BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2 SMA NEGERI 10 ”MELATI” SAMARINDA

MODUL STATISTIKA

BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2 SMA NEGERI 10 ”MELATI” SAMARINDA

DI SUSUN OLEH :

KHAIRUL BASARI, S.Pd

khairulfaiq.wordpress.com e-mail : muh_abas@yahoo.com

Kegiatan Pembelajaran 1

A. STANDAR KOMPETENSI

Menerapkan konsep aturan statistika dalam pemecahan masalah

B. KOMPETENSI DASAR

Mengidentifikasi pengertian statistik, statistika dan sampel

C. INDIKATOR PENCAPAIAN

1. Mengidentifikasi statistik dan statistika sesuai dengan defenisinya.

2 Mengidentifikasi populasi dan sampel berdasarkan karakteristiknya

3 Menyebutkan macam-macam data dan memberikan contohnya.

D. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah pembelajaran ini siswa dapat :

1. Siswa mampu membedakan pengertian statistik dan statistika

2. Siswa mampu menjelaskan pengertian populasi

3. Siswa mampu menjelaskan pengertian sampel

4. Siswa mampu memberikan contoh populasi

5. Siswa mampu memberikan contoh sampel

6. Siswa mampu membedakan macam-macam data

7. Siswa mampu memberikan contoh macam-macam data

8. Siswa mampu menjelaskan syarat data yang baik

E. URAIAN MATERI

Data Dalam Bentuk Statistik Deskriptif

1. Pengertian statistik dan statistika

a. Statistik adalah kumpulan data mengenai suatu keadaan yang dapat menggambarkan keadaan tersebut.

b. Statistika adalah cabang dari matematika yang mempelajari cara pengumpulan, penyajian, penganalisaan, dan penarikan kesimpulan dari data.

Statistika secara garis besar dapat digolongkan menjadi dua metode yaitu:

a. Statistika deskriptif (deduktif) adalah metode statistika yang menggambarkan statistik, disini berupa kegiatan pengumpulan data, pengolahan data, dan penyajian data dalam bentuk tabel, grafik atau diagram.

b. Statistika inferensial (induktif) adalah bagian dari statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan mengenai populasi.

2. Pengertian populasi dan sampel

a. Populasi adalah semua objek (orang atau benda) yang akan diteliti (semesta pembicaraan).

b. Sampel adalah bagian dari populasi yang akan dijadikan objek penelitian yang bersifar representatif (mewakili populasi)

Contoh :

1. Seseorang akan membeli sekarung beras. Untuk mengetahui apakah beras yang akan dibelinya berkualitas bagus atau tidak, maka orang tersebut cukup dengan meneliti segenggam beras yang diambil dari sekarung beras tersebut. Dari contoh di atas maka

Populasinya adalah sekarung beras dan Sampelnya adalah segenggam beras

2. Seorang kepala kelurahan ingin mengetahui seberapa pendapatan rata-rata warganya. Karena waktu dan biaya, ia hanya mengambil dua RW saja untuk didata jumlah pendapatannya.

Populasinya adalah Penduduk kelurahan Sampelnya adalah dua RW dari kelurahan tersebut

3. Macam-macam data

a. Datum adalah informasi tentang suatu masalah atau keadaan.

b. Data adalah sekumpulan informasi yang dapat menggambarkan suatu keadaan. Berarti data adalah kumpulan dari datum-datum atau dapat dikatakan bahwa data adalah bentuk jamak dari datum.

Contoh :

Nilai ulangan susulan matematika dari 6 siswa kelas X- A SMA Merpati Samarinda adalah 7, 5, 6, 8, 9 ,6.

datum datum datum datum datum datum

Data

Data dapat dkelompokkan dengan berbagai cara, diantaranya adalah :

a. Data kuantitatif dan data kualitatif • Data kuantitatif adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur atau

menghitung yang hasilnya selalu berupa bilangan Contoh : - Kumpulan nilai matematika kelas X SMA y Samarinda

- Harga beras di Pasar Pagi Samarinda Data kuantitatif di bagi 2 jenis yaitu : Data diskret (data tercacah) adalah data yang diperoleh dari hasil menghitung. Contoh : - Data Gaji karyawan PT. Maju Mundur

- Data jumlah anak dalam suatu keluarga Data kontinu adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur Contoh : - Data tinggi badan siswa SMA 10 Samarinda

• Data kualitatif adalah data yang menyatakan keadaan atau karakteristik yang dimiliki oleh objek yang diteliti yang hasilnya tidak dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan. Contoh : - Data olahraga favourit siswa SMA 10 Samarinda.

Data kualitas hasil panen padi di Tenggarong

Syarat data yang baik

• Objektif yaitu data harus dapat memberikan gambaran tentang keadaan yang sebenarnya • Terpercaya (believable) yaitu data diperoleh dari sumber yang tepat atau dapat dipercaya • Representatif yaitu data yang diambil secara sampel harus bisa mewakili semua data yang merupakan populasinya • Relevan yaitu data yang diperoleh harus benar-benar sesuai dan berhubungan dengan obyek atau permasalahan yang diteliti • Terkini (up to date) yaitu data yang diperoleh merupakan data yang terbaru

(terkini) dan bukan merupakan data usang yang sudah tidak sesuai lagi.

F. Tugas

1. Seorang peneliti ingin mengetahui ada tidaknya bakteri E. Sakazaki pada susu formula bayi. Untuk itu ia memeriksa 50 susu formula bayi dari berbagai merek. Apa yang menjadi populasi dan sampel penelitian tersebut?

2. Seorang petugas laboratorium ingin menyelidiki pencemaran air di Sungai Mahakam, tentukanlah populasi dan sampel dari pencemaran air di Sungai Mahakam tersebut?

3. Seorang peneliti dalam bidang pendidikan ingin mengetahui tingkat kelulusan siswa SMA di Samarinda. Tentukanlah populasi dan sampel dari penelitian tersebut!

4. Buatkanlah permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang terkait dengan populasi dan sampel?

5. Klasifikasikan data berikut sebagai data kualitatif dan data kuantitatif. Jika termasuk data kuantitatif maka tentukan apakah data tersebut diskret atau kontinu.

a. Banyak mobil yang dimiliki oleh setiap keluarga

b. Berat badan dari sekelompok gajah

c. Suhu udara suatu samudra sepanjang hari c. Suhu udara suatu samudra sepanjang hari

e. Data cita-cita siswa SD Bunga Harapan Samarinda

f. Data ukuran sepatu siswa di kelasmu

Pilihlah satu jawaban yang paling benar

1. Kumpulan fakta berbentuk angka yang disusun dalam daftar yang menggambarkan suatu persoalan disebut .....

a. statistik

b. statistika

c. sampel

d. populasi

e. data

2. Pengetahuan tentang cara mengumpulkan, mengolah, menganalisis, menyajikan dan menafsirkan data disebut .....

a. statistik

b. statistika

c. kinematika

d. ekonomimetri

e. statis

3. Yang tidak termasuk kegiatan statistik adalah .....

a. mengumpulkan data

b. mengolah data

c. mempelajari teori statistik

d. menganalisis data

e. menyimpulkan dan mengambil keputusan

4. Statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan mengenai populasi disebut .....

a. statistika deskriptif

b. statistika induktif

c. populasi

d. sampel

e. sampling

5. Di bawah ini yang bukan merupakan syarat data yang baik adalah .....

a. relevan

b. representatif

c. up to date

d. objektif

e. banyak

6. Sebagian data yang diambil dari objek penelitian dan bersifat representatif disebut

a. populasi

b. sampel

c. sensus

d. sampling

e. referendum

7. Di bawah ini merupakan alasan sampling kecuali .....

a. biaya

b. tenaga

c. waktu

d. sistematis

e. efektif

8. Yang termasuk data kontinu adalah .....

a. jumlah karyawan

b. jumlah keuntungan c.jumlah penjualan

d. jumlah kendaraan

e. jumlah pemakaian listrik

9. Yang termasuk data diskret adalah .....

a. Tinggi badan Ardi = 170 cm

b. jumlah siswa tingkat 3 = 120 orang

c. Berat badan Dadang = 52 kg

d. Suhu badan Ika = 27,5 0 C

e. Jarak rumah Shinta ke sekolah = 7 km

10. Suatu data yang tidak dapat dinyatakan dengan bilangan disebut .....

a. data statistik

b. data diskret

c. data kontinu

d. data kualitatif

e. data kuantitatif

11. Yang dimaksud data tunggal adalah .....

a. data yang isinya hanya satu datum saja

b. data yang nilainya sama dengan satu

c. data yang tidak/belum diklasifikasikan menuut aturan tertentu

d. data yang berdiri sendiri

e. data yang berfrekuensi

12. Data yang bersumber dari hasil pengukuran disebut dengan .....

a. data kontinu

b. data diskret

c. data primer

d. data sekunder

e. data asli

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR

Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.

Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI. Klaten : Intan Pariwara..

Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga

Kegiatan Pembelajaran 2

A. STANDAR KOMPETENSI

Menerapkan konsep aturan statistika dalam pemecahan masalah

B. KOMPETENSI DASAR

Membaca dan menyajikan data dalam tabel dan diagram

C. INDIKATOR PENCAPAIAN

1. Mampu menyajikan data tunggal dalam tabel dan diagram

2. Mampu menyajikan data berkelompok dalam tabel dan diagram

3. Mampu menafsirkan data tunggal dalam tabel dan diagram

4. Mampu menafsirkan data berkelompok dalam tabel dan diagram.

D. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah pembelajaran ini siswa dapat :

1. Menyajikan data tunggal dalam bentuk tabel

2. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang

3. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang daun

4. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram pitogram

5. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram garis

6. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram lingkaran

7. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi

8. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk histogram

9. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk poligon

10. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk ogive

E. URAIAN MATERI

Membaca Dan Menyajikan Data

1. Data Tunggal

1.1 Membaca dan menyajikan data tunggal dalam bentuk tabel

Tabel adalah penyajian data dalam bentuk kumpulan angka yang disusun menurut kategori tertentu dalam suatu daftar. Dalam penyusunan tabel ada beberapa hal yang harus diperhatikan yaitu : • Judul dibuat jelas dan singkat. Apabila perlu diberi keterangan yang dicantumkan

di kaki tabel • Judul atau kepala kolom dibuat ringkas. Jika ada penjumlahan data dalam baris dimuat pada kolom terakhir. Apabila jumlah kolom banyak dapat diberi nomor. Pencantuman unit ukuran tidak boleh dilupakan.

• Jika dianggap perlu data dapat dikelompokkan. Kelompok data yang akan dibandingkan, diletakkan berdekatan. • Keterangan di bawah (foot note) dimuat untuk memberi penjelasan mengenai judul, kepala kolom, atau angka-angka dalam tabel • Sumber data dicantumkan untuk mengetahui darimana data yang bersangkutan

diperoleh, dan jika perlu dapat diadakan pengecekan dari sumber aslinya.

Contoh :

JUMLAH PELANGGAN DAN PEMAKAI INTERNET DI SAMARINDA TAHUN 2005 – 2009

Diskenminfo Samarinda

Sumber :

1. 2 Membaca dan menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram

a. Diagaram batang

Diagaram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang digunakan untuk menyajikan data diskrit.

Contoh :

Jumlah pemakai dan pelanggan internet Di Samarinda tahun 2005 – 2009 adalah sebagai berikut :

Tahun Pelanggan

Jumlah Pelanggan dan Pemakai Internet di Samarinda

h h la 20000

m Ju 15000

Jenis diagram Batang tegak

Jumlah Pelanggan dan Pemakai Internet di Samarinda

u n 2007 h a T

Jenis diagram Batang mendatar Jenis diagram Batang mendatar

Diagram batang digunakan untuk mengetahui penyebaran data. Dalam diagram daun data yang terkumpul di urutkan terlebih dahulu dari data terkecil sampai data terbesar. Diagram batang daun terdiri atas dua bagian yaitu bagian batang dan bagian daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan.

Contoh :

Hasil ulangan matematika kelas X –H SMA Mawar adalah sebagai berikut :

Sajikan data di atas dalam bentuk diagram batang daun

c. Diagram Piktogram

Diagram lambang adalah penyajian data statistik dalam bentuk gambar-gambar dengan ukuran tertentu untuk menunjukkan nilai masing-masing data.

Contoh

Jumlah Siswa di Kota Bangun berdasarkan Tingkat Pendidikannya Tahun 2007 ditunjukkan pada tabel dibawah ini

Tingkat Pendidikan Jumlah Siswa

Data di atas jika disajikan dalam diagram pitogram adalah....

Tingkat Pendidikan

d. Diagram Garis

Diagram garis biasanya dipakai untuk menggambarkan suatu data yang berkelanjutan dalam suatu kurun waktu tertentu. Misalnya data tentang produksi dari tahun ke tahun, nilai ekspor suatu jenis barang dari tahun ke tahun dan sebagainya.

Contoh

Data curah hujan di Kota Bandung pada tahun 2008 sebagai berikut :

No

Bulan

Curah Hujan

11 Nove,ber

Sumber : Kantor BMG Stasiun Bandung

Data diatas jika disajikan dalam diagram garis adalah

e. Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran digunakan untuk menyajikan data yang menunjukkan perbandingan. Diagram lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran besar sudut juring lingkaran sebanding dengan nilai data yang disajikan.

Contoh :

Pekerjaan dari 300 penduduk Desa Makmur pada tahun 2009 ditunjukkan dala tabel berikut :

Pekerjaan

Frekwensi

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Jumlah

Untuk dapat menyajikan data tersebut ke dalam diagram lingkaran maka kita harus mencari besar sudut juring dan persentase dari masing-masing jenis pekerjaan , caranya sebagai berikut.

Besar sudut pusat

Pekerjaan Frekwensi Presentase

Diagaramnya adalah sebagai berikut

Pete rnak 3% Pedagang

2. Menyajikan data berkelompok

2. 1 Tabel Distribusi Frekuensi

Untuk data yang berukuran besar (lebih dari 30 datum) maka lebih mudah jika kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel frekuensi adalah tabel yang menunjukkan atau memuat banyaknya kejadian atau frekuensi dari suatu kejadian. Tabel distribusi frekuensi adalah statistika untuk menyusun data dengan cara membagi nilai observasi ke dalam kelas-kelas dengan interval tertentu.

a. Langkah-langkah menyusun tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut:

1. Tentukan daerah jangkauan (range) = R

R = datum terbesar – datum terkecil

2. Tentukan banyaknya kelas / kelompok dengan menggunakan aturan Sturgess yaitu :

k = 1 + 3,3 log n , dimana n adalah banyaknya datum

3. Tentukan Interval Kelas

I=

4. Tentukan batas kelas yaitu batas atas dan batas bawah

5. Tentukan Tepi kelas

Tepi atas Kelas = Batas atas kelas + 0,5 Tepi bawah Kelas = Batas bawah kelas - 0,5

Contoh

Berikut ini merupakan nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda :

Data di atas dapat kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalah :

1. Tentukan daerah jangkauan (range) = R Datum terbesar = 97 Datum terkecil = 53 Sehingga R = datum terbesar – datum terkecil = 97 – 53 = 44

2. Tentukan banyaknya kelas/kelompok dengan menggunakan aturan Sturgess yaitu : k = 1 + 3,3 log n

k = 1 + 3,3 log 80 k = 1 + 3,3 (1,9031) (diambil dari kalkulator/table logaritma) k = 1 + 6,3 = 7,3 k 7

2. Tentukan Interval Kelas R

I = 6 , 3 diambil 7; karena jika diambil 6, ada data yang tidak masuk

3. Tentukan batas kelas yaitu batas atas dan batas bawah Batas bawah kelas = 52 Batas atas kelas = 58

Sehingga tabelnya adalah sebagai berikut

Tepi Tepi

Batas Batas

bawah atas

bawah atas

kelas kelas

b. Frekuensi kumulatif

Distribusi frekuensi kumulatif adalah sebuah distribusi yang menyatakan frekuensi total yang ada di bawah batas bawah tau frekuensi total yang ada di atas batas bawah suatu kelas.

Distribusi kumulatif yang ada di bawah batas bawah disebut frekuensi kumulatif kurang dari dan yang ada di atas atau sama dengan batas bawah disebut

frekuensi kumulatif lebih dari atau sama dengan.

b. Frekuensi Relatif

Frekuensi relatif adalah perbandingan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi seluruhnya yang dinyatakan dalam persen.

2.2 Data dalam bentuk Diagram dan Grafik

Maksud dan tujuan menyajikan data statistik dalam bentuk diagram maupun grafik adalah agar mudah memberikan informasi secara visual. Penyajian data dalam bentuk diagram atau grafik sangat efektif untuk menyebarkan informasi baik melalui surat kabar, majalah maupun laporan-laporan statistik.

1. Histogram

Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya batang-batang berimpit. Untuk buat histogram yang diperhatikan adalah tepi kelas.

Contoh :

Data nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda yang telah kita buat tabel frekuensi diatas kita sajikan dalam jistogram.

Frekuensi bawah

Dari histogram jika titik-titik tengah pada batang dihubungkan dengan garis maka garis tersebut disebut poligon.

Contoh

Data nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda yang telah kita buat tabel frekuensi diatas kita sajikan dalam jistogram.

Tepi

Tepi

Nilai tengah

Kelas

Frekuensi bawah

atas

kelas

kelas

80 - 86

Jumlah

3. Ogive

Jika garis diagram poligon frekuensi kumulatif dijadikan kurva mulus maka kurva tersebut disebut ogif. Ada 2 macam ogif yaitu : • Ogif positif, yang diperoleh dari poligon frekuensi kumulatif kurang dari • Ogif negatif, yang diperoleh dari poligon frekuensi kumulatif lebih dari Frekuensi kumulatif kurang dari (f kk ) dari menyatakan jumlah frekuensi semua nilai data yang kurang dari atau sama dengan nilai pada tiap kelas. Frekuensi kumulatif lebih dari (f kl ) menyatakan jumlah frekuensi semua nilai data yang lebih dari atau sama dengan nilai tiap kelas.

Frekuensi bawah

dari TA dari TB

Ogive Kurang Dari/Ogiv Positif

Ogive Lebih Dari/ogive Negatif

F. TUGAS

1. Hasil Penjualan berbagai alat elektronik di toko ”Sinar” disajikan dalam diagram berikut :

Kipas angin Setrika

Kompor gas

Lemari Es

Jika diketahui banyaknya kipas angin yang terjual ada 24 buah tentukan :

a. banyaknya dispenser yang terjual

b. banyaknya kompor gas yang terjual

2. Data berikut adalah data tinggi badan dari 40 siswa SMA Harapan Bangsa Samarinda, siukur sampai sentimeter terdekat. 168, 165, 176, 159, 163, 175, 158, 170, 170, 155, 156, 169, 170, 160, 160, 164, 153, 154, 150, 158, 147, 151, 150, 167, 168, 160, 150, 148, 161, 174, 176, 163, 149, 166, 175, 158, 166, 164, 167, 159 Sajikan data diatas dalam bentuk 2. Data berikut adalah data tinggi badan dari 40 siswa SMA Harapan Bangsa Samarinda, siukur sampai sentimeter terdekat. 168, 165, 176, 159, 163, 175, 158, 170, 170, 155, 156, 169, 170, 160, 160, 164, 153, 154, 150, 158, 147, 151, 150, 167, 168, 160, 150, 148, 161, 174, 176, 163, 149, 166, 175, 158, 166, 164, 167, 159 Sajikan data diatas dalam bentuk

b. Histogram

c. Ogive Positif

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR

Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.

Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI. Klaten : Intan Pariwara..

Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga

Kegiatan Pembelajaran 3

A. STANDAR KOMPETENSI

Menerapkan konsep aturan statistika dalam pemecahan masalah

B. KOMPETENSI DASAR

Menentukan ukuran Pemusatan Data

C. INDIKATOR PENCAPAIAN

1. Manpu menentukan ukuran pemusatan data tunggal (mean, median dan modus)

2. Manpu menentukan ukuran pemusatan data kelompok (mean, median dan modus)

D. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah pembelajaran ini siswa dapat :

1. Menghitung nilai mean data tunggal

2. Menghitung rata-rata gabungan

3. Menghitung nilai mean data berkelompok dengan menggunakan rumus

4. Menghitung nilai mean data berkelompok dengan menggunakan rata-rata sementara

5. Menghitung nuilai median data tunggal

6. Menghitung nilai median data berkelompok dengan menggunakan rumus

7. Menghitung nilai modus data tunggal

8. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan rumus

9. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan histogram

10. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan ogive

E. URAIAN MATERI

Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan data menggambarkan tempat dimana data cenderung berkumpul. Ada

3 ukuran pemusatan data yang biasa digunakan yaitu rata-rata hitung (mean), median dan modus.

A. Data Tunggal

1. Rata-rata Hitung (mean)

Mean ( x ) adalah nilai rata-rata dari data. Mean paling sering dijadikan ukuran pusat data kuantitatif. Mean data tunggal merupakan jumlah nilai semua data dibagi dengan

ukuran data tersebut. Misalkan kita memiliki data berukuran n dengan nilai-nilai x 1 , x 2 , ..., x n maka :

2 .... x n

= ( x 1 + x 2 + ...... + x n )

sehingga, n

Jika data dalam bentuk tabel distribusi data tunggal berbobot maka rata-ratanya adalah adalah :

Contoh

1. Rata-rata dari data 7, 6, 4, 5, 3, 8 9 adalah Penyelesaian

42 =

2. Jika data umur (dalam bulan) dari 10 kelinci disajikan dalam tabel di bawah, maka rata-rata umur kelinci adalah:

3. Rata-rata dari 4 buah data adalah 5, jika data ditambah satu lagi maka rata-ratanya menjadi 5,5. Maka besar data penambah adalah

Penyelesaian Misalkan ke 4 data adalah a, b, c, d Data penambah adalah x

Sehingga :

4. Nilai rata-rata ujian sekelompok siswa sebanyak 40 orang adalah 51. Jika seorang siswa dari kelompok itu yang mendapat nilai 90 tidak dimasukan dalam perhitungan rata-rata tersebut, maka nilai rata-rata ujian akan menjadi…… Penyelesaian

40 x = 2040

jika seorang siswa yang mendapat nilai 90 tidak dimasukkan maka perhitungannya menjadi

x − 90 x = n − 1

2. Median

Median (M e ) adalah nilai yang membagi data terurut menjadi dua bagaian yang sama banyak. Median untuk data berukuran n dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut: • Urutkan data dari datum terkecil sampai datum terbesar atau sebaliknya

n + 1 • Jika jumlah datum ganjil, median adalah nilai dari datum ke

adalah nilai dari

datum ke

+ datum ke

Contoh

1. Perhatikan data terurut berikut. Carilah mediannya.

n = 9 (ganjil) maka mediannya adalah

Me = datum ke

= datum ke 5 = x 5 = 15

n = 10 (genap) maka nilai mediannya

Me =

datum ke

+ datum ke

2 2 2 datum ke − 5 + datum ke − 6

2. Diketahui data terdiri dari 3 pengamatan mempunyai rata-rata 15, median 15 dan jangkauan 10. Pengamatan yang terbesar adalah …. Penyelesaian

Dimisalkan ke 3 data tersebut setelah diurutkan adalah a, b, c karena diketahui mediannya 15 maka nilai b = 15 jangkauan nya 10 berarti c – a = 10

a = 10 maka

c = 10 + 10

c = 20

Jadi ketiga data tersebut adalah 10, 15, 20

3. Median data di bawah adalah Nilai

Frekuensi

Penyelesaian Dari tabel diketahui jumlah data adalah 7 + 13 + 15 + 5 = 40 Ternyata data genap, maka mediannya adalah

datum ke

+ datum ke

2 Jadi mediannya terletak diantara datum ke-20 dan ke 21

Datum ke 20 adalah 7 dan datum ke 21 adalah 8, sehingga Me adalah

Pada sebuah kelompok data, modus (M o ) adalah nilai yang paling sering muncul yaitu nilai-nilai yang memiliki frekuensi paling tinggi. Dalam satu kelompok data, modus tidak mungkin tunggal, pada kasus lain ada juga kelompok data yang tidak memiliki modus karena tiap datum memiliki frekuensi yang sama.

Contoh

Modus dari data 7, 8, 3, 5, 7, 4, 6, 7, 3, 6, 3, 7, 8. adalah… Penyelesaian Datum 3 sebanyak 3 kali Datum 4 sebanyak 1 kali Datum 5 sebanyak 1 kali Datum 6 sebanyak 2 kali Datum 7 sebanyak 4 kali Datum 8 sebanyak 2 kali Sehingga modus data di atas adalah 7

B. Data Kelompok

1. Mean/Rata-rata.

Jika kita hanya mempunyai data berkelompok tanpa mengetahui detail setiap data dalam kelompok tersebut, maka mean ditentukan dari nilai titik tengah kelompok- kelompok tersebut. Rataan ( x ) data berkelompok dihitung sebagai berikut :

dengan x i adalah titik tengah kelas ke-i

selain cara diatas untuk menghitung rata-rata suatu databis menggunakan rumus rata- rata sementara yakni :

Dimana : • x = rata-rata sementara biasanya diambil pada nilai tengah pada kelas s

dengan frekuensi tertinggi. • d i = simpangan (deviasi) yakni nilai tengah tiap-tiap kelas dikurang rata-

rata sementara ( ( x− i x s )

Contoh

Tentukan rata-rata hitung dari data berikut :

Nilai Frekuensi

1 - 50

2 Dari tabel

f i = 80 x i . f i = 15040 Maka rata-ratanya adalah

15040 x =

80 x = 188

Selain cara di atas rata-rata juga bisa kita tentukan dengan menggunakan rata-rata sementara yaitu :

Jika rata-rata sementara diambil 225,5

Nilai Frekuensi

4 = 25 , 50 25,5 - 225,5 = - 200 - 800

51 – 100 + 7 = 75 , 50 75,5 – 225, 5 = - 150 - 1050

Data kelompok biasanya tersaji dalam bentuk daftar distribusi. Median untuk data berkelompok ditentukan oleh rumus berikut ini :

Dimana : • tb = tepi bawah kelas median

• kelas median

• n = frekuensi/banyaknya data • i = interval kelas

• f kum = frekuensi kumulatif sebelum kelas median • f Me = frekuensi pada kelas median

Contoh

Tentukan median dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi frekuensi berikut. Berat Badan (kg)

Penyelesaian Dari tabel dia atas diketahui • n = 50

50 50 Berarti median terletak antara datum ke

= 25 dan datum ke + 1 = 26 . Kedua

2 2 datum terletak di kelas 60 – 69 • tepi bawah kelas median adalah 60 – 0,5 = 59,5 • f kum = 5 + 14 =19 • f Me = 16

i = 50 – 40 = 10 maka :

Jadi median adalah 63,25

3. Modus

Pada kasus distribusi frekuensi berkelompok, kelas yang paling tinggi frekuensinya disebut kelas modus. Nilai modus dapat ditentukan sesuai dengan rumus berikut :

Mo = tb + i

Dimana : • tb = tepi bawah kelas modus

• d 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya • d 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

• i = panjang kelas

Contoh

1. Tentukan modus dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi frekuensi berikut :

Berat Badan

Penyelesaian Diketahui : • Kelas modusterletak pada kelas ke 3 • tb =59,5

• d 1 = 16 – 14 = 2 • d 2 = 16 – 12 = 4

i = 50 – 40 = 10 maka :

= 62 , 83 Jadi modusnya 62,83

2. Tentukanlah modus dari data yang dinyatakan dengan histogram seperti berikut ini

Penyelesaian Berdasarkan histogram diketahui

Kelas modus terletak pada kelas 49,5 – 54,5 Tepi bawah kelas 49,5 Panjang kelas 54,5 – 49,5 = 5

d 1 = 18 – 14 = 4

d 2 = 18 – 10 = 8 Sehingga :

Mo = 49 , 5 + 5

= 51 , 16 Jadi modusnya adalah 51,16

3. Tentukan mean, median dan modus dari ogive di bawah

Penyelesaian Data dari ogif negative kita sajikan dalam table berikut

Nilai

Frekuensi

66 - 70

Jumlah

Mean 1960

x = 49 Median

F. TUGAS

1. Data berikut menunjukkan hasil 20 pertandingan hoki dari suatu tim. Banyak gol

Jumlah pertandingan

Tentukan rata-rata banyak gol di setiap pertandingan!

2. Sebuah uji coba dilakukan untuk menyelidiki lamanya waktu yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tugas yang sederhana. Rata-rata lamanya waktu yang dilakukan oleh sukarelawan laki-laki adalah 16,5 menit dan sukarelawan perempuan adalah 21,3 2. Sebuah uji coba dilakukan untuk menyelidiki lamanya waktu yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tugas yang sederhana. Rata-rata lamanya waktu yang dilakukan oleh sukarelawan laki-laki adalah 16,5 menit dan sukarelawan perempuan adalah 21,3

3. Hitunglah mean dari data berikut ini !

a. 5, 5, 4, 5, 6, 7, 6, 8, 9

b. 12, 13, 14, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 18

4. Hitunglah mean dari data berikut ini : Nilai

Frekuensi

5. Hitunglah mean dari data berikut ini !

Nilai Frekuensi

6. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 38 siswa adalah 64,5. Ternyata dua siswa ikut ulangan susulan. Setelah nilai kedua siswa itu digabung, rata-ratanya menjadi 65,1. Jika siswa pertama mendapat nilai 69, tentukan nilai yang diperoleh siswa kedua!

7. Tentukanlah median dari data berikut ini : 6, 8, 5, 2, 6, 4, 6, 7, 3, 5

8. Tentukan median dari data nilai ulangan bahasa Inggris sejumlah siswa berikut :

9. Perhatikan nilai ujian yang dinyatakan pada tabel berikut ini:

Seorang siswa dinyatakan lulus ujian jika nilai ujiannya lebih tinggi dari rata-rata nilai ujian tersebut. Tentukan banyaknya siswa yang lulus

10. Tentukan modus dari berikut berikut ini :

11. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 20 siswa adalah 7,2. Jika nilai matematika Anggi ditambahkan maka rata-ratanya menjadi 7,3. Berapakah nilai Anggi

12. Kelas X- A siswanya berjumlah 40 orang, mempunyai nilai rata-rata 63,15. Kelas

X- B siswanya berjumlah 38 orang, mempunyai nilai rata-rata 68,62. Kelas X- C siswanya berjumlah 39 orang, mempunyai nilai rata-rata 65,23. Tentukan nilai rata- rata dari seluruh siswa tersebut

13. Rata-rata data di bawah adalah 6 maka nilai x Nilai

Frekuensi

14. Empat kelompok siswa yang masing-masing terdiri atas 5, 8, 10, dan 17 orang menyumbang korban bencana alam. Rataan hitung sumbangan masing-masing kelompok adalah Rp4.000,00; Rp2.500,00; Rp2.000,00; dan Rp1.000,00. Tentukan rataan hitung sumbangan setiap siswa seluruh kelompok tersebut.

15. Perhatikan histogram di bawah

Dari data di atas tentukan

a. Mean

b. Median

c. Modus

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR

Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.

Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI. Klaten : Intan Pariwara..

Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga

Kegiatan Pembelajaran 4

A. STANDAR KOMPETENSI

Menerapkan konsep aturan statistika dalam pemecahan masalah

B. KOMPETENSI DASAR

Menentukan ukuran penyebaran data

C. INDIKATOR PENCAPAIAN

1. Menentukan ukuran letak data tunggal (Kuartil, Desil, dan Persentil)

2. Menentukan ukuran letak data berkelompok (Kuartil, Desil, dan Persentil)

3. Menentukan ukuran penyebaran data tunggal

4. Menentukan ukuran penyebaran data berkelompok

D. TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Siswa mampu menentukan jangkauan data tunggal

2. Siswa mampu menentukan jangkauan data kelompok

3. Siswa mampu menghitung simpangan rata-rata data tunggal

4. Siswa mampu menghitung simpangan rata-rata data kelompok

5. Siswa mampu menghitung simpangan baku data tunggal

6. Siswa mampu menghitung simpangan baku data kelompok

7. Siswa mampu menghitung kuartil data tunggal

8. Siswa mampu menghitung kuartil data kelompok

9. Siswa mampu membedakan nilai kuartil suatu data

10. Siswa mampu menentukan desil data tunggal

11. Siswa mampu menentukan desil dari data kelompok’

12. Siswa mampu menentukan jangkauan desil suatu data

13. Siswa mampu menentukan persentil data tunggal

14. Siswa mampu menghitung persentil data kelompok

15. Siswa mampu menentukan jangkauan persentil suatu data

16. Siswa mampu menentukan nilai angka baku suatu data

17. Siswa mampu menentukan nilai koefisien variasi suatu data

18. Siswa mampu menentukan nilai kemiringan suatu data

E. URAIAN MATERI

Ukuran Letak Dan Penyebaran Data

A. UKURAN LETAK DATA Data Tunggal

1. Kuartil

Kuartil adalah membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak pada data dengan banyaknya data n ≥ 4 . Kuartil dibagi menjadi 3 yakni :

a. Kuartil pertama/bawah (Q 1 )

Kuartil bawah (Q 1 ) adalah membagi

bagian, untuk menentukan Q 1 adalah

Letak Kuartil bawah () Q 1 = Datum ke

b. Kuartil kedua/tengah (Q 2 )

Kuartil tengah membagi data terurut menjadi

atau

bagian, cara menentukan

adalah

• Datum ke

, jika n ganjil

4 Kuartil tengah () Q 2 n

2 datum ke + Datum ke + 1

, jika n genap

c. Kuartil ketiga/atas (Q 3 )

kuartil atas membagi data terurut menjadi bagian, cara menentukan :

Kuartil atas () Q 3 = datum ke

4 Langkah- langkah menentukan kuartil ke-i atau Q i terutama jika datanya genap adalah :

• Hitunglah

• Jika

= r , dimana r adalah bilangan bulat maka Q= i datum ke r () x r

• Jika = r , dimana r bukan bilabgan bulat, dan Q i terletak pada datum ke r dan

4 r+ 1 maka :

Q i = datum ke − r +

− r ( datum ke r + 1 − datum ke r )

Contoh

1. Tentukan kuartil bawah (Q 1 ), kuartil tengah (Q 2 ) dan kuartil atas (Q 3 ) dari data

Penyelesaian

Kuartil bawah (Q 1 )

Q 1 pada datum ke

Q 1 = datum ke − 3 + ( 3 , 75 − 3 )( datum ke 4 − datum ke 3 )

Jadi kuartil bawah (Q 1 ) adalah 4 Kuartil tengah (Q 2 )

Q 2 terletak pada datum ke

Q 2 terletak diantara datum ke 7 dan 8, sehingga

Jadi kuartil tengahnya Q 2 adalah 7 Kuartil Atas (Q 3 )

Q 3 terletak pada datum ke

Q 3 = datum ke − 11 + ( 11 , 25 − 11 )( datum ke 12 − datum ke 11 )

Jadi kuartil atasnya (Q 3 ) adalah 8,25

2. Tentukan Q 1 ,Q 2 dan Q 3 dari 3, 4, 5, 6, 8, 8, 9

Penyelesaian Kuartil bawah

Q 1 terletak pada datum

4 Jadi kuartil bawahnya (Q 1 ) adalah 4

Kuartil tengah

Q 2 terletak pada datum

2 Jadi kuartil bawahnya (Q 2 ) adalah 6

Kuartil atas

Q 3 terletak pada datum

4 Jadi kuartil bawahnya (Q 3 ) adalah 8

2. Desil

Desil adalah datum yang membagi data terurut menjadi sepuluh bagian. Untuk membagi data menjadi 10 bagian sama besar diperlukan sembilan sekat. Misalkan

x 1 , x 2 , ..., x n adalah data berukuran n yang telah diurutkan dengan D i adalah hasil yang dicari, dengan i = 1, 2, ..., 9. Desil dirumuskan dengan

D i = Datum ke −

10 • i = 1 , 2 , 3 , ..., 9

• n = ukuran data Langkah- langkah menentukan desil ke-i atau D i adalah :

= r , dimana r adalah bilangan bulat maka D= i datum ke r () x r

• Jika = r , dimana r bukan bilabgan bulat, dan D i terletak pada datum ke r dan

10 r+ 1 maka :

D i = datum ke − r +

− r ( datum ke r + 1 − datum ke r )

3. Persentil

Persentil adalah datum yang membagi data terurut menjadi seratus bagian. Untuk data dengan banyaknya data n ≥ 100 maka ada 99 persentil. Persentil biasanya dilambangkan dengan P. Untuk membagi data menjadi seratus bagian yang sama besar diperlukan sembilan puluh sembilan sekat. Untuk menentukan persentil maka urutkan data dari yang terkecil sampai yang terbesar. Persentil di rumuskan :

P i = Datum ke −

100 • i = 1 , 2 , 3 , ..., 99

• n = ukuran data Langkah menentukan persentil sama dengan menentukan letak kuartil dan desil

Contoh :

Tentukan D 1, D 9, P 10 dan P 70 dari data 7 5 6 5 3 6 4 8 2 6 8 7 Penyelesaian Data di urutkan 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8

Desil ke-1 (D 1 )

D 1 = datum ke

= datum ke

10 = datum ke 1 , 3

Datum ke 1, 3 terletak antara datum ke 1 dan datum ke 2, dan r = 1 sehingga

D 1 = 2 + ( 1 , 3 − 1 )( 3 − 2 )

Jadi desil ke-1 (D 1 ) adalah 2,3

Desil ke-9 (D 9 )

D 9 = datum ke

= datum ke

10 = datum ke 11 , 7

Datum ke 11,7 terletak antara datum ke 11 dan datum ke 12, dan r = 11 sehingga

D 9 = 8 + ( 11 , 7 − 11 )( 8 − 8 )

Jadi desil ke-9 (D 9 ) adalah 8 Persentil ke-10 (P 10 )

P 10 = datum ke

= datum ke

100 = datum ke 1 , 3

Datum ke 2,6 terletak antara datum ke 2 dan datum ke 3, dan r = 2 sehingga

P 10 = 2 + ( 1 , 3 − 1 )( 3 − 2 )

P 10 = 2 + 0 , 3 ( 1 ) P 10 = 2 , 3

Persentil ke-70 (P 70 )

P 70 = datum ke

= datum ke

100 = datum ke 9 , 1

Datum ke 9,1 terletak antara datum ke 9 dan datum ke 10, dan r = 9 sehingga

P 70 = 7 + ( 9 , 1 − 9 )( 7 − 7 )

P 70 = 7 + 0 , 1 ( 0 ) P 70 = 7

DATA BERKELOMPOK

1. Kuartil

Menentukan kuartil pada data kelompok sama seperti menentukan median pada data kelompok. Kuartil pada data kelompok di rumuskan

Desil untuk data kelompok dapat dicari dengan rumus berikut :

Persentil dirumuskan :

Berat badan dari 50 siswa ditunjukkan pada tabel di bawah Berat Badan (kg)

Frekuensi

Dari data di atas tentukan :

a. Kuartil atas dan bawah

b. Desil ke- 6 (D 6 )

c. Persentil ke-20 (P 20 )

Penyelesaian

a. Kuartil

Kelas Q 1 adalah

= 12 , 5 maka Q 1 terletak pada datum ke 12 dan datum ke

14 maka terletak pada kelas 50 – 59 sehingga

12 , 5 − 5 Q 1 = 49 , 5 + 10

= 54 , 9 Jadi kuartil bawahnya adalah 54,9

Kelas Q 3 adalah

= 37 , 5 maka Q 3 terletak pada datum ke 37 dan datum

ke 38 maka terletak pada kelas 70 – 79 sehingga

37 , 5 − 35 Q 3 = 69 , 5 + 10

= 71 , 3 Jadi kuartil atasnya adalah 71,3

b. Desil ke- 6

Kelas D 6 adalah = 30 maka D 6 terletak pada datum ke 30 terletak pada

kelas 60 – 69 sehingga

= 66 , 38 Jadi desil ke-6 adalah 66,38

c. Persentil ke-20

Kelas P 20 adalah = 10 maka P 20 terletak pada datum ke 10 terletak pada

kelas 50 – 59 sehingga

= 53 , 07 Jadi persentil ke- 20 adalah 53,07

B. UKURAN PENYEBARAN DATA Data Tunggal

1. Jangkauan

Jangkauan = J = Nilai datum terbesar – nilai datum terkecil

2. Simpangan rata-rata

Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata menyatakan ukuran berapa jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai rataan. Simpangan rata-rata (SR) dirumuskan

x i − x SR = i = 1

Dimana : • n = ukuran data/banyaknya data

• x = rata-rata • x i = datum ke i

3. Ragam

4. Simpangan Baku

Contoh :

Nilai ulangan susulan matematika adalah 5, 7, 10, 9, 7, 8, 8, 6, 8, maka tentukan

a. Jangkauan

b. Simpangan rata-rata

c. Ragam

d. Simpangan Baku

Penyelesaian

a. Jangkauan = x max − x min

b. Simpangan rata-rata

Sehingga simpangan rata-ratanya adalah Sehingga simpangan rata-ratanya adalah

d. Simpangan baku S 2 = S

5. Jangkauan Antarkuartil

Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah

Jangkauan antarkuart il () H = Q 3 − Q 1

6. Simpangan Kuartil

Simpangan kuartil atau rentang semi antarkuartil adalah setengah dari hamparan

7. Langkah

Satu langkah (L) sama dengan satu setengah kali hamparan

8. Pagar Dalam dan Pagar Luar

Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama. Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga.

• Pagar Dalam = Q 1 − L

• Pagar Luar = Q +

Contoh :

Diketahui data terurut dari banyak novel yang dimiliki delapan siswa adalah sebagai berikut : 4, 6, 7, 7, 10, 12, 13, 18. Tentukan

a. Jangkauan antarkuartil

b. Simpangan kuartil

c. Langkah

d. Pagar luar dan pagar dalam

Penyelesaian

a. Jangkauan antarkuartil

• Q 1 = Datum ke

= Datum ke

4 = Datum ke 2 , 25

Q 1 = 6 + ( 2 , 25 − 2 )( 7 − 6 )

Q 1 = 6 , 25

• Q 3 = datum ke

= datum ke

Q 3 = 12 + ( 6 , 75 − 6 )( 13 − 12 )

Q 3 = 12 , 75 Sehingga jangkauan antarkuartil

b. Simpangan kuartil

c. Langkah

d. Pagar

• Pagar luar = Q 1 − L = 6 , 25 − 9 , 75 = − 3 , 5

• Pagar dalam = Q 3 + L = 12 , 75 + 9 , 75 = 22 , 5

Data Kelompok

1. Jangkauan

Jangkauan = J = Nilai tengah kelas terakhir – nilai tengah kelas pertama

2. Simpangan rata-rata

f i x i − x SR = i = 1

Dengan : n = ukuran data x i = nilai tengah kelas ke i

f i = Frekuensi kelas ke i x = rata-rata

3. Ragam

4. Simpangan Baku

Contoh Soal

Perhatikan data tinggi badan berikut : Nilai

Frekuensi 141 – 147

Dari data di atas tentukan :

a. Jangkauan

b. simpangan rata-rata

c. Ragam

d. Simpangan baku

Penyelesaian Titik

2 Frekuensi 2 f

x .f x − x (

Nilai Tengah

f i 8250

a. Jangkauan J = 186 – 144 = 42

b. Simpangan rata-rata

f i x i − x SR = i = 1

n 448

S 2 = i = 1 n 5978

d. Simpangan baku S = 119 , 56

Rataan Kuartil

Rataan kuartil (R K ) dirumuskan

Rataan tiga kuartil (trirata)

Rataan tiga kuartil (R t ) dirumuskan

Angka Baku

• Nilai standar atau angka baku (z-score) adalah suatu bilangan yang menunjukkan posisi suatu data terhadap rata-rata di dalam kelompoknya. • Angka baku digunakan untuk membandingkan posisi dua buah data atau lebih di dalam kelompoknya masing-masing. • Angka baku dilambangkan dengan z-score yang dirumuskan sebagai berikut :

Contoh

Nilai ujian matematika Delon adalah 85, rata-rata nilai matematika di kelasnya adalah 76 dan simpangan baku 9. Sedangkan nilai ujian pelajaran Fisika adalah 90 dengan rata-rata kelas 80 dan simpangan bakunya 15. Dalam pelajaran manakah pelajaran Delon lebih baik?

Penyelesaian

Untuk pelajaran matematika : x = 85, x = 76 dan S = 9 dan Untuk pelajaran Fisika : x = 90, x = 80 dan S = 15

• Untuk nilai matematika

85 − 76 z m =

• Untuk nilai Fisika

Jadi kedudukan nilai matematika Delon lebih baik dari pada nilai Fisika-nya.

Koefisien Variasi

Koefisien variasi adalah suatu bilangan yang menyatakan tingkat keragaman (variasi) data dalam suatu kelompok. • Jika koefisien variasi dari kelompok data semakin kecil menunjukkan data-data tersebut

homogen • Jika koefisien variasi dari kelompok data semakin besar menunjukkan data-data tersebut semakin beragam (heterogen)

• Koefisien variasi dari kelompok data dirumuskan sebagai berikut : S

KV = × 100 % x

Contoh

Dari hasil tes matematika di suatu kelas diketahui bahwa : Pada sub kompetensi geometri : rata-ratanya 76 dengan simpangan baku 9 dan pada sub kompetensi statistika : rata-ratanya 80 dengan simpangan baku 15, maka pada sub kompetensi manakah yang bernilai lebih beragam?

Penyelesaian • Untuk geometri

• Untuk statistika S

Jadi, nilai statistika lebih bervariasi dibandingan dengan geometri.

Ukuran Kemiringan

Ukuran kemiringan disebut juga kecondongan. Ukuran kemiringan suatu distribusi frekuensi dapat menunjukkan apakah penyebaran data terhadap nilai rata-rata hitungnya bersifat simetris atau tidak. Ada 3 macam bentuk kurva berdasarkan kemiringannya :

1. Simetris yaitu nilai-nilai data tersebar secara merata di sebelah kiri dan sebelah kanan dari nilai rata-ratanya.

a) Bentuk simetris tidak mempunyai ukuran kemiringan atau ukuran kemiringannya sama dengan 0

b) Nilai mean = median = modus

2. Positif dengan kurva condong ke kanan

a) Ukuran kemiringannya bernilai positif

b) Modus < median < mean

3. Negatif dengan kurva condong ke kiri

a) Ukuran kemiringannya bernilai negatif

b) Modus > median > mean

Koefisien Kemiringan Koefisien kemiringan selalu brnilai antara -1 dan 1. Kemiringan distribusi frekuensi dapat kita tentukan dengan menghitung nilai koefisien kemiringannya.

a. Koefisien kemiringan pertama dari Karl Pearson (KP 1 )

x − Mo KP 1 =

b. Koefisien kemiringan kedua dari Karl Pearson (KP 2 )

3 ( x − Mo )

KP 2 =

c. Koefisien kemiringan dari Al Bawley (KB) Q − 2 Q + Q

KB = 3 2 1

d. Koefisien kemiringan dari Kelly (KY) P 90 − 2 P 10 + Q 10

Kuartil dari sekelompok data yaitu : Q 1 ,Q 2 ,Q 3 berturut-turut adalah 30, 42, dan 50. Tentukan koefisien kemiringan kurva

Penyelesaian Q − 2 Q + Q

KB = 3 2 1 Q 3 − Q 1

Karena KB = - 0,2 < 0 maka kurva condong ke kiri (kemiringan negatif)

Ukuran Keruncingan

Ukuran keruncingan adalah suatu ukuran yang digunakan untuk menentukan runcing atau tidaknya suatu kurva distribusi frekuensi sehingga dapat diketahui apakah kumpulan data terkonsentrasi di sekitar mean atau menyebar. Ada tiga bentuk kurva distribusi frekuensi yaitu

1. Pliatikurtis yaitu kurva yang bentuknya agak mendatar atau lebih tumpul. Kurva ini menunjukkan nilai data-datanya lebih menyebar

2. Mesokurtis yaitu kurva dengan keruncingan sedang dan simetris sehingga dianggap menggambarkan distribusi normal

3. Leptokurtis yaitu kurva yang bentuknya sangat runcing. Kurva ini menunjukkan nilai data-datanya terpusat atau terkonsentrasi di sekitar nilai rata-ratanya. Ukuran keruncingan disebut dengan koefisien kurtosis yaitu dengan rumus :

P 90 − P 10 P 90 − P 10

F. TUGAS

1. Diketahui data sebagai berikut :

155 172 186 162 168 196 153 160 201 185 175 168 180 194 186 163 170 210 Tentukan :

a. Jangkauan

b. Kuartil bawah, kuartil tengah dan kartil atas

c. Hamparan

d. Simpangan kuartil

2. Diketahui data sebagai berikut :

Nilai Frekuensi

Dari data di atas tentrukanlah, Kuartil bawah, kuartil tengah dan kartil atas, hamparan serta Simpangan kuartil

3. Tentukan D 9 ,D 1 , dan jangkauan desil dari data berikut ini :

4. Tentukan desil ke 3 dari data berikut ini :

5. Tentukan P 10 ,P 50 dan P 90 dari data berikut ini :

6. Tentukan jangkauan persentil dari data berikut ini : Nilai

7. Berat badan Arif 85 kg. Jika berat rata-rata seluruh siswa dalam kelas 79 kg dan simpangan bakunya 0,05, maka berapakah angka baku untuk berat badan arif?

8. Mean dari sekelompok data adalah 75. Jika sebuah data yang besarnya 72 mempunyai angka baku -0,25, tentukan simpangan bakunya?

9. Diketahui data berikut ini :

Data A : 16 35 48 57 66 70 79 Data B : 42 45 50 53 58 63 67 Data C : 13 40 54 60 65 75 78

Tentukan nilai koefisien variasi ketiga data, dan data manakah yang paling seragam?

10. Distribusi frekuensi dari nilai ulangan matematika kelas 3 mempunyai rata-rata = 75, modus = 67 dan simpangan standar = 12,5. Tentukanlah koefisien kemiringan kurva tersebut.

11. Tentukanlah simpangan rata-rata, ragam, simpangan baku, dan koefisien variasi dari data berikut ini : 6 4 8 2 10

12. Tentukanlah simpangan kuartil, jangkauan desil dan P 30 dari data berikut

13. Diketahui tabel berikut ini : Nilai

Frekuensi

b. Simpangan kuartil

c. Jangkauan persentil

14. Rata-rata tinggi badan siswa pria di kelas XI A adalah 163 cm dengan simpangan baku

6. Jika angka baku untuk tinggi Erwin adalah -0,5 maka tentukanlah tinggi badan Erwin.

15. Berikut adalah data berat badan 100 orang karyawan pabrik konveksi ” MAJU ” :

Berat badan (kg) Frekuensi

Tentukanlah koefisien kemiringan dengan rumus kedua Karl Pearson (KP2)

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR

Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.

Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI. Klaten : Intan Pariwara..

Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga