupakan materi wajib.

  

Well, semoga buku ini bermanfaat dan kelak dapat membawa Anda untuk berprestasi

matematika di level internasional dan membawa nama harum bangsa kita tercinta....

  Yogyakarta, Pebruari 2012 Penulis

  Nanang S

  

Pola Seleksi Olimpiade Matematika SMP

  Seleksi Olimpiade Matematika SMP dilaksanakan secara berjenjang mulai dari tingkat sekolah, kabupaten/kota, propinsi, dan terakhir adalah Olimpiade Sains Nasional.

  1. Seleksi tingkat sekolah dilaksanakan oleh masing-masing sekolah untuk memilih wakil sekolah tersebut yang akan diikutkan ke seleksi tingkat kabupaten/kota. Materi dan bentuk soal untuk tingkat ini diserahkan ke sekolah masing-masing. Peserta seleksi tingkat sekolah ini adalah siswa SMP/MTs kelas 1 dan 2 baik negeri maupun swasta dengan nilai rapor Matematika minimal 7.

  2. Seleksi tingkat kabupaten/kota dilaksanakan sekitar bulan Mei atau Juni. Bentuk soalnya adalah tes tertulis 10 soal pilihan ganda dan 10 soal isian singkat. Materi untuk seleksi ini adalah materi sekolah dan sedikit soal tentang pengenalan problem solving. Peserta Olimpiade tingkat kabupaten/kota adalah peserta perwakilan dari sekolah. Setiap sekolah maksimal mengirimkan 5 wakil atau tergantung kebijakan pemerintah daerah kabupaten.

  3. Seleksi tingkat propinsi dilaksanakan sekitar bulan Juli. Bentuk soalnya adalah tes tertulis 10 soal isian singkat dan 5 soal uraian (pernah juga 10 soal pilihan ganda, 10 soal isian singkat, dan 2 soal uraian). Untuk seleksi ini, soal yang berbau problem solving semakin banyak dan kental. Peserta Olimpiade tingkat propinsi adalah peserta yang terpilih dari seleksi tingkat kabupaten/kota. Biasanya, masing-masing kabupaten mengirimkan 3 wakilnya atau tergantung kebijakan pemerintan daerah propinsi.

4. Olimpiade Sains Nasional (Matematika) dilaksanakan sekitar bulan Agustus atau

  September. Bentuk soalnya adalah tes tertulis 10 soal uraian. Tes dilaksanakan 2 hari, di mana setiap hari diujikan 5 soal dengan waktu 4 jam. Untuk tingkat nasional ini, soal yang disajikan bau problem solving terasa sangat kental. Peserta Olimpiade Sains Nasional adalah juara I pada seleksi tingkat propinsi pada setiap propinsi ditambah dengan peserta yang terpilih melalui perangkingan nasional hasil seleksi tingkat propinsi. Pada OSN ini diperebutkan 30 medali yaitu 5 emas, 10 perak, dan 15 perunggu.

  Nanang S Olimpiade Sains Nasional bukan akhir dari kompetisi olimpiade. Bagi peserta OSN akan diikutkan seleksi calon peserta IJSO untuk menjadi wakil Indonesia, dan khusus untuk peserta OSN Matematika akan diikutkan seleksi calon peserta IWYMIC yang merupakan kompetisi matematika tingkat internasional.

  Nanang S

  

Silabus Olimpiade Matematika SMP

  Materi olimpiade matematika SMP adalah materi sekolah SMP dan pendalamannya ditambah beberapa materi baru. Secara umum, ada 4 bidang yang diujikan dalam olimpiade matematika yaitu Aljabar, Teori Bilangan, Geometri, serta Peluang dan Statistika. Pokok bahasan yang diberi perhatian khusus, dapat dilihat pada penjelasan di bawah ini.

  Teori Bilangan Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan bulat.

  Pembagian Bersisa Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan rasional Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan real.

   Klasifikasi bilangan (bulat, pecahan, rasional, irrasional)  Merasionalkan bentuk akar. FPB dan KPK

  Aljabar

  Himpunan  Himpunan bagian  Operasi dua himpunan Fungsi  Pengertian fungsi  Sifat-sifat fungsi secara umum Perbandingan  Perbandingan senilai  Perbandingan berbalik nilai Faktorisasi suku aljabar _{2 2}

  a  b  a b a b  

   Bentuk    _n

   a b

   Bentuk   Persamaan garis lurus Pertidaksamaan linier satu variabel Sistem persamaan linier dua variabel Eksponen dan logaritma Pola bilangan Persamaan kuadrat

  Geometri

  Bangun datar  Segi-n dan lingkaran  Garis tinggi dan garis berat segitiga  Titik berat segitiga

  Nanang S Bangun ruang  Volume tabung, kerucut dan bola  Volume tabung dan kerucut terpancung  Luas selimut tabung, kerucut dan bola  Luas selimut tabung dan kerucut terpancung Dalil Pythagoras Trigonometri

  Peluang dan Statistika

   Peluang kejadian  Ukuran pemusatan

  Kapita Selekta

  Penggunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari Kemampuan menyerap materi baru (definisi baru)

  Untuk seleksi tingkat kabupaten materi yang diujikan adalah semua materi di atas namun dengan kedalaman yang dangkal yakni bau problem solving masih belum sedikit, sedangkan untuk seleksi tingkat propinsi bau problem solving sedikit lebih tajam yakni sebagian besar soal merupakan soal yang tidak rutin. Untuk tingkat nasional, soal yang diujikan benar-benar soal yang tidak rutin, bau problem solving benar-benar sangat kental dan untuk menyelesaikan soal dibutuhkan kreativitas dan pengalaman. Buku ini mengacu pada silabus OSN di atas. Anda juga akan mendapatkan pengalaman yang sangat berarti dan akan sangat membantu Anda untuk mengetahui medan “perang” olimpide m atematika SMP sehingga kita tahu bagaimana cara “menggempur” soal-soal tersebut.

  Nanang S

  

Aljabar

Aljabar adalah materi dasar yang digunakan untuk memahami bidang-bidang lainnya.

  Materi ini sebagian besar sudah dipelajari di sekolah (materi-materi rutin). Dengan demikian, di sini kita hanya akan memperdalam pengetahuan dan memperlihatkan teknik penyelesaian dalam soal nyata di olimpiade.

  A. Persamaan dan Pertidaksamaan

  Dalam memahami materi-materi aljabar, kita tidak bisa terlepas dari persamaan. Oleh karena itu, diharapkan pembaca sudah menguasai persamaan yang telah dipelajari di sekolah yaitu teknik-teknik menyelesaikan persamaan ataupun sistem persamaan seperti metode grafik, metode subtitusi, dan metode eliminasi. Di sini kita akan mempelajari teknik tidak rutin selain tiga teknik tersebut. Contoh Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = .... (OSP 2004) Jawaban:

        , Jumlahkan ketiga persamaan yang diketahui kita punya 2 a b c 1 2 3 6

    sehingga a b c    3. .

  Contoh Buktikan bahwa jika a  dan 2 b  maka 3 ab   6 3 a  2 b . (OSN 2003) Jawaban: Karena a  dan 2 b  maka 3 a   dan 2 0 b   , sehingga 3 0

  a 

  2 b    3 ab  3 a  2 b    6 0 ab   6 3 a b  .

     Terbukti. .

  B. Fungsi

  Materi fungsi atau pemetaan tentunya telah akrab di telinga kita. Jika kita membahas masalah fungsi tentunya kita tidak boleh hal-hal yang menyangkut fungsi antara lain daerah asal (domain), daerah kawan (kodomain), daerah hasil (range), operasi-operasi di antara fungsi-fungsi. Nah, khusus di olimpiade kita akan menitikberatkan pada sifat-sifat fungsi. Fungsi atau pemetaan f dari suatu himpunan A ke suatu himpunan B ditulis dengan

  

f A :  B didefinisikan sebagai relasi yang mengawankan setiap elemen di A dengan

  tepat satu elemen di B. Selanjutnya A kita sebut dengan daerah asal atau domain, sedangkan B kita sebut dengan daerah kawan atau kodomain. Jika di materi sekolah biasanya kita diberikan rumus fungsinya kemudian kita diminta mencari sifat-sifatnya. Nah, di olimpiade kita diberikan sifat-sifatnya kemudian kita diminta menentukan rumusnya atau mencari sifat yang lainnya seperti mencari pembuat nol, mencari maksimum atau minimum, ataupun mencari nilai di titik tertentu. Contoh ₂ Diberikan fungsi kuadrat f x  ax  3 x c  . Jika f 1  dan 4 f 2  , maka

  7

        f  1  (OSP 2006) ...

   

  Jawaban:

  f

  1         , sehingga 4 a 3 c 4 a c 7 f        1 a 3 c 7 3 10 . .

     

C. Faktorisasi Bentuk Aljabar

  _n  Pada materi kombinatorika kita akan membahas Binomial Newton atau bentuk a b . ₃   ₃ Pada sub bab ini kita akan konsenterasi pada faktorisasi/pemfaktoran x  dan y _{n n}

   khususnya untuk n  dan 2 n  . Faktorisasi ini sangat berguna dalam

  3

  x y ,

  menyelesaikan suatu persamaan maupun sistem persamaan, merasionalkan bentuk akar, sampai menyederhanakan bentuk tertentu.

  3

³

^{2 2}     

  Dengan mudah dapat dicek bahwa x y x y x xy y dan untuk setiap

      _{n n n}     _{1 n 2 n 2 n 1}

  bilangan asli n kita punya        , khusus untuk

  x y x y x x y ... xy y  

    _{2 2} x  y  x y x   y n  ₃ 2 dan n  _{3 2} 3 berturut-turut kita punya    dan ₂

       x y x y x xy y .

     

  Contoh _{2 2}

  y x  y z     

   maka nilai Jika    y z , dan x z y sama sengan… (OSP 2009)

  z x  z x 

  Jawaban: _{2 2 2 2}

  y x   y z  y x   y z  y x  y z  y x   y z                 

      y z      z x  z x  z x  z x  y x y z    y x    y z z x  2 y x z  

           2 y x z   . z x  z x  Dengan demikian, y      . Jadi z x z x y  x .

  Contoh _{3 3} Semua bilangan real x yang memenuhi persamaan x   4 x 

  1 adalah… (OSP 2009) Jawaban: _{3 3 3 3} Misalkan x   dan _{3 3}

  4 a x  , maka b a b   dan _{2 2 2 2} 1 a  b     x

  4 x 4 , sehingga          a b   , sebagai

  1

  4 a b a b a ab b a ab b . Perhatikan bahwa  

    _{2 2 2 2 2 2}              

  akibatnya kita punya

  4 b 1 b 1 b b b 2 b 1 b b b 3 b 3 b

  1 ₂    

₂

  yang ekivalen dengan

  3 b  3 b    3 0 b    b 1 0 . Dengan menggunakan rumus

  1

  solusi persamaan kuadrat (lihat sub bab D) solusi persamaan ini adalah b   

  1

  5  

  2 ₃

  1 ₃

  1

  atau b  

  1  5 yang selanjutnya kita peroleh x  b   

  1 5 atau  

   

  2 ₃

  8 ₃

  1 _{3 3} x  b   1  5 . Jadi bilangan real x  

  4 x 

  1

  x yang memenuhi persamaan  

  8 _{3 3}

  1

  1

  adalah  

  1 5 dan  1  5 . .

     

  8

  8

D. Kuadrat sempurna dan Persamaan Kuadrat

  Bentuk kuadrat sempurna merupakan bentuk yang sederhana tetapi sangat powerful dalam menyelesaikan soal aljabar. Di sini kita akan mulai dengan 2 fakta sederhana: _{2 2 2}

     

  i. x y x

  2 xy y   _{2 2} ii. x  , dan x  jika dan hanya jika

  untuk setiap bilangan real x kita punya x  . Poin (i) biasanya digunakan untuk memudahkan penghitungan tertentu dan menyelesaikan persamaan kuadrat, sedangkan poin (ii) biasanya digunakan dalam ketaksamaan dan mencari nilai maksimum/minimum.

  Contoh ₂ Ax

  5

  1 Diketahui bahwa x   7 . Tentukan A agar  . (OSN 2007) _{4 2} x x  x 

  1

  6 Jawaban: ₂

  1 _{2  }

  1 ₂

  1 ₂

  1 Dari x   7 kita punya 7  x   x   2 , sehingga x   _{2 2}

  47. Dengan   x x x x

   

  demikian _{2 4 2} Ax

  5 5 x  x 

  1

  5

  1

  5  ^{2 }

      A  x   1  48  40. _{4 2 2  2 }  

  x  x 

  1

  6 6 x 6 x

  6  

  Jadi A  40. .

  

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang sederhana selain persamaan linear dengan

₂

  satu variabel. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah    dengan

  ax bx c

  , dan a  . Solusi dari persamaan ini sering disebut sebagai akar persamaan

  a b c  , ,

  kuadrat. Ada beberapa cara menyelesaikan persamaan kuadrat: ₂ i.

  ax  bx c   menjadi

  dengan pemfaktoran yaitu dengan mengubah bentuk a x x  x x   sehingga solusinya adalah x  atau x x  x .

     _{1 2 1 2} ii.

  dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat. Akan kita turunkan rumus persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

  ₂

₂

b c ax  bx c    x  x   a a _{2 2 2    } b b b c

   x  x       

  

a

  2 a 2 a a     _{2 2}

  b b

  4 ac  

   x      ^{2 2} 2 a

  4 a 4 a   _{2 2}

  b b 

  4 ac  

   x     ² 2 a

  4 a   ₂

  b b 

  4 ac  x    2 a

  2 a ₂   b b  4 ac  x  .

  2 a

    b D

  Rumus penyelesaian persamaan kuadrat di atas dapat ditulis x  dengan _{1,2 2}

  2 a D b   4 ac yang biasanya disebut dengan diskriminan. Sekarang perhatikan bahwa

  rumus di atas memuat bentuk D , dan kita tahu bahwa bilangan di dalam tanda akar hanya akan terdefinisi jika tak negatif. Dari sini kita dapat turunkan dua teorema berikut.

  Teorema

  Persamaan kuadrat mempunyai persamaan/solusi real jika dan hanya jika diskriminannya tak negatif. Bukti: Dapat dilihat langsung dari rumus penyelesaian persamaan kuadrat.

  Teorema (jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat) ₂ Jika x dan x adalah solusi-solusi dari persamaan kuadrat ax  bx c   maka _{1 2} b c x  x   dan x x  . _{1 2 1 2} a a

  Bukti:

    b D

  Dari rumus penyelesaian persamaan kuadrat kita punya x  dan ₁

  2 a   b D

  Dengan demikian, kita peroleh x  . ₂

  2 a   b D   b D   b b  2 b b

x  x       dan

_{1 2}

  2 a 2 a ₂ 2 a _{2 2} 2 a a b  b 

  4 ac   

        

  b D b D b D

  4 ac c x x      . _{1 2    2 2 2}    2 a

  2 a 4 a 4 a 4 a a   

  Contoh _{2 2}

       

  Tentukan m agar persamaan

  2 x 2 mx m 1 x mx 1 mempunyai tepat dua

 

    

  solusi real. (OSP 2006) Jawaban: ₂ Perhatikan persamaan kuadrat 2 x  2 mx  m   . Diskriminan dari persamaan ini

  1

   

  adalah _{2 2 2 2} D  2 m  4 2  m  1  4 m  8 m   8 4 m  2 m  2  4 m  1    , 4 4 0

             

  sehingga persamaan pasti mempunyai 2 solusi real berbeda. Dengan demikian agar _{2 2}

       

  persamaan

  2 x 2 mx m 1 x mx 1 mempunyai tepat dua solusi real  

     ₂

  berbeda, haruslah persamaan x  mx  ₂ 1 tidak punya solusi real atau dengan kata lain

  D  yakni m       4 0 2 m 2.

     . 2 m 2. Jadi m yang dimaksud adalah

E. Ketaksamaan

  Ketaksamaan yang akan kita bahas di sini adalah ketaksamaan yang berdasar pada fakta ₂

  no square is negative x  , ₂ atau dengan kata lain ‘untuk setiap bilangan real x berlaku x 

  dan x  jika dan hanya jika ’. Dari fakta yang sederhana ini kita dapat menurunkan ketaksamaan AM-GM-HM.

  Teorema

  Untuk setiap bilangan-bilangan real positif x , dan y berlaku

  x  y

  2  xy  ,

  1

  1

  2 

  x y dan kesamaan terjadi jika dan hanya jika x  y .

  Bukti: ₂ Jelas bahwa x  y  , sehingga

    x  y x 

  2 xy      y x y 2 xy   xy .

  2

  2 Dengan mengalikam kedua ruas dengan pada ketaksamaan terakhir kita peroleh

  xy x y 

  2 xy

  1

  1

  2

  2      xy  .

  1

  1

  xy xy x y xy

   ₂ x y Perhatikan bahwa kita menggunakan fakta x  y  , sehingga kesamaan terjadi

    x  y

  2 artinya  xy  jika dan hanya jika x  y .

  1

  1

  2 

  x y x  y

  2 Biasanya , xy , dan berturut-turut kita sebut dengan Arithmetic Mean

  1

  1

  2

  

  x y

  (AM), Geometric Mean (GM), dan Harmonic Mean (HM), sehingga ketaksamaan tersebut dapat kita tulis sebagai: AM  GM  HM . Hal yang perlu digarisbawahi bahwa

AM GM HM  

  ketaksamaan hanya dapat digunakan untuk bilangan-bilangan real positif. Jika tidak ada syarat demikian, maka kita kembali memakai fakta no square is

  negative.

  Salah satu kegunaan ketaksamaan adalah mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi atau ekspresi tertentu. Sebagai contoh jika kita telah dapat membuktikan

  

f x  M untuk setiap x dan kita dapat menemukan nilai x sehingga f x  M maka

 

   

  kita katakana M adalah nilai maksimum dari fungsi f. Kebalikannya jika kita telah dapat membuktikan f x  untuk setiap x dan kita dapat menemukan nilai x sehingga m

    f x  maka kita katakana m adalah nilai minimum dari fungsi f. m

   

  Contoh Jumlah dua bilangan sama dengan 12. Hasil kali dua bilangan tersebut nilainya akan paling besar jika salah satu bilangannya adalah ...... (OSK 2003) Jawaban: Misal salah satu bilangan tersebut adalah x , maka bilangan yang lain adalah 12 x  .

  Dengan demikian hasil kalinya adalah _{2 2 2}

  x

  12  x  12 x x    x  12 x  36  36    x 6  36 36  . Jadi nilai maksimum

       

  dari hasil perkaliannya adalah 36 dan terjadi saat x   atau dengan kata lain saat 6 0 x  . .

  6 Contoh _{2 2 2 2}

  x  y 

1 Diketahui a  b 

  _{2 2 2 2} 1 dan . Lanjutkan proses berikut. ₂ a  b x  y  ax by   ...

       a. ax by  dengan 1?

  Hubungan apakah yang bisa disimpulkan antara b.

  Mengapa? (OSN 2006) Jawaban: _{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

  a  b x  y  ax by   a x  a y  b x  b y  a x 

  2 abxy b y 

       _{2 2 2 2}

   a y  b x  ₂ 2 abxy  ay bx  .

    a. ax by  selalu kurang dari atau sama dengan 1. ₂  

  b. ay bx sehingga Kita punya bahwa  

  _{2 2 2 2}

  2 ^{2 2} a  b x  y  ax by   

  1.1  ax by    ax by   yang

  1

           tentu akan berakibat . . ax by  

1 F. Perbandingan

  Pada dasarnya perbandingan melihat hubungan antara dua variabel atau lebih. Ada dua jenis perbandingan yaitu perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai. Perbandingan senilai adalah suatu perbandingan dengan sifat jika salah satu variabel naik maka variabel yang lain juga ikut naik, dan juga sebaliknya jika salah satu variabel turun maka variabel yang lain juga ikut turun. Sedangkan perbandingan berbalik nilai adalah perbandingan dengan sifat jika salah satu variabel naik maka variabel yang lain justru turun, begitu juga sebaliknya. Mari kita lihat contoh yang sangat sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari yaitu tentang waktu, jarak, dan kecepatan. Kita punya definisi bahwa kecepatan rata-rata adalah jarak yang ditempuh setiap satuan waktu, atau secara matematika dapat kita tuliskan sebagai:

  s

v  ,

t

  Dengan

  v menyatakan kecepatan rata-rata, s menyatakan jarak/hasil, dan t menyatakan

  waktu. Di dalam ilmu fisika, biasanya satuan dari s t dan v berturut-turut adalah , ,

  m s , (detik), dan m s . Akan tetapi, sebenarnya v bukan hanya menyatakan kecepatan /

  rata-rata dalam satuan m s melainkan juga kecepatan rata-rata menyelesaikan pekerjaan / seseorang, kecepatan mengisi air suatu kran, dan sebagainya.

  s

  Perhatikan kembali rumus v  . Jelas bahwa jika jarak naik(semakin besar) maka

  t

  kecepatan juga naik(semakin besar), begitu juga sebaliknya, sehingga hubungan antara jarak dan kecepatan merupakan perbandingan senilai. Di lain pihak, jika waktu membesar maka kecepatan mengecil(turun), demikian juga sebaliknya, sehingga hubungan antara waktu dan kecepatan merupakan perbandingan berbalik nilai. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat beberapa contoh di soal olimpiade.

  Contoh Kendaraan A berjalan dengan laju 60 km/jam. Dua jam berikutnya kendaraan B berjalan dengan laju 80 km/jam berangkat dari tempat dan menuju arah yang sama. Setelah berapa jam kendaraan B menyusul kendaraan A?

  a. 2 jam

  c. 4 jam

  e. 6 jam

  b. 3 jam

  d. 5 jam (OSK 2003) Jawaban: Misal B menyusul A setelah x . Waktu tempuh kendaraan A dan B berturut-turut adalah

  

x  dan x , sehingga jarak yang ditempuh kendaraan A dan B berturut-turut adalah

  2 60 x  2 dan 80x . Kendaraan B menyusul A terjadi saat jarak yang ditempuh B sama

   

  dengan A yaitu 60 x  2  80 x  3 x  2  4 x   . Jadi kendaraan B menyusul A x

  6

      setelah 6 jam. (E).

  Contoh Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola adalah ..hari. (OSK 2004) Jawaban: Kita punya bahwa kecepatan makan 7 ekor kambing adalah

  7 lapangan  1 lapangan/hari, sehingga kecepatan makan

  1 ekor kambing

  7 hari

  1 3 lapangan/hari, akibatnya kecepatan makan 3 ekor kambing lapangan/hari. Dengan

  7

  7

  3

  demikian, rumput seluas 3 lapangan akan dihabiskan dalam waktu  7 hari. .

  3/7

G. Eksponen

  Dalam istilah Indonesia, eksponen lebih dikenal dengan nama pangkat. Di sini kita akan membahas definisi, sifat, serta persamaan dan pertidaksamaan eksponen.

  b

  Perhatikan kesamaan a  c . Bilangan a disebut bilangan pokok, b disebut pangkat/eksponen, sedangkan

  c disebut hasil. Pada awalnya eksponen hanya

  didefinisikan jika pangkatnya merupakan bilangan bulat. Namun dalam perkembangan selanjutnya, definisi ini dapat diperluas jika pangkatnya merupakan bilangan rasional bahkan bilangan real.

  Definisi

  Untuk sebarang bilangan real

  a dan bilangan bulat tak negatif n didefinisikan

  1 jika n  0 dan a  _n 

  a

      

  a a ... a jika n  _{sebanyak n} 0.

   Bentuk 0 merupakan bentuk tak tentu, sehingga kita tidak dapat mendefinisikan secara tunggal nilai dari . Selanjutnya, untuk n bilangan bulat negatif dan a bilangan real _n

  1

  tidak nol didefinisikan a  . Sedangkan untuk sebarang bilangan bulat tak negatif n

   _n a

_n

₁

  dan bilangan real positif a sebagai bilangan real positif _n a , didefinisikan x dengan sifat _n

  

x  a yang selanjutnya ditulis dengan x  a . Dari sini tentu saja kit adapt

_{m n n m}  mendefinisikan a a .

  Contoh

  b

  Jika a  maka b dinyatakan dalam a adalah… 1  b _{2 2 2} a a a. b  

  1 a

  c. b  ₂

  e. b  _{2 2} 1  a ₂ 1  a 1 a  1 a  b. b  ₂

  d. b  ₂

  a a

  (OSK 2004) Jawaban:

  b b ₂ Menurut definisi akar, kita punya a   a  , sehingga _{2 2} 1  b _{2 2} 1  b _{2 2 2}            b 1 b a b a ba b ba a b 1 a a .

    ₂   a Dengan demikian b  . (C). ₂ 1  a

  Dari definisi-definisi di atas, kita punya beberapa sifat sebagai berikut: _{m n m n}  1. a  a  a _{m n m n } 2. a : a  a _{m mn n} 3. a  a

    _{n n n} 

  3. ab a b

   

  Hal yang perlu diingat bahwa sifat 1 dan 2 tidak boleh dibalik yakni pada umumnya _{m n m n  m n m n } a  a  a dan juga a  a  a .

  Contoh _{4 4 4 4}

  4  4  ₇ 4  4  ...

  a.

  2 ₁₀

  c. 1034 ₄

  e. 512 b.

  2 d.

  5 (OSK 2003) Jawaban: _{4 4 4 4 4 1 4  5 2 5 10}

  4  4  4  4   4 4  4  4  2  2 .(B). .

    _{f x g x}    

  Persamaan eksponen _{f x f x 2} yang akan kita bahas di sini adalah yang berbentuk a  a     atau p a  qa   r .

    _{f x g x}     a  a (tentu saja yang kita maksud adalah a  ,

  1  Untuk persamaan tipe _{f x   g x  } karena jika a  maka tentu

  1 1   1 a berapapun x) penyelesaiannya sama dengan penyelesaian persamaan

      f x g x  . Jadi, langkah pertama yang kita

  3 c a   sehingga

  3

  a c a c

     

     dan

  7

  5

  4

  3 1.

  b d b d

        

  Dari sistem persamaan yang pertama kita peroleh

  4

  20

  1

  1

  7

  1

  1 3.

  3

  3

a a a a       Sedangkan dari sistem yang kedua kita peroleh

  7

  5 d b   sehingga

  21

  1

  4

  1 5.

  5

  4

  5

  lakukan untuk menyelesaikan persamaan dengan bentuk tersebut adalah menyamakan bilangan pokoknya, baru kemudian kita samakan pangkatnya.  Persamaan eksponen tipe

  x r s  dan ^{c d} y r s  , maka hasil dari a b c d   

     

    ²

^{f x f x}

p a qa r

    

  . Untuk persamaan eksponen bentuk ini, kita dapat mengubah menjadi persamaan kuadrat dengan substitusi

    ^{f x} y a

  

  . Setelah dicari penyelesaian dari persamaan kuadrat yang kita peroleh baru kemudian mencari x. Yang perlu untuk diingat adalah fakta yang mengatakan bahwa jika a  , maka

    ^{f x} a  .

  Contoh

  Jika sistem persamaan ^{7 5}

  x y r  dan ^{4 3} x y s  dengan , , x y r , dan s adalah bilangan

  positif mempunyai penyelesaian ^{a b}

  adalah… a.

  7

  19

  c. 1

  e. ½ b.2

  d. 7/12 (OSP 2007) Jawaban:

      ^{7 5 7 5 7 5 7}

^{5 a b c d a c b d}

x y r r s r s r r s r

         artinya

  7

  5  1 a c  dan 7

   5 b d 

      ^{4 3 4 3 4 3 4 3 a b c d a c b d} x y s r s r s s r s s

         artinya

  4  3 a c  dan 4

  3  1 b d  . Dari sini kita punya dua sistem persamaan

  5 b b b b       

      ^{f x g x} a a  : Perhatikan bahwa jika

  3

    ² 0( , , ) ^{f x f x} p a qa r       .

     

  , ,    ), dan bentuk

      ^{f x g x} a a  (dapat juga

  Selain persamaan eksponen, kita juga mengenal pertidaksamaan eksponen. Sama dengan persamaan eksponen, di sini kita akan membahas bentuk

  5 a b c d a b a b a b               (C). .

  

5

  1 a  maka akan selalu terjadi kesamaan, karena 1 pangkat berapapun selalu 1. Oleh sebab itu, kita asumsikan 1 a  . Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk tersebut, kita akan membagi 2 kasus sebagai berikut:

  3

  2 1 2 1.

  1

  

7

  4

  Dengan demikian

   Tipe

• Kasus 1 a 

  Untuk 1 a  , berlaku

          ^{f x g x} a a f x g x    . Begitu juga jika tandanya diganti dengan , ,   atau  .

• Kasus 1 a 

  Untuk kasus ini, berlaku

          ^{f x g x} a a f x g x    . Begitu juga jika tandanya diganti dengan , ,   atau  .

   Tipe

     

    ^{2 f x f x} p a qa r    : Seperti halnya persamaan eksponen, cara

  menyelesaian pertidaksamaan bentuk ini akan kita gunakan substitusi

    f x y a

   .

  Sehingga pertidaksamaan tersebut akan menjadi ²

  py qy r    , yang tentu saja

  merupakan pertidaksamaan kuadrat, kemudian kita selesaikan lagi dengan pertidaksamaan yang telah kita bahas sebelumnya.

H. Barisan dan Deret Bilangan

  Suatu susunan bilangan terkadang dapat kita baca polanya, yakni secara logika kita akan mengetahui bilangan yang akan muncul berikutnya jika kita diberikan suatu urutan bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan yang disusun/diurutkan menurut aturan tertentu

  disebut dengan barisan bilangan. Sedangkan jumlahan dari barisan bilangan disebut deret.

  Secara matematis, barisan bilangan adalah fungsi dengan domain himpunan bilangan asli.

  Dan deret adalah jumlahan dari barisan barisan.

  Barisan bilangan ini biasa dituliskan dengan u u , ,..., u . Sedangkan deret dituliskan _{1 2 n} dengan s     . u u ..., u _{n 1 2 n}

  u disebut suku pertama, u disebut suku kedua, ..., dan seterusnya secara umum u _{1 2 n} disebut suku ke-n.

  Contoh Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD.... berulang sampai tak _{5 3} terhingga. Huruf apakah yang menempati urutan ke ? (OSN 2003)

  2 3

  Jawaban: Perhatikan bahwa pola di atas berulang setiap 10 suku yaitu ABBCCCDDDD. Dengan _{5 3 5 3} demikian, kita cukup mencari digit terakhir dari 2 3 . Digit terakhir dari 2 3  32 27  _{5 3} adalah 4, sehingga huruf yang menempati urutan ke 2 3 sama dengan huruf keempat dari barisan tersebut yaitu huruf C. .

  Barisan aritmetika adalah barisan yang setiap sukunya diperoleh dengan menambah

  suatu bilangan yang tetap (konstan) dari suku sebelumnya, penambah ini selanjutnya disebut beda. Secara umum, barisan aritmetika berbentuk:

  a a b a ,  ,  2 , b a  3 ,... b dengan a adalah suku pertama dan b adalah beda.

  Secara matematis, suku ke-n barisan aritmetika dapat dinyatakan secara ekplisit sebagai

  u   a n  1 b , dengan a dan b berturut-turut menyatakan suku pertama dan beda. _n  

  Bagaimana dengan jumlah suku-suku barisan aritmetika yang kita sebut dengan deret aritmetika.

  Deret ke-n atau dengan kata lain jumlahan n suku pertama barisan aritmetika