SIFAT-SIFAT SEMIGRUP BEBAS DAN MONOID BEBAS DALAM BENTUK HIMPUNAN WORD
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
Semirata 2013 FMIPA Unila |449P S
Ø didefinisikan
X x n x x x
X S i n , ... 1 | ... 2 1
, Maka
S X adalah subsemigrup dari S ,
dan dikatakan sebagai subsemigrup yang dibangun oleh
X .
Definisi 2.3. (Semigrup Bebas) Misalkan diketahui S sebarang semigrup.
Himpunan bagian S A membangun S secara bebas jika terdapat pemetaan
P A :
, dengan
P
sembarang semigrup, yang dapat diperluas menjadi suatu homomorfisma
: sehingga |
X dengan
A . Maka S dikatakan suatu semigrup bebas dan pemetaan dikatakan sebagai perluasan homomorfisma dari pemetaan .
Definisi 2.4. (HimpunanWord)
Misalkan
A
adalah suatu himpunan alfabet yang anggotanya disebut letter/huruf. Sembarang barisan hingga dari letter disebut word dari
A .
Himpunan semua word dari
A
, sedikitnya satu letter, dinotasikan dengan
A
.Tiap elemen dari
A mempunyai panjang
X
Untuk suatu subhimpunan S
SIFAT-SIFAT SEMIGRUP BEBAS DAN MONOID BEBAS
DALAM BENTUK HIMPUNAN WORD
Rolan PaneSuatu semigrup yang mempunyai identitas disebut monoid.
1 , Sri Gemawati
1 , Novia Yumitha sarie
2 Firdaus
1 Department of mathematics FMIPA Universitas Riau
E-mail: rolan.pane.@gmail.com
Abstract.We discussthe characteristics of free semigroup and free monoid related to word set. The discussionbegin withsome homomorphismtheorems and a criterion for freeness of semigroup and monoid. All characteristics of free semigroup and free monoid are expressed on theorems.
Keywords:Homomorphism Theorem, A Criterion For Freeness, Word Set.
PENDAHULUAN
Teori dasar dari himpunan, pemetaan, operasi biner dan relasi biner sangat diperlukan untuk mempelajari struktur aljabar.Suatu struktur aljabar (structure of
algebra
)adalah himpunan tak kosong dimana terdapat sedikitnya satu relasi ekivalen dan satu atau lebih operasi biner dapat didefinisikan di dalamnya. Salah satu kasus struktur aljabar adalahsemigrup. Semigrup adalah suatu struktur aljabar dengan operasi biner yang bersifat asosiatif. Operasi biner pada semigrup S sering dinotasikan dengan
, yang memetakan tiap pasangan berurutan
S S y x ) , ( ke suatu elemen S y x .
Semigrup dan Semigrup Bebas
Definisi 2.2. (Subsemigrup)
Konsep-konsep yang akan dibahas dalam karya tulis ini merupakan materi- materi pendukung yang diambil dari beberapa referensi yaitu [3], [5] dan [6].
Definisi 2.1. (Semigrup)
Misalkan S suatu himpunan dan
S S S : adalah operasi biner yang
memetakan tiap pasangan S S y x ) , ( ke suatu elemen S y x .
Himpunan S adalah suatu semigrup dengan operasi
didefinisikan di dalamnya, biasanya dinotasikan dengan
) , ( S atau dengan S saja, jika
operasi
memenuhi sifat asosiatif, yakni untuk setiap S z y x , , berlaku :
z y x z y x ) ( ) ( .
sedikitnya satu letter dan sebanyak- banyaknya adalah tak hingga.
Rolan Pane Dkk: Sifat-Sifat Semigrup Bebas Dan Monoid Bebas Dalam Bentuk
Himpunan Word
Contoh Misalkan diketahui himpunan Maka, merupakan suatu
alfabet A { b a , } , maka himpunan word
A
dari adalah : x y berlaku :
( , ) ker( )
A { a , b , ab , ba , aa , bb , aaa , aab ,...}
( x ) ( y ) ( xR ) ( yR ) , .
Tiap pemetaan (xR ) memasangkan
Dalam [5], teorema homomorfisma, teorema kernel, teorema monomorfisma secara tunggal (x ) dengan x . Maka S dan teorema fundamental homomorfisma
(xR ) merupakan pemetaan injektif. diberikan sebagai berikut.
Misalkan terdapat : S R P Misalkan ( S , ) dan ( P , ) sembarang sembarang monomorfisma yang lainnya, semigrup. Untuk suatu homomorfisma maka , dan ( x ) ( xR ) untuk
: S P , didefinisikan relasi kernelnya setiap x . Namun ini berarti bahwa S sebagai berikut:
. Jadi, pemetaannya adalah
ker( ) {( x , y ) | ( x ) ( y )} dengan tunggal. x , y S .
Teorema 2.2.(Teorema Fundamental Teorema 2.1. Misalkan ( S , ) dan Homomorfisma) Misalkan ( S , ) dan
P sembarang semigrup dan ( , )
P ( , ) sembarang semigrup dan
S P terdapatsuatu homomorfisma : .
S P
terdapatsuatu homomorfisma : Terdapat suatu monomorfisma tunggal dengan ker( kongruen di S . Maka )
S P sehingga diagram
: ker( )
P S ker( ) isomorfik dengan . berikut berlaku : Bukti.
Dari Teorema 2.5, terdapat suatu monomorfisma tunggal : S ker( ) P . Akan ditunjukkan bahwa pemetaan juga surjektif sehingga merupakan suatu isomorfisma. Gambar 1. Diagram komutatif
Dari Teorema 2.4, pemetaan
Bukti. R
Misalkan ker( ) dan : S S R merupakan suatu
: S S R adalah suatu homomorfisma. epimorfisma. Ambil sembarang y P
Definisikan : S R P dengan dengan ( x ) y . Diagram komutatif
xR x untuk setiap x . S pada Gambar 1 berlaku, maka :
( ) ( ) x x ( )( ) ( )
terdefinisi dengan baik, yakni untuk
x y
( ( )) setiap x , y S , pilih xR yR dengan
u y
( )
( x , y ) ker( ) . Maka,
Untuk setiap y P terdapat u S R ( x , y ) ker( ) ( x ) ( y ) ( xR ) ( yR )
u y
sedemikian hingga ( ) . Jadi,
Tiap (xR ) mempunyai nilai tertentu pemetaan surjektif. Karena
P
di , yang secara independen merupakan suatu monomorfisma dan juga merepresentasikan kelas kongruensi xR . bersifat surjektif, maka merupakan
Kemudian,
xR yR x y R
( ) (( ) ) suatu isomorfisma.
Semigrup Word Bebas x y
( )
Pada himpunan A , didefinisikan
x y ( ) ( )
operasi biner sebagai suatu rangkaian
( xR ) ( yR ) .
berurutan (catenation) dari elemen-
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
Semirata 2013 FMIPA Unila |451R , sehingga untuk setiap R w w ) , ( 2 1
, maka ) ( )) ( ( 1 1 w w
) ( ) ( 2 1 w w
dengan R w w ) , ( 2 1 , pilih
A w w 2 1 ,
baik, yakni untuk setiap
A w . terdefinisi dengan
untuk setiap
,
dengan ) ( )) ( ( w w
:
S R A
Kemudian definisikan pemetaan
diperoleh ) ( ) ( 2 1 w w .
) ( 2 w
adalah kongruen, maka 1
dan 1
A yang memuat R ,
adalah kongruen terkecil di
R
. Karena
R
. Maka 1
untuk setiap ) , ( R v u
)) ( ( 2 w
homomorfisma dengan ) ( ) ( v u
)) ( ( )) ( ( 2 1 w w
X A : adalah suatu pemetaan
X A , dan misalkan pemetaan
dan A suatu himpunan alfabet dengan
X
S
himpunan yang membangun S , pilih
Bukti Misalkan X sembarang
: .
terdapat suatu himpunan alfabet A dan suatu epimorfisma S A
S
Teorema 3.2. Untuk setiap semigrup ) , (
Maka adalah suatu homomorfisma.
) ( 2 1 w w ) ( ) ( 2 1 w w
) ) (( )) ( )( ( ( 2 1 2 1 R w w w w
A w w 2 1 , , diperoleh
terpenuhi. Kemudian, akan ditunjukkan bahwa suatu homomorfisma. Untuk sembarang elemen
Maka
A w .
mempunyai bentuk wR dengan
karena setiap elemen di R A
R A
Domain adalah semua elemen di
: adalah suatu
elemen
A w w w 3 2 1 , , , dengan p c c c w ... 2 1 3
A
. Karena
) , ( S dan sembarang pemetaan S A :
Misalkan terdapat sembarang semigrup
A merupakan suatu semigrup.
Maka,
... ) ... ... ( 2 1 2 1 2 1 3 2 1 ) ( w w w .
c c c b b b a a a p n m c c c b b b a a a ... ) ... ... ( 2 1 2 1 2 1 p n m c c c b b b a a a
) ... ... ( ... ) ( 2 1 2 1 2 1 3 2 1 p n m c c c b b b a a a w w w ) ... ... ( ... 2 1 2 1 2 1 p n m c c c b b b a a a ) ... ... ... 2 1 2 1 2 1 p n m
, diperoleh :
1 k
,
A c k
dan
merupakan suatu rangkaian berurutan (catenation) dari elemen-elemennya, maka sifat asosiatif berlaku, yakni untuk setiap
A
A
pada
Karena operasi biner
1 , n m , yang memenuhi: 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ... ... ) ... ( ) ... ( w w b b b a a a b b b a a a w w n m n m .
,
... a a a w 2 1 1 dan n ... b b b w 2 1 2
A w w 2 1 , , dengan m
, terdapat elemen
,
setiap A b a j i
. Operasi rangkaian pada
A
membangun
, maka dapat didefinisikan suatu homomorfisma S A
pemetaan S A
sembarang relasi pada
Bukti. Dari hipotesis teorema,
.
: sehingga berlaku
S R A
Maka terdapat suatu homomorfisma
) ( ) ( v u untuk setiap ) , ( R v u .
suatu homomorfisma dengan
:
S A
suatu homomorfisma. Misalkan pula ) , ( S sembarang semigrup, dan
:
R dan R A A
A yang dibangun oleh
A , R kongruen di
R
:
, dengan
A
bebas pada himpunan alfabet
A semigrup
Misalkan
Teorema 3.1.
A merupakan suatu semigrup bebas.
terpenuhi maka dari Definisi 2.12, himpunan
A
Karena restriksi |
) ( ... ) ( ) ( 2 1 m a a a
) ... ( ) ( 2 1 1 m a a a w
dengan :
bijektif.
Rolan Pane Dkk: Sifat-Sifat Semigrup Bebas Dan Monoid Bebas Dalam Bentuk
Himpunan Word
Dari Definisi 2.12, mempunyai suatu perluasan homomorfisma
S S S e S
S
dengan e adalah elemen identitasnya.
Definisi 4.1 Suatu monoid ' S
dikatakan monoid bebas jika dibangun secara bebas oleh suatu subhimpunan X dengan
Teorema
' S didefinisikan sebagai berikut : monoid, bukan jika monoid, suatu jika
, maka pemetaan surjektif. adalah suatu homomorfisma surjektif, sehingga merupakan suatu epimorfisma.
X X S S
) ( ) ( ) ( S
Karena
.
:
S A
} { '
3.3. Setiap semigrup
Terdapat suatu monomorfisma tunggal
Jika
A e
A
, maka } {
A e A
A merupakan suatu monoid.
A .
Sehingga,
A e .
didefinisikan sebagai suatu rangkaian berurutan (catenation) dari elemen-elemennya. Elemen identitasnya dinotasikan dengan
operasi biner
A
A , pada himpunan
dengan himpunan
merupakan himpunan generator untuk
Misalkan terdapat sembarang monoid ' S dan sembarang pemetaan ' : S A
dan memuat identitasnya dinotasikan dengan
) ( ... ) ( ) ( 2 1 m a a a
Dalam [2] dan [4] teorema-teorema yang berkaitan dengan monoid bebas diberikan sebagai berikut.
A merupakan suatu monoid bebas.
, maka himpunan
e e
' terpenuhi dan ) ( S A
A
Restriksi |
) ... ( ) ( 2 1 1 m a a a w
.
dengan
S A
homomorfisma ' :
, dapat didefinisikan suatu
dengan A a i
A a a a w m ... 2 1 1
Untuk sembarang
A . Sama halnya
A
S A
Untuk setiap S y terdapat R S u sedemikian hingga y u ) ( . Maka pemetaan surjektif. Karena merupakan suatu monomorfisma dan juga bersifat surjektif, maka merupakan suatu isomorfisma.
maka S isomorfik dengan
) ker(
A .
Bukti.
Dari Teorema 2.5, dalam bentuk himpunan word dapat dibuat diagram komutatifnya sebagai berikut : Gambar 2. Diagram komutatif
Dari Definisi 2.7, Monoid adalahs emigrup yang mempunyai elemen identitas. Secara umum dalam [4] monoid
Monoid Word Bebas
) ( ) )( ( x x y x )) ( ( y u ) (
S A
. Diagram komutatif pada Gambar 2 berlaku, maka :
S y dengan y x ) (
suatu epimorfisma. Ambil sembarang
: juga merupakan
merupakan suatu epimorfisma dan dari Teorema 3.2, pemetaan S A
:
. Dari Teorema 2.4, pemetaan R A A
) ker( :
:
X e S
Himpunan barisan hingga dari letter- letter
isomorfik dengan suatu semigrup word kuosien.Yakni, untuk suatu epimorfisma
dikatakan sebagai perluasan homomorfisma dari pemetaan .
bebas dan pemetaan
S
. Maka '
e e ) ( '
P S dan
X
sembarang monoid, yang dapat diperluas ke suatu homomorfisma
' . Jika
P
, dengan
X :
, dan terdapat pemetaan P
S
himpunan generator untuk '
X adalah
} { ' S e
P S ' : sehingga |
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
Semirata 2013 FMIPA Unila |453
Teorema 4.3
) ( ' . Maka ' S merupakan suatu monoid bebas.
e e
A S
dengan
X
A S ' : sedemikian hingga |
S
diperluas menjadi suatu homomorfisma
A adalah suatu monoid, dapat
dimana
X : ,
A
Oleh karena itu, pemetaan
... ) ( ... ) ( ) ( 2 1 n x x x yang juga memenuhi sifat homomorfisma.
Suatu monoid '
bebas jika dan hanya jika ' S isomorfis ke monoid word bebas
} { ' S e dapat ditulis sebagai ... ... 2 1 ' S n
II . American Mathematical Society, USA.
(Teori Grupdan Teori Ring) . FMIPA
Stephen F. Austin State University. Setiawan, Adi. 2011. Aljabar Abstrak
Judson, Thomas W. 1997. Abstract Algebra Theory and Applications.
Semigroups . University of Turku, Finland.
Harju, Tero. 1996. Lecture Notes on
Element of Modern Algebra Third Edition . PWS-KENT, USA.
Gilbert, Jimmie &Linda Gilbert. 1992.
The Algebraic Theory of Semigroups Vol
A untuk suatu alfabet A .
American Mathematical Society, USA. Clifford, A.H dan G. B. Preston. 1967.
Clifford, A.H & G. B. Preston. 1961. The Algebraic Theory of Semigroups Vol I .
DAFTAR PUSTAKA
2. Hubungan antara suatu semigrup word bebas dengan sembarang semigrup dapat diidentifikasi berdasarkan jenis pemetaan yang berlaku di antara kedua semigrup tersebut, 3. Dari suatu semigrup word bebas dapat dibangun suatu monoid word bebas dengan menambahkan elemen identitas pada semigrup word bebas tersebut. Hal ini juga berlaku untuk semigrup bebas biasa.
Suatu semigrup dapat diidentifikasi apakah semigrup tersebut dibangun secara bebas atau tidak berdasarkan sifat-sifat bebasnya,
Kesimpulan 1.
4.1 dan pembuktian Teorema 3.4, maka pembuktian Teorema 4.3 pun terpenuhi.
Bukti. Dengan menggunakan Definisi
x x x e dengan X x i , dimana ...) ... ( ) ( 2 1 ' S n x x x e
. Kemudian, elemen identitas
Teorema 4.1 Jika S semigrup bebas,
X e S '
Misalkan pula terdapat pemetaan
X x i .
dengan
x x x e
subsemigrup dari ' S , dimana ... ... 2 1 ' S n
S e adalah
. Maka } '\{ ' S
bebas yang dibangun secara bebas oleh X dengan
X :
Bukti. ) ( Misalkan ' S suatu monoid
} '\{ ' S S e adalah suatu semigrup bebas.
monoid bebas jika dan hanya jika
Teorema 4.2 Suatu monoid ' S adalah
Dengan menggunakan Definisi 2.12 dan Definisi 4.1, maka pembuktian Teorema 4.1 pun terpenuhi.
Bukti.
S adalah monoid bebas.
maka '
A
yang dapat diperluas menjadi suatu homomorfisma
X
A
|
sedemikian hingga
A e S S } '\{ : '
yang dapat diperluas menjadi suatu homomorfisma
X :
A
dan pemetaan
suatu semigrup bebas. Terdapat sembarang semigrup
A e S S } '\{ : '
S e adalah
Selanjutnya, misalkan } '\{ ' S
} '\{ ' S S e adalah suatu semigrup bebas. ) (
. Dari Definisi 2.12,
X
|
sedemikian hingga
Universitas Kristen Satya Wacana, Salatiga.