PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSI PELUANG
PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSI PELUANG
A. Pengertian Peubah Acak
Definisi 2.1 Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengaitkan
suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.
Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya
dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.
Contoh 2.1
Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola
Ruang sampel
y
merah dan 3 bola hitam. Bila Y
MM
2
dinyatakan jumlah bola merah yang
MH
1
diambil maka nilai y yang mungkin
HM
1
HH
0
dari peubah acak y adalah
Definisi 2.2 Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang
berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya
sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang
Hasil
suatu diskret
percobaan statistika mungkin saja tak berhingga ataupun tak terhitung.
sampel
Selang waktu yang dapat dibuat untuk ruang sampel banyaknya tak berhingga dan tak
terhitung, jadi terlihat sekarang bahwa ruang sampel tidak selalu diskret
Definisi 2.3 Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang
tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada
sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel
kontinu
Suatu peubah acak disebut peubah acak diskret bila himpunan kemungkinan
hasilnya terhitung. Karena kemungkinan nilai y pada contoh 2.1 adalah 0, 1, dan 2,
maka y peubah acak diskret
B. Distribusi Peluang Diskret
Definisi 2.4 Himpunan pasangan terurut (x,f(x)) merupakan
suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi
peluang peubah acak diskret X bila, untuk semua kemungkinan
hasil x
1. f(x) ≥ 0
2. ∑ f(x) = 1
3. p(X = x) = f(x)
Contoh 2.4
Bila 50% mobil yang dijual oleh suatu agen bermesin diesel, cari rumus distribusi
peluang banyaknya mobil bermesin diesel bagi ke 4 mobil berikutnya yang dijual oleh
agen tersebut.
Jawab
Karena peluang menjual mobil bermesin diesel atau bensin 0,5 ke 24 = 16 titik pada
ruang sampel mempunyai peluang yang sama. Jadi, pembagi untuk semua peluang
dan juga untuk fungsi peluang adalah 16. Untuk mencari banyaknya cara menjual 3
mobil bermesin diesel diperlukan memandang banyaknya cara membagi 4 hasil
menjadi 2 bagian dengan 3 mobil bermesin diesel pada suatu bagian dan bermesin
bensin untuk yang lainnya. Ini dapat dibuat dalam
(43 )
= 4 cara. Umumnya,
kejadian menjual x mobil bermesin diesel dan 4-x bermesin bensin dapat terjadi
dalam
(4x )
cara, x bernilai 0, 1, 2, 3 dan 4. Jadi distribusi peluang f(x) = P(X = x)
adalah
F(x) =
(4x )
untuk x = 0, 1, 2, 3, 4
16
Dalam banyak soal diperlukan menghitung peluang bahwa nilai amatan peubah acak
X akan lebih kecil atau sama dengan suatu bilaingan real x. Bila F(x) = P(X ≤ x)
untuk setiap bilangan real x, namakan F(x) sebagai distribusi kumulatif/tumpukan
Definisi 2.5 Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak
diskret X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh
F(x) = P(X ≤ x) = ∑ f(t) untuk -∞ < x < ∞
Contoh 2.5
Hitunglah distribusi kumulatif peubah acak X dalam contoh 2.4. dengan
menggunakan F(x), perlihatkan bahwa f(2) = 3/8.
Jawab
Dengan menghitung langsung distribusi peluang pada contoh 2.4 diperoleh
f(0) = 1/16, f(1) = 1/4, f(2) = 3/8, f(3) = 1/4, dan f(4) = 1/6.
Jadi
F(0) = f(0) = 1/16
F(1) = f(0) + f(1) = 5/16
F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 11/16
F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 15/16
F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1
Sehingga
f (x) =
{
0 bila x
A. Pengertian Peubah Acak
Definisi 2.1 Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengaitkan
suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.
Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya
dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.
Contoh 2.1
Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola
Ruang sampel
y
merah dan 3 bola hitam. Bila Y
MM
2
dinyatakan jumlah bola merah yang
MH
1
diambil maka nilai y yang mungkin
HM
1
HH
0
dari peubah acak y adalah
Definisi 2.2 Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang
berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya
sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang
Hasil
suatu diskret
percobaan statistika mungkin saja tak berhingga ataupun tak terhitung.
sampel
Selang waktu yang dapat dibuat untuk ruang sampel banyaknya tak berhingga dan tak
terhitung, jadi terlihat sekarang bahwa ruang sampel tidak selalu diskret
Definisi 2.3 Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang
tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada
sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel
kontinu
Suatu peubah acak disebut peubah acak diskret bila himpunan kemungkinan
hasilnya terhitung. Karena kemungkinan nilai y pada contoh 2.1 adalah 0, 1, dan 2,
maka y peubah acak diskret
B. Distribusi Peluang Diskret
Definisi 2.4 Himpunan pasangan terurut (x,f(x)) merupakan
suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi
peluang peubah acak diskret X bila, untuk semua kemungkinan
hasil x
1. f(x) ≥ 0
2. ∑ f(x) = 1
3. p(X = x) = f(x)
Contoh 2.4
Bila 50% mobil yang dijual oleh suatu agen bermesin diesel, cari rumus distribusi
peluang banyaknya mobil bermesin diesel bagi ke 4 mobil berikutnya yang dijual oleh
agen tersebut.
Jawab
Karena peluang menjual mobil bermesin diesel atau bensin 0,5 ke 24 = 16 titik pada
ruang sampel mempunyai peluang yang sama. Jadi, pembagi untuk semua peluang
dan juga untuk fungsi peluang adalah 16. Untuk mencari banyaknya cara menjual 3
mobil bermesin diesel diperlukan memandang banyaknya cara membagi 4 hasil
menjadi 2 bagian dengan 3 mobil bermesin diesel pada suatu bagian dan bermesin
bensin untuk yang lainnya. Ini dapat dibuat dalam
(43 )
= 4 cara. Umumnya,
kejadian menjual x mobil bermesin diesel dan 4-x bermesin bensin dapat terjadi
dalam
(4x )
cara, x bernilai 0, 1, 2, 3 dan 4. Jadi distribusi peluang f(x) = P(X = x)
adalah
F(x) =
(4x )
untuk x = 0, 1, 2, 3, 4
16
Dalam banyak soal diperlukan menghitung peluang bahwa nilai amatan peubah acak
X akan lebih kecil atau sama dengan suatu bilaingan real x. Bila F(x) = P(X ≤ x)
untuk setiap bilangan real x, namakan F(x) sebagai distribusi kumulatif/tumpukan
Definisi 2.5 Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak
diskret X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh
F(x) = P(X ≤ x) = ∑ f(t) untuk -∞ < x < ∞
Contoh 2.5
Hitunglah distribusi kumulatif peubah acak X dalam contoh 2.4. dengan
menggunakan F(x), perlihatkan bahwa f(2) = 3/8.
Jawab
Dengan menghitung langsung distribusi peluang pada contoh 2.4 diperoleh
f(0) = 1/16, f(1) = 1/4, f(2) = 3/8, f(3) = 1/4, dan f(4) = 1/6.
Jadi
F(0) = f(0) = 1/16
F(1) = f(0) + f(1) = 5/16
F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 11/16
F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 15/16
F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1
Sehingga
f (x) =
{
0 bila x