Kumpulan Contoh Jurnal Matematika Murni | 191 344 1 SM
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
TEOREMA TITIK TETAP BANACH
Esih Sukaesih
Abstrak
Ruang Banach menjamin setiap barisan akan konvergen ke vektor di ruang tersebut.
Barisan iterasi yang kontraktif menjamin bahwa barisan tersebut akan konvergen ke suatu
titik. Kedua hal di atas yang menjamin keberadaan titik tetap pada operator kontraktif di
ruang Banach. Selain menunjukkan titik tetap pada ruang Banach, akan diberikan juga
beberapa aplikasi titik tetap. Kata-kata kunci: ruang metrik lengkap, operator kontraktif
dikenal sebagai Teorema Titik Tetap
Pendahuluan
Teorema titik tetap pertama kali
Banach.
Berikut ini diperkenalkan beberapa
diperkenalkan oleh L. E. J. Brouwer
pada
tahun
1912
yakni
pemetaan
Definisi
kontinu T pada bola tutup satuan di
mempunyai paling sedikit satu titik
tetap, yakni titik
=
sehingga
definisi dalam metrik.
.
pada tahun 1922 untuk membuktikan
teorema keberadaan titik tetap dalam
teori
waktu
persamaan
yang
menemukan
differensial.
sama,
S.
menemukan
Pada
Banach
teorema
kontraksi titik tetap atau lebih umum
Ruang
adalah himpunan
metrik ( ; )
dan metrik pada
didefinisikan sebagai fungsi
Teorema titik tetap Brouwer digunakan
oleh G. D. Birkho dan O. D. Kellog
[6]
1.
→ ℝ, yang memenuhi:
∈
,
2.
( ; ) = 0
untuk
∶ ×
setiap
, dan ( ; ) > 0 untuk setiap
∈ , dengan ≠ .
( ; ) = ( ; )
untuk
setiap , ∈ .
3.
( ; ) ≤ ( ; ) + ( ; )
untuk setiap , , ∈ .
114
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
Definisi
[7] Barisan bilangan real
(barisan di
) adalah fungsi yang
terdefinisi
pada
{ 1,2,3, …} = ℕ
bilangan
dengan
asli
range
pada
himpunan bilangan real.
Definisi
Barisan (
[6]
konvergen
lim
disebut
∈
ke
(
→∞
)
jika
, ) = 0. Ditulis (
Definisi [6] Barisan (
terdapat bilangan
bilangan
(
asli
) < .
;
Atau dapat dituliskan, (
barisan
terdapat
fungsi
konstanta
( ( ); ( )) ≤
setiap , ∈
Lipshitz. Jika
, →∞
,
( ; )
Jika
untuk
disebut fungsi
∈ ( 0, 1) maka disebut
fungsi kontraktif.
dirinya sendiri, yakni,
adalah peta
peta
oleh
∈
∶ →
yang dipetakan ke
=
adalah .
berlaku
Titik Tetap Banach
Teorema
titik
merupakan
suatu
tetap
Banach
) adalah
Cauchy
(
→ℝ .
⊆
sehingga
, maka
prosedur
untuk
jika
menyatakan
lim
:
barisan
∈ ℕ sehingga untuk
, >
misal
Definisi [7] Titik tetap fungsi
> 0 ,
Cauchy, jika untuk setiap
dan
Misal himpunan
)→ .
) di ruang
= ( ; ) disebut
metrik
Definisi [7]
keberadaan
dan
) = 0.
ketunggalan titik tetap suatu pemetaan,
yang disebut iterasi. Dengan metode ini
Teorema [6] Setiap barisan konvergen
untuk
sembarang
dalam
suatu
adalah barisan Cauchy.
himpunan didefinisikan barisan rekursif
Definisi [6] Ruang metrik
disebut
,
,
, … yakni
ruang metrik lengkap (ruang Banach)
=
jika
setiap
barisan
Cauchy
di
dengan
= 1,2, …, sehingga diperoleh
merupakan barisan konvergen di .
=
115
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
(
=
=
⋮
dan
Berikut ini merupakan teorema titik
Titik
ruang metrik, dengan
lengkap
)=
,
operator kontraktif pada
barisan
(
(
=
)
,
≤
(
)
,
)
,
≠ ∅ . Jika
∶ →
dan
iterasi
Tetap
Banach. [1] Misal = ( ; ) adalah
( ; ) dengan
∈ ( 0,1 )
memenuhi
(
Teorema
) ≤
sehingga diperoleh
tetap Banach.
Teorema
;
≤
(
⋮
adalah
≤
, maka
>
)
,
(
)
,
mempunyai tepat satu titik tetap.
Untuk
Bukti.
pertidaksamaan segitiga diperoleh
Pertama; kita konstruksi barisan (
Pilih sebarang
barisan iterasi (
∈
).
dan didefinisikan
) dengan
,
=
(
≤ (
⋯+
Barisan tersebut merupakan barisan dari
≤
pemetaan
= (
,
=
,
=
,…
terhadap .
Kedua: akan ditunjukkan bahwa (
adalah
barisan
Cauchy,
.
⋯+
;
(
(
+
(1 +
=
merupakan pemetaan yang
karena
kontraktif maka memenuhi
) = (
=
sehingga
konvergen dalam ruang lengkap
Karena
)
;
dengan menggunakan
)+
(
)+
(
,
)
(
,
)+
)
+ ⋯+
+ ⋯+
)+
;
)
;
,
;
(
,
) (
,
)
) (
,
)
)
∈ ( 0,1 ) , dan 1 −
< 1
sehingga diperoleh
116
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
;
(
Pada
(
ruas
)<
(
kanan,
∈ ( 0,1 )
,
).
dan
) tetap, sehingga dapat kita
,
ambil pada ruas kanan sekecil mungkin
dengan
yang cukup besar (dan
> ). Ini menunjukkan bahwa (
)
akan
ditunjukkan
kekonvergenan pada ruang lengkap.
Karena (
) adalah barisan Cauchy
pada ruang
yang lengkap maka (
)
adalah barisan yang konvergen dan
(
) konvergen ke suatu titik di
∈
Misalkan
sehingga
.
(
lim (
akan
ditunjukkan
bahwa
adalah titik tetap dari
pemetaan
. Dengan pertidaksamaan
segitiga diketahui bahwa
) + (
;
bahwa (
( ;
(
;
) ≤
) ≤ ( ;
;
)
sekecil mungkin untuk
disimpulkan
bahwa
)→
(
karena
> 0
bahwa
=
.
( ;
Dapat
) = 0
,
. Ini menunjukkan
adalah titik tetap
.
Kelima, akan ditunjukkan bahwa
tidak
mempunyai
Misalkan
titik
tetap
lain.
mempunyai dua titik tetap
dan ′ sehingga
Oleh karena itu
( , ′) =
(
′=
= dan
,
′) ≤
′.
( , ′)
hal tersebut hanya mungkin untuk
)=
( ;
)
)+
dan jumlah sebelah kanan dapat dibuat
)
konvergen ke .
Keempat,
;
(
akibatnya
adalah barisan Cauchy.
Ketiga,
≤ ( ;
= ( ;
( ;
) ≤
) dan diketahui
( ; ) sehingga
)+ (
)+
;
)
( ;
=
) = 0 karena
′.
∈ ( 0,1 ) . Jadi
Akibat (Iterasi, batas error). Misal
ruang metrik
adalah
:
pada
→
ruang
, dan
≠ ∅ . Misal
lengkap
dan
misal
adalah operator kontraktif
. Misal untuk sebarang
didefinisikan barisan (
) dengan
∈
117
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
,
,
=
,
=
, …,
=
≤
,…
=
konvergen ke tepat satu titik
mempunyai
⋮
=
estimasi
di . Dan
error
prior
; ) ≤
(
segitiga diperoleh
(
1−
,
)
,
)
,
Untuk > , dengan pertidaksamaan
(selanjutnya disebut estimasi prior)
(
(
)≤ (
,
)
+
(
,
+
(
,
)
)+ ⋯
(
,
dan estimasi error posterior (selanjutnya
≤
disebut estimasi posterior)
; ) ≤
(
Bukti.
(
1−
,
=
dengan
)
∈
dengan
,
=
;
) ≤
)
(
,
)
∈ ( 0,1 ) , akibatnya
karena
(
)=
,
(
)
,
(
,
1−
) adalah barisan
≤
≤
)
,
+ ⋯+
=
Cauchy.
(
+ ⋯+
< 1 . Sehingga diperoleh,
Akan ditunjukkan (
,
)
)+
)
,
+
) (
adalah operator kontraktif
( ; ).
=
(
(1 +
,…
(
)+
=
=
=
pada , yang memenuhi
(
,
) (
=
, …,
⋯+
= (
Diketahui sebarang
,
,
(
,
(
,
)
Pada
)
(
,
ruas
,
)≤
1−
kanan,
(
,
).
∈ ( 0,1 )
dan
) tetap, sehingga dapat kita
ambil pada ruas kanan sekecil mungkin
dengan
yang cukup besar ( dan
> ). Ini menunjukkan bahwa (
)
118
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
→ ∞ maka
adalah Cauchy. Untuk
diperoleh
, )≤
(
(
1−
Untuk estimasi posteri or,
≤
, )≤
(
karena
(
dengan
)≤
,
(
metrik
). Misal
adalah operator konstraktif
pada bola tertutup
} ,
(
,
;
∶ →
yakni
= { : ( ,
yang
) ≤
( ; )
)≤
memenuhi
untuk
(
) < (1 − ) .
,
,
, …,
,
=
=
konvergen ke suatu
=
∈
,
yang
merupakan titik tetap dari
merupakan titik tetap tunggal di
Karena semua
)
,
1
(
1−
1
)
,
(1 − ) =
1−
berada di
. Begitu
→
karena
tertutup.
dan
Lema (Kekontinuan) [1] Pemetaan
kontraksi
pada ruang metrik
adalah
Bukti.
∶ →
Misalkan
,…
=
<
∈
(
pemetaan kontinu.
Maka barisan iterasi
=
gunakan
semua
∈ , lebih jauh, asumsikan bahwa
,
≤
juga
dan
1−
adalah pemetaan di ruang
ke dirinya sendiri (
) dan dengan
,
ke
)≤
,
Teorema (Kontraksi pada bola) [1]
Misal
(
) < ( 1 − ) diperoleh
,
(
) untuk
yang berada di . Misal
mengganti
, )
) .
,
dan
= 0
(
∈ ( 0,1 ) diperoleh
(
Akan ditunjukkan bahwa (
semua
).
,
Bukti.
dan
.
adalah operator
kontraktif pada ruang metrik
→
misal
< 1,
(
di
,
. dan
. Maka untuk suatu
)≤
(
, )
119
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
→
karena
(
→
di
,
, ) → 0 jika
sehingga
→ ∞ . Berarti
, sehingga
kontinu di .
Untuk menggunakan teorema Banach,
= (
dengan
) . Misalkan
= (
, jadi dari persamaan (1) dan (2)
diperoleh
( , ) =
(
−
) = max|
,
diperlukan ruang metrik lengkap dan
kontraktif.
himpunan
dari semua urutan-
Misalkan
≤ max|
bilangan real, ditulis
= (
) , = (
, …,
= (
, …,
) ,
, …,
dan seterusnya. Pada
metrik
didefinisikan
Pada
didefinisikan
:
dengan
=
=
dengan
(2)
+
adalah matrik real
=
×
→
∈
dan
(1)
dapat
dinyatakan
dalam komponennya dengan cara
= ∑
+
= , …, ,
.
ditulis
dalam
bentuk
( , ) , dengan
= max ∑
(3)
.
Teorema (Persamaan linear) [1] Jika
suatu sistem
=
(
+
=
,
tententu)
(4)
dari
= (
vektor kolom.
Persamaan
dapat
adalah vektor
tetap. Untuk selanjutnya vektor adalah
)
Perhatikan bahwa pertidaksamaan di
( , ) ≤
− | . (1)
|
− | max
( , ) max
=
atas
= ( , ) lengkap.
tetap
) ,
dengan
( , ) = max |
−
(
= max
pemetaan
) =
persamaan
, …,
linear
dengan
) yang belum diketahui
memenuhi
∑
< 1 ( = 1, …, )
(5)
120
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
−
dengan matrik nonsingular
mempunyai tepat satu solusi . Solusi
=
tersebut dapat diperoleh dengan limit
yang bersesuaian. Maka (8) menjadi
( )
dari barisan iterasi
( )
dengan sebarang
(
)
(
=
)
( )
,
,
( )
=
,… ,
atau
dan
= 0,1, … .
+
(
)
, ) ≤
(
=
(6)
+ ).
Ini memberikan iterasi (4.6) dengan
Batas galat
(
+
(
(
)
,
(
)
)≤
(
( )
,
( )
,
=
).
(7)
. (9)
=
Perhatikan pada dua metode standar,
iterasi Jacobi, dan iterasi Gauss-Seidel,
Kondisi (5) adalah syarat cukup
yang sering digunakan dalam aplikasi
untuk kekonvergenan. Ini merupakan
Matematika.
criteria jumlah baris karena melibatkan
jumlah baris dengan menjumlahkan
Iterasi Jacobi
nilai mutlak dari setiap unsur baris dari
Metode
baris
iterasi
ini
didefinisikan
. Jika (1) digantikan dengan
dengan
metrik yang lain, maka akan diperoleh
(
kondisi yang berbeda.
Suatu sistem dari
dengan
persamaan linear
variabel yang tidak diketahui,
(
)
(10)
dengan
(8)
Iterasi
dalam
=
diasumsikan
=
adalah matrik persegi
−∑
=
= 1, …,
biasanya ditulis sebagai
dengan
)
ini
(8)
dan
≠ 0 untuk = 1, …, .
diharapkan
dapat
baris.
menyelesaikan persamaan ke j dalam
Banyak metode iterasi untuk persamaan
persamaan (8) untuk
(8)
dengan det
satunya
dengan
≠ 0 yakni
. Persamaan (10)
salah
mentransformasikan
dapat ditulis dalam bentuk (6) dengan
= −
(
− ),
=
(11)
121
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
dengan
adalah matrik
= diag
diagonal dengan unsur tak nol adalah
dengan
≠ 0 untuk setiap .
Matrik (3) dapat dituliskan dalam
diagonal utama dari .
Kondisi (5) diaplikasikan pada
di
bentuk
= − +
persamaan (11) merupakan syarat cukup
kekonvergenan
dan diasumsikan
= 1, …,
dari
iterasi
Jacobi.
dengan
−
adalah iterasi Jacobi dan ,
dalam (11) cukup sederhana,
adalah matrik segitiga bawah dan matrik
persamaan (5) dapat dinyatakan dalam
segitiga atas dengan unsur diagonal
unsur-unsur . Hasil dari criteria jumlah
utama semuanya nol. Jika persamaan
baris untuk iterasi Jacobi
(13) dikalikan dengan
Karena
∑
= 1, …, , (12)
< 1,
atau
,
maka
diperoleh solusi sistem dalam bentuk
(
)
=
(
+
)
(
+
)
atau
∑
<
,
= 1, …, . (12*)
Ini menjamin kekonvergenan untuk
diagonal utama dari
. Metode iterasi
Jacobi adalah metode koreksi simultan.
(
− )
(
)
Kalikan dengan (
=
(
+
− )
sehingga
− )
,
= (
− )
Persamaan (5) diaplikasikan ke
metode koreksi berturutan. Metode ini
didefinisikan dengan
∑
)
=
(
)
−∑
. (14)
dalam
persamaan (14) adalah syarat cukup
Metode iterasi Gauss-Seidel adalah
(
.
persamaan (6) berbentuk
= (
Iterasi Gauss-Seidel
)
kekonvergenan iterasi Gauss-Seidel.
Misalkan persamaan diferensial biasa
eksplisit dengan orde pertama
(
)
−
=
(13)
( , ) dengan nilai awal ( ) =
(15)
122
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
dengan
dan
adalah bilangan real
(
)
tertentu.
=
1
−
Contoh 1. Teorema titik tetap Banach
diperoleh
hasil
(
iterasi
)
pada
tabel
pada persamaan linear.
berikut:
Misal sistem persamaan linear
2
+
+
= 4
+ 2
+
= 4
+ 2
= 4
+
Persamaan di atas dapat dituliskan
8
2
1
1
(
)
0
2
0
2
0
Perhatikan dari table di atas diperoleh
dalam bentuk
1
( )
( )
Iterasi ke-m
0
0
0
1
2
2
2
0
0
3
2
2
4
0
0
Tabel 1. Iterasi Jacob
1
2
1
hasil iterasi yang divergen, sehingga
4
= 4
4
1
1
2
kita tidak bisa menentukan solusi dari
sehingga persamaan matrik di atas
sistem persamaan linear di atas.
memenuhi kondisi (4.5), yakni
∑
|
|=
+
+
=
< 1,
(b) Akan
digunakan
metode
iterasi
Gauss-Seidel
∑
|
|=
+ +
< 1 ,
=
(
dan
∑
|
|=
+
Sehingga diperoleh
dengan
(a) Akan
( )
+
=
Jacob,yakni
=
1
−
< 1.
(
−
=
0
= 0
0
digunakan
)
diperoleh
hasil
(
iterasi
)
)
pada
tabel
berikut:
metode
iterasi
Iterasi
ke- m
0
1
(
)
(
0
2
)
(
0
1
)
0
0.5
123
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.25
1.125
0.8125
1.03125 1.078125 0.945313
0.988281 1.033203 0.989258
0.98877 1.010986 1.000122
0.994446 1.002716 1.001419
0.997932 1.000324 1.000872
0.999402 0.999863 1.000367
0.999885 0.999874 1.000121
1.000003 0.999938 1.000029
Tabel 2. Iterasi Gauss-Seidel
Perhatikan bahwa hasil iterasi setiap
unsur dari
(
)
Lipschitz)
sehingga
( ; ),( ; ) ∈
| ( , ) − ( , ) | ≤ | − |.
Maka nilai awal dari masalah (15)
mempunyai solusi tunggal. Solusi ini
(
)
→ 1 , dan
(
)
→ 1.
− ,
berada pada interval [
dengan
masing-masing konvergen
→ 1,
untuk
< min
, ,
1
],
+
.
Bukti.
Jadi dapat disimpulkan bahwa solusi
Misal ( ) adalah ruang metrik dari
dari sistem persamaan di atas adalah
semua fungsi kontinu bernilai real pada
1
= 1 .
1
interval
Teorema (Teorema keberadaan dan
Biasa)[1]
Misalkan
adalah persamaan kontinu pada persegi
= {( , ) : | −
dan untuk suatu
sehingga
| ≤ ,| −
∈ ℝ dan
terbatas, misalkan
| ( , )| ≤
|≤ }
∈ℝ,
untuk semua ( , ) ∈ . (16)
Misalkan bahwa
memenuhi kondisi
Lipschitz pada R yang bersesuaian
dengan (4.15), yakni terdapat konstanta
− ,
]
+
dengan
metrik didefinisikan dengan
( ; ) = max| ( ) − ( ) | .
∈
ketunggalan Picard pada Persamaan
Diferensial
= [
sehingga ( ) adalah lengkap. Misal
adalah subruang dari ( ) yang memuat
semua fungsi
Sehingga
∈ ( ) , yang memenuhi
| ( )−
|≤
.
adalah ruang lengkap.
Dengan mengintegrasikan diperoleh
(15) yang dapat ditulis dalam bentuk
=
,
diketahui
didefinisikan dengan
∶
→
(konstanta
124
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
+ ∫
( ) =
, ( )
∈ , karena
terdefinisi untuk setiap
∈
∈
c, sehingga jika
<
, ( ) ∈
dan
(17) ada karena
Akan
, maka
dan integral
.
Teorema
bahwa
titik
tetap
Banach
menyatakan bahwa
mempunyai titik
∈
, yakni, sebuah
tetap tunggal
fungsi kontinu di
memenuhi
kontinu pada .
diperlihatkan
memetakan
(17)
=
pada
yang
=
. Dengan
dan persamaan (4. 17) diperoleh
+ ∫
( )=
ke dirinya sendiri, dapat
, ( ) ∈
, ( )
digunakan (17) dan (4.15), sehingga
Karena
diperoleh
(18) dapat dideferensialkan. Berarti
( )−
|
|=
Sebaliknya, setiap solusi (15) harus
≤ | −
|≤
memenuhi (18).
.
kontraksi
. Dengan kondisi Lipshitz ,
( )−
|
= ∫
≤| −
≤
( )|
( , ).
∈
, ( )
| ( ) − ( )|
, maka bisa kita peroleh nilai
−
dengan
=
|≤
< min
( ; ) dengan
, ,
< 1 , sehingga
mengakibatkan
dari (15) adalah
,
, …} diperoreh
iterasi Picard
maksimum dari ruas kiri yakni
|
Banach
limit dari barisan {
, ( ) −
| max
Teorema
solusi
Karena ruas kanan tidak bergantung
pada
kontinu,
terdeferensialkan dan memenuhi (15).
, ( )
Akan ditunjukkan bahwa
pada
dengan
( )=
dengan
+ ∫
,
( )
(19)
= 0,1,2, ….
Selanjutnya
akan
dipaparkan
Teorema titik tetap Banach sebagai
syarat dari keberadaan dan ketunggalan
=
) diperoleh
kontraktif pada
untuk persamaan integral. Persamaan
integral dalam bentuk
( )−
∫
( , ) ( )
=
( ) (20)
125
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
disebut persamaan Fredholm bentuk
Karena
kedua, dengan [ , ] adalah interval,
mendefinisikan operator
adalah fungsi yang tidak diketahui pada
[ , ],
dalah parameter. Kernel
persamaan
adalah
fungsi
dari
bahwa
yang
integral
dengan
akan
) = max
,
max
dibahas adalah persamaan integral yang
∫
( )+
=
semua fungsi kontinu yang terdefinisi
max
∫
pada interval = [ , ] dengan metrik
( , ) = max
∈
| ( ) − ( )|
(21)
Untuk mengaplikasikan teorema titik
tetap Banach maka ruang [ , ] harus
lengkap. Asumsikan bahwa
dan
kontinu pada
. Maka
∈ [ , ]
adalah
fungsi terbatas pada , misalkan
| ( , )| ≤
untuk setiap ( , ) ∈ .(22)
Persamaan (20) dapat dituliskan ke
dalam bentuk
( ) =
yakni
=
( )+
∫
( , ) ( )
(23)
.
∫
∈
|
( )−
( )|
( , ) ( )
( , ) ( )
∈
( , ) ( )
= | | max
∈
∫
( )+
∈
[ , ] yakni ruang
berada pada ruang
menjadikan
persamaan (22) diperoleh
(
yang
: [ , ] →
kontraktif. Dari persamaan (21) menjadi
adalah fungsi pada [ , ] .
Persamaan
kontinu, persamaan (23)
[ , ] . Selanjutnya akan ditunjukkan
= [ , ] × [ , ] , dan
terdefinisi pada
dan
∫
∫
( , ) ( )
( , ) ( )
( , ) ( )
−
−
−
≤ | | max ∫ | ( , ) ( ) −
∈
( , ) ( )|
≤ | | max ∫ |
∈
( )−
( )|
= | | max ∫ | ( ) − ( ) |
∈
≤ | | max | ( ) − ( ) | ∫
∈
( , )( − )
= | |
Hal ini dapat ditulis dalam bentuk
(
,
)≤
( , ) , dengan
126
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
= | | ( − ).
Perhatikan
bahwa
= 2+
merupakan
kontraktif ( < 1) jika
| |≤
Teorema
titik
(
)
( ) = 2+ ∫
= 2+ ∫
(24)
.
2+
Tetap
( ) = 2+ ∫
∙
Contoh 2. Teorema titik tetap Banach
= 2+ ∫
pada persamaan diferensial.
∙
Misalkan persamaan differensial
− 1 dengan nilai awal ( 0 ) = 2 .
Akan
diselesaikan
iterasi
Picard
(
dengan
dengan
dengan
,
+ ∫
= 0
dan
( ) =
Diperoleh:
Barisan
( ) − 1.
( 2 − 1)
= 2+
∫ (1 +
+
2+
∙
+
+
+
+
−1
1+
+
+
iterasi
=
di
∙
+
atas
∙ ∙
akan
, sehingga dapat
−
=
( 0 ) = 2 adalah
.
1+
(Persamaan
integral
dan
pada
persamaan Fredholm (20) kontinu pada
1
dan
bahwa
)
+
Fredholm)[1]. Misalkan
= 2+
− 1)
+
−1
disimpulkan bahwa solusi dari
×
( ) = 2 + ∫ (2 +
1+
konvergen ke 1 +
Teorema
( ) = 2+
+
1 dengan nilai awal
( )
,
= 2+
metode
) = 2 , sehingga diperoleh
( ) =
2+
Banach
memberikan teorema berikut ini.
=
+
= 2+
terdefinisi
= [ , ] , dan asumsikan
memenuhi (24) dengan
pada
(22).
Maka
mempunyai solusi tunggal
(20)
di
.
127
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
Fungsi
ini adalah limit dari barisan
iterasi {
, …} , dengan
,
dan
dapat
( , )
( )
dituliskan
∫
( ) =
.(25)
( , ) ( )
=
( ) . (26)
Perbedaan antara persamaan (20) dan
(26) adalah batas atas dalam persamaan
persamaan (26) adalah varibel. Faktanya,
Karena
| ( , )| ≤
∈ [ , ]
,
( )+
=
Volterra)[1].
Misalkan
pada
adalah
adalah fungsi
untuk setiap ( , ) ∈ .
Dengan (21), diperoleh untuk setiap
|
integral
dan
terbatas pada , misalkan,
diperoleh teorema
(Persamaan
( , ) ( )
kontinu pada
tertutup dan terbatas,
keberadaan dan ketunggalan.
Teorema
∫
( )+
(27)
(20) adalah konstan , sedangkan pada
tanpa restriksi pada
didefinisikan
sebagai
( )+
Misalkan persamaan integral Volterra
( )−
dengan
=
: [ , ]→ [ , ]
= 0,1,2, …,
( )=
∫
Perhatikan bahwa persamaan (26)
adalah
sebarang fungsi kontnu pada
untuk
Bukti.
( )+
=
∫
∫
( )−
( )|
( , ) ( )
( , ) ( )
−
persamaan (4.26) merupakan fungsi
kontinu pada [ , ] dan kernel
kontinu
pada daerah
dengan
≤
≤ ,
dalam bidang-
≤ ≤ . Maka persamaan
(26) mempunyai solusi tunggal
[ , ] untuk setiap .
∫
=
pada
∫
∫
∫
( , ) ( )
( , ) ( )
( , ) ( )
( , ) ( )
−
−
128
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
≤| | ∫
( , ) ( )
= | | ∫
( , )
∫
−
( , ) ( )
∫
( )− ( )
= | |
( , )( − ).
= | | ∫
( , )
≤ | | (4.28)
∫
≤| |
(
| |
)
( , ).
!
Untuk
( )−
(29)
( )| ≤
= 1 diperoleh pertidaksamaan
(28). Asumsikan pertidaksamaan (29)
berlaku untum
, dari pertidaksamaan
=
( )+
( )+
=
∫
∫
= | | ∫
∫
∫
( )−
∫
( , )
!
(
= | |
( , ) ∫
)
(
)!
(
)
!
( , ).
Jadi terbukti bahwa pertidaksamaan
∈ ℕ.
(29) berlaku untuksetiap
Dengan menggunakan −
( , )
( , )
( )
( , )
( )
( )
( )
−
−
−
∈
akan
pada ruas kanan pertidaksamaan (29)
−
(
)≤
,
dengan
(
= | |
( )
( , )
( )
≤
tercapai, sehingga akan diperoleh
( )|
( , )
( , )
)
dan nilai maksimum untuk
(27) diperoleh
|
( )
(
∫| |
Akan ditunjukkan dengan induksi
|
( )−
( )−
= | | | |
bahwa
( )−
( )
( , )∫
= | |
( , )
( )
( )− ( )
≤| |
= | | ∫
Untuk
tetap dan
( , )
)
!
.
yang cukup besar
maka akan diperoleh
< 1 . Berarti
adalah pemetaan kontraktif pada
[ , ] . Akibat dari teorema akan
diperoleh lema berikut ini.
129
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
→
Lema (Titik Tetap)[1]. Misal :
tetap dari
adalah pemetaan pada ruang metrik
adalah pemetaan kontraktif pada
untuk suatu bilangan bulat positif
Maka
.
pada persamaan integral.
)−
Diketahui ( ) = sin (
Bukti.
adalah
=
tidak bisa
Contoh 3. Teorema titik tetap Banach
mempunyai titik tetap.
Asumsikan bahwa
, Perhatikan bahwa
memiliki titik tetap lebih dari satu.
= ( , ) , dan misal
lengkap
dari
juga merupakan titik tetap
∫
( )
, dan
( ) = sin (
+
).
Akan ditentukan solusi dari persamaan
pemetaan kontraktif pada
. Dengan
di atas dengan metode iterasi
teorema titik tetap Banach, pemetaan ini
mempunyai tetap satu titik tetap
yakni
.
=
Berarti
=
.
Teorema Banach juga mengakibatkan
bahwa
Khususnya
( ) = sin (
,
∫
( )
.
)−
+
Sehingga diperoleh barisan sebagai
berikut:
=
→
jika
, karena
→ ∞.
=
( )=
,
sin (
maka diperoleh
=
)−
+ ∫
sin (
)−
+
sin (
)
)−
+
( )
= lim
→
= lim
→
= lim
→
=
∫
= lim
=
.
→
Ini menunjukkan bahwa
titik tetap dari
sin (
adalah
. Karena setiap titik
∫
sin (
)
130
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
cos(
)−
= sin (
)+
= sin (
))
cos(
)
−
−
=
+ ∫
sin (
)−
∫
sin (
∫
∫
+
=
−
∫
)
)−
−
)−
+
)−
( sin (
( −4
−2+ 4
sin (
−
cos(
)+
)+
+
2 cos(
)+
−
( −4
)))
=
)−
sin (
)
∫
=
sin (
+
( )
+ 2
sin (
cos(
))
)+
)−
−
) + 2 cos(
)−
sin (
=
sin (
+
−2+
( )=
sin (
cos(
)+
))
( )
sin(
−
( −4
−
cos(
4
+
) + 2 cos(
)−
= sin (
2
)−
)+
sin (
2
( )=
sin (
cos(
4
(1 −
+
( sin (
( −4
+
+ 2
−2+
2 cos(
+
)−
−2+ 4
sin (
−
cos(
)+
)+
)))
131
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
Perhatikan
=
sin (
−
)−
24 + 32
( −32
− 16
cos(
−4
8
{
+
)+
)+
( sin(
24
−
)+
cos(
8
24 cos(
( )} akan konvergen ke
)−
sin (
( )=
.
pada persamaan integral.
)+
cos(
16
barisan
Contoh 4. Teorema titik tetap Banach
+
( sin(
16
−
untuk | | ≤ 1 ,
∫
)) +
Diketahui ( ) = −
( )
, dan
+ √ +
( )= √ .
Akan ditentukan solusi dari persamaan
di atas dengan metode iterasi
)
=
( )=
sin (
−
)−
24 + 32
8
16
16
8
24
+
( −32
cos(
−4
)+
−
)+
cos(
)+
( sin (
)) +
)
( )
.
berikut:
( )=
)+
cos(
+ √ + ∫
Sehingga diperoleh barisan sebagai
+
( sin (
24 cos(
− 16
−
−
−
+ √ + ∫
( )
= −
+ √ + ∫
= −
+ √ +
= −
+ √ +
132
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
( )=
−
+ √ + ∫
= −
( )
=
−
+ √ +
−
∫
= −
= −
= −
+ √ +
+
+
+
+
−
∫
−
+ √ +
+ √ −
−
−
+ √ +
+
−
+
+
+
+
+
+ √ −
= −
+
−
+
+
( )=
+
+
−
+ √ + ∫
( )
=
−
+ √ +
∫
+ √ + ∫
+
−
+
( )=
−
= −
∫
+ √ +
−
+
( )
+
−
+
−
+
=
−
∫
+ √ +
+
−
+
= −
+
−
−
+ √ +
+
+
∫
−
−
+
+
133
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
= −
−
+ √ +
−
+
+
+
+
linear,
persamaan
differensial
dan
integral.
−
Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih
= −
+ √ −
+
+
+
−
−
+
kepada DIPA-BOPTAN UIN SGD
Bandung
yang
telah
memberikan
bantuan penelitian kepada penulis.
Referensi
[1.]
Perhatikan
{
untuk | | ≤ 1 ,
( )} akan konvergen ke
−
barisan
( )=
Functional Analysis With Applications,(
1978).
[2.]
+ √ .
Erwin Kreyszig, Introductory
Fell, D.A., “Metabolic Control
Analysis: a survey of its theoretical and
experimental development”, Biochem.
J. 286 (1992), 313-330.
Kesimpulan
[3.]
Titik tetap operator dapat ditentukan
dengan cara membentuk barisan iterasi
yang kontraktif,. Barisan kontraktif
S.M.,
Heinrich,
Metabolic
R.
dan
Rapoport,
regulation
and
mathematical models, Prog. Biophys.
Molec. Biol. 32 (1977),1-82.
[4.]
Shifton, D.C., An introduction to
dapat diperoleh jika operator bersifat
Metabolic Control Analysis, Deanna C,
kontraktif, dan teorema titik tetap
Shifton, 2007.
Banach menjamin bahwa titik tetap ada
[5.]
Einar Hille, Method in Classical
and Functional
dan
tunggal.
Keberadaan
dan
ketunggalan titik tetap tersebut dapat
diaplikasikan pada sistem persamaan
Analysis,
Addison-
Wesley Publising Company, 1972.
[6.]
Casper Goffman and George
Pedrick, First Course in Functional
Analysis, Prentice hall, India, 1974.
134
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
ISSN 1979-8911
Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert,
Introduction to Real Analysis 4th
Edition, John Willes and Sons Inc, 2011.
Esih Sukaesih*
Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan
Teknologi
UIN Sunan Gunung Djati Bandung
esih.yjf@gmail.com
*Corresponding author
135
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
TEOREMA TITIK TETAP BANACH
Esih Sukaesih
Abstrak
Ruang Banach menjamin setiap barisan akan konvergen ke vektor di ruang tersebut.
Barisan iterasi yang kontraktif menjamin bahwa barisan tersebut akan konvergen ke suatu
titik. Kedua hal di atas yang menjamin keberadaan titik tetap pada operator kontraktif di
ruang Banach. Selain menunjukkan titik tetap pada ruang Banach, akan diberikan juga
beberapa aplikasi titik tetap. Kata-kata kunci: ruang metrik lengkap, operator kontraktif
dikenal sebagai Teorema Titik Tetap
Pendahuluan
Teorema titik tetap pertama kali
Banach.
Berikut ini diperkenalkan beberapa
diperkenalkan oleh L. E. J. Brouwer
pada
tahun
1912
yakni
pemetaan
Definisi
kontinu T pada bola tutup satuan di
mempunyai paling sedikit satu titik
tetap, yakni titik
=
sehingga
definisi dalam metrik.
.
pada tahun 1922 untuk membuktikan
teorema keberadaan titik tetap dalam
teori
waktu
persamaan
yang
menemukan
differensial.
sama,
S.
menemukan
Pada
Banach
teorema
kontraksi titik tetap atau lebih umum
Ruang
adalah himpunan
metrik ( ; )
dan metrik pada
didefinisikan sebagai fungsi
Teorema titik tetap Brouwer digunakan
oleh G. D. Birkho dan O. D. Kellog
[6]
1.
→ ℝ, yang memenuhi:
∈
,
2.
( ; ) = 0
untuk
∶ ×
setiap
, dan ( ; ) > 0 untuk setiap
∈ , dengan ≠ .
( ; ) = ( ; )
untuk
setiap , ∈ .
3.
( ; ) ≤ ( ; ) + ( ; )
untuk setiap , , ∈ .
114
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
Definisi
[7] Barisan bilangan real
(barisan di
) adalah fungsi yang
terdefinisi
pada
{ 1,2,3, …} = ℕ
bilangan
dengan
asli
range
pada
himpunan bilangan real.
Definisi
Barisan (
[6]
konvergen
lim
disebut
∈
ke
(
→∞
)
jika
, ) = 0. Ditulis (
Definisi [6] Barisan (
terdapat bilangan
bilangan
(
asli
) < .
;
Atau dapat dituliskan, (
barisan
terdapat
fungsi
konstanta
( ( ); ( )) ≤
setiap , ∈
Lipshitz. Jika
, →∞
,
( ; )
Jika
untuk
disebut fungsi
∈ ( 0, 1) maka disebut
fungsi kontraktif.
dirinya sendiri, yakni,
adalah peta
peta
oleh
∈
∶ →
yang dipetakan ke
=
adalah .
berlaku
Titik Tetap Banach
Teorema
titik
merupakan
suatu
tetap
Banach
) adalah
Cauchy
(
→ℝ .
⊆
sehingga
, maka
prosedur
untuk
jika
menyatakan
lim
:
barisan
∈ ℕ sehingga untuk
, >
misal
Definisi [7] Titik tetap fungsi
> 0 ,
Cauchy, jika untuk setiap
dan
Misal himpunan
)→ .
) di ruang
= ( ; ) disebut
metrik
Definisi [7]
keberadaan
dan
) = 0.
ketunggalan titik tetap suatu pemetaan,
yang disebut iterasi. Dengan metode ini
Teorema [6] Setiap barisan konvergen
untuk
sembarang
dalam
suatu
adalah barisan Cauchy.
himpunan didefinisikan barisan rekursif
Definisi [6] Ruang metrik
disebut
,
,
, … yakni
ruang metrik lengkap (ruang Banach)
=
jika
setiap
barisan
Cauchy
di
dengan
= 1,2, …, sehingga diperoleh
merupakan barisan konvergen di .
=
115
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
(
=
=
⋮
dan
Berikut ini merupakan teorema titik
Titik
ruang metrik, dengan
lengkap
)=
,
operator kontraktif pada
barisan
(
(
=
)
,
≤
(
)
,
)
,
≠ ∅ . Jika
∶ →
dan
iterasi
Tetap
Banach. [1] Misal = ( ; ) adalah
( ; ) dengan
∈ ( 0,1 )
memenuhi
(
Teorema
) ≤
sehingga diperoleh
tetap Banach.
Teorema
;
≤
(
⋮
adalah
≤
, maka
>
)
,
(
)
,
mempunyai tepat satu titik tetap.
Untuk
Bukti.
pertidaksamaan segitiga diperoleh
Pertama; kita konstruksi barisan (
Pilih sebarang
barisan iterasi (
∈
).
dan didefinisikan
) dengan
,
=
(
≤ (
⋯+
Barisan tersebut merupakan barisan dari
≤
pemetaan
= (
,
=
,
=
,…
terhadap .
Kedua: akan ditunjukkan bahwa (
adalah
barisan
Cauchy,
.
⋯+
;
(
(
+
(1 +
=
merupakan pemetaan yang
karena
kontraktif maka memenuhi
) = (
=
sehingga
konvergen dalam ruang lengkap
Karena
)
;
dengan menggunakan
)+
(
)+
(
,
)
(
,
)+
)
+ ⋯+
+ ⋯+
)+
;
)
;
,
;
(
,
) (
,
)
) (
,
)
)
∈ ( 0,1 ) , dan 1 −
< 1
sehingga diperoleh
116
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
;
(
Pada
(
ruas
)<
(
kanan,
∈ ( 0,1 )
,
).
dan
) tetap, sehingga dapat kita
,
ambil pada ruas kanan sekecil mungkin
dengan
yang cukup besar (dan
> ). Ini menunjukkan bahwa (
)
akan
ditunjukkan
kekonvergenan pada ruang lengkap.
Karena (
) adalah barisan Cauchy
pada ruang
yang lengkap maka (
)
adalah barisan yang konvergen dan
(
) konvergen ke suatu titik di
∈
Misalkan
sehingga
.
(
lim (
akan
ditunjukkan
bahwa
adalah titik tetap dari
pemetaan
. Dengan pertidaksamaan
segitiga diketahui bahwa
) + (
;
bahwa (
( ;
(
;
) ≤
) ≤ ( ;
;
)
sekecil mungkin untuk
disimpulkan
bahwa
)→
(
karena
> 0
bahwa
=
.
( ;
Dapat
) = 0
,
. Ini menunjukkan
adalah titik tetap
.
Kelima, akan ditunjukkan bahwa
tidak
mempunyai
Misalkan
titik
tetap
lain.
mempunyai dua titik tetap
dan ′ sehingga
Oleh karena itu
( , ′) =
(
′=
= dan
,
′) ≤
′.
( , ′)
hal tersebut hanya mungkin untuk
)=
( ;
)
)+
dan jumlah sebelah kanan dapat dibuat
)
konvergen ke .
Keempat,
;
(
akibatnya
adalah barisan Cauchy.
Ketiga,
≤ ( ;
= ( ;
( ;
) ≤
) dan diketahui
( ; ) sehingga
)+ (
)+
;
)
( ;
=
) = 0 karena
′.
∈ ( 0,1 ) . Jadi
Akibat (Iterasi, batas error). Misal
ruang metrik
adalah
:
pada
→
ruang
, dan
≠ ∅ . Misal
lengkap
dan
misal
adalah operator kontraktif
. Misal untuk sebarang
didefinisikan barisan (
) dengan
∈
117
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
,
,
=
,
=
, …,
=
≤
,…
=
konvergen ke tepat satu titik
mempunyai
⋮
=
estimasi
di . Dan
error
prior
; ) ≤
(
segitiga diperoleh
(
1−
,
)
,
)
,
Untuk > , dengan pertidaksamaan
(selanjutnya disebut estimasi prior)
(
(
)≤ (
,
)
+
(
,
+
(
,
)
)+ ⋯
(
,
dan estimasi error posterior (selanjutnya
≤
disebut estimasi posterior)
; ) ≤
(
Bukti.
(
1−
,
=
dengan
)
∈
dengan
,
=
;
) ≤
)
(
,
)
∈ ( 0,1 ) , akibatnya
karena
(
)=
,
(
)
,
(
,
1−
) adalah barisan
≤
≤
)
,
+ ⋯+
=
Cauchy.
(
+ ⋯+
< 1 . Sehingga diperoleh,
Akan ditunjukkan (
,
)
)+
)
,
+
) (
adalah operator kontraktif
( ; ).
=
(
(1 +
,…
(
)+
=
=
=
pada , yang memenuhi
(
,
) (
=
, …,
⋯+
= (
Diketahui sebarang
,
,
(
,
(
,
)
Pada
)
(
,
ruas
,
)≤
1−
kanan,
(
,
).
∈ ( 0,1 )
dan
) tetap, sehingga dapat kita
ambil pada ruas kanan sekecil mungkin
dengan
yang cukup besar ( dan
> ). Ini menunjukkan bahwa (
)
118
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
→ ∞ maka
adalah Cauchy. Untuk
diperoleh
, )≤
(
(
1−
Untuk estimasi posteri or,
≤
, )≤
(
karena
(
dengan
)≤
,
(
metrik
). Misal
adalah operator konstraktif
pada bola tertutup
} ,
(
,
;
∶ →
yakni
= { : ( ,
yang
) ≤
( ; )
)≤
memenuhi
untuk
(
) < (1 − ) .
,
,
, …,
,
=
=
konvergen ke suatu
=
∈
,
yang
merupakan titik tetap dari
merupakan titik tetap tunggal di
Karena semua
)
,
1
(
1−
1
)
,
(1 − ) =
1−
berada di
. Begitu
→
karena
tertutup.
dan
Lema (Kekontinuan) [1] Pemetaan
kontraksi
pada ruang metrik
adalah
Bukti.
∶ →
Misalkan
,…
=
<
∈
(
pemetaan kontinu.
Maka barisan iterasi
=
gunakan
semua
∈ , lebih jauh, asumsikan bahwa
,
≤
juga
dan
1−
adalah pemetaan di ruang
ke dirinya sendiri (
) dan dengan
,
ke
)≤
,
Teorema (Kontraksi pada bola) [1]
Misal
(
) < ( 1 − ) diperoleh
,
(
) untuk
yang berada di . Misal
mengganti
, )
) .
,
dan
= 0
(
∈ ( 0,1 ) diperoleh
(
Akan ditunjukkan bahwa (
semua
).
,
Bukti.
dan
.
adalah operator
kontraktif pada ruang metrik
→
misal
< 1,
(
di
,
. dan
. Maka untuk suatu
)≤
(
, )
119
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
→
karena
(
→
di
,
, ) → 0 jika
sehingga
→ ∞ . Berarti
, sehingga
kontinu di .
Untuk menggunakan teorema Banach,
= (
dengan
) . Misalkan
= (
, jadi dari persamaan (1) dan (2)
diperoleh
( , ) =
(
−
) = max|
,
diperlukan ruang metrik lengkap dan
kontraktif.
himpunan
dari semua urutan-
Misalkan
≤ max|
bilangan real, ditulis
= (
) , = (
, …,
= (
, …,
) ,
, …,
dan seterusnya. Pada
metrik
didefinisikan
Pada
didefinisikan
:
dengan
=
=
dengan
(2)
+
adalah matrik real
=
×
→
∈
dan
(1)
dapat
dinyatakan
dalam komponennya dengan cara
= ∑
+
= , …, ,
.
ditulis
dalam
bentuk
( , ) , dengan
= max ∑
(3)
.
Teorema (Persamaan linear) [1] Jika
suatu sistem
=
(
+
=
,
tententu)
(4)
dari
= (
vektor kolom.
Persamaan
dapat
adalah vektor
tetap. Untuk selanjutnya vektor adalah
)
Perhatikan bahwa pertidaksamaan di
( , ) ≤
− | . (1)
|
− | max
( , ) max
=
atas
= ( , ) lengkap.
tetap
) ,
dengan
( , ) = max |
−
(
= max
pemetaan
) =
persamaan
, …,
linear
dengan
) yang belum diketahui
memenuhi
∑
< 1 ( = 1, …, )
(5)
120
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
−
dengan matrik nonsingular
mempunyai tepat satu solusi . Solusi
=
tersebut dapat diperoleh dengan limit
yang bersesuaian. Maka (8) menjadi
( )
dari barisan iterasi
( )
dengan sebarang
(
)
(
=
)
( )
,
,
( )
=
,… ,
atau
dan
= 0,1, … .
+
(
)
, ) ≤
(
=
(6)
+ ).
Ini memberikan iterasi (4.6) dengan
Batas galat
(
+
(
(
)
,
(
)
)≤
(
( )
,
( )
,
=
).
(7)
. (9)
=
Perhatikan pada dua metode standar,
iterasi Jacobi, dan iterasi Gauss-Seidel,
Kondisi (5) adalah syarat cukup
yang sering digunakan dalam aplikasi
untuk kekonvergenan. Ini merupakan
Matematika.
criteria jumlah baris karena melibatkan
jumlah baris dengan menjumlahkan
Iterasi Jacobi
nilai mutlak dari setiap unsur baris dari
Metode
baris
iterasi
ini
didefinisikan
. Jika (1) digantikan dengan
dengan
metrik yang lain, maka akan diperoleh
(
kondisi yang berbeda.
Suatu sistem dari
dengan
persamaan linear
variabel yang tidak diketahui,
(
)
(10)
dengan
(8)
Iterasi
dalam
=
diasumsikan
=
adalah matrik persegi
−∑
=
= 1, …,
biasanya ditulis sebagai
dengan
)
ini
(8)
dan
≠ 0 untuk = 1, …, .
diharapkan
dapat
baris.
menyelesaikan persamaan ke j dalam
Banyak metode iterasi untuk persamaan
persamaan (8) untuk
(8)
dengan det
satunya
dengan
≠ 0 yakni
. Persamaan (10)
salah
mentransformasikan
dapat ditulis dalam bentuk (6) dengan
= −
(
− ),
=
(11)
121
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
dengan
adalah matrik
= diag
diagonal dengan unsur tak nol adalah
dengan
≠ 0 untuk setiap .
Matrik (3) dapat dituliskan dalam
diagonal utama dari .
Kondisi (5) diaplikasikan pada
di
bentuk
= − +
persamaan (11) merupakan syarat cukup
kekonvergenan
dan diasumsikan
= 1, …,
dari
iterasi
Jacobi.
dengan
−
adalah iterasi Jacobi dan ,
dalam (11) cukup sederhana,
adalah matrik segitiga bawah dan matrik
persamaan (5) dapat dinyatakan dalam
segitiga atas dengan unsur diagonal
unsur-unsur . Hasil dari criteria jumlah
utama semuanya nol. Jika persamaan
baris untuk iterasi Jacobi
(13) dikalikan dengan
Karena
∑
= 1, …, , (12)
< 1,
atau
,
maka
diperoleh solusi sistem dalam bentuk
(
)
=
(
+
)
(
+
)
atau
∑
<
,
= 1, …, . (12*)
Ini menjamin kekonvergenan untuk
diagonal utama dari
. Metode iterasi
Jacobi adalah metode koreksi simultan.
(
− )
(
)
Kalikan dengan (
=
(
+
− )
sehingga
− )
,
= (
− )
Persamaan (5) diaplikasikan ke
metode koreksi berturutan. Metode ini
didefinisikan dengan
∑
)
=
(
)
−∑
. (14)
dalam
persamaan (14) adalah syarat cukup
Metode iterasi Gauss-Seidel adalah
(
.
persamaan (6) berbentuk
= (
Iterasi Gauss-Seidel
)
kekonvergenan iterasi Gauss-Seidel.
Misalkan persamaan diferensial biasa
eksplisit dengan orde pertama
(
)
−
=
(13)
( , ) dengan nilai awal ( ) =
(15)
122
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
dengan
dan
adalah bilangan real
(
)
tertentu.
=
1
−
Contoh 1. Teorema titik tetap Banach
diperoleh
hasil
(
iterasi
)
pada
tabel
pada persamaan linear.
berikut:
Misal sistem persamaan linear
2
+
+
= 4
+ 2
+
= 4
+ 2
= 4
+
Persamaan di atas dapat dituliskan
8
2
1
1
(
)
0
2
0
2
0
Perhatikan dari table di atas diperoleh
dalam bentuk
1
( )
( )
Iterasi ke-m
0
0
0
1
2
2
2
0
0
3
2
2
4
0
0
Tabel 1. Iterasi Jacob
1
2
1
hasil iterasi yang divergen, sehingga
4
= 4
4
1
1
2
kita tidak bisa menentukan solusi dari
sehingga persamaan matrik di atas
sistem persamaan linear di atas.
memenuhi kondisi (4.5), yakni
∑
|
|=
+
+
=
< 1,
(b) Akan
digunakan
metode
iterasi
Gauss-Seidel
∑
|
|=
+ +
< 1 ,
=
(
dan
∑
|
|=
+
Sehingga diperoleh
dengan
(a) Akan
( )
+
=
Jacob,yakni
=
1
−
< 1.
(
−
=
0
= 0
0
digunakan
)
diperoleh
hasil
(
iterasi
)
)
pada
tabel
berikut:
metode
iterasi
Iterasi
ke- m
0
1
(
)
(
0
2
)
(
0
1
)
0
0.5
123
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.25
1.125
0.8125
1.03125 1.078125 0.945313
0.988281 1.033203 0.989258
0.98877 1.010986 1.000122
0.994446 1.002716 1.001419
0.997932 1.000324 1.000872
0.999402 0.999863 1.000367
0.999885 0.999874 1.000121
1.000003 0.999938 1.000029
Tabel 2. Iterasi Gauss-Seidel
Perhatikan bahwa hasil iterasi setiap
unsur dari
(
)
Lipschitz)
sehingga
( ; ),( ; ) ∈
| ( , ) − ( , ) | ≤ | − |.
Maka nilai awal dari masalah (15)
mempunyai solusi tunggal. Solusi ini
(
)
→ 1 , dan
(
)
→ 1.
− ,
berada pada interval [
dengan
masing-masing konvergen
→ 1,
untuk
< min
, ,
1
],
+
.
Bukti.
Jadi dapat disimpulkan bahwa solusi
Misal ( ) adalah ruang metrik dari
dari sistem persamaan di atas adalah
semua fungsi kontinu bernilai real pada
1
= 1 .
1
interval
Teorema (Teorema keberadaan dan
Biasa)[1]
Misalkan
adalah persamaan kontinu pada persegi
= {( , ) : | −
dan untuk suatu
sehingga
| ≤ ,| −
∈ ℝ dan
terbatas, misalkan
| ( , )| ≤
|≤ }
∈ℝ,
untuk semua ( , ) ∈ . (16)
Misalkan bahwa
memenuhi kondisi
Lipschitz pada R yang bersesuaian
dengan (4.15), yakni terdapat konstanta
− ,
]
+
dengan
metrik didefinisikan dengan
( ; ) = max| ( ) − ( ) | .
∈
ketunggalan Picard pada Persamaan
Diferensial
= [
sehingga ( ) adalah lengkap. Misal
adalah subruang dari ( ) yang memuat
semua fungsi
Sehingga
∈ ( ) , yang memenuhi
| ( )−
|≤
.
adalah ruang lengkap.
Dengan mengintegrasikan diperoleh
(15) yang dapat ditulis dalam bentuk
=
,
diketahui
didefinisikan dengan
∶
→
(konstanta
124
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
+ ∫
( ) =
, ( )
∈ , karena
terdefinisi untuk setiap
∈
∈
c, sehingga jika
<
, ( ) ∈
dan
(17) ada karena
Akan
, maka
dan integral
.
Teorema
bahwa
titik
tetap
Banach
menyatakan bahwa
mempunyai titik
∈
, yakni, sebuah
tetap tunggal
fungsi kontinu di
memenuhi
kontinu pada .
diperlihatkan
memetakan
(17)
=
pada
yang
=
. Dengan
dan persamaan (4. 17) diperoleh
+ ∫
( )=
ke dirinya sendiri, dapat
, ( ) ∈
, ( )
digunakan (17) dan (4.15), sehingga
Karena
diperoleh
(18) dapat dideferensialkan. Berarti
( )−
|
|=
Sebaliknya, setiap solusi (15) harus
≤ | −
|≤
memenuhi (18).
.
kontraksi
. Dengan kondisi Lipshitz ,
( )−
|
= ∫
≤| −
≤
( )|
( , ).
∈
, ( )
| ( ) − ( )|
, maka bisa kita peroleh nilai
−
dengan
=
|≤
< min
( ; ) dengan
, ,
< 1 , sehingga
mengakibatkan
dari (15) adalah
,
, …} diperoreh
iterasi Picard
maksimum dari ruas kiri yakni
|
Banach
limit dari barisan {
, ( ) −
| max
Teorema
solusi
Karena ruas kanan tidak bergantung
pada
kontinu,
terdeferensialkan dan memenuhi (15).
, ( )
Akan ditunjukkan bahwa
pada
dengan
( )=
dengan
+ ∫
,
( )
(19)
= 0,1,2, ….
Selanjutnya
akan
dipaparkan
Teorema titik tetap Banach sebagai
syarat dari keberadaan dan ketunggalan
=
) diperoleh
kontraktif pada
untuk persamaan integral. Persamaan
integral dalam bentuk
( )−
∫
( , ) ( )
=
( ) (20)
125
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
disebut persamaan Fredholm bentuk
Karena
kedua, dengan [ , ] adalah interval,
mendefinisikan operator
adalah fungsi yang tidak diketahui pada
[ , ],
dalah parameter. Kernel
persamaan
adalah
fungsi
dari
bahwa
yang
integral
dengan
akan
) = max
,
max
dibahas adalah persamaan integral yang
∫
( )+
=
semua fungsi kontinu yang terdefinisi
max
∫
pada interval = [ , ] dengan metrik
( , ) = max
∈
| ( ) − ( )|
(21)
Untuk mengaplikasikan teorema titik
tetap Banach maka ruang [ , ] harus
lengkap. Asumsikan bahwa
dan
kontinu pada
. Maka
∈ [ , ]
adalah
fungsi terbatas pada , misalkan
| ( , )| ≤
untuk setiap ( , ) ∈ .(22)
Persamaan (20) dapat dituliskan ke
dalam bentuk
( ) =
yakni
=
( )+
∫
( , ) ( )
(23)
.
∫
∈
|
( )−
( )|
( , ) ( )
( , ) ( )
∈
( , ) ( )
= | | max
∈
∫
( )+
∈
[ , ] yakni ruang
berada pada ruang
menjadikan
persamaan (22) diperoleh
(
yang
: [ , ] →
kontraktif. Dari persamaan (21) menjadi
adalah fungsi pada [ , ] .
Persamaan
kontinu, persamaan (23)
[ , ] . Selanjutnya akan ditunjukkan
= [ , ] × [ , ] , dan
terdefinisi pada
dan
∫
∫
( , ) ( )
( , ) ( )
( , ) ( )
−
−
−
≤ | | max ∫ | ( , ) ( ) −
∈
( , ) ( )|
≤ | | max ∫ |
∈
( )−
( )|
= | | max ∫ | ( ) − ( ) |
∈
≤ | | max | ( ) − ( ) | ∫
∈
( , )( − )
= | |
Hal ini dapat ditulis dalam bentuk
(
,
)≤
( , ) , dengan
126
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
= | | ( − ).
Perhatikan
bahwa
= 2+
merupakan
kontraktif ( < 1) jika
| |≤
Teorema
titik
(
)
( ) = 2+ ∫
= 2+ ∫
(24)
.
2+
Tetap
( ) = 2+ ∫
∙
Contoh 2. Teorema titik tetap Banach
= 2+ ∫
pada persamaan diferensial.
∙
Misalkan persamaan differensial
− 1 dengan nilai awal ( 0 ) = 2 .
Akan
diselesaikan
iterasi
Picard
(
dengan
dengan
dengan
,
+ ∫
= 0
dan
( ) =
Diperoleh:
Barisan
( ) − 1.
( 2 − 1)
= 2+
∫ (1 +
+
2+
∙
+
+
+
+
−1
1+
+
+
iterasi
=
di
∙
+
atas
∙ ∙
akan
, sehingga dapat
−
=
( 0 ) = 2 adalah
.
1+
(Persamaan
integral
dan
pada
persamaan Fredholm (20) kontinu pada
1
dan
bahwa
)
+
Fredholm)[1]. Misalkan
= 2+
− 1)
+
−1
disimpulkan bahwa solusi dari
×
( ) = 2 + ∫ (2 +
1+
konvergen ke 1 +
Teorema
( ) = 2+
+
1 dengan nilai awal
( )
,
= 2+
metode
) = 2 , sehingga diperoleh
( ) =
2+
Banach
memberikan teorema berikut ini.
=
+
= 2+
terdefinisi
= [ , ] , dan asumsikan
memenuhi (24) dengan
pada
(22).
Maka
mempunyai solusi tunggal
(20)
di
.
127
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
Fungsi
ini adalah limit dari barisan
iterasi {
, …} , dengan
,
dan
dapat
( , )
( )
dituliskan
∫
( ) =
.(25)
( , ) ( )
=
( ) . (26)
Perbedaan antara persamaan (20) dan
(26) adalah batas atas dalam persamaan
persamaan (26) adalah varibel. Faktanya,
Karena
| ( , )| ≤
∈ [ , ]
,
( )+
=
Volterra)[1].
Misalkan
pada
adalah
adalah fungsi
untuk setiap ( , ) ∈ .
Dengan (21), diperoleh untuk setiap
|
integral
dan
terbatas pada , misalkan,
diperoleh teorema
(Persamaan
( , ) ( )
kontinu pada
tertutup dan terbatas,
keberadaan dan ketunggalan.
Teorema
∫
( )+
(27)
(20) adalah konstan , sedangkan pada
tanpa restriksi pada
didefinisikan
sebagai
( )+
Misalkan persamaan integral Volterra
( )−
dengan
=
: [ , ]→ [ , ]
= 0,1,2, …,
( )=
∫
Perhatikan bahwa persamaan (26)
adalah
sebarang fungsi kontnu pada
untuk
Bukti.
( )+
=
∫
∫
( )−
( )|
( , ) ( )
( , ) ( )
−
persamaan (4.26) merupakan fungsi
kontinu pada [ , ] dan kernel
kontinu
pada daerah
dengan
≤
≤ ,
dalam bidang-
≤ ≤ . Maka persamaan
(26) mempunyai solusi tunggal
[ , ] untuk setiap .
∫
=
pada
∫
∫
∫
( , ) ( )
( , ) ( )
( , ) ( )
( , ) ( )
−
−
128
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
≤| | ∫
( , ) ( )
= | | ∫
( , )
∫
−
( , ) ( )
∫
( )− ( )
= | |
( , )( − ).
= | | ∫
( , )
≤ | | (4.28)
∫
≤| |
(
| |
)
( , ).
!
Untuk
( )−
(29)
( )| ≤
= 1 diperoleh pertidaksamaan
(28). Asumsikan pertidaksamaan (29)
berlaku untum
, dari pertidaksamaan
=
( )+
( )+
=
∫
∫
= | | ∫
∫
∫
( )−
∫
( , )
!
(
= | |
( , ) ∫
)
(
)!
(
)
!
( , ).
Jadi terbukti bahwa pertidaksamaan
∈ ℕ.
(29) berlaku untuksetiap
Dengan menggunakan −
( , )
( , )
( )
( , )
( )
( )
( )
−
−
−
∈
akan
pada ruas kanan pertidaksamaan (29)
−
(
)≤
,
dengan
(
= | |
( )
( , )
( )
≤
tercapai, sehingga akan diperoleh
( )|
( , )
( , )
)
dan nilai maksimum untuk
(27) diperoleh
|
( )
(
∫| |
Akan ditunjukkan dengan induksi
|
( )−
( )−
= | | | |
bahwa
( )−
( )
( , )∫
= | |
( , )
( )
( )− ( )
≤| |
= | | ∫
Untuk
tetap dan
( , )
)
!
.
yang cukup besar
maka akan diperoleh
< 1 . Berarti
adalah pemetaan kontraktif pada
[ , ] . Akibat dari teorema akan
diperoleh lema berikut ini.
129
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
→
Lema (Titik Tetap)[1]. Misal :
tetap dari
adalah pemetaan pada ruang metrik
adalah pemetaan kontraktif pada
untuk suatu bilangan bulat positif
Maka
.
pada persamaan integral.
)−
Diketahui ( ) = sin (
Bukti.
adalah
=
tidak bisa
Contoh 3. Teorema titik tetap Banach
mempunyai titik tetap.
Asumsikan bahwa
, Perhatikan bahwa
memiliki titik tetap lebih dari satu.
= ( , ) , dan misal
lengkap
dari
juga merupakan titik tetap
∫
( )
, dan
( ) = sin (
+
).
Akan ditentukan solusi dari persamaan
pemetaan kontraktif pada
. Dengan
di atas dengan metode iterasi
teorema titik tetap Banach, pemetaan ini
mempunyai tetap satu titik tetap
yakni
.
=
Berarti
=
.
Teorema Banach juga mengakibatkan
bahwa
Khususnya
( ) = sin (
,
∫
( )
.
)−
+
Sehingga diperoleh barisan sebagai
berikut:
=
→
jika
, karena
→ ∞.
=
( )=
,
sin (
maka diperoleh
=
)−
+ ∫
sin (
)−
+
sin (
)
)−
+
( )
= lim
→
= lim
→
= lim
→
=
∫
= lim
=
.
→
Ini menunjukkan bahwa
titik tetap dari
sin (
adalah
. Karena setiap titik
∫
sin (
)
130
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
cos(
)−
= sin (
)+
= sin (
))
cos(
)
−
−
=
+ ∫
sin (
)−
∫
sin (
∫
∫
+
=
−
∫
)
)−
−
)−
+
)−
( sin (
( −4
−2+ 4
sin (
−
cos(
)+
)+
+
2 cos(
)+
−
( −4
)))
=
)−
sin (
)
∫
=
sin (
+
( )
+ 2
sin (
cos(
))
)+
)−
−
) + 2 cos(
)−
sin (
=
sin (
+
−2+
( )=
sin (
cos(
)+
))
( )
sin(
−
( −4
−
cos(
4
+
) + 2 cos(
)−
= sin (
2
)−
)+
sin (
2
( )=
sin (
cos(
4
(1 −
+
( sin (
( −4
+
+ 2
−2+
2 cos(
+
)−
−2+ 4
sin (
−
cos(
)+
)+
)))
131
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
Perhatikan
=
sin (
−
)−
24 + 32
( −32
− 16
cos(
−4
8
{
+
)+
)+
( sin(
24
−
)+
cos(
8
24 cos(
( )} akan konvergen ke
)−
sin (
( )=
.
pada persamaan integral.
)+
cos(
16
barisan
Contoh 4. Teorema titik tetap Banach
+
( sin(
16
−
untuk | | ≤ 1 ,
∫
)) +
Diketahui ( ) = −
( )
, dan
+ √ +
( )= √ .
Akan ditentukan solusi dari persamaan
di atas dengan metode iterasi
)
=
( )=
sin (
−
)−
24 + 32
8
16
16
8
24
+
( −32
cos(
−4
)+
−
)+
cos(
)+
( sin (
)) +
)
( )
.
berikut:
( )=
)+
cos(
+ √ + ∫
Sehingga diperoleh barisan sebagai
+
( sin (
24 cos(
− 16
−
−
−
+ √ + ∫
( )
= −
+ √ + ∫
= −
+ √ +
= −
+ √ +
132
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
( )=
−
+ √ + ∫
= −
( )
=
−
+ √ +
−
∫
= −
= −
= −
+ √ +
+
+
+
+
−
∫
−
+ √ +
+ √ −
−
−
+ √ +
+
−
+
+
+
+
+
+ √ −
= −
+
−
+
+
( )=
+
+
−
+ √ + ∫
( )
=
−
+ √ +
∫
+ √ + ∫
+
−
+
( )=
−
= −
∫
+ √ +
−
+
( )
+
−
+
−
+
=
−
∫
+ √ +
+
−
+
= −
+
−
−
+ √ +
+
+
∫
−
−
+
+
133
ISSN 1979-8911
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
= −
−
+ √ +
−
+
+
+
+
linear,
persamaan
differensial
dan
integral.
−
Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih
= −
+ √ −
+
+
+
−
−
+
kepada DIPA-BOPTAN UIN SGD
Bandung
yang
telah
memberikan
bantuan penelitian kepada penulis.
Referensi
[1.]
Perhatikan
{
untuk | | ≤ 1 ,
( )} akan konvergen ke
−
barisan
( )=
Functional Analysis With Applications,(
1978).
[2.]
+ √ .
Erwin Kreyszig, Introductory
Fell, D.A., “Metabolic Control
Analysis: a survey of its theoretical and
experimental development”, Biochem.
J. 286 (1992), 313-330.
Kesimpulan
[3.]
Titik tetap operator dapat ditentukan
dengan cara membentuk barisan iterasi
yang kontraktif,. Barisan kontraktif
S.M.,
Heinrich,
Metabolic
R.
dan
Rapoport,
regulation
and
mathematical models, Prog. Biophys.
Molec. Biol. 32 (1977),1-82.
[4.]
Shifton, D.C., An introduction to
dapat diperoleh jika operator bersifat
Metabolic Control Analysis, Deanna C,
kontraktif, dan teorema titik tetap
Shifton, 2007.
Banach menjamin bahwa titik tetap ada
[5.]
Einar Hille, Method in Classical
and Functional
dan
tunggal.
Keberadaan
dan
ketunggalan titik tetap tersebut dapat
diaplikasikan pada sistem persamaan
Analysis,
Addison-
Wesley Publising Company, 1972.
[6.]
Casper Goffman and George
Pedrick, First Course in Functional
Analysis, Prentice hall, India, 1974.
134
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
ISSN 1979-8911
Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert,
Introduction to Real Analysis 4th
Edition, John Willes and Sons Inc, 2011.
Esih Sukaesih*
Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan
Teknologi
UIN Sunan Gunung Djati Bandung
esih.yjf@gmail.com
*Corresponding author
135