Perkembangan Metamatematik Teori Bukti d

seminar falsafah sains dan matematik
akademi kajian ketamadunan, kajang
 november 

Perkembangan Metamatematik:
Teori Bukti dan Formalisme Hilbert
Farhan Nasir
farhanjelah@gmail.com

Abstrak
Formalisme Hilbert yang lahirnya daripada program beliau pada awal
kurun ke-20 telah memberi pengdefinisian baru terhadap formalisme, dan
kemudiannya melahirkan pandangan dan disiplin baru terhadap matematik.
Walaupun ianya menemui kekeruhan selepas teorem ketaklengkapan Godel, namun selepas itu, teori bukti dan formalisme secara dasarnya dilihat
mampu beralih mencapai kematangan, terutama sekali, dalam menjawab
persoalan-persoalan asasi matematik, sekaligus membantu sebagai alat dalam perkembangan falsafah matematik dan juga falsafah logik. Makalah ini
secara umumnya mengulas sejarah perkembangan formalisme dari era aljabar abstrak hinggalah beberapa perkembangan pasca-Hilbert, terutamanya
teori bukti oleh Gentzen.
Kata kunci: Metamatematik, Teori Bukti, Ketekalan, Formalisme, David
Hilbert.

Abstract
Hilbert’s formalism that had been conceived from his programme in the
early 20th century have given the new definition towards formalism, and
has later gave birth of new perception and discipline toward mathematics.
Although it meets adversity after the Godel’s incompleteness theorem,
however soon after, proof theory and formalism are inherently seen capable
of reaching its maturity, especially, in enquiring the concerns regarding
the foundations of mathematics, and hence serve as a tool to promote the
development of philosophy of logic and mathematics. This article, generally,
reviews the historical development of formalism from the era of abstract
algebra until several post-Hilbertian developments, especially Gentzen’s
proof theory.
Keywords: Metamathematics, Proof Theory, Consistency, Formalism,
David Hilbert.

2

seminar falsafah sains dan matematik

Pengenalan

Semenjak awal kurun ke-20, perkembangan falsafah matematik seringnya dilihat
mengiringi perkembangan logik bermatematik. Hujah dan pandangan yang dilontarkan oleh ahli falsafah matematik terhadap sifat-sifat matematik akan diraikan
sekiranya ia dapat dibuktikan melalui logik formal (logik bermatematik) ataupun
melalui matematik itu sendiri (metamatematik), namun sebaliknya akan tenggelam jika ianya tidak mampu dibuktikan menggunakan kaedah-kaedah tersebut. Ini
menyebabkan dikotomi yang jelas terhadap ontologi falsafah matematik dengan
falsafah-falsafah sains yang lain–kerana jelasnya, hujah-hujah yang kedua itu
tidak dapat dibuktikan menggunakan sains itu sendiri. Sebagai contoh pandangan
positivisme di dalam pandangan sains tidak boleh dihujah mahupun disangkal
menggunakan kaedah metodologi saintifik dan mereka perlu keluar dari disiplin
sains itu sendiri untuk membincangkan perihal-perihal sains, falsafah logik atau
matematik sebaliknya (eg: positivisme berlogik, formalisme, intuisisme, logikisme),
mampu dihujahkan dengan kaedah matematik ataupun logik1 . Justeru, penelitian
terhadap logik bermatematik ini amat penting dalam memahami perihal sifat-sifat
ilmu matematik yang dilontarkan sekitar akhir kurun ke-19 hinggalah sekarang.
Makalah ini, secara umumnya, akan mengulas tiga aspek utama bagi sejarah
perkembangan teori bukti yang pada awalnya dikonotasikan sebagai metamatematik. Pertama, sejarah ringkas formalisme sebelum Hilbert, khususnya semasa kurun
ke-18 semasa aljabar abstrak mula berbuah dan digunakan secara meluas untuk
menjawab perihal aritmetik. Kemudian datangnya Hilbert mengubah pandangan
baru formalisme yang bersifat terhingga dan percubaan beliau mengitlakkan
aritmetik sebagai suatu sistem simbol atau formal, juga dakwaan beliau terhadap

sifat dalam hujahan matematik ini (formalisme Hilbert). Kedua, membincangkan
bagaimana dua teorem ketaklengkapan Godel mengeruhkan formalisme sekaligus
menyangkal teori bukti yang dibina oleh Hilbert. Akhir sekali membincangkan
perkembangan dan impak teori bukti yang pertamanya dibina oleh Hilbert ini
terhadap falsafah matematik dan juga falsafah logik. Terutama sekali, penelitian terhadap (i) teori bukti yang dikembangkan oleh Gentzen selepas kegagalan
program Hilbert, yang mana pembinaan sistem pembuktian Gentzen ini–deduksi
sejadi dan kalkulus turutan–dibuktikan mampu melepasi teorem ketaklengkapan
Godel. Ditambah pula dengan kejayaannya membuktikan aritmetik sebagai satu
sistem yang konsisten, sekaligus mencapai formalisme, sekurang kurangnya di
dalam sistem aritmetik. (ii) Pandangan Dummett terhadap falsafah analitik yang
menggunakan teori bukti sebagai perkakas untuk memahami dan menyusun ilmu
atau hujah di dalam wacana metafizik.
1 Perlu ditekankan juga bahawa adanya wacana falsafah matematik yang lain yang bukan
bersifat konstruktif (eg: Platonisme, Realisme) yang dibincangkan, akan tapi tidaklah diraikan
sepenuhnya pada kurun ke-20 kerana pandangan ini cuma dibincangkan oleh ahli falsafah dan
bukannya oleh ahli matematik

perkembangan metamatematik: teori bukti dan formalisme hilbert

3

Sebagai pengenalan, kami ingin menyatakan beberapa istilah-istilah yang
kami rasa penting untuk ditekankan sebelum memulakan apa-apa. Istilah logik
bermatematik misalnya telah digunakan untuk memberi beberapa maksud seperti pengkajian logik menggunakan matematik dan juga pengkajian matematik
menggunakan logik. Di makalah ini kami akan merujuk kepada makna yang
pertama dan bukannya kedua–melainkan diberitahu. Istilah metamatematik pula,
pada awalnya Hilbert, menggunakan istilah ini di program beliau untuk memberi
makna sebagai metabahasa yang mana ianya adalah sebagai hujah mengenai matematik yang bukan secara dasarnya bersifat matematik2 . Meta-matematik3 yang
bermaksud luar daripada matematik, akan tetapi, selepas konsep keterhinggan
beliau gagal disebabkan teorem Godel, formalisme tidak lagi dianggap berdamping
dengan ideologi Hilbert, dan konsep ketakterhingaan telah pun diterima, justeru
metamatematik yang pada awalnya dianggap luar daripada disiplin matematik,
sekarang, diterima sebagai matematik4 . Justeru, di makalah ini, kami akan
menggunakan istilah metamatematik sebagai satu ilmu pengkajian matematik
menggunakan matematik, dan teori bukti sebagai salah satu alat atau perkakas
matematik yang Hilbert–Gentzen bina untuk mengkaji matematik5 . Akhir sekali,
formalisme secara umumnya adalah berbeza mengikut zaman lebih lebih lagi
perbezaannya dengan formalisme oleh Hilbert yang akan di jelaskan dengan lebih
lanjut kemudian. Jadi dua istilah ini haruslah dikenal pasti mempunyai dua
makna yang berbeza.

Kami juga ingin menyatakan beberapa batasan yang kami hadapi semasa
mengarang makalah ini. (i) Kami masih tidak cukup mendalami teori set, terutama sekali dalam perbalahan mengenai aksiom pemilihan, di mana aksiom
ini menjadi salah satu tunjang dalam teori bukti Hilbert. (ii) Kami juga tidak mendalami perkembangan teori nombor, terutamanya dalam perkembangan
nombor bertingkat yang menjadi tunjang teori bukti Gentzen, di mana nombor
bertingkat berkembang demi pemahaman mengenai ketakterhinggan dan juga
transfinite. (iii) Pembacaam kami cumalah bertumpu dari kaca mata formalisme,
tidak lah kami mendalami lagi perkembangan logik pada kurun ke-20 secara
keseluruhan, terutamanya sekali terhadap intuisisme Brower–Heyting dan juga
logikisme Russell-Whitehead. Jadi pembacaan kami cuma melihat apa kritikan
luar terhadap formalisme, seperti kritikan Brower, Frege, dan Poincare terhadap
formalisme. (iv) Akhir sekali, tidaklah kami belajar lagi bahasa jerman untuk
memahami penulisan asal kebanyakkan rujukan-rujukan ini. Jadi tajuknya akan ditulis di dalam bahasa inggeris dengan tarikh terbitan pertama, walaupun
2 Seperti dalam istilah beliau yang bermaksud hujah yang bersifat inhaltliche, atau dalam
inggerisnya contentual
3 Meta yang di dalam bahasa yunani yang bermaksud ‘luar’, ‘menjangkaui’.
4 Kleene 1971 contohnya bertukar ganti istilah teori bukti dan metamatematik
5 Principia Mathematica oleh Russel–Whitehead juga dianggap salah satu perkakas matematik
dalam mengkaji matematik, maka juga boleh dianggap sebagai satu program metamatematik

4

seminar falsafah sains dan matematik

terjemahannya tidak semestinya diterbitkan pada tahun tersebut.

Formalisme Hilbert dan Formalisme (Belum Edit)
Hilbert Finitism bukanlah Kantian intuitionism. Hilbert mendakwa bahawa beliau
telah menjumpai knowledge yang baru pengantaraan, apriori dan a posteriori 6
Detlefsen 2005 (m. 275) menerangkan perbalahan pandangan sifat matematik itu berasaskan aksiom kebolehselesaian dan prinsip keabadian, yang mana
pandangan dangan yang pertama itu menengahkan sesuatu matematik untuk
menyelesaikan sesuatu permasalahan dengan baik dan cantik. Seperti contoh Teorem Asas Aljabar di mana ianya mengganggap nombor komplex sebagai satu asas
untuk mencapai kebolehselesaian sesuatu polinomial, walhal nombor-nombor kompleks itu adalah dibuat-buat dan tidak menepati prinsip keabadian. Ignorabimus
(ibid).
Jelaskan mengenai pandangan Berkeley dan Peacock dalam formalisme.
Bible-Hilbert-All is sign, Hilbert 1922
Matematik walaupun PRA dapat buktikan finitisme tapi pembuktian ini tak
menggunakan kaedah finitisme kerana nak mengitlakkan, maka perlu bebas dari
finitisme
Berkenaan Metodologi beraksiom Hilbert 1900a membandingkan metodologi
genetik di dalam aritmetik dan metodologi aksomatik di dalam geometri. Kemudian beliau berpendapat bahawa metodologi aksiomatik ini perlulah dianggap lebih

tinggi berbanding metodologi genetik (m.1093), oleh itu kemudiannya beliau cuba
mengaplikasikan metodologi aksiomatik ini dalam pengkajian aritmetik. Beliau
membina sistem aksiom untuk aritmetik dan menggunakan sistem aljabar sebagai
aksiom utama.
Euclid elements memberi postulat (i)-(iii) yang bersifat genetic, (iv) yang
aksiomatik, dan (v) yang adalah theorem:
i A straight line segment can be drawn joining any two points.
ii Any straight line segment can be extended indefinitely in a straight
line.
iii Given any straight line segment, a circle can be drawn having the
segment as radius and one endpoint as center.
iv All right angles are congruent.
v If two lines are drawn which intersect a third in such a way that
the sum of the inner angles on one side is less than two right
angles, then the two lines inevitably must intersect each other on
that side if extended far enough. This postulate is equivalent to
what is known as the parallel postulate
6 Hilbert

1930, 1931

perkembangan metamatematik: teori bukti dan formalisme hilbert

5

Formalisme tatkala kurun ke-19 tidak lah mengabaikan intuisisme sepenuhnya
kerana dua pendapat ini setuju, secara amnya, dengan pandangan matematik
adalah binaan intuisi manusia, namun formalisme ini tidak bersependapat dengan
pengabaian aksiom pengecualian tengah.
Percanggahan dalam formalism mungkin telah dibincangkan sejak zaman
algebraist pada kurun ke-18 yang boleh dirumuskan* 1778 (Detlefsen 2005, m.266).
Formalism-–Terangkan mengenai semantik dan aksiomatik, geometry vs aljabar, screete out*?
Berkeley-–menganggap bahasa tidak semestinya exclusif kepada semantik
usage (Detlefsen 2005, m.268).
Berkeley boleh dianggap formalist yang ***
Boole menyimpulkan pemikiran kurun ke-19 (Detlefsen 2005, m.272).

Program Hilbert (Belum Edit)
Program Hilbert boleh dikatakan bermula tatkala selepas beliau menerbitkan
Foundation of Geometry pada tahun 1899 yang memberi penekanan sistem aksiom

yang baru terhadap geometri. Daripada penerbitan ini, dapat dilihat bahawa
beliau sudah pon memberikan penekanan terhadap perolehan hujah geometri
yang baru dengan berasaskan metodologi beraksiom7 . Penerbitan ini memberi
pengdefinisian semula terhadap metod pengaksioman, dan secara tak langsung,
memberi nafas yang baru terhadap disiplin yang sekarangnya dikenali sebagai
teori model.
Program hilbert 1920an. Konsep ketekalan yang sama, ketekalan sistem aksiom
boleh menatijahkan ketekalan matematik (aritmetik).
(1900 on concept of...) first axiomatic study dan first, pure syntactic calculus
untuk deduksi, boleh dikatakan gave birthto both proof and model theory (walaupun belum mencapai kematangan hitherto) “axiomatic method is supposed
to furnish a tol for investigating not only the foundations of mathematics, but
also the foundations of the physical science” (1900) a remark for who called him
formalist (ini dari claryfying)
Model theory first axiomatic study in his geometry (1899) Hilbert stop kat 1904
lepas dia pening dengan macam mana nak construct syntax sampaiPoincarekritik
yang argumen dia circular (ada penjelasan lagi kat bawah). Buktikan induction
untuk buktikan induction. Sampailah 1920s (1922) teori bukti beliau mencapai
kematangan (lebih lebih lagi selepas terbitan beliau bersama anckerman).
Hilbert program to prove consistency of the system Peano Arithmetics but
failed

7 Teorem,

korolari, dll boleh diperoleh dari aksiom

6

seminar falsafah sains dan matematik

Hilbert fikir samaada matematik itu sendiri ada ke aksiom? geometri ade
aksion dia sendiri, adakah matematik deduksi itu ada? Hilbert Finitism.
Perbezaan dan persamaan,jelas dari perspektif intuitionistic (Brower 1927)
Formalisme Hilbert 1922. gunapakai intuitionism, tapi tak pakai betul-betul
dan tak diambil serius.
brower kritik kerana memandang intuitionism sebagai satu pandangan yang
langsung taknak diterimanya, sampai si Hilbert bersuara macam “biar sampai
malaikat bersuara pon takkan kami akur untuk membuang prinsip excluded
middle” (1922)
letak contoh aksiom ketakterhinggan sekali. Logicism and Formalism, consistency and completeness. Kalau nak dibandingkan Gentzen bukan lah berfalsafah
seperti mana brower berfalsafah mengenai intuisionisme beliau, tapi beliau (dan
lebih kurang semua lah logician) pada masa itu cakna dengan falsafah matematik

ini seperti persoalan keterhinggaan, ketakterhinggan matematik. Penulisan penulisan (lihat buku collection) beliau hampir kesemuanya adalah bersifat logik
bermatematik, dan bukannya falsafah matematik atau logik. Namun adalah
beberapa nukilan beliau diselit selitkan pada penulisan beliau, seperti pendapat
realism beliau tentang matematik perlu keluar dalam sphera intuisi matematik
dan menerima ketakterhinggaan tapi ketakterhinggan yang boleh disebut dengan
hujah hujah yang terhingga. Satu lagi, nukilan beliau mengenai pandangan
wittgenstein mengenai makna.
pertamanya cuba buktikan consistency berdasarkan aksiom, kemudia sukar,
dan krmudian pada 1904 membina kalkulus sintaks beliau yang, dan buktikan
consistency daripada situ, dimana akan tiada contradiction dalam sistem tersebut.
tapi berenti selepas trrima banyak kritikan seperti poincare. dan berhenti selama
dua dekad, dan sambung semula dengan satu sistem simbol beliau yang lebih jelas
dan mampu menjawap banyak oritikan.yang sebelum ni tak dapat nak dijawap
Hilbert 1900 beliau bandinkan genetic metod dan axiomatik metod, dan membuat
dakwaan bahawa axiomatik perlu diberi rank yang pertama. Jadi membuatkan
beliau untuk mencari axiomatik metod untuk aritmetik Hilbert 1900b pandangan
dia terhadap matematik sains pada awalnya, tapi pure reason. finitely pure reason
1918 hilbert, i am persuaded, make the concept of specifically mathatical proof
itself into an object of investigation, just as astronomer considers the movement of
his position, the physicist studies the theory of his apparatus, and the philosopher
critisizes reason itself. diulang lagi pada 1922a
Hilbert 1922a, distinction between the concept of numbers and the concept
of arguing (measuring) with numbers. Lepastu dia tekankan lagi sekarang yang
tinggal adalah untuk membuktikan consistency. m. 1118. Kemudian dia bina
sistem pembuktiannya menggunakan kaedah yang paling intuitif bla la page 1121.
Yang dia anggap sign lah yang paling intuitif jadi dia menggunakan elementary
aritmetic. perhatikan (m.1122) Hilbert define sign ini tanpa makna, yang me-

perkembangan metamatematik: teori bukti dan formalisme hilbert

7

nyebabkan banyak ahli falsafah persoalkan, tapi kemudiannya Hilbert beralah
dan menukar number-sign kepada numeral. Macam mana dalam pandangan
constructivist, sign itu boleh wujud tanpa makna? Jadi simbol simbol ini 1 dan +,
untuk menjadikan aksiomatik sistem pembuktian dalam elementary (contentual
atau pembuktian) teori nombor, tapi tak cukup untuk dalam sistem pembuktian
matematik secara keseluruhan. Jadi simbol simbol lain dibentangkan seperti m.
1124.
Pada 1922a dia memperkenalkan istilah Proof Theory ataupun Teori Bukti
(m. 1127) sebagai ilmu pengkajian pembuktian itu sendiri, dengan lebih spesifik
ilmu pengkajian sintaks kalkulus untuk pembuktian, dan memamatematik sebagai
formal (simbolik) matematik yang dilahirkan daripada proof theory ini. Yang
dikatakan bebas daripada percanggahan (sistem yang tekal), ataupun beliau
katakan, “apply contentual inferens kepada proof consistency ni” (m. 1132, 1116)
Contentual reflection (domain of thinkable) follows the proof themselves (m.
1127, 1123) just as physicist investigates his apparatus Kritik seperti poincare,
hilbert menjawap, perbezaan weak induction (contentual metalanguage) dengan
strong induction dalam bahasa formal ataupun matematik yang sebenar.
Contrapositive bagi aksiom, menunjukkan 0 6= 0 atau 1 = 0 adalah cukup
untuk membuktikan consistency. Memandangkan B di dalam (A ∧ ¬A → B)
adalah rawak, maka ianya boleh menjadi (A ∧ ¬A → 1 = 0), maka, lihat dari
kontrapositif untuk membuktikan ketekalan, cukuplah untuk buktikan bahawa
1 = 0 itu tidak boleh di buktikan (ie: ϕ 6|= (1 = 0) ataupun ϕ 6|= (0 6= 0)).
Exist (∃), dan All (∀), boleh ditakrifkan menggunakan aksiom pemilihan. Jadi
aksiom pemilihan ni dibantah oleh beberapa ahli matematik, lebih lebih lagi
brower dan ahli-ahli intuisisi yang lain. Bagi contoh salah satu kenapa aksiom ni
ditolak, salah satu contoh adalah teorem membina volume kedua.
Hilbert start bagi axiomatik metod tapi deduktif sistem dia masih tidak
jelas. Kemudian berhenti sebab menerima kritikan yang dia tak boleh nak jawap,
seperti kritikan Frege tentang formalism (Simons 2009), dan juga poincare yang
menyatakan bahawa pembuktian induktif dia melalui induktif tu circular, lepastu
10 tahun berlalu, Russel walaupun ianya logicism blabla menbentangkan axiomatik
metod dia (Principia Mathematica), dan beberapa teknik deduktif di didalamnya,
yang Hilbert secara tak langsung menyumbnag serba sedikit yang membuat Hilbert
menyambung programnya semula.
Kemudian Hilbert bentangkan deduktif kalkulus beliau. Dan bersama bernay
buktikan propositional logic itu complete (Bernay, tengok dalam godel punye
reference). Tapi masih tak dapat nak buktikan first order (satu sistem formal
yang lebih besar di mana ianya meletakkan predikat ∃ dan ∀). Tapi kemudiannya
first order ini dibuktikan oleh tesis PhD si Godel.
Maka pada 1923 metod formal dapat dibentangkan, terus, metamatematik
ataupun teori bukti dapat dipahamkan (Hilbert 1923). Beliau sekarang dapat

8

seminar falsafah sains dan matematik

menjawap soalan Poincare mengenai circular reasoning dengan memjelaskan
strong induction dalam matematik, dan weak induction (contentual reasoning)
dalam metamatematik. Perbezaan, strong formalism yang percaya matematik
tu hanyalah simbol, dan weak formalism, matematik dan konsistensy boleh
diasingkan.
Kasalah kontinum contohnya di dalam nombor nyata. Hilbert 1900b berpendapat satu kenyataan dalam sesebuah sistem matematik (aritmetik contohnya) tidak
akan wujud selagi ianya tidak dapat dibuktikan dengan hujah yang terhingga.
Jadi kesimpulannya dari sini jika sistem aksiom dalam sistem matematik tu dapat
dibuktikan ketekalannya, maka semua sistem matematik itu secara langsungnya
boleh dibuktikan (termasuklah konsep continuum). Jadi di sini ambil contoh satu
line 3-4, pi dan euler number ada di situ. mungkin ada nombor irrational yang lain
yang berada di tengah tengah tu tapi mengikut constructivism, kemunggkinan tu
tidak akan wujud selagi ianya dapat dibuktikan.
Arbitrari, A ∧ ¬A → 1 = 0 ataupun A ∧ ¬A → 0 6= 0
Hilbert 1926 bentangkan kontinum yang kantor postulatkan tapi tak dapat
jawap dengan secara langsung, tetapi, beliau selesaikan masalah tu menggunakan
teori bukti. Hilbert 1930, m. 1152, memberi definisi metamatematik sebagai
matematik yang mengkaji matematik, dan ditambah dengan contentual inference
(weak induction), tapi cuma digunakan untuk membuktikan consistency. Hilbert
1930 kritik ahli falsafah sebagai ignorabimus, lebih cenderung kepada sains, dan
bukan realism. Kritik ilmu a priori, yang dikatakan ahli falsafah banyak ignorabimus. Sebab contoh banyak ilmu yang a priori boleh dibuktikan salah juka
ianya tak menepati empirik, ataupun pemikiran. Sebab tu dia tak puas hati
dengan pengabaian hukum pengecualian tengah, sebab dia beri contoh hukum ini
dibuktikan sangat berguna terhadap ilmu yang empirik sekarang. Hilbert 1930
ringkaskan tesis dia (completeness first order). Soundness sahaja tidak mencukupi,
akan tetapi memerlukan pembuktian daripada ketekalan juga.

Teorem Ketaklengkapan Godel
Godel antara salah seorang yang mengikuti perkembangan teori bukti dan formalisme Hilbert. Pada 19308 , beliau menyiapkan tesis PhD beliau yang membuktikan
kelengkapan bagi sistem logik peringkat pertama9 . Kemudiannya beliau cuba
untuk membuktikan ketekalan analisis berasaskan aksiom aritmetik yang dibina
8 Godel

1930b
peringkat pertama, yang secara umumnya adalah lanjutan dari logik usulan dengan
beberapa tambahan seperti predikat ∃ dan ∀, yang mana kelengkapannya sudah dibuktikan oleh
Bernays pada 1926
9 Logik

perkembangan metamatematik: teori bukti dan formalisme hilbert

9

oleh Hilbert, namun sebaliknya menyedari bahawa wujudnya formula10 ϕ yang
benar yang boleh diperolehi dari sistem formal (Γ  ϕ) akan tetapi formula ϕ ini
tidak dapat dibuktikan melalui sistem itu sendiri (Γ 0 ϕ). Justeru menjadikan
teori formal aritmetik yang Hilbert bina itu tidak lengkap. Pembuktian ini juga
dikenali sebagai teorem ketaklengkapan Godel yang pertama, dan teorem ini
secara tidak langsung menyangkal kebolehpakaian sistem formal atau teori bukti
yang Hilbert bina.
Ditambah lagi, pada tahun yang sama, Godel membuktikan–yang dikenali
sebagai teorem ketaklengkapan kedua–bahawa, walaupun bagi sesebuah sistem
formal11 itu dapat dibuktikan tekal, akan wujudnya satu formula ϕ–yang tekal
juga–tetapi tidak dapat dibuktikan oleh sistem formal tersebut.
Teorem ini secara dasarnya menunjukkan bahawa ketekalan sesebuah sistem
formal12 tidak dapat mengimplikasikan ketekalan sistem matematik. Ini secara
langsung menghancurkan impian formalisme Hilbert serta merta, kerana dari
awal lagi program ini bermula, Hilbert beranggapan bahawa, hanyalah cukup
untuk membuktikan ketekalan sistem aksiom untuk menyimpulkan bahawa sistem
matematik itu juga tekal–atau dengan kata lainnya, sistem matematik itu bebas
dari percanggahan.

Perkembangan Teori Bukti
Walaupun formalisme Hilbert secara dasarnya tumbang tatkala teorem ketaklengkapan Godel dibentangkan, namun teorem ini cuma menyangkal mana-mana
sistem aksio yang lemah, jika sistem formal yang baru itu cukup mampu mengatasi kelemahan yang diformulasikan di dalam sistem Godel, seperti yang dibina oleh
Gentzen, maka sistem formal itu mungkin boleh digunakan untuk mengitlakkan
ketekalan matematik. Dan atas kerana Godel lah, sudah menjadi kebiasaan di
dalam wacana logik, selepas beliau, untuk membuktikan setiap sistem logik itu
samaada ianya lengkap ataupun tidak sebelum meneruskan apa apa lanjutan.
Teori bukti selepas Hilbert dapat berkembang, terutamanya, selepas Gentzen
memperkenalkan sistem formal yang baru beliau yang mempunyai sintaks kalkulus
yang dilihat lebih mudah, intuitif, dan berguna. Gentzen pada awalnya membina
sistem formalnya dengan mencipta satu sistem yang bernama deduksi sejadi, yang,
seperti namanya diberi, lebih bersifat semula jadi, akan tetapi beliau tidak berjaya
untuk membuktikan ketekalan aritmetik menggunakan sistem ini. Kemudiannya
beliau membina satu lagi sistem baru13 yang dinamakan kalkulus turutan, dan
10 Formula di sini adalah istilah teori bukti yang memberi maksud rantaian simbol seperti
∃x∀y(x + y = y + x)
11 Seperti aksiom Hilbert ataupun aksiom di dalam Principia Mathematica Russell–Whitehead
12 Termasuklah aritmetik Peano, logik peringkat kedua, logik predikat, dll
13 Walaupun kemudiannya, dua sistem ini boleh dibuktikan sebenarnya sama atau isomorphic

10

seminar falsafah sains dan matematik

akhirnya berjaya membuktikan ketekalan aritmetik yang diidamkan oleh ahli-ahli
formalisme dari awalnya lagi14
Akhir sekali, sebagai penutup, kami ingin memberi pengenalan terhadap
disiplin baru yang dikenali sebagai semantik berteori bukti. Deduksi sejadi yang
Gentzen tinggalkan juga meraih banyak perhatian daripada ahli falsafah dan
ahli matematik, terutamanya, atas kerana ianya dilihat lebih semula jadi dan
intuitif berbanding kalkulus turutan. Prawitz dengan tesis PhD beliau pada 1965
membuktikan ketekalan deduksi sejadi yang telah gagal dibuktikan pada awalnya
oleh Gentzen. Dummett, seorang ahli falsafah yang dipengaruhi oleh Wittgenstein
dan Frege, pula melihat perkakas yang dibina oleh formalisme (deduksi sejadi)
ini boleh digunapakai sebagai alat yang lebih sesuai untuk memahami falsafah
bahasa dan juga metafizik secara umum.
Berbeza dengan kalkulus turutan, deduksi sejadi mampu merealisasikan pandangan beliau (dan juga Wittgenstein) terhadap simbol dan makna. Berbeza
juga dengan teori bukti yang biasa, semantik berteori bukti bukanlah dianggap
sebagai satu permainan simbol yang tidak memberi makna apa apa, malah setiap
simbol dan kaedah inferensnya mempunyai atau akan diberikan makna. Semantik
berteori bukti ini mungkin mampi menjadi alternatif sistem bahasa sejadi yang
sekarang sering dilihat dan dibina cuma berasaskan teori type (eg: tatabahasa
Montague, tatabahasa generatif Chomsky, dll) yang secara tak langsung masih
berdamping dengan formalisme yang klasik: simbol tanpa makna.

Rujukan
Avigad, Jeremy and Erich H. Reck (2001), Clarifying the nature of the infinite:
The development of metamathematics and proof theory.
Brower, L. E. J. (1912), “Intuitionism and formalism”, in Philosophy of Mathematics: Selected readings, ed. by Paul Benacerraf and Hilary Putnam.
— (1927), “Intuitionistic reflection on formalism”, in From Frege to Godel: A
source book in mathematical logic, 1879-1931, ed. by Jean van Heijenoort.
Curry, Haskell B. (1951), Outlines of a formalist philosophy of mathematics,
North-Holland Publishing Company.
— (1954), “Remarks on the definition and nature of mathematics”, in Philosophy
of Mathematics: Selected readings, ed. by Paul Benacerraf and Hilary Putnam.
Detlefsen, Michael (2005), “Formalism”, in The Oxford Handbook of Philosophy of
Mathematics and Logic, ed. by Steward Shapiro.
14 Akan tetapi pembuktian beliau bukanlah bersifat terhingga kerana beliau menggunakan
konsep nombor bertingkat dan induksi bertingkat dalam pembuktian beliau

perkembangan metamatematik: teori bukti dan formalisme hilbert

11

Dummett, Michael (1975), “The philosophical basis of intuitionistic logic”, in
Philosophy of Mathematics: Selected readings, ed. by Paul Benacerraf and
Hilary Putnam.
— (1991), The logical basis of metaphysics, Harvard University Press, Cambridge.
Gabbay, Michael (2010), “A Formalist Philosophy of Mathematics Part I: Arithmetic”, Studia Logica, 96, 2, pp. 219-238.
Gentzen, Gerhard (1933), “On the relation between intuitionistic and classical
arithmetic”, in The Collected Papers of Gerhard Gentzen, ed. by Manfred Egon
Szabo.
— (1935), “Investigations into logical deduction”, in The Collected Papers of
Gerhard Gentzen, ed. by Manfred Egon Szabo.
— (1938), “The present state of research into the foundations of mathematics”,
in The Collected Papers of Gerhard Gentzen, ed. by Manfred Egon Szabo.
Godel, Kurt (1930a), “Some metamathematical results on completeness and
consistency”, in From Frege to Godel: A source book in mathematical logic,
1879-1931, ed. by Jean van Heijenoort.
— (1930b), “The completeness of the axioms of functional calculus of logic”, in
From Frege to Godel: A source book in mathematical logic, 1879-1931, ed. by
Jean van Heijenoort.
— (1931a), “On completeness and consistency”, in From Frege to Godel: A source
book in mathematical logic, 1879-1931, ed. by Jean van Heijenoort.
— (1931b), “On formally undecidable propositions of Principia mathematica and
related systems I”, in From Frege to Godel: A source book in mathematical
logic, 1879-1931, ed. by Jean van Heijenoort.
— (1933), “On intuitionistic arithmetic and number theory”, in Kurt Godel
collected works Vol I (1929-1936), ed. by Solomon Feferman.
— (1961), “The modern development of the foundations of mathematics in light
of philosophy”, in Kurt Godel collected works Vol III unpublished essays and
lectures, ed. by Solomon Feferman.
Hilbert, David (1900a), “From mathematical problems”, in From Kant to Hilbert:
A source book in the foundations of mathematics. Vol II, ed. by William Ewald.
— (1900b), “On the concept of number”, in From Kant to Hilbert: A source book
in the foundations of mathematics. Vol II, ed. by William Ewald.
— (1904), “On the foundation of logic and arithmetic”, in From Frege to Godel:
A source book in mathematical logic, 1879-1931, ed. by Jean van Heijenoort.
— (1918), “Axiomatic thought”, in From Kant to Hilbert: A source book in the
foundations of mathematics. Vol II, ed. by William Ewald.
— (1922), “The new grounding of mathematics. First report”, in From Kant
to Hilbert: A source book in the foundations of mathematics. Vol II, ed. by
William Ewald.

12

seminar falsafah sains dan matematik

Hilbert, David (1923), “The logical foundations of mathematics”, in From Kant
to Hilbert: A source book in the foundations of mathematics. Vol II, ed. by
William Ewald.
— (1926), “On the infinite”, in Philosophy of Mathematics: Selected readings,
ed. by Paul Benacerraf and Hilary Putnam.
— (1927), “The foundations of mathematics”, in From Frege to Godel: A source
book in mathematical logic, 1879-1931, ed. by Jean van Heijenoort.
— (1928), Principles of mathematical logic, Julius Springer.
— (1930), “Logic and the knowledge of nature”, in From Kant to Hilbert: A source
book in the foundations of mathematics. Vol II, ed. by William Ewald.
— (1931), “The grounding of elementary number theory”, in From Kant to Hilbert:
A source book in the foundations of mathematics. Vol II, ed. by William Ewald.
Horsten, Leon (2012), “Philosophy of Mathematics”, Stanford Encyclopedia of
Philosophy.
Kleene, Stephen Cole (1971), Introduction to metamathematics, North-Holland
Publishing Company.
Kreisel, Georg (1958), “Hilbert’s programme”, in Philosophy of Mathematics:
Selected readings, ed. by Paul Benacerraf and Hilary Putnam.
Negri, Sara and Jan von Plato (2015), “Meaning in Use”, in Dag Prawitz on Proofs
and Meaning, ed. by Heinrich Wansing, Springer, vol. 7, chap. 10, pp. 239-257.
Prawitz, Dag (1965), “Natural Deduction: A proof-theoretical study”, Almquist
and Wiksell.
— (1974), “On the idea of a general proof theory”, Synthese, 27, 1/2, pp. 63-77.
— (1975), “Ideas and results in proof theory”, in Proceedings of the second
Scandinavian logic symposium, pp. 235-307.
— (2005), “Logical Consequence From a Constructivist Point of View”, in The
Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, ed. by Steward
Shapiro.
Robinson, Abraham (1969), “From a formalist’s point of view”, Dialectica, 23, 1,
pp. 45-49.
Shapiro, Steward (2005), “Logical Consequence, Proof Theory, and Model Theory”,
in The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, ed. by
Steward Shapiro.
Sieg, Wilfried (1988), “Hilbert’s program sixty years later”, The Journal of Symbolic
Logic, 53, 2, pp. 338-348.
— (1990), “Reflection’s on Hilbert’s Program”, in Acting and Reflecting, ed. by
Wilfried Sieg.
— (2009), “Hilbert’s proof theory”, in Handbook of the History of Logic: Volume
5, ed. by Dov M. Gabbay and John Woods.
— (2012), “Hilbert’s programs”, The Bulletin of Symbolic Logic, 5, 1, pp. 1-44.

perkembangan metamatematik: teori bukti dan formalisme hilbert

13

Simons, Peter (2009), “Formalism”, in Philosophy of Mathematics, ed. by Andrew
Irvine.
Von Neuman, Johann (1931), “The formalist foundations of mathematics”, in
Philosophy of Mathematics: Selected readings, ed. by Paul Benacerraf and
Hilary Putnam.
Von Plato, Jan (2009), “Proof Theory of Classical and Intuitionistic Logic”, in
The development of modern logic, ed. by Leila Haaparanta.
— (2014a), “Generality and Existence: Quantificational Logic in Historical Perspective”, The Bulletin of Symbolic Logic, 20, 4, pp. 417-448.
— (2014b), “The Development of Proof Theory”, Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Wansing, Heinrich (2015), “Prawitz, Proofs, and Meaning”, in Dag Prawitz on
Proofs and Meaning, ed. by Heinrich Wansing, Springer, chap. 1, pp. 1-32.
Weir, Alan (2015), “Formalism in the philosophy of mathematics”, Stanford
Encyclopedia of Philosophy.
Zach, Richard (2015), “Hilbert’s Program”, Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Istilah
Aksiom
Deduksi sejadi
Falsafah logik
Falsafah matematik
Hukum kepercamaan
Hukum ketakpercanggahan
Hukum pengecualian tengah
Hukum-hukum pemikiran
Kalkulus turutan
Ketakterhinggaan
Ketekalan
Kontinum
Logik berfalsafah
Logik bermatematik
Logik peringkat peratama
Logik usulan
Metamatematik
Nombor bertingkat
Semantik berteori bukti
Teorem kelengkapan
Teorem ketaklengkapan

Axiom.
Natural deduction.
Philosophy of logic.
Philosophy of mathematics.
Law of identity.
Law of non-contradiction.
Law of excluded middle.
Laws of thought.
Sequent calculus.
Infinity.
Consistency.
Continuum.
Philosophical logic.
Mathematical logic.
First order logic.
Propositional logic.
Metamathematics.
Ordinal number.
Proof theoretic semantics.
Completeness theorem.
Incompleteness theorem.

14

Teorem ketekalan
Teori bukti
Teori model
Terhingga

seminar falsafah sains dan matematik

Consistency theorem.
Proof theory.
Model theory.
Finite.