Sifat Fungsi Analitik Pada Fungsi Peubah Kompleks Ditinjau dari Persamaan Cauchy Riemann

ABSTRAK

SIFAT FUNGSI ANALITIK PADA FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS
DITINJAU DARI PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN

Oleh
YOHANES AGUNG PRASETIAWAN

Suatu fungsi dikatakan analitik jika fungsi tersebut kontinu dan memiliki turunan
di suatu titik. Untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks, digunakan
syarat Cauchy Riemann. Jika syarat Cauchy Riemann terpenuhi maka dapat
disimpulkan apakah suatu fungsi analitik atau tidak. Suatu titik di mana fungsi
tidak analitik disebut titik singular. Beberapa jenis singularitas antara lain:
singularitas terpencil, pole, titik cabang, singularitas yang dapat dihapuskan,
singularitas esensial dan singularitas di tak hingga.

Kata kunci: Cauchy Riemann, Fungsi Analitik, Singularitas.

✁✂✄☎✄✆ ✝✁✞✟✠

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 15 Mei 1987, penulis

merupakan anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan bapak Al. Sutiyono
dan ibu Wariyanti.

Penulis menyelesaikan Taman Kanak-kanak Xaverius Bandar Lampung pada
tahun 1993, Sekolah Dasar Fransiskus Bandar Lampung pada tahun 1999,
Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Fransiskus Bandar Lampung pada tahun 2002,
Sekolah Menengah Umum Fransiskus Bandar Lampung pada tahun 2005.

Pada tahun 2007 penulis masuk dan terdaftar sebagai mahasiswa di Universitas
Lampung melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB). Penulis
masuk pada Jurusan Matematika program studi Matematika S1 Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menjadi mahasiswa, penulis
menjadi anggota Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA). Pada
tahun 2010 penulis melaksanakan Kerja Praktik di PT. PLN (Persero) Metro
Lampung.

MOTO
Semua yang riil bersifat rasional dan semua yang rasional bersifat riil
(Hegel)
Keberhasilan adalah kemampuan untuk melewati dan mengatasi dari satu

kegagalan ke kegagalan berikutnya tanpa kehilangan semangat
(Winston Churchill)
Reality may be a line, but a little imagination make it plane
(Anonym)

PERSEMBAHAN

✡☛☞✌✍☞ ✎☛✌✍✏✍ ✑✒☞✓✍ ✔✍☞ ✕✍✎✒✖ ✎✍✗✍☞✌ ✕✘✙☛✚✎☛✛✜✍✖✕✍☞ ✕✍✚✗✍ ✕☛✑✒✏✕✘ ✒☞✒ ✘☞✓✘✕
✢✚✍☞✌✣✢✚✍☞✌ ✗✍☞✌ ✍✕✍☞ ✎☛✏✍✏✘ ✜☛✚✖✍✚✌✍ ✔✍✏✍✛ ✖✒✔✘✙✕✘✤
Tuhan Yesus Kristus
Yang menjadi kekuatanku ketika putus asa

Bapak, ibu, Adik-adikku, semua teman, dan keluarga besarku
Yang selalu memberikan canda dan tawa, selalu berdoa untuk keberhasilanku, dan
selalu memberikan kasih sayang yang tidak ternilai.

Para pendidikku
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa, atas bimbingan dan
ajarannya.

Almamaterku Tercinta Universitas Lampung

SANWACANA

Pu
ji

syu
r
u
k

pen
l is pan
u
tjka

m
be

erik an kasih

m
e nyelesaink
a

S krip
si

karun
✧ia

pen
l isan ip
u
sk
rd

dengan ju
l

d

an kepad
a

✥lha

m
pe

i
d

S urga
✧ yang lte

ah

an
g era★✧ dan berkat✩✪ ya✧ seh

u
i ngga pen
l is dapat
u
en
g anb ai✫✬

Sifat Fungsi Analitik Pada Fungsi Peubah Kompleks

Ditinjau dari Persamaan Cauchy Riemann d
isu
tk
n
u

✦apa

ero
l eh gelar Sa jr an
a S ain

s✭S✬S✬)i d
in
iv
U

su
ns

ebagai salha

satu syarat

✮✯✰✱✲✳✰ ✴✳✵✶✷✸✹.

✺✫✯✱✶✰✱ ✱✸✱ ✻✳✶✳✲ ✻✱✰✮✼✮✰✳✱✫✳✸ ✽✮✯✫✳✲ ✽✳✸✲✷✳✸ ✻✳✸ ✽✱✵✽✱✸✹✳✸ ✻✳✯✱ ✽✮✯✽✳✹✳✱ ✶✱★✳✫✬
Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin mengucapkan terima
kasih banyak kepada:
1.

Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

2.

Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si, M.Si., selaku dosen pembimbing
utama dan juga selaku Sekretaris Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung yang
telah membimbing dan mengarahkan penulis dari awal hingga akhir.

3.

Bapak Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing
kedua yang telah banyak membantu dan memberikan banyak

pengarahan dalm
ap
4.

ro
se

penyu
s unans krip
s

in
✾i

Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji dan juga
selaku

dosen

pembimbing

akademik yang membimbing dan

mengarahkan penulis selama kuliah.
5.

Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang
telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

6.

Untuk Bapak, Ibu, dan kedua adikku yang selalu memberikan
semangat, doa, serta canda tawa dalam menyelesaikan skripsi ini.

7.

Sahabat-sahabatku Ade Gultom, Henoh Bayu, Fransiska, Rara, Asri dan
teman-teman matematika 07.

8.

Almamaterku tercinta Universitas Lampung.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kelemahan dan kekurangan dari skripsi
ini. Oleh karena itu, segala kritik dan saran yang bersifat membangun sangat
penulis harapkan. Akhir kata penulis berharap agar skripsi ini dapat bermanfaat

bagi penulis maupun pembaca.

Bandar Lampung,

Agustus 2014

Penulis

Yohanes Agung Prasetiawan

❁A❂❃ A❄ ❅❆❅
❇❈❉❈❊❈❋
❁ A❂❃ A❄ ●A❍ BA❄ .....................................................................................xiii

I. PENDAHULUAN
■❏■ ❑❈▲❈▼ ◆❖❉❈P❈❋◗ ❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ■
■❏❘ ◆❈▲❈❙❈❋ ❚❈❙❈❉❈❯❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ❘
■❏❱ ❲❳❨❳❈❋ ❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ❘
■❏❩ ❚❈❋❬❈❈▲ ❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ❘

II. TINJAUAN PUSTAKA
❘❏■ ❭❀❙▲❖❊ ◆❀❉❈❋◗❈❋ ❪❫❊❴❉❖P❙ ❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ❱
❘❏❘ ❭❀❬❈▲❵❙❀❬❈▲ ❛❉❨❈❜❈▼ ◆❀❉❈❋◗❈❋ ❪❫❊❴❉❖P❙ ❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ❩
❘❏❱ ❝❖❫❊❖▲▼❀ ◆❀❉❈❋◗❈❋ ❪❫❊❴❉❖P❙❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ❞
❘❏❱❏■ ❚❫❡❳❉❳❙ ❡❈▼❀ ◆❀❉❈❋◗❈❋ ❪❫❊❴❉❖P❙ ❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ❢
❘❏❱❏❘ ◆❖❋▲❳P ❣❫❉❈▼ ❡❈❋ ❤P❙❴❫❋❖❋ ❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ✐
❘❏❩ ❑❀❊❀▲ ❥❳❋◗❙❀ ❪❫❊❴❉❖P❙ ❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ■❦
❘❏❧ ❥❳❋◗❙❀ ❣❈❋◗P❈▲ ◆❀❉❈❋◗❈❋ ❪❫❊❴❉❖P❙ ❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ■❧
❘❏❞ ❥❳❋◗❙❀ ❛❋❈❉❀▲❀P❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ■❢
❘❏❢ ❣❖▼❙❈❊❈❈❋ ♠❈❳♥❯♦ ♣❀❖❊❈❋❋❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ■q

III.METODE PENELITIAN
❱❏■ r❈P▲❳ ❡❈❋ ❲❖❊❴❈▲ ❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ■✐
❱❏❘ ❚❖▲❫❡❖ ❣❖❋❖❉❀▲❀❈❋❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏ ■✐

✿❀❀

IV. PEMBAHASAN
✉✈✇ ①②③④③⑤ ⑥③⑦⑧⑨② ⑩t❶❷③❸❸ ✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈ ❹✇
✉✈❹ ①t❺③⑤ ❻⑦❸❼❽t ❾❸③❿t⑤t➀ ✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈ ❹➁
✉✈➂ ①t❸❼⑦❿③④t⑤③❽✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈ ➂➃

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

stt

➄➅➆TAR GAMBAR

Halaman

➇➈➉➊➈➋ ➌➍➎ ➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍➍ ➏

➐

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

➑➒➓➔→➣↔➣ ↕➒➙↔➣➛↔➣ ➜↔➣➛ ➝➞➟↕➞➠↔➟ ➡➒ ➡↔➙↔➓ ➓↔➝➞➓↔➝➒➢↔ ↔➡↔➙↔➤ ➤➒➓➔→➣↔➣ ↕➒➙↔➣➛↔➣
➢➥➓➔➙➞➢➠ ( ➦ ). ➑➒➓➔→➣↔➣ ↕➒➙↔➣➛↔➣ ➟➞↔➙ (  ) ➜↔➣➛ ↕➒↔➠↔ ➡➒➔↔➢↔➒ ➠➞➤↔➟➒ -➤↔➟➒
➓➞➟→➔↔➢↔➣ ➤➒➓➔→➣↔➣ ↕↔➛➒↔➣ ➡↔➟➒ ➤➒➓➔→➣↔➣ ↕➒➙↔➣➛↔➣ ➢➥➓➔➙➞➢➠➧ ➨➞➩↔↔r u
m
↕➒l↔➣➛↔n➞k
m
o
lk
p
s➞t r➡➒r➒ ➡↔r➒ ➡→↔ ↕↔➛➒↔➣➫ ↔y➒tu↕↔➛➒↔n➞r ↔l ➡↔n↕↔➛➒↔n➒↔m➭➒➣➞r
↔➞t ↔m➒ts ↕➞ ↕r ➞n
tu
k
(➢➤↔➜↔➙ ), ➜↔➣➛ ➠➞➩↔↔r m

➳  ➯➲ ➡➞➣➛↔n ➵ ➡↔n b ↔➡↔l↔ ➤

↔➭➒➣➞ r
↕➒l↔➣➛↔n -↕➒➙↔➣➛↔➣ ➟➞↔➙ . ➸↔➛➒↔➣ ➒➓↔➭➒➣➞➟ ↕➞➟➩➒➒r↔kn↔➡↔↔ny ↕➒l↔n➛↔n➒m
↔yn➛ ➡➒➡➞➺➒➣➒➠➒➢↔n➠➞↕↔➛↔➒

i

i  ➻ .

➼➥➣➠➞➔ ➺→➣➛➠➒ ↔➣↔➙➒➝➒➢ ➓➞➟→➔↔➢↔➣ ➤↔➙ ➔➞➣➝➒➣➛ ➡↔➙↔➓ ➝➞➥➟➒ ➺→➣➛➠➒ ➽↔➟➒↔↕➞➙
➢➥➓➔➙➞➢➠➧ ➾↔➔↔➝ ➡➒➢↔➝↔➢↔➣ ↕↔➤➚↔ ➤↔➓➔➒➟ ➠➞➙→➟→➤ ➔➞➓↕↔➤↔➠↔➣ ↔➣↔➙➒➠➒➠ ➢➥➓➔➙➞➢➠
➝➞➟➝→➭→ ➔↔➡↔ ➢➞↔➣↔➙➒➝➒➢↔➣ ➺→➣➛➠➒ ➢↔➟➞➣↔ ➡↔➟➒ ➢➥➣➠➞➔ ➒➣➒ ↕➒➠↔ ➡➒➢➞➓↕↔➣➛➢↔➣ ➙➞↕➒➤
➭↔→➤ ➡↔➙↔➓ ➝➞➥➟➒ ➓↔→➔→➣ ➔➞➣➞➟↔➔↔➣➣➜↔. ➪➣➝→➢ ➓➞➣➛→➭➒ ➠→↔➝→ ➺→➣➛➠➒ ➢➥➓➔➙➞➢➠
↔➔↔➢↔➤ ➺→➣➛➠➒ ➝➞➟➠➞↕→➝ ↔➣↔➙➒➝➒➢ ↔➝↔→ ➝➒➡↔➢➫ ➡↔➔↔➝ ➡➒➛→➣↔➢↔➣ ➠➜↔➟↔➝ ➶↔→➩➤ y
➹➒➞➓↔➣➣➧ ➨ ↔yr↔t ➶↔→➩➤ y➹➒➞➓↔n
➠→↔tu➺→➣➛➠➒

➓➞n↔yt↔➢↔n↕↔➤➚↔ ↔u
ntr n➔↔➠r ➒↔➙ ➔➞tr↔➓↔

f z  ➓➞➓➞➣→➤➒ ➔➞➠r ↔➓↔↔n➶↔→➩➤ y➹➒➞➓↔➣➣➧

➘

➴➷➬➮ ➱➬✃❐✃ ❒❮❰Ï ❰Ð❮❰Ñ Ò➬Ò❐➮❐Ò❒ ➷➬✃❒➮ Ò➬ÐÓ❐➷❐Ò, Ò❐Ñ❐ Ô➬Õ➷❰ Ó❒✃❐➮❐➱ Ô➬Õ➱❐Ò❐❐Ð
Ö❐❰×➮Ø Ù❒➬Ò❐ÐÐ ❰Ð❮❰Ñ Ò➬ÐÚ❰Û❒ Ñ➬❐Ð❐➷❒❮❒Ñ❐Ð Ô❐Ó❐ Ü❰ÐÚ➱❒ Ô➬❰✃❐➮ ÑÝÒÔ➷➬Ñ➱Þ

1.2 Batasan Masalah

ß➬ÕÓ❐➱❐ÕÑ❐Ð ➷❐❮❐Õ ✃➬➷❐Ñ❐ÐÚ ❮➬Õ➱➬✃❰❮, Ô➬Ð➬➷❒❮❒❐Ð Ó❒✃❐❮❐➱❒ Ô❐Ó❐ ❮❰Õ❰Ð❐Ð Ô❐Õ➱❒❐➷
Ô➬Õ❮❐Ò❐.

1.3 Tujuan

à➬Ð➬➷❒❮❒❐Ð ❒Ð❒ ✃➬Õ❮❰Û❰❐Ð ❰Ð❮❰Ñ Ò➬ÐÚ➬❮❐➮❰❒ ➱❒Ü❐❮ Ü❰ÐÚ➱❒ ❐Ð❐➷❒❮❒Ñ Ô❐Ó❐ Ü❰ÐÚ➱❒ Ô➬❰✃❐➮
ÑÝÒÔ➷➬Ñ➱Þ

1.4 Manfaat

à➬Ð➬➷❒❮❒❐Ð ❒Ð❒ Ó❒➮❐Õ❐ÔÑ❐Ð ✃➬ÕÒ❐ÐÜ❐❐❮ ➱➬✃❐Ú❐❒ ✃❐➮❐Ð Ñ❐Û❒❐Ð Ó❒ Ó❐➷❐Ò Ò➬ÒÔ➬➷❐Û❐Õ❒
✃❒➷❐ÐÚ❐Ð ÑÝÒÔ➷➬Ñ➱ Ø❐ÐÚ ✃➬ÕÚ❰Ð❐ Ó❒ Ó❐➷❐Ò Ò➬Ð❐Ò✃❐➮ Ô➬ÐÚ➬❮❐➮❰❐Ð Ó❒ ✃❒Ó❐ÐÚ
Ò❐❮➬Ò❐❮❒Ñ❐ Ø❐ÐÚ Ó❐Ô❐❮ Ó❒❐Ô➷❒Ñ❐➱❒Ñ❐Ð ✃❐❒Ñ Ó❒ ✃❒Ó❐ÐÚ Ò❐❮➬Ò❐❮❒Ñ❐ ❐❮❐❰ ➷❐❒ÐÐØ❐
➱➬Ô➬Õ❮❒ Ü❒➱❒Ñ❐ Ó❐Ð ❮➬ÑÐ❒ÑÞ

3

ááâ ãáä JAUAN

PUSTAKA

2.1 Sistem Bilangan Kompleks

st è éæêëìíëì îïèðêçîñ òëðë t òæìëyët îëì ñçcarm
rflanad
o
egm
nek
ag
u
åæç
pk
se nsapgteur
n
o

(a,b)ó

(ordered pair) b
inlagirl

ðëñëìíëì

ætu òçìíëì

r ñæ
ïðçë

-ïðçër ñæ tçtrçìöu ëyìí

ñçs

ôæèðõìëì ñçèõë
ðëòëìëy òëðët

õëæ

òæòç÷æìæñæîëì ñçéëíëæ sç
tyè éæêëìíëì îïèðêçîñ (øæéæñïìïù úûüý).

Definisi 2.1.1 (Wibisono, 1975)
Himpunan bilangan kompleks adalah keseluruhan besaran yang berbentuk
a  ib atau a  bi ,

dengan a dan b bilangan-bilangan riil dan i 2
ÿæîë

z ð (a, b) ð a  ib

éëíæëì rææê
òë ræ

z ëyìí

1 .

èçõ
r ðëîëì ñõë tuéæêëìíëì îïèðêçîñù èëîë

(real part) òë ræ z

trb
e
z ëyìí sçacru

þ

òëì

b

òæìëèëîëì éëíæëì æèë æìçr

-tu
tròæìëyët îëì

òëðë t òætçèðëî
t ëì õìöõî ñçs

òæìëèëîëì ðçõéë ☎ îïèðêçîñó

òçìíëì
ë
utuòë ræ

e( z )
R
☎ æèðõìëì

òëì

a

òæìëèëîëì

(imaginary part)
✁✂

(z ) . ✄ëèéëìí

éæêëìíëì îïèðêçîñ

4

✆✝✞✟✠✡✟✠ ☛✝✝✞ ☞✟✌✟✍ ☞✝✌✟✠☞✟✠✡ ✎✏✑✟✡✟✝ ✑✟✡✝✟✠ ☞✟☛✝ ✒✝✓✌✔✠✟✠ ✑✝✞✟✠✡✟✠ ✕✖✓✌✞✏✕✎
☞✏✠✡✟✠

b ✗ 0.

✘✝✕✟

a ✙ 0,

✓✟✕✟

0  ib

✟✍✟u

ib

☞✝✠✟✓✟✕✟✠ ✑✝✞✟✠✡✟✠ ✝✓✟✚✝✠✏☛

✓✔☛✠✝ (✛✌✝✏✡✏✞ , 1✜✜✢).

2.2 Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks

✣✌✏☛✟✎✝ ✌✏✠✚✔✓✞✟✒✟✠ ☞✟✠ ✌✏☛✕✟✞✝✟✠ ☞✔✟ ✑✝✞✟✠✡✟✠ ✕✖✓✌✞✏✕✎ ☞✝☞✏✤✝✠✝✎✝✕✟✠ ✎✏✑✟✡✟✝
✑✏☛✝✕✔✍✥

Definisi 2.2.1 (Sardi, 2008)
Jika z1 ✦ a1  ib1 dan z 2
i. z1  z 2
ii. z1 z 2

✧ a2  ib2

adalah bilangan kompleks, maka:

★ (a1  ib1 )  (a2  ib2 ) ★ (a1  a2 )  i(b1  b2 )

✩ (a1  ib1 )(a2  ib2 ) ✩ (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  a2b1 )

✪✟☞✟ ✑✝✞✟✠✡✟✠ ✕✖✓✌✞✏✕✎ ✚✔✡✟ ☞✝✌✏☛✕✏✠✟✞✕✟✠ ✎✔✟✍u ✖✌✏☛✟✎✝ ✟y✠✡ ☞✝✎✏✑✔✍
✕✏✎✏✕✟✟w✠✟✠

(conjugation), ✟y✠✡ ☞✝☞✏✤✝✠✝✎✝✕✟✠ ✎✏✑✟✡✟✝ ✑✏☛✝✕✔✍✥

Definisi 2.2.2 (Sardi, 2008)
Jika z ✫ (a, b) ✫ a  ib , maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis z dan
didefinisikan sebagai z ✬ (a,b) ✬ a  ib .

✣✌✏☛✟✎✝ ✟✞✚✟✑✟☛ ✑✝✞✟✠✡✟✠ ✕✖✓✌✞✏✕✎ ✎✏✕✟✟w✠ ☞✝ ☞✟✞✟✓ ✒✝✓✌✔✠✟✠ ✑✝✞✟✠✡✟✠
✕✖✓✌✞✏✕✎ ✓✏✓✏✠✔✒✝ ✎✝✤✟✍-✎✝✤✟✍ ✑✏☛✝✕✔✍✥

Teorema 2.2.3 (Sardi,2008)
i. jika z bilangan kompleks, maka

✭

1. z ✮ z
2. z z  R
e( z )  ✯✰( z )
2

2

ii. Jika z1 , z2 bilangan kompleks, maka
1. z1  z2  z1  z2
2. z1 z 2  z1 z2
z
3.  1
 z2

 z1
  , z 2  0
 z2

✱✲✳✴✵✶
✷i ✸✵✹✺✻✳✺✼ z  a  ib , ✽✺✳✺ z  a  ib , ✽✺✳✺

1. z  a  ib  a  ib  z
2. z z  (a  ib)(a  ib)  a 2  b 2  R
e( z )  ✾✿( z )
2

ii. Misalkan z1  a1  ib1 dan z 2  a2  ib2 , maka
1.

z 1  z 2  ( a 1  ib 1 )  ( a 2  ib 2 )
 (a1  a 2 )  i (b1  b2 )

 (a1  a 2 )  i (b1  b2 )
 (a1  ib1 )  (a 2  ib2 )
 z1  z 2

2. z1 z 2  (a1  ib1 )(a 2  ib2 )
 (a1 a 2  b1b2 )  i (a1b2  a 2 b1 )

 (a1 a 2  b1b2 )  i (a1b2  a 2 b1 )
 (a1 a 2  b1b2 )  i (a1b2  a 2 b1 )
 (a1  ib1 )(a 2  ib2 )

2

6

❀ z1 z 2
z
3.  1
 z2

  a1  ib1
  
  a 2  ib2





 (a  ib1 )(a 2  ib2 ) 

  1


(
a
ib
)(
a
ib
)
2
2
2
2



 (a a  b b )  i (a1b2  a 2 b1 ) 

  1 2 1 2 2
2

a 2  b2




(a1 a 2  b1b2 )  i (a1b2  a 2 b1 )



(a1 a 2  b1b2 )  i (a1b2  a 2 b1 )

a 2  b2
2

a 2  b2
2

2

2



(a1  ib1 )(a 2  ib2 )
(a 2  ib2 )(a 2  ib2 )



(a1  ib1 )
(a 2  ib2 )



z1
z2

, z2  0

2.3 Geometri Bilangan Kompleks

Arti geometri dari bilangan kompleks dalam hal ini dapat dipahami sebagai vektor
di bidang xy, dengan sumbu x dan sumbu y secara berturut-turut dinamakan
sumbu riil dan sumbu imajiner. Bilangan kompleks a  ib pada bidang datar xy
dapat diidentifikasikan berpangkal pada titik pusat dan berujung pada titik (a, b)
(Wibisono, 1975).

7

2.3.1 Modulus dari Bilangan Kompleks
Untuk sebarang bilangan kompleks z ❁ a  ib , modulus (nilai mutlak) dari
bilangan kompleks yang merupakan panjang vektor z didefinisikan sebagai
berikut:

Definisi 2.3.1.1 (Sardi, 2008)
Jika z ❁ a  ib bilangan kompleks, maka modulus dari z , ditulis z didefinisikan
sebagai z ❂ a  ib ❂ a 2  b 2 .
Definisi ini menunjukkan bahwa z merupakan bilangan riil positif atau nol. Arti
geometri

z

menyatakan panjang vektor (a, b) , yaitu jarak dari titik asal

O ❃ (0,0) terhadap titik z ❄ (a, b) .

Berikut ini terdapat teorema yang menjelaskan sifat-sifat dari modulus atau nilai
mutlak dari bilangan kompleks, yaitu:

Teorema 2.3.1.2 (Sardi, 2008)
i. jika z bilangan kompleks, maka
1.

z ❅ (Re( z )) 2  (Im( z )) 2

2.

z ❆ z

3.

z ❇ zz

2

2

ii. Jika z1 , z2 bilangan kompleks, maka
1.

z1 z 2 ❈ z1 z 2

8

2.

z
z1
❉ 1 , z2  0
z2
z2

Bukti:
i. Misalkan z  a  ib , maka
1.

2

z 

a

2

 b2

 a
2

2

 b 2  (Re( z )) 2  (Im( z )) 2

2. z  a  ib , sehingga z  a 2  (b) 2  a 2  b 2  z
3.

2

z  a 2  b 2  (a  ib)(a  ib)  z z

ii. Misalkan z1 , z2 bilangan kompleks, maka
1.

z1 z 2

2

2

 ( z1 z 2 )( z1 z 2 )  z1 z 2 z1 z 2  ( z1 z1 )( z 2 z 2 )  z1 z 2

Jadi, z1 z 2  z1 z 2

2.

z1
1
 z1 
, sehingga:
z2
z2
z1
z2

2

1
 z1 
z2

2


1
  z1 
z2

 z1 



1
z2



z
  1
 z2

z1 z1

z2 z2

z z
  1 1
 z2 z2

z1
z2

2
2


1
 z1 

z2
















2

9

Jadi,

z
z1
❊ 1 , z2  0
z2
z2

2.3.2 Bentuk Polar dan Eksponen
Dalam koordinat polar, bilangan kompleks z  (a, b) dinyatakan dalam r dan 
yaitu z  (r ,  ) . Pada gambar 2.1 diperoleh hubungan sebagai berikut:
a  r cos  ; b  r sin  , dengan: r  a 2  b 2  z

 : sudut antara sumbu x positif dengan Oz .
y
z  ( a, b)

b

r


a

O

x

Gambar 2.1
Untuk z  0 , sudut  dihitung dari tan  

b
dan untuk z  0 maka r  0 dan 
a

dapat dipilih sebarang. Dengan demikian bilangan kompleks z  a  ib dapat
dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu:
z  r (cos   i sin  )

Definisi 2.3.2.1 (Sardi, 2008)
Diberikan bilangan kompleks z  r (cos   i sin  ) . Sudut  disebut argumen dari
z , ditulis   arg z . Sudut  dengan 0    2 atau       disebut

10

nea
ma
u
rg
tmdari
u

z , ditulis  ❋ arg z . Pembahasan untuk a ● r cos  tersebut

dipilih salah satu saja.
Dengan menggunakan rumus Euler
e i ❍ cos   i sin  ,

maka bentuk polar bilangan kompleks z dapat diubah menjadi
z ■ r (cos   i sin  ) ■ re i
Penulisan z ❏ re i merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks z .
Selanjutnya bilangan kompleks sekawan dari z adalah:
z ❑ r (cos   i sin  )

▲ r (cos( )  i sin(  ))
▼ re  i

2.4 Limit Fungsi Kompleks

Secara formal definisi limit untuk suatu fungsi kompleks f (z ) ditulis sebagai
berikut:

Definisi 2.4.1 (Sardi, 2008)
Diberikan fungsi f : C  C dan misalkan fungsi w  f (z ) terdefinisi pada
daerah D kecuali di z 0 (titik z 0 di dalam D atau batas D). Limit dari f (z )
adalah w0 untuk z menuju z 0 , jika untuk setiap   0 terdapat   0 sehingga

f ( z )  w0   , apabila 0  z  z 0   ditulis lim f ( z )  w0 .
z  z0

11

Teorema 2.4.2 (Saff, 2003)
Diketahui lim f ( z ) ◆ A dan lim g ( z )  B , maka
z  z0

z  z0

1. lim  f ( z )  g ( z )   lim f ( z )  lim g ( z )  A  B
z  z0

z  z0

z  z0

2. lim  f ( z )  g ( z )   lim f ( z )  lim g ( z )  A  B
z  z0

z  z0

z  z0

3. lim f ( z ) g ( z )  lim f ( z )  lim g ( z )  AB
z  z0

4. lim
z  z0

z  z0

z  z0

f ( z) A
f ( z ) zlim
z
 0
 , jika B  0
g ( z ) lim g ( z ) B
z  z0

Bukti:
1. Jika  sebarang bilangan positif yang diberikan, maka


2

adalah positif.

Karena lim f ( z )  A , maka terdapat suatu bilangan positif 1 sedemikian
z  z0

sehingga
0  z  z0  1  f ( z )  A 


2

Karena lim g ( z )  B , maka terdapat suatu bilangan positif  2 sedemikian
z  z0

sehingga
0  z  z0   2  g ( z)  B 


2

Pilih   min{ 1 ,  2 } ; yaitu pilih  sebagai yang terkecil di antara  1 dan

 2 , maka 0  z  z 0   menunjukkan
f ( z )  g ( z )  ( A  B)  ( f ( z )  A)  ( g ( z )  B)
 f ( z)  A  g ( z)  B

12




2




2

❖

Jadi, lim  f ( z )  g ( z )   A  B  lim f ( z )  lim g ( z )
z  z0

z  z0

z  z0

2. Berdasarkan bukti 1, maka dapat ditunjukkan

lim  f ( z )  g ( z )   lim  f ( z )  (1) g ( z ) 

z  z0

z  z0

 lim f ( z )  lim (1) g ( z )
z  z0

z  z0

dengan sifat bahwa lim kg ( z )  k lim g ( z ) ; k konstanta yang dapat
z  z0

z  z0

dibuktikan sebagai berikut:
Jika  sebarang bilangan positif yang diberikan, maka


k 1

adalah

positif.
Karena lim g ( z )  B , maka terdapat suatu bilangan positif  1 sedemikian
z  z0

sehingga

0  z  z0  1  g ( z )  B 


k 1

Dengan demikian terdapat suatu  sedemikian sehingga 0  z  z 0  
yang menunjukkan

kg ( z )  kB  k ( g ( z )  B)
 k ( g ( z )  B)
k


k 1


Jadi, lim kg ( z )  kB  k lim g ( z ) ; k konstanta.
z  z0

z  z0

13

Oleh karena itu,

lim  f ( z )  g ( z )   lim f ( z )  (1) lim g ( z )

z  z0

z  z0

z  z0

 lim f ( z )  lim g ( z )
z  z0

z  z0

 A B

3. Jika  sebarang bilangan positif yang diberikan, maka

1

adalah
2 g ( z)  1

positif. Karena lim f ( z )  A , maka terdapat suatu bilangan positif 1
z  z0

sedemikian sehingga

0  z  z0  1  f ( z )  A 

1

2 g ( z)  1

Karena lim g ( z )  B , maka terdapat suatu bilangan positif  2 sedemikian
z  z0

sehingga

0  z  z0   2  g ( z)  B 

1 
2 A 1

Pilih   min{ 1 ,  2 } , maka 0  z  z 0   menunjukkan

f ( z ) g ( z )  AB  f ( z ) g ( z )  Ag ( z )  Ag ( z )  AB
 g ( z ) f ( z )  A  Ag ( z )  B 
 g ( z ) f ( z )  A  Ag ( z )  B 
 g ( z) f ( z)  A  A g ( z)  B




g ( z)



2

g ( z)  1


2




2





A



2 A 1

14

Jadi, lim f ( z ) g ( z )  AB  lim f ( z )  lim g ( z )
z  z0

z  z0

z  z0

4. Berdasarkan bukti 3, maka dapat ditunjukkan

lim

z  z0


f ( z)
1 

 lim  f ( z )
g ( z ) z  z0 
g ( z ) 
 lim f ( z ) lim
z  z0

Dengan lim

z  z0

z  z0

1
g ( z)

1
1
, yaitu dengan diberikan bilangan positif  ,

g ( z ) lim g ( z )
z  z0

maka

1
g ( z ) B  adalah positif. Karena lim g ( z )  B , maka terdapat
z  z0
2

suatu bilangan positif  1 sedemikian sehingga
0  z  z0  1  g ( z)  B 

1
g ( z) B 
2

Dengan demikian terdapat suatu  sedemikian sehingga 0  z  z 0  
yang menunjukkan

1
1
B  g ( z )  g ( z )  B 
 

g ( z) B
g ( z)B
g ( z)B




g ( z)  B
g ( z)B
g ( z)  B
g ( z)B



1
1
g ( z) B  
2
g ( z) B




2



15

Jadi, lim

z  z0

1
1
1
 
g ( z ) B lim g ( z )
z  z0

Oleh karena itu,
lim

z  z0

1
f ( z)
 lim f ( z )
lim g ( z )
g ( z ) z  z0
z  z0



A
B

2.5 Fungsi Pangkat Bilangan Kompleks

Fungsi pangkat didefinisikan sebagai:
w  e z  e a  ib  e a (cos b  i sin b) ,
dengan e  2,71828 adalah bilangan dasar logaritma natural (asli). Jika a
bilangan riil positif, maka didefinisikan a z  e z ln a , dengan ln a adalah logaritma
natural (asli) dari a. jika a=e maka direduksi kembali menjadi w (Spiegel,1994).

Teorema 2.5.1 (Wibisono, 1975)
i. Untuk setiap peubah kompleks z1 dan z 2 berlaku sifat-sifat berikut:
1. e z1  z 2  e z1 e z 2
2. e z1  z 2 

e z1
e z2

ii. Jika z  a  ib , maka
1. e z  e z
2.

e z  e a dan arg(e z )  b

16

Bukti:
i. Misalkan z1 P a1  ib 1 dan z 2 ◗ a2  ib2 maka
e z1 ❘ e a1 (cos b1  i sin b1 ) dan e z 2 ❙ e a2 (cos b2  i sin b2 )
1. e z1 e z 2 ❙ e a1 e a1 (cos b1  i sin b1 )(cos b2  i sin b2 )

❚ e a  a (cos b1 cos b2  sin b1 sin b2 )  i (cos b1 sin b2  cos b2 sin b1 )
1

2

❯ e a  a cos(b1  b2 )  i sin(b1  b2 ) 
1

❱ ez z
1

2

2

2. z1  z 2 ❲ (a1  a2 )  i (b1  b2 ) , maka
e z1  z 2 ❳ e a1  a2 cos(b1  b2 )  i sin(b1  b2 ) 
e a1
❙ a2 (cos b1 cos b2  sin b1 sin b2 )  i (cos b1 sin b2  cos b1 sin b2 ) 
e

❨

e a1
(cos b1  i sin b1 ) cos b2  (cos b1  i sin b1 )i sin b2 
e a2

❩

e a1
(cos b1  i sin b1 )(cos b2  i sin b2 )
e a2

e a1 ib1 ib2
 a2  e e
e


e a1 e ib1

e a2 e ib2



e a1  ib1
e a2  ib2

e z1
 z2
e
ii. Misalkan
sehingga:

z  a  ib ,

maka

e z  e a (cos b  i sin b)  e a cos b  ie a sin b ,

17

1. Karena z ❬ a  ib maka z ❭ a  ib , sehingga:

e z ❪ e a ib

❫ e a e ib
❴ e a (cos b  i sin b)
❵ e a cos b  ie a sin b
❛ e a cos b  ie a sin b
❴ e a (cos b  i sin b)
❜ ez
2.

e z ❴ (e a cos b) 2  (e a sin b) 2 ❴ (e a ) 2 (cos 2 b  sin 2 b) ❴ e a , dan

 e a sin b 
 ❝ arctan(tan b) ❝ b
arg(e z )  arctan a
 e cos b 

2.6 Fungsi Analitik

Jika turunan f z  ada di semua titik z dari suatu daerah  , maka f z 
dikatakan analitik dalam  dan dinyatakan sebagai fungsi analitik dalam  .
Istilah regular (teratur) dan holomorphic (holomorfik) seringkali digunakan
sebagai pengganti istilah analitik.
Suatu fungsi f z  dikatakan analitik di suatu titik z0 jika terdapat suatu
lingkungan z  z0   sehingga f z  ada di setiap titik pada lingkungan tersebut
(Spiegel, 1987).

18

2.7 Persamaan Cauchy Riemann

Suatu syarat perlu agar w ❞ f z  ❞ u x, y   ivx, y  analitik dalam suatu daerah 
adalah u dan v memenuhi persamaan Cauchy Riemann
u v
 ,
x y

v
u

x
y

Jika turunan parsial diatas kontinu dalam  , maka persamaan Cauchy Riemann
adalah syarat cukup agar f z  analitik dalam  .
Fungsi u  x, y  dan vx, y  seringkali dinamakan fungsi sekawan. Jika salah satu
dari padanya diberikan maka kita dapat menentukan yang lainnya (terlepas dari
suatu konstanta penjumlahan sebarang) sehingga u  iv  f z  analitik (Spiegel,
1987).

❡❢

❣❣❣❤ ✐❥❦❧♠❥ ♥❥♦❥♣❣❦❣q♦

r❤s t✉✈✇① ②✉③ ❦④⑤⑥✉✇

⑦⑧⑨⑧⑩❶❷❶❸⑨ ❶⑨❶ ❹❶⑩❸❺❻❺❸⑨ ❹❶ ❼❻❽❻❾❸⑨ ❿❸❷⑧➀❸❷❶❺❸ ➁❸❺❻⑩❷❸❾ ❿❸❷⑧➀❸❷❶❺❸ ❹❸⑨ ➂⑩➀❻
⑦⑧⑨➃⑧❷❸➄❻❸⑨ ➅⑩❸➀ ➆⑨❶➇⑧❽❾❶❷❸❾ ➈❸➀➉❻⑨➃➊ ➉❸❹❸ ❾⑧➀⑧❾❷⑧❽ ➃⑧⑨❸➉ ❷❸➄❻⑨ ❸➋❸❽❸⑨
➌➍❡➎➏➌➍❡➐➑

r❤➒ ✐④✇➓②④ ♥④③④➔→✇→✉③

❿⑧❷➣❹⑧ ↔❸⑨➃ ❹❶➃❻⑨❸❺❸⑨ ❹❸⑩❸➀ ➉⑧⑨⑧⑩❶❷❶❸⑨ ❶⑨❶ ❸❹❸⑩❸➄ ➀⑧❷➣❹⑧ ❾❷❻❹❶ ➉❻❾❷❸❺❸➊ ↔❸❶❷❻
❹⑧⑨➃❸⑨ ➀⑧➀➉⑧⑩❸➋❸❽❶➊ ➀⑧➀❸➄❸➀❶ ❹❸⑨ ➀⑧⑨➃❺❸➋❶ ➀⑧⑨➃⑧⑨❸❶ ↕❻❺❻➙↕❻❺❻➊ ➋❻❽⑨❸⑩
➀❸❻➉❻⑨ ➀❸❺❸⑩❸➄ ↔❸⑨➃ ↕⑧❽➄❻↕❻⑨➃❸⑨ ❹⑧⑨➃❸⑨ ➉⑧⑨⑧⑩❶❷❶❸⑨➑

➛❸⑩❸➀ ➀⑧⑩❸❺❻❺❸⑨ ➉⑧⑨⑧⑩❶❷❶❸⑨ ❶⑨❶➊ ❸❹❸ ⑩❸⑨➃❺❸➄➙⑩❸⑨➃❺❸➄ ↔❸⑨➃ ➄❸❽❻❾ ➉⑧⑨❻⑩❶❾ ⑩❸❺❻❺❸⑨
❻⑨❷❻❺ ➀⑧➀➉⑧❽➀❻❹❸➄ ➉⑧⑨❻⑩❶❾ ❹❸⑩❸➀ ➀⑧➀➉⑧❽➣⑩⑧➄ ➀❸❻➉❻⑨ ➀⑧⑨↔⑧⑩⑧❾❸❶❺❸⑨ ➄❸❾❶⑩
➉⑧⑨⑧⑩❶❷❶❸⑨➑ ➈❸⑨➃❺❸➄➙⑩❸⑨➃❺❸➄ ↔❸⑨➃ ➉⑧⑨❻⑩❶❾ ⑩❸❺❻❺❸⑨ ❹❸⑩❸➀ ➉⑧⑨⑧⑩❶❷❶❸⑨ ❶⑨❶ ❸❹❸⑩❸➄
❾⑧↕❸➃❸❶ ↕⑧❽❶❺❻❷➜
❡➑ ❿⑧⑨➃❻➀➉❻⑩❺❸⑨

❽⑧➝⑧❽⑧⑨❾❶

↔❸⑨➃

↕⑧❽➄❻↕❻⑨➃❸⑨

❹⑧⑨➃❸⑨

➉⑧⑨⑧⑩❶❷❶❸⑨➊

➞➟

➞➠ ➡➢➤➥➦➧➨➩➫➤ ➭➢➯➧➤➧➨➧➲➭➢➯➧➤➧➨➧ ➭➫➤ ➳➢➵➸➢➺➫➲➳➢➵➸➢➺➫ ➻➫➤➼ ➽➢➸➾➥➽➥➤➼➫➤
➭➢➤➼➫➤ ➚➢➤➢➦➧➳➧➫➤➪
➶➠ ➡➢➺➚➢➦➫➹➫➸➧ ➭➫➤ ➺➢➺➫➾➫➺➧ ➭➢➯➧➤➧➨➧➲➭➢➯➧➤➧➨➧ ➭➫➤ ➳➢➵➸➢➺➫➲➳➢➵➸➢➺➫ ➻➫➤➼
➽➢➸➾➥➽➥➤➼➫➤ ➭➢➤➼➫➤ ➚➢➤➢➦➧➳➧➫➤➪
➘➠ ➡➢➤➼➥➸➫➧➩➫➤ ➭➫➤ ➺➢➤➼➼➥➤➫➩➫➤ ➭➢➯➧➤➧➨➧➲➭➢➯➧➤➧➨➧ ➭➫➤ ➳➢➵➸➢➺➫➲➳➢➵➸➢➺➫
➨➢➽➫➼➫➧ ➫➴➥➫➤ ➭➫➦➫➺ ➺➢➦➫➩➥➩➫➤ ➚➢➤➢➦➧➳➧➫➤ ➥➤➳➥➩ ➺➢➺➚➢➸➵➦➢➾ ➾➫➨➧➦
➚➢➤➢➦➧➳➧➫➤ ➧➤➧➪
➷➠ ➡➢➦➫➩➥➩➫➤ ➚➢➤➢➦➧➳➧➫➤ ➳➢➤➳➫➤➼ ➚➢➸➨➫➺➫➫➤ ➬➫➥➴➾➻ ➮➧➢➺➫➤➤➪
➱➠ ➡➢➤➴➫➸➧ ➨➧➯➫➳ ➩➢➫➤➫➦➧➳➧➩➫➤ ➯➥➤➼➨➧ ➩➵➺➚➦➢➩➨ ➭➢➤➼➫➤ ➺➢➤➼➥➹➧ ➚➢➸➨➫➺➫➫➤
➬➫➥➴➾➻ ➮➧➢➺➫➤➤➪
✃➠ ➡➢➤➫➸➧➩ ➨➥➫➳➥ ➩➢➨➧➺➚➥➦➫➤➠

❐❐

❒❮ ❰ÏÐÑÒÓÔÕÖ×

ØÙÚÛÜÝÞßàá âàáã äàÝàå äÛàÜæÛß äàçÛ ÝÙÜæàèàÚàá ÛáÛ àäàßàè éÙàáàßÛåÛéàá ÚÞàåÞ
êÞáãÚÛ éëÜÝßÙéÚ äàÝàå äÛÞìÛ äÙáãàá ÜÙáããÞáàéàá ÝÙçÚàÜààá íàÞîèâ ïÛÙÜàááñ
âàÛåÞ ìÛéà åÞçÞáàá ÝàçÚÛàß ÝÙçåàÜà äàçÛ ò äàá ó ÜÙÜÙáÞèÛ ÝÙçÚàÜààá íàÞîèâ
ïÛÙÜàááñ Üàéà õ ( ô ) äÛéàåàéàá àáàßÛåÛé Ýàäà ÚÞàåÞ äëÜàÛá Dö ÷ÛåÛé äÛ Üàáà
õ ( ô ) åÛäàé àáàßÛåÛé äÛáàÜàéàá åÛåÛé ÚÛáãÞßàçö øäà æÙæÙçàÝà ìÙáÛÚ ÚÛáãÞßàçÛåàÚ,
âàÛåÞ ÚÛáãÞßàçÛåàÚ åÙçÝÙáîÛß, ÝëßÙ (éÞåÞæ), åÛåÛé îàæàáã , ÚÛáãÞßàçÛåàÚ âàáã äàÝàå
äÛèàÝÞÚéàáñ ÚÛáãÞßàçÛåàÚ ÙÚÙáÚÛàß äàá ÚÛáãÞßàçÛåàÚ äÛ åàé æÙçèÛáããàö

ùúûüúý þÿ üú✁ú
✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ ☛✝☞ ✌✍✎✄✏✍✑✒✒✞ ✓✠✔✠✕✖✖✗✠ ✘✙✚✛✜✢✣ Variables and Applications✠
✤✏✥✄☛✆✦✧✑✒✒✞ N★✆ ✩☎✄✪✠
✫☛✒✒☎✎✄☛✬✞ ✟✠✭✠ ✕✖✮✯✠ Peubah Kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur✠ ✰★✄✱★✲☛✍☛✝
✡✑✳✑✬☎✝☎ ✥✎✝☛✆☛✠ ✴✄✒☛✝✵✵☛✞ ✶✎✄☛✳☛✷☛✠
✓★✝✄★✝✵✞ ✸✠ ✕✖✖✹✠ Asas-asas Metode Matematika dalam Fisika✠ ✸✝✵✪☛✬☛✞
✂☛✝☞✎✝✵✠
✶☛✺✺✞ ✴✠✂✠ ☞☛✝ ✸✠✭✠ ✶✝✑☞★✄✠ ✻✹✹✼✠ Fundamental of Complex Analysis with
Applications to Engineering and Science✠ ✫★☛✄✬☎✝ ✴☞✎✏☛✽✑☎✝☛✒ ✾✝✽★✄✝☛✽✑☎✝☛✒✞
N★✆ ✟★✄✬★✷✠
✶☛✄☞✑✞ ✧✠ ✻✹✹✿✠ Fungsi Kompleks: Teori dan Soal-soal✠ ✰★✄✱★✲☛✍☛✝ ❀☎✪☎
✤☛✄✽☎✝☎✠ ✴✄✒☛✝✵✵☛✞ ✟☛✪☛✄✽☛✠
✶❁✑★✵★✒✞ ✤✠✓✠ ✕✖✿✮✠ Peubah Kompleks: Teori & Soal-soal✠ ✰★✄✱★✲☛✍☛✝ ❀☎✪☎
✤☛✄✽☎✝☎✠ ✴✄✒☛✝✵✵☛✞ ✟☛✪☛✄✽☛✠
✶❁✑★✵★✒✞ ✤✠✓✠ ✕✖✖✹✠ Advanced Calculus✠ ✤✏✥✄☛✆✦✧✑✒✒✞ ❂★✆ ✩☎✄✪✠
✶❁✑★✵★✒✞ ✤✠✓✠ ✕✖✖❃✠ Peubah Kompleks dengan Pengenalan Pemetaan Konvormal
dan Penerapannya✠ ✰★✄✱★✲☛✍☛✝ ❀☎✪☎ ✤☛✄✽☎✝☎✠ ✴✄✒☛✝✵✵☛✞ ✟☛✪☛✄✽☛✠
T✄✑✲✞ ✭✠✡✠ ✕✖✖✗✠ Introduction to Complex Analysis and Its Applications ✠ ✫✡✶

✫✎✳✒✑✬✍✑✝✵ ✌☎✲❁☛✝✷✞ ❄✶✸✠