Edisi 5 Pebruari Pekan Ke-1, 2009 Nomor Soal: 41-50

41. Jika    

    

  b a b a

  Dari (1)

    …. (3)

    2 ²  ^{2 3} 2 c abc c

  c ab c

   ^{2 3}  2 b abc b  …. (2)

   b ca b  2 ²

  …. (1)

   ^{2 3}  2 a abc a 

  2009 a b c   adalah ….

  Solusi: [B]  a bc a  2 ²

  

 

  2 _{2 2} ² , maka nilai

  2

  2

  c ab c b ca b a bc a

       

  , , a b c adalah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan     

  

Nomor Soal: 41-50

  

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 5

Pebruari Pekan Ke-1, 2009

A. 4018 B. 2009 C. 1004,5 D. 1 E. 0

• – (2) diperololeh:
^{2 2 3 3}

  ) )( ( ) ( ^{2 2}        b a b a b ab a b a

• – (3) diperololeh:
^{2 2 3 3}

  3 ²   a

   

  a (diterima)

  1 

  3

  a (ditolak) atau

  1 3   a 

   a atau

  a a

  1 3 (  

  )

  a

   a bc a  2 ²  a a a  ^{2 2}

  2

   

       c a c ac a Dari uraian di atas, kita memperoleh c b a   .

   atau c a ²

²

    c a atau ^{2 2}      c a c ac a

  c a c ac a c a

  ) ( ^{2 2}      

  c a c a c ac a c a  

  ) )( ( ) ( ^{2 2}       

  

 c a c a  

 

       b a b ab a Dari (1)

  b a b ab a  b a atau ^{2 2}

      

  ) ( ^{2 2}       b a b ab a b a   b a atau ^{2 2}

  1

  a  b  c 

  3

  1

  1

  1   Karena himpunan penyelesaiannya adalah , , , maka a    b c .

  1  

     

  3

  3

  3

  3  

    

  1

  1 1  Jadi, 2009 a   b c  2009    2009 .

   

   

  3

  3

  3  

  a    b c

  

4

  _{2 2}

₂

_{4 4 4} a  b  c  12 tentukan nilai dari    a b c ....

42. Dari sistem persamaan 

   _{3 3}

₃

a  b  c 

  67 

A. 136 B. 140 C. 148 D. 280 E. 360

  Solusi: [D] _{2 2 2} a  b  c  ₂

  12 ( a  b  c )  ₂ 2 ( ab  ac  bc ) 

  12    

  ( 4 ) 2 ( ab ac bc )

  12

  ab  ac  bc  _{3 3 3}

  2

  a  b  c  ₃

  67         

  ( a b c ) ₃ 3 ( a b c )( ab ac bc ) 3 abc

  67 ( 4 )  3 ( 4 )( 2 )  3 abc 

  67

  abc  _{4 4}

  9 _{4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}        

  a b c a b c

  2 a b a c b c

      _{2 2 2 2 2}

   a  b  c  2 ab  ac  bc  2 abc ( a  b  c )

      _{2 2}  

   12  2 2    2 9 4  144  136 = 280

   

      ab a b

  71 

43. Jika a dan b bilangan real yang memenuhi sistem persamaan

  ^{2 2}

  a b  ab  880 _{2 2} 

  Carilah nilai dari a  . b

A. 120 B. 136 C. 140 D. 146 E. 993

  Solusi:[D]

  Misalnya x  ab dan y  a  b , sehingga

  ab  a  b 

  71 x  y  71 y  71  x _{2 2}  

  a b  ab  880  ab ( a  b )  880  xy  880 y  71  x xy  880

  

  x ( ₂ 71  x )  880

   x  

  x

  71 880   

  ( x 16 )( x 55 )

  16  x atau 55  x 16  x 

  119

     

     

     

    

    

    

  13 

  2

  2

  13

  2

  2

  z y z y

    

      

    

    

    

      

  13 ^{2 2}    

  2

  2

  119

  …. (2) Dengan mengurangkan persamaan (1) dari (2), maka kita memperoleh:

  z z y

  

     

    

    

  13 119

  2

  1

  2

  13 119

  13

     

    

    

  z y

      

  2 13    

  2

  z y

     

      

    

    

    

  13 

  13

  2

  2

  119

  z y

z

y z y z y

  

     

     

     

    

   x y  71

  55

  40

  40 B. 13 3 C.

  A.

  xz z x yz z y y x Tentukanlah nilai z.

  13 _{2 2 2 2}

  25

    144

       

  44. Diberikan x, y, dan z adalah bilangan-bilangan positif yang memenuhi sistem persamaan     

  2 ) 16 ( ( 2 ) ^{2 2 2 2}        ab b a b a

  ( )  2 (55) 2(16) 2993 a b a b ab       atau 146 ) 55 (

  b a ab _{2 2 2 2}

  16

  40

    

  atau   

  b a ab

  16

  55

    

    

  55  71  

  16

   x y  71

  

  16  71   55  x

  55

  13 D.

  3

    

  z z y

  13 ^{2 2}  

  2

  3

  4

  144

  z y z y

  13 ^{2 2}     

  144 ) 13 (

  xz z x  

   144 ^{2 2}   

   y x  13

  …. (1)

     

  13 E.

    

  2 ^{2 2}  

  3

  4

  25

  

  yz z y

  25 ^{2 2}   

   y x  13

  

  40 Solusi: [D]  y 13  x

  3

  13

  z y

45. Diberikan

A. 95112 B. 91152 C. 91125 D. 51912 E. 59112

   

  a a

  4 (   

  19 ²    a a ) 15 )(

  60

  19 (   a a

   60  ab 60 )

   a b 19

   60  ab

  y y x x

  60 ) (

   a b 19 = 19

  

  y xy x

  

  60 ² 

   b 19  a  a b  19

  y x y x 

  , sehingga  19  

  b y x 

    dan

  4  a atau 15  a 4  a 

  15  a 

  Misalnya

  y x

  y

  15   y

  4

   y 4  x

  15  

  y x

  15 

  y x

  

  15 

   a b 19 = 19

  y x y x

  15

  4

    

  dan    

  y x y x

  4

  15

    

  a y x

  Solusi:[A]

  13

  3

  25 ^{2 2}  

  13

  3

  4

  25

  z z y

     

   

  2 ^{2 2}   

  4

    

  25

  

  z y

  2  

  25

  13

  z y

  2  

  25

    

  z

  . Carilah nilai ^{3 3}  y x .

  3

   

  x xy y

  60

     dan ²

  x x y y

  19

  z

  40 

  13

  z

  169 625

  4 ₂

  3

  3600

   169

    

    

  z

  3 ²  

  4

  25

• – 4 = 15
• – 15 = 4    

  4

  1

  Misalnya u y x   dan v

   Solusi:[D]

  .

  xy  y x

  Hitunglah nilai dari

  xy y x y x y x y x

  1 ( 61 ) ^{2 2 2 2 2}

  1

  

       

     

  45 3 ) 3 45 ( ³        91152

  3

  3 45 (

  )

   y x xy y x y x    

  ) ( ( 3 ) ^{3 3 3}

  xy

  1 , sehingga diperoleh

  15 

  1   v

  1 ^{2 2}     u u u

  2

  61

  u u

  1 ( ^{2 2}   

  …. (2) Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh: 61 )

  u  u v 1

  xy y x

  1 ( 61 ) ^{2 2 2 2 2}    y x y x y x _{2 2}

   1 1  

  61 ^{2 2}   v u …. (1)

  61 v u  

  xy y x _{2 2}

    

    

    

  1 ( 61 )

  45 

  y  y x

  1  y

     

  15

  4

  1

  4

  15

  4

  

       

  1

     

    

   y x xy y x y x    

  ) ( ( 3 ) ^{3 3 3}

  15 

  4

  1  y  y x 15 

  4

  4

  3

  3 

  4

  y

  3 

  y

  4   y

  15

  x

  15   y

  

  4 

  y x

  4 

   y x

  y x

  3  52  4 

  4

  1 ³

  4

  15

46. Jika x dan y adalah bilangan real yang memenuhi sistem persamaan

A. 60 B. 36 C. 30 D. – 30 E. – 30

• – 6 = 5    

  xy y x

  

  1 ( ) 5 6 30 x y

  xy

          atau

  xy y x

   30 ) 5 (

  6

  1 ) (        

      

  6

       

    

  19

  14

  11

  zx x z yz z y xy y x

  adalah

     

  , , a b c . Tentukan nilai .... a b c   

  xy y x x y xy

  1

  60

  5  

  2

  2 ²    u u

  30 ²    u

  u

  ) 6 )( 5 (

    

  u u

   5  u atau 6  u

  u  u v

  5

   1 6 ) 5 (

  1     6  u  u v  1 = 1

     

  6

  1

  5

  xy y x

  atau    

     

47. Himpunan penyelesaian dari sitem persamaan

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 E. 10

  1

  1

  1

  1

  2

       

  z y x     3600

  1

  1

  1    

  z y x    

  60

  1  1    z y x

  12

  …. (4) Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh

   

  60

  15

  1   

  x

  4

  1   x

  3  x

  Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh

  Solusi: [E]

  1

  15

  11  1     xy y x

  yz z y   

    

  12

   11   xy y x

  1    y

  x

  …. (1)

  14   

  yz z y

  1

  14

  1     

  15

  20

  1  z 1   y

  …. (2)

   19   zx x z

  1

  19  1     zx x z   

  20

  1

  1    x

  z

  …. (3) Perkalian ketiga persamaan tersebut menghasilkan:

       

  1

  y

  1

  20

  60

       y 

  1 

  3

  y 

  2 Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh

  z

  1

  12

  60

       z  1 

  5 z 

  4 Sehingga a  3, b  2, c  .

  4 Jadi, a b c 3 2 4 10      

  , ,

48. Jika pasangan  

  x y z dengan x, y, dan z adalah bilangan real bulat positif x  xy  xyz  564

   adalah solusi dari sistem persamaan , maka nilai

     

  y xz xyz 354

   x y z ....

    

A. 1 B. 5 C. 70 D. 71 E. 75

  Solusi: [E] x  xy  xyz  564 x  xz  xy  xyz  xz  564 x

  1  z  y  yz  xz  564

   

     

  x

  1 y 1 z xz 564

     …. (1)

    

  y xz xyz 354

      

  xyz xz y

  1 1 354

  xz  y

  1  1  1  354

     xz  y

  1  1  355

     …. (2)

  Dari persamaan (2) diperoleh

  xz  y

  1  1  5 

  71

    

  Sehingga    xz

  1 71 xz

  70

  y

  1 5  y 4 atau        xz

  1 5 xz

  4

  y

  1 71  y 70 atau     Jika y  4 dan xz  70 , maka

  x

  4 

  1 1  z  70  564

    

  5 x 1  z  634 , tidak ada solusi untuk x dan z yang merupakan bilagan bulat

    positif.

   xz

  4 Jika y 70 dan  , maka    

  x

  70

  1 1 z 4 564

    

  71 x 1  z  568

   

  x

  1  z 

  8

   

  Sehingga x  4 dan z

  1 

  Sehingga pasangan x , y , z

  

4 ,

70 , 1 .

     

  adalah Jadi, x     y z

  4 70  

  1 75 .

49. Diberikan x, y, dan z adalah bilangan real yang memenuhi sistem persamaan

  x  y  z 

  1  _{2 2 2}

   ^{4 4 4}

  x  y  z  2 . Hitunglah nilai x y z .

     _{3 3 3}

  

  x y z

  3   

  

  1

  1

  1 C. 6 D.

  E.

  4

  6

  6 A. 4 B.

  6

  6

  4 Solusi: [B] _{2 2 2 2}

   x  y  z   x  y  z  ₂ 2 xy  2 xz  2 yz  

  1  2  2 xy  2 xz  2 yz

  1    

  xy xz yz _{3 3}

  2 _{3 3}

   x  y  z   x  y  z 

  3  xy  xz  yz  x  y  z   3 xyz

  1 

  3

  1

  3 3 

  1 3 xyz

        

   

  2  

  3 1  3   3 xyz

  2

  1 3 xyz 

  2

  1

  xyz  ₂

  6 _{2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2}

  x  y  z  x  y  z 

  2 x y  x z  y z

      _{2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2}

            

  x y z x y z

  2 xy xz yz 2 x yz 2 xyz 2 xyz

        _{2 2 2 2 4 4 4 2} x  y  z  x  y  z 

  2 xy  xz  yz  2 xyz x  y  z

          _{2 2}   _{4 4 4} 1 

  1  2  x  y  z 

  2     2  1 

     

  2

  6  

     

  1

  1 

  4

  4

  4

  4  x  y  z  2    

  4

  3   _{4 4 4}

  1     4 x y z _{4 4 4}

  6

  1

  x  y  z 

  4

  6

50. Jika penyelesaian dari sistem persamaan

  …. (2)  9       x w z xz wx zw zwx

      

  10 ) 1 )( 1 (

  x x w x z x zw

  ) 1 ( 1 (        

  ) 1 ( ) 1 (

  9  1         x w z xz wx zw zwx 10 )

  1

  1 )( 1 )(  1 (    w z y

  10 ) ) 1 (

  ) 1 (  1 (     w z z y 10 )

  10 ) ) 1 (

   

   1 (     w z y yz

   1 (        w w z w y w yz 10 ) 1 )(

  ) 1 ( ) 1 (

  10 ) ) 1 (

  w z y wy zw yz yzw

  x w z zw  

  ) 1 (  1 (     x w w z 10 )

  9

  1 )( 1 )(  1 (    w y x

  2 10 ) 1 ( 2   w

  …. (5) Dari persamaan (1) dan (5) kita memperoleh: ₃

  1 )(  1 (     w z y x

  2 10 ) 1 )( 1 )(

  ) 1 ( 1 ( ^{3 3 3 3}      w z y x ₃

  ) 1 ( ) 1 (

  …. (4) Perkalian dari ke empat persamaan itu menghasilkan: 2000 )

  ) 1 (  1 (     y x x w 10 )

  1 )( 1 )(  1 (    w z x

  10 ) ) 1 (

   

  1 )(  1 (     y x w wx

  ) 1 (  1 (        y y x y w y wx 10 )

  ) 1 ( ) 1 (

  9  1         y x w yw xy wx wxy 10 )

  1

  …. (3)  9       y x w yw xy wx wxy

  1         

        

                      

  x y z    .

  3

  8 2 4  D.

  3

  3 8 2 C.

  2 4  B.

  3

  A.

  , , , w x y z , tentukan nilai w

  4 

   

  adalah

  y x w yw xy wx wxy x w z xz wx zw zwx w z y wy zw yz yzw z y x zx yz xy xyz

  1

  9

  9

  9

        

  2 4  E. ³ 8 2

  Solusi: [E]

  w z y wy zw yz yzw

  z y x xy  

  9       

  …. (1)

  z y x

     

  2 ) 1 )( 1 )( 1 (

  z y y x

  ) 1 ( 1 (     

  2 ) ) 1 (

      

  1

  2 ) 1 )( 1 (

  z z y z x z xy

         

  ) 1 ( ) 1 ( 1 (

  2 ) ) 1 (

  z y x zx yz xy xyz

  1         

  1

  1

  3

  1

  2

  1  

  z

  1

  2 ³   z Sehingga, nilai-nilai

  1

  2 ³    

  z y x dan

  2

  2

  5 ³  

  w .

  Jadi,

   

  3

  3

  5 2 1 3 2 1 w x y z       

  3

  8 2

  10 10 )  1 (  z ₃

  2 ³   y Dari persamaan (4) dan (5) kita memperoleh: ₃

  2

  x ₃

  5  1  w

  1

  2

  5 ³  

  w

  Dari persamaan (2) dan (5) kita memperoleh: ₃

  2

  10 10 ) 1 (

   

  2  1  x

  1

  1

  2 ³   x Dari persamaan (3) dan (5) kita memperoleh: ₃

  2

  10 10 ) 1 (

   

  y ₃

  2

  1  

  y

  4  