PERUMUSAN MODEL LINEAR PROGRAMMING
Operational Research 1
(IE G2M3) Program Studi Teknik Industri Fakultas Rekayasa Industri Telkom UniversityMurni dwi Astuti ST MT Amelia Kurniawati. ST., MT. Aji Pamoso Puti Renosori Rio Aurachman, ST. MT
Quantitative Problem Linear Programming
Integer Programming Perumusan Model Solusi Grafis Basic Feasible Fungsi Tujuan Variabel Keputusan Pembatas Solusi Optimal Solusi Khusus Vektor Matriks Basis Matriks Inverse Tabel Simplex Umum Khusus Big M Primal - Dual 2 Fasa Dual Simplex Analisis Sensitivitas Metode Cutting Plane Metode Transportasi North West Corner Vogel Approximation Assignment Analisis Jaringan Shortest Route Spanning Tree Maximum Flow TSP Software Metode Branch and Bound Least Cost Stepping Stone U-V Metode Hungarian
Permasalahan Sederhana Pemodelan
Matematika Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kg dan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah…..
Pemodelan Matematika
Jawab: Misal : x = mangga ; y = pisang Model matematikanya: x ≥ 0 ; y≥ 0 8000x + 6000y ≤ 1200.000 ….(1) 4x + 3y ≤ 600 ….(1) x + y ≤ 180 ….(2) Laba penjualan mangga = 9200 – 8000 = 1200Laba penjualan pisang = 7000 – 6000 = 1000
Z= Laba maksimum = 1200x + 1000y
Titik pojok 1200x + 1000y
(0, 0) 0 (150, 0) 180.000 (60, 120) 192.000 (0, 180) 180.000Laba maksimum adalah 192.000
INCOMING/OUTGOING FACILITY SPM : 150.000 DWT (INCOMING/OUTGOING CRUDE & DCO)
INCOMING/OUTGOING FACILITY SPM : 35.000 DWT (INCOMING SPM : 17.500 DWT (OUTGOING WHITE PRODUCT) NAPHTA) JETTY LPG SPM : 6.500 DWT KILANG UP VI
Sistem Adalah… Sistem (system) merupakan
representasi dari dunia nyata dengan
pengidentifkasian faktor faktor yang
dominan dan relevan yang mengendalikan perilaku dari dunia nyata tersebut.Pemodelan Sistem Adalah Pemodelan sistem merupakan proses pembentukan model berdasarkan sistem yang dipelajari. Adapun konsekuensi dari pembuatan suatu
model adalah akan terjadi suatu galat
antara sistem nyata dan model dari sistem tersebut.Gambar II 2 Model Fisik (ww.google.com) ‑ Jika Ilmuan Biologi
Menggunakan Kelinci Lalu
sarjana Teknik IndustriApakah Menggunakan Pabrik? Menggunakan Apa?
System Approach Real world Problem System/Goal Characterization (Steo 1) System Proses Model (Step 2) Mathematical Pemodelan Matematika Mathematical Formulation Analyisis (Step 3) (Murthy, 1990, Make Change Not adequate Validation (step 4) halaman 69) Mathematical Solution to Adequate Model Problem Tipologi Model Termas uk Model
Model Apakah Model Fisik Matematis Model Globe tadi? Analitik Simulasi Model Model Termas uk Model Normatif Model model deskriptif (Model Optimisasi) apakah
MODEL OPTIMISASI MATEMATIK
(Mathematical Optimization Model) Model matematik yang Model matematik yang merepresentasikan masalah optimisasi. merepresentasikan masalah optimisasi. Istilah lain: model pemrograman Istilah lain: model pemrograman matematik (mathematical programming matematik (mathematical programming model) model)
INGAT!!! Masalah optimisasi: masalah yang terkait dengan penentuan keputusan yang memberikan ukuran kinerja terbaik dari sekumpulan alternatif
MODEL OPTIMISASI MATEMATIK -Klasifkasi- Model Optimisasi Matematik Model Optimisasi Matematik Jumlah variabel keputusan Jumlah variabel keputusan Sifat variabel keputusan Sifat variabel keputusan Eksistensi
pembatas Eksistensi pembatas Sifat fungsi Sifat fungsi Jumlah fungsi tujuan Jumlah fungsi tujuan Sifat besaran Sifat besaran Single Single Multiple Multiple Continuous Continuous Discrete Discrete constrained constrained Unconstrained Unconstrained Linear Linear Nonlinear Nonlinear Single Single Multiple Multiple Deterministic Deterministic Probabilistic Probabilistic
PENDAHULUAN (1) Elemen Utama OR
QUANTITATIVE MODEL QUANTITATIVE MODEL SOLUTION SOLUTION
Klasifkasi Pemodelan Matematika (Operation Research) Antrian Kendaraan Di Gerbang Tol
Queueing Problem Penyimpanan Barang di Gudang Inventory Problem Penugasan dan Pembagian Tugas Allocation Problem Penjadwalan Kereta Scheduling and Routing Problem Maintenance Pabrik Replacement And Maintenance Problem Web Search Search Problem Model Pelelangan Competition pendekatan yang dilakukan Ackof dan rivett (Wilson, 1985) ini? Apakah Persoalan Termasuk Model
Model Matematika s/t
: Batasan Terkait KAPASITAS SPM FUNGSI TUJUAN
Total Nilai Jual Naphtha Total Nilai Beli Naphtha
Const. Pada satu slot hanya boleh satu kapal (Kapasitas SPM) Const. jarak kedatangan antar kapal Total jumlah kapal dikirim dari kilang - i Nilai Integer Jumlah kapal yang dikirim sesuai kapasitas SPM Kapasitas Maksimum tiap kilang
PENDAHULUAN (4) SOLUTION SOLUTION set of Instructions Heuristic/ Exact/ Analytical Numerical Technique Technique (Coba- (langsung coba) ketemu)
Tujuan PEMBELAJARAN
MEMAHAMI KONSEP FUNGSI TUJUAN, VARIABEL KEPUTUSAN,
DAN PEMBATASMAMPU MERUMUSKAN PERMASALAHAN NYATA KE DALAM MODEL MATEMATIS LINEAR PROGRAMMING MEMAHAMI BENTUK PERTIDAKSAMAAN DAN STANDAR
LINEAR PROGRAMMING (1)
Merupakan salah satu teknik OR yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik.
Merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya.
LINEAR PROGRAMMING (2)
diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. LP berkaitan dengan penjelasan suatu dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dan beberapa kendala linier
pada tahap awal, penerapan-penerapan LP
banyak dijumpai pada masalah-masalah
militer seperti logistik, transportasi, dan
perbekalanLINEAR PROGRAMMING (3)
dapat diterapkan dalam masalah-masalah sektor pemerintah dan swasta. Hasilnya, LP disadari sebagai pendekatan penyelesaian masalah yang sangat ampuh untuk analisis keputusan dalam bidang bisnis
LANGKAH-LANGKAH MEMBANGUN MODEL LP
1. Formulasi Permasalahan
- mempelajari sistem relevan
- mengembangkan pernyataan permasalahan: o pernyataan tujuan o sumber daya yang membatasi o alternatif keputusan yang mungkin o hubungan antara bagian o dan lain-lain.
2. Pembentukan model matematik
① Mengidentifkasikan variabel yang tak diketahui
yang akan ditentukan nilainya ( decision variable )dan menyatakannya dengan simbol-simbol
matematis.② Mengidentifkasi semua pembatas ( constraint ) dan menyatakannya dengan persamaan atau pertidaksamaan linier sebagai fungsi dari variabel keputusan.
③ Mengidentifkasi tujuan atau kriteria dan menyatakannya sebagai suatu fungsi linier dari
MODEL UMUM LP (1)
Maksimumkan/Minimumkan: Variabel keputusan
Z = C 1 X + C 1 2 X +…+C 2 n n
X Jumlah aktivitas Fungsi yang akan dilakukan Tujuan
Dengan Kendala: a X + a X +…+ a
X 11 1 22 2 1n n b 1 a 21 X + a 1 22 X +…+ a 2 2n n b
X 2 Koefsien a X + a X +…+ a
X 31 1 32 2 3n n b 3 cost/beneft a m1 X + a 1 m2 X +…+ a 2 mn n b m
X
max
X ≥ 0, X ≥ 0, … ,X ≥ 0 1 2 n
min
Menunjukkan kontribusi setiap variabel
MODEL UMUM LP (2)
Maksimumkan/Minimumkan: penggunaan per
Z = C 1 X 1 + C 2 X
2 +…+C n
X n unit variabel keputusan akanDengan Kendala: sumber daya yang
Fungsi membatasi
Pembata a 11 X 1 + a 22 X
2 +…+ a 1n
X n b 1 Kapasitas s maks/ a 21 X + a 1 22 X +…+ a 2 2n n X b 2 Permintaan a 31 X 1 + a 32 X
2 +…+ a 3n
X n b 3 min a m1 X + a 1 m2 X +…+ a 2 mn n m X b bisa berbentuk persamaan (=)X 1 ≥ 0, X
2 ≥ 0, … ,X n ≥ 0
atau batasanJumlah pertidaksamaa non negatif n (≤ atau ≥) pembatas Area feasible/ layak dan solusi optimal Area feasible
Sekumpulan titik yang memenuhi semua pembatas pada programa linear termasuk pembatas tanda Solusi optimal
Pada kasus maksimasi adalah sebuah titik di area feasible yang memiliki nilai fungsi tujuan terbesar . Pada kasus minimasi adalah sebuah titik di area feasible yang memiliki nilai fungsi tujuan terkecil .
Permasalahan Sederhana Pemodelan
Matematika Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kg dan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah…..TARGET MODEL:
Lambang Penjelasan Satuan
VARIABEL KEPUTUSAN:
Lambang Penjelasan Satuan
PARAMETER: Lambang Penjelasan Satuan Nilai
CONSTRAINT:
Lambang Penjelasan Nilai Satuan
Gaji Mathematical Modeller Mathematical modellers use maths to make computer
simulations so that a number of scenarios can be investigated
without any physical experiments taking place. Computer models are particularly important in areas such as settingquotas for fsheries; modelling trafc patterns; and predicting
the outcome of chemical reactions.
Pay rates depend on qualifcations, experience and the industry: $50-55,000 starting salary for mathematical modellers
$45-55,000 for statisticians with one to fve years’ experience $65-100,000 for statisticians with more than fve years’ experience Latihan 2.a Komponen Model Programa LInear
2 2 m dan mobil besar 20 m . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah.... sumber: Tentukan komponen dari tiap program linear 6O9 http://matematikastudycenter.com/kelas-12-sma/72-12-sma-program-linier#ixzz3P4WyM
2 Luas daerah parkir 1.760 m . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4
Latihan 2.b Model Formulation
2 2 m dan mobil besar 20 m . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah.... sumber: Rencang Model Matematika nya 6O9 http://matematikastudycenter.com/kelas-12-sma/72-12-sma-program-linier#ixzz3P4WyM
2 Luas daerah parkir 1.760 m . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4
Latihan 2.c Model Formulation 2
Seorang peternak memiliki 200 kambing yang mengkonsumsi 90 kg pakan khusus setiap harinya. Pakan tersebut disiapkan menggunakan campuran jagung dan bungkil kedelai dengan komposisi sebagai berikut : Bahan Kandungan per kg bahan Kalsium (kg) Protein (kg) Serat (kg) Biaya (Rp/kg)
Jagung 0.001 Bungkil kedelai 0.002 0.09 0.60 0.06 5500 0.02 2000
Kebutuhan pakan kambing setiap harinya adalah paling banyak 1% kalsium, paling sedikit 30% protein dan paling banyak 5% serat. Tentukan biaya minimum
Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model
(1) PT OR merupakan sebuah toko kue. (2) PT OR mempunyai dua jenis produk, yaitu rainbow cake dan cupcake. (3) Untuk membuat rainbow cake, dibutuhkan tepung 100 gr, sedangkan untuk membuat cupcake dibutuhkan tepung 20 gr, jumlah tepung yang tersedia dalam sehari adalah 600 gr.
(4) Untuk membuat rainbow cake, dibutuhkan cream cheese 60 gr, sedangkan untuk membuat cupcake dibutuhkan cream cheese 10 gr, jumlah cream cheese yang tersedia dalam sehari adalah 400 gr. (5) Permintaan untuk cupcake paling banyak empat kali lipat dari rainbow cake .
(6) Harga jual rainbow cake adalah Rp 80.000 dan harga jual cupcake adalah Rp 20.000.
Formulasikan kasus tersebut ke dalam model matematiknya !
CONTOH KASUS : tujuan yang ingin dicapai adalah : SOLUSI
Alternatif keputusan adalah: Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, identifikasi tujuan, alternatif, keputusan & batasan sumber daya adalah sebagai berikut:
Sumber daya yang membatasi adalah: memaksimumkan pendapatan jumlah rainbow cake dan cake yang akan diproduksi. jumlah tepung dan cream cheese
SOLUSI tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh pemilik toko kue
Sumber daya yang membatasi : menggunakan pertidaksamaan ≤,
Jumlah tepung yang tepung yang digunakan tidak mungkin tersedia melebihi tepung yang tersedia menggunakan pertidaksamaan ≤,
Jumlah cream cheese yang tersedia cream cheese yang digunakan tidak mungkin melebihi cream cheese yang tersedia
SOLUSI Sumber daya yang membatasi : Pembatas non negatif Permintaan rainbow cake dan cupcake menggunakan pertidaksamaan ≥, jumlah rainbow cake ataupun cupcake yang diproduksi tidak dapat bernilai negatif menggunakan pertidaksamaan ≤ atau ≥, tergantung pendefnisian variabelnya
SOLUSI Kita defnisikan :
x = jumlah rainbow cake yang akan diproduksi
1 x = jumlah cupcake yang akan diproduksi 2 Model umum Linear Programming kasus di atas adalah :Fungsi tujuan : Maksimumkan z = 80000 x + 20000 x 1 2 Pembatas : 100 x + 20 x ≤ 600 (tepung) 1 2 60 x + 10 x ≤ 400 (cream cheese) 1 2