Kumpulan Contoh Jurnal Matematika Murni | 180 550 1 PB
IDEAL c-MAKSIMAL DARI RING BERHINGGA
AL. Mujtahiddin
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
E-mail: al.mujtahiddin4@gmail.com
Abstrak. Ideal adalah salah satu teori yang berkaitan dengan ring. Ideal didefinisikan sebagai himpunan tak kosong dari ring
yang merupakan subgrup dari grup dengan operasi penjumlahan dan memenuhi untuk setiap elemen ideal dan elemen ring
maka pergandaan antara elemen tersebut merupakan elemen ideal. Suatu ideal disebut maksimal jika ideal tersebut tidak
sama dengan ring dan tidak terdapat ideal lain sedemikian sehingga ideal tersebut hanya termuat di dalam ring. Sedangkan
suatu ideal dari ring berhingga disebut c-maksimal jika terdapat ideal N dari R sedemikian sehingga penjumlahan antara
ideal H dan N sama dengan R dan irisan ideal H dan N adalah subring dari ideal maksimal pada R yang termuat di H. Setiap
Ideal dari ring berhingga adalah ideal c-maksimal. Setiap ideal dari ring dan ideal dari subring adalah ideal c-maksimal dari
subring. Ideal dari ring berhingga adalah ideal c-maksimal dari ring faktornya dan ideal dari ring faktor adalah ideal
c-maksimal dari ringnya.
Kata Kunci: Ideal, Ideal c-Maksimal, Ring Berhingga
1. PENDAHULUAN
Teori yang berkaitan dengan ring adalah ideal. Ideal didefinisikan sebagai himpunan bagian tak
kosong dari ring yang merupakan subgrup dari grup dengan operasi penjumlahan dan memenuhi untuk
setiap elemen ideal dan elemen ring maka pergandaan antara elemen ideal dengan elemen ring
merupakan elemen ideal. Suatu ideal dikatakan maksimal jika hanya jika ideal tidak termuat dalam
ideal lain selain di ring.
Konsep ideal mengalami banyak perkembangan. Dalam paper Y. Wang (1996) yang berjudul
“c-Normality of Group and Its Properties” memperkenalkan konsep c-subgrup normal yang menjadi
inspirasi bagi Mohammad Tashtousht (2008) untuk mengembangkannya dalam paper yang berjudul
“Weakly c-Normal and Cs-Normal Subgroups of Finite Groups”. Selanjutnya Mohammad Tashtoush
dan Musa Jawarneh (2011) memperkenalkan konsep ideal c-maksimal dari ring berhingga dalam
paper yang berjudul “c-Maximal Ideal of Finite Ring”. Dalam paper tersebut, diberikan adalah ring
dengan ideal-idealnya. Ideal dikatakan ideal c-maksimal jika memenuhi syarat-syarat tertentu.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 1. Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ring . disebut ideal kiri (kanan) dari
R jika memenuhi:
berlaku
,
(i) untuk setiap
(ii) untuk setiap
dan
berlaku
disebut ideal kanan (kiri).
dan setiap ideal adalah subring (Rotman, 2009).
Ideal dikatakan ideal dua sisi jika memenuhi
Contoh 1. Diberikanring
, maka
adalah ideal
kanan.
Definisi 2. Misalkan adalah ring.
adalah ideal dari
tidak terdapat ideal dari sedemikian sehingga
Contoh 2. Diberikan ring
.
adalah ideal maksimal dari
Teorema 1. Misalkan adalah ring dengan subring
(Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Bukti: Akan dibuktikan
dan (ii)
disebut maksimal jika ideal
(Grillet, 2007).
. Jika
dan
.
, maka
artinya ditunjukkan bahwa (i)
.
295
(i) Diketahui bahwa
, misalkan
, karena
maka
. Karena
Pandang
dan
subring, berlaku tertutup terhadap pergandaan sehingga
itu,
. Jadi terbukti bahwa
.
(ii) Misalkan
artinya
dan
. Karena
dan
. Akan ditunjukkan
Karena
maka
dengan
dan
maka
Karena
dan
dengan
dan
maka
sehingga
.
Contoh 3. Diberikan ring
artinya
dan
dan adalah
. Oleh karena
maka
, maka
dengan
artinya
, sehingga
Oleh karena itu,
. Jadi terbukti bahwa
■
dengan masing-masing subringnya adalah sebagai berikut.
,
. Jadi terbukti
.
Teorema 2. Misalkan adalah ring. Jika
(Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Bukti: (i) Misalkan
dengan
dengan
maka
dan
dan
adalah ideal dari
dan
dan
, sehingga
. Jadi
sehingga untuk
dengan
karena adalah ideal. Oleh karena itu,
dan
Berdasarkan (i) dan (ii) jadi
adalah ideal dari .
dengan
Teorema 3. Misalkan
adalah ring dengan subring
adalah ideal dari (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
(ii) Misalkan
karena
maka
dan
adalah ideal dan
.
■
dan
. Jika
adalah ideal dari
adalah ideal dari
artinya
dan
berlaku
Bukti. (i) Misalkan
sehingga
. (ii) Misalkan
artinya
dan
dan
sehingga
. Berdasarkan (i) dan (ii) jadi
Contoh 5. Diberikan
ring dengan
adalah ideal dari .
ideal, maka
adalah ideal dari
dengan
dan
dan
Contoh 4. Diberikan ring
adalah ideal
.
maka
. Jadi
maka
dan
,
dan untuk
, berlaku
adalah ideal dari . ■
adalah subring dan
adalah
Teorema 4. Misalkan adalah ring dengan subring
dan
serta ideal
dan
.
jika dan hanya jika
(Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
sedemikian sehingga
Bukti.
Diketahui
dibuktikan bahwa
dan
, dan
sehingga
dengan
,
artinya akan ditunjukkan bahwa
. Ambil
untuk setiap
.
. Akan
,
296
maka
untuk
setiap
dan
.
Serta
jika
.
maka
Jadi terbukti bahwa
.
Diketahui
. Akan ditunjukkan bahwa
. Untuk setiap
terdapat
,
dan
sedemikian sehingga
.
maka
dengan
dan
. Dan untuk setiap
Karena
maka
kerena
dan untuk setiap
maka
karena
. Jadi
sehingga
dengan
. Oleh karena itu,
.
■
Contoh 6. Diberikan ring
dengan subringnya yaitu
serta
adalah ideal dari . Jadi
jika dan hanya jika
dan
.
adalah ring berhingga dengan
adalah ideal dari .
Definisi 3. Misalkan
c-maksimal jika terdapat ideal dari sedemikian sehingga
dan
adalah ideal maksimal dari yang termuat di (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Contoh 7. Diberikan ring
dengan
Contoh 8. Diberikan ring
.
, maka ideal
adalah ideal c-maksimal dari .
adalah ideal c-maksimal dari
Teorema 5. Misalkan adalah ring. Jika
dari (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
disebut ideal
dengan
adalah ideal di ring
maka
.
adalah ideal c-maksimal
Bukti: Diketahui adalah ideal dari . Ditunjukkan bahwa adalah ideal c-maksimal dari . Oleh
karena adalah ideal dari dirinya sendiri maka
dan
. Sehingga adalah
ideal c-maksimaldari .
■
Contoh 9. Diberikan ring
.
Teorema 6. Misalkan
dari dengan
dan
adalah setiap ideal dari
.Jadi
adalah ideal c-maksimal dari
adalah ring. dan adalah subring dari . Jika adalah ideal c-maksimal
, maka adalah ideal c-maksimal dari (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Bukti: Diketahui
adalah ideal c-maksimal dari . Berdasarkan Definisi 3 terdapat ideal
dan
. Akan ditunjukkan
adalah ideal c-maksimal
sedemikian sehingga
, berdasarkan Teorema 1
dengan
dari . Oleh karena
adalah ideal dari
berdasarkan Teorema 3, serta
adalah ideal dari , sehingga
.
■
karena
Contoh 10. Diberikan ring
.
adalah ideal c-maksimal dari maka
dan
adalah subring dari
adalah ideal c-maksimal dari .
Teorema 7. Misalkan adalah ring. dan adalah masing-masing ideal dari dimana
adalah ideal c-maksimal dari
jika hanya jika
adalah ideal c-maksimal dari
(Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
. Jika
.
Bukti:
Diketahui adalah ideal c-maksimal dari . Berdasarkan Definisi 3 terdapat ideal dari
dan
Akan dibuktikan bahwa
adalah ideal
sedemikian sehingga
c-maksimal dari
. Berdasarkan Teorema 4 maka
dengan
297
adalah ideal di
.
Oleh karena itu,
Diketahui
sehingga
.
adalah ideal c-maksimal
.
adalah ideal c-maksimal dari
dan
. Maka terdapat
ideal c-maksimal. BerdasarkanTeorema 4, maka
adalah idealc-maksimal dari .
Contoh 11. Diberikan ring
dengan
dan
. Jadi adalah ideal c-maksimal dari jika dan hanya jika
dan
dari
sedemikian
. Akan dibuktikan
adalah
. Oleh karena itu,
■
adalah ideal dari
adalah ideal c-maksimal dari
.
3. KESIMPULAN
Misalkan adalah ring beringga dengan adalah ideal dari . disebut ideal c-maksimal jika
dan
dengan
adalah ideal maksimal
terdapat ideal sedemikian sehinga
yang termuat di . Serta berdasarkan pembahasan yang telah disajikan, maka dapat disimpulkan
bahwa 1. setiap ideal dari ring berhingga adalah idealc-maksimal,2. ideal dari ring berhingga dan
ideal dari subringnya adalah ideal c-maksimal dari subring, 3. ideal dari ring berhingga adalah ideal
c-maksimal dari ring faktornya dan sebaliknya ideal dari ring faktor adalah ideal c-maksimal dari
ringnya.
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Bambang Sugandi, Ibu Ari Andari dan Ibu
Vira Hari Krisnawati atas bimbingan, saran, ilmu serta kesabaran yang telah diberikan selama
penulisan artikel ini.
5. DAFTAR PUSTAKA
Grillet, P.A, (2007), Abstract Algebra 2nd, Springer, New York.
Rotman, J. J, (2003), Advance Modern Algebra, Prentice Hall, New Jersey.
Tashtoush, M. and Jawarneh, (2011), c-Maximal Ideal of Finite Rings, International Jurnal of
Algebra , 3, hal. 135-138.
298
AL. Mujtahiddin
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
E-mail: al.mujtahiddin4@gmail.com
Abstrak. Ideal adalah salah satu teori yang berkaitan dengan ring. Ideal didefinisikan sebagai himpunan tak kosong dari ring
yang merupakan subgrup dari grup dengan operasi penjumlahan dan memenuhi untuk setiap elemen ideal dan elemen ring
maka pergandaan antara elemen tersebut merupakan elemen ideal. Suatu ideal disebut maksimal jika ideal tersebut tidak
sama dengan ring dan tidak terdapat ideal lain sedemikian sehingga ideal tersebut hanya termuat di dalam ring. Sedangkan
suatu ideal dari ring berhingga disebut c-maksimal jika terdapat ideal N dari R sedemikian sehingga penjumlahan antara
ideal H dan N sama dengan R dan irisan ideal H dan N adalah subring dari ideal maksimal pada R yang termuat di H. Setiap
Ideal dari ring berhingga adalah ideal c-maksimal. Setiap ideal dari ring dan ideal dari subring adalah ideal c-maksimal dari
subring. Ideal dari ring berhingga adalah ideal c-maksimal dari ring faktornya dan ideal dari ring faktor adalah ideal
c-maksimal dari ringnya.
Kata Kunci: Ideal, Ideal c-Maksimal, Ring Berhingga
1. PENDAHULUAN
Teori yang berkaitan dengan ring adalah ideal. Ideal didefinisikan sebagai himpunan bagian tak
kosong dari ring yang merupakan subgrup dari grup dengan operasi penjumlahan dan memenuhi untuk
setiap elemen ideal dan elemen ring maka pergandaan antara elemen ideal dengan elemen ring
merupakan elemen ideal. Suatu ideal dikatakan maksimal jika hanya jika ideal tidak termuat dalam
ideal lain selain di ring.
Konsep ideal mengalami banyak perkembangan. Dalam paper Y. Wang (1996) yang berjudul
“c-Normality of Group and Its Properties” memperkenalkan konsep c-subgrup normal yang menjadi
inspirasi bagi Mohammad Tashtousht (2008) untuk mengembangkannya dalam paper yang berjudul
“Weakly c-Normal and Cs-Normal Subgroups of Finite Groups”. Selanjutnya Mohammad Tashtoush
dan Musa Jawarneh (2011) memperkenalkan konsep ideal c-maksimal dari ring berhingga dalam
paper yang berjudul “c-Maximal Ideal of Finite Ring”. Dalam paper tersebut, diberikan adalah ring
dengan ideal-idealnya. Ideal dikatakan ideal c-maksimal jika memenuhi syarat-syarat tertentu.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 1. Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ring . disebut ideal kiri (kanan) dari
R jika memenuhi:
berlaku
,
(i) untuk setiap
(ii) untuk setiap
dan
berlaku
disebut ideal kanan (kiri).
dan setiap ideal adalah subring (Rotman, 2009).
Ideal dikatakan ideal dua sisi jika memenuhi
Contoh 1. Diberikanring
, maka
adalah ideal
kanan.
Definisi 2. Misalkan adalah ring.
adalah ideal dari
tidak terdapat ideal dari sedemikian sehingga
Contoh 2. Diberikan ring
.
adalah ideal maksimal dari
Teorema 1. Misalkan adalah ring dengan subring
(Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Bukti: Akan dibuktikan
dan (ii)
disebut maksimal jika ideal
(Grillet, 2007).
. Jika
dan
.
, maka
artinya ditunjukkan bahwa (i)
.
295
(i) Diketahui bahwa
, misalkan
, karena
maka
. Karena
Pandang
dan
subring, berlaku tertutup terhadap pergandaan sehingga
itu,
. Jadi terbukti bahwa
.
(ii) Misalkan
artinya
dan
. Karena
dan
. Akan ditunjukkan
Karena
maka
dengan
dan
maka
Karena
dan
dengan
dan
maka
sehingga
.
Contoh 3. Diberikan ring
artinya
dan
dan adalah
. Oleh karena
maka
, maka
dengan
artinya
, sehingga
Oleh karena itu,
. Jadi terbukti bahwa
■
dengan masing-masing subringnya adalah sebagai berikut.
,
. Jadi terbukti
.
Teorema 2. Misalkan adalah ring. Jika
(Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Bukti: (i) Misalkan
dengan
dengan
maka
dan
dan
adalah ideal dari
dan
dan
, sehingga
. Jadi
sehingga untuk
dengan
karena adalah ideal. Oleh karena itu,
dan
Berdasarkan (i) dan (ii) jadi
adalah ideal dari .
dengan
Teorema 3. Misalkan
adalah ring dengan subring
adalah ideal dari (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
(ii) Misalkan
karena
maka
dan
adalah ideal dan
.
■
dan
. Jika
adalah ideal dari
adalah ideal dari
artinya
dan
berlaku
Bukti. (i) Misalkan
sehingga
. (ii) Misalkan
artinya
dan
dan
sehingga
. Berdasarkan (i) dan (ii) jadi
Contoh 5. Diberikan
ring dengan
adalah ideal dari .
ideal, maka
adalah ideal dari
dengan
dan
dan
Contoh 4. Diberikan ring
adalah ideal
.
maka
. Jadi
maka
dan
,
dan untuk
, berlaku
adalah ideal dari . ■
adalah subring dan
adalah
Teorema 4. Misalkan adalah ring dengan subring
dan
serta ideal
dan
.
jika dan hanya jika
(Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
sedemikian sehingga
Bukti.
Diketahui
dibuktikan bahwa
dan
, dan
sehingga
dengan
,
artinya akan ditunjukkan bahwa
. Ambil
untuk setiap
.
. Akan
,
296
maka
untuk
setiap
dan
.
Serta
jika
.
maka
Jadi terbukti bahwa
.
Diketahui
. Akan ditunjukkan bahwa
. Untuk setiap
terdapat
,
dan
sedemikian sehingga
.
maka
dengan
dan
. Dan untuk setiap
Karena
maka
kerena
dan untuk setiap
maka
karena
. Jadi
sehingga
dengan
. Oleh karena itu,
.
■
Contoh 6. Diberikan ring
dengan subringnya yaitu
serta
adalah ideal dari . Jadi
jika dan hanya jika
dan
.
adalah ring berhingga dengan
adalah ideal dari .
Definisi 3. Misalkan
c-maksimal jika terdapat ideal dari sedemikian sehingga
dan
adalah ideal maksimal dari yang termuat di (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Contoh 7. Diberikan ring
dengan
Contoh 8. Diberikan ring
.
, maka ideal
adalah ideal c-maksimal dari .
adalah ideal c-maksimal dari
Teorema 5. Misalkan adalah ring. Jika
dari (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
disebut ideal
dengan
adalah ideal di ring
maka
.
adalah ideal c-maksimal
Bukti: Diketahui adalah ideal dari . Ditunjukkan bahwa adalah ideal c-maksimal dari . Oleh
karena adalah ideal dari dirinya sendiri maka
dan
. Sehingga adalah
ideal c-maksimaldari .
■
Contoh 9. Diberikan ring
.
Teorema 6. Misalkan
dari dengan
dan
adalah setiap ideal dari
.Jadi
adalah ideal c-maksimal dari
adalah ring. dan adalah subring dari . Jika adalah ideal c-maksimal
, maka adalah ideal c-maksimal dari (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Bukti: Diketahui
adalah ideal c-maksimal dari . Berdasarkan Definisi 3 terdapat ideal
dan
. Akan ditunjukkan
adalah ideal c-maksimal
sedemikian sehingga
, berdasarkan Teorema 1
dengan
dari . Oleh karena
adalah ideal dari
berdasarkan Teorema 3, serta
adalah ideal dari , sehingga
.
■
karena
Contoh 10. Diberikan ring
.
adalah ideal c-maksimal dari maka
dan
adalah subring dari
adalah ideal c-maksimal dari .
Teorema 7. Misalkan adalah ring. dan adalah masing-masing ideal dari dimana
adalah ideal c-maksimal dari
jika hanya jika
adalah ideal c-maksimal dari
(Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
. Jika
.
Bukti:
Diketahui adalah ideal c-maksimal dari . Berdasarkan Definisi 3 terdapat ideal dari
dan
Akan dibuktikan bahwa
adalah ideal
sedemikian sehingga
c-maksimal dari
. Berdasarkan Teorema 4 maka
dengan
297
adalah ideal di
.
Oleh karena itu,
Diketahui
sehingga
.
adalah ideal c-maksimal
.
adalah ideal c-maksimal dari
dan
. Maka terdapat
ideal c-maksimal. BerdasarkanTeorema 4, maka
adalah idealc-maksimal dari .
Contoh 11. Diberikan ring
dengan
dan
. Jadi adalah ideal c-maksimal dari jika dan hanya jika
dan
dari
sedemikian
. Akan dibuktikan
adalah
. Oleh karena itu,
■
adalah ideal dari
adalah ideal c-maksimal dari
.
3. KESIMPULAN
Misalkan adalah ring beringga dengan adalah ideal dari . disebut ideal c-maksimal jika
dan
dengan
adalah ideal maksimal
terdapat ideal sedemikian sehinga
yang termuat di . Serta berdasarkan pembahasan yang telah disajikan, maka dapat disimpulkan
bahwa 1. setiap ideal dari ring berhingga adalah idealc-maksimal,2. ideal dari ring berhingga dan
ideal dari subringnya adalah ideal c-maksimal dari subring, 3. ideal dari ring berhingga adalah ideal
c-maksimal dari ring faktornya dan sebaliknya ideal dari ring faktor adalah ideal c-maksimal dari
ringnya.
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Bambang Sugandi, Ibu Ari Andari dan Ibu
Vira Hari Krisnawati atas bimbingan, saran, ilmu serta kesabaran yang telah diberikan selama
penulisan artikel ini.
5. DAFTAR PUSTAKA
Grillet, P.A, (2007), Abstract Algebra 2nd, Springer, New York.
Rotman, J. J, (2003), Advance Modern Algebra, Prentice Hall, New Jersey.
Tashtoush, M. and Jawarneh, (2011), c-Maximal Ideal of Finite Rings, International Jurnal of
Algebra , 3, hal. 135-138.
298