CAYLEY COLOR DIGRAPH DARI GRUP SIMETRI DAN GRUP DIHEDRAL.

Oleh: Nur Tri Julia NIM 409530009 Program Studi Matematika

SKRIPSI

DiajukanUntukMemenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

MEDAN 2014

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Mancang, pada tanggal 30 April 1990. Ayah bernama Tugio dan ibu bernama Sumiati, dan merupakan anak ketiga dari empat bersaudara. Pada tahun 1997, penulis masuk SD Negeri 053969 Mancang Kec.Selesai, dan lulus pada tahun 2003. Pada tahun 2003, penulis melanjutkan sekolah di SMP Negeri 1 Binjai Kab.Langkat, dan lulus pada tahun 2006. Pada tahun 2006, penulis melanjutkan sekolah di SMA Negeri 1 Binjai Kab.Langkat, dan lulus pada tahun 2009. Pada tahun 2009, penulis diterima di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan, dan lulus ujian pada tanggal 24 Januari 2014.

iii

CAYLEY COLOR DIGRAPH DARI GRUP SIMETRI DAN GRUP DIHEDRAL

NUR TRI JULIA (409530009)

ABSTRAK

Graf merupakan suatu himpunan tak kosong yang terdiri dari himpunan simpul dan himpunan jalur. Teori graf dapat diaplikasikan pada aljabar abstrak khususnya grup. Pembahasan dalam teori graf menjelaskan suatu graf berarah (digraf) yang dikaitkan dengan grup dan generator yang merupakan subset dari grup. Digraf yang dibentuk dari suatu grup ini dikenal dengan Cayley Color Digraph. Cayley Color Digraph dapat dibentuk dari grup yang berhingga. Setiap elemen dari grup merupakan simpul pada Cayley Color Digraph dan generator dari suatu grup merupakan warna dan arah busur dari simpul-simpul yang berelasi. Permasalahan pada penelitian ini adalah bagaimana bentuk Cayley Color Digraph dari grup Simetri dan grup Dihedral. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa dengan masing-masing generator pada grup Simetri S3 dan grup Dihedral D6 dan D8 dapat diketahui bahwa Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 dan grup Dihedral D6 dan D8 merupakan digraf Hamilton.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan hidayahNya penulis dapat menyelesaikan penelitian skripsi yang berjudul “Cayley Color Digraph Dari Grup Simetri Dan Grup Dihedral” dengan baik. Salawat serta salam terlimpahkan kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah membawa kita dari jalan yang gelap menuju jalan yang terang benderang.

Dalam kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini, mulai dari pengajuan proposal penelitian hingga penyusunan skripsi, antara lain Bapak Dr.E.Elvis Napitupulu, MS selaku dosen pembimbing, serta Bapak Mulyono, S.Si.,M.Si, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si dan Dra. Hamidah Nasution, M.Si selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan saran. Secara khusus kepada ayah dan ibu, serta seluruh keluarga atas segala doa dan dukungannya penulis sampaikan banyak terima kasih. Ucapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada teman-teman seperjuangan yaitu seluruh mahasiswa matematika nondik 09 yang telah memberikan bantuan dan semangat kepada penulis.

Semoga Allah SWT memberikan balasan yang baik atas semua bantuan dan bimbingan yang telah diberikan. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.

Medan, 5 Desember 2013 Penulis,

Nur Tri Julia NIM. 409530009

vi

DAFTAR ISI

Halaman

Lembaran Pengesahan i

Riwayat Hidup ii

Abstrak iii

Kata Pengantar iv

Daftar Isi vi

Daftar Gambar viii

Daftar Tabel x

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Manfaat Penelitian 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 4

2.1 Graf 4

2.1.1 Definisi Graf 4

2.1.2 Lintasan 6

2.1.3 Graf Terhubung 8

2.2 Digraf 9

2.2.1 Definisi Digraf 9

2.2.2 Berelasi (Adjecent) dan Bersisian (Incident) 10

2.2.3 Derajat Simpul 11

2.2.4 Digraf Terhubung 12

2.2.5 Digraf Hamilton 13

2.3 Operasi Biner 13

2.4 Grup 14

2.4.1 Definisi Grup 14

2.4.3 Grup Dihedral 17

2.4.4 Generator dari suatu grup 19

2.5 Cayley Color Digraph 21

BAB III METODOLOGI PENELITIAN 24

3.1 Lokasi dan Waktu Penelitian 24

3.2 Jenis Penelitian 24

3.3 Prosedur Penelitian 24

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 25

4.1 Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 26

4.2 Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D6 32

4.3 Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8 40

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 49

5.1 Kesimpulan 49

5.2 Saran 49

x

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1. Tabel Cayley dari grup Simetri S3 26

Tabel 4.2. Tabel Cayley dari grup Dihedral D6 33

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1.Graf 4

Gambar 2.2.Graf 5

Gambar 2.3.Subgraf dari graf G 6

Gambar 2.4.Graf G 7

Gambar 2.5.Graf Euler 7

Gambar 2.6.Graf Hamilton 8

Gambar 2.7.Graf terhubung dan tidak terhubung 9

Gambar 2.8.Digraf D 10

Gambar 2.9.Digraf D 10

Gambar 2.10.Digraf 11

Gambar 2.11. Digraf terhubung kuat dan terhubung lemah 12

Gambar 2.12.a. Digraf K4 13

Gambar 2.12.b. Sikel Hamilton pada digraf K4 13

Gambar 2.13.Simetri-simetri segitiga 19

Gambar 2.14.Cayley Color Digraph dari grup Siklik Z3 23

Gambar 2.15.Cayley Color Digraph dari grup Siklik Z3 23

Gambar 4.1. Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 28

Gambar 4.2. Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 28

Gambar 4.3. Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 29

Gambar 4.4. Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 29

Gambar 4.5. Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 30

Gambar 4.6. Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 30

Gambar 4.7. Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 31

Gambar 4.8. Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 31

Gambar 4.9. Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 31

Gambar 4.10. Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 32

Gambar 4.11. Simetri-simetri segitiga 32

Gambar 4.12. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D6 35

ix

Gambar 4.14. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D6 36

Gambar 4.15. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D6 36

Gambar 4.16. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D6 37

Gambar 4.17. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D6 37

Gambar 4.18. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D6 38

Gambar 4.19. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D6 38

Gambar 4.20. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D6 39

Gambar 4.21. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D6 39

Gambar 4.22. Simetri-simetri segiempat 40

Gambar 4.23. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8 42

Gambar 4.24. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

43

Gambar 4.25. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

43

Gambar 4.26. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

44

Gambar 4.27. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

44

Gambar 4.28. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

45

Gambar 4.29. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

45

Gambar 4.30. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

46

Gambar 4.31. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

46

Gambar 4.32. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

47

Gambar 4.33. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

Gambar 4.34. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

47

Gambar 4.35. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

48

Gambar 4.36. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

1 BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Seiring dengan kemajuan dan perkembangan teknologi, matematika terus berkembang dan bercabang-cabang. Salah satu cabang matematika yang bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah teori graf. Misalnya, masalah jembatan Konigsberg, merupakan suatu masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Di kota Konigsberg (sebelah timur negara bagian Prussia, Jerman), terdapat sungai Pregal yang mengalir mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua buah anak sungai yang mempunyai tujuh buah jembatan yang menghubungkan daratan dan dibelah oleh sungai tersebut. Masalahnya adalah “Apakah mungkin melalui ketujuh jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali ke tempat semula?. Seorang matematikawan Swiss, L.Euler adalah orang yang pertama berhasil menemukan jawaban masalah itu dengan pembuktian yang sederhana. Ia memodelkan masalah ini kedalam graf. Daratan yang dihubungkan oleh jembatan, dinyatakannya sebagai titik yang disebut simpul (vertex) dan jembatan dinyatakannya sebagai garis yang disebut sisi (edge). (Munir : 2003)

Graf merupakan suatu himpunan tak kosong dari elemen-elemen yang disebut titik dan himpunan sisi yang menghubungkan titik-titik tersebut. Penggunaan istilah dalam teori graf belum sepenuhnnya bersifat baku. Misalkan untuk menyatakan suatu titik digunakan istilah simpul, dan untuk menyatakan suatu sisi digunakan istilah jalur. Istilah- istilah dalam teori graf dapat diterima jika digunakan secara konsisten. (Munir : 2003)

Teori graf dapat diaplikasikan pada beberapa cabang ilmu matematika yang lain, salah satunya adalah aplikasi teori graf pada aljabar abstrak khususnya yang berkaitan dengan grup. Pembahasan dalam teori graf menjelaskan suatu graf berarah (digraph) yang dikaitan dengan grup dan subset dari grup yang disebut pembangkit atau generator.

Graf berarah merupakan graf yang setiap jalurnya mempunyai orientasi arah yang dinyatakan dalam bentuk panah sehingga akan terdapat titik asal dan titik tujuan. Graf berarah yang terbentuk dari suatu grup dapat mempunyai beberapa cara, diantaranya yaitu graf berarah (digraph) yang dibentuk menurut aturan warna Cayley atau dikenal dengan Cayley color digraph.

Cayley color digraph dapat dibentuk dari grup yang berhingga. Himpunan jalur dan himpunan simpul pada Cayley color digraph merupakan elemen dari suatu grup. Dengan adanya generator atau pembangkit pada suatu grup, himpunan jalur pada Cayley color digraph dapat dibentuk dengan warna sesuai pembangkit grup tersebut. (Chartrand dan Lesniak : 1996)

Grup simetri �_� merupakan grup semua permutasi atas himpunan berhingga Ω= {1, 2, … ,�}, dan grup dihedral �_2� merupakan grup yang terdiri dari simetri-simetri segi-n beraturan dengan � ≥ 3. Kedua grup tersebut dioperasikan dengan operasi fungsi komposisi sebagai operasi binernya. (Dummit dan foote :2004)

Merujuk pada penelitian yang sudah ada yaitu Cayley color digraph pada grup siklik �_�, hasil pembahasan menunjukkan bahwa terdapat sikel Hamilton pada Cayley color digraph sehingga bentuk Cayley color digraph dari grup siklik

�� adalah digraf Hamilton. Untuk itu peneliti ingin mengetahui bagaimana bentuk

Cayley color digraph dari grup simetri dan grup dihedral.

Berdasarkan uraian diatas, peneliti ingin mengetahui kajian lebih jauh tentang Cayley color digraph dan kaitannya terhadap grup. Merujuk pada jurnal dan penelitian yang sudah ada belum menjelaskan tentang Cayley color digraph. Untuk itu peneliti tertarik untuk membahasnya. Sehingga judul skripsi penelitian ini adalah “Cayley Color Digraph Dari Grup Simetri Dan Grup Dihedral”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan masalah dalam penulisan skripsi ini adalah :

- Bagaimanakah bentuk Cayley Color Digraph dari grup simetri? - Bagaimanakah bentuk Cayley Color Digraph dari grup dihedral?

3

1.3 Batasan Masalah

Penelitian ini hanya membahas tentang masalah Cayley Color Digraph dari grup simetri �₃ dan Cayley Color Digraph dari grup dihedral �₆ dan �₈.

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji lebih dalam mengenai Cayley Color Digraph dan mengetahui bentuk Cayley Color Digraph dari grup simetri dan grup dihedral.

1.5 Manfaat Penelitian

Dari penelitian ini penulis berharap agar pembahasan ini bermanfaat bagi berbagi kalangan, antara lain:

a. Manfaat bagi Penulis

Untuk mempelajari dan lebih memperdalam pemahaman serta mengembangkan wawasan disiplin ilmu khususnya mengenai cayley color digraph dari grup simetri dan grup dihedral.

b. Manfaat bagi mahasiswa

Sebagai tambahan wawasan dan informasi untuk kajian lebih lanjut mengenai cayley color digraph dan penerapannya sebagai acuan dalam pengembangan penulisan karya tulis ilmiah.

c. Manfaat bagi lembaga

47

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, yaitu Cayley Color Digraph dari grup Simetri �₃ dan grup Dihedral �₆ dan �₈ maka dapat disimpulkan bahwa:

1. Hasil Cayley Color Digraph dari grup Simetri �₃ dengan setiap generator yang dipilih merupakan digraf Hamilton.

2. Hasil Cayley Color Digraph dari grup Dihedral �₆ dan �₈ dengan setiap generator yang dipilih merupakan digraf Hamilton.

5.2 Saran

Penelitian ini hanya membahas mengenai masalah Cayley Color Digraph dari grup Simetri �₃ dan Cayley Color Digraph dari grup Dihedral �₆ dan �₈. Untuk itu bagi pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini, dapat melakukan penelitian tentang Cayley Color Digraph dari grup Simetri dan grup Dihedral dengan orde yang lebih tinggi dengan bantuan program MAPLE dalam menggambarkan hasil Cayley Color Digraph dari grup tersebut. Dan pembaca juga dapat melakukan penelitian tentang Cayley Color Digraph dari grup berhingga yang lain.

48

DAFTAR PUSTAKA

Andruchuk, G., Gosselin, S., Zeng, Y., (2012), Hamiltonian Cayley Digraphs on Direct Product of Dihedral Groups, Open Journal of Discrete

Mathematics, Vol.2: 88-92.

Arifin, Achmad, (2000), Aljabar, Penerbit ITB, Bandung.

Chartrand, G., and Lesniak, L., (1996), Graphs and Digraphs Third Edition, Chapman & Hall/ CRC, USA.

Dummit, David S. and Foote, Richard M., (2004), Abstract Algebra Third Edition, John Wiley & Sons, Inc.,USA.

Fraleigh, John B., (2000), A First Course in Abstract Algebra Sixth Edition, Addison-Wesley Publishing Company, Singapore.

Gallian, Joseph A., (1998), Contemporary Abstract Algebra Fourth Edition, Houghton Mifflin Company, USA.

Gilbert, L., and Gilbert, J., (2009), Elements of Modern Algebra Seventh Edition, Brooks /Cole, USA.

Jalil, Abdul, (2011), Cayley Color Digraph dari grup siklik �_� dengan n bilangan prima, Gamatika, Vol.II, No.1.

Munir, Rinaldi, (2003), Matematika Diskrit Edisi kedua, Informatika, Bandung. Suwilo, Saib, dkk, (1997), Aljabar Abstrak Suatu Pengantar, USU Press, Medan.

x

Gambar 4.34. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8 47

Gambar 4.35. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8 48

Gambar 4.36. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8 48

1 BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Seiring dengan kemajuan dan perkembangan teknologi, matematika terus berkembang dan bercabang-cabang. Salah satu cabang matematika yang bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah teori graf. Misalnya, masalah jembatan Konigsberg, merupakan suatu masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Di kota Konigsberg (sebelah timur negara bagian Prussia, Jerman), terdapat sungai Pregal yang mengalir mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua buah anak sungai yang mempunyai tujuh buah jembatan yang menghubungkan daratan dan dibelah oleh sungai tersebut. Masalahnya adalah “Apakah mungkin melalui ketujuh jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali ke tempat semula?. Seorang matematikawan Swiss, L.Euler adalah orang yang pertama berhasil menemukan jawaban masalah itu dengan pembuktian yang sederhana. Ia memodelkan masalah ini kedalam graf. Daratan yang dihubungkan oleh jembatan, dinyatakannya sebagai titik yang disebut simpul (vertex) dan jembatan dinyatakannya sebagai garis yang disebut sisi (edge). (Munir : 2003)

Graf merupakan suatu himpunan tak kosong dari elemen-elemen yang disebut titik dan himpunan sisi yang menghubungkan titik-titik tersebut. Penggunaan istilah dalam teori graf belum sepenuhnnya bersifat baku. Misalkan untuk menyatakan suatu titik digunakan istilah simpul, dan untuk menyatakan suatu sisi digunakan istilah jalur. Istilah- istilah dalam teori graf dapat diterima jika digunakan secara konsisten. (Munir : 2003)

Teori graf dapat diaplikasikan pada beberapa cabang ilmu matematika yang lain, salah satunya adalah aplikasi teori graf pada aljabar abstrak khususnya yang berkaitan dengan grup. Pembahasan dalam teori graf menjelaskan suatu graf berarah (digraph) yang dikaitan dengan grup dan subset dari grup yang disebut pembangkit atau generator.

2

Graf berarah merupakan graf yang setiap jalurnya mempunyai orientasi arah yang dinyatakan dalam bentuk panah sehingga akan terdapat titik asal dan titik tujuan. Graf berarah yang terbentuk dari suatu grup dapat mempunyai beberapa cara, diantaranya yaitu graf berarah (digraph) yang dibentuk menurut aturan warna Cayley atau dikenal dengan Cayley color digraph.

Cayley color digraph dapat dibentuk dari grup yang berhingga. Himpunan jalur dan himpunan simpul pada Cayley color digraph merupakan elemen dari suatu grup. Dengan adanya generator atau pembangkit pada suatu grup, himpunan jalur pada Cayley color digraph dapat dibentuk dengan warna sesuai pembangkit grup tersebut. (Chartrand dan Lesniak : 1996)

Grup simetri �_� merupakan grup semua permutasi atas himpunan berhingga Ω= {1, 2, … ,�}, dan grup dihedral �_2� merupakan grup yang terdiri dari simetri-simetri segi-n beraturan dengan � ≥ 3. Kedua grup tersebut dioperasikan dengan operasi fungsi komposisi sebagai operasi binernya. (Dummit dan foote :2004)

Merujuk pada penelitian yang sudah ada yaitu Cayley color digraph pada grup siklik �_�, hasil pembahasan menunjukkan bahwa terdapat sikel Hamilton pada Cayley color digraph sehingga bentuk Cayley color digraph dari grup siklik

�� adalah digraf Hamilton. Untuk itu peneliti ingin mengetahui bagaimana bentuk

Cayley color digraph dari grup simetri dan grup dihedral.

Berdasarkan uraian diatas, peneliti ingin mengetahui kajian lebih jauh tentang Cayley color digraph dan kaitannya terhadap grup. Merujuk pada jurnal dan penelitian yang sudah ada belum menjelaskan tentang Cayley color digraph. Untuk itu peneliti tertarik untuk membahasnya. Sehingga judul skripsi penelitian ini adalah “Cayley Color Digraph Dari Grup Simetri Dan Grup Dihedral”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan masalah dalam penulisan skripsi ini adalah :

- Bagaimanakah bentuk Cayley Color Digraph dari grup simetri? - Bagaimanakah bentuk Cayley Color Digraph dari grup dihedral?

3

1.3 Batasan Masalah

Penelitian ini hanya membahas tentang masalah Cayley Color Digraph dari grup simetri �3 dan Cayley Color Digraph dari grup dihedral �6 dan �8.

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji lebih dalam mengenai Cayley Color Digraph dan mengetahui bentuk Cayley Color Digraph dari grup simetri dan grup dihedral.

1.5 Manfaat Penelitian

Dari penelitian ini penulis berharap agar pembahasan ini bermanfaat bagi berbagi kalangan, antara lain:

a. Manfaat bagi Penulis

Untuk mempelajari dan lebih memperdalam pemahaman serta mengembangkan wawasan disiplin ilmu khususnya mengenai cayley color digraph dari grup simetri dan grup dihedral.

b. Manfaat bagi mahasiswa

Sebagai tambahan wawasan dan informasi untuk kajian lebih lanjut mengenai cayley color digraph dan penerapannya sebagai acuan dalam pengembangan penulisan karya tulis ilmiah.

c. Manfaat bagi lembaga

47 BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, yaitu Cayley Color Digraph dari grup Simetri �₃ dan grup Dihedral �₆ dan �₈ maka dapat disimpulkan bahwa:

1. Hasil Cayley Color Digraph dari grup Simetri �₃ dengan setiap generator yang dipilih merupakan digraf Hamilton.

2. Hasil Cayley Color Digraph dari grup Dihedral �₆ dan �₈ dengan setiap generator yang dipilih merupakan digraf Hamilton.

5.2 Saran

Penelitian ini hanya membahas mengenai masalah Cayley Color Digraph dari grup Simetri �₃ dan Cayley Color Digraph dari grup Dihedral �₆ dan �₈. Untuk itu bagi pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini, dapat melakukan penelitian tentang Cayley Color Digraph dari grup Simetri dan grup Dihedral dengan orde yang lebih tinggi dengan bantuan program MAPLE dalam menggambarkan hasil Cayley Color Digraph dari grup tersebut. Dan pembaca juga dapat melakukan penelitian tentang Cayley Color Digraph dari grup berhingga yang lain.

48

DAFTAR PUSTAKA

Andruchuk, G., Gosselin, S., Zeng, Y., (2012), Hamiltonian Cayley Digraphs on Direct Product of Dihedral Groups, Open Journal of Discrete

Mathematics, Vol.2: 88-92.

Arifin, Achmad, (2000), Aljabar, Penerbit ITB, Bandung.

Chartrand, G., and Lesniak, L., (1996), Graphs and Digraphs Third Edition, Chapman & Hall/ CRC, USA.

Dummit, David S. and Foote, Richard M., (2004), Abstract Algebra Third Edition, John Wiley & Sons, Inc.,USA.

Fraleigh, John B., (2000), A First Course in Abstract Algebra Sixth Edition, Addison-Wesley Publishing Company, Singapore.

Gallian, Joseph A., (1998), Contemporary Abstract Algebra Fourth Edition, Houghton Mifflin Company, USA.

Gilbert, L., and Gilbert, J., (2009), Elements of Modern Algebra Seventh Edition, Brooks /Cole, USA.

Jalil, Abdul, (2011), Cayley Color Digraph dari grup siklik �_� dengan n bilangan prima, Gamatika, Vol.II, No.1.

Munir, Rinaldi, (2003), Matematika Diskrit Edisi kedua, Informatika, Bandung. Suwilo, Saib, dkk, (1997), Aljabar Abstrak Suatu Pengantar, USU Press, Medan.