Optimasi Multi-Objektif Untuk Perencanaan Produksi Dengan Pendekatan Linear Goal Programming (Studi Kasus : Pt. Cocacola Amatil Indonesia)
8
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1. Optimasi Produksi
Optimasi adalah tindakan untuk memperoleh hasil yang terbaik dengan keadaan
yang diberikan.Dalam pelaksanaannya harus diambil keputusan manajerial dalam
beberapa tahap.Tujuan akhir dari semua keputusan seperti itu adalah
meminimalkan upaya yang diperlukan atau untuk memaksimalkan manfaat yang
diinginkan.Usaha yang diperlukan atau manfaat uang yang diinginkan dalam
prakteknya dapat dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan tertentu.
Optimasi dapat didefinisikan sebagai proses untuk mendapatkan keadaan yang
memberikan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi.
Optimasi produksi adalah penggunaan faktor-faktor produksi yang terbatas
seefisien mungkin. Faktor-faktor produksi tersebut adalah modal, mesin, bahan
baku, bahan pembantu, tenaga kerja, dan lain sebagainya. Optimasi produksi
diperlukan perusahaan dalam rangka mengoptimalkan sumber daya yang
digunakan agar suatu produksi dapat menghasilkan produk. Optimasi merupakan
pendekatan normatif dengan mengidentifikasi penyelesaian terbaik dari suatu
permasalahan yang diarahkan pada titik maksimum atau minimum suatu fungsi
tujuan dalam kuantitas dan kualitas yang diharapkan, sehingga perusahaan dapat
mencapai tujuannya.
2.1.1 Perencanaan Produksi
Perencanaan produksi merupakan perencanaan tentang produk dan merencanakan
jumlah produk yang akan diproduksi oleh perusahaan yang bersangkutan dalam
satu periode di masa yang akan datang. Hasil dari perencanaan produksi adalah
Universitas Sumatera Utara
9
sebuah rencana produksi. Tanpa adanya rencana produksi yang baik, maka tujuan
tidak akan dapat dicapai dengan efektif dan efisien, sehingga faktor-faktor
produksi yang ada akan dipergunakan secara boros. Oleh karena itu, perencanaan
produksi merupakan spesifikasi tujuan perusahaan yang ingin dicapai serta caracara yang akan ditempuh untuk mencapai tujuan tersebut.
Kegunaan atau pentingnya diadakan produksi adalah sebagai berikut :
1. Suatu
perencanaan
meliputi
usaha
untuk
menetapkan
tujuan
atau
memformulasikan tujuan yang dipilih untuk dicapai, maka dengan adanya
perencanaan produksi, dapat membedakan arah bagi setiap kegiatan produksi
yang jelas.
2. Dengan perencanaan yang memberikan formulasi tujuan yang hendak dicapai,
maka akan memungkinkan untuk mengetahui apakah tujuan-tujuan tersebut
telah tercapai atau tidak.
3. Memudahkan pelaksanaan kegiatan untuk mengidentifikasikan
hambatan-
hambatan yang mungkin timbul dalam usaha tujuan tersebut. Dengan
memperhitungkan
hambatan-hambatan
tersebut,
persiapan
untuk
mengatasinya menjadi lebih terarah.
4. Menghindarkan pertumbuhan dan perkembangan yang tidak terkendali.
2.2 Peramalan
2.2.1 Metode Deret Waktu (Time-Series)
Metode deret waktu adalah peramalan yang didasarkan pada periode waktu
mingguan, bulanan, triwulan, dan seterusnya. Metode deret waktu biasanya
digunakan untuk menganalisis pola permintaan masa lalu dan untuk
memproyeksikan masa depan. Asumsi dasar yang dipakai adalah bahwa pola
permintaan dapat dibagi menjadi beberapa komponen, yaitu tingkat rata-rata,
kecenderungan, musiman, siklus, dan kesalahan.
Universitas Sumatera Utara
10
Ada empat komponen utama yang mempengaruhi analisis ini, yaitu :
a. Pola Siklis (Cycle)
Penjualan produk dapat memiliki siklus yang berulang secara periodik.Banyak
produk dipengaruhi pola pergerakan aktivitas ekonomi yang terkadang memiliki
kecenderungan periodik.Komponen siklis ini sangat berguna dalam peramalan
jangka menengah.
Pola data ini terjadi bila data memiliki kecenderungan untuk naik atau
turun terus-menerus. Pola data bentuk ini digambarkan sebagai berikut :
Gambar 2.1 Pola Siklis
b. Pola Musiman (Season)
Perkataan musim menggambarkan pola penjualan yang berulang setiap
periode.Komponen musim dapat dijabarkan ke dalam vektor cuaca, libur, atau
kecenderungan perdagangan.Pola musiman berguna meramalkan penjualan
dalam jangka pendek.Pola data musiman dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar 2.2 Pola Musiman
c. Pola kecenderungan (trend)
Pola data ini terjadi bila data memiliki kecenderungan untuk naik atau turun
terus menerus. Pola data dalam bentuk ini dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar 2.3 Pola Kecenderungan
Universitas Sumatera Utara
11
d. Pola Acak
Pola data ini menggambarkan pola penjualan yang setiap periodenya memiliki
kondisi yang beragam dan acak. Pola data dalam bentuk ini dapat digambarkan
sebagai berikut :
Gambar 2.4 Pola Acak
Peramalan deret waktu (time-series) memiliki beberapa metode yang dapat
digunakan untuk meramalkan kondisi pada periode yang akan datang, yaitu :
a. Metode Penghalusan (Smoothing)
Metode smoothing digunakan untuk mengurangi ketidak-teraturan musiman
dari data yang lalu, dengan membuat rata-rata tertimbang dari sederetan data
masa lalu. Ketetapan peramalan dengan metode ini akan terdapat pada
peramalan jangka pendek, sedangkan untuk peramalan jangka panjang kurang
akurat.
Metode smoothing terdiri dari beberapa jenis, antara lain :
1. Metode rata-rata bergerak (Moving Average)
a. Single Moving Average
Moving Average pada suatu periode merupakan peramalan untuk satu
periode ke depan dari periode rata-rata tersebut. Persoalan yang timbul
dalam penggunaan metode ini adalah dalam menentukan nilai t (periode
perata-rata). Semakin besar nilai t maka peramalan yang dihasilkan akan
semakin menjauhi pola data.
Secara matematis, rumus fungsi peramalan metode ini adalah :
Dimana :
+
−�+
+ ⋯+
= Data pengamatan periode ke-i
N
+
=
+
+
= Jumlah deret waktu yang digunakan
= Nilai peramalan periode t+1
Universitas Sumatera Utara
12
b. Linear Moving average (LMA)
Dasar dari metode ini adalah penggunaan Moving Average kedua untuk
memperoleh penyesuaian bentuk pola trend. Prosedur Linear Moving
Averageadalah :
-
Penggunaan rata-rata bergerak tunggal pada waktu t (ditulis
-
Penyesuaian yang merupakan perbedaan antara rata-rata bergerak
′−
tunggal dan ganda pada waktu t (ditulis
-
)
′′)
Penyesuaian untuk kecenderungan dari periode ke t+1 (atau ke
periode t+m jika ingin meramalkan m periode ke muka)
Secara umum persamaan prosedur rata-rata bergerak linier dapat
diterangkan melalui persamaan sebagai berikut :
′
′′
+
=
=
=
=
+
′
=
+
−
+
−
+
−
′
+
+
−
′
−
∙
−
′′
′′
−
=
+ ⋯+
− −
+ ⋯+
′
− −
′′
−
Kesalahan negatif atau positif yang mungkin terjadi dapat
dihilangkan atau dikeluarkan.Rata-rata dapat dilakukan terhadap seluruh
angka konstanta dari data pengamatan. Sesuai dengan tujuan di atas,
maka teknik ini dapat menghilangkan trend dan musiman (seasonality).
Harga yang diramalkan dalam Single Moving Average dihitung
berdasarkan rumus :
+
Dimana :
= nilai data
+
=
=
|
+
−
|⋯ |
−
− −
−
= nilai ramalan untuk waktu (t+1)
N
= banyak data
Universitas Sumatera Utara
13
c. Weigted Moving Average
Pada meode rata-rata sederhana, jumlah data pada kelompok inisialisasi
makin lama semakin bertambah dengan naiknya harga i. Tetapi pada
metode rata-rata bergerak tunggal jumlah data kelompok inisialisasi
adalah konstan, bilamana harga i bertambah satu, maka data baru yang
akan menggeser/menggantikan data yang paling tua. Untuk waktu (t+1),
(t+2), nilai ramalannya adalah :
+
+
=
=
∑=
∑ ==
+
2. Metode Exponensial Smoothing, terdiri atas
a. Pemulusan Eksponensial Tunggal (Single Exponensial Smoothing)
Metode pemulusan eksponensial tunggal (single exponensial smoothing)
menambahkan parameter α dalam modelnya untuk mengurangi faktor
kerandoman. Nilai peramalan dapat dicari dengan menggunakan rumus
berikut ini :
+
Dimana :
=
∙
+
−
∙
= data permintaan pada periode t
= faktor/konstan pemulusan
+
= peramalan untuk periode t
Berbeda
dengan
metode
rata-rata
bergerak
yang
hanya
menggunakan N data periode terakhir dalam melakukan peramalan,
metode pemulusan eksponensial tunggal mengikutsertakan data dari
semua periode.Setiap data pengamatan mempunyai kontribusi dalam
penentuan
nilai
peramalan
periode
sesudahnya.Namun,
dalam
perhitungannya cukup diwakili oleh data pengamatan dan hasil peramalan
periode terakhir, karena nilai peramalan periode sebelumnya sudah
mengandung nilai-nilai pengamatan sebelumnya.
Universitas Sumatera Utara
14
Istilah eksponensial dalam metode ini berasal dari pembobotan
(faktor
pemulusan)
dari
periode
sebelumnya
yang
berbentuk
eksponensial, sebagaimana dijabarkan berikut ini :
+
=
=
∙
∙
+
=
+
∙
+
−
−
−
∙
+
∙
−
∙
+
−
+
−
−
−
∙
∙
− �−
∙
−
+⋯
−
Di sini terlihat bahwa koefisien X dari waktu ke waktu membentuk
hubungan eksponensial. Misalnya, untuk α = 0,2 maka koefisien dari
,
−
,
−
; 0,2(0,8)N+1.
,⋯,
−�+
berturut-turut adalah 0,2; 0,2(0,8); 0,2(0,8)2; …
b. Pemulusan Eksponensial Linier (Linear Exponential Smoothing/Double
Exponential Smoothing)
Metode pemulusan eksponensial tunggal hanya akan efektif apabila serial
data yang diamati memiliki pola horizontal (stasioner). Jika metode itu
digunakan untuk serial data yang memiliki unsur trend (kecenderungan)
yang konsisten, nilai-nilai peramalannya akan selalu berada di belakang
nilai aktualnya (terjadi lagging yang terus menerus). Metode yang tepat
untuk melakukan peramalan serial data yang memiliki unsur trend adalah
metode pemulusan eksponensial linier. Salah satu metode yang digunakan
adalah
metode
pemulusan
eksponensial
linier
dari Holt,
yang
menggunakan persamaan sebagai berikut :
+
=
∙
+
=
+
∙
=
∙
−
−
−
+
−
+
−
∙
−
−
Pemulusan eksponensial linier dari Holt menambahkan persamaan
untuk memperoleh pemulusan trend dan menggabungkan trend ini
dengan persamaan pemulusan standar sehingga menghasilkan persamaan
. Metode dari Holt ini menggunakan dua parameter, α dan β, yang
masing-masing nilainya dapat dipilih dari setiap angka antara 0 sampai
Universitas Sumatera Utara
15
dengan 1. Kedua parameter itu dapat mempunyai nilai yang sama atau
berbeda besarnya.
Proses inisialisasi untuk pemulusan eksponensial linier dari Holt
memerlukan dua taksiran, yaitu untuk nilai
dan
. Nilai
dapat
disamakan dengan nilai aktual (pengamatan) atau rata-rata dari beberapa
nilai pengamatan pada periode awal, sedangkan nilai
menggunakan
taksiran kemiringan dari serial data tersebut (menggunakan persamaan
regresi linier, akan dibahas kemudian) atau menggunakan rata-rata
kenaikan dari beberapa periode, misalnya :
−
=
+
−
+
−
c. Pemulusan Eksponensial Musiman
Sebagaimana halnya dengan persamaan pemulusan eksponensial linier
yang dapat digunakan untuk meramalkan serial data yang memiliki pola
trend, bentuk persamaan yang lebih tinggi dapat digunakan jika pola
dasar serial datanya musiman. Salah satu metode peramalan yang khusus
untuk data yang berpola musiman adalah metode pemulusan eksponensial
linier dan musiman dari Winter. Metode ini didasarkan atas tiga
persamaan, yaitu unsur stasioner, trend dan musiman, yang dirumuskan
sebagai berikut :
=
(
=
( )+
=
Dimana :
+
=
−
+
+
)+
−
∙
−
+
−
−
− +
−
−
+
−
−
L = jumlah periode dalam satu siklus musim
I = faktor penyesuaian musiman (indeks musiman)
Universitas Sumatera Utara
16
Sebagaimana dalam perhitungan pemulusan eksponensial tunggal,
nilai inisial
dapat disamakan dengan nilai aktualnya atau berupa rata-
rata dari beberapa nilai pada musim yang sama, sedangkan nilai inisial T
dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
= {
+
−
+
+
−
+ ⋯+
−
−
}
2.2.2 Ketelitian Peramalan
Bila
adalah data yang sebenarnya pada periode i dan
adalah hasil peramalan
pada periode yang sama maka penyimpangan yang terjadi dapat didefinisikan
sebagai berikut :
=
−
Sehingga bila terdapat n periode pengamatan, maka akan terdapat sejumlah
n penyimpangan.Berikut ini akan diberikan beberapa rumus yang dapat digunakan
untuk mengukur ketelitian peramalan :
1. Mean Error
=
∑
=
∑
=
∑
=
∑
=
∑=
−
=
2. Mean Absolute Error
=
| |
3. Sum of Squared Errors
=
4. Mean Squared Error
=
5. Standard Deviation Errors
Universitas Sumatera Utara
17
2.2.3 Pengujian Pola Peramalan
Setelah dipilih metode peramalan sesuai dengan pola data dan faktor-faktor
lainnya, maka hasil ramalan yang diperoleh perlu diuji apakah penyimpangan
yang terdapat dalam peramalan tersebut bersifat random atau tidak.Metode
peramalan yang baik adalah bila penyimpangan yang terjadi bersifat random.
Metode yang digunakan untuk pengujian ini adalah metode Box-Pierce
Test dengan rumus sebagai berikut :
= ∑�
�
=
=
∑ =− [ − ̅
∑ −
−
+
− ̅ ]
Dimana :
� = koefisien autokorelasi pada time lag ke-k
= penyimpangan periode ke-i
̅ = rata-rata penyimpangan
= banyaknya data
Setelah harga Q diperoleh, kemudian dibandingkan dengan nilai
<
�
. Jika
berarti penyimpangan yang terjadi bersifat random.
2.3. Goal Programming
Goal Programming atau yang dikenal dengan Program Tujuan Ganda (PTG)
merupakan modifikasi atau variasi khusus dari program linier.Goal Programming
bertujuan untuk meminimumkan jarak antara atau deviasi terhadap tujuan, target
atau sasaran yang telah ditetapkan dengan usaha yang dapat ditempuh untuk
mencapai target atau tujuan tersebut secara memuaskan sesuai dengan batasan
Universitas Sumatera Utara
18
yang ada yaitu sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala tujuan,
dan sebagainya. (Nasendi, 1985)
Goal Programming pertama kali diperkenalkan oleh Charnes dan Coopers
(1961). Charnes dan coopers mencoba menyelesaikan persoalan program linier
dengan banyak kendala dengan waktu yang bersamaan. Gagasan itu berawal dari
adanya program linier yang tidak bisa diselesaikan karena memiliki tujuan ganda.
Charnes dan coopers mengatakan bahwa jika di dalam persamaan linier tersebut
terdapat slack variabel dan surplus variabel di dalam persamaan kendalanya, maka
fungsi tujuan dari persamaan tersebut bisa dikendalikan yaitu dengan
mengendalikan nilai ruas kiri dari persamaan tersebut agar sama dengan nilai ruas
kanannya. Inilah yang menjadi dasar Charnes dan coopers mengembangkan
metode Goal Programming.
2.3.1. Konsep Goal Programming
Goal Programming pada umumnya digunakan pada masalah-masalah linier
dengan memasukkan berbagai tujuan dalam formulasi modelnya.Tujuan-tujuan
yang ingin dicapai dinyatakan sebagai goal dan dipresentasikan secara
numerik.Namun kenyataannya goal yang ingin dicapai tidak selalu dapat
diselesaikan secara bersamaan karena terdapat penyimpangan-penyimpangan atau
sering disebut dengan deviasi.Oleh Karena itu dalam Goal Programming, tujuan
yang telah dinyatakan dalam goal tersebut harus ditetapkan terlebih dahulu.
Dalam memformulasikan Goal Programming hampir sama dengan
program linier. Jika dalam program linier dapat meminimumkan atau untuk
memaksimumkan sesuatu fungsi tujuan tertentu, maka dalam Goal Programming
berusaha untuk meminimumkan deviasi diantara berbagai tujuan atau sasaran
yang ditetapkan, yaitu meminimumkan jarak batas yang dapat dicapai oleh fungsi
tujuan sebagaimana yang dikehendaki oleh berbagai fungsi kendala yang
mengikat fungsi tujuan tersebut sebagai syaratnya.
Universitas Sumatera Utara
19
Solusi yang ingin dicapai adalah meminimumkan penyimpangan tujuantujuan yang terdapat pada masing-masing goal.Fungsi tujuan dalam Goal
Programming dinyatakan sebagai minimasi penyimpangan dari fungsi pencapaian
goal.
Adapaun bentuk umum dari Goal Programming (tanpa faktor prioritas di
dalam strukturnya) adalah sebagai berikut :
+ +
=∑
=
∑
−
=
∑
=
Keterangan :
+
+
−
−
,
=
+
,
−
=
− −
+
+
+
−
=
, , ,⋯,
, , ,⋯,
= , , ,⋯,�
= Bobot untuk masing-masing penyimpangan
+
dan
−
= Variabel deviasi yang mempresentasikan tingkat pencapaian
diatas target (over achievement).
= Variabel deviasi yang mempresentasikan tingkat pencapaian
dibawah target (under achievement).
= Koefisien fungsi kendala tujuan
= Variabel keputusan atau oeubah pengambilan keputusan
= Tujuan atau target yang ingin dicapai
= Koefisien fungsi kendala biasa
= Jumlah sumber daya k yang tersedia
= Macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia
= Macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang
tersedia
Universitas Sumatera Utara
20
Model tersebut hanya menyatakan persoalan pengoptimuman dari suatu
permalahan yang hanya meminimumkan jumlah agregat dari semua deviasi positif
dan negatif yang individual dari tujuan yang ditetapkan.
Namun pada kenyataannya seringkali pada proses pengambilan keputusan
terdapat kendala pada kondisi dimana satu tujuan saling bertentangan dengan
tujuan lainnya (multiple and conflicting goals). Maka untuk menyelesaikannya
diperlukan penentuan prioritas atau tujuan mana yang terlebih dahulu diutamakan
atau diprioritaskan.
Model untuk persoalan tujuan ganda dengan struktur pengutamaan
(preemptive weights) adalah sebagai berikut :
= ∑(
+
,
+
+
∑
−
+
+
=
=
∑
=
,
Keterangan
,
+
,
−
,
=
+
,
=
−
,
−
−
)
=
, , ,⋯,
, , ,⋯,
= , , ,⋯,�
−
:
= Faktor-faktor prioritas
= Bobot relatif dari
= Bobot relatif dari
+
−
dalam urutan (rangking) ke-y
dalam urutan (rangking) ke-x
Universitas Sumatera Utara
21
2.3.2. Terminologi Goal Programming
Adapun istilah-istilah yang digunakan dalam Goal Programming menurut
budiman (2009) adalah :
a. Variabel deviasi
Variabel deviasi atau jarak antara merupakan perbedaan yang khusus
membedakan antara program linier dengan Goal Programming. Andaikan d
adalah variabel yang bertanda sembarang, maka dapat dinyatakan sebagai:
+
=
+
Dengan:
−
.
+
Dengan
−
={
+
+ ,
,
−
,
={
− ,
<
= komponen positif dari d
<
= komponen negatif dari d
Variabel deviasi mempunyai fungsi sebagai penampung terhadap tujuantujuan yang dikehendaki yang dibedakan menjadi dua bagian yaitu :
1. Deviasi positif (
+
)
Vaiabel deviasi positif berfungsi untuk menampung deviasi yang berada
diatas tujuan yang dikehendaki. Notasi untuk deviasi positif adalah
+
+
dan
akan selalu berkoefisien -1 pada setiap kendala tujuan sehingga bentuk
kendalanya adalah :
∑
−
∑
=
=
Atau dapat ditulis juga dengan :
Dimana : = , , , ⋯ ,
=
+
=
+
+
= , , ,⋯,
Universitas Sumatera Utara
22
2. Deviasi negatif
−
Variabel deviasi negatif berfungsi untuk menampung deviasi yang berada
dibawah tujuan yang dikehendaki. Notasi untuk deviasi negatif adalah
dan
−
−
akan selalu berkoefisien +1 pada setiap kendalan tujuan sehingga
bentuk kendalanya adalah :
∑
+
∑
=
=
Atau dapat ditulis juga dengan :
=
Dimana : = , , , ⋯ ,
−
=
−
−
= , , ,⋯,
Dengan demikian jelas bahwa kedua jenis variabel mendekati sebuah garis
kendala dari dua arah yang berlawanan. Dapat ditulis secara matematika
yaitu :
Atau dapat ditulis :
∑
−
∑
=
=
=
Karena nilai minimum dari
+
dan
+
−
−
+
+
+
=
−
−
adalah nol maka dari model umum
dari kendala tujuan diatas dapat disimpulkan sebagai berikut ;
i.
+
=
−
=
, sehingga
∑
=
Artinya tujuan tercapai.
ii.
+
>
dan
−
=
= , sehingga
∑
=
=
Artinya tujuan akan terlampaui karena
+
+
Universitas Sumatera Utara
23
iii.
+
=
dan
−
>
∑
, sehingga
>
=
∑
=
Artinya tujuan tidak tercapai karena
−
=
∑
−
<
=
Jadi jelas bahwa kondisi dimana
+
>
dan
kendala tujuan tidak akan mungkin terjadi.
−
>
pada sebuah
b. Variabel keputusan
Seperangkat variabel yang tidak diketahui (dalam model Goal Programming
dilambangkan dengan
, dimana j=1, 2, 3, …, n). Biasanya disebut juga
decision variables.
c. Nilai ruas kanan
Nilai-nilai
yang
biasanya
(dilambangkan dengan
menunjukkan
ketersediaan
sumber
daya
, dimana i=1, 2, 3, …, n) yang akan ditentukan
kekurangan atau kelebihan penggunaannya. Biasanya disebut juga Right
Handside Values (RHS).
d. Goal
Keinginan yang ingin dicapai yaitu meminimumkan angka penyimpangan dari
suatu nilai RHS pada suatu kendala tujuan tertentu.
e. Kendala tujuan
Sinonim dari istilah goal equation, yaitu suatu tujuan yang diekspresikan
dalam
persamaan
matematik
dengan
memasukkan
variabel
simpangan.Biasanya disebut juga goal constraint.
Universitas Sumatera Utara
24
f. Prioritas (preemptive priority factor )
Pengambil keputusan menghadapi suatu persoalan dengan tujuan ganda, tapi
satu tujuan saling bertentangan dengan tujuan yang lainnya (multiple and
conflicting goals).Dalam memecahkan persoalan tersebut, maka pengambil
keputusan harus menentukan mana dari antara berbagai tujuan tersebut yang
diutamakan atau diprioritaskan.
Tujuan yang paling penting ditentukan sebagai prioritas ke-1, sementara
tujuan yang kurang begitu penting ditentukan sebagai prioritas ke-2 demikian
seterusnya.Pembagian prioritas tersebut dikatakan sebagai pengutamaan
(preemptive), yaitu mendahulukan tercapainya tujuan yang telah diberikan
prioritas utama sebelum menuju kepada tujuan-tujuan atau prioritas-prioritas
berikutnya.Jadi, harus disusun dalam suatu urutan (ranking) menurut
prioritasnya.
Dalam perumusan model Goal Programming faktor prioritas tersebut
dinyatakan sebagai
, dimana x=1, 2, 3, …, m. Sistem urutan itu
menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan seperti berikut :
Dimana :
>
>⋯>
merupakan tujuan paling penting
merupakan tujuan yang kurang penting dan seterusnya
g. Bobot (Differential Weight)
Prioritas sebagai ukuran dari variabel-variabel deviasi yang diminalkan sering
mempunyai ukuran yang berbeda-beda.Untuk mengatasi hal itu maka dalam
fungsi tujuan masing-masing variabel deviasi yang ada dalam satu prioritas
diberi bobot.
Bobot adalah besaran numerik yang diberikan pada variabel-variabel yang
diminimumkan pada fungsi tujuan Goal Programming (dilambangkan dengan
,
, dimana i=1, 2, …, n ; k=1, 2, …, m).
Universitas Sumatera Utara
25
2.3.3. Komponen Goal Programming
Dalam metode Goal Programming terdapat beberapa komponen yang umum
dijumpai dalam pemecahan masalah dengan Goal Programming, yaitu fungsi
tujuan, kendala tujuan, kendala struktural, dan kendala non negatif.
a. Fungsi Tujuan
Berbeda dengan program linier yang fungsi tujuannya dapat memaksimumkan
atau meminimumkan, tetapi fungsi tujuan dalam Goal Programming adalah
meminimumkan deviasi.Hal ini merupakan konsekuensi logis dari kehadiran
variabel deviasi dalam fungsi kendala tujuan.
Dalam model Goal Programming hanya terdapat empat jenis fungsi tuuan
jika dihubungkan dengan prioritas dan bobot, yaitu :
1. Menimimumkan
=∑=
+
−
+
Fungsi tujuan ini digunakan apabila variabel deviasi dalam suatu masalah
tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot.
2. Meminimumkan
+
=∑=
−
+
untuk k=1, 2, …, n
Fungsi tujuan ini digunakan apabila urutan atau prioritas dan setiap tujuan
diperlukan.
3. Meminimumkan
=∑=
,
+
+
−
untuk x=1, 2, …, n
Fungsi tujuan ini digunakan apabila tujuan-tujuan diurutkan dan variabel
deviasi dibedakan dengan diberikan bobot yang berlainan.
4. Menimimumkan
x=1,2, …,n
=∑=
.
+
+
−
untuk k=1,2, …, n dan
Fungsi tujuan ini digunakan apabila tujuan-tujuan diurutkan berdasar
prioritas dan bobot.
b. Kendala tujuan
Dalam model Goal Programming ditemukan sepasang variabel yang disebut
variabel deviasi dan berfungsi untuk menampung penyimpangan atau jarak
antara yang akan terjadi pada ruas kiri suatu persamaan kendala terhadap nilai
ruas kanannya. Agar deviasi ini minimum, artinya ruas kiri suatu persamaan
Universitas Sumatera Utara
26
kendala sedapat mungkin mendekati nilai ruas kanannya maka variabel
deviasi ini harus diminimumkan dalam fungsi tujuan.
Kendala tujuan merupakan kendala-kendala yang dihadapi dalam
mencapai tujuan.Charnes dan cooper telah memanipulasi program linier
sehingga pada program linier kendala-kendala fungsional yang menjadi
pembatas bagi usaha pemaksimuman atau peminimuman fungsi tujuan, maka
di Goal Programming kendala-kendala merupakan sarana untuk mewujudkan
tujuan yang hendak dicapai.
Bentuk persamaan kendala tujuan secara umum adalah :
, =,
Dan secara umum dituliskan menjadi :
∑
=
−
+
+
−
=
c. Kendala struktural
Kendala fungsional atau struktural adalah kendala-kendala lingkungan yang
tidak
berhubungan
langsung
dengan
tujuan-tujuan
masalah
yang
dihadapi.Variabel deviasi tidak dimasukkan kedalam kendala struktural,
karena hal ini tidak merupakan fungsi tujuan.
d. Kendala non-negatif
Dalam program linier, variabel-variabel bernilai lebih besar atau sama dengan
nol. Demikian halnya dengan Goal Programming yang terdiri dari variabel
keputusan dan variabel deviasi. Keduanya bernilai lebih besar atau sama
dengan nol. Pernyataan non negatif dilambangkan dengan : ,
+
,
−
> .
Universitas Sumatera Utara
27
2.3.4. Asumsi dalam Goal Programming
Dalam memodelkan suatu masalah tertentu ke dalam Goal Programming
diperlukan sejumlah asumsi yang jika tidak dapat terpenuhi maka Goal
Programming
bukan merupakan model yang cocok untuk permasalah
tersebut.Jadi asumsi model membatasi penggunaan metode Goal Programming.
Asumsi-asumsi dalam Goal Programming :
1. Additivitas dan Linieritas
Diasumsikan bahwa proporsi penggunaan
yang ditentukan oleh
tetap benar tanpa memperhatikan nilai solusi
harus
yang dihasilkan. Hal ini
berarti bahwa ruas kiri dari kendala tujuan harus sama dengan nilai ruas
kanan.
2. Divisibilitas
Diasumsikan bahwa nilai-nilai
,
+
, dan
Hal ini berarti jumlah pecahan nilai
−
yang dihasilkan dapat dipecah.
dapat diselesaikan dan digunakan
dalam solusi.
3. Terbatas
2.3.5. Penyelesaian Metode Goal Programming
Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan model
Goal Programming, yaitu :
1. Metode Grafik
Metode grafik digunakan untuk menyelesaikan masalah Goal Programming
dengan dua variabel. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah :
a. Menggambarkan fungsi kendala pada bidang kerja sehingga diperoleh
daerah yang memenuhi kendala
b. Meminimumkan variabel deviasi agar sasaran-sasaran yang diinginkan
tercapai dengan cara menggeser fungsi atau garis yang dibentuk oleh
variabel deviasi terhadap daerah yang memenuhi kendala
Universitas Sumatera Utara
28
2. Metode Algoritma Simpleks
Algoritma
simpleks
digunakan
untuk
menyelesaikan
masalah
Goal
Programming dengan menggunakan variabel keputusan yang lebih dari dua.
Langkah-langkah penyelesaian Goal Programming dengan metode algoritma
simpleks adalah ;
a. Membentuk tabel simpleks awal
b. Pilih kolom kunci (kolom pivot) dimana
terbesar
−
memiliki nilai negatif
c. Pilih baris (baris pivot) yang berpedoman pada
terkecil dimana
d.
/
dengan rasio
adalah nilai sisi kanan dari setiap persamaan
Mencari nilai elemen pivot yang bernilai 1 dan elemen lain bernilai nol
dengan cara mengalikan baris pivot dengan -1 lalu menambahkannya
dengan semua elemen di baris pertama. Dengan demikian diperoleh tabel
simpleks iterasi I.
e. Pemeriksaan optimalitas, yaitu melihat apakah solusi sudah layak atau
tidak. Solusi dikatakan layak bila variabel adalah positif atau nol.
Berikut akan diberikan contoh kasus penggunaan Goal Programming.
Sebuah Perusahaan memproduksi 2 jenis produk yang berbeda, yaitu A dan B.
Produk tersebut dikerjakan melalui 2 proses pengerjaan yang berbeda, yaitu
proses 1 dan proses 2. Proses 1 mampu menghasilkan 8 unit produk A dan 5
unit produk B sedangkan untuk proses 2 hanya mampu menghasilkan 2 unit
produk A dan 3 unit produk B. Kapasitas maksimum proses 1 dan 2 masingmasing adalah 40 dan 20.
Dalam hal ini perusahaan mendapatkan 4 macam sasaran yaitu :
1. Kapasitas yang tersedia pada proses 1 dimanfaatkan secara maksimum
2. Kapasitas yang tersedia pada proses 2 dimanfaatkan secara maksimum
3. Produk A paling sedikit 15 unit
4. Produk B paling sedikit 8 unit
Penyelesaian :
Yang menjadi variable keputusan adalah :
A = Jumlah produk A yang akan diproduksi
Universitas Sumatera Utara
29
B = Jumlah produk B yang akan diproduksi
Yang menjadi fungsi kendala adalah :
8A + 5B ≤ 40
2A + 3B ≤ 20
A ≥ 15
B≥8
Sesuai dengan sasaran yang akan dicapai, maka model goal programming
untuk permasalahan diatas adalah :
+
=
+
+
+
+
+
+
−
−
−
+
−
+
+
−
−
−
−
=
−
+
+
+
+
=
−
+
−
+
−
+
=
=
Penyelesaian model ini dimulai dengan membuat tabel simpleks awal seperti
pada tabel 2.1 sebagai berikut :
Tabel 2.1 Tabel Simpleks Awal
Pk
Cj
P1
P2
P3
P4
1
1
1
1
Zj
Cj-Zj
Cj
VB
−
−
−
−
P1
P2
P3
P4
P1
P2
P3
P4
0
A
8
2
1
0
8
2
1
0
-8
-2
-1
0
0
B
5
3
0
1
5
3
0
1
-5
-3
0
-1
1
1
1
1
0
1
0
1
-1
0
0
0
-1
0
0
0
2
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
-1
0
0
0
-1
0
0
1
2
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
+
−
+
+
−
Yang menjadi kolom kunci adalah kolom ke-1 dimana
−
−
+
−
memiliki nilai
negative terbesar yaitu -7.Yang menjadi baris kunci adalah baris ke-1 karena
Universitas Sumatera Utara
bi
40
20
15
8
30
memiliki nilai bi/aij terkecil yaitu 5.Pemilihan kolom kunci dapat dilihat pada
tabel 2.2.
Tabel 2.2 Tabel Simpleks Awal (Pemilihan Kolom Kunci)
Pk
Cj
P1
P2
P3
P4
1
1
1
1
Zj
Cj-Zj
Cj
VB
−
−
−
−
P1
P2
P3
P4
P1
P2
P3
P4
0
A
8
2
1
0
7
2
1
0
-8
-2
-1
0
0
B
5
3
0
1
5
3
0
1
-5
-3
0
-1
1
1
1
1
0
1
0
1
-1
0
0
0
-1
0
0
0
2
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
-1
0
0
0
-1
0
0
1
2
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
+
−
+
+
−
−
+
−
bi
40
20
15
8
Langkah selanjutnya adalah mencari sistem kanonikal yaitu sistem dimana
nilai elemen pivot bernilai 1 dan elemen lain bernilai nol dengan cara
mengalikan baris pivot dengan -1 lalu menambahkannya dengan semua
elemen di baris lainnya.
Tabel 2.3 Tabel Simpleks Iterasi I
Pk
Cj
P2
P3
P4
0
1
1
1
Zj
Cj-Zj
Cj
VB
A
−
−
−
P2
P3
P4
P2
P3
P4
0
A
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
B
5/8
7/4
-5/8
1
7/4
-5/8
1
-7/4
5/8
-1
1
1
1
1
0
1
0
1
-1/8
1/4
1/8
0
1/4
1/8
0
¾
7/8
1
1/8
-1/4
-1/8
0
-1/4
-1/8
0
5/4
9/8
1
0
-1
0
0
-1
0
0
2
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
-1
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
-1
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
+
−
+
−
+
−
+
−
bi
5
10
10
8
Tabel 2.4 Tabel Simpleks Iterasi II
Pk
Cj
0
0
Cj
VB
A
B
0
A
1
0
0
B
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
-3/14
1/7
3/14
-1/7
5/14
-4/7
-5/14
4/7
0
0
0
0
0
0
0
0
+
−
+
−
+
−
+
−
Universitas Sumatera Utara
bi
10/7
40/7
31
P3
P4
1
1
Zj
Cj-Zj
−
−
P3
P4
P3
P4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3/14
-1/7
3/14
-1/7
11/4
8/7
-3/14
1/7
-3/14
1/7
17/14
6/7
-5/14
4/7
-5/14
4/7
19.14
3/7
5/14
-4/7
5/14
-4/7
9/14
11/7
Pada iterasi II diperoleh solusi optimal karena seluruh
1
0
1
0
0
1
-1
0
-1
0
1
0
−
0
-1
0
-1
0
1
0
1
0
1
1
0
. Dengan
demikian, solusi optimal untuk produk yang diproduksi adalah A=1,43≈1 unit
dan B=5,71≈6 unit dengan penyimpangan
−
=13,57≈14 dan
−
=2,28≈2.
3. Penyelesaian dengan bantuan software QM
QM singkatan dari Quality Method adalah sebuah program yang dirancang
untuk menyelesaikan persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen
sains atau operasi riset.Sebuah permasalahan harus diubah dahulu ke dalam
sebuah model matematis pemrograman linier, kemudian diinput ke dalam
software QM.
Program ini memiliki beberapa modul untuk menyelesaikan beragam
persoalam matematika dan yang menjadi input adalah model matematika yang
telah dirancang berdasarkan permasalahn yang ada. Dalam penelitian ini
digunakan modul goal programming.Misalnya contoh diatas, bentuk inputnya
adalah :
Gambar 2.5 Data Input di dalam Program
Universitas Sumatera Utara
95/7
16/7
32
Setelah data diinput, segera perintahkan program untuk mengola data tersebut
melalui fasilitas “solve”. Sesaat kemudian program akan menayangkan
hasilnya dalam 3 bentuk yaitu :
- Final Table
Tabel ini menunjukkan hasil perhitungan pada iterasi terakhir metode
simpleks.
Gambar 2.6 Hasil Akhir Pada Perhitungan Metode Simpleks
- Summary
Tabel ini menunjukkan rangkuman hasil-hasil akhir perhitungan.
Gambar 2.7 Rangkuman Hasil Perhitungan Solusi Optimal
Universitas Sumatera Utara
33
- Graph
Grafik yang menunjukkan solusi optimal atas model matematika dari suatu
permasalahan.
Gambar 2.8 Grafik Solusi Optimal
Universitas Sumatera Utara
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1. Optimasi Produksi
Optimasi adalah tindakan untuk memperoleh hasil yang terbaik dengan keadaan
yang diberikan.Dalam pelaksanaannya harus diambil keputusan manajerial dalam
beberapa tahap.Tujuan akhir dari semua keputusan seperti itu adalah
meminimalkan upaya yang diperlukan atau untuk memaksimalkan manfaat yang
diinginkan.Usaha yang diperlukan atau manfaat uang yang diinginkan dalam
prakteknya dapat dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan tertentu.
Optimasi dapat didefinisikan sebagai proses untuk mendapatkan keadaan yang
memberikan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi.
Optimasi produksi adalah penggunaan faktor-faktor produksi yang terbatas
seefisien mungkin. Faktor-faktor produksi tersebut adalah modal, mesin, bahan
baku, bahan pembantu, tenaga kerja, dan lain sebagainya. Optimasi produksi
diperlukan perusahaan dalam rangka mengoptimalkan sumber daya yang
digunakan agar suatu produksi dapat menghasilkan produk. Optimasi merupakan
pendekatan normatif dengan mengidentifikasi penyelesaian terbaik dari suatu
permasalahan yang diarahkan pada titik maksimum atau minimum suatu fungsi
tujuan dalam kuantitas dan kualitas yang diharapkan, sehingga perusahaan dapat
mencapai tujuannya.
2.1.1 Perencanaan Produksi
Perencanaan produksi merupakan perencanaan tentang produk dan merencanakan
jumlah produk yang akan diproduksi oleh perusahaan yang bersangkutan dalam
satu periode di masa yang akan datang. Hasil dari perencanaan produksi adalah
Universitas Sumatera Utara
9
sebuah rencana produksi. Tanpa adanya rencana produksi yang baik, maka tujuan
tidak akan dapat dicapai dengan efektif dan efisien, sehingga faktor-faktor
produksi yang ada akan dipergunakan secara boros. Oleh karena itu, perencanaan
produksi merupakan spesifikasi tujuan perusahaan yang ingin dicapai serta caracara yang akan ditempuh untuk mencapai tujuan tersebut.
Kegunaan atau pentingnya diadakan produksi adalah sebagai berikut :
1. Suatu
perencanaan
meliputi
usaha
untuk
menetapkan
tujuan
atau
memformulasikan tujuan yang dipilih untuk dicapai, maka dengan adanya
perencanaan produksi, dapat membedakan arah bagi setiap kegiatan produksi
yang jelas.
2. Dengan perencanaan yang memberikan formulasi tujuan yang hendak dicapai,
maka akan memungkinkan untuk mengetahui apakah tujuan-tujuan tersebut
telah tercapai atau tidak.
3. Memudahkan pelaksanaan kegiatan untuk mengidentifikasikan
hambatan-
hambatan yang mungkin timbul dalam usaha tujuan tersebut. Dengan
memperhitungkan
hambatan-hambatan
tersebut,
persiapan
untuk
mengatasinya menjadi lebih terarah.
4. Menghindarkan pertumbuhan dan perkembangan yang tidak terkendali.
2.2 Peramalan
2.2.1 Metode Deret Waktu (Time-Series)
Metode deret waktu adalah peramalan yang didasarkan pada periode waktu
mingguan, bulanan, triwulan, dan seterusnya. Metode deret waktu biasanya
digunakan untuk menganalisis pola permintaan masa lalu dan untuk
memproyeksikan masa depan. Asumsi dasar yang dipakai adalah bahwa pola
permintaan dapat dibagi menjadi beberapa komponen, yaitu tingkat rata-rata,
kecenderungan, musiman, siklus, dan kesalahan.
Universitas Sumatera Utara
10
Ada empat komponen utama yang mempengaruhi analisis ini, yaitu :
a. Pola Siklis (Cycle)
Penjualan produk dapat memiliki siklus yang berulang secara periodik.Banyak
produk dipengaruhi pola pergerakan aktivitas ekonomi yang terkadang memiliki
kecenderungan periodik.Komponen siklis ini sangat berguna dalam peramalan
jangka menengah.
Pola data ini terjadi bila data memiliki kecenderungan untuk naik atau
turun terus-menerus. Pola data bentuk ini digambarkan sebagai berikut :
Gambar 2.1 Pola Siklis
b. Pola Musiman (Season)
Perkataan musim menggambarkan pola penjualan yang berulang setiap
periode.Komponen musim dapat dijabarkan ke dalam vektor cuaca, libur, atau
kecenderungan perdagangan.Pola musiman berguna meramalkan penjualan
dalam jangka pendek.Pola data musiman dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar 2.2 Pola Musiman
c. Pola kecenderungan (trend)
Pola data ini terjadi bila data memiliki kecenderungan untuk naik atau turun
terus menerus. Pola data dalam bentuk ini dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar 2.3 Pola Kecenderungan
Universitas Sumatera Utara
11
d. Pola Acak
Pola data ini menggambarkan pola penjualan yang setiap periodenya memiliki
kondisi yang beragam dan acak. Pola data dalam bentuk ini dapat digambarkan
sebagai berikut :
Gambar 2.4 Pola Acak
Peramalan deret waktu (time-series) memiliki beberapa metode yang dapat
digunakan untuk meramalkan kondisi pada periode yang akan datang, yaitu :
a. Metode Penghalusan (Smoothing)
Metode smoothing digunakan untuk mengurangi ketidak-teraturan musiman
dari data yang lalu, dengan membuat rata-rata tertimbang dari sederetan data
masa lalu. Ketetapan peramalan dengan metode ini akan terdapat pada
peramalan jangka pendek, sedangkan untuk peramalan jangka panjang kurang
akurat.
Metode smoothing terdiri dari beberapa jenis, antara lain :
1. Metode rata-rata bergerak (Moving Average)
a. Single Moving Average
Moving Average pada suatu periode merupakan peramalan untuk satu
periode ke depan dari periode rata-rata tersebut. Persoalan yang timbul
dalam penggunaan metode ini adalah dalam menentukan nilai t (periode
perata-rata). Semakin besar nilai t maka peramalan yang dihasilkan akan
semakin menjauhi pola data.
Secara matematis, rumus fungsi peramalan metode ini adalah :
Dimana :
+
−�+
+ ⋯+
= Data pengamatan periode ke-i
N
+
=
+
+
= Jumlah deret waktu yang digunakan
= Nilai peramalan periode t+1
Universitas Sumatera Utara
12
b. Linear Moving average (LMA)
Dasar dari metode ini adalah penggunaan Moving Average kedua untuk
memperoleh penyesuaian bentuk pola trend. Prosedur Linear Moving
Averageadalah :
-
Penggunaan rata-rata bergerak tunggal pada waktu t (ditulis
-
Penyesuaian yang merupakan perbedaan antara rata-rata bergerak
′−
tunggal dan ganda pada waktu t (ditulis
-
)
′′)
Penyesuaian untuk kecenderungan dari periode ke t+1 (atau ke
periode t+m jika ingin meramalkan m periode ke muka)
Secara umum persamaan prosedur rata-rata bergerak linier dapat
diterangkan melalui persamaan sebagai berikut :
′
′′
+
=
=
=
=
+
′
=
+
−
+
−
+
−
′
+
+
−
′
−
∙
−
′′
′′
−
=
+ ⋯+
− −
+ ⋯+
′
− −
′′
−
Kesalahan negatif atau positif yang mungkin terjadi dapat
dihilangkan atau dikeluarkan.Rata-rata dapat dilakukan terhadap seluruh
angka konstanta dari data pengamatan. Sesuai dengan tujuan di atas,
maka teknik ini dapat menghilangkan trend dan musiman (seasonality).
Harga yang diramalkan dalam Single Moving Average dihitung
berdasarkan rumus :
+
Dimana :
= nilai data
+
=
=
|
+
−
|⋯ |
−
− −
−
= nilai ramalan untuk waktu (t+1)
N
= banyak data
Universitas Sumatera Utara
13
c. Weigted Moving Average
Pada meode rata-rata sederhana, jumlah data pada kelompok inisialisasi
makin lama semakin bertambah dengan naiknya harga i. Tetapi pada
metode rata-rata bergerak tunggal jumlah data kelompok inisialisasi
adalah konstan, bilamana harga i bertambah satu, maka data baru yang
akan menggeser/menggantikan data yang paling tua. Untuk waktu (t+1),
(t+2), nilai ramalannya adalah :
+
+
=
=
∑=
∑ ==
+
2. Metode Exponensial Smoothing, terdiri atas
a. Pemulusan Eksponensial Tunggal (Single Exponensial Smoothing)
Metode pemulusan eksponensial tunggal (single exponensial smoothing)
menambahkan parameter α dalam modelnya untuk mengurangi faktor
kerandoman. Nilai peramalan dapat dicari dengan menggunakan rumus
berikut ini :
+
Dimana :
=
∙
+
−
∙
= data permintaan pada periode t
= faktor/konstan pemulusan
+
= peramalan untuk periode t
Berbeda
dengan
metode
rata-rata
bergerak
yang
hanya
menggunakan N data periode terakhir dalam melakukan peramalan,
metode pemulusan eksponensial tunggal mengikutsertakan data dari
semua periode.Setiap data pengamatan mempunyai kontribusi dalam
penentuan
nilai
peramalan
periode
sesudahnya.Namun,
dalam
perhitungannya cukup diwakili oleh data pengamatan dan hasil peramalan
periode terakhir, karena nilai peramalan periode sebelumnya sudah
mengandung nilai-nilai pengamatan sebelumnya.
Universitas Sumatera Utara
14
Istilah eksponensial dalam metode ini berasal dari pembobotan
(faktor
pemulusan)
dari
periode
sebelumnya
yang
berbentuk
eksponensial, sebagaimana dijabarkan berikut ini :
+
=
=
∙
∙
+
=
+
∙
+
−
−
−
∙
+
∙
−
∙
+
−
+
−
−
−
∙
∙
− �−
∙
−
+⋯
−
Di sini terlihat bahwa koefisien X dari waktu ke waktu membentuk
hubungan eksponensial. Misalnya, untuk α = 0,2 maka koefisien dari
,
−
,
−
; 0,2(0,8)N+1.
,⋯,
−�+
berturut-turut adalah 0,2; 0,2(0,8); 0,2(0,8)2; …
b. Pemulusan Eksponensial Linier (Linear Exponential Smoothing/Double
Exponential Smoothing)
Metode pemulusan eksponensial tunggal hanya akan efektif apabila serial
data yang diamati memiliki pola horizontal (stasioner). Jika metode itu
digunakan untuk serial data yang memiliki unsur trend (kecenderungan)
yang konsisten, nilai-nilai peramalannya akan selalu berada di belakang
nilai aktualnya (terjadi lagging yang terus menerus). Metode yang tepat
untuk melakukan peramalan serial data yang memiliki unsur trend adalah
metode pemulusan eksponensial linier. Salah satu metode yang digunakan
adalah
metode
pemulusan
eksponensial
linier
dari Holt,
yang
menggunakan persamaan sebagai berikut :
+
=
∙
+
=
+
∙
=
∙
−
−
−
+
−
+
−
∙
−
−
Pemulusan eksponensial linier dari Holt menambahkan persamaan
untuk memperoleh pemulusan trend dan menggabungkan trend ini
dengan persamaan pemulusan standar sehingga menghasilkan persamaan
. Metode dari Holt ini menggunakan dua parameter, α dan β, yang
masing-masing nilainya dapat dipilih dari setiap angka antara 0 sampai
Universitas Sumatera Utara
15
dengan 1. Kedua parameter itu dapat mempunyai nilai yang sama atau
berbeda besarnya.
Proses inisialisasi untuk pemulusan eksponensial linier dari Holt
memerlukan dua taksiran, yaitu untuk nilai
dan
. Nilai
dapat
disamakan dengan nilai aktual (pengamatan) atau rata-rata dari beberapa
nilai pengamatan pada periode awal, sedangkan nilai
menggunakan
taksiran kemiringan dari serial data tersebut (menggunakan persamaan
regresi linier, akan dibahas kemudian) atau menggunakan rata-rata
kenaikan dari beberapa periode, misalnya :
−
=
+
−
+
−
c. Pemulusan Eksponensial Musiman
Sebagaimana halnya dengan persamaan pemulusan eksponensial linier
yang dapat digunakan untuk meramalkan serial data yang memiliki pola
trend, bentuk persamaan yang lebih tinggi dapat digunakan jika pola
dasar serial datanya musiman. Salah satu metode peramalan yang khusus
untuk data yang berpola musiman adalah metode pemulusan eksponensial
linier dan musiman dari Winter. Metode ini didasarkan atas tiga
persamaan, yaitu unsur stasioner, trend dan musiman, yang dirumuskan
sebagai berikut :
=
(
=
( )+
=
Dimana :
+
=
−
+
+
)+
−
∙
−
+
−
−
− +
−
−
+
−
−
L = jumlah periode dalam satu siklus musim
I = faktor penyesuaian musiman (indeks musiman)
Universitas Sumatera Utara
16
Sebagaimana dalam perhitungan pemulusan eksponensial tunggal,
nilai inisial
dapat disamakan dengan nilai aktualnya atau berupa rata-
rata dari beberapa nilai pada musim yang sama, sedangkan nilai inisial T
dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
= {
+
−
+
+
−
+ ⋯+
−
−
}
2.2.2 Ketelitian Peramalan
Bila
adalah data yang sebenarnya pada periode i dan
adalah hasil peramalan
pada periode yang sama maka penyimpangan yang terjadi dapat didefinisikan
sebagai berikut :
=
−
Sehingga bila terdapat n periode pengamatan, maka akan terdapat sejumlah
n penyimpangan.Berikut ini akan diberikan beberapa rumus yang dapat digunakan
untuk mengukur ketelitian peramalan :
1. Mean Error
=
∑
=
∑
=
∑
=
∑
=
∑=
−
=
2. Mean Absolute Error
=
| |
3. Sum of Squared Errors
=
4. Mean Squared Error
=
5. Standard Deviation Errors
Universitas Sumatera Utara
17
2.2.3 Pengujian Pola Peramalan
Setelah dipilih metode peramalan sesuai dengan pola data dan faktor-faktor
lainnya, maka hasil ramalan yang diperoleh perlu diuji apakah penyimpangan
yang terdapat dalam peramalan tersebut bersifat random atau tidak.Metode
peramalan yang baik adalah bila penyimpangan yang terjadi bersifat random.
Metode yang digunakan untuk pengujian ini adalah metode Box-Pierce
Test dengan rumus sebagai berikut :
= ∑�
�
=
=
∑ =− [ − ̅
∑ −
−
+
− ̅ ]
Dimana :
� = koefisien autokorelasi pada time lag ke-k
= penyimpangan periode ke-i
̅ = rata-rata penyimpangan
= banyaknya data
Setelah harga Q diperoleh, kemudian dibandingkan dengan nilai
<
�
. Jika
berarti penyimpangan yang terjadi bersifat random.
2.3. Goal Programming
Goal Programming atau yang dikenal dengan Program Tujuan Ganda (PTG)
merupakan modifikasi atau variasi khusus dari program linier.Goal Programming
bertujuan untuk meminimumkan jarak antara atau deviasi terhadap tujuan, target
atau sasaran yang telah ditetapkan dengan usaha yang dapat ditempuh untuk
mencapai target atau tujuan tersebut secara memuaskan sesuai dengan batasan
Universitas Sumatera Utara
18
yang ada yaitu sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala tujuan,
dan sebagainya. (Nasendi, 1985)
Goal Programming pertama kali diperkenalkan oleh Charnes dan Coopers
(1961). Charnes dan coopers mencoba menyelesaikan persoalan program linier
dengan banyak kendala dengan waktu yang bersamaan. Gagasan itu berawal dari
adanya program linier yang tidak bisa diselesaikan karena memiliki tujuan ganda.
Charnes dan coopers mengatakan bahwa jika di dalam persamaan linier tersebut
terdapat slack variabel dan surplus variabel di dalam persamaan kendalanya, maka
fungsi tujuan dari persamaan tersebut bisa dikendalikan yaitu dengan
mengendalikan nilai ruas kiri dari persamaan tersebut agar sama dengan nilai ruas
kanannya. Inilah yang menjadi dasar Charnes dan coopers mengembangkan
metode Goal Programming.
2.3.1. Konsep Goal Programming
Goal Programming pada umumnya digunakan pada masalah-masalah linier
dengan memasukkan berbagai tujuan dalam formulasi modelnya.Tujuan-tujuan
yang ingin dicapai dinyatakan sebagai goal dan dipresentasikan secara
numerik.Namun kenyataannya goal yang ingin dicapai tidak selalu dapat
diselesaikan secara bersamaan karena terdapat penyimpangan-penyimpangan atau
sering disebut dengan deviasi.Oleh Karena itu dalam Goal Programming, tujuan
yang telah dinyatakan dalam goal tersebut harus ditetapkan terlebih dahulu.
Dalam memformulasikan Goal Programming hampir sama dengan
program linier. Jika dalam program linier dapat meminimumkan atau untuk
memaksimumkan sesuatu fungsi tujuan tertentu, maka dalam Goal Programming
berusaha untuk meminimumkan deviasi diantara berbagai tujuan atau sasaran
yang ditetapkan, yaitu meminimumkan jarak batas yang dapat dicapai oleh fungsi
tujuan sebagaimana yang dikehendaki oleh berbagai fungsi kendala yang
mengikat fungsi tujuan tersebut sebagai syaratnya.
Universitas Sumatera Utara
19
Solusi yang ingin dicapai adalah meminimumkan penyimpangan tujuantujuan yang terdapat pada masing-masing goal.Fungsi tujuan dalam Goal
Programming dinyatakan sebagai minimasi penyimpangan dari fungsi pencapaian
goal.
Adapaun bentuk umum dari Goal Programming (tanpa faktor prioritas di
dalam strukturnya) adalah sebagai berikut :
+ +
=∑
=
∑
−
=
∑
=
Keterangan :
+
+
−
−
,
=
+
,
−
=
− −
+
+
+
−
=
, , ,⋯,
, , ,⋯,
= , , ,⋯,�
= Bobot untuk masing-masing penyimpangan
+
dan
−
= Variabel deviasi yang mempresentasikan tingkat pencapaian
diatas target (over achievement).
= Variabel deviasi yang mempresentasikan tingkat pencapaian
dibawah target (under achievement).
= Koefisien fungsi kendala tujuan
= Variabel keputusan atau oeubah pengambilan keputusan
= Tujuan atau target yang ingin dicapai
= Koefisien fungsi kendala biasa
= Jumlah sumber daya k yang tersedia
= Macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia
= Macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang
tersedia
Universitas Sumatera Utara
20
Model tersebut hanya menyatakan persoalan pengoptimuman dari suatu
permalahan yang hanya meminimumkan jumlah agregat dari semua deviasi positif
dan negatif yang individual dari tujuan yang ditetapkan.
Namun pada kenyataannya seringkali pada proses pengambilan keputusan
terdapat kendala pada kondisi dimana satu tujuan saling bertentangan dengan
tujuan lainnya (multiple and conflicting goals). Maka untuk menyelesaikannya
diperlukan penentuan prioritas atau tujuan mana yang terlebih dahulu diutamakan
atau diprioritaskan.
Model untuk persoalan tujuan ganda dengan struktur pengutamaan
(preemptive weights) adalah sebagai berikut :
= ∑(
+
,
+
+
∑
−
+
+
=
=
∑
=
,
Keterangan
,
+
,
−
,
=
+
,
=
−
,
−
−
)
=
, , ,⋯,
, , ,⋯,
= , , ,⋯,�
−
:
= Faktor-faktor prioritas
= Bobot relatif dari
= Bobot relatif dari
+
−
dalam urutan (rangking) ke-y
dalam urutan (rangking) ke-x
Universitas Sumatera Utara
21
2.3.2. Terminologi Goal Programming
Adapun istilah-istilah yang digunakan dalam Goal Programming menurut
budiman (2009) adalah :
a. Variabel deviasi
Variabel deviasi atau jarak antara merupakan perbedaan yang khusus
membedakan antara program linier dengan Goal Programming. Andaikan d
adalah variabel yang bertanda sembarang, maka dapat dinyatakan sebagai:
+
=
+
Dengan:
−
.
+
Dengan
−
={
+
+ ,
,
−
,
={
− ,
<
= komponen positif dari d
<
= komponen negatif dari d
Variabel deviasi mempunyai fungsi sebagai penampung terhadap tujuantujuan yang dikehendaki yang dibedakan menjadi dua bagian yaitu :
1. Deviasi positif (
+
)
Vaiabel deviasi positif berfungsi untuk menampung deviasi yang berada
diatas tujuan yang dikehendaki. Notasi untuk deviasi positif adalah
+
+
dan
akan selalu berkoefisien -1 pada setiap kendala tujuan sehingga bentuk
kendalanya adalah :
∑
−
∑
=
=
Atau dapat ditulis juga dengan :
Dimana : = , , , ⋯ ,
=
+
=
+
+
= , , ,⋯,
Universitas Sumatera Utara
22
2. Deviasi negatif
−
Variabel deviasi negatif berfungsi untuk menampung deviasi yang berada
dibawah tujuan yang dikehendaki. Notasi untuk deviasi negatif adalah
dan
−
−
akan selalu berkoefisien +1 pada setiap kendalan tujuan sehingga
bentuk kendalanya adalah :
∑
+
∑
=
=
Atau dapat ditulis juga dengan :
=
Dimana : = , , , ⋯ ,
−
=
−
−
= , , ,⋯,
Dengan demikian jelas bahwa kedua jenis variabel mendekati sebuah garis
kendala dari dua arah yang berlawanan. Dapat ditulis secara matematika
yaitu :
Atau dapat ditulis :
∑
−
∑
=
=
=
Karena nilai minimum dari
+
dan
+
−
−
+
+
+
=
−
−
adalah nol maka dari model umum
dari kendala tujuan diatas dapat disimpulkan sebagai berikut ;
i.
+
=
−
=
, sehingga
∑
=
Artinya tujuan tercapai.
ii.
+
>
dan
−
=
= , sehingga
∑
=
=
Artinya tujuan akan terlampaui karena
+
+
Universitas Sumatera Utara
23
iii.
+
=
dan
−
>
∑
, sehingga
>
=
∑
=
Artinya tujuan tidak tercapai karena
−
=
∑
−
<
=
Jadi jelas bahwa kondisi dimana
+
>
dan
kendala tujuan tidak akan mungkin terjadi.
−
>
pada sebuah
b. Variabel keputusan
Seperangkat variabel yang tidak diketahui (dalam model Goal Programming
dilambangkan dengan
, dimana j=1, 2, 3, …, n). Biasanya disebut juga
decision variables.
c. Nilai ruas kanan
Nilai-nilai
yang
biasanya
(dilambangkan dengan
menunjukkan
ketersediaan
sumber
daya
, dimana i=1, 2, 3, …, n) yang akan ditentukan
kekurangan atau kelebihan penggunaannya. Biasanya disebut juga Right
Handside Values (RHS).
d. Goal
Keinginan yang ingin dicapai yaitu meminimumkan angka penyimpangan dari
suatu nilai RHS pada suatu kendala tujuan tertentu.
e. Kendala tujuan
Sinonim dari istilah goal equation, yaitu suatu tujuan yang diekspresikan
dalam
persamaan
matematik
dengan
memasukkan
variabel
simpangan.Biasanya disebut juga goal constraint.
Universitas Sumatera Utara
24
f. Prioritas (preemptive priority factor )
Pengambil keputusan menghadapi suatu persoalan dengan tujuan ganda, tapi
satu tujuan saling bertentangan dengan tujuan yang lainnya (multiple and
conflicting goals).Dalam memecahkan persoalan tersebut, maka pengambil
keputusan harus menentukan mana dari antara berbagai tujuan tersebut yang
diutamakan atau diprioritaskan.
Tujuan yang paling penting ditentukan sebagai prioritas ke-1, sementara
tujuan yang kurang begitu penting ditentukan sebagai prioritas ke-2 demikian
seterusnya.Pembagian prioritas tersebut dikatakan sebagai pengutamaan
(preemptive), yaitu mendahulukan tercapainya tujuan yang telah diberikan
prioritas utama sebelum menuju kepada tujuan-tujuan atau prioritas-prioritas
berikutnya.Jadi, harus disusun dalam suatu urutan (ranking) menurut
prioritasnya.
Dalam perumusan model Goal Programming faktor prioritas tersebut
dinyatakan sebagai
, dimana x=1, 2, 3, …, m. Sistem urutan itu
menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan seperti berikut :
Dimana :
>
>⋯>
merupakan tujuan paling penting
merupakan tujuan yang kurang penting dan seterusnya
g. Bobot (Differential Weight)
Prioritas sebagai ukuran dari variabel-variabel deviasi yang diminalkan sering
mempunyai ukuran yang berbeda-beda.Untuk mengatasi hal itu maka dalam
fungsi tujuan masing-masing variabel deviasi yang ada dalam satu prioritas
diberi bobot.
Bobot adalah besaran numerik yang diberikan pada variabel-variabel yang
diminimumkan pada fungsi tujuan Goal Programming (dilambangkan dengan
,
, dimana i=1, 2, …, n ; k=1, 2, …, m).
Universitas Sumatera Utara
25
2.3.3. Komponen Goal Programming
Dalam metode Goal Programming terdapat beberapa komponen yang umum
dijumpai dalam pemecahan masalah dengan Goal Programming, yaitu fungsi
tujuan, kendala tujuan, kendala struktural, dan kendala non negatif.
a. Fungsi Tujuan
Berbeda dengan program linier yang fungsi tujuannya dapat memaksimumkan
atau meminimumkan, tetapi fungsi tujuan dalam Goal Programming adalah
meminimumkan deviasi.Hal ini merupakan konsekuensi logis dari kehadiran
variabel deviasi dalam fungsi kendala tujuan.
Dalam model Goal Programming hanya terdapat empat jenis fungsi tuuan
jika dihubungkan dengan prioritas dan bobot, yaitu :
1. Menimimumkan
=∑=
+
−
+
Fungsi tujuan ini digunakan apabila variabel deviasi dalam suatu masalah
tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot.
2. Meminimumkan
+
=∑=
−
+
untuk k=1, 2, …, n
Fungsi tujuan ini digunakan apabila urutan atau prioritas dan setiap tujuan
diperlukan.
3. Meminimumkan
=∑=
,
+
+
−
untuk x=1, 2, …, n
Fungsi tujuan ini digunakan apabila tujuan-tujuan diurutkan dan variabel
deviasi dibedakan dengan diberikan bobot yang berlainan.
4. Menimimumkan
x=1,2, …,n
=∑=
.
+
+
−
untuk k=1,2, …, n dan
Fungsi tujuan ini digunakan apabila tujuan-tujuan diurutkan berdasar
prioritas dan bobot.
b. Kendala tujuan
Dalam model Goal Programming ditemukan sepasang variabel yang disebut
variabel deviasi dan berfungsi untuk menampung penyimpangan atau jarak
antara yang akan terjadi pada ruas kiri suatu persamaan kendala terhadap nilai
ruas kanannya. Agar deviasi ini minimum, artinya ruas kiri suatu persamaan
Universitas Sumatera Utara
26
kendala sedapat mungkin mendekati nilai ruas kanannya maka variabel
deviasi ini harus diminimumkan dalam fungsi tujuan.
Kendala tujuan merupakan kendala-kendala yang dihadapi dalam
mencapai tujuan.Charnes dan cooper telah memanipulasi program linier
sehingga pada program linier kendala-kendala fungsional yang menjadi
pembatas bagi usaha pemaksimuman atau peminimuman fungsi tujuan, maka
di Goal Programming kendala-kendala merupakan sarana untuk mewujudkan
tujuan yang hendak dicapai.
Bentuk persamaan kendala tujuan secara umum adalah :
, =,
Dan secara umum dituliskan menjadi :
∑
=
−
+
+
−
=
c. Kendala struktural
Kendala fungsional atau struktural adalah kendala-kendala lingkungan yang
tidak
berhubungan
langsung
dengan
tujuan-tujuan
masalah
yang
dihadapi.Variabel deviasi tidak dimasukkan kedalam kendala struktural,
karena hal ini tidak merupakan fungsi tujuan.
d. Kendala non-negatif
Dalam program linier, variabel-variabel bernilai lebih besar atau sama dengan
nol. Demikian halnya dengan Goal Programming yang terdiri dari variabel
keputusan dan variabel deviasi. Keduanya bernilai lebih besar atau sama
dengan nol. Pernyataan non negatif dilambangkan dengan : ,
+
,
−
> .
Universitas Sumatera Utara
27
2.3.4. Asumsi dalam Goal Programming
Dalam memodelkan suatu masalah tertentu ke dalam Goal Programming
diperlukan sejumlah asumsi yang jika tidak dapat terpenuhi maka Goal
Programming
bukan merupakan model yang cocok untuk permasalah
tersebut.Jadi asumsi model membatasi penggunaan metode Goal Programming.
Asumsi-asumsi dalam Goal Programming :
1. Additivitas dan Linieritas
Diasumsikan bahwa proporsi penggunaan
yang ditentukan oleh
tetap benar tanpa memperhatikan nilai solusi
harus
yang dihasilkan. Hal ini
berarti bahwa ruas kiri dari kendala tujuan harus sama dengan nilai ruas
kanan.
2. Divisibilitas
Diasumsikan bahwa nilai-nilai
,
+
, dan
Hal ini berarti jumlah pecahan nilai
−
yang dihasilkan dapat dipecah.
dapat diselesaikan dan digunakan
dalam solusi.
3. Terbatas
2.3.5. Penyelesaian Metode Goal Programming
Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan model
Goal Programming, yaitu :
1. Metode Grafik
Metode grafik digunakan untuk menyelesaikan masalah Goal Programming
dengan dua variabel. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah :
a. Menggambarkan fungsi kendala pada bidang kerja sehingga diperoleh
daerah yang memenuhi kendala
b. Meminimumkan variabel deviasi agar sasaran-sasaran yang diinginkan
tercapai dengan cara menggeser fungsi atau garis yang dibentuk oleh
variabel deviasi terhadap daerah yang memenuhi kendala
Universitas Sumatera Utara
28
2. Metode Algoritma Simpleks
Algoritma
simpleks
digunakan
untuk
menyelesaikan
masalah
Goal
Programming dengan menggunakan variabel keputusan yang lebih dari dua.
Langkah-langkah penyelesaian Goal Programming dengan metode algoritma
simpleks adalah ;
a. Membentuk tabel simpleks awal
b. Pilih kolom kunci (kolom pivot) dimana
terbesar
−
memiliki nilai negatif
c. Pilih baris (baris pivot) yang berpedoman pada
terkecil dimana
d.
/
dengan rasio
adalah nilai sisi kanan dari setiap persamaan
Mencari nilai elemen pivot yang bernilai 1 dan elemen lain bernilai nol
dengan cara mengalikan baris pivot dengan -1 lalu menambahkannya
dengan semua elemen di baris pertama. Dengan demikian diperoleh tabel
simpleks iterasi I.
e. Pemeriksaan optimalitas, yaitu melihat apakah solusi sudah layak atau
tidak. Solusi dikatakan layak bila variabel adalah positif atau nol.
Berikut akan diberikan contoh kasus penggunaan Goal Programming.
Sebuah Perusahaan memproduksi 2 jenis produk yang berbeda, yaitu A dan B.
Produk tersebut dikerjakan melalui 2 proses pengerjaan yang berbeda, yaitu
proses 1 dan proses 2. Proses 1 mampu menghasilkan 8 unit produk A dan 5
unit produk B sedangkan untuk proses 2 hanya mampu menghasilkan 2 unit
produk A dan 3 unit produk B. Kapasitas maksimum proses 1 dan 2 masingmasing adalah 40 dan 20.
Dalam hal ini perusahaan mendapatkan 4 macam sasaran yaitu :
1. Kapasitas yang tersedia pada proses 1 dimanfaatkan secara maksimum
2. Kapasitas yang tersedia pada proses 2 dimanfaatkan secara maksimum
3. Produk A paling sedikit 15 unit
4. Produk B paling sedikit 8 unit
Penyelesaian :
Yang menjadi variable keputusan adalah :
A = Jumlah produk A yang akan diproduksi
Universitas Sumatera Utara
29
B = Jumlah produk B yang akan diproduksi
Yang menjadi fungsi kendala adalah :
8A + 5B ≤ 40
2A + 3B ≤ 20
A ≥ 15
B≥8
Sesuai dengan sasaran yang akan dicapai, maka model goal programming
untuk permasalahan diatas adalah :
+
=
+
+
+
+
+
+
−
−
−
+
−
+
+
−
−
−
−
=
−
+
+
+
+
=
−
+
−
+
−
+
=
=
Penyelesaian model ini dimulai dengan membuat tabel simpleks awal seperti
pada tabel 2.1 sebagai berikut :
Tabel 2.1 Tabel Simpleks Awal
Pk
Cj
P1
P2
P3
P4
1
1
1
1
Zj
Cj-Zj
Cj
VB
−
−
−
−
P1
P2
P3
P4
P1
P2
P3
P4
0
A
8
2
1
0
8
2
1
0
-8
-2
-1
0
0
B
5
3
0
1
5
3
0
1
-5
-3
0
-1
1
1
1
1
0
1
0
1
-1
0
0
0
-1
0
0
0
2
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
-1
0
0
0
-1
0
0
1
2
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
+
−
+
+
−
Yang menjadi kolom kunci adalah kolom ke-1 dimana
−
−
+
−
memiliki nilai
negative terbesar yaitu -7.Yang menjadi baris kunci adalah baris ke-1 karena
Universitas Sumatera Utara
bi
40
20
15
8
30
memiliki nilai bi/aij terkecil yaitu 5.Pemilihan kolom kunci dapat dilihat pada
tabel 2.2.
Tabel 2.2 Tabel Simpleks Awal (Pemilihan Kolom Kunci)
Pk
Cj
P1
P2
P3
P4
1
1
1
1
Zj
Cj-Zj
Cj
VB
−
−
−
−
P1
P2
P3
P4
P1
P2
P3
P4
0
A
8
2
1
0
7
2
1
0
-8
-2
-1
0
0
B
5
3
0
1
5
3
0
1
-5
-3
0
-1
1
1
1
1
0
1
0
1
-1
0
0
0
-1
0
0
0
2
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
-1
0
0
0
-1
0
0
1
2
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
+
−
+
+
−
−
+
−
bi
40
20
15
8
Langkah selanjutnya adalah mencari sistem kanonikal yaitu sistem dimana
nilai elemen pivot bernilai 1 dan elemen lain bernilai nol dengan cara
mengalikan baris pivot dengan -1 lalu menambahkannya dengan semua
elemen di baris lainnya.
Tabel 2.3 Tabel Simpleks Iterasi I
Pk
Cj
P2
P3
P4
0
1
1
1
Zj
Cj-Zj
Cj
VB
A
−
−
−
P2
P3
P4
P2
P3
P4
0
A
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
B
5/8
7/4
-5/8
1
7/4
-5/8
1
-7/4
5/8
-1
1
1
1
1
0
1
0
1
-1/8
1/4
1/8
0
1/4
1/8
0
¾
7/8
1
1/8
-1/4
-1/8
0
-1/4
-1/8
0
5/4
9/8
1
0
-1
0
0
-1
0
0
2
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
-1
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
-1
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
+
−
+
−
+
−
+
−
bi
5
10
10
8
Tabel 2.4 Tabel Simpleks Iterasi II
Pk
Cj
0
0
Cj
VB
A
B
0
A
1
0
0
B
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
-3/14
1/7
3/14
-1/7
5/14
-4/7
-5/14
4/7
0
0
0
0
0
0
0
0
+
−
+
−
+
−
+
−
Universitas Sumatera Utara
bi
10/7
40/7
31
P3
P4
1
1
Zj
Cj-Zj
−
−
P3
P4
P3
P4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3/14
-1/7
3/14
-1/7
11/4
8/7
-3/14
1/7
-3/14
1/7
17/14
6/7
-5/14
4/7
-5/14
4/7
19.14
3/7
5/14
-4/7
5/14
-4/7
9/14
11/7
Pada iterasi II diperoleh solusi optimal karena seluruh
1
0
1
0
0
1
-1
0
-1
0
1
0
−
0
-1
0
-1
0
1
0
1
0
1
1
0
. Dengan
demikian, solusi optimal untuk produk yang diproduksi adalah A=1,43≈1 unit
dan B=5,71≈6 unit dengan penyimpangan
−
=13,57≈14 dan
−
=2,28≈2.
3. Penyelesaian dengan bantuan software QM
QM singkatan dari Quality Method adalah sebuah program yang dirancang
untuk menyelesaikan persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen
sains atau operasi riset.Sebuah permasalahan harus diubah dahulu ke dalam
sebuah model matematis pemrograman linier, kemudian diinput ke dalam
software QM.
Program ini memiliki beberapa modul untuk menyelesaikan beragam
persoalam matematika dan yang menjadi input adalah model matematika yang
telah dirancang berdasarkan permasalahn yang ada. Dalam penelitian ini
digunakan modul goal programming.Misalnya contoh diatas, bentuk inputnya
adalah :
Gambar 2.5 Data Input di dalam Program
Universitas Sumatera Utara
95/7
16/7
32
Setelah data diinput, segera perintahkan program untuk mengola data tersebut
melalui fasilitas “solve”. Sesaat kemudian program akan menayangkan
hasilnya dalam 3 bentuk yaitu :
- Final Table
Tabel ini menunjukkan hasil perhitungan pada iterasi terakhir metode
simpleks.
Gambar 2.6 Hasil Akhir Pada Perhitungan Metode Simpleks
- Summary
Tabel ini menunjukkan rangkuman hasil-hasil akhir perhitungan.
Gambar 2.7 Rangkuman Hasil Perhitungan Solusi Optimal
Universitas Sumatera Utara
33
- Graph
Grafik yang menunjukkan solusi optimal atas model matematika dari suatu
permasalahan.
Gambar 2.8 Grafik Solusi Optimal
Universitas Sumatera Utara