Kumpulan Contoh Jurnal Matematika Murni | 13931 28312 1 SM

SUBGRUP �-NORMAL DAN SUBRING �� -MAX
Kristi Utomo1, Nikken Prima Puspita2, R. Heru Tjahjana3,
Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro
Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang

kristiu24@gmail.com

ABSTRACT. For any group ,∗ , subgroup
of is called �-normal subgroup if there
exist a normal subgroup � of such that ∗ � = and ∩ � ≤ � where � is maximal
normal subgroup of which is contained in . On the other side, for each ring �, +,∙ ,
subring of � is called � -max subring if there exist an ideal � of � such that + � = �
and ∩ � ≤ � where � is maximal ideal of � which is contained in . Subgroup normal
of is �-normal subgroup if and only if is maximal normal subgroup and ideal of � is
is maximal ideal. Every group and ring is �-normal
� -max subring if and only if
subgroup and � -max subring of itself.
Keywords: maximal normal subgroup, �-normal subgroup, maximal ideal,
I.

� -max

subring.

PENDAHULUAN

Teori grup dan ring merupakan dua struktur aljabar yang paling banyak dipelajari.
Dalam perkembangannya muncul berbagai konsep baru yang telah dikemukakan oleh para
ilmuwan. Grup merupakan suatu himpunan tak kosong
yang memenuhi kondisi: (1)

, dengan suatu operasi biner ∗

memenuhi sifat asosiatif, (2) eksistensi elemen identitas, (3)

eksistensi elemen invers [1]. Ring merupakan himpunan tak kosong � dengan dua operasi

biner, yaitu penjumlahan + dan perkalian ∙ , dan memenuhi kondisi: (1) � merupakan

grup abelian terhadap operasi penjumlahan, (2) � merupakan semigrup terhadap operasi

perkalian, (3) memenuhi sifat distributif kiri dan distributif kanan terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian [2]. Beberapa konsep yang merupakan pengembangan dari teori
grup dan ring adalah subgrup �-normal dan subring

� -max.

Konsep subgrup �-normal pertama kali dipopulerkan oleh Yanming Wang [3] pada

tahun 1994. Subgrup
� dari

disebut subgrup �-normal dari grup , jika terdapat subgrup normal
∗� =

sedemikian sehingga

normal maksimal dari

dan

yang termuat di dalam

∩� ≤

.

�,

dengan

�

merupakan subgrup

Konsep subgrup �-normal pada grup menjadi dasar pemikiran terbentuknya struktur

pada ring yang disebut subring
[4]. Subring
+ � = � dan

dalam

.

disebut subring
∩� ≤

�,

� -max

yang dikemukakan oleh Yildiz Aydin dan Ali Pancar

� -max,

dengan

�

jika terdapat ideal � atas � sedemikian sehingga
merupakan ideal maksimal atas � yang termuat di

II.

HASIL DAN PEMBAHASAN

2.1 Subgrup �-normal

Subgrup �-normal merupakan bentuk khusus dari subgrup yang diperoleh dari

pengaitan antara subgrup dan subgrup normal dari suatu grup.
,∗ dan

Definisi 2.1.1 [3] Diberikan grup

asalkan terdapat subgrup normal � dari grup

normal dari grup

∗� =

subgrup dari . Subgrup

∩� ≤

dan

yang termuat dalam

.

�,

dimana

disebut subgrup � -

sedemikian sehingga

adalah suatu subgrup normal maksimal dari

�

Setiap subgrup normal maksimal merupakan subgrup �-normal, seperti yang

diberikan dalam teorema berikut:
Teorema 2.1.2 Diberikan grup

merupakan subgrup � -normal dari

,∗ dan

subgrup normal dari

jika dan hanya jika

. Subgrup normal

merupakan subgrup normal

maksimal dari .

Bukti:
merupakan subgrup �-normal dari

Diketahui

sedemikian sehingga
maksimal dari

∗� =

∩� ≤

dan

yang termuat di dalam

, maka terdapat subgrup normal � dari

�.

Oleh karena

, maka haruslah

�

�

=

merupakan subgrup normal maksimal dari . Sebaliknya, diketahui
maksimal dari . Oleh karena
di dalam

, maka

normal � =

=

�.

�

adalah subgrup normal
. Dengan demikian
adalah subgrup normal

merupakan subgrup normal maksimal dari

yang termuat

Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa terdapat subgrup

sedemikian sehingga

merupakan subgrup �-normal dari .

∗

=

dan

∩

≤

=

�.

Jadi terbukti bahwa
∎

Berikut ini diberikan akibat dari Teorema 2.1.2 yang menerangkan subgrup normal

sebagai subgrup �-normal dan grup grup faktornya:

Akibat 2.1.3 Diberikan grup
normal

,∗ dan

merupakan subgrup � -normal dar i

merupakan subgrup normal dari
jika dan hanya jika grup faktor

grup simple.

. Subgrup

⁄

adalah

Bukti:
Diketahui subgrup normal

merupakan subgrup �-normal dari . Berdasarkan Teorema 3.2,

merupakan subgrup normal maksimal dari

. Oleh karena

merupakan subgrup normal

maksimal, maka grup faktor ⁄

adalah grup simple, maka

adalah grup simple. Sebaliknya, diketahui grup faktor ⁄

merupakan subgrup normal maksimal dari

. Oleh karena

merupakan subgrup normal maksimal, maka berdasarkan Teorema 2.1.2,

merupakan

subgrup �-normal dari .

∎

Berikut ini diberikan lemma mengenai pengaitan antara beberapa subgrup dari suatu

grup dan grup faktor:
Lemma 2.1.4 [4] Diberikan grup
∩

maka

∗

=

∗

∩

.

,∗ dan , ,
,∗ dan

Lemma 2.1.5 [4] Diberikan grup
�≤

≤

=

. Grup

�⁄� .

,∗ ,

Teorema 2.1.6 [3] Diberikan grup
yang memenuhi � ≤

dari

Bukti:

sedemikian sehingga

yang memenuhi � ≤ � ≤

dimana �

⁄� =

∗ � jika dan hanya jika

⁄� ∗

=

sedemikian sehingga
⁄� =

⁄� ∗

merupakan subgrup � -normal dari

. Subgrup

jika dan

∗ � dan

�

⁄� dengan � ∗

⁄� yang termuat di dalam
⁄� sedemikian sehingga

⁄� adalah subgrup �-normal dari

normal dari

∩� ≤

, maka terdapat subgrup normal � dari
�.

berdasarkan Lemma 2.1.5 diperoleh

� ∗ � ⁄� . Berdasarkan Lemma 2.1.4 diperoleh

∩ � ⁄� ≤ � ∗

�

dan � adalah subgrup normal

subgrup dari

merupakan subgrup �-normal dari

Diketahui

dan

≤ ,

⁄� adalah subgrup � -normal dari ⁄� .

hanya jika

�∗

. Jika

Berikut ini diberikan teorema mengenai grup faktor dan subgrup �-normal dari grup

faktor:

dari

adalah subgrup dari

dengan � adalah subgrup normal dari

adalah subgrup normal dari

�∗

merupakan subgrup dari

�

⁄� merupakan subgrup normal maksimal

⁄� . Dengan demikian diperoleh

⁄� ∩

� ∗ � ⁄� ≤

⁄�

⁄� . Sebaliknya diketahui

⁄� , maka terdapat ideal �⁄� sedemikian sehingga

⁄� ∩ �⁄� ≤

⁄� ∩ �⁄� ≤

⁄�

subgrup �-normal dari .

⁄�

� ⁄�

� ⁄�

∩ � ∗ � ⁄� =

. Dari Lemma 2.1.5 diperoleh

, diperoleh

∩� ≤

�.

� ⁄� .

⁄�

� ⁄�

=

Jadi, terbukti bahwa

⁄� adalah subgrup �⁄� =
=

⁄� ∗ �⁄�

∗ �. Oleh karena

Jadi, terbukti bahwa

adalah
∎

Selanjutnya diberikan definisi dan teorema mengenai grup yang tidak memiliki

subgrup �-normal kecuali {�} dan dirinya sendiri:

Definisi 2.1.5 [1] Diberikan grup
subgrup � -normal kecuali {�} dan

,∗ . Grup
sendiri.

,∗ . Grup

Teorema 2.1.6 [1] Diberikan grup
adalah grup simple.

disebut � -simple asalkan

tidak mempunyai

merupakan �-simple jika dan hanya jika

Bukti:
Diketahui

adalah grup �-simple, maka subgrup �-normal dari

Oleh karena subgrup �-normal dari

hanya {�} dan

hanya {�} dan

sendiri.

sendiri, maka {�} merupakan subgrup

normal maksimal dari . Oleh karena {�} merupakan subgrup normal maksimal, maka tidak
ada subgrup normal lain yang memuat {�} kecuali
hanya {�} dan

subgrup normal dari

Sebaliknya, diketahui

dan {�} sendiri. Dengan demikian

sendiri. Jadi terbukti bahwa

adalah grup simple, maka {�}

merupakan grup simple. Oleh karena

merupakan satu-satunya subgrup normal maksimal dari . Misalkan
maka terdapat subgrup �-normal
� = , sedemikian sehingga
normal maksimal dari
∩

=

∗� =

≤ {�}, maka

Subring

� -max

�

∩� ≤

�

bukan grup �-simple,

< . Terdapat subgrup normal

dengan

�

merupakan subgrup

. Oleh karena satu-satunya subgrup normal

= {�}. Oleh karena

�

= {�} ≤

dan

= {�}. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa

simple grup. Jadi terbukti bahwa

2.2 Subring �� -max

dan

yang termuat di dalam

hanyalah {�}, maka

maksimal dari

dengan {�} <

dari

adalah grup simple.

adalah �-simple grup.

∩� =

bukan �∎

merupakan merupakan bentuk khusus dari subring dari suatu ring

yang diperoleh dari pengaitan antara subring dengan ideal.
Definisi 2.2.1 [5] Diberikan ring �, +,∙ dan
� -max

dan

subring dari �. Subring

disebut subring

dari ring � asalkan terdapat ideal � dari ring � sedemikian sehingga

∩� ≤

�,

dimana

�

adalah ideal maksimal dari � yang termuat dalam .

Setiap ideal maksimal dari suatu ring merupakan subring

diberikan dalam teorema berikut:
Teorema 2.2.2 [5] Diberikan ring �, +,⋅ dan
merupakan subring

� -max dari

Bukti:
Diketahui ideal

� jika dan hanya jika

merupakan subring

sedemikian sehingga

+ � = � dan

� -max

∩� ≤

� -max,

+� =�

seperti yang

sebagai ideal dari ring � . Ideal
adalah ideal maksimal dari � .

dari ring �, maka terdapat ideal � dari �
�.

Oleh karena

�

adalah ideal maksimal

dari � yang termuat di dalam

maka haruslah

maksimal dari �. Sebaliknya, diketahui

�

=

. Jadi terbukti bahwa

adalah ideal maksimal dari �. Oleh karena

merupakan ideal maksimal dari � yang termuat di dalam
terdapat ideal � sedemikian sehingga
merupakan subring

� -max

dari ring �.

adalah ideal

+ � = � dan

, maka

∩ �≤

�.

�

=

�

. Selanjutnya

Jadi, terbukti bahwa
∎

Berikut ini diberikan beberapa akibat dari Teorema 2.2.2 yang menerangkan
hubungan ideal, ring faktor dan subring

� -max:

Akibat 2.2.3 [5] Jika �, +,⋅ merupakan ring dengan elemen satuan, maka setiap ideal dari
� termuat di dalam subring
Bukti:

� -max dari

�.

Diketahui � ring dengan elemen satuan, maka � memiliki minimal dua ideal trivial. Oleh
karena setiap ideal dari � termuat dalam suatu ideal maksimal dan berdasarkan Teorema
2.2.2 setiap ideal maksimal dari � adalah subring

di dalam subring
� -max

dari �.

� -max.

Bukti:

� -max dari

Diketahui ideal

� -max

adalah ideal maksimal dari �. Oleh karena

lapangan. Oleh karena � ⁄

dari �, maka berdasarkan Teorema 2.2.2

adalah ideal maksimal, maka � ⁄

lapangan, maka ideal dari � ⁄

merupakan lapangan. Oleh karena � ⁄

merupakan ideal maksimal dari �. Berdasarkan Teorema 2.2.2,

merupakan

hanya {0} dan � ⁄ . Jadi
adalah ring simple,

hanya � ⁄� = {�̅ } dan � ⁄ . Oleh karena ideal dari � ⁄

{�̅ } dan � ⁄ , maka � ⁄

merupakan

adalah ring simple.

merupakan ring simple. Sebaliknya, diketahui � ⁄

maka ideal dari � ⁄

∎

merupakan ideal dari � . Ideal

� jika dan hanya jika ring faktor � ⁄

merupakan subring

terbukti bahwa � ⁄

dari �, maka ideal dari � termuat

Jadi terbukti bahwa setiap ideal dari � termuat di dalam subring

Akibat 2.2.4 [5] Diberikan ring �, +,⋅ dan
subring

� -max

hanya � ⁄� =

adalah lapangan, maka
merupakan subring

max dari �.

�-

∎

Berikut ini diberikan beberapa lemma mengenai pengaitan subring dengan subring,

subring dengan ideal, dan ring faktor:
Lemma 2.2.5 [4] Diberikan ring �, +,⋅ dan

maka

+

∩

=

∩

+ .

, ,

adalah subring dari � . Jika

≤ ,

Lemma 2.2.6 [4] Diberikan ring �, +,⋅ . Jika

adalah subring di � dan

Lemma 2.2.7 [4] Diberikan ring �, +,⋅ dan

adalah subring dari � sedemikian sehingga

∩

maka

�≤

adalah ideal dari .

suatu ideal di � ,

≤ � dengan � adalah ideal yang memenuhi � ≤ � ≤ � dimana � adalah ideal dari
+ � jika dan hanya jika � ⁄� =

� . Ring � =

⁄� + �⁄� .

Berikut ini diberikan teorema mengenai subring

� -max

local subring:

Teorema 2.2.8 [5] Diberikan ring �, +,⋅ . Diketahui
ring yang memenuhi
subring

� -max dari

Bukti:
Misalkan

�.

≤ � ≤ �. Jika

merupakan subring

� yang memenuhi

+ � = � dan

subring dari � dan � adalah local

adalah subring

� -max

dari � dan

∩� ≤

Lemma 2.2.5 diperoleh � = � ∩ � = � ∩

�.

dari suatu ring dan suatu

dari � , maka

� -max

adalah

≤ � ≤ �, maka terdapat ideal � dari

Oleh karena � ≤ �, maka berdasarkan

+� =

+ � ∩ � . Oleh karena � subring

dan � ideal dari �, maka berdasarkan Lemma 2.2.6 � ∩ � merupakan ideal dari � dan
�∩� =

tunggal
�.

�.

�

∩� ∩� ≤

�

dari �. Oleh karena

Oleh karena

�

terbukti bahwa

∩ �. Oleh karena � lokal, maka terdapat ideal maksimal
≤ � ≤ �, maka

∩ �∩� =

�

� -max

dari �.

Selanjutnya diberikan teorema mengenai sifat subring
sebagai berikut:
Teorema 2.2.9 [5] Diberikan ring �, +,⋅ ,
sedemikian sehingga � ≤

Bukti:

Diketahui

⁄�

. Subring

� ⁄�

adalah subring

sehingga � =

+ � dan

adalah subring

-max dari � ⁄� .
� -max

∩� ≤

�+

�

� -max

�

∩� ≤

∩�≤

. Jadi
∎

pada ring faktor

subring dari � dan � adalah ideal dari �
� -max

dari � jika dan hanya jika

dari �, maka terdapat ideal � dari � sedemikian

�.

Oleh karena � =

berdasarkan Lemma 2.2.7 diperoleh � ⁄� =

Lemma 2.2.5 diperoleh

∩ �∩� ≤

merupakan ideal maksimal dari � yang termuat di dalam

merupakan subring

⁄� adalah subring

∩� ∩� =

adalah ideal maksimal tunggal dari �, maka

Dengan demikian

∩

⁄� +

∩ � + � ⁄� = � +

+ � dan

� + � ⁄�

∩� ≤

maka

dan berdasarkan

∩ � ⁄� ≤ � +

⁄� adalah ideal maksimal dari � ⁄� yang termuat di dalam

�,

�

⁄� dimana

⁄� . Dengan demikian

diperoleh
⁄�

� ⁄� .

diketahui

⁄�

� ⁄�

= �+

Jadi, terbukti bahwa

�

⁄� adalah subring

�⁄� ≤

� ⁄�

⁄�

� ⁄�

⁄� + �⁄�

, diperoleh

∩� ≤

III.

� ⁄�

⁄� ∩

� + � ⁄� ≤

-max dari � ⁄� . Sebaliknya,

-max dari � ⁄� , maka terdapat ideal �⁄� dari � ⁄�

⁄� ∩ �⁄� ≤

dan

⁄� + �⁄� , maka diperoleh � =

⁄�

dari � .

⁄� adalah subring

⁄�

sedemikian sehingga � ⁄� =

karena � ⁄� =

⁄� , sedemikian sehingga

�.

⁄�

+ �. Oleh karena

Jadi, terbukti bahwa

� ⁄�

adalah subring

dalam

�,

dengan

�

merupakan subgrup normal maksimal dari

merupakan subgrup normal maksimal dari
yang memenuhi � ≤

Subgrup

dan grup faktor

dengan � ⊴

∗� =

yang termuat di

jika dan hanya jika
⁄

adalah grup simple.

merupakan subgrup �-normal dari

⁄� adalah subgrup �-normal dari

dan hanya jika

disebut

sedemikian sehingga

merupakan subgrup �-normal dari

. Subgrup normal

� -max

KESIMPULAN

subgrup �-normal, asalkan terdapat subgrup normal � dari
∩� ≤

⁄� ∩
∎

Dari pembahasan dalam subbab sebelumnya, diperoleh kesimpulan bahwa subgrup

dan

. Oleh

jika

⁄� . Grup yang hanya mempunyai

subgrup �-normal {�} dan dirinya sendiri disebut grup � -simple.
Subring

disebut subring

sehingga

+ � = � dan

termuat di dalam

� -max

. Ideal

∩� ≤

dari ring � asalkan terdapat ideal � dari � sedemikian
�,

dimana

�

merupakan subring

merupakan ideal maksimal dari � yang
� -max

merupakan ideal maksimal dari � dan ring faktor � ⁄
termuat dalam subring
memenuhi
� -max

subring

IV.

� -max

dari �. Jika

dari � jika dan hanya jika

merupakan ring simple. Setiap ideal

merupakan subring

≤ � ≤ �, dimana � adalah local subring dari �, maka

dari �. Subring
� -max

yang memenuhi � ≤

dari � jika dan hanya jika

� -max

merupakan subring

dengan � adalah ideal dari

⁄� adalah subring

⁄�

dari � yang

� ⁄�

merupakan

-max dari � ⁄� .

DAFTAR PUSTAKA

[1] Fraleigh, John B. 2003. A First Course In Abstract Algebra, Seventh Edition. University
of Rhode Island. United State.
[2] Gilbert, Jimmie and Linda Gilbert. 1984. Element of Modern Algebra . Prindle. Webel and
Schmidt. Boston.

[3] Yanming Wang. 1994.

-Normality of Groups and Its Properties. Journal of Algebra.

180: 954-965.
[4] T. W. Hungerford. 1973. Algebra . Springer-Verlag Press. New York.
[5] Yildiz Aydin and Ali Pancar. 2012. On Subrings of Rings. International Journal of
Algebra . 6 (25) : 1233-1236.