Matematika Teknik 2 – Bab 1 – Sistem Bilangan Kompleks

BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS Pokok Pembahasan : Def inisi Bilangan Imaj iner Bilangan Kompleks Operasi Arit mat ik

BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS

  1. 1. DEFINISI

  Bilangan kompleks adalah bilangan yang

  ►

  besaran (skalarnya) t idak t erukur secara menyeluruh.

  ► Bilangan kompleks t erdiri dari 2 komponen :

• • Komponen bilangan nyat a (riel) ; t erukur

• Komponen bilangan khayal (imaj iner) ; t ak t erukur

  ► Bilangan kompleks merupakan f asor( vekt or

  yang arahnya dit ent ukan oleh sudut f asa) Bilangan kompleks dapat diekspresikan dalam

  ►

  4 bent uk :

• Bent uk Rekt angular
• Bent uk Polar Bentuk Trigonimetri • Bentuk Eksponensial • Bentuk Hiperbolik • Bentuk Logaritma •

  1. 2. BILANGAN IMAJINER ► Bilangan bert anda posit ip di bawah t anda akar disebut bilangan irasional.

  √ √ √

  Cont oh : 3 , 5, 6, dst Bilangan (posit ip at au negat ip) bila

  ► dikuadrat kan hasilnya akan selalu posit ip.

  2

  2

  2 Cont oh : (3) = 9 ; (-4) = 16 ; (-5) = 25 dst .

  Bilangan bert anda negat if di bawah t anda

  ► akar disebut bilangan imj iner.

  Cont oh : √ (-6) ; √ (-9) ; √ (-12) ; √ (-16) dst

  ► Bilangan imaj iner √ √ √ √

  (-9) = [ (-1)] (9) = [ (-1)] 3

  √ (-5) = [ √ (-1)] √ (5) = [ √ (-1)] 2. 2361 √ √

  Bila (-1) = i at au (-1) = j

  √ √

  maka (-9) = = i3 at au (-9) = j 3

  ► i at au j disebut operator

  Z ¹ Z ² Z ³ Z ⁴ Gbr 1. Bidang Kompleks

  2 )

  δ ϕ

  α β

  1. 3. BILANGAN KOMPLEKS 1. 3. 1. Bentuk Rektangular

  4 ) . i = i

  5 = (i

  2 = 1 i

  2 = (-1)

  4 = (i

  ► Sehingga i

  2 . i = -i i

  2 ). i = [ √ (-1)]

  3 = (i

  (-1)] = -1 i

  √

  (-1)] . [

  √

  2 = [

• i
• r - r
• i

  ► Bent uk Umum

  Z = R + iX ( 1-1 ) R = Re(Z) = Komponen Bilangan Riel (Nyat a) X = Im(Z) = Komponen Bilangan Khayal

  (Imaj iner)

  ► Cont oh :

  1. Z = 3 + i4 ; Re(Z ) = 3 ; Im(Z ) = 4

  1

  1

  1

  2. Z = -3 + i4 ; Re(Z ) = -3 ; Im(Z ) = 4

  2

  2

  2

  3. Z = -4 – i3 ; Re(Z ) = -4 ; Im(Z ) = -3

  3

  3

  3

  4. Z = 4 – i4 ; Re(Z ) = 4 ; Im(Z ) = -4

  4

  4

  4 Harga besaran (skalar) Z :

  ►

  2

  2 Ž = | Z| = √ (R + X ) ( 1-2 ) Ž disebut harga mut lak (absolut ) at au disebut j uga modulus Z, dit ulis | Z| .

  ►

Sudut arah diukur terhadap sumbu X positif

dan disebut sebagai argumen Z.

  Arg Z = θ = Arc tan (X/R)

  ( 1-3 )

  = Arc sin (R/Z) = Arc cos (X/Z) Cont oh :

  1. Z = 3 + i4

  1

  2. Z = -3 + i4

  2

  3. Z = -4 – i3

  3

  4. Z = 4 – i4

  4

  1. 3. 2. Bentuk Polar ► Lihat persamaan-persamaan :

  ( 1-1 ) : Z = R + iX

  2

  2 ( 1-2 ) : Ž = | Z| = √ (R + X ) ( 1-3 ) :

  Arg Z = θ θ = Arc tan (X/R) θ = Arc sin (R/Z) θ = Arc cos (X/Z)

  ► Bentuk Umum Bilangan Kompleks dalam bentuk Polar :

  ∠ θ

  Z = Ž ( 1-4 )

• 4
• 4
• (-3)
• (-4)

  5 = -i4 ; Ž

  Z

  o = 270 o

  θ = Arc t an (-7/ 0) = -90

  2 ) = 7

  (-7

  √

  5 =

  5. Z

  Z

  315 o

  ∠

  4 = 5

  o ; Z

  ∠

  4 = 5

  Z

  o = 315 o

  5 = 7 ∠ -90 o ;

  5 = 7 ∠ 270 o

  2 )= 5.66

  ► Catatan

  ; i n

  = 0 o

  4 = 1 = 360 o

  3 = 270 = -90 o i

  ; i

  = -90 o

  2 = 180 o

  : i = 90 o ; i

  6 = 9 ∠ o

  6. Z

  Z

  = Arc t an (0/ 9) = 0 o

  θ

  2 ) = 9

  (9

  √

  6 =

  6 = 9 ; Ž

  ϕ = Arc t an (4/ -4) = -45

  2

  = n x 90 o

  o Z

  [ (-3)

  √

  2 =

  2 = -3 + i4 ; Ž

  2. Z

  53.13 o

  1 = 5 ∠

  α = Arc t an (4/ 3) = 53.13

  2 ] = 5

  2 ) = 5

  2

  (3

  √

  1 =

  1 = 3 + i4 ; Ž

  1. Z

  ► Cont oh :

  2

  β

  4 = √ (4

  2 ] = 5

  4 = 4 - i4 ; Ž

  4. Z

  216.87 o

  ∠

  3 = 5

  Z

  = Arc t an (-3/ -4) = 216.87 o

  δ

  2

  = Arc t an (4/ -3) = -53.13 o

  3 = √ [ (-4)

  3 = -4 - i3 ; Ž

  3. Z

  2 = 5 ∠ 126. 87 o

  Z

  2 = 5 ∠ -53. 13 o ;

  Z

  = 126.87 o

• 45

  1. 3. 3. Bentuk Trigonometri

• + iX

  P(R,iX)

  Z

• R + R

  α

• - iX

  Gbr 2. Bidang compels ut k bent uk t rigonomet ri

  Bila Z = R + iX (lihat pers 1-1), maka : R = ž cos α dan X = ž sin α

  Sehingga : Z = ž cos α + i ž sin α Z = Ž ( cos θ + i sin θ ) ( 1-5 )

  ► Cont oh o

  α

  1. Z = 3 + i4 ; Ž = 5 ;

  = 53.13

  1

  1

  o ∠

  Z = 5

  53.13

  1

  o o

  5 ( cos sin

  Z = 53.13 + i 53.13 )

  1 o o

  β

  2. Z = -3 + i4 ; Ž = 5 ; = -53. 13 = 126.87

  2

  2 o ; o Z = 5 ∠ -53. 13 Z = 5 ∠ 126.87

  2

  2 o o Z = 5 ( cos -53.13 + i sin -53. 13 )

  2 _{o o}

  Z = 5 ( cos 128. 87 + i sin 128. 87 ) _{2 o}

  3. Z = -4 - i3 ; Ž = 5 ; δ = 216. 87

  3

  3 _o Z = 5 ∠ 216. 87

  3 _{o o}

  Z = 5 ( cos 216. 87 + i sin 216. 87 )

  3 _{o o}

  4. Z = 4 - i4 ; Ž = 5.66 ; ϕ = -45 = 315

  4 _o

  4 Z = 5. 66 ∠ -45

  4 _{o o}

  Z = 5. 66 ( cos -45 - i sin -45 )

  4

  1. 3. 4. Bentuk Eksponensial

  Bent uk f ungsi eksponensial sej at i : x 1 x

  (e ) = e (x1+x2) x1 x2 e = e .e

  (x + i R) x iR dan bila e = e .e Menurut Deret MacLaurin : _{2 3 x} x x e

  1 x ......... = + + + +

  ( 1-6 )

  2 ! 3 !

  bila Z = R + iX dapat dit uliskan dalam bent uk : Z R e = e ( cos X + i sin X ) ( 1-7 )

• Didef inisikan sebagai f ungsi posit if

  Menurut Rumus Euler (perhat ikan pers. 1-7) : iX e = cos x + i sin x ( 1-8 )

• Didef inisikan sebagai f ungsi imaj iner

  Sehingga bent uk bilangan kompleks : Z = R + i X = Ž ( cos θ + i sin θ ) i

  θ

  Z = Ž e ( 1-9 )

  iX

  2

  2 Karena | e | = √(cos X + sin X) = 1 Cont oh

  ► o

  α

  1. Z = 3 + i4 ; Ž = 5 ;

  1 1 = 53.13

  o ∠

  Z = 5

  53.13

  1

  o o

  5 ( cos sin

  Z = 53.13 + i 53.13 )

  1 i

  53.13o

  Z = 5 e

  1

  o β

  2. Z = -3 + i4 ; Ž = 5 ;

  = -53.13

  2

  2

  o

  Z = 5 ∠

• 53.13

  2

  o o

  Z = [5 ( cos + i sin 2 -53.13 -53.13 )] i

• 53.13o

  Z = 5 e ₂

  3. Z = -4 - i3 ; Ž = 5 ;

  3

  3

  o ; o δ

  δ

= 36.87 (kuadran 3) =216.87

o

  ∠

  Z = 5 3 216.87

  o o Z = 5 ( cos sin ₃ 216.87 + i 216.87 )

  i

  216.87o Z = 5 e ₃ o o

  ϕ

  4. Z = 4 - i4 ; Ž = 5.66 ;

  4 4 = -45 = 315

  o o

  ∠ ∠

  Z = 5 ; Z = 5

• 45 315

  4

  4

  o o Z = 5 ( cos 31 + i sin 31 ₄

  5

  5

  i 31

  5o Z = 5 e ₄

  1. 3. 5. Fungsi Hiperbolik

  i θ

  θ θ

  Bila e = cos + i sin dan e-i θ = cos θ - i sin θ maka didapat kan :

  1 θ − θ

• co s θ = (e e ) ^{i i}

  2

  ( 1-10 )

  1 _{i i} θ − θ sin θ = (e − e )

  dan

  2i

  Sedangkan secara kalkulus:

  sin co s θ θ tan θ = co t θ = co s sin

  θ θ

  1

  1 sec θ = csc θ = co s sin θ θ co s - θ = co s θ sin - sin

  θ = − θ co t - co s tan - tan θ = − θ θ = − θ cos( 2n ) cos sin( 2n ) sin

  θ ± π = θ θ ± π = θ tan ( n ) tan co t( n ) co t θ ± π = θ θ ± π = θ n = 0, 1, 2, 3. . . . . . . . .

• cos (Z + Z ) = cos Z cosZ sinZ sinZ

  1

  2

  1

  2

  1

  2 sin (Z + Z ) = sin Z cosZ + cos Z sin Z

  1

  2

  1

  2

  1

  2 iZ Menurut Euler : e = cos Z + i sin Z Sehingga didapat kan : cos (R + iX) = cos R cos iX – sin R sin iX sin (R + iX) = sin R cos iX – cos R sin iX

  Sedangkan menurut def inisi hiperbolikus :

  1 − θ θ

• co s i θ = (e e ) = co sh θ

  2

  1 − θ θ sin i θ = (e − e ) = i sin h θ 2i

  Sehingga diperoleh bent uk hiperbolikus bilangan kompleks : cos (R + iX) = cos R cosh X – i sin R sinh X

  ( 1-11 ) sin (R + iX) = sin R cosh X + I cos R sinh X Bent uk Umum f ungsi hiperbolikus bilangan kompleks adalah : cosh Z = cos (iZ) ; sinh Z = -i sin(iZ) ( 1-12 )

  c o s h θ sinh Z c o th

  θ =

  ; ( 1-13 )

  tanh Z = s in h θ cosh Z

  1

  1

  s e c h Z =

  ; ( 1-14 ) c o s h Z sinh Z

  

csch Z

=

  1. 3. 6. Bentuk Logaritma

  Bila Z = R + iX dilogarit makan biasa diubah menj adi ln Z at au log Z.

  Logarit ma merupakan inverse dari

  ►

  bent uk eksponensial

  ► Bila didef inisikan w = ln Z , maka :

  w e = Z ( 1-15 )

  ≠

  dengan Z i θ Misalkan dit ent ukan w = u + i v dan Z = | Z| e maka : w (u+iv) u iv i θ e = e = e e = Z e u iv e e = memiliki harga absolut e bila v adalah iv real, sedangkan | e | = 1, sehingga : u e = | Z| at au u = ln | Z|

  θ

  dan v = = arg Z Karena it u ln Z = ln | Z| + i arg Z = ln √ (R2+X2) + i arg(R+iX)

  ( 1-16)

  π

  Bila Z merupakan perkalian 2 , maka :

  π π

  < arg Z < Disebut nilai prinsipal ( principal val ue ).

  Maka nilai ln Z dalam bent uk lain adalah :

• Unt uk nilai Z real posit if :

  ln z = Ln Z + 2n π

  I n = 1, 2, 3. . . . . . . . . . . . . . . . ( 1-17 )

• Unt uk nilai Z real negat if :

  Ln z = ln | Z| + π i

  1. 4. OPERASI ARITMATIK 1. 4. 1. Penj umlahan/ Pengurangan

  Bent uk Umum

  ► Σ Z = Σ Re(Z ) + i. Σ Im(Z ) ( 1-18 )

  i i i

  ► Bila Z = a + ib ; Z = m + in dan Z = X + Y

  1

  2 maka Z = Z + Z = ( a + ib ) + (m + in)

  1

  2 = ( a + m ) + i( b + n )

  Cont oh

  ►

  1. Z + Z bila Z = 4 + i6 ; Z = -8 – i3

  1

  2

  1

  2 Jawab : Z = Z + Z = (4 + i6)+(-8 –i3) = (4-8) + i(6-3)

  3

  1

  2

  o o ∠ ∠

  = -4 + i3 = 5

  5

  143.13 = -36.87

  o o = 5 ( cos 143.13 + i sin 143.13 ) = 5 [ cos (-36.87 } + i sin(-36.87 )] i143. 13o i-36. 87o

  = 5 e = 5 e Cara lain

  Z = 4 + i6

  1 Z = -8 – i3

  2 ___________________ +

  Z = Z + Z = -4 + i3

  3

  1

  2 i38. 66o

  2. Hit ung Z + Z , bila Z = 6. 403e dan

  1

  2

  1 i-63. 43o Z = 6. 708e

  2 Jawab : i38. 66o o Z = 6. 403e = 6. 403 ∠ 38. 66

  1 o o Z = 6. 403 ( cos 38. 66 + i sin 38. 66 )

  1 Z = 5 + i4

  1 i-63.43o

  o

  Z = 6. 708 e = 6.708 ∠

  2

• 63.43

  o o Z = 6. 708 ( cos -63. 43 + i sin -63.43 )

  2 Z = 3 – i6

  2 Z + Z = (5+3) + i(4-6) = 8 – i2

  1

  2 Catatan Operasi penj umlahan/ pengurangan bilangan kompleks lebih mudah bila persamaan dalam bent uk rektangular.

  1. 4. 2. Perkalian

  A. Perkalian Bentuk Rektangular

  X = a + ib Y = p + iq

  X.Y = (a+ib)(p+iq) = ap + iaq + ibp - bq

  X.Y = (ap–bq)+ i(aq+bp)

  B. Perkalian Bentuk Polar ∧

  ∧

  X =

  X ∠ β ∠ ϕ Y

  ; Y =

_∧

∧

  X Y

X.Y = ( . ) ∠ ( β + ϕ)

C. Perkalian Bentuk Eksponensial

  _∧ ∧

  i β i ϕ

  X Y

  X = e ; Y = e

  ∧ ∧

  i( + )

  β ϕ

  X Y

  X.Y = ( ) e

D. Perkalian Bentuk Trigonometri

  _∧

  X = (cos

  X β + i sin β _∧ ) Y

  Y = (cos ϕ + i sin ϕ

  ) _∧ ∧

  X Y

  (cos β + i sin β (cos ϕ + i sin ϕ

  X.Y =[ )] [ )] Contoh

  1. Hit ung Z x Z

  1

  2 bila Z = 5 + i4 ; Z = 3 – i6

  1

  2 Jawab Z x Z = (5 + i4)(3 – i6)

  1

  2 = ( 5.3 + 3. i4 – 5. i6 + i4 . -i6 )

  = (15 + 24) + i(12-30) = 39 – i18

  2. Hit ung Z x Z , bila

  1

  2 o o Z = 6. 403 ( cos 38. 66 + i sin 38.66 )

  1 o o Z = 6.708 ( cos -63.43 + i sin -63.43 )

  2 Jawab : i38. 66o o

  ∠

  Z = 6. 403e = 6. 403 38. 66

  1 i-63. 43o

  o

  Z = 6. 708 e = 6. 708 ∠

  2

• 63.43
• i sin 24. 78

  o )

• 63.43

  2 )

  2

  = [ (a+ib)(p-iq)] / [ (p+iq)(p-iq)] = [(a+ib)(p-iq)]/ (p

  X = a + ib Y = p + iq X/ Y = (a+ib)/ (p+iq) X/ Y = [ (a+ib)/ (p+iq] [ (p-iq)/ (p-iq)]

  1. 4. 3. Pembagian

  Operasi perkalian lebih mudah dilakukan dalam bent uk polar at au eksponensial.

  Catatan :

  ) = 39 – i18

  o

  o

  = 42. 953 (cos

  o

  = 42. 953 ∠

  2 = (6. 403)(6. 708) ∠ (38. 66 o

  1 x Z

  Z

  = -24.78 o

  2 = 39 – i18 ; θ

  1 x Z

  ) Z

  o

  o

  = (6. 403 x 6. 708) e ^{i(38. 66-63. 43)} = 42. 953 e ^{i(-24. 78)} at au = 42. 953 (cos -24. 78

  2 = 6. 403e ^{i38. 66o} 6. 708 e ^{i-63. 43o}

  1 x Z

  Z

• 24.78
• i sin
• 24.78
• 24.78

A. Pembagian Bentuk Rektangular

• q

  2

  2 X/ Y= [(ap–bq)+i(bp-aq)]/ (p +q )

B. Pembagian Bentuk Polar dan Eksponensial

  Z = Ž ∠ β dan Z = Ž ∠ ϕ

  1

  1

  2

  2

  ∠ β ϕ

• Z / Z = (Ž / Ž ) ( )

  1

  2

  1

  2 i β i ϕ

  Z = Ž e dan Z = Ž e

  1

  1

  2

  2 i( β

• ϕ)

  Z / Z = (Ž / Ž ) e

  1

  2

  1

2 Contoh

  1. Hit ung Z / Z bila Z = 5 + i4 ; Z = 3 – i6

  1

  2

  1

  2 Jawab : Z / Z = (5+i4)/ (3-i6)

  1

  2 = [ (5+i4)/ (3-i6)] [ (3+i6)/ (3+i6)]

  2

  2 = [ (5+i4)(3+i6)] / (3 +6 ) = [ (15-24)+i(12+24)] / (9+36) = -0. 2 + i0. 933

  2. Hit ung Z / Z bila

  1

  2 o Polar Z = 6. 403 ∠ 38,66 dan

  1 o Z = 6. 708 ∠ -63.43

  2 _{i 38, 66o} Eksponensial Z = 6. 403 e

  1 _{i -63. 43o} Z = 6. 708 e

  2 Jawab : o o

  Z / Z = (6. 403/ 6. 708) ∠ [38,66 -(-63.43 )]

  1

  2 o Z / Z = (0.955) ∠ 102.10

  1

  2 _{i[ 38, 66o- (-63. 43o)]} Z / Z = (6. 403/ 6. 708)e

  1

  2 _{i 102. 10o} Z / Z = (0.955) e

  1

  2 Catatan : Operasi pembagian lebih mudah bila dilakukan dalam bent uk polar at au eksponensial.

  1. 4. 4. Sifat Utama Dalam Operasi Aritmatik

  1. Komutatif

  Z + Z = Z + Z

  1

  2

  2

  1 Z .Z = Z .Z

  1

  2

  2

  1

  2. Asosiatif

  (Z + Z ) + Z = Z + (Z + Z )

  1

  2

  3

  1

  2

  3 (Z . Z ) Z = Z ( Z . Z )

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  3. Distributif

  Z (Z + Z ) = Z Z + Z Z

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  3 0 + Z = Z + 0 = Z Z+(-Z) = (-Z) + Z = 0 Z.1 = Z

  1. 5. KONJUGASI 1. 5. 1. Pengertian Dasar

  Konj ugasi adalah bayangan cermin bilangan

  ► nyat a (riel) dalam sist em bilanganh kompleks.

  ► Tanda pada komponen imaj iner berubah (berlawanan).

  Konj ugasi dit uliskan dengan t anda “ * “

  ►

  Cara Penulisan

  Bent uk Konj ugasi

  1. Rekt anguler Z = R + iX Z* = R – iX

  2. Polar

  ∠ β ∠ β

  Z = Ž Z* = Ž -

  3. Trigonomet ri

  β β β β

  Z = Ž(cos + i sin ) Z* = Ž(cos -isin )

  4. Eksponensial i β

• i β

  Z = Ž e Z* = Ž e

  1. 5. 2. Sifat-sifat Utama Konj ugasi ► ( Z* )* = Z

• (Z + Z )* = Z * + Z

  ►

  1

  2

  1

  2 )* * ► (Z .Z = Z * . Z

  1

  2

  1

  2

• (Z / Z )* = Z * / Z

  ►

  1

  2

  1

  2

SOAL-SOAL LATIHAN

  4

  4 1. (R + iX) + ( R-iX )

  5

  4 2. (1-i √ 3) + ((-3 + i3) o o o o

  3. 5(cos 12 + i sin12 ) + 4(cos 78 + i sin 78 ) o o o o

  4. 12(cos 138 + i sin 138 ) - 6(cos 93 + i sin 93 ) o o o o

  5. 3(cos 38 + i sin 38 ) x 4(cos 82 - i sin 82 ) o o o o

  6. 4(cos 69 – i sin 69 ) x 5(cos 35 + i sin35 ) o o o o

  7. 12(cos 138 + i sin 138 )/ 4(cos 69 – i sin 69 ) o o o o

  8. 6(cos 93 - i sin 93 )/ 3(cos 38 + i sin 38 )

  3

  9. Bila Z =12(cos 125 + i sin 125) ; Z = (3 – i √ 5)

  1

  2 Hit ung :

  2

  a. Z * + Z Z * , b. 2Z * x Z * , c. Z * x (Z *)

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  10. Soal sama dengan No. 9, t et api Hit ung :

  2

  a. Z

• / Z * , b. 2Z * / Z * , c. (Z *) / 2Z

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  11.Carilah solusi kompleks dari f ungsi-f ungsi berikut : a. cos z = 5, b. sin Z = 1000, c. cosh Z = 0

  d. sinh Z = 0, e. cosh Z = 0.5, f . sin Z = i sinh 1