DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 2009

I

TU

URI HANDAY

AN

TW

DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK
JENJANG DASAR TAHUN 2009

Kombinatorik dan Peluang

Matriks

Y

O

GY

T
AK A R

Shadiq, M.App.Sc.

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK
DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA
2009

TM

Quality System

M AT E M

A

A

TK

KA
TI

PP
PP

Oleh: Fadjar

Quality
Endorsed
Company

ISO 9001: 2000
Lic no:QEC 23961

SAI Global

#$$%

&

'#$

! "
!

&

&

&
&

(

&

) )

*
+

!

(
&

!
*

!
" !
0' !
22141#

! &
, 5

.&
11#2'
9

,

& (
&
/ !&
&
& 3$#456 22'4'4 2214#1 7 8 3$#456
&& (&

''

#$$%

!

!
/

& &
'0$01#2$-

Daftar Isi
Kata Pengantar ----------------------------------------------------------------------------------------------- i
Daftar Isi

------------------------------------------------------------------------------------------------ ii

Kompetensi/Sub Kompetensi dan Peta Bahan Ajar ---------------------------------------------- iii
Skenario Pembelajaran ----------------------------------------------------------------------------------- iv
Bab I

Pendahuluan------------------------------------------------------------------------------ 1

A. Latar Belakang----------------------------------------------------------------------- 1
B. Tujuan --------------------------------------------------------------------------------- 1
C. Cara Penggunaan Modul --------------------------------------------------------- 2

Bab II

Notasi Faktorial -------------------------------------------------------------------------- 3
A. Mengapa Menggunakan Notasi Faktorial ------------------------------------ 3
B. Arti Faktorial------------------------------------------------------------------------- 3

Bab III

Permutasi dan Kombinasi ------------------------------------------------------------- 5
A. Prinsip Perkalian -------------------------------------------------------------------- 5
B. Permutasi ----------------------------------------------------------------------------- 6
C. Kombinasi ---------------------------------------------------------------------------- 7

Bab III

Peluang------------------------------------------------------------------------------------11

A.
B.
C.
D.

Bab IV

Pengantar ke Peluang ------------------------------------------------------------11
Pengertian Peluang ---------------------------------------------------------------11
Relasi Antar Peristiwa------------------------------------------------------------13
Peristiwa Bersyarat----------------------------------------------------------------15

Penutup -----------------------------------------------------------------------------------19

Daftar Pustaka ----------------------------------------------------------------------------------------------19

ii

KOMPETENSI
Memiliki kemampuan untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam

menerapkan dan memecahkan masalah yang berkait dengan kaidah pencacahan,
kombinatorik, dan peluang.
SUB KOMPETENSI
‰
‰

‰

‰

‰

Memiliki kemampuan membantu siswa dalam menggunakan notasi faktorial.
Memiliki kemampuan membantu siswa dalam menggunakan prinsip
perkalian.
Memiliki kemampuan membantu siswa dalam menggunakan teori
permutasi.
Memiliki kemampuan membantu siswa dalam menggunakan teori
kombinasi.
Memiliki kemampuan membantu siswa dalam menggunakan teori peluang.

PETA BAHAN AJAR

Mata diklat untuk jenjang dasar ini membutuhkan pengetahuan prasyarat
tentang mengoperasikan bilangan asli dan bilangan pecahan. Pada diklat jenjang
dasar ini, para peserta diklat diharapkan sudah dapat mengembangkan dan
meningkatkan kemampuannya, dalam bentuk
kemampuan memecahkan
masalah atau soal-soal yang berkait dengan kaidah pencacahan, kombinatorik, dan
peluang. Modul ini akan dimulai dengan membahas tentang notasi faktorial
yang merupakan dasar mempelajari materi selanjutnya, diikuti dengan
membahas tentang permutasi dan kombinasi, dan diakhiri dengan membahas
tentang peluang. Dengan bekal seperti ini, diharapkan para peserta diklat
jenjang dasar ini akan dapat membantu para siswa SMK-nya di lapangan.
Pengetahuan dan keterampilan yang didapat pada mata diklat ini dapat digunakan
untuk topik-topik atau materi-materi lainnya. Pada diklat jenjang lanjut, menengah,
dan tinggi, kepada para peserta diharapkan sudah lebih mampu menerapakannya
untuk digunakan memecahkan masalah pembalajaran dan dalam membantu teman
guru di daerahnya masing-masing.

iii

SKENARIO PEMBELAJARAN

Penyampaian Mtr (20’)
Diskusi:
• Notasi Faktorial
• Permutasi
• Kombinasi
• Peluang

Pendahuluan (5’)
‰ Tujuan
‰ Ruang Lingkup
‰ Langkah-langkah

Penugasan
(60’)
Penugasan
• Mendiskusikan Penyelesaian Soal
Mendiskusikan:
yang Berkait dengan:
‰ Strategi yang dapat meningkatkan
• Notasi Faktorial
penalaran, pemecahan
masalah,
• Permutasi
dan• komunikasi
Kombinasi
‰ Cara menilai penalaran,
• Peluang

Laporan (45’)
Hasil diskusi
Masalah yang
belum terpecahkan

‰
‰

pemecahan masalah, dan
komunikasi

Penutup (5’)
Rangkuman
‰ Refleksi
‰ Tugas

‰

iv

Bab I
Pendahuluan
A. Latar Belakang
Lampiran Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 23 Tahun 2006 tentang Standar
Kompetensi Lulusan (SKL) menyatakan bahwa salah satu SKL pada mata pelajaran
matematika untuk Matematika Kelompok Sosial, Administrasi Perkantoran dan Akuntasi
SMK/MAK serta untuk Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian
SMK/MAK adalah; “Memahami konsep teori peluang dan penerapannya dalam
pemecahan masalah.”
Selanjutnya, Lampiran Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 22 Tahun 2006
tentang Standar Isi menyatakan bahwa salah satu SK (Standar Kompetensi) adalah agar
para siswa SMK dapat: “Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang.” Berikut ini
adalah jabaran SK tersebut tadi berupa KD, Indikator dan Materi Pembelajaran untuk
topik peluang.
Kompetensi Dasar

Indikator

Materi Pembelajaran

1. Mendeskripsikan
kaidah pencacahan,
permutasi dan
kombinasi

ƒ Kaidah pencacahan, permutasi dan
kombinasi digunakan dalam
menentukan banyaknya cara
menyelesaikan suatu masalah

ƒ Kaidah pencacahan
permutasi dan
kombinasi

2. Menghitung peluang
suatu kejadian

ƒ Peluang suatu kejadian dihitung
dengan menggunakan rumus

ƒ Peluang suatu
kejadian

Karenanya, kompetensi peluang akan menjadi materi yang sangat menentukan
keberhasilan para siswa SMK dalam memecahkan masalah umum atau masalah dalam
kehidupan sehari-hari. Itulah sebabnya, pada diklat jenjang dasar ini, materi peluang,
sesuai dengan indikator dan materi di atas akan membahas tentang:
B. Tujuan
Modul ini disusun dengan maksud untuk memberikan tambahan pengetahuan berupa
wawasan bagi guru SMK yang mengikuti diklat jenjang dasar di PPPPTK Matematika
tentang peluang, dengan harapan dapat digunakan sebagai salah satu sumber untuk
memecahkan masalah-masalah pengajaran peluang di SMK.
Selanjutnya, tujuan secara khusus adalah agar para peserta diklat dapat membantu atau
memfasilitasi siswanya seemikian sehingga siswanya dapat atau mampu:
1. Menjelaskan pengertian kaidah pencacahan, faktorial, permutasi, dan kombinasi

1

2. Menentukan banyaknya cara meyelesaikan masalah dg kaidah pencacahan, permutasi,
dan kombinasi
3. Menyelesaikan masalah dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi, dan
kombinasi
4. Menjelaskan pengertian kejadian, peluang, kepastian dan kemustahilan
5. Menghitung frekuensi harapan suatu kejadian
6. Menghitung peluang suatu kejadian
7. Menghitung peluang kejadian saling lepas
8. Menghitung peluang kejadian saling bebas
9. Menerapkan konsep peluang dalam menyelesaikan masalah program keahlian
C. Cara Penggunaan Modul
Pembahasan pada modul ini lebih menitik-beratkan pada diskusi identifikasi dan
pemecahan masalah yang berkait dengan permutasi, kombinasi, dan peluang. Di samping
itu, akan dibahas juga bagaimana memfasilitasi siswa agar dapat mempelajari materi
peluang dengan lebih bermakna. Karenanya, setiap bagian modul ini dimulai dengan
beberapa contoh diikuti dengan teori-teori, dan diakhiri dengan latihan atau tugas. Di
samping itu, dikemukakan juga tentang hal-hal penting yang perlu mendapat penekanan
para guru di saat membahas SK atau KD di kelasnya. Karenanya, para pemakai modul ini
disarankan untuk membaca lebih dahulu teorinya sebelum mencoba mengerjakan latihan
yang ada.
Selama diskusi, para peserta diharapkan secara aktif mengemukakan
keberhasilan maupun kegagalan selama proses pembelajaran. Jika para pemakai modul ini
mengalami kesulitan maupun memiliki saran, sudi kiranya menghubungi penulisnya,
melalui email: fadjar_p3g@yahoo.com, website (situs): www.fadjarp3g.wordpress.com
telepon (0274)880762; HP: 08156896973, atau melalui PPPPTK Matematika, Kotak Pos 31
YKBS, Yogyakarta dan fax (0274)885752.

2

Bab II
Notasi Faktorial
A. Mengapa Menggunakan Notasi Faktorial
Para guru tentunya sudah mengetahui bahwa para matematikawan sering menggunakan
notasi (lambang atau tanda) yang dapat menyingkat penulisan. Beberapa contohnya adalah:
1. 10×3 yaitu notasi perkalian yang digunakan untuk menyingkat penulisan
3+3+3+3+3+3+3+3+3+3; yaitu penjumlahan berulang dari bilangan 3 sebanyak 10 kali.
Bayangkan sekarang, jika para matematikawan tidak mengembangkan notasi perkalian
tersebut. Bagaimana sulitnya menulis penjumlahan berulang dari bilangan 3 sebanyak
1.000 kali atau lebih. Melelahkan bukan?
2. 310 yaitu notasi perpangkatan yang digunakan untuk menyingkat penulisan
3×3×3×3×3×3×3×3×3×3 yaitu perkalian berulang dari bilangan 3 sebanyak 10 kali. Apa
yang akan terjadi jika para matematikawan tidak mengembangkan notasi perpangkatan
tersebut. Bagaimana cara menulis penjumlahan berulang bilangan 3 sebanyak 1.000 kali
atau lebih. Sulit dan melelahkan bukan?
Pada saat menyelesaikan soal ataupun memecahkan masalah, para matematikawan sering
menemui tuntutan untuk menghitung hasil perkalian beberapa bilangan asli berurutan,
seperti:
1. 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × … × 100
2. 11 × 12 × 13 × 14 × 15 × 16 × … × 100
3.

1 × 2 × 3 × 4 × ... × 12
72 × 73 × 74

Untuk menyingkat penulisan perkalian beberapa bilangan asli berurutan di atas, para
matematikawan lalu mengembangkan notasi faktorial yang akan dibahas pada Bab II ini.
B. Arti Faktorial
Perkalian seperti 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6, merupakan perkalian enam bilangan asli berurutan
pertama. Untuk memudahkan penulisan, digunakan notasi faktorial, yaitu: 6!. Dengan cara
yang sama; 10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10. Secara umum dapat disimpulkan
bahwa:

n! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × ... × (n − 3) × (n − 2) × (n − 1) × n; n ∈ A
Selanjutnya,
4! = 4 × 3 × 2 × 1
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 5 × (4 × 3 × 2 × 1)
= 5 × 4!

3

Dengan cara sama, didapat:
5! = 5 × 4!
6! = 6 × 5!
7! = 7 × 6!
8! = 8 × 7!
Secara umum dapat disimpulkan bahwa:

n! = n × (n − 1)!, n ∈ A
Latihan Bab II
1. Tentukan nilai dari:
a. 5!

b.

2. Nyatakan dengan notasi faktorial.
a. 12×11× ... ×6×5×4×3×2×1
b. 16×15×14×13×12×11

9×8
4×3
11 × 10 × 9
d.
5× 4×3

c.

3. Apakah benar bahwa

e.
f.

10!
7!
9×8× 7
4×3
11 × 10
5× 4× 3

10!
10!
=
. Tentukan generalisasinya.
6! (10 − 6)!

4. Mengapa didefinisikan 0! = 1? Dapatkah Anda menjelaskan?

4

Bab III
Permutasi dan Kombinasi
A. Prinsip Perkalian
Perhatikan soal berikut. Misalkan saja Anda baru mempelajari kompetensi tentang peluang,
sehingga baru akan belajar prinsip perkalian. Kerjakan soal berikut.
Diketahui bahwa ada 4 alternatif jalan dari kota Alangbong ke kota Buloboyo.
Selanjutnya ada 3 alternatif jalan dari kota Buloboyo ke kota Canget. Pak Archimedes
akan mudik dari kota Alangbong ke kota Canget, ada berapa alternatif rute dari
Alangbong ke kota Canget, dan harus melewati Buloboyo, yang dapat digunakan atau
dipilih Pak Archimedes?
1. Dimisalkan posisi kota Alangbong, kota Buloboyo, dan kota Canget adalah seperti gambar
berikut.

• Canget
Alangbong •
•
Buloboyo
2. Gambarlah 4 alternatif jalan dari kota Alangbong ke kota Buloboyo.
Sebutlah 4 alternatif jalan tersebut dengan jalan I, II, III, dan IV.
3. Gambarlah 3 alternatif jalan dari kota Buloboyo ke kota Canget.
Sebutlah 3 alternatif jalan tersebut dengan jalan A, B, dan C.
4. Ada berapa alternatif rute jalan dari Alangbong ke kota Canget, yang dapat dipilih Pak
Archimedes? Jelaskan.
5. Kerjakan soal berikut.
Diketahui bahwa Amir memiliki 4 celana dengan warna berbeda. Diketahui juga bahwa
ia memiliki 6 baju dengan warna atau motif yang berbeda. Daftarlah semua alternatif
pasangan celana dan baju yang dapat dipilih Amir?

6. Jelaskan prinsip perkalian di bawah ini dengan menggunakan dua contoh di atas.
Prinsip perkalian: ”Jika ada m cara melakukan kegiatan A dan dari setiap cara itu ada n
cara melakukan kegiatan B maka akan ada m×n cara untuk melakukan kegiatan A
diikuti melakukan kegiatan B
Tempat menjelaskan

5

B. Permutasi
Perhatikan soal berikut. Misalkan Anda baru akan mempelajari konsep permutasi. Kerjakan
soal berikut.
ANI, BUDI, CICA, DITA, EKO, dan FAHRI akan dipilih menjadi pengurus PGRI.
Daftarkan seluruh susunan pengurus PGRI yang terdiri atas:
a. Ketua dan Sekretaris.
b. Ketua, Sekretaris, dan Bendahara.
Tempat menjelaskan.
a. .

b. .

Ada 20 orang akan dipilih menjadi pengurus PGRI. Tanpa mendaftar lebih dahulu, ada
berapa susunan pengurus PGRI; lalu jelaskan
jika pengurusnya terdiri atas:
a. Ketua dan Sekretaris.
b. Ketua, Sekretaris, dan Bendahara.
Nyatakan hasilnya dalam bentuk faktorial.
Tempat menjelaskan.
a. .

b. .

Jika ada n orang yang akan dipilih menjadi pengurus PGRI. Ada beberapa susunan pengurus
PGRI yang mungkin, jika pengurusnya terdiri atas:
a. 2 orang, yaitu Ketua dan Sekretaris.
b. 3 orang, yaitu Ketua, Sekretaris, dan Bendahara.
c. k orang (di mana k ≤ n)
Nyatakan hasilnya dalam bentuk faktorial.
Berdasar pengerjaan di atas, secara umum, dapat dinyatakan bahwa banyaknya cara memilih
k elemen dari n elemen yang tidak memungkinkan adanya pengulangan elemen jika
urutannya diperhatikan adalah permutasi k objek dari n objek. Banyaknya dapat dinyatakan
dengan:

n!
P =
n k (n − k )!
6

Latihan Bab II.1 (Khusus Permutasi)
1. Dari empat siswa berikut: Ani, Budi, Cici, dan Dedi; dua siswa akan dipilih menjadi ketua
dan wakil ketua kelas. Daftarkan seluruh pilihan (susunan) yang mungkin.
2. Dari 5 orang calon pengurus akan dipilih seorang ketua seorang wakil ketua dan seorang
bendahara. Banyaknya susunan pengurus yang mungkin adalah ....
A. 10
C. 20
E. 125
B. 15
D. 60
3. Banyaknya bilangan terdiri dari empat angka yang disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5
dan 6, serta tidak ada angka yang diulang adalah ...
A. 15
C. 360
E. 1.296
B. 180
D. 648
4. Banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata “KALKULUS”
adalah ....
E. 20.160
C. 8.400
A. 1.680
D. 10.080
B. 5.040
5. Suatu kelompok pengajian ibu-ibu mempunyai anggota 10 orang. Apabila setiap pengajian
duduknya melingkar, banyak cara posisi ibu-ibu dalam duduk melingkar adalah ... .
E. 3.628.800 cara
C. 3.528 cara
A. 720 cara
D. 362.880 cara
B. 1.008 cara
C. Kombinasi
Perhatikan soal berikut. Misalkan Anda baru akan mempelajari konsep kombinasi. Kerjakan
dahulu soal berikut.
Lima guru potensial di kota Merakjingga adalah ANI, BUDI, CICA, EKO, dan FAHRI.
a. Jika akan dipilih pengurus PGRI. yang terdiri atas Ketua dan Sekretaris, daftarkan
seluruh susunan pengurus PGRI yang mungkin.
b. Jika akan dipilih suatu tim yang terdiri atas dua orang dari lima guru untuk mewakili
guru di kota Merakjingga tersebut, daftarkan seluruh tim yang mungkin.
c. Apa yang membedakan dua soal tersebut?
d. Apa hubungan yang ada dari ha sil dua soal tersebut?
e. Bagaimana jika yang akan dipilih adalah tiga guru dari lima guru?
Tempat menjelaskan.

7

Pada pengerjaan soal nomor b di atas, susunan ANI-BUDI dianggap sama dengan susunan
BUDI-ANI atau hanya mewakili satu susunan saja; yang merupakan contoh kombinasi.
Susunan ANI-CICA juga dianggap sama dengan susunan CICA-ANI. Begitu seterusnya.
Terakhir, susunan EKO-FAHRI dianggap sama dengan susunan FAHRI-EKO. Jika pada
permutasi urutan diperhatikan maka pada kombinasi urutan tidak diperhatikan.
Jadi, kombinasi adalah susunan elemen-elemen berlainan yang tidak memperhatikan urutan.
Banyaknya kombinasi r unsur (elemen) dari n unsur yang disediakan (r ≤ n) dan dinyatakan

⎛n⎞

n!

dengan lambang-lambang nCr; Cn,r; C n ; atau ⎜⎜ ⎟⎟ adalah C =
. Rumus ini
r
n k k!(n − k )!
⎝r ⎠
didapat dari rumus permutasi

n!
P =
dan membaginya dengan k!. Pada pengerjaan
n k (n − k )!

soal nomor b di atas, hasil permutasi dibagi dengan 2! = 2. Alasan membagi tersebut adalah
karena susunan ANI-BUDI dianggap sama dengan susunan BUDI-ANI. Begitu juga untuk
susunan yang lain. Jadi, susunan ANI-BUDI dan susunan BUDI-ANI yang dihitung dua pada
permutasi akan dihitung satu pada kombinasi.
Pada pengerjaan soal nomor e di atas, susunan ANI-BUDI-CICA dianggap sama dengan
susunan ANI-CICA-BUDI, BUDI-ANI-CICA, BUDI-CICA-ANI, CICA-ANI-BUDI, dan CICABUDI-ANI. Jadi, setiap susunan tiga elemen yang dihitung 3! pada permutasi akan dihitung
satu pada kombinasi.
Latihan Bab II.2 (Khusus kombinasi)
1. Kombinasi merupakan susunan elemen-elemen berlainan yang tidak membolehkan
pengulangan, dan tanpa memperhatikan urutan. Karenanya, banyaknya kombinasi adalah
sama dengan banyaknya himpunan bagian. Tentukan semua himpunan bagian dari {a, b,
c, d} lalu kaitkan hasilnya dengan kombinasi dan permutasi.
2. Suatu perusahaan cat memiliki 20 warna cat baru. Perusahaan tersebut akan
menggabungkan dua warna cat untuk mendapatkan warna cat baru. Ada berapa warna cat
baru yang didapat?
3. Banyaknya garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang
segaris adalah ....
A. 336
C. 56
E. 16
B. 168
D. 28
4. Suatu reuni dihadiri 20 orang peserta. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat
tangan yang terjadi adalah ....
A. 100
C. 190
E. 380
B. 180
D. 360
5. Dari tujuh tangkai bunga yang berbeda-beda warnanya akan dibentuk rangkaian bunga
yang terdiri dari 3 warna Banyaknya cara menyusun rangkaian bunga tersebut adalah ....
A. 30
C. 42
E. 210
B. 35
D. 70
Latihan Bab II.3 (Gabungan)
1. Dari 6 orang tokoh masyarakat akan dipilih 5 orang untuk menjadi juri dalam suatu lomba.
Banyaknya susunan berbeda yang mungkin terjadi adalah ....

8

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

A. 3 susunan
C. 8 susunan
E. 15 susunan
B. 6 susunan
D. 12 susunan
Pada suatu konferensi hadir 7 negara, yaitu A, B, C, D, E, F, dan G. Bendera masing-masing
negara akan dikibarkan pada tiang yang diatur menjadi satu baris (7 tiang). Ada berapa
macam cara mengatur 7 bendera itu agar bendera negara A dan B terletak di ujung?
E. 2(6!)
C. 7!/2
A. 5!/2
D. 2 (5!)
B. 5!
Pada sebuah bidang datar terdapat 15 titik yang berbeda. Melalui setiap dua titik yang
berbeda dapat dibuat sebuah garis lurus. Banyaknya garis lurus yang dapat dibuat adalah
....
E. 65
C. 90
A. 210
D. 75
B. 105
Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7 dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang
berlainan. Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang kurang dari 400 adalah ....
A. 10
C. 40
E. 120
B. 20
D. 80
Ada 6 siswa baru yang belum saling mengenal satu sama lain. Apabila mereka ingin
berkenalan dengan berjabat tangan, maka jabatan tangan yang akan terjadi sebanyak ... .
A. 10 kali
C. 13 kali
E. 16 kali
B. 12 kali
D. 15 kali
Untuk memperoleh padi jenis baru, dilakukan penyilangan terhadap 7 jenis padi yang
berlainan satu dengan yang lain. Banyaknya macam penyilangan yang dapat dilakukan
ada ....
A. 11.880
C. 1.880
E. 295
B. 9.880
D. 495
Dari empat angka 1, 2, 3 dan 4 dibentuk bilangan-bilangan. Banyaknya bilangan yang
terbentuk dengan nilai masing-masing lebih dari 2000 adalah ....
A. 12
C. 18
E. 24
B. 16
D. 20
Seorang murid diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal nomor 1 sampai
dengan nomor 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut
adalah ....
A. 4
C. 6
E. 10
B. 5
D. 9
Dari 6 siswa akan dipilih 4 siswa sebagai pengurus OSIS. Banyaknya susunan pengurus
yang berbeda yang mungkin dapat dibentuk adalah ....
A. 6
C. 15
E. 30
B. 12
D. 24
Dari 10 siswa akan dipilih suatu tim yang terdiri atas 4 siswa mewakili daerahnya.
Banyaknya susunan tim yang dapat dibentuk adalah ....
A. 6
C. 15
E. 30
B. 12
D. 24
Ali, Bagong, Candra dan Dadang akan bekerja secara bergilir. Banyaknya urutan bekerja
yang dapat disusun dengan Ali selalu pada giliran terakhir adalah ....
A. 3
C. 12
E. 24
B. 6
D. 18
Sebuah organisasi akan memilih ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Jika ketua
dan wakil ketua dipilih dari 5 orang sedangkan sekretaris dan bendahara dipilih dari 4
orang yang lain, banyak susunan pengurus yang terpilih adalah ... .

9

13.

14.

15.

16.

17.

18.
19.

20.

A. 20
C. 56
E. 3.024
B. 32
D. 240
Ada 6 orang pria dan 3 wanita. Mereka akan membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 5
orang, Berapa cara panitia dapat terbentuk bila harus terdiri dari 3 pria dan 2 wanita?
E. 70
C. 40
A. 20
D. 60
B. 30
Ada 10 orang tamu tetapi hanya tersedia 4 kursi. Jika salah seorang duduk dikursi tertentu,
banyaknya cara duduk di kursi tersebut adalah ... .
A. 504 cara
C. 3.020 cara
E. 6.480 cara
B. 720 cara
D. 5.040 cara
Kode sebuah kartu ATM diketahui berupa bilangan 5 digit dengan ciri-ciri berikut :
a. Digit puluhan adalah dua kali lipat digit ribuan,
b. Jika digit ratusan dan satuan dipertukarkan maka nilai bilangan tersebut tidak
berubah, dan
c. Digit puluh ribuan adalah tidak nol.
Jika pemilik kartu ATM tersebut lupa kodenya, tetapi ingat ciri-ciri tersebut, maka peluang
ia dapat langsung menebaknya adalah .... (Soal Isian Singkat nomor 10 Seleksi Tingkat Provinsi
Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP-MTs 2007, 19 Juli 2007)
A. 1/225
C. 1/450
E. 1/600
B. 1/300
D. 1/500
Nomor polisi mobil-mobil di suatu negara selalu terdiri atas 4 angka. Jika disyaratkan
bahwa jumlah keempat angka pada setiap nomor harus habis dibagi 5, maka banyaknya
nomor mobil di negara itu adalah ....
A. 2200
C. 1800
E. 1400
B. 2000
D. 1600
Suatu delegasi terdiri atas 3 pria dan 3 wanita yang dipilih dari himpunan 5 pria yang
berbeda usia dan 5 wanita yang juga berbeda usia. Delegasi itu boleh mencakup paling
panyak hanya satu anggota termuda dari kalangan wanita atau anggota termuda dari
kalangan pria. Dengan persyaratan ini, banyak cara menyusun keanggotaan delegasi ini
adalah ....
A. 52
C. 60
E. 68
B. 56
D. 64
Tentukan banyaknya bilangan asli dari 1 sampai 2005 sedemikian sehingga jumlah angkaangka pada bilangan tersebut habis dibagi 5.
Ada berapa cara (berapa macam hasil yang mungkin) bila kita menarik sekaligus dari
kartu bridge (52 kartu) sebanyak
(a) 3 kartu sembarang
(b) 3 kartu dengan hasil semuanya As
(c) 3 kartu dengan hasil semuanya sekop.
Enam belas tim sepakbola mengikuti suatu turnamen. Pertama-tama mereka
dikelompokkan ke dalam 4 kelompok dengan masing-masing 4 tim di setiap
kelompoknya. Di setiap kelompok mereka saling bermain satu sama lain satu kali. Dua tim
yang memiliki peringkat teratas selanjutnya maju babak berikutnya yang menggunakan
sistim gugur (kalah langsung tereliminasi) sampai ditemukan juaranya. Berapa banyak
pertandingan yang berlangsung dalam turnamen tersebut? (Soal Uraian Nomor 1
Olimpiade Matematika SMP Tahun 2004 Tingkat Propinsi).

10

Bab IV
Peluang
A. Pengantar ke Peluang
Di dalam kehidupan nyata sehari-hari, sering dijumpai pernyataan tentang peristiwa atau
kejadian yang akan datang yang sejatinya berkait dengan teori peluang, seperti: (1) Tidak ada
peluang bagi Pak Ardi untuk lulus sertifikasi; (2) Peluangnya sangat besar, dan mendekati
100%, bagi Chelsea untuk menang melawan tim merah-putih Indonesia. Teori peluang
muncul dari kehidupan nyata sehari-hari para penjudi yang melakukan penyelidikan untuk
memenangkan permainan kartu (remi) dan dadu. Pada awalnya, matematikawan Tartaglia
dan Cardano, memunculkan teori yang berkait dengan permainan judi. Namun teori peluang
seperti yang muncul saat ini merupakan hasil kerja tiga Matematikawan Perancis pada
pertengahan abad ke-17, yaitu: Chavalier de Mere, Blaise Pascal, dan Piere Fermat.
Pada pernyataan nomor 1 di atas, jelas tidak ada peluang sama sekali (0% peluangnya) bagi
Pak Ardi untuk lulus sertifikasi. Alasannya, ia belum memiliki ijazah S1 atau D4. Sebaliknya,
peluang Chelsea untuk menang melawan tim Indonesia adalah 100%. Karena Chelsea pasti
akan mengalahkan Indonesia. Secara singkat, peluang adalah nilai kemungkinan suatu
kejadian atau peristiwa yang berupa bilangan. Lalu, berapa nilai kemungkinan yang akan
diberikan kepada Pak Ardi maupun kepada klub Chelsea? Peluang suatu kejadian atau
peristiwa dinyatakan dengan bilangan mulai 0 sampai dengan 1. Jika dinyatakan dengan
persentase adalah mulai 0% sampai dengan 100%. Karena Pak Ardi belum memiliki ijazah S1
atau D4, maka tidak ada peluang sama sekali bagi Pak Ardi untuk lulus sertifikasi, sehingga
peluangnya adalah 0 atau 0%, yang dikenal juga dengan istilah kemustahilan. Namun dapat
dipastikan bagi Chelsea untuk memenangkan pertandingan melawan tim Indonesia, sehingga
peluangnya adalah 1 atau 100%, yang dikenal juga dengan istilah kepastian.
Latihan Bab IV.1
1. Berilah contoh lain lalu tentukan peluangnya untuk peristiwa yang:
a. tidak mungkin (mustahil) terjadi.
b. pasti terjadi.
2. Apa yang Anda dapatkan dari pengerjaan soal di atas.
B. Pengertian Peluang
Amir melempar dadu biasa seperti nampak pada gambar di kanan atas ini. Mata dadu yang
mungkin muncul pada pelemparan dadu tersebut adalah salah satu dari mata 1, 2, 3, 4, 5, atau
6. Himpunan S = S{1, 2, 3, 4, 5, 6} disebut ruang sampel pada pelemparan dadu, sedangkan
anggota suatu ruang sampel disebut titik sampel. Jadi, ruang sampel adalah himpunan semua
hasil yang mungkin dalam suatu eksperimen atau percobaan. Beberapa himpunan bagian dari
ruang sampel, seperti A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 3, 5}, D = {1} ataupun D = {5, 6} disebut
dengan peristiwa atau kejadian. Notasi P(A) berarti peluang terjadinya peristiwa A. Pada
contoh di atas adalah peluang munculnya mata dadu 2, 4, atau 6.
Jika Amir melempar dadu biasa sebanyak 6.000 kali misalnya, apakah kemunculan mata dadu
6 akan mendekati 1.000 kali? Yakinkah Anda? Kemunculan mata dadu 6 dapat saja mendekati
1.000 kali, namun bisa saja jauh lebih dari atau kurang dari 1.000 kali; tergantung pada dadu
yang dilemparkan. Namun jika dadu yang digunakan adalah dadu yang homogen atau
setimbang. Jadi, pada pembahasan teori peluang ini, digunakan idealisasi berkait dengan dadu
yang ada. Karena itu, pada definisi klasik, diebabkan oleh ddadunya dianggap homogen atau
setimbang; maka setiap titik sampel mempunyai peluang yang sama untuk muncul; sehingga:

11

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) .... (1)
Karena pada pelemparan dadu, munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6; merupakan suatu
kepastian; sehingga didapat:
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 .... (2)
Pada akhirnya, dari persamaan (1) dan (2) diapat:
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6
Dengan cara sama, peluang untuk muncul angka genap, di mana A = {2, 4, 6} adalah:

P ( A) =

n( A) 3 1
= = .
n( S ) 6 2

Secara umum dapat disimpulkan bahwa peluang terjadinya peristiwa atau kejadian A adalah:

P ( A) =
Di mana:

P(A)
n(A)
n(S)

n( A)
n( S )

= peluang terjadinya peristiwa atau kejadian A.
= banyaknya elemen dalam A
= banyaknya elemen dalam S

Jadi, pada definisi klasik, setiap elemen hasil eksperimen (yang disebut S dengan ‘titik
sampel’) diasumsikan berpeluang sama untuk muncul karena adanya idealisasi berkait
dengan dadu ataupun koin yang ada. Di samping definisi klasik tentang peluang, definisi
lainnya adalah definisi empirik yang menyatakan bahwa peluang munculnya suatu peristiwa
dalam suatu percobaan (eksperimen) adalah nilai frekuensi relatif munculnya peristiwa itu
jika banyaknya percobaan tak terhingga. Contohnya, jika dari hasil produksi bola lampu suatu
perusahaan, dilakukan tes terhadap 10.000 bola lampu dan ternyata ada 2 bola lampu yang
mati, rusak, atau cacat; maka dapat disimpulkan bahwa peluang terambil bola lampu adalah
0,0002.
Akibat selanjutnya dari penggunaan idealisasi pada dadu yang dianggap benar-benar
homogen atau setimbang tadi, maka bila sebuah dadu dilambungkan sebanyak 600 kali,
diharapkan akan muncul mata 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 sebanyak 100 kali. Nilai 100 kali ini disebut
dengan frekuensi harapan (Fh) peristiwa A yang dapat juga dicari dengan menggunakan
rumus: Fh(A) = P(A) × n; di mana n menunjukkan banyaknya percobaan dilakukan. Dengan
cara yang sama, jika dilambungkan sekeping mata uang logam sebanyak 100 kali, maka
diharapkan akan muncul muka G (gambar) sebanyak 50 kali. Begitu juga jika diambil 40.000
bola lampu tadi maka frekuensi harapan (Fh) terambil lampu yang mati, rusak, atau cacat
adalah 0,0002×40.000 = 8 bola lampu.
Latihan Bab IV.2
Beberapa tahun lalu, Andi, Banu, Chandra, dan Deni senang bermain togel (judi buntut).
Pada suatu hari, ketiganya menebak nomer-nomer yang terdiri atas dua angka.
• Andi menebak nomer 15 dan 16;
• Banu menebak nomer-nomer dengan angka puluhan 1;
• Chandra menebak nomer-nomer genap;
• Deni tidak menebak.
1. Siapa dari keempat orang tersebut yang pasti tidak mungkin mendapatkan hadiah?
Mengapa? Berapa peluangnya?
2. Dari keempat orang tersebut, siapa yang memiliki kemungkinan paling besar pertama
untuk mendapatkan hadiah? Mengapa? Berapa peluangnya?

12

3. Dari keempat orang tersebut, siapa yang memiliki kemungkinan paling besar kedua untuk
mendapatkan hadiah? Mengapa?
4. Jika Andi mendapatkan hadiah, apakah Banu akan mendapatkan hadiah juga? Bagaimana
dengan Chandra?
5. Aturan togel (judi buntut) menyatakan bahwa tebakan yang terdiri dari dua angka benar
mendapat hadiah 60 kali uang taruhan, tebakan yang terdiri dari tiga angka benar
mendapat hadiah 400 kali uang taruhan, dan tebakan yang terdiri dari empat angka benar
mendapat hadiah 60 kali uang taruhan.
6. Dengan uang taruhan minimal sebesar Rp 5.000,00 untuk setiap nomer, berapa jumlah
uang yang harus disiapkan agar seseorang dengan pasti akan mendapatkan hadiah untuk:
• dua angka;
• tiga angka; dan
• empat angka?
7. Berapa hadiah yang ia terima?
8. Bisakah teori peluang membantu seseorang untuk memprediksi nomer-nomer yang akan
keluar?
9. Dari contoh di atas, jelaskan hal-hal yang berkait dengan istilah berikut, lalu beri contoh.
• Ruang sampel
• Titik sampel
• Peristiwa
• Peluang
10. Tulislah hal-hal lain yang menurut Anda sangat penting untuk diketahui teman-teman
lainnya yang berkait dengan peluang ini
C. Relasi Antar Peristiwa
Relasi atau hubungan antar peristiwa atau kejadian yang akan dibahas pada bagian ini
adalah:
• Relasi lepas (termasuk komplemen)
• Relasi tak lepas
• Relasi bebas
• Relasi tak bebas
1. Relasi lepas dan relasi tak lepas
Pada pelemparan dadu, jika ditentukan beberapa peristiwa atau kejadian berikut:
A = {2, 4, 6}
B = {1, 2, 3}
C = {1, 5}
D = {4, 5, 6}
Perhatikan anggota-anggota pada peristiwa di atas. Kejadian A dan C disebut dua peristiwa
atau kejadian yang saling lepas. Begitu juga kejadian B dan D. Sedangkan peristiwa A dan B,
A dan D, B dan C, serta C dan D disebut dua peristiwa atau kejadian yang tidak saling lepas.
Perhatikan sekali lagi anggota-anggota pada peristiwa di atas. Atribut atau kriteria khusus
apa yang menyebabkan dua peristiwa disebut saling lepas atau tidak saling lepas? Bagaimana
dengan peluang dua kejadian yang saling lepas dan yang tidak saling lepas?
Perhatikan peristiwa A dan C yang saling lepas berikut ini.
A = {2, 4, 6} dan C = {1, 5}
Ternyata, pada dua kejadian yang saling lepas berlaku:
P(A∪C) =

n{2, 4, 6, 1, 5} n{2, 4, 6} n{1, 5}
=
+
= P(A) + P(S)
n(S)
n(S)
n(S)
13

Jadi; P(A∪C) = P(A) + P(B) jika A∩B = ∅
Perhatikan sekarang peristiwa A dan D yang tidak saling lepas berikut ini.
A = {2, 4, 6} dan D = {4, 5, 6}
Ternyata, pada dua kejadian yang tidak saling lepas berlaku:
P(A∪D) =

n{2, 4, 6, 5} 4 n{2, 4, 6} n{4, 5, 6} 3 3 6
= ≠
+
= + =
n(S)
6
n(S)
n(S)
6 6 6

Ternyata yang berlaku adalah:
P(A∪D) =

n{2, 4, 6, 5} n{2, 4, 6} n{4, 5, 6} n( A ∩ D)
=
+
−
n(S)
n(S)
n(S)
n(S)

Secara umum, pada dua kejadian yang tidak saling lepas berlaku:
P(A∪D) =

n{A} n{D} n( A ∩ D)
+
−
n(S)
n(S)
n(S)

Jadi; P(A∪D) = P(A) + P(D) − P(A∩D) ; jika A∩B ≠ ∅
2. Relasi bebas dan relasi tak bebas
Amir melempar dadu dan koin. Ruang sampel dadu dan koin berturut-turut adalah {1, 2, 3, 4,
5, 6} dan {G, A). Tentukan peluang peristiwa K, yaitu terambil mata dadu genap dan angka
(A). Ruang sampel untuk pelemparan dadu dan koin dapat dinyatakan dengan diagram
berikut.
Koin \ Dadu
A
G

1
(A,1)
(G,1)

2
(A,2)
(G,2)

3
(A,3)
(G,3)

4
(A,4)
(G,4)

5
(A,5)
(G,5)

6
(A,6)
(G,6)

Dari tabel di atas terlihat jelas bahwa n(S) = 12 dan n(K) = 3. Dengan demikian P(K) =
Ternyata juga bahwa peluang terambil mata dadu genap adalah
koin berupa angka (A) adalah

3 1
= .
12 4

3
dan peluang terambil mata
6

1
3 1 3 1
; di mana × =
= = P(K). Dua peristiwa A dan B
2
6 2 12 4

dalam ruang sampel S, seperti contoh ini dikatakan saling bebas karena P(A∩B) = P(A) × P(B).
Namun dua peristiwa A dan B dikatakan tidak saling bebas jika P(A∩B) ≠ P(A) × P(B).
Latihan Bab IV.3
1. Perhatikan diagram venn di sebelah kanan ini untuk
peristiwa A dan B; di mana S = {e1, e2, e3, e4}.
a. Tentukan P(A∪B) dengan menggunakan rumus
di atas.
b. Apakah A dan B merupakan 2 peristiwa bebas?
Jelaskan.
2. Perhatikan diagram venn di sebelah kanan ini untuk
peristiwa A dan B; di mana S = {e1, e2, e3, e4, e5}.
a. Tentukan P(A∪B) dengan menggunakan rumus
di atas.
b. Apakah A dan B merupakan 2 peristiwa bebas?
Jelaskan.

A

B

S

. e1 . e2 . e3
. e4
S

A

B

. e1

. e2
. e4
. e3
. e5
14

3. Buktikan secara deduktif bahwa P(A∪D) = P(A) + P(D) − P(A∩D) ; jika A∩B ≠ φ.
4. Buktikan bahwa pada dua peristiwa A dan B yang saling berkomplemen (dengan notasi
AC = B atau BC = A; di mana A∩B = ∅ dan A∪B = S; maka berlaku rumus P(AC) = 1 −
P(A).
D. Peristiwa Bersyarat
Peristiwa bersyarat dengan notasi ‘A⏐B’ yang dibaca: “peristiwa munculnya peristiwa A
setelah diketahui munculnya peristiwa B”; atau dibaca: “peristiwa munculnya A dengan
syarat B.” Perhatikan contoh berikut ini.
Suatu kotak berisi 7 bola (terdiri atas 4 bola merah dan 3 bola kuning). Dari dalam kotak
diambil 2 bola satu demi satu. Tentukan peluang terambilnya 1 bola merah dan 1 bola kuning
jika cara pengambilannya adalah:
a. tanpa pengembalian
b. dengan pengembalian
Berikut ini jawaban soal di atas.
a. Pengambilan tanpa pengembalian
Pada pengambilan bola pertama, dapat terambil bola merah dan dapat juga terambil bola
kuning yang peluangnya berturut-turut adalah

4
7

4
3
dan . Diagram pohonnya adalah:
7
7
3 Merah
3 Kuning

B Merah

•

4 Merah
3 Kuning

3
7

B Kuning

4 Merah
2 Kuning

Perhatikan pada gambar di sebelah kanan atas bahwa jika pada pengambilan bola
pertama, yang terambil adalah bola merah maka di dalam kotak tersisa 3 bola merah dan 3
bola kuning. Namun jika pada pengambilan bola pertama, yang terambil adalah bola
kuning maka di dalam kotak tersisa 4 bola merah dan 2 bola kuning, seperti nampak pada
gambar di sebelah kanan bagian bawah.
Selanjutnya, dengan cara sama, pada pengambilan bola kedua, dari setiap cabang yang
ada akan dapat terambil bola merah dan dapat juga terambil bola kuning; seperti
ditunjukkan dengan diagram pohon peluang berikut.

4
7

3
6

B Merah

•
3
7

B Merah

B Kuning

4
6

3
6

B Kuning
B Merah

2
6

B Kuning

Perhatikan bahwa P(M,M) + P(M,K) + P(K,M) + P(K,K) =

4 3 12
× =
7 6 42
4 3 12
Æ P(M,K)= × =
7 6 42
3 4 12
Æ P(K,M)= × =
7 6 42
3 2 6
Æ P(K,K)= × =
7 6 42
Æ P(M,M)=

12 12 12 6 42
+
+
+
=
=1
42 42 42 42 42

15

Jadi, peluang terambil 1 bola merah dan 1 bola kuning tanpa pengembalian adalah:
P(M,K) + P(K,M) =

12 12 24
+
=
42 42 42

b. Pengambilan dengan pengembalian
Dengan cara seperti yang dilakukan di atas; akan didapat:

4
7

4
7
B Merah

•
3
7

B Merah

B Kuning

4
7

3
7

B Kuning
B Merah

3
7

B Kuning

4 4 16
× =
7 7 49
4 3 12
Æ P(M,K)= × =
7 7 49
3 4 12
Æ P(K,M)= × =
7 7 49
3 3 9
Æ P(K,K)= × =
7 7 49

Æ P(M,M)=

Perhatikan juga bahwa P(M,M) + P(M,K) + P(K,M) + P(K,K) = 1 juga.
Jadi, peluang terambil 1 bola merah dan 1 bola kuning tanpa pengembalian adalah:
P(M,K) + P(K,M) =

12 12 24
+
=
49 49 49

Suatu kotak berisi 7 bola (terdiri atas 4 bola merah dan 3 bola kuning). Dari dalam kotak
diambil 2 bola sekaligus. Tentukan peluang terambil 1 bola merah dan 1 bola kuning.

4 Merah
3 Kuning
Diketahui bahwa suatu kotak berisi 7 bola, lalu diambil 2 bola sekaligus. Dengan demikian,
urutannya tidak diperhatikan. Jadi, ruang sampelnya berupa himpunan 2 bola dari 7 bola
yang ada. Dengan demikian, didapat:
n(S) = 7C2 =

7!
= 21
5! 2!

Jika A adalah terambilnya 1 bola merah dari 4 bola merah dan 1 bola kuning dari 3 bola
kuning, maka didapat:
n(A) = 4C1 × 3C1= 4×3 = 12

Jadi, peluang terambil 1 bola merah dan 1 bola kuning adalah

n( A) 12 24
=
=
n(S) 21 42

Latihan Bab IV.4
Jelaskan mengapa peluang terambilnya 1 bola merah dan 1 bola kuning tanpa pengembalian
adalah sama dengan peluang terambil 1 bola merah dan 1 bola kuning dengan mengambil 2
bola sekaligus.
Latihan Bab IV.5 (Gabungan)
1. Dua buah dadu dilempar sekali. Peluang muncul kedua mata dadu berjumlah 5 adalah ....
A. 1/9
C. 1/3
E. 5/6
B. 5/36
D. 5/12

16

2. Dari 7 orang pria dan 5 orang wanita akan dipilih 4 orang yang terdiri dari tiga pria dan
seorang wanita. Peluang terpilihnya 4 orang tersebut adalah ....
A. 9/198
C. 35/396
E. 37/99
B. 8/99
D. 35/99
3. Suatu kelas terdiri dari 40 siswa, 25 siswa gemar matematika, 21 siswa gemar IPA dan 9
siswa gemar matematika dan IPA. Peluang seorang tidak gemar matematika maupun IPA
adalah ....
A. 25/40
C. 9/40
E. 3/40
B. 12/40
D. 4/40
4. Dari 100 orang mahasiswa, terdaftar 45 orang mengikuti kuliah bahasa Indonesia, 50
orang mengikuti kuliah Sejarah dan 25 orang mengikuti kedua mata kuliah itu. Dipanggil
seorang di antara 100 mahasiswa itu. Berapakah peluangnya agar mahasiswa yang
dipanggil itu tidak mengikuti kuliah bahasa Indonesia maupun Sejarah ?
A. 0,10
C. 0,20
E. 0,30
B. 0,15
D. 0,25
5. Peluang siswa A dan B lulus UMPTN berturut-turut adalah 0,98 dan 0,95. Peluang siswa A
lulus UMPTN dan B tidak lulus adalah ....
A. 0,019
C. 0,074
E. 0,978
B. 0,049
D. 0,935
6. Peluang Nico dapat mengalahkan Rio dalam permainan catur di sekolah adalah 0,60. Jika
mereka bermain sebanyak 20 kali, harapan Rio menang terhadap Nico sebanyak ....
A. 4 kali
C. 8 kali
E. 12 kali
B. 6 kali
D. 10 kali
7. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9
atau 10 adalah ....
A. 3/36
C. 8/36
E. 11/36
B. 7/36
D. 9/36
8. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilempar undi sekali. Peluang munculnya angka
pada mata uang dan bilangan prima pada dadu adalah ....
A. 5/6
C. 1/3
E. 1/6
B. 2/3
D. 1/4
9. Suatu percobaan lempar undi tiga mata uang logam sebanyak 104 kali. Frekuensi harapan
munculnya minimal sisi dua angka adalah ....
A. 26
C. 52
E. 78
B. 36
D. 65
10. Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set lengkap kartu bridge. Peluang bahwa yang
terambil adalah kartu merah atau As adalah ....
A. 2/52
C. 28/52
E. 32/52
B. 26/52
D. 30/52
11. Didalam suatu kotak terdapat 6 bola warna putih, 3 bola warna merah dan 1 bola warna
kuning. Akan diambil 3 buah bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 bola
warna merah dan 1 warna kuning adalah ....
A. 3/100
C. 3/120
E. 4/5
B. 6/100
D. 9/20
12. Sebuah kotak berisi 6 kelereng merah dan 3 hijau. Secara acak diambil dua kelereng satu
demi satu tanpa pengembalian. Peluang terambilnya kelereng keduanya hijau adalah ....
A. 1/24
C. 1/12
E. 1/6
B. 2/27
D. 1/9
13. Dalam sebuah kotak terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng putih. Dua kelereng
diambil satu demi satu dengan pengembalian. Peluang terambilnya kelereng putih kemudian kelereng merah adalah ....
A. 2/15
B. 4/15
C. 3/25

17

D. 6/25
E. 2/5
14. Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu diambil 3
kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 kelereng putih
adalah ....
A. 7/44
C. 34/44
E. 37/44
B. 10/44
D. 35/44
15. Sebuah kotak berisi 3 buah kelereng putih dan 2 buah kelereng hitam. Pada pengambilan
dua kali berurutan, peluang untuk mendapatkan sebuah kelereng hitam pada
pengambilan pertama dan sebuah kelereng hitam lagi pada pengambilan yang kedua
adalah ....
A. 0,08
C. 0,16
E. 0,30
B. 0,10
D. 0,20
16. Sebuah kotak berisi lima bola merah dan tiga bola putih. Kita ambil dua bola sekaligus
dari kotak itu. Berapa peluang (probabilitas) bahwa bola yang terambil bola merah dan
putih?
A. 1/15
C. 10/28
E. 1/3
B. 1/4
D. 1/2
17. Dalam suatu kantong terdapat 5 bola merah dan 5 bola putih. Jika diambil dua bola
sekaligus secara acak, maka frekuensi harapan mendapatkan dua bola berlainan dari 180
kali percobaan adalah ... .
A. 18
C. 40
E. 100
B. 36
D. 72
18. Dua dadu bersisi enam diberi nomor baru pada setiap sisinya. Dadu pertama diberi
nomor 1, 1, 2, 3, 3, 3 dan dadu kedua diberi nomor −1, −1, −1, −2, −2, −3. Jika kedua dadu
dilempar bersamaan, maka peluang terjadinya jumlah bilangan pada kedua sisi atas dadu
bernilai positif adalah ....
A. 1/4
C. 2/3
E. 4/5
B. 1/2
D. 3/4
19. Tiga orang hendak makan siang di suatu rumah makan. Untuk menentukan siapakah
yang membayar mereka membuat suatu permainan. Masing-masing mengetos satu koin
secara bersama-sama. Jika hasilnya muka semua atau belakang semua, maka mereka
mengetos lagi. Jika tidak demikian, maka ’orang ganjil’ (yaitu orang yang koinnya muncul
berbeda dari dua orang lainnya) yang membayar. Tentukan banyaknya semua hasil yang
mungkin jika permainan berakhir pada pengetosan:
a. Pertama.
b. Kedua.
c. Ketiga.
d. Kesepuluh.
20. Satu set soal terdiri dari 3 soal Benar (B) atau Salah (S), serta 3 soal pilihan ganda dengan
jawaban A, B, C, dan D. Seseorang menjawab semua soal secara acak. Berapa peluang ia
hanya menjawab benar 2 butir soal?

18

Bab VI
Penutup
Modul ini disusun dengan maksud untuk memberikan tambahan pengetahuan
berupa wawasan bagi para guru matematika SMK yang mengikuti diklat jenjang
dasar di PPPPTK Matematika. Harapannya, modul ini dapat digunakan sebagai
salah satu sumber untuk dapat memecahkan masalah-masalah selama proses
pembelajaran di kelas yang berkait dengan permutasi, kombinasi, dan peluang. Materi
ini menjadi sangat penting, karena banyak hal di dalam kehidupan sehari-hari yang
berkait dengan teori peluang ini. Contoh konkretnya, teori peluang banyak digunakan
terutama di bidang asuransi, perbankan, dan bisnis. Kecenderungan umur manusia
Indonesia pada umumnya akan sangat menentukan premi yang harus dibayar para peserta
asuransi. Begitu juga kecenderungan umur mesin mobil atau motor akan sangat
menentukan masa dan besarnya angsuran yang harus dilunasi para pelanggan. Hal se perti
itu akan mengikut sertakan teori-teori peluang.

Peluang adalah cara untuk mengkuantifikasi tingkat kepastian suatu peristiwa atau
kejadian akan muncul. Mulai dari nilai 0 (0%) jika tidak ada peluang sama sekali bagi suatu
peristiwa atau kejadian akan muncul, yang dikenal juga dengan istilah kemustahilan. Yang
terbesar adalah nilai 1 (100%) jika suatu peristiwa atau kejadian diyakini passti akan
muncul, yang dikenal juga dengan kepastian. Selanjutnya, Anda diharapkan dapat

mencobakan materi yang ada pada paket ini yang sesuai dengan kondisi di
sekolahnya masing-masing. Untuk soal yang terlalu sulit bagi para siwa di tempat
Anda dapat dimodifikai dengan mempermudah ataupun dengan menyederhanakan
soalnya. Namun perlu diingatkan bahwa modul ini masih jauh dari kesempurnaan.
Karenanya, bapak dan ibu guru diharapkan dapat mencari pustaka lainnya untuk
meningkatkan profesionalisme dan kompetensinya.

Daftar Pustaka
Bergamini, D. (1965). Life Science Library. Mathematics. Nederland: Time-Life
International.
Depdiknas (2006). Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006 Tentang Standar Isi Sekolah
Menengah Atas. Jakarta: Depdiknas.
Raharjo, Marsudi. (2007). Kombinatorik dan Peluang (Makalah Penataran). PPPPTK
Matematika: Yogyakarta.
Spiegel, MB. (1982). Probability and Statistics (Theory and Problem). Mac Graw – Hill Book
Company: Singapore.
Sutjijana, Al. (1998). Paket Pembinaan Calon Peserta IMO. Kombinatorik dan Algoritma.
Yogyakarta: PPPG Matematika

19