Materi Analisis Deret Waktu Nonlinier

Mixture Autoregressive
(MAR)
Eni Sumarminingsih, SSI, MM

Model Mixture Autoregressive (MAR)
merupakan gabungan dari K
Gaussian model AR.
Keunggulan model MAR adalah
kemampuan model ini untuk
memodelkan data yang bersifat
heteroskedastik dengan fungsi
distribusi kumulatif bersyarat

Secara umum model MAR adalah

Persamaan tersebut menunjukkan
bahwa fungsi distribusi kumulatif
bersyarat dari Yt merupakan
gabungan dari K komponen normal
model AR(p) yang mempunyai rata –
rata

dan ragam
Dengan K adalah banyaknya
komponen
pk adalah orde model AR ke
k

=
fungsi distribusi kumulatif bersyarat
dari Yt, yang diketahui informasi
sebelumnya
= fungsi distribusi
kumulatif dari distribusi normal baku
α1, α2, …, αK = proporsi mixture
dengan syarat

Secara alternatif, yt dapat disusun
sebagai berikut :

Dengan ek,t = sisaan komponen ke – k

Model MAR dengan dua komponen ,
masing –masing berorde 1 atau AR
(1) dengan proporsi masing –
masing komponen adalah α1 dan α2
dapat ditulis sebagai model MAR
(2;1,1) sebagai berikut
Dengan kondisi stasioner model MAR
(2;1,1)
dan

Salah satu karakteristik model MAR
adalah distribusi bersyarat dari
model tersebut merupakan
multimodal, sehingga memiliki k rata
– rata (k,t)
Fungsi harapan bersyarat

Fungsi ragam bersyarat dari yt yang
bergantung pada kt adalah

Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter dilakukan
menggunakan metode Maximum
Likelihood dan diselesaikan
menggunakan metode Expectation
Maximization
Fungsi likelihood :

Fungsi log likelihood

dimana

Algoritma Expectation Maximization(EM)

Algoritma EM terdiri dari dua tahap
yaitu E-step dan M-step. Tahapan
algoritma EM
a. E-step
• Menentukan nilai awal 
• Menghitung nilai harapan fungsi

loglikelihood dan nilai harapan
bersyarat dari Xt,k, yaitu t,k.

Nilai harapan fungsi log likelihood
dapat ditulis sebagai berikut:

dengan
i menunjukkan langkah iterasi
algoritma
(i) menunjukkan vektor parameter
pada iterasi ke-i

b. M-step
Tahap ini digunakan untuk
mendapatkan nilai parameter  yang
baru dengan cara memaksimumkan
nilai Q(| (i))yaitu dengan
menurunkan Q(| (i)) terhadap
masing – masing parameter dan
menyamakan dengan nol

Persamaan penduga parameter k
adalah

• Persamaan penduga parameter k
adalah

• Persamaan penduga parameter �kj
dan �k0 adalah

Dimana t-1 merupakan vektor berukuran
(1x(p+1)) sehingga

Proses pendugaan parameter
diperoleh dengan mengiterasikan
ketiga persamaan penduga
parameter tersebut sampai
didapatkan nilai yang konvergen
yaitu saat

Uji Signifikansi Model MAR

H0 :  = 0
H1 :   0
Statistik uji yang digunakan

Diagnostik Model MAR
Gunakan Uji Ljung Box Q

Peramalan
Ramalan satu periode ke depan