TAP.COM - VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS - PRIMA-PENS - POLITEKNIK ...

Program Pasca Sarjana Terapan
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya

S
N

E
P

Probabilit y and Random Process
Topik 4. Variabel Acak dan Distribusi
Probabilitas
Prima Kristalina
April 2015

1

Out line
1.
2.
3.

4.

S
N

Definisi Variabel Acak
Jenis Variabel Acak: Diskrit dan Kontinyu
Probabilitas Distribusi Variabel Acak
Fungsi Densitas Probabilitas pada variabel
acak: PMF dan PDF
5. Fungsi Distribusi Kumulatif (cdf) pada
Variabel Acak

E
P

2

Variabel Acak

S
N

• Suatu fungsi yang bernilai riil dari domain ruang
sampel dari sebuah eksperimen acak.
• Nilainya berhubungan dengan kejadian
sederhana dalam ruang sampelnya.
▫ Contoh:

E
P

 Kandungan sulfur pada 1 kuintal pupuk
 Jarak yang ditempuh untuk 10 liter bensin
 Jumlah hari hujan dalam setahun

3

Ilust rasi

. a1

. a2

. a3 . a4

S
N

 Variabel acak dari ruang sampel yang
mempunyai anggota a1, a2, a3 dan a4.
 X(a3) adalah variabel acak yang
menghubungkan nilai riil 2,0 ke elemen a3.
Artinya a3 bernilai 2,0.
 Istilah acak digunakan karena nilai dari
eksperimen a belum dapat dipastikan
sebelumnya

E
P

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

Statistika Industri (Var. Random & Distribusi Prob.) – Adithya Sudiarno, ST,MT

4

Variabel Acak
• Variabel Acak Diskrit:

S
N

E
P

 Variabel yang memiliki nilai pada titik tertentu.
 Nilai dari variabel ini dapat dihitung (countable).
 Contoh:

Jumlah hari hujan dalam 1 tahun

• Variabel Acak Kontinyu:

 Variabel yang memiliki nilai pada range tertentu.
 Nilai dari variabel ini tak hingga banyaknya
sepanjang interval tertentu
 Contoh:
Jumlah volume hujan dalam 1 tahun

5

Variabel Acak

 Notasi:

 Fungsi:

S
N

E
P

▫ X  variabel acak
▫ x  nilai variabel acak

▫ Suatu fungsi variabel acak adalah merupakan
variabel acak juga
▫ Jika X adalah variabel acak, maka Z  f  X  adalah
variabel acak juga.
6

Variabel Acak

• Contoh 1:

S
N

E
P

 Sebuah laundry memiliki 4 mesin cuci yang bisa disewa
pelanggan. Diperkirakan mesin-mesin tersebut dapat
berfungsi hingga 5 tahun ke depan. Jika X menyatakan
keadaan mesin yang masih baik, tentukan ruang sampel
dari variabel acak X.

▫ Jawab:

Jika B menyatakan kondisi mesin baik, dan R menyatakan
mesin rusak, maka kombinasi dari kemungkinan kondisi ke4 mesin cuci tersebut adalah: BBBB, BBBR, BBRB, BBRR,
BRBB,BRBR,BRRB,BRRR,RBBB,RBBR,RBRB,RBRR,RRBB,
RRBR,RRRB,RRRR

7

Variabel Acak

S
N

Kondisi Mesin

Bil_Real

RRRR
BBBR,BBRB,BRBB,RBBB
BBRR,BRRB,BRBR,RBRB,RRBB,RBBR
BRRR,RBRR,RRBR,RRRB
BBBB

E
P

• Dari tabel dapat diketahui variabel acak X
adalah: X=0,1,2,3,4 dan ruang sampel S adalah:
S   x | 0  x  4

8

Probabilit as Variabel Acak

S
N

• Peluang terjadinya / kemunculan nilai dari variabel acak X.
• Nilainya berkisar dari 0 sampai 1.

E
P

• Peluang kemunculan nilai variabel acak X pada sebuah range
tertentu akan tersebar dengan model sebaran tertentu 
Distribusi Probabilitas.

• Jumlahan dari seluruh fungsi distribusi probabilitas akan
menuju ke nilai maksimum dari probabilitas, yaitu 1.
Jumlahan ini dinamakan: Cum m ulative Distribution
Function (CDF).
9

Dist ribusi Probabilit as Variabel Acak Diskrit

S
N

• Fu n gs i Mas s a Pro babilitas (Probability Mass
Function - pm f):

E
P

a. Jika pada sebuah pengamatan ditampilkan seluruh
outcom e (keluaran) yang mungkin dari variabel diskrit X,
yaitu x1, x2, ... ,xn maka nilai-nilai probabilitas masingmasing variabel diskrit X dinyatakan sebagai:

P  X  x1  , P  X  x2  , P  X  x3  ,..., P  X  xn  atau
p  x1  , p  x2  , p  x3  ,..., p  xn 

b. Nilai-nilai dari fungsi probabilitas berada dalam interval
0 sampai 1, sehingga 0  p  x   1
c. Jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas adalah 1,
sehingga:  p  x   1
10

Dist ribusi Probabilit as Variabel Acak Diskrit

S
N

• Fu n gs i D is tribu tif Ku m u latif (Cum m ulative
Distribution Function – cdf):

E
P

▫ Menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi
probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan
suatu nilai yang ditetapkan.
▫ dinyatakan sebagai:
F  x   P  X  x    p  

dan

 x

F  x  P  X  x
=P  X  x1   P  X  x2   ...  P  X  xn 
11

Dist ribusi Probabilit as Variabel Acak Diskrit

S
N

• Mean dari distribusi probabilitas diskrit

E
P
n

 x   xi p  xi 
i 1

• Varians dari distribusi probabilitas diskrit
n

    xi   x  p  xi 
2
x

2

i 1

12

Dist ribusi Probabilit as Variabel Acak Diskrit

S
N

▫ Contoh 2:

Dari pelemparan dua dadu, dapatkan probabilitas jumlahan
yang mungkin dari kedua dadu tersebut
Jawab:
1
P  X  2  P 1,1 
Ruang sampel :
36
2
P  X  3  P 1, 2  ,  2,1  
36
S   X | X  2 dan X  12
3

E
P

Probabilitas ruang sampel:
 12

P  S   P    X  i 
 i 2

12

=  P  X  i
i 2

P  X  4  P 1, 3  ,  2, 2  ,  3,1  

36
4
P  X  5  P 1, 4  ,  2, 3  ,  3, 2  ,  4,1 
36
5
P  X  6  P 1, 5  ,  2, 4  ,  3, 3  ,  4, 2  ,  5,1 
36
6
P  X  7  P 1, 6  ,  2, 5  ,  3, 4  ,  4, 3  ,  5, 2  ,  6,1 
36
5
P  X  8  P  2, 6  ,  3, 5  ,  4, 4  ,  5, 3  ,  6, 2  
36
4
P  X  9  P  3, 6  ,  4, 5  ,  5, 4  ,  6, 3  
36
3
P  X  10  P  4 , 6  ,  5, 5  ,  6, 4  
36
2
P  X  11  P  5, 6  ,  6, 5  
36
1
P  X  12  P  6, 6  
36
13

Dist ribusi Probabilit as Variabel Acak Diskrit

S
N

0.18

1

0.16
0.14
0.12

0.08
0.06
0.04
0.02
0

E
P

F(x)

p(x)

0.1

2

3

4

5

6

7
x

8

9

10

11

12

Grafik distribusi probabilitas contoh 2

0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

2

3

4

5

6

7

x

8

9

10

11

12

Grafik cdf contoh 2

14

Dist ribusi Probabilit as Variabel Acak Diskrit

S
N

• Contoh 3:

Sebuah dealer motor mempunyai rincian jumlah motor terjual perhari
selama 200 hari seperti berikut:

E
P

Jumlah motor terjual dalam sehari Jumlah hari
2
35
3
76
4
42
5
27
6
20
TOTAL
200

a. Buatlah distribusi probabilitas penjualan motor selama 200 hari
tersebut dan sajikan dalam bentuk grafik.
b. Cari fungsi distribusi kumulatif dan sajikan dalam bentuk grafik

15

Jawab:
a. Distribusi frekuensi dan grafik distribusi frekuensi dari contoh 3
x
2
3
4
5
6
TOTAL

p(x)
0,175
0,38
0,21
0,135
0,1
1

S
N
0.4

0.35
0.3

p(x)

E
P

0.25
0.2

0.15
0.1

0.05
0

2

3

4
x

5

6

b. Fungsi distribusi kumulatif dan grafik cdf dari contoh 3
p(x)

0,175
0,555 =0,175+0,38
0,765 =0,175+0,38+0,21
0,90 =0,175+0,38+0,21+0,135
1,00 =0,175+0,38+0,21+0,135+0,1

0.9
0.8
0.7
0.6
F(x)

x
2
3
4
5
6

1

0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

2

3

4

x

5

6

16

Dist ribusi Variabel Acak Kont inyu

S
N

• Distribusi variabel acak kontinyu sering disebut
sebagai fungsi kepadatan atau Fu n gs i Ke p ad atan
Pro babilitas (probability density function – pdf).
• Fungsi ini bukan fungsi probabilitas
• Pdf dinyatakan sebagai f( x) , dan nilainya bisa lebih
besar dari 1.
• Pdf harus memenui syarat sbb:
f  x  0
a. fungsi kepadatan probabilitas

b. integral seluruh pdf  f  x dx  1

E
P

c.

 x yang terletak antara a dan
Probabilitas variabel acak
b
b memenuhi

P  a  X  b    f  x dx
a

17

Fungsi Kepadat an Probabilit as Variabel Acak Kont inyu

S
N

• Secara teoritis kurva probabilitas populasi diwakili oleh
poligon frekuensi relatif yang dimuluskan (variabel acak
kontinyu diperlakukan seperti variabel acak diskrit yang
rapat).
• Karena itu fungsi f  x  dari variabel acak kontunyu
merupakan fungsi kepadatan probabilitas (probability
density function - pdf).
• Pdf menggambarkan besarnya propabilitas per unit
interval nilai variabel acaknya.

E
P

18

Fungsi Kepadat an Probabilit as Variabel Acak Kont inyu

S
N

E
P

Mukhtasor, JTK-FTK,ITS, Bab 4: Distribusi Probabilitas
19

Fungsi Kepadat an Probabilit as Variabel Acak Kont inyu

S
N

• Mean dari distribusi probabilitas kontinyu:

E
P

 x   x. f  x  dx

• Varians dari distribusi probabilitas kontinyu:
n

     x   x  f  x  dx
2
x

2

i 1

20

Fungsi Kepadat an Probabilit as Variabel Acak Kont inyu

S
N

• Contoh 4:
Diketahui suatu variabel acak X memiliki fungsi kerapatan
probabilitas (pdf) sbb:

E
P

untuk 0  x  2
 x/2
f  x  
untuk nilai x lainnya
0
a. Gambarkan grafik pdf nya
b. Tunjukkan bahwa P  0  X  2   1
c. Hitung P  0,5  X  1,5 

21

1
0.9

• Jawab:

0.8
0.7

S
N

f(x)

0.6

a.

Grafik pdf:

0.5
0.4
0.3
0.2

E
P
0.1

0
-4

-3

-2

-1

b. Bukti P  0  X  2   1

2

0
x

1

2

3

4

2

x
P  0  X  2    f  x dx   dx
2
0
0
2

1 2

x
2.2
0
1
1 2
2
  2   0  1
4
4

c.

1,5

x
2
0,5
1
1
2, 25  0, 25 1
2
2
= 1,5    0,5  

4
4
4
2

Untuk P  0,5  X  1,5 

22

Fungsi Dist ribusi Probabilit as Variabel Acak Kont inyu

S
N

Pada variabel diskrit, cdf dinyatakan sebagai jumlahan
dari fungsi probabilitas masing-masing variabelnya,
sedangkan pada variabel kontinyu cdf dinyatakan
sebagai integral dari fungsi kepadatan variabelnya,
dan nilainya kontinyu dalam interval tertentu

E
P
F  x  P  X  x 



 f  x dx



23

Beberapa sif at Probabilit as Variabel Acak Kont inyu

S
N

1) f  x   0, x
2)



 f  x dx  1



3) F     0
4) F     1

E
P
b

5) P  a  X  b    f  t dt  F  b   F  a 
a

c

6) P  X  c    f  t dt  F  c   F  c   0
c

7) P  a  X  b   P  a  X  b   P  a  X  b   P  a  X  b 

24