A Teorie ¸si aplicat¸ii 0.1
Partea I. ALGEBR ˘ A LINIAR ˘ A
Teorie ¸si aplicat¸ii0.1
1. MATRICE. SISTEME LINIARE
0.1.1 TEORIE
1. Not˘am cu M (R) mult¸imea matricelor cu m linii ¸si n coloane
m,n
avˆand elementele din inelul (R, +, ·) (de regul˘a R = R - corpul numerelor reale, R = C - corpul numerelor complexe, ori R = Z
p
- corpul claselor de resturi modulo p, unde p este un num˘ar prim); despre o asemenea matrice spunem c˘a este o matrice de tip m×n. Matricele cu acela¸si num˘ar de linii ¸si de coloane (m = n) se numesc matrice p˘ atratice. ˆIn exemplele (exercit¸iile) pe care le vom da, ˆın lipsa altor preciz˘ari, inelul R este corpul numerelor reale.
2. Dac˘a A = (a ) ∈ M (R) (mai scriem A = (a ) , ori,
ij 1≤i≤m m,n ij i=1,m 1≤j≤n j=1,n
dac˘a nu este pericol de confuzie, A = (a ) atunci matricea notat˘a
ij
a a ... a ... a
11 12 1j 1n
21 22 2j 2n
a a ... a ... a
A = ,
... ... ... ... ... ... a a ... a ... a
m1 m2 mj mn
sau a a ... a ... a
11 12 1j 1n
21 22 2j 2n
a a ... a ... a
A =
... ... ... ... ... ... a m1 a m2 ... a mj ... a mn se poate exprima prin concatenarea (al˘aturarea) coloanelor sale: notˆand cu
a 1j a
2j
A :=
:j
... a
mj
matricea coloan˘a format˘a cu elementele coloanei j a matricei A, atunci concatenarea matricelor A , A , ..., A reface matricea A :
:1 :2 :n
A = (A | A | ... | A );
:1 :2 :n
analog se poate scrie matricea A prin al˘aturarea, pe coloan˘a, a matricelor linie A := (a a ... a ) , unde i = 1, m.
i: i1 i2 in
3. Suma matricelor A ¸si B de tip m × n este o matrice de tip m × n notat˘a A+B al c˘arei element generic este a +b , (adic˘a elementul
ij ij
de pe pozit¸ia (i, j) al matricei sum˘a). De exemplu: a b x y a + x b + y
- = ¸si c d z w c + z d + w 3 −7
5
6 8 −1 = . +
4 2 −7 3 −3
5 ˆ
Inmultirea matricei A de tip m×n cu scalarul c (adic˘a c este un element al corpului R) are ca ie¸sire matricea de tip m × n notat˘a cA al c˘arei element generic este ca ij . De exemplu: a b λa λb λ = ¸si c d λc λd
1 −0.5 3 −1. 5 3 = .
6.1 2.9 18. 3 8. 7 Propriet˘ at¸i. Fie A, B ¸si C matrice de tip m × n, iar c ¸si d scalari. Atunci:
- comutativitatea adun˘arii matricelor : A + B = B + A;
- asociativitatea adun˘arii matricelor: A + (B + C) = (A + B) + C;
- legile distributivit˘at¸ii ˆınmult¸irii matricelor cu scalari c (A + B) = cA + cB ¸si (c + d) A = cA + dA;
- (cd)A = c (dA) ;
- elementul 1 ∈ R este element neutru pentru ˆınmult¸irea matricelor cu scalari: 1A = A.
4. Transpusa matricei A = (a ) ∈ M (R) este o matrice, notat˘a
ij m,n T
A , de tip n×m obt¸inut˘a din A prin schimbarea liniilor cu coloanele (de la stˆanga la dreapta, de sus ˆın jos). Deci transpusa (matricea
T ′ ′
transpus˘a) este A := (a ) ∈ M (R), unde a = a . Folosind
n,m ji ij ij
concatenarea liniilor matricei A, putem scrie transpusa astfel:
T A = (A 1: | A 2: | ... | A n: ) .
De exemplu:
T
1 −2
1
3 = .
3 2 −2 2 Propriet˘ at¸i.
T T
A = A; -
T T T
- (A + B) = A + B ;
T T T
- (AB) = B A ;
T T
- Pentru orice scalar r, (rA) = rA ;
- Dac˘a A este o matrice diagonal˘ a (elementele care nu sunt pe
T diagonala principal˘a sunt toate 0) atunci A = A . T O matrice p˘atratic˘a este simetric˘ a dac˘a A = A.
5. Not˘am cu O (sau doar O dac˘a nu este pericol de confuzie) ma-
m,n
tricea nul˘
a, adic˘a o matrice de tip m × n avˆand toate elementele nule (i.e. elementul neutru al grupului (M (R), +) ). Cu I (ori
m,n n
doar I) not˘am matricea unitate de tip n × n : 0, dac˘a i 6= j
I = (δ ), unde δ :=
n ij ij
1, dac˘a i = j este simbolul lui Kronecker, adic˘a I este matricea care are pe
n
diagonala principal˘a doar 1, iar ˆın rest 0 (i.e. I este elementul
n neutru fat¸˘a de ˆınmult¸irea matricelor p˘atrate de tip n × n). Coloana
j din matricea unitate va fi notat˘a e , deci
j
1
1 e = , e = , ... , e = ,
1 2 n
... ... ...
1 iar prin concatenare: I n = (e
1 | e 2 | ... | e n ) .
Propriet˘ at¸i.
- O este element neutru fat¸˘a de adunarea matricelor: O + A = A + O = A;
- matricea (−1)A := −A este elementul simetric al elementului A (pentru adunarea matricelor): A + (−A) = (−A) + A = O; - (M (R), +) este un grup abelian.
n,m
6. Matricea permut˘ arii π ∈ S n (i.e. π este o biject¸ie avˆand dome-
niul ¸si codomeniul {1, 2, ..., n}; se mai noteaz˘a tabelar astfel:
1 2 ... n π = ) este de tip n × n ¸si este definit˘a prin:
π(1) π(2) ... π(n) P = (p ), unde p = δ ,
π ij ij π(i)j
adic˘a matricea P π are pe linia i doar elementul de pe coloana π(i) −
1
egal cu 1, ˆın rest 0. Deoarece π(i) = j dac˘a ¸si numai dac˘a i = π (j) urmeaz˘a c˘a putem scrie ¸si : − 1 P = δ
π iπ (j)
astfel c˘a putem afirma c˘a matricea permut˘arii π se obt¸ine din ma- −
1
tricea unitate I schimbˆand liniile ˆın raport cu π : linia π(i) din
n
1 2 3 4 I devine linia i din P . De exemplu, dac˘a π = ,
n π
2 3 1 4 atunci matricea permutarii π este 0 1 0 0 0 0 1 0 P π = . 1 0 0 0
0 0 0 1
Din definit¸ia determinant¸ilor (dac˘a A = (a ij ) ∈ M n,n (R) atunci det(A) :=
j1 n
j=1
P
jp ................ ................ ... ................ n
b
2j
a
j=1
P
j2 ... n
b
2j
a
j=1
P
b
mj
j=1 a 1j b j2 ... n
n
P
j=1
a 1j b j1
n
P
P
2j
j=1
a 1j b jp
n
P
j=1
a
a
b
= =
:2
ij
b
jk ik
= (AB
:1
| AB
| ... | AB
j=1
:p ) .
De exemplu a b c d x y
= ax + by cx + dy
, iar 6 −4 1 −1
3
3 =
a
P
j1 n
P
P
j=1
a
mj
b
j2 ... n
j=1
n
a
mj
b
jp
= =
X
x
(R), atunci P
π
x = x
π(1)
x
π(2) ...
π(n)
∈ M
.
7. ˆInmult¸irea matricelor. Dac˘a A = (a ij ) ∈ M m,n (R) iar B = (b
jk
) ∈ M
n,p
(R) produsul matricelor A ¸si B este o matrice de tip m × p obt¸inut˘a prin tehnica ˆınmult¸irii ”linie cu coloan˘a”, adic˘a A · B =
n,1
11
2
s∈S n
ε(s)a 1s(1) a 2s(2) · ... · a ns(n) , unde ε(s) ˆınseamn˘a sig-
natura permut˘arii s) urmeaz˘a c˘a ε(π) = det(P π );
ˆın exemplul de mai sus signatura permut˘arii π (i.e. ε(π) = (−1)
m(π) , unde m(π) este num˘arul tuturor inversiunilor permut˘arii π) este:
ε(π) = (−1)
= 1 = det(P
n
π ).
Dac˘a x = x
1
x
2 ...
x
a
a
np
22
12
... b
1p
b
21
b
... b
11
2p ... ... ... ...
b
n1
b
n2
... b
b
· b
12
... a
... a
1n
a
21
a
22
2n ... ... ... ...
a
m1
a
m2
... a
mn
6 .
ˆIn particular, dac˘a x
1
x
2
x = ∈ M (R), atunci
n,1
... x
m
a
11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n
21
1
22 2 2n n
a x + a x + . . . + a x
1 :1 2 :2 n :n
A · x = = x A +x A +...+x A .
........................................... a x + a x + . . . + a x
m1 1 m2 2 mn n
De exemplu a b x y ax + bz ay + bw = c d z w cx + dz cy + dw
1
5
1 2 −3 −12 12 ¸si −2 2 = .
0 −1
4 14 −6 3 −1 ′ Propriet˘ at¸i ale ˆınmult¸irii matricelor. Fie A ¸si A matrice de ′ tip m × n, B ¸si B de tip n × k ¸si C de tip k × ℓ. Atunci:
- (AB) C = A (BC) (asociativitatea ˆınmult¸irii matricelor ); ′ ′
- A (B + B ) = AB +AB (distributivitatea la stˆanga a ˆınmult¸irii
matricelor fat¸˘a de adunare); ′ ′
- (A + A ) B = AB+A B (distributivitatea la dreapta a ˆınmult¸irii
matricelor fat¸˘a de adunare);
- pentru orice scalar r, r (AB) = (rA) B = A (rB)
- dac˘a B = (B :1 | B :2 | ... | B :k ) , atunci AB = (AB :1 | AB :2 | ... | AB :k ) ;
T
- dac˘a π, σ ∈ S , atunci P P = I , iar P P = P ;
n π n π σ σπ
π- dac˘a π ∈ S m , atunci P π A = (P π A :1 | P π A :2 | ... | P π A :n ) =
a π(1)1 a π(1)2 ... a π(1)n a a ... a
π(2)1 π(2)2 π(2)n
π(i)j ij
= a = .
... ... ... ... a a ... a
π(m)1 π(m)2 π(m)n
Inversa matricei p˘atratice A este o matrice B de acela¸si tip astfel −
1
ˆıncˆat: AB = I = BA. Inversa matricei A se noteaz˘a cu A . O matrice care admite invers˘a se nume¸ste matrice inversabil˘ a, sau nesingular˘ a. O matrice care nu are invers˘a se nume¸ste matrice singular˘ a.
T −
−
1
1 * Dac˘a π ∈ S , atunci P = P = P . n π
π π
Matricea A este nesingular˘a dac˘a ¸si numai dac˘a det(A) 6= 0 (det(A) inversabil, dac˘a inelul R nu este corp).
De exemplu
1
1
1
1 1 −2 4 4 1 0
4 4 1 −2
= , =
3 2 0 1
3
2
3
1
3
1 − −
8
8
8
8 deci: −
1
1
1
1 −2
4
4
= .
3
2
3
1 −
8
8
- Dac˘a A ¸si B sunt matrice p˘atratice pentru care AB = I, atunci −
1 −
k
Dac˘a A este matrice p˘atratic˘a, not˘am A := A · A · ... · A ¸si | {z } − k − de k ori 1 k k −
De exemplu
3
5 6 941 942 = 8 7 1256 1255
¸si − 1255 942
3
− 5 6 2197 2197
= .
8 7 1256 941 − 2197 2197
Se verific˘a imediat c˘a (M (R), +, · ) este un inel, necomutativ,
n,nˆın general, ˆın care I n este elementul neutru fat¸˘a de ˆınmult¸irea ma- tricelor ”·”.
8. Un sistem liniar de m ecuat¸ii cu n necunoscute avˆand coeficient¸ii a din corpul R (la noi R, C, ori Z ):
ij p
a x + a x + . . . + a x = b
11
1
12 2 1n n
1
a x + a x + . . . + a x = b
21
1
22 2 2n n
2
(1) ........................................................ a m1 x
1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n = b n
se poate scrie matriceal astfel: Ax = b, adic˘a
x b
1
1
a a a ... a
11
12 13 1n
2 b
2
x
21
22 23 2n
a a a ... a
=
... ... ... ... ...
... ... a a a ... a
m1 m2 m3 mn
x n b m unde A = (a ) ∈ M (R) este matricea coeficient¸ilor sistemului
ij m,n
(1), x
1
2
x
n,1
x = ∈ M (R)
... x n este matricea coloan˘a a necunoscutelor, iar
b
1
2
b
m,1
b = ∈ M (R)
... b
m
este matricea coloan˘a a termenilor liberi. Un asemenea sistem poate fi incompatibil, i.e. mult¸imea solut¸iilor S este vid˘a (S = ∅),
compatibil determinat, i.e. sistemul are solut¸ie unic˘a, sau compati- bil nedeterminat i.e. sistemul are mai multe solut¸ii (o infinitate ˆın
cazul R = R, sau R = C, o putere a lui p dac˘a R = Z , p prim).
p
Teorema Kronecker-Capelli. Sistemul (1) este compatibil dac˘a ¸si numai dac˘a rang(A) = rang(A), unde A = (A | b) este matricea extins˘a a matricei A (i.e. matricea
A bordat˘a (concatenat˘a) cu coloana termenilor liberi b): a a ... a b
11 12 1n
1
a a ... a b
21 22 2n
2
A = . ... ... ... ... ... a a ... a b
m1 m2 mn m
Un sistem de forma a x + a x + . . . + a x = b
11
1
12 2 1n n
1
a x + . . . + a x = b
22 2 2n n
2 ................................
a nn x n = b n unde a 6= 0 pentru orice i, se rezolv˘a prin metoda substitut¸iei
ii
inverse (i.e. obt¸inem x n din ultima ecuat¸ie, apoi x n−1 din penul- tima etc.) ¸si are ca matrice o matrice superior triunghiular˘ a, adic˘a a ij = 0, ori de cˆate ori j < i :
a a ... a
11 12 1n
a ... a
22 2n
; (2)
... ... ... ...
0 a
nn
dac˘a ˆın plus coeficient¸ii a au tot¸i valoarea 1 spunem c˘a matricea
ii a.
este diagonal unitar˘ Un sistem ˆın care a 6= 0, i = 1, n de forma
ii
a x = b
11
1
1
a
12 x 2 + a 22 x 2 = b
2 ............................................. ......
a n1 x
1 + a n2 x 2 + . . . + a nn x n = b n
se rezolv˘a prin metoda substitut¸iei directe iar matricea aces- tuia este inferior triunghiular˘ a.
9. Matricea S = (s ) ∈ M (R) pentru care:
ij m,n
- dac˘a o linie este nul˘a, e.g. S i: = (0 0 ... 0), atunci toate liniile
de sub aceasta sunt nule, deci S = (0 0 ... 0), pentru orice k ≥ i; k:
- dac˘a primul element nenul de pe o linie S este s atunci ele-
i: ij mentele de pe coloanele precedente inclusiv S (i.e. S , S , ... , S )
:j :1 :2 :j aflate sub linia i sunt nule (i.e. s = 0, pentru orice ℓ > i ¸si k ≤ j)
ℓk
a pe linii
se nume¸ste matrice scar˘ ; elementul s se nume¸ste ij pivot .
Matricea (2) este o matrice scar˘a pe linii; de asemenea matricele
2 1 −1 3 1 2 3 4 5 −1 −2 0 0 8 9
7 2 0 4 0 6
0 0 2 5 0 0 3 5
, , 0 0 11 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
sunt matrice scar˘a pe linii, iar matricele
2 1 −1 3 1 2 3 4 5 −1 −2 0 0 8 9 1 13
2 5 0 0 3 5
7 2 0 4 0 6
, , 3 0 0 0 0 11 0 0 0 0
11 0 0 0 0 1 0 0 0 1 nu au forma scar˘a. Orice matrice diagonal˘a este matrice scar˘a pe linii. ˆIn particular, I este o matrice scar˘a pe linii.
n
10. Transform˘ ari elementare. Fie sistemul liniar de m ecuat¸ii cu n
necunoscute (1) cu mult¸imea solut¸iilor S ; not˘am ecuat¸ia a i-a cu
L , adic˘a:
i i1 1 i2 2 in n i Un sistem echivalent cu sistemul (1) este un sistem liniar de m ecuat¸ii cu n necunoscute pentru care mult¸imea solut¸iilor este tot S.
ari elementare Urm˘atoarele transform˘ :
- interschimbarea a dou˘a ecuat¸ii: L ↔ L ;
i k
1
- multiplicarea unei ecuat¸ii cu un element nenul λ ∈ R: λL →
i 1 L i ; Dac˘ a R este doar inel, ,,nenul” trebuie ˆınlocuit cu ,,inversabil”
- multiplicarea unei ecuat¸ii cu un element λ ∈ R ¸si adunarea rezul-
tatului la alt˘a ecuat¸ie: λL + L → L , i k k conduc la un sistem echivalent.
Lor le corespund transform˘ arile elementare efectuate asupra matricei A = (a ) ∈ M (R) pe linii:
ij m,n
- interschimbarea a dou˘a linii: L ↔ L o numim transfor-
i: k:
mare de tip 1;
- multiplicarea unei linii cu un element nenul λ ∈ R : λL →
i:
L i: - transformare de tip 2;
- multiplicarea unei linii cu un element λ ∈ R ¸si adunarea
rezultatului la alt˘a linie: λL + L → L - transformare de tip
i: k: k: 3.
Metoda lui Gauss: aplicˆand succesiv transform˘ari elementare
asupra matricei extinse a sistemului (1) pˆan˘a ajungem la forma
scar˘a, obt¸inem mult¸imea solut¸iilor S.Metoda Gauss-Jordan presupune ˆın plus fat¸˘a de metoda Gauss: ◦ transformarea fiecarui pivot ˆın 1; ◦ anularea succesiv˘a a tuturor celorlalte elemente de pe coloana pivotului. a redus˘ a Matricea astfel obtinut˘a se nume¸ste matrice scar˘ . Exemplul. 1. S˘a se rezolve sistemul:
3x + 4x + x + 2x = 3
1
2
3
4
6x + 8x + 2x + 5x = 7
1
2
3
4
9x +12x + 3x + 10x = 13
1
2
3
4 prin metoda Gauss.
Rezolvare. Ata¸s˘am sistemului matricea sa extins˘a
3
4
1
2
3 7
A =
6
8
2
5 9 12 3 10
13 ¸si efectu˘am transform˘ari elementare pe linii pentru a obt¸ine o form˘a scar˘a. Pentru a forma zerouri pe prima coloan˘a alegem pivotul a
11 = 3 (c˘aci a 11 6= 0) ¸si efectu˘am transform˘arile −2L 1 + L 2 → L
2
¸si −3L + L → L ; obt¸inem:
1
3
3
A ∼ 0 0 0 1 1 ; 0 0 0 4
4 din ultimile dou˘a linii rezult˘a c˘a x = 1, iar din prima linie obt¸inem
4
x = 1 − 3x − 4x . Deci sistemul nostru este compatibil (dublu)
3
1
2
nedeterminat, iar mult¸imea solut¸iilor sale este: S = {(α, β, 1 − 3α − 4β, 1) | α, β ∈ R } . Dac˘a lu˘am R corpul claselor de resturi modulo 2 atunci avem patru solut¸ii: S = {(0, 0, 1, 1) , (1, 0, 0, 1) , (0, 1, 1, 1) , (1, 1, 0, 1)} .
Exemplul. 2. S˘a se rezolve sistemul:
8x + 6x + 5x + 2x =
21
1
2
3
4
3x + 3x + 2x + x =
10
1
2
3
4
4x + 2x + 3x + x =
8
1
2
3
4
3x + 5x + x + x =
15
1
2
3
4
7x + 4x + 5x + 2x =
18
1
2
3
4 prin metoda Gauss-Jordan.
Rezolvare. Ata¸s˘am sistemului matricea sa extins˘a:
8 6 5 2
21 3 3 2 1
10
A = 4 2 3 1
8 3 5 1 1
15 7 4 5 2
18 ¸si efectu˘am transform˘ari elementare pe linii pentru a obt¸ine o form˘a
scar˘a redus˘a. Pentru a obt¸ine pivotul 1 pe prima linie putem s˘a
ˆınmult¸im linia a 5-a cu (−1) ¸si s˘a adun˘am rezultatul la prima linie, adic˘a s˘a efectu˘am transformarea elementar˘a: −L + L → L :
5
1
1
3 1 2 0 0 3 3 2 1
10
A ∼ 8 , 4 2 3 1 3 5 1 1
15
18 7 4 5 2 ceea ce permite crearea de zerouri sub pivotul 1 al primei linii: −3L
1 +L 2 → L 2 , −4L 1 +L 3 → L 3 , −L 2 +L 4 → L 4 , −7L 1 +L 5 → L 5 ,
adic˘a obt¸inem matricea echivalent˘a:
1
2
3
−3
2
1
1
A ∼ −6
3 1 −4 . 2 −1 0 5 0 −10
5 2 −3 Asem˘an˘ator proced˘am cu celelalte coloane: pe coloana a II-a for- m˘am un pivot 1 ¸si zerouri ˆın rest, etc. De exemplu, cu −L + L → L , 2L + L → L :
4
1
1
4
2
2
1 1 −2
1
1 11 ^ − 2 4 4
2L + L → L
4 5 5
5L + L → L
A ∼ −6
3 1 −4 4 3 3
3L + L → L
2 −1 0 5 0 −10 5 2 −3
1 0 1 −2
1
11 − L ↔ L 4 3 − 3 5 → 5
0 1
2L + L L
1
11 ^ 4 1 → 1 L + L L
0 0
0 0 −1 −2 −17 0 0
2
22 1 0 0 −2 −19 1 0 0 0
3 0 1 0
1 11 0 1 0 0 4 ^ 1 1
2L + L → L
0 0 1
2 17 0 0 1 0 −5 , − 4 2 → 2 L +L L
11
0 0 0 1 11 0 0 0 1 − 4 3 3
2L +L → L
0 0 0 0 0 0 0 deci mult¸imea solut¸iilor este format˘a dintr-un singur element (sis- tem compatibil determinat): S = {(3, 0, −5, 11)} . Metoda Gauss-Jordan poate fi folosit˘a ¸si pentru calculul inversei unei matrice p˘atratice. Deoarece determinarea inversei B a unei matrice A revine la rezolvarea ecuat¸iei matriceale AB = I, iar AB = (AB | AB | ... | AB ), avem de determinat coloanele B ale
:1 :2 :n :i inversei din condit¸ia (AB | AB | ... | AB ) = (e | e | ... | e ).
:1 :2 :n
1 2 n
Pentru fiecare i avem de rezolvat sistemul AB = e . A¸sadar inver-
:i i
sarea unei matrice revine la rezolvarea a n sisteme, ˆıns˘a toate cu aceea¸si matrice a sistemului, A. Aceste sisteme se rezolv˘a simultan. Consider˘am a¸sadar matricea sistemului, extins˘a simultan cu toate coloanele de termeni liberi care ne intereseaz˘a. Am v˘azut ˆın ex- emplele de mai sus c˘a alegerea pa¸silor care trebuie efectuat¸i pentru rezolvarea unui sistem nu depind de coloana termenilor liberi, ci nu- mai de matricea sistemului. Atunci rezolvarea sistemelor AB = e
:i i poate fi f˘acut˘a simultan.
Propriet˘ at¸i induse de transform˘ ari elementare. Fie A o ma- trice, S o form˘a scar˘a a sa, iar S forma scar˘a redus˘a. Atunci: ◦ rang(A) = rang(S) = num˘arul de pivot¸i din S; ◦ forma scar˘a S nu este, ˆın general, unic˘a, ˆın schimb forma scar˘a
redus˘a S este unic˘a;
◦ dac˘a A este matrice p˘atratic˘a, I este matricea unitate de acela¸si tip ¸si efectu˘am transform˘ari elementare asupra matricei (A | I ) ′ pˆan˘a la forma (S | I ) atunci: ′ −
1
· dac˘a S = I rezult˘a c˘a I = A , iar · dac˘a S 6= I rezult˘a c˘a matricea A este singular˘a. ◦ dac˘a A este matrice p˘atratic˘a nesingular˘a, putem calcula pro- −
1 dusul A B efectuˆand transform˘ari elementare asupra matricei −
1
(A | B) pˆan˘a la forma (I | C); astfel C = A B; ◦ transform˘arile elementare asupra matricei A se exprim˘a ma-
triceal cu ajutorul matricelor elementare de tip 1, 2 ¸si 3
i(P , E (λ), respectiv E (λ), inversabile, definite mai jos) astfel:
(i,k) ik
· pentru transformarea de tip 1: L i: ↔ L k: noua matrice este produsul P A, unde P este matricea transpozit¸iei
(i,k) (i,k)
1 2 ... i ... k ... n −
1
(i, k) = ; desigur P = P deci inversa
(i,k) (i,k)
1 2 ... k ... i ... n
unei transform˘ari de tip 1 este o transformare de tip 1 ;
· pentru transformarea de tip 2: λL → L noua matrice
i: i: i i
este produsul E (λ)A, unde cu E (λ) am notat matricea unitate I −
i
1
avˆand intrarea (i, i) modificat˘a ˆın λ (ˆın loc de 1); cum (E (λ))
i −
1
=E (λ ), urmeaz˘a c˘a inversa unei transform˘ari de tip 2 este o
transformare de tip 2 ;
· pentru transformarea de tip 3: λL + L → L , noua ma-
i: k: k:
trice este produsul E ik (λ)A, unde cu E ik (λ) am notat matricea uni- tate I avˆand intrarea (k, i) modificat˘a ˆın λ (ˆın loc de 0); deoarece −
1
(E ik (λ)) = E ik (−λ), rezult˘a c˘a inversa unei transformari de tip 3 este o transformare de tip 3 .
11. Descompunerea LU a unei matrici p˘ atratice. Spunem c˘a ma- tricea nesingular˘a A = (a ) ∈ M (R) admite factorizare
ij n,n
(descompunere) LU dac˘a exist˘a dou˘a matrice L, U ∈ M (R),
n,n
astfel ca A = LU, L fiind o matrice inferior triunghiular˘a diagonal
2 unitar˘a, iar U o matrice superior trunghiular˘a , i.e. L, respectiv
U sunt de forma:
1 ... u u ... u
11 12 1n
21
l 1 ...
u ... u
22 2n
L = l
31 l 32 ... , U = .
... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 u
nn
l n1 l n2 ... l n,n−1
1 Propriet˘ at¸i. Fie A o matrice p˘atratic˘a nesingular˘a de tip n × n. ◦ Dac˘a A poate fi transformat˘a ˆıntr-o matrice scar˘a U folosind
doar matrice elementare de tip 3, de forma E (λ) cu i < j, atunci ij
A admite descompunere LU. De fapt dac˘a U = E E ...E A
k k−1
1
unde E , ..., E sunt matrice elementare de tip 3, de forma E (λ)
1 k − ij 1 −
1
cu i < j, atunci L = E ...E , iar A = LU.1 2 k
Literele ,,L” ¸si ,,U” provin de la ,,Lower”, respectiv ,,Upper triangular matrix”.
◦ Matricea A = (a ij ) admite descompunere LU dac˘a ¸si numai dac˘a
2 1 −1 −
∼
3
2
5
3
2
4
1
2 1 −1 3 1 −1
); obt¸inem: A =
2 −1
3
2
(
34
(−1) ¸si, ˆın sfˆar¸sit, cu E
24
(8) ¸si E
23
, adic˘a ˆınmult¸im la stˆanga cu matricele elemenare E
2
1
1
5
22
2 −1
46
2 −6 23
5
2 −1
1
2 1 −1 0 −
∼
4
23
2 −6
5
1
2
2 1 −1 0 −
∼ ∼
2
5
3
2
1
3 −
2
4
= −
), apoi form˘am zerouri pe a doua coloan˘a folosind ca pivot elementul a
minorii principali ∆
12
... a
12
a
11
= det(A) = a
n
, ... , ∆
22
a
21
a
11 a
a
= a
2
| , ∆
11
= |a
1
n
sunt nenuli, unde: ∆, ..., ∆
2
, ∆
1
1n
21 a 22 ... a 2n . . ... .
2
Rezolvare. ˆIncerc˘am s˘a aplic˘am doar transformari elementare de
5
(−
14
), E
2
3
(−
12
ˆınseamn˘a de fapt c˘a ˆınmult¸im, la stˆanga, matricea A succesiv cu matricele elementare: E
11 = 2; aceasta
tip 3 asupra matricei A pˆana la forma scar˘a U . Form˘am zerouri pe prima coloan˘a folosind ca pivot elementul a
3 .
a n1 a n2 ... a nn . ◦ Dac˘a exist˘a dou˘a permut˘ari π, σ ∈ S
3 5 2
2
1 0 4
3 1 −1
2 1 −1
. Exemplu. S˘a se descompun˘a ˆın produs LU matricea: A =
T σ
LU P
T π
P π AP σ s˘a admit˘a descompunere LU , atunci A = P
n astfel ˆıncˆat matricea
3 = U.
Deci am obt¸inut U = E
1
, rezult˘a descompunerea A = LU =
1
3
2
2 1 −
5
1
1 0 −8
2
3
1
) = =
2
3
2
(−
34
(1)E
24
(−8)E
23
)E
2
5
(
14
3
1 0 −8
2
x + 2y − z = 1
x + 2y = 3
2 (g)
3 3x + 4y = −11 5x + 6y =
x + 2y =
2x − y − z = 0 (f)
6x + 3y + 2z = 3 (e) x + y + z = 3
2x + y − z = 1 4x + 2y − z = 2
(d)
2x − y + z = 2 5x − y = 3
x + y − 2z = 1
3x − z = 3 (c)
(b) y + 2z = 1 x − y + 2z = 2
2x + z = 2 4x − y + 5z = 7
1. Rezolvat¸i sistemele de mai jos folosind metoda lui Gauss: (a)
1
3 .
46
2 −6 23
5
2 −1
1
2 1 −1 0 −
1
3
2
2 1 −
5
)E
3
34
(−
23
(−1)E
24
)E
3
2
(
34
= E ik (−λ)), A = E
1
)A, sau, echivalent (aplicˆand formula (E ik (λ)) −
2
3
12
14
)E
2
5
(−
14
(8)E
23
(−1)E
24
)E
3
2
(
(8)E
(−
(
(
12
Luˆand L = E
3 )U.
2
(−
34
(1)E
24
(−8)E
23
)E
2
5
14
5
)E
2
3
(
12
=E
1 U =
) −
2
3
(−
12
)E
2
4x + 5y = 6 7x + 8y = 9 .
Rezolvare. (a) Vom folosi notat¸ia matriceal˘a ¸si vom efectua operat¸ii
1 2 −1 1 4 −1
5
7 Deoarece a = 1 6= 0, putem considera a drept pivot. Pentru
11
11
a provoca zerouri dedesubtul pivotului, adun˘am mai ˆıntˆai la linia a doua prima linie ˆınmult¸˘a cu −2 (¸si vom face 0 coeficientul lui x din ecuat¸ia a doua). Apoi vom aduna la linia a treia prima linie
ˆınmult¸it˘a cu −4, f˘acˆand astfel 0 ¸si coeficientul lui x din ecuat¸ia a treia. Avem succesiv:
1 2 −1 1
1 2 −1 1
A ∼ −4 3 ∼ −4 3 . Pe coloana a 4 −1 5 7 −9 ′
9
3 doua alegem pivot pe a = −4 6= 0. Pentru a face 0 coeficientul lui
22
y din ecuat¸ia a treia (¸si a obt¸ine forma scar˘a a matricei A), adun˘am
9 la linia a treia linia a doua ˆınmult¸it˘a cu − . Obt¸inem
4
1 2 −1 1
−4
3
A ∼ . De aici se vede mai ˆıntˆai c˘a rang A =
9
3
4
4 3 (num˘arul pivot¸ilor), c˘a z = , apoi, din ecuat¸ia a doua, y = 1 ¸si,
3
1 ˆınlocuind ˆın prima ecuat¸ie, x = . A¸sadar sistemul este compatibil
3
1
4 determinat ¸si are solut¸ia unic˘a S = , 1, .
3
3 (b) Proced˘am la fel ca la exercit¸iul precedent. Observ˘am ˆıns˘a c˘a e- lementul din colt¸ul din stˆanga-sus al matricei extinse A este a = 0,
11
deci nu poate fi luat pe post de pivot. ˆIn acest caz, vom schimba ordinea ecuat¸iilor astfel ˆıncˆat ˆın colt¸ul amintit s˘a avem un ele- ment nenul. Schimbˆand ˆıntre ele primele dou˘a linii ale matricei A, obt¸inem 1 −1
2
2 3 −1 3 Pentru a face 0 ¸si coeficientul lui x de pe linia a treia (cel de pe linia a doua este deja 0), vom aduna la cea de-a treia linie prima
1 −1
2
2 linie ˆınmult¸it˘a cu −3. Atunci A ∼ . Alegem
1
2
1 ′ 3 −7 −3 a = 1 6= 0 drept pivot. Pentru a face 0 coeficientul lui y din
22
ecuat¸ia a treia, adun˘am la ultima linie a matricei obt¸inute linia a 1 −1
2
2 doua ˆınmult¸it˘a cu −3. Obt¸inem: A ∼ .
1
2
1 −13 −6
6 De aici se vede mai ˆıntˆai c˘a rang A = 3, c˘a z = , apoi, din