Solusi Analitik Persamaan Kolmogorov Petrovsky Piskunov dengan Metode Analisis Homotopi (Homothopy Analysis Method)
SOLUSI ANALITIK PERSAMAAN KOLMOGOROV PETROVSKY
PISKUNOV DENGAN METODE ANALISIS HOMOTOPI (HOMOTHOPY
ANALYSIS METHOD)
(Skripsi)
Oleh
DWI OKTA ARIANTI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2015
ABSTRAK
SOLUSI ANALITIK PERSAMAAN KOLMOGOROV PETROVSKY
PISKUNOV DENGAN METODE ANALISIS HOMOTOPI (HOMOTHOPY
ANALYSIS METHOD)
Oleh
Dwi Okta Arianti
Di dalam matematika, banyak dijumpai kesulitan dalam penyelesaian masalah
taklinear terutama secara analitik. Saat ini kebanyakan teknik adalah secara
numerik untuk menyelesaikan masalah taklinear.
Penelitian ini bertujuan untuk memperkenalkan sebuah metode analitik baru yang
cukup populer di kalangan ilmuwan yaitu Homothopy Analysis Method (HAM)
dan menerapkannya pada persamaan tak linear yaitu persamaan Kolmogorov
Petrovsky Piskunov serta memperlihatkan apakah solusi ini dapat mendekati
solusi eksak pada persamaan tersebut. Metode homotopi ini memiliki keunggulan
yakni tetap valid walaupun masalah taklinear tidak mengandung parameter dan
metode ini juga mampu menjamin kekonvergenan dari aproksimasi daerah
penyelesaiannya. Dari beberapa tahap yang telah dikerjakan penulis, diperoleh
kesimpulan bahwa solusi dari metode HAM akan konvergen dan sama dengan
solusi eksak jika
Kata kunci : HAM, Persamaan Kolmogorov Petrovsky Piskunov, Parameter
Kontrol Kekonvergenan
DAFTAR ISI
Halaman
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ................................................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ............................................................................... 2
1.3 Manfaat Penelitian ............................................................................. 2
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Persamaan Diferensial........................................................................ 4
Gambaran Dasar HAM ...................................................................... 4
Persamaan Kolmogorov Petrovsky Piskunov ................................... 5
GambaranTentang Homotopi ............................................................. 7
Parameter Kontrol Kekonvergenan ..................................................10
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat ........................................................................... 11
3.2 Metode Penelitian ............................................................................ 11
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan.......................................................................................19
5.2 Saran .................................................................................................19
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
\KATA INSPIRASI
ﺠﺪﱠ ﻮ ﺠﺪ
“Man jadda wajada”
(Barang siapa yang bersungguh-sungguh maka dia akan dapat)
ﻜ ﺷﱠﱠﺠﺮ ﺒﻼ ﺜ ﺮ
ﺍ ﻢ ﺒﻼ
“Al ilmu bila amalin kassajarin bila samarin”
(Ilmu yang tidak diamalkan bagaikan pohon tak berbuah)
Keyakinan yang paling indah adalah tekad dan niat yang sungguh-sungguh .
(Dwi Okta Arianti)
Seorang wanita yang cakap dalam berbagai hal terkenal sebagai matematikawan, ahli bahasa,
ahli filsafat, dan suka berjalan dalam keadaan tidur.
(Howard Eves)
Saya berjalan dengan lambat tetapi saya tidak pernah berjalan mundur.
(Abraham Lincoln)
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap Alhamdulillah serta puji dan syukur atas berkat dan
rahmat Allah SWT Kupersembahkan karya kecilku ini untuk :
Ayah, Ibu, Kakak dan adik-adikku serta keluarga dan orang-orang
terdekatku yang menjadi penyemangat hidupku, yang selalu tiada henti
mendoakanku, Dwisayang kalian.
Dosen pembimbing dan penguji yang sangat berjasa membantu dan
membimbing saya sehingga saya bias menyelesaikan skripsi ini, seluruh
sahabat-sahabatku, dan AlmamaterkuUniversitas Lampung.TerimaKasih
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Mutar Alam, Kecamatan Way Tenong, Lampung Barat pada
tanggal 28 Oktober 1993, sebagai anak kedua dari empat bersaudara dari Bapak
Juniardi dan Ibu Yusliana.
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SD Negeri Tanjung Raya, Way
Tenong pada tahun 2005, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri Fajar Bulan
pada tahun 2008, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Way Tenong pada
tahun 2011.
Pada saat menjadi siswa, penulis banyak mengikuti berbagai perlombaan
diantaranya olimpiade matematika tingkat Kabupaten dan Provinsi, Juara III
Lomba Cepat Tepat tingkat kabupaten dan Provinsi, Juara II Lomba tilawatil
Quran tingkat Kabupaten, Juara II MC Bahasa Inggris tingkat Provinsi dan
Nasional, Juara I Lomba Pidato Bahasa Inggris, Lomba Karya Ilmiah Remaja
tingkat Kabupaten dan Provinsi, Lomba menulis cerpen tingkat Provinsi dan lainlain.
Tahun 2011 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, FMIPA UNILA melalui SNMPTN Undangan. Selama
menjadi mahasiswa, penulis pernah bergabung di Lembaga Dakwah Kampus
yaitu Rohani Islam (ROIS) dan diamanahkan sebagai sekretaris biro serta
bergabung
di
Himpunan
Mahasiswa
Matematika
(HIMATIKA)
yang
diamanahkan sebagai anggota bidang keilmuan periode 2012-2013. Pada bulan
Januari 2014 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Badan Perencanaan
Pembangunan Daerah (BAPPEDA) Provinsi Lampung. Pada bulan
Agustus
tahun 2014 penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Tanjung
Harapan, Kecamatan Marga Tiga, Kabupaten Lampung Timur.
1
1. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang dan Masalah
Dalam bidang ilmu matematika seringkali ditemukan berbagai macam
persoalan dalam penyelesaian sebuah persamaan matematika. Banyak
masalah matematika yang dapat disajikan dalam bentuk model matematika.
Ada dua metode yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan persamaanpersamaan di dalam matematika yaitu metode numerik dan analitik. Saat ini
banyak teknik analitik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan
didalam matematika yang salah satunya adalah persamaan taklinear, kurang
memuaskan karena penyelesaiannya tidak dapat memberikan jaminaan
kekonvergenan
dari
aproksimasi
daerah
penyelesaiannya.
Sehingga
tampaknya perlu untuk memperkenalkan sebuah teknik analisis baru yaitu
metode
analisis homotopi.
Metode Analisis Homotopi adalah suatu pendekatan analitik secara umum
yang digunakan untuk mendapatkan solusi dari beberapa permasalahan
diantaranya persamaan linear dan taklinear, persamaan aljabar, persamaan
2
diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Metode Analisis
Homotopi adalah metode yang bebas , artinya tidak memperhatikan kecil atau
besar suatu parameter, dengan begitu tidak berlaku suatu masalah taklinear
tersebut mengandung parameter kecil atau besar. Metode Analisis Homotopi
memberikan
cara sederhana
untuk
memastikan kekonvergenan
dari
aproksimasi daerah penyelesaiannya. Oleh karena itu metode analisis
homotopi
bahkan
berlaku
untuk
permasalahan
taklinear.
Berdasarkan latar belakang dan beberapa keunggulan metode analisis
homotopi, penulis mencoba menerapkan metode analisis homotopi pada
persamaan kolmogorov petrovsky piskunov.
1.2
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menyelesaikan persamaan KPP (Kolmogorov
Petrovsky Piskunov) dengan metode HAM (homothopy analisis Method).
1.3
Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini adalah sebagai berikut:
a. Mengetahui apakah solusi analitik dapat didekati dengan solusi eksak.
b. Menambah pengetahuan tentang Metode Analisis Homotopi
3
c. Menambah pengetahuan tentang persamaan Kolmogorov Petrovsky
Piskunov
d. Menerapkan Metode Analisis Homotopi pada persamaan Kolmogorov
Petrovsky Piskunov
e. Dapat menerapkan Metode Analisis Homotopi untuk kasus lain.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Persamaan Diferensial (Bronson dan Costa, 2007)
Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan
terhadap satu atau lebih dari variabel-variabel bebas (independent
variables) Berdasarkan jumlah variabel bebasnya persamaan differensial
dibagi dalam dua kelas, yaitu persamaan differensial biasa (PDB) dan
persamaan differensial parsial (PDP). Jika turunan fungsi itu hanya
tergantung pada satu variabel bebas, maka disebut persamaan differensial
biasa (ordinary differential equation). Bila tergantung pada lebih dari satu
variabel bebas disebut persamaan differensial parsial.
2.2
Gambaran Dasar Metode Analisis Homotopi (HAM) (Gupta dan
Summit, 2011)
Metode Analisis Homotopi (HAM) adalah suatu pendekatan analitik
secara umum yang digunakan untuk mendapatkan solusi dari beberapa
permasalahan yaitu persamaan linear dan nonlinear, persamaan aljabar,
persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial.
5
Pada tahun 1992 Shijun Liao dalam disertasi Phd-nya dari Shanghai
Jiaotong University merancang pertama kali Metode Analisis Homotopi
(HAM) dan dimodifikasi lebih lanjut pada tahun 1997 untuk
memperkenalkan parameter tambahan tak nol atau disebut parameter
konvergensi-kontrol yang dilambangkan dengan
dengan membangun
homotopi pada sistem diferensial dalam bentuk umum.
untuk menunjukan gambaran dasar HAM dengan mengikuti persamaan
diferensial
N[u(x,t)]=0
(2.1)
dimana N adalah operator nonlinear, x dan t menunjukan variabel bebas
dan
adalah fungsi yang tidak diketahui. Untuk penyederhanaannya, kita
tidak perlu memperhatikan batas atau kondisi awal.
2.3
Persamaan Kolmogorov Petrovsky Piskunov (Boris dan Olga, 2005)
Kita ingat bahwa batas dimensi untuk persamaan kolmogorov petrovsky
piskunov klasik ( atau persamaan reaksi-difusi taklinear )
Ut = Uxx + f(u)
(2.2)
di mana terlihat pada konteks dengan model turunan atas penyebaran
sebuah populasi. Dalam prakteknya berlaku pada biologi dan model kimia.
Pada umumnya sesuatu memerlukan bentuk khusus untuk ketaklinearan :
f(0)=f(1)=0, f(u)>0 untuk 0
PISKUNOV DENGAN METODE ANALISIS HOMOTOPI (HOMOTHOPY
ANALYSIS METHOD)
(Skripsi)
Oleh
DWI OKTA ARIANTI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2015
ABSTRAK
SOLUSI ANALITIK PERSAMAAN KOLMOGOROV PETROVSKY
PISKUNOV DENGAN METODE ANALISIS HOMOTOPI (HOMOTHOPY
ANALYSIS METHOD)
Oleh
Dwi Okta Arianti
Di dalam matematika, banyak dijumpai kesulitan dalam penyelesaian masalah
taklinear terutama secara analitik. Saat ini kebanyakan teknik adalah secara
numerik untuk menyelesaikan masalah taklinear.
Penelitian ini bertujuan untuk memperkenalkan sebuah metode analitik baru yang
cukup populer di kalangan ilmuwan yaitu Homothopy Analysis Method (HAM)
dan menerapkannya pada persamaan tak linear yaitu persamaan Kolmogorov
Petrovsky Piskunov serta memperlihatkan apakah solusi ini dapat mendekati
solusi eksak pada persamaan tersebut. Metode homotopi ini memiliki keunggulan
yakni tetap valid walaupun masalah taklinear tidak mengandung parameter dan
metode ini juga mampu menjamin kekonvergenan dari aproksimasi daerah
penyelesaiannya. Dari beberapa tahap yang telah dikerjakan penulis, diperoleh
kesimpulan bahwa solusi dari metode HAM akan konvergen dan sama dengan
solusi eksak jika
Kata kunci : HAM, Persamaan Kolmogorov Petrovsky Piskunov, Parameter
Kontrol Kekonvergenan
DAFTAR ISI
Halaman
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ................................................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ............................................................................... 2
1.3 Manfaat Penelitian ............................................................................. 2
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Persamaan Diferensial........................................................................ 4
Gambaran Dasar HAM ...................................................................... 4
Persamaan Kolmogorov Petrovsky Piskunov ................................... 5
GambaranTentang Homotopi ............................................................. 7
Parameter Kontrol Kekonvergenan ..................................................10
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat ........................................................................... 11
3.2 Metode Penelitian ............................................................................ 11
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan.......................................................................................19
5.2 Saran .................................................................................................19
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
\KATA INSPIRASI
ﺠﺪﱠ ﻮ ﺠﺪ
“Man jadda wajada”
(Barang siapa yang bersungguh-sungguh maka dia akan dapat)
ﻜ ﺷﱠﱠﺠﺮ ﺒﻼ ﺜ ﺮ
ﺍ ﻢ ﺒﻼ
“Al ilmu bila amalin kassajarin bila samarin”
(Ilmu yang tidak diamalkan bagaikan pohon tak berbuah)
Keyakinan yang paling indah adalah tekad dan niat yang sungguh-sungguh .
(Dwi Okta Arianti)
Seorang wanita yang cakap dalam berbagai hal terkenal sebagai matematikawan, ahli bahasa,
ahli filsafat, dan suka berjalan dalam keadaan tidur.
(Howard Eves)
Saya berjalan dengan lambat tetapi saya tidak pernah berjalan mundur.
(Abraham Lincoln)
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap Alhamdulillah serta puji dan syukur atas berkat dan
rahmat Allah SWT Kupersembahkan karya kecilku ini untuk :
Ayah, Ibu, Kakak dan adik-adikku serta keluarga dan orang-orang
terdekatku yang menjadi penyemangat hidupku, yang selalu tiada henti
mendoakanku, Dwisayang kalian.
Dosen pembimbing dan penguji yang sangat berjasa membantu dan
membimbing saya sehingga saya bias menyelesaikan skripsi ini, seluruh
sahabat-sahabatku, dan AlmamaterkuUniversitas Lampung.TerimaKasih
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Mutar Alam, Kecamatan Way Tenong, Lampung Barat pada
tanggal 28 Oktober 1993, sebagai anak kedua dari empat bersaudara dari Bapak
Juniardi dan Ibu Yusliana.
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SD Negeri Tanjung Raya, Way
Tenong pada tahun 2005, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri Fajar Bulan
pada tahun 2008, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Way Tenong pada
tahun 2011.
Pada saat menjadi siswa, penulis banyak mengikuti berbagai perlombaan
diantaranya olimpiade matematika tingkat Kabupaten dan Provinsi, Juara III
Lomba Cepat Tepat tingkat kabupaten dan Provinsi, Juara II Lomba tilawatil
Quran tingkat Kabupaten, Juara II MC Bahasa Inggris tingkat Provinsi dan
Nasional, Juara I Lomba Pidato Bahasa Inggris, Lomba Karya Ilmiah Remaja
tingkat Kabupaten dan Provinsi, Lomba menulis cerpen tingkat Provinsi dan lainlain.
Tahun 2011 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, FMIPA UNILA melalui SNMPTN Undangan. Selama
menjadi mahasiswa, penulis pernah bergabung di Lembaga Dakwah Kampus
yaitu Rohani Islam (ROIS) dan diamanahkan sebagai sekretaris biro serta
bergabung
di
Himpunan
Mahasiswa
Matematika
(HIMATIKA)
yang
diamanahkan sebagai anggota bidang keilmuan periode 2012-2013. Pada bulan
Januari 2014 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Badan Perencanaan
Pembangunan Daerah (BAPPEDA) Provinsi Lampung. Pada bulan
Agustus
tahun 2014 penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Tanjung
Harapan, Kecamatan Marga Tiga, Kabupaten Lampung Timur.
1
1. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang dan Masalah
Dalam bidang ilmu matematika seringkali ditemukan berbagai macam
persoalan dalam penyelesaian sebuah persamaan matematika. Banyak
masalah matematika yang dapat disajikan dalam bentuk model matematika.
Ada dua metode yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan persamaanpersamaan di dalam matematika yaitu metode numerik dan analitik. Saat ini
banyak teknik analitik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan
didalam matematika yang salah satunya adalah persamaan taklinear, kurang
memuaskan karena penyelesaiannya tidak dapat memberikan jaminaan
kekonvergenan
dari
aproksimasi
daerah
penyelesaiannya.
Sehingga
tampaknya perlu untuk memperkenalkan sebuah teknik analisis baru yaitu
metode
analisis homotopi.
Metode Analisis Homotopi adalah suatu pendekatan analitik secara umum
yang digunakan untuk mendapatkan solusi dari beberapa permasalahan
diantaranya persamaan linear dan taklinear, persamaan aljabar, persamaan
2
diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Metode Analisis
Homotopi adalah metode yang bebas , artinya tidak memperhatikan kecil atau
besar suatu parameter, dengan begitu tidak berlaku suatu masalah taklinear
tersebut mengandung parameter kecil atau besar. Metode Analisis Homotopi
memberikan
cara sederhana
untuk
memastikan kekonvergenan
dari
aproksimasi daerah penyelesaiannya. Oleh karena itu metode analisis
homotopi
bahkan
berlaku
untuk
permasalahan
taklinear.
Berdasarkan latar belakang dan beberapa keunggulan metode analisis
homotopi, penulis mencoba menerapkan metode analisis homotopi pada
persamaan kolmogorov petrovsky piskunov.
1.2
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menyelesaikan persamaan KPP (Kolmogorov
Petrovsky Piskunov) dengan metode HAM (homothopy analisis Method).
1.3
Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini adalah sebagai berikut:
a. Mengetahui apakah solusi analitik dapat didekati dengan solusi eksak.
b. Menambah pengetahuan tentang Metode Analisis Homotopi
3
c. Menambah pengetahuan tentang persamaan Kolmogorov Petrovsky
Piskunov
d. Menerapkan Metode Analisis Homotopi pada persamaan Kolmogorov
Petrovsky Piskunov
e. Dapat menerapkan Metode Analisis Homotopi untuk kasus lain.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Persamaan Diferensial (Bronson dan Costa, 2007)
Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan
terhadap satu atau lebih dari variabel-variabel bebas (independent
variables) Berdasarkan jumlah variabel bebasnya persamaan differensial
dibagi dalam dua kelas, yaitu persamaan differensial biasa (PDB) dan
persamaan differensial parsial (PDP). Jika turunan fungsi itu hanya
tergantung pada satu variabel bebas, maka disebut persamaan differensial
biasa (ordinary differential equation). Bila tergantung pada lebih dari satu
variabel bebas disebut persamaan differensial parsial.
2.2
Gambaran Dasar Metode Analisis Homotopi (HAM) (Gupta dan
Summit, 2011)
Metode Analisis Homotopi (HAM) adalah suatu pendekatan analitik
secara umum yang digunakan untuk mendapatkan solusi dari beberapa
permasalahan yaitu persamaan linear dan nonlinear, persamaan aljabar,
persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial.
5
Pada tahun 1992 Shijun Liao dalam disertasi Phd-nya dari Shanghai
Jiaotong University merancang pertama kali Metode Analisis Homotopi
(HAM) dan dimodifikasi lebih lanjut pada tahun 1997 untuk
memperkenalkan parameter tambahan tak nol atau disebut parameter
konvergensi-kontrol yang dilambangkan dengan
dengan membangun
homotopi pada sistem diferensial dalam bentuk umum.
untuk menunjukan gambaran dasar HAM dengan mengikuti persamaan
diferensial
N[u(x,t)]=0
(2.1)
dimana N adalah operator nonlinear, x dan t menunjukan variabel bebas
dan
adalah fungsi yang tidak diketahui. Untuk penyederhanaannya, kita
tidak perlu memperhatikan batas atau kondisi awal.
2.3
Persamaan Kolmogorov Petrovsky Piskunov (Boris dan Olga, 2005)
Kita ingat bahwa batas dimensi untuk persamaan kolmogorov petrovsky
piskunov klasik ( atau persamaan reaksi-difusi taklinear )
Ut = Uxx + f(u)
(2.2)
di mana terlihat pada konteks dengan model turunan atas penyebaran
sebuah populasi. Dalam prakteknya berlaku pada biologi dan model kimia.
Pada umumnya sesuatu memerlukan bentuk khusus untuk ketaklinearan :
f(0)=f(1)=0, f(u)>0 untuk 0