PERBANDINGAN CAPITAL ASSET PRICING MODEL (CAPM) DAN THREE FACT ORS MODEL FAMA AND FRENCH (T FMFF) DALAM MENGEST IMASI RET URN SAHAM.
OPEN JOURNAL SYSTEMS Journal Help
USER Username Password
Remember me
Log In
NOTIFICATIONS
View
Subscribe / Unsubscribe
JOURNAL CONTENT Search
All
Search
Browse
By Issue By Author
E - J u r n a l M a t e m a t i k a
E-Jurnal Matematika http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/index
(2)
By Title
Other Journals
FONT SIZE
INFORMATION For Readers For Authors For Librarians
HOME ABOUT LOG IN REGISTER SEARCH CURRENT ARCHIVES EDITORIAL
TEAM CONTACT
Home
>
Vol 4, No 4 (2015)E-Jurnal Matematika merupakan salah satu jurnal elektronik yang ada di Universitas Udayana, sebagai media komunikasi antar peminat di bidang ilmu matematika dan terapannya, seperti statistika, matematika finansial, pengajaran matematika dan terapan matematika dibidang ilmu lainnya. Jurnal ini lahir sebagai salah satu bentuk nyata peran serta jurusan Matematika FMIPA UNUD guna mendukung percepatan tercapainya target mutu UNUD, selain itu jurnal ini terbit didorong oleh surat edaran Dirjen DIKTI tentang syarat publikasi karya ilmiah bagi program Sarjana di Jurnal Ilmiah. E-jurnal Matematika juga menerima hasil-hasil penelitian yang tidak secara langsung berkaitan dengan tugas akhir mahasiswa meliputi penelitian
(3)
atau artikel yang merupakan kajian keilmuan.
E-Jurnal Matematika http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/index
(4)
KLASIFIKASI KARAKTERISTIK KECELAKAAN LALU LINTAS DI KOTA DENPASAR DENGAN PENDEKATAN
CLASSIFICATION AND REGRESSION TREES (CART)
I GEDE AGUS JIWADIANA, I KOMANG GDE SUKARSA, I GUSTI AYU MADE SRINADI 146-151
MENENTUKAN FORMULA PREMI TAHUNAN TIDAK KONSTAN PADA ASURANSI JOINT LIFE PDF
I GEDE BAGUS PASEK SUBADRA, I NYOMAN WIDANA, DESAK PUTU EKA NILAKUSMAWATI
152-157
OPTIMALISASI PENJUALAN KAIN ENDEK DENGAN METODE KARUSH-KUHN-TUCKER (KKT) PDF
I GEDE ARIS JANOVA PUTRA, NI MADE ASIH, I NYOMAN WIDANA 158-162
METODE QUEST DAN CHAID PADA KLASIFIKASI KARAKTERISTIK NASABAH KREDIT PDF
NUR FAIZA, I WAYAN SUMARJAYA, I GUSTI AYU MADE SRINADI 163-168
MODEL PERSAMAAN STRUKTURAL TINGKAT KEPUASAN MASYARAKAT TERHADAP KUALITAS PELAYANAN
JALAN TOL BALI MANDARA
I PUTU AGUS WIDHIANTARA, I KOMANG GDE SUKARSA, I PUTU EKA N. KENCANA 169-175
ESTIMASI MODEL REGRESI SEMIPARAMETRIK MENGGUNAKAN ESTIMATOR KERNEL UNIFORM (Studi
Kasus: Pasien DBD di RS Puri Raharja)
ANNA FITRIANI, I GUSTI AYU MADE SRINADI, MADE SUSILAWATI 176-180
(5)
PERBANDINGAN CAPITAL ASSET PRICING MODEL (CAPM) DAN THREE FACTORS MODEL FAMA AND
FRENCH (TFMFF) DALAM MENGESTIMASI RETURN SAHAM
KADEK MIRA PITRIYANTI, KOMANG DHARMAWAN, G.K. GANDHIADI 181-187
ESTIMASI NILAI CONDITIONAL VALUE AT RISK MENGGUNAKAN FUNGSI GAUSSIAN COPULA PDF
HERLINA HIDAYATI, KOMANG DHARMAWAN, I WAYAN SUMARJAYA 188-194
MENENTUKAN PREMI TAHUNAN UNTUK TIGA ORANG PADA ASURANSI JIWA HIDUP GABUNGAN (JOINT
LIFE)
TRI YANA BHUANA, I NYOMAN WIDANA, LUH PUTU IDA HARINI 195-200
OPTIMALISASI PERENCANAAN PRODUKSI DENGAN PREEMPTIVE GOAL PROGRAMMING (STUDI KASUS: UD.
DODOL MADE MERTA TEJAKULA, SINGARAJA)
NI PUTU DEVIYANTI, NI KETUT TARI TASTRAWATI, I WAYAN SUMARJAYA 201-207
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License. ISSN: 2303-1751
E-Jurnal Matematika http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/index
(6)
OPEN JOURNAL SYSTEMS Journal Help
USER Username Password
Remember me
Log In
NOTIFICATIONS
View
Subscribe / Unsubscribe
JOURNAL CONTENT Search
All
Search
Browse
By Issue By Author By Title Other Journals
E - J u r n a l M a t e m a t i k a
(7)
FONT SIZE
INFORMATION For Readers For Authors For Librarians
HOME ABOUT LOG IN REGISTER SEARCH CURRENT ARCHIVES EDITORIAL
TEAM CONTACT
Home > About the Journal > Editorial Team
Desak Putu Eka Nilakusumawati, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Indonesia
I Made Eka Dwipayana, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Dr. Tjokorda Bagus Oka, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Dr. Komang Dharmawan, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Drs. GK Gandhiadi, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia Ir. I Komang Gde Sukarsa, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Editorial Team http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/about/editorialTeam
(8)
Ir. I Putu Eka Nila Kencana, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia I Gusti Ayu Made Srinadi, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia Made Susilawati, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License. ISSN: 2303-1751
(9)
E-Jurnal Matematika Vol. 4 (4), November 2015, pp. 146-151 ISSN: 2303-1751
146
KLASIFIKASI KARAKTERISTIK KECELAKAAN LALU LINTAS DI
KOTA DENPASAR DENGAN PENDEKATAN
CLASSIFICATION AND
REGRESSION TREES
(CART)
I Gede Agus Jiwadiana§1,IKomang Gde Sukarsa2, I Gusti Ayu Made Srinadi3
1
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: sakjiwa@yahoo.co.id]
2Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: sukarsakomang@yahoo.co.id]
3Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: srinadiigustiayumade@yahoo.co.id]
§
Corresponding Author
ABSTRACT
The aim of this research is to determine the classification characteristics of traffic accidents in Denpasar city in January-July 2014 by using Classification And Regression Trees (CART). Then, for determine the explanatory variables into the main classifier of CART. The result showed that optimum CART generate three terminal node. First terminal node, there are 12 people were classified as heavy traffic accident characteritics with single accident, and second terminal nodes, there are 68 people were classified as minor traffic accident characteristics by type of traffic accident rear, front-front, front-side, pedestrians, side-side and location of traffic accident in district road and sub-district road. For third terminal node, there are 291 people were classified as medium traffic accident characteristics by type of traffic accident front-rear, front-front, front-side, pedestrians, side-side and location of traffic accident in municipality road and explanatory variables into the main splitter to make of CART is type of traffic accident with maximum homogeneity measure of 0.03252.
Keywords: CART, traffic accident, terminal node
1. PENDAHULUAN
Umumnya masalah klasifikasi diselesaikan dengan menggunakan metode regresi logistik dan analisis diskriminan (Lusyanti [1]). Analisis diskriminan memerlukan asumsi multivariate normal dan varians kovarians sama, sedangkan metode regresi logistik tidak memerlukan kedua asumsi tersebut. Metode ini memerlukan data yang lengkap, dan sensitif terhadap outlier.
Salah satu metode alternatif masalah klasifikasi yang lebih longgar atau tidak terikat oleh asumsi-asumsi dan tidak berbentuk
probabilitas adalah metode klasifikasi
berstruktur pohon yang diperkenalkan oleh Breimen, L., Friedmen, J., Olshen, R., dan
Stone, C. pada tahun 1984 yaitu Classification
and Regression Trees (CART). Metode CART
merupakan alat yang digunakan dalam
eksplorasi data nonparametrik yang dapat
digunakan untuk melihat hubungan antara variabel terikat dengan variabel bebas yang berukuran besar dan kompleks (Pratiwi dan Zain [2]). Variabel bersifat kompleks dapat berupa dimensinya yang besar atau jenis variabel bebasnya campuran, misalnya kontinu dan kategorik, baik nominal maupun ordinal. Jika variabel terikatnyanya berupa variabel kontinu maka akan diperoleh model pohon regresi, jika variabel terikatnyanya kategorik maka akan diperoleh model pohon klasifikasi.
Model CART dikenal karena kesederhanaan dan efisiensi ketika berhadapan dengan kasus yang jumlah datanya besar. CART diperoleh menggunakan pembagian cepat yang secara rekursif mempartisi data menjadi sub yang lebih kecil.
Penelitian menggunakan metode CART sudah pernah dilakukan oleh Suniantara (2008) serta Pratiwi dan Zain [2]. Suniantara (2008)
(10)
Jiwadiana, I G.A., Sukarsa, I K.G., Srinadi, I G.A.M. Klasifikasi Karakteristik Kecelakaan Lalu Lintas…
menerapkan metode CART dalam bidang kesehatan yaitu memprediksi berat badan bayi lahir. Penelitian ini menghasilkan model pohon regresi karena variabel terikatnyanya bersifat kontinu. Pratiwi dan Zain [2] meneliti tentang klasifikasi pengangguran terbuka menggunakan CART di Provinsi Sulawesi Utara.
Salah satu kasus yang terkait dengan metode CART adalah karakteristik kecelakaan lalu lintas. Pihak kepolisian telah mengumpulkan data kecelakaan lalu lintas setiap harinya sehingga menghasilkan data dalam jumlah yang besar untuk setiap bulannya. Data tersebut berupa data bertipe kategorik. Penelitian tentang kecelakaan lalu lintas pernah dilakukan oleh Afidah [3]. Masalah yang muncul dalam
kecelakaan lalu lintas ini adalah pada
karakteristik kecelakaan lalu lintas. Karakteristik kecelakaan lalu lintas ini dibagi menjadi tiga kelompok yaitu ringan, sedang, dan berat. Ketiga kelompok tersebut dipengaruhi oleh empat faktor yaitu faktor manusia, kendaraan, jalan, dan alam (lingkungan) (Afidah [3]). Perlu cara untuk mengetahui faktor-faktor apakah
yang dapat memengaruhi karakteristik
kecelakaan lalu lintas tersebut, sehingga pihak kepolisian dapat mengambil tindakan yang dapat mengurangi kondisi korban. Penelitian tentang kecelakaan lalu lintas pernah dilakukan oleh Afidah [3], meneliti pola tingkat keparahan korban lalu lintas dengan menggunakan regresi logistik multinomial.
Permasalahan dalam penelitian adalah bagaimana klasifikasi karakteristik dan variabel apa yang mejadi pemilah utama dalam penentuan klasifikasi karakteristik kecelakaan lalu lintas di Kota Denpasar dari bulan Januari sampai Juli 2014?
Tujuan penelitian adalah untuk mengetahui klasifikasi karakteristik dan variabel yang
mejadi pemilah utama dalam penentuan
klasifikasi karakteristik kecelakaan lalu lintas di Kota Denpasar dari bulan Januari sampai Juli 2014.
2. METODE PENELITIAN
Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari POLRESTA (Kepolisian Resor Kota) tentang data Kecelakaan Lalu Lintas di Kota Denpasar dari bulan Januari sampai bulan Juli 2014.
Gambaran umum variabel terikat dan variabel bebas dalam penelitian dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Gambaran Umum Variabel Terikat dan Variabel Bebas
Penelitian ini dilaksanakan dengan metode studi kasus, yaitu dilakukan dengan menerapkan
teori untuk menganalisis data dengan
menggunakan program CART Pro EX V6.0.
No Peubah Jenis Kategori
1 Karakteristik
kecelakaan lalu lintas
(variabel terikat)
Diskrit 1. Ringan
2. Sedang
3. Berat
2 Jenis
kecelakaan lalu lintas
(variabel bebas)
Diskrit 1. Tunggal
2.
Samping-samping
3. Depan-samping
4. Depan-depan
5. Depan-belakang
6. Pejalan kaki
3 Waktu
(variabel bebas)
Diskrit 1. Lalu lintas padat (antara pukul
06.00 WITA –
08.00 WITA, antara pukul
12.00 WITA –
13.30 WITA, antara pukul
16.00 WITA –
18.00 WITA) 2. Lalu lintas sepi
(selain waktu padat)
4 Lokasi Status
jalan (variabel bebas)
Diskrit 1. Nasional
2. Provinsi
3. Kabupaten
4. Kodya
5. Kecamatan
5 Jenis kelamin
(variabel bebas)
Diskrit 1. Laki-laki
2. Perempuan
6 Umur(variabel
bebas)
(11)
E-Jurnal Matematika Vol. 4 (4), November 2015, pp. 146-151 ISSN: 2303-1751
148
Langkah-langkah yang dilakukan dalam
penelitian ini adalah:
1) Penentuan pemilah dan pemilahan secara
rekursif pada simpul dengan menggunakan pemilah Indeks Gini yaitu:
i j t | i p t | j p t idengan i
t adalah nilai indeks gini,
j|tp adalah proporsi kelas j pada simpul
t, dan p
i|t adalah proporsi kelas i padasimpul t (Timofeev [4]). Penetapan sebuah
simpul sebagai simpul terminal, jika banyak data pada simpul tersebut kurang atau sama dengan 5.
2) Penandaan label kelas simpul yang
ditentukan berdasarkan jumlah kelas
terbanyak pada simpul.
3) Pemangkasan CART yang dilakukan untuk
mendapatkan pohon yang minimum dengan menggunakan persamaan berikut:
T RT TR
dengan R
T adalah Resubtitution Estimate(Proporsi kesalahan pada sub pohon T,
adalah kompleksitas parameter, dan T
adalah jumlah simpul terminal pada pohon T (Breimen [5]).
4) Pemilihan CART optimal dengan
menggunakan Cross Validation V-Fold
Estimate.Amatan dalam L dibagi menjadi V bagian yang saling lepas dengan ukuran kurang lebih sama besar ditiap kelasnya. Learning sample ke-v dengan v= 1,2,...,V
digunakan untuk membentuk pohon
T
k v .Misal d v
x adalah hasilpengklasifikasian, maka penduga sampel uji untuk
R
ts
T
k v adalah:
v n n,j L x n n v v v k ts j x d X N 1 T RDengan menggunakan amatan induk L untuk
membentuk deretan pohon
Tk , makapenduga validasi silang lipat V untuk
T
k vadalah:
V 1 v v k ts k cv T R V 1 T RPohon klasifikasi optimum dipilih Tk*
dengan
cv
kk k cv
T
R
min
*
T
R
.3 HASIL DAN PEMBAHASAN
Objek orang pada penelitian ini adalah data kecelakaan lalu lintas di Kota Denpasar dari Bulan Januari sampai Bulan Juli 2014. Variabel terikat pada penelitian ini adalah karakteristik kecelakaan lalu lintas, sedangkan variabel bebasnya adalah jenis laka (kecelakaan lalu lintas), waktu, lokasi laka, jenis kelamin, dan umur. Dari 371 data kecelakaan lalu lintas di Kota Denpasar selama tahun 2014, diperoleh gambaran karakteristik kecelakaan lalu lintas yaitu kecelakaan ringan 24% atau 87 orang, kecelakaan sedang sebesar 53% atau 198 orang, dan kecelakaan berat sebesar 23% atau 86 orang.
3.1 Pembentukan CART Awal
CART awal dibentuk dengan menggunakan metode pemilahan Indeks Gini. Metode ini memisahkan kelas yang anggota kelasnya terbesar lebih dahulu atau yang merupakan kelas terpenting dalam simpul tersebut. Berikut ini, diberikan kemungkinan pemilah pada masing-masing variabel bebas:
1) Jenis laka
x dengan 6 kategori nominal, 1kemungkinan pemilah 261131
2) Waktu
x dengan 2 kategori nominal, 2mempunyai kemungkinan pemilah
1
1
2
21
3) Lokasi status jalan
x3 dengan 5 kategori nominal, mempunyai kemungkinan pemilah15 1 251
4) Jenis kelamin
x4 dengan 2 kategorinominal, mempunyai kemungkinan pemilah
1
1
2
21
Umur
x5 merupakan data kontinu. Dari 371orang, terdapat n nilai amatan berbeda, maka
terdapat n-1 kemungkinan pemilah.
Pemilah yang memberikan nilai indeks gini tertinggi adalah pemilah terbaik yang digunakan
(12)
Jiwadiana, I G.A., Sukarsa, I K.G., Srinadi, I G.A.M. Klasifikasi Karakteristik Kecelakaan Lalu Lintas…
sebagai pemilah pertama dalam pembentukan pohon. Dari lima variabel bebas, pemilahan
pertama kali dilakukan terhadap simpul
akar/utama yang didasarkan pada jenis laka dengan nilai indeks gini 0,03252. Nilai indeks gini masing-masing variabel ditampilkan dalam Tabel 2.
Tabel 2. Nilai Indeks Gini
Peubah jenis laka terpilih sebagai pemilah utama karena memberikan nilai indeks gini tertinggi dari variabel lain. Dengan kata lain bahwa, variabel bebas jenis laka merupakan peubah utama yang berperan penting dalam pembentukan CART.
Pemilahan ini memisahkan simpul utama menjadi kelompok jenis kecelakaan depan-belakang, depan-depan, depan-samping, pejalan-kaki, samping-samping, dan kelompok jenis kecelakaan tunggal. Hasil pemilahan pada simpul ini, jumlah objek sebelah kiri sebanyak 359 orang dan sebelah kanan sebanyak 12 orang. Dari 359 orang tersebut, terdapat karakteristik kecelakaan berat sebesar 74 orang, kecelakaan ringan 87 orang, dan kecelakaan sedang 198
orang. Sedangkan dari 12 orang pada simpul kanan tersebut hanya terdapat 12 orang dengan karakteristik kecelakaan berat. Selanjutnya simpul dua dipilah berdasarkan lokasi laka, dan seterusnya muncul variabel-variabel bebas jenis kelamin, umur, dan waktu laka. Secara umum semua variabel bebas muncul sebagai pemilah.
Penghentian pembentukan CART dilakukan ketika banyaknya amatan pada simpul kurang dari 5 atau dalam simpul terdapat amatan yang homogen. Maka didapatkan CART awal dengan 42 simpul terminal.
3.2 Pemangkasan Pohon
Hasil dari pembentukan CART dengan metode pemilahan Indeks Gini berukuran sangat besar yaitu 42 simpul. Ukuran pohon yang besar
ini dapat menimbulkan overfitting. Untuk
mengatasinya maka dicari pohon dugaan yang yang layak dengan memangkas pohon tersebut.
Pemangkasan CART merupakan suatu upaya untuk menentukan ukuran CART yang terbaik bagi CART yang terbentuk. Proses
pemangkasan pohon dilakukan apabila
memenuhi persamaanR
t R
tleft Rtr ight , maka tr ig h t dan tleft dipangkas. Berdasarkan perhitungan program yang digunakan diperoleh 18 sub pohon yang dihasilkan dari proses pemangkasan.Setelah CART dipangkas, ditentukan CART
optimum menggunakan penduga silang lipat V
(Cross Validation V-Fold Estimate). CART
optimum didapatkan berdasarkan nilai Rcv
minimum yaitu 0,83540+/-0,03440 atau
0,80100≤ cv
R ≤0,86980 dengan parameter
kompleksitas
0,020682. Berdasarkankriteria ini, didapatkan CART optimum dengan tiga simpul akhir. Letak pemangkasan CART tersebut dapat dilihat pada Tabel 3.
Variabel
bebas Pemisah
Indeks gini
N kiri
N kanan 1 Jenis
Laka
depan-belakang, 0,03252 359 12
depan-depan,
depan-samping,
pejalan kaki,
samping-samping 2 Lokasi
Laka
Jalan
Kabupaten, 0,02304 277 94
Jalan
Kecamatan,
Jalan Kodya
3 Jenis
Kelamin Perempuan 0,01267 123 248
4 Umur 39.50000 0,00566 270 101
(13)
E-Jurnal Matematika Vol. 4 (4), November 2015, pp. 146-151 ISSN: 2303-1751
150
Tabel 3. Letak Pemangkasan CART
Pohon Jumlah simpul
terminal
Cross-Validated Relative Cost (biaya kesalahan)
Resubtitution Relative Cost (penduga pengganti)
komplesitas parameter
1 42 0,91886 +/- 0,04079 0,48357 0,000000
11 15 0,87560 +/- 0,04126 0,59757 0,005648
12 14 0,89038 +/- 0,04101 0,60893 0,007584
13 13 0,89474 +/- 0,04107 0,62069 0,007851
14 9 0,85753 +/- 0,04151 0,67477 0,009023
15 8 0,85646 +/- 0,04143 0,68998 0,010150
16 7 0,85240 +/- 0,04070 0,71065 0,013791
17 6 0,85310 +/- 0,04058 0,73220 0,014379
18 5 0,84997 +/- 0,03953 0,75824 0,017367
19** 3 0,83540 +/- 0,03440 0,82025 0,020682
20 1 1,00000 +/- 0,00003 1,00000 0,059926
Berdasarkan Rcv minimum sebesar
0,83540+/-0,03440 diperoleh CART optimum dari proses pemangkasan dengan simpul-simpul terminal yang dihasilkan dan digambarkan pada Gambar 1.
Gambar 1. CART Optimum dengan Tiga Simpul Terminal
Dalam proses pemangkasan berdasarkan
cv
R minimum, didapatkan CART dengan tiga
simpul terminal. Dengan peubah yang masuk dalam CART tersebut adalah jenis laka dan lokasi laka. Jenis laka menjadi pemilah utama dalam pembentukan CART. Ketiga simpul terminal yang dihasilkan dapat diuraikan sebagai berikut:
1. Simpul terminal pertama, terdiri dari 12
orang yang dikelompokkan sebagai
karakteristik kecelakaan lalu lintas berat dengan jenis laka tunggal.
2. Simpul terminal kedua, terdiri dari 68
orang yang dikelompokkan sebagai
karakteristik kecelakaan lalu lintas ringan dengan jenis laka belakang, depan-depan, depan-samping, pejalan kaki, samping-samping dan lokasi laka jalan Kabupaten, jalan Kecamatan.
3. Simpul terminal ketiga, terdiri dari 291
orang yang dikelompokkan sebagai
karakteristik kecelakaan lalu lintas sedang dengan jenis laka belakang, depan-depan, depan-samping, pejalan kaki, samping-samping dan lokasi laka jalan Kodya.
4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa CART optimum yang terbentuk menghasilkan tiga simpul terminal yaitu simpul terminal pertama, terdiri dari 12 orang yang dikelompokkan sebagai karakteristik kecelakaan lalu lintas berat dengan jenis laka tunggal, simpul terminal kedua, terdiri dari 68 orang yang dikelompokkan sebagai karakteristik kecelakaan lalu lintas ringan dengan jenis laka depan-belakang, depan-depan, depan-samping, pejalan kaki, samping-samping dan lokasi laka jalan Kabupaten, jalan Kecamatan, serta Simpul
Node 1 Kelas = sedang
N = 371
Node 2 Kelas = sedang
N = 359 Node 3
Kelas = berat N = 12
Node 1 Kelas = ringan
N = 68
Node 2 Kelas = sedang
(14)
Jiwadiana, I G.A., Sukarsa, I K.G., Srinadi, I G.A.M. Klasifikasi Karakteristik Kecelakaan Lalu Lintas…
terminal ketiga, terdiri dari 291 orang yang dikelompokkan sebagai karakteristik kecelakaan lalu lintas sedang dengan jenis laka depan-belakang, depan-depan, depan-samping, pejalan kaki, samping-samping dan lokasi laka jalan kodya dan variabel bebas yang menjadi pemilah utama dalam pembentukan CART adalah jenis laka dengan nilai indeks gini 0,03252.
Daftar Pustaka
[1] Lusyanti, Merlina. 2010. Perbandingan Metode Regresi Logistik Dengan Metode Pohon Klasifikasi Pada Data Polikotomus
(Studi Kasus Pada Faktor Yang
Berpengaruh Terhadap Keberhasilan
Pengobatan Akupuntur Pada Penderita
Obesitas Di LP3A Surabaya). Skripsi.
Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember (tidak dipublikasikan).
[2] Pratiwi, F. E., dan Zain, I. 2014. Klasifikasi
Pengangguran Terbuka Menggunakan
CART (Classification and Regression Tree) di Provinsi Sulawesi Utara. Sains dan Seni Pomit, Jurusan Statistika, FMIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
[3] Afidah, L. N. 2011. Pola Tingkat Keparahan Korban Kecelakaan Lalu Lintas dengan Menggunakan Regresi Logistik Multinomial (Studi Kasus Kecelakaan Lalu
Lintas di Surabaya). Skripsi. Surabaya:
Institut Teknologi Sepuluh Nopember (tidak dipublikasikan).
[4] Timofeev, R. 2004. Classification and
Regression Trees (CART) Theory and Applications. Berlin: Center of Applied
Statistics and Economics Humboldt
University.
[5] Breimen, L. F. 1984. Classification and
Regression Tree. New York: Chapman And Hall.
(15)
E-Jurnal Matematika Vol. 4 (4), November 2015, pp. 152-157 ISSN: 2303-1751
152
MENENTUKAN FORMULA PREMI TAHUNAN TIDAK KONSTAN
PADA ASURANSI
JOINT LIFE
I Gede Bagus Pasek Subadra§1,I Nyoman Widana2, Desak Putu Eka Nilakusmawati3
1
Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: igedebagus_paseks@yahoo.com]
2Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: nwidana@yahoo.com]
3Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: nilakusmawati_desak@yahoo.com]
§
Corresponding Author
ABSTRACT
The aim of this research was to determine the annual premium formula that turns on the joint life insurance. This formula uses the reference insurance contracts of the previous research Insurance Models for Joint Life and Last Survivor Benefits. The first step is to determine the value of mortality tables by using the Table Helligman-pollard. Furthermore, determining the value of a life annuity and
single premium. The results of this research was formula to be affected by the changing premium ( )
with the increase and decrease in constant interest.
Keywords: The Annual Premium, The Annual Premium Turned, Joint Life Insurance, α.
1. PENDAHULUAN
Pada kebutuhan hidup berkeluarga tentunya sebagai seorang kepala keluarga ingin sekali
berusaha untuk menjamin kesejahteraan
keluarganya. Kesejahteraan tersebut akan
terganggu apabila kepala keluarga jatuh sakit, cacat ataupun meninggal dunia. Sebagian dari jaminan kesejahteraan dapat diperoleh apabila kepala keluarga mengasuransikan dirinya agar kesejahteraan hidup keluarga dapat terpenuhi (Sembiring [5]). Kesejahteraan tersebut dapat terpenuhi apabila kepala keluarga tersebut mengikuti asuransi. Sampai saat ini ada berbagai jenis kontrak asuransi, yaitu asuransi individu atau asuransi untuk satu orang dan asuransi bersama atau asuransi minimal dua orang.
Asuransi jiwa merupakan salah satu
instrumen yang dapat digunakan untuk
memindahkan resiko, dimana apabila terjadi resiko kematian pada seseorang maka ahli warisnya akan memperoleh sejumlah dana yang disebut uang pertanggungan atau santunan.
Sebagai konsekuensinya peserta asuransi
diwajibkan untuk membayar sejumlah uang
kepada perusahaan asuransi jiwa setiap jangka waktu tertentu, yang biasa disebut premi.
Perusahaan asuransi jiwa merupakan
perusahaan yang memberikan jasa dalam penanggulangan risiko yang dikaitkan dengan hidup atau meninggalnya seseorang yang dipertanggungkan. Suatu perusahaan asuransi
jiwa tidak menutup kemungkinan untuk
menawarkan produk asuransi kepada peserta yang ingin melakukan asuransi jiwa secara bersama atau asuransi joint life. Asuransi joint life adalah suatu keadaan di mana aturan hidup dan matinya merupakan gabungan dari dua faktor atau lebih, misalnya suami-istri, orangtua-anak, suami-istri-orangtua-anak, dan lain sebagainya (Futami [3]). Peserta yang mengikuti asuransi joint life wajib membayar suatu kewajiban (premi) setiap tahunnya sesuai dengan kontrak.
Dilihat dari besarnya pembayaran premi, ada dua jenis pembayaran premi, yaitu pembayaran premi standar/konstan dan pembayaran premi yang berubah atau premi tidak konstan. Untuk pembayaran premi standar/konstan setiap tahun besar pembayarannya selalu sama sedangkan jika setiap tahun besar pembayaran preminya
(16)
Subadra, I G.B.P., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E. Menentukan Formula Premi Tahunan Tidak Konstan pada…
pembayaran premi yang berubah atau premi tidak konstan. Hal ini juga perlu dilakukan mengingat besarnya penghasilan masyarakat tidak selalu tetap.
Pada penelitian ini akan dilakukan
bagaimana menentukan formula premi tahunan tidak konstan pada asuransi joint life.
2. METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini digunakan kontrak asuransi yang terdiri dari pasangan suami-istri, apabila peserta berusia x tahun dan y tahun tetap hidup mencapai kontrak asuransi berakhir atau
dengan kata lain peserta mencapai usia
dan , maka peserta mendapatkan uang pertanggungan sebesar Q. Apabila salah satu dari peserta meninggal dunia sebelum masa kontrak misalnya apabila y meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir maka x mulai tahun ke-n selama seumur hidup setiap tahunnya mendapatkan uang pertanggungan (benefit)
sebesar , demikian juga sebaliknya apabila x
meninggal dunia maka y akan mendapat uang
pertanggungan (benefit) sebesar . Apabila
kematian dari pasangan juga terjadi (x dan y meninggal) sebelum kontrak berakhir maka ahli waris akan mendapatkan uang pertanggungan sejumlah premi yang telah dibayarkan, pada akhir tahun kematiannya (Futami [2]).
Perbandingan antara peluang meninggalnya
peserta x tahun sebelum mencapai usia
tahun dengan peluang peserta x tahun tetap bertahan hidup selama 1 tahun (Matvejevs & Matvejevs [4]) dapat dirumuskan sebagai
dengan merupakan nilai
kostanta dari Tabel 2.1.
Peluang orang berusia x tahun akan tetap hidup selama n tahun dan y tahun akan tetap hidup
selama n tahun dinotasikan dengan
(Futami, [3]) dirumuskan sebagai
Anuitas yang pembayarannya dijanjikan akan dilakukan selang beberapa waktu kemudian disebut anuitas tunda. Anuitas yang ditunda
pembayarannya ada yang dilakukan di awal tahun (Futami [2]) dapat dirumuskan sebagai
| ̈
Tabel 2.1. Nilai Konstan dari Formula Helligman-Pollard
Konstan Pria Wanita
A 0.00194 0.00115
B 0.05093 0.03310
C 0.14249 0.12811
D 0.00607 0.00029
E 1.61992 23.44606
F 57.83349 21.11713
G 0.00005 0.00006
H 1.10715 1.09116
.
Nilai sekarang anuitas awal dari anuitas hidup berjangka joint life apabila x dan y tetap
hidup
(Matvejevs
&
Matvejevs
[4])
dirumuskan sebagai
̈ ⌉ Besar premi ditentukan dengan prinsip ekuivalensi dan mempunyai persamaan
dengan L menyatakan besarnya kerugian pihak penanggung yang didefinisikan sebagai variabel random dari nilai tunai benefit yang dibayarkan pihak penanggung.
Premi tunggal adalah pembayaran premi asuransi yang dilakukan pada waktu kontrak
asuransi disetujui, selanjutnya tidak ada
pembayaran lagi. Premi tunggal pure
endowment adalah pembayaran premi pada suatu
kontrak asuransi jiwa yang dibayarkan
pemegang polis, mulai dari saat kontrak dimulai sampai dengan jangka waktu tertentu (Eric V. Slud [1]). Premi tunggal pure endowment joint life untuk peserta yang berusia x tahun dan y tahun, dengan jangka waktu tertanggung n tahun (Futami [3]) dirumuskan sebagai
|̅̅̅
Asuransi berjangka adalah suatu asuransi apabila pemegang polis mulai disetujuinya kontrak asuransi sampai dengan jangka waktu tertentu (meninggal) sebelum masa kontrak
(17)
E-Jurnal Matematika Vol. 4 (4), November 2015, pp. 152-157 ISSN: 2303-1751
154
pertanggungannya (Matvejevs & Matvejevs [4]). Premi tunggal asuransi berjangka joint life dirumuskan sebagai
⌉ ∑
Usia tertanggung x tahun dan y tahun, meninggal pada tahun polis pertama besarnya uang pertanggungan dikalikan 1, meninggal tahun polis kedua besarnya uang pertanggungan dikalikan 2, dan seterusnya. Setiap tahun apabila meninggal besarnya uang pertanggungan selalu bertambah 1. Asuransi yang demikian ini disebut juga asuransi berjangka menaik. Untuk masa
pertanggungan selama n tahun, uang
pertanggungan dibayarkan pada akhir masa pertanggungan, single preminya dinotasikan
dengan ⌉ (Futami [3]) dan dirumuskan
sebagai
⌉ ∑
( )
Sehubungan dengan asuransi tersebut maka nilai tunai dari pendapatan premi dan nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat (Matvejevs & Matvejevs [4]) dirumuskan sebagai
1. Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan
konstan pada joint life dapat dinyatakan sebagai
( )
2. Nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh
pihak penanggung dapat dinyatakan sebagai
∑ ∑ |
∑ ∑ |
⌉ |̅̅̅ | ̈ | ̈
⌉
3. Dengan menggunakan prinsip ekuivalensi,
besar preminya adalah
̈ ⌉ |̅̅̅ | ̈ | ̈ ⌉
Sehingga besarnya premi tahunan yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi adalah
|̅̅̅
| ̈
| ̈
̈ ⌉ ⌉
3. HASIL PENELITIAN DAN DISKUSI
3.1 Premi Konstan
Nilai premi tahunan konstan pada asuransi
joint life sudah dicari dengan menggunakan
rumus persamaan (2.3). dengan menggunakan
Sehingga diperoleh
3.2 Formula Premi Tahunan Tidak Konstan
Kontrak asuransi melibatkan pasangan suami-istri dengan usia berturut-turut x tahun dan y tahun. Pembayaran premi dilakukan n tahun selama keduanya masih hidup. Besarnya pembayaran premi selalu berubah setiap tahunnya tergantung tingkat bunga menurun atau
menaik yang digunakan ( ). Misalkan P
pembayaran yang dilakukan di tahun pertama,
merupakan pembayaran di tahun kedua, dan seterusnya sampai tahun ke-n yang
pembayarannya adalah .
Rincian dari uang pertanggungan (benefit) adalah
1. Setelah n tahun apabila kedua peserta (x dan
y) masih tetap hidup mereka akan
mendapatkan uang pertanggungan sebesar Q rupiah. Dengan demikian kontrak asuransi ini berakhir.
2. Jika salah satu dari pasangan ini meninggal
dunia, misalkan y meninggal dunia, maka ada dua kemungkinan untuk pembayaran benefitnya, yaitu :
a. Di akhir tahun dari kematian
pasangannya (di awal tahun berikutnya) dengan benefit sejumlah premi yang dibayarkan atau dengan kata lain semua
(18)
Subadra, I G.B.P., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E. Menentukan Formula Premi Tahunan Tidak Konstan pada…
premi yang telah dibayarkan akan dikembalikan.
b. Setelah berakhirnya masa pembayaran
premi yaitu setelah pasangannya
mencapai usia tahun. Maka setiap
tahunnya peserta x memperoleh uang
pertanggungannya sebesar rupiah
selama seumur hidup (selama x masih tetap hidup) demikian juga sebaliknya jika peserta x yang meninggal dunia maka peserta y akan memperoleh
sebesar rupiah.
3. Jika pasangan yang keduanya meninggal
dunia sebelum kontrak selesai dengan kata lain x dan y meninggal maka kontrak berakhir dan tidak ada lagi pembayaran.
Sehubungan dengan kontrak asuransi
tersebut maka nilai tunai dari pendapatan premi dan nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dirumuskan sebagai
1. Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan
tidak konstan pada joint life dapat dinyatakan sebagai
(
)
̈ ⌉ ∑
2. Nilai tunai dari pengembalian premi yang
dibayarkan oleh pihak penanggung
dinyatakan sebagai ∑
( )
∑
(
)
Sehingga nilai tunai yang diharapkan dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung adalah
∑ ∑
∑ ∑
∑
( ) ∑
(
)
|̅̅̅ | ̈ | ̈ ∑
( ) ∑
(
)
3. Dengan menggunakan prinsip ekivalensi,
besar preminya adalah ( ̈ ⌉) ∑
|̅̅̅ | ̈ | ̈ ∑
( ) ∑
(
)
Dengan demikian dapat ditentukan formula premi tahunan tidak konstan yang harus dibayarkan peserta asuransi joint life, yaitu:
̈ ⌉ ∑ ( ) [ |̅̅̅ | ̈ | ̈ ∑
(
)
∑
]
Berikut diberikan contoh perhitungan
(ilustrasi kasus) perhitungan premi tahunan tidak konstan.
1. Usia mulai asuransi
Usia mulai asuransi adalah usia yang ditetapkan sebagai mulainya peserta (suami-istri) mengikuti asuransi. Dalam kasus ini,
(19)
E-Jurnal Matematika Vol. 4 (4), November 2015, pp. 152-157 ISSN: 2303-1751
156
usia suami (x) adalah 50 tahun dan usia istri (y) adalah 45 tahun.
2. Masa pertanggungan asuransi
Masa pertanggungan asuransi adalah
lamanya peserta melakukan kontrak
asuransi. Dalam kasus ini, ditetapkan untuk
masa pertanggungan asuransi .
3. Tingkat bunga
Besarnya tingkat bunga yang digunakan
adalah konstan yaitu
4. Santunan
Besarnya santunan setelah masa
pertanggungan berakhir apabila kedua peserta masih hidup, maka mereka akan
diberikan uang sejumlah 1 rupiah (
rupiah) demikian juga apabila (y) meninggal dan (x) tetap hidup diakhir kontrak, maka (x)
akan memperoleh 1 rupiah ( rupiah)
setiap tahunnya selama seumur hidup. Hal yang sama juga berlaku apabila (x) meninggal dan (y) tetap hidup, maka akan
dibayar sebesar 1 rupiah ( rupiah).
Tetapi apabila (x) dan (y) meninggal dunia sebelum kontrak berakhir, maka semua pembayaran premi yang telah dibayarkan akan dikembalikan.
Berdasarkan rumus yang diperoleh,
besarnya pembayaran premi tahunan tidak konstan sangat dipengaruhi oleh besarnya nilai
yang digunakan. Misalkan dipilih bernilai
negatif maka ini berarti besar pembayaran
preminya selalu menurun setiap tahun.
Demikian pula sebaliknya jika dipilih bernilai
positif maka preminya selalu meningkat sebesar setiap tahun. Pada penelitian ini mula-mula
besarnya nilai yang digunakan adalah
dari premi konstan atau dengan kata lain premi
menurun sebesar dan premi
meningkat sebesar Sedangkan
konstanta- konstanta yang lain nilainya sama dengan konstanta pada perhitungan premi konstan.
Jika diperoleh besar premi
tahun pertamanya adalah
Akibatnya besar premi pada tahun ke-t untuk t=1,2,3,…10 adalah
Sedangkan jika besar premi tahun
pertamanya adalah
Dan premi pada pada tahun ke-t adalah
Setelah mendapatkan hasil dari premi tahunan tidak konstan maka dapat dibandingkan hasilnya dengan premi tahunan konstan, dapat dilihat pada Tabel 3.1.
Tabel 3.1. Premi Kostan dan Premi Tidak Konstan
Tahun Premi
Konstan
Premi menurun
Premi meningkat
1 0.34753 0.46914 0.22592
2 0.34753 0.43439 0.26067
3 0.34753 0.39964 0.29542
4 0.34753 0.36489 0.33017
5 0.34753 0.33014 0.36492
6 0.34753 0.29539 0.39967
7 0.34753 0.26064 0.43442
8 0.34753 0.22589 0.46917
9 0.34753 0.19114 0.50392
10 0.34753 0.15639 0.53867
Jumlah
Premi 3.4753 3.12765 3.82295
Perbandingan antara premi menurun
dengan premi meningkat terlihat pada Tabel
3.1.
Pada pembayaran tahun pertama premi
menurun dengan premi meningkat adalah 2 : 1
dan setelah pembayaran di akhir tahun terlihat bahwa perbandingannya adalah 1 : 3. Tetapi untuk besarnya uang pertanggungan yang didapatkan jauh berbeda antara premi
menurun dengan meningkat. Pada premi
menurun sebesar 3.12765 sedangkan premi meningkat sebesar 3.82295.
Apabila Tabel 3.1 disajikan dalam bentuk grafik, untuk pembayaran premi konstan dan premi yang menurun disajikan pada Gambar 3.1.
(20)
Subadra, I G.B.P., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E. Menentukan Formula Premi Tahunan Tidak Konstan pada…
Gambar 3.1. Premi Konstan dan Premi Menurun Sedangkan grafik untuk premi konstan dan premi meningkat dapat dilihat pada Gambar 3.2.
Gambar 3.2 Premi Konstan dan Premi Meningkat
Untuk pembayaran premi yang menurun (PT) , dari Gambar 3.1 terlihat bahwa
Selain itu, perlu dicatat bahwa mulai di tahun ke-5 peserta asuransi joint life akan membayar premi yang lebih kecil daripada peserta dengan model pembayaran premi konstan. Hal yang sebaliknya berlaku untuk pembayaran premi yang selalu meningkat.
dan ditahun ke-5 peserta asuransi joint life ini akan membayar premi yang lebih besar daripada dengan model pembayaran premi konstan.
4. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan pembahasan dan hasil
penelitian yang diperoleh, maka dapat
disimpulkan, bahwa:
Rumusan/formula penentuan premi tahunan tidak konstan pada asuransi joint life adalah
̈ ⌉ ⌉ |̅̅̅ | ̈
| ̈ ∑
(
)
∑
untuk masa pertanggungan n tahun.
Beberapa saran untuk penelitian selanjutnya, yaitu: (1) Peneliti dapat melanjutkan penelitian tentang bagaimana menentukan formula premi
tahunan pada asuransi joint life untuk
tertanggung lebih dari 2 orang dan (2) Peneliti dapat juga melanjutkan penelitian dalam menentukan formula dari cadangan premi pada asuransi joint life.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Eric V. Slud, 2001. Actuarial Mathematics. College Park.
[2] Futami, T., 1993. Matematika Asuransi Jiwa Bagian I. Tokyo: Oriental Life Insurance Cultural Development Center. [3] _________. 1994. Matematika Asuransi
Jiwa Bagian II. Tokyo: Oriental Life Insurance Cultural Development Center [4] Matvejevs, A. & Matvejevs, A., 2001.
Insurance Models for Joint Life and Last Survivor Benefit, Informatica, 12(4), pp. 547-58.
[5] Sembiring, R.K., 1986. Asuransi I. Jakarta: Universitas Terbuka, Depdikbud.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
(21)
E-Jurnal Matematika Vol. 4 (4), November 2015, pp. 158-162 ISSN: 2303-1751
158
OPTIMALISASI PENJUALAN KAIN ENDEK DENGAN
METODE KARUSH-KUHN-TUCKER (KKT)
I Gede Aris Janova Putra§1,Ni Made Asih2, I Nyoman Widana3
1
Jurusan Matematika, FMIPA – Universitas Udayana [Email: igajputra@gmail.com]
2Jurusan Matematika, FMIPA – Universitas Udayana [Email: asihmath77@gmail.com]
3Jurusan Matematika, FMIPA – Universitas Udayana [Email: nwidana@yahoo.com]
§
Corresponding Author
ABSTRACT
This study is conducted to determine the optimal sales value of endek mastuli, endek rangrang, endek saraswati, endek gradasi, and endek alam in Novala Busana Shop and Trans Collection Shop in order to reache maximum advantage by using Karush-Kuhn-Tucker (KKT) method. Karush-Khun-Tucker method can be used to find the optimum solution of the function regardless of whether linear or nonlinear. In the workmanship is KKT method essentially involves the same steps as Lagrange method, from a Lagrangean to be able to calculate the critical points, finding all solutions , and calculate of the value . In this study, most of quarterly show that which must be sold are kind of endek mastuli in reaching the maximum benefit. For other kinds of endek is constantly provided but it is not as much as before. Suggested to the next research could involve more variated variable with more interesting cases.
Keywords: Karush-Khun-Tucker (KKT) method, Lagrangean, Optimization, Constraint, Endek
1. PENDAHULUAN
Setiap suatu usaha dagang, tentu hal yang ingin dicapai adalah memperoleh keuntungan
yang maksimum. Pencapaian keuntungan
maksimum dapat dicapai dengan suatu strategi
penjualan. Salah satunya dalam ilmu
matematika dapat diselesaikan dengan metode optimasi. Contoh kasus optimasi berkendala yaitu mengetahui jenis kain endek yang akan dijual untuk mencapai keuntungan yang maksimum.
Penelitian ini merupakan studi kasus penjualan kain endek pada dua toko yaitu toko Novala Busana dan toko Trans Collection. Adapun tujuan penelitian adalah mengetahui bentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala yang diperoleh dari penjualan kain endek pada masing-masing toko, dan menentukan nilai optimal penjualan (proporsi suatu item yang dijual untuk mencapai keuntungan yang maksimum) yang diperoleh dengan metode Karush-Kuhn-Tucker (KKT).
Karush-Kuhn-Tucker pada tahun 1951 mengemukakan teknik optimasi yang dapat digunakan dalam pencarian titik optimum dari suatu fungsi yang berkendala tanpa memandang linier maupun nonlinier. Misalkan menghadapi masalah optimasi dalam bentuk:
Maksimumkan/Minimumkan:
) dengan (1) dengan kendala
atau 0 dengan
(banyak kendala lebih kecil atau sama dengan banyak variabel)
Pertama tuliskan kembali persyaratan yang tak
negatif menjadi
sehingga himpunan kendalanya adalah
persyaratan ketidaksamaan yang masing-masing dengan tanda lebih kecil dari pada atau sama dengan. Kemudian tambahkan variabel-variabel
,…, berturut-turut pada ruas
(22)
Putra, I G.A.J., Asih, N.M., Widana, I N. Optimalisasi Penjualan Kain Endek dengan Metode Karush-Kuhn-Tucker
demikian merubah setiap ketidaksamaan
menjadi suatu kesamaan. Variabel slack yang
ditambahkan berbentuk suku-suku kuadrat untuk menjamin bahwa mereka tak negatif [1]. Kemudian bentuk fungsi Lagrange:
∑ [ ]
∑ [ ] (2)
Fungsi Lagrange yang dibentuk adalah fungsi
tujuan ditambahkan dengan total kendala.
Untuk adalah pengali-pengali
Lagrange [2].
Langkah terakhir selesaikan sistem persamaan:
(3)
(4)
(5)
Persamaan-persamaan (3), (4), dan (5)
membentuk persyaratan Karush-Kuhn-Tucker
(KKT) untuk maksimasi/minimasi program linier dan nonlinier [3]. Sehingga syarat Karush-Kuhn-Tucker (KKT) untuk kasus: Minimumkan:
) dengan (6) dengan kendala
dengan
dapat dinyatakan dalam satu set pernyataan sebagai berikut: (7)
∑ Catatan:
(i) Jika permasalahannya adalah
memaksimumkan, maka .
(ii) Jika kendalanya adalah , maka
.
(iii)Jika permasalahannya adalah
memaksimumkan dan jika kendalanya
adalah , maka .
Nilai optimum (nilai maksimum atau nilai minimum) suatu fungsi multi variabel dengan
kendala (constrains) berupa suatu persamaan
adalah suatu kasus optimasi yang sering
ditemukan dalam teori maksimum dan minimum yang terdapat dalam kalkulus. Adapun metode matematika yang dapat digunakan untuk kasus
tersebut adalah metode pengali Lagrange [4].
Sedangkan untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi matematika multi variabel dengan kendala berupa suatu pertidaksamaan adalah suatu hal yang perlu dipelajari lebih lanjut dalam
teori optimasi. Metode Karush-Kuhn-Tucker
(KKT) adalah suatu metode untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi dengan kendala berupa pertidaksamaan [5].
Prosedur menggunakan metode
Karush-Kuhn-Tucker (KKT) dalam memecahkan suatu masalah optimasi dengan kendala berupa pertidaksamaan, langkahnya sama halnya dengan
menggunakan metode Lagrange untuk
memecahkan masalah optimasi dengan kendala berupa suatu persamaan yaitu:
1. Membentuk suatu fungsi ‘Lagrangian’ L, maka dapat menghitung titik-titik kritisnya dan menguji nilai fungsi objektif pada setiap titik kritis yang memuat fungsi objektif optimal. Jadi dalam hal ini dibentuk suatu fungsi
Lagrange yang didefinisikan dengan:
∑
2. Mencari semua solusi dalam himpunan
persamaan berikut:
dengan
Penyelesaian dari setiap sistem persamaan ini,
selanjutnya disebut titik kritis dari L.
Selanjutnya misalkan M menotasikan
himpunan titik-titik kritis yaitu
M ={(x, λ)|(x, λ) adalah titik kritis dari L}.
3. Langkah terakhir yaitu menghitung nilai dari f
untuk setiap titik kritis yang merupakan himpunan bagian dari M, yang memuat fungsi tujuan menjadi optimum.
(23)
E-Jurnal Matematika Vol. 4 (4), November 2015, pp. 158-162 ISSN: 2303-1751
160
2. METODE PENELITIAN
Sumber data dalam penelitian ini diperoleh dari data sekunder, yaitu melalui dokumen-dokumen yang terdapat pada toko Novala Busana dan toko Trans Collection periode 1
tahun (1 April 2014 – 31 Maret 2015). Dalam
penelitian ini, variabel yang digunakan adalah jenis kain endek dan harga kain endek. Untuk
variabel jenis kain endek yaitu kain endek
mastuli ( ), kain endek rangrang kain
endek saraswati ( ), kain endek gradasi ( ),
dan kain endek alam ( ). Sedangkan untuk
variabel harga kain endek yaitu harga modal kain endek dan harga jual kepada konsumen. Langkah-langkah yang digunakan dalam metode penelitian ini adalah:
1. Penyajian data penjualan masing-masing
toko.
2. Menentukan variabel keputusan
3. Menentukan fungsi tujuan
4. Menentukan fungsi batasan
5. Mempartisi menjadi 4 bagian (Triwulan)
6. Optimalisasi KKT dengan bantuan
software Matlab
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan jenis-jenis kain endek yang diteliti penjualannya pada toko Novala Busana dan toko Trans Collection, dapat ditentukan variabel keputusan, yaitu:
= Jumlah penjualan kain endek mastuli (pcs)
= Jumlah penjualan kain endek rangrang (pcs)
= Jumlah penjualan kain endek saraswati (pcs)
= Jumlah penjualan kain endek gradasi (pcs)
= Jumlah penjualan kain endek alam (pcs)
Tujuan yang ingin dicapai dalam
penelitian ini adalah untuk mencapai
keuntungan maksimum pada setiap jenis kain endek. Keuntungan diperoleh dari selisih antara harga modal dan harga jual kepada konsumen. Koefisien dari masing-masing variabel keputusan menunjukan keuntungan dari setiap jenis kain endek.
Fungsi tujuan Toko Novala Busana
Fungsi tujuan Toko Trans Collection
Selanjutnya adalah menentukan fungsi batasan. Fungsi batasan dibentuk berdasarkan peluang masing-masing produk yang terjual terhadap total produk yang disediakan pada masing-masing toko. Periode waktu yang digunakan selama 1 tahun yang dipartisi menjadi 4 bagian, setiap bagian terdiri dari 3
bulan (triwulan). Bentuk baku fungsi
batasannya yaitu:
Fungsi Batasan Toko Novala Busana Triwulan I (April, Mei, Juni)
Triwulan II (Juli, Agustus, September)
Triwulan III (Oktober,November,Desember)
Triwulan IV (Januari, Februari, Maret)
Fungsi Batasan Toko Trans Collection Triwulan I (April, Mei, Juni)
Triwulan II (Juli, Agustus, September)
Triwulan III (Oktober,November,Desember)
(24)
Putra, I G.A.J., Asih, N.M., Widana, I N. Optimalisasi Penjualan Kain Endek dengan Metode Karush-Kuhn-Tucker
Triwulan IV (Januari, Februari, Maret)
Setelah menentukan variabel keputusan, memodelkan fungsi tujuan dan fungsi batasan
maka membetuk Lagrangian untuk
menghitung titik-titik kritisnya, dan langkah
selanjutnya memaksimumkan dengan
syarat: ∑
Untuk mempermudah perhitungan dalam
mencari masing-masing nilai digunakan
software Matlab, diperoleh nilai
455.6098, 0.0000,
384.3902, 0.0000, 0.0000. Hasil
tersebut menunjukan bahwa toko Novala Busana dalam triwulan I akan mencapai keuntungan maksimum apabila terjual kain
endek mastuli sebanyak 456 pcs dan
endek saraswati sebanyak 384 pcs,
dengan mencapai keuntungan maksimum yaitu sebesar Rp 59.156.000. Dengan langkah yang sama seperti pada triwulan 1, maka hasil yang diperoleh untuk triwulan 2,3,4 apabila dibentuk tabel maka hasilnya:
Tabel 1. Keuntungan Maksimum Triwulan Toko Novala Busana Tri Wulan x 1 (pcs) x 2 (pcs) x 3 (pcs) x 4 (pcs) x 5 (pcs) Keuntungan (Rp)
I 456 0 384 0 0 59.156.000
II 580 0 260 0 0 60.396.000
III 840 0 0 0 0 63.000.000
IV 840 0 0 0 0 63.000.000
Hasil tersebut menunjukan bahwa triwulan I dan triwulan II sebaiknya sebagian besar
menjual kain endek mastuli dan kain
endek saraswati ( ). Pada triwulan III dan
triwulan IV toko Novala Busana cukup dengan memaksimalkan penjualan kain endek
mastuli maka toko telah memperoleh
keuntungan maksimum.
Menentukan nilai optimum pada triwulan I toko Trans Collection, untuk mencari
masing-masing nilai digunakan software
Matlab untuk mempermudah perhitungan,
sehingga diperoleh nilai 392.6316,
0.000, 447.3684, 0.0000,
0.0000.
Sehingga Toko Trans Collection dalam triwulan I akan mencapai keuntungan maksimum apabila terjual kain endek mastuli
sebanyak 393 pcs dan endek
saraswati sebanyak 447 pcs dengan
keuntungan maksimum yaitu sebesar Rp 62.179.000. Dengan langkah yang sama seperti pada triwulan I, maka hasil yang diperoleh untuk triwulan II, III, IV apabila dibentuk tabel maka hasilnya:
Tabel 2. Keuntungan Maksimum Triwulan Toko Trans Collection
Toko Trans Collection pada keempat triwulan periode 1 April 2014 sampai dengan
31 Maret 2015, hasil yang diperoleh
menunjukkan bahwa triwulan I, triwulan II dan triwulan III sebaiknya sebagian besar menjual
kain endek mastuli ( ) dan kain endek
saraswati ( ). Sedangkan pada triwulan IV
toko Trans Collection cukup dengan
memaksimalkan penjualan kain endek
mastuli maka toko telah memperoleh
keuntungan maksimum.
4. KESIMPULAN DAN SARAN
Pada penelitian ini diperoleh kesimpulan yaitu, toko Novala Busana berdasarkan triwulan I dan II jenis kain endek yang dijual sebagian
Tri wulan x 1 (pcs) x 2 (pcs) x 3 (pcs) x 4 (pcs) x 5 (pcs) Keuntungan (Rp)
I 393 0 477 0 0 62.179.000
II 499 0 390 0 0 63,871.000
III 837 0 3 0 0 75.516.000
(25)
E-Jurnal Matematika Vol. 4 (4), November 2015, pp. 158-162 ISSN: 2303-1751
162
besar adalah endek mastuli dan endek
saraswati untuk mencapai keuntungan yang
maksimum. Sedangkan pada triwulan III dan IV yang dijual sebagian besar adalah kain endek
mastuli Keuntungan terbesar, terlihat pada
triwulan III dan IV yaitu sebesar Rp. 63.000.000.
Pada toko Trans Collection berdasarkan triwulan I, II, dan III jenis kain endek yang
dijual sebagian besar adalah endek mastuli
dan endek saraswati ( ). Sedangkan pada
triwulan IV produk yang dijual sebagian besar adalah kain endek mastuli. Keuntungan terbesar, terlihat pada triwulan IV yaitu sebesar Rp. 75.600.000.
Hasil penelitian menunjukan sebagian besar yang harus dijual adalah jenis kain endek mastuli untuk mencapai keuntungan yang maksimum, akan tetapi pada kasus kehidupan dunia nyata, setiap individu belum tentu menyukai satu jenis kain endek yang sama. Dengan demikian disarankan untuk masing-masing toko, bukan berarti jenis kain endek lain tidak mesti dijual melainkan tetap tersediakan walaupun tidak sebanyak sebelumnya. Pada
penelitian selanjutnya diharapkan dapat
melibatkan variabel yang lebih bervariasi dengan kasus yang lebih menarik.
DAFTAR PUSTAKA
[1] A. Taha, H. 1996. Riset Operasi. Terjemahan Daniel Wirajaya. Jakarta: Penerbit Binarupa Aksara.
[2] Amalia. 2010. Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker dalam
Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis. Skripsi. Universitas Sumatra Utara. http://repository.usu.ac.id/bitstream/12345 6789/14099/1/10E00011.pdf. Diakses tanggal 3 Februari 2015.
[3] Luknanto, D. 2000. Pengantar Optimasi Non Linier. Yogyakarta: UGM.
hhtp://luk.Staff.Ugm.ac.id/Optimasi/pdf/no nlinier2003/.pdf. (Diunduh 2 Februari 2015).
[4] Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. 2004. Kalkulus. Edisi Kedelapan
Terjemahan Julian Gressando. Jakarta: Penerbit Erlangga.
[5] Rao, S. S. 1984. Optimization Theory and Applications. Second Edition. USA: Dept. of Mechanical Engg. San Diego State University.
(26)
E-Jurnal Matematika Vol. 4 (4), November 2015, pp. 163-168 ISSN: 2303-1751
METODE QUEST DAN CHAID PADA KLASIFIKASI
KARAKTERISTIK NASABAH KREDIT
Nur Faiza§1,I Wayan Sumarjaya2, I Gusti Ayu Made Srinadi3
1
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana [Email: nurfaiza_0606@yahoo.com]
2Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana [Email: sumarjaya@gmail.com]
3Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana [Email: srinadiigustiayumade@yahoo.co.id]
§
Corresponding Author
ABSTRACT
This aim of this research is to find out the classification results and to compare the magnitude of misclassification of QUEST and CHAID methods on the classification of customer of Adira Kredit Elektronik branch Denpasar. QUEST (Quick, Unbiased, Efficient Statistical Trees) and CHAID (Chi-squared Automatic Interaction Detection) are nonparametric methods that produce tree diagram which is easy to interpret. The QUEST and CHAID classification methods conclude that: 1) QUEST method produces three groups which predict customers into the current category, whereas CHAID method produces four groups which also predict customer into the current category; 2) both methods
generate the biggest classification accuracy for customers that current categorywhich share similar
characteristics; 3) both methods also have the same degree of accuracy in classifying customer data Adira Kredit Elektronik branch Denpasar.
Keywords: Classification, QUEST, CHAID, customer credit status.
1. PENDAHULUAN
Klasifikasi merupakan pengelompokan secara sistematis suatu objek atau benda ke dalam golongan atau pola-pola tertentu berdasarkan
kesamaan ciri. Masalah klasifikasi sering
dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, baik pada bidang industri, sosial, kesehatan maupun pendidikan.
Penelitian
ini
membahas
metode
klasifikasi pohon menggunakan metode
QUEST dan CHAID dengan variabel
berskala kategorik, dengan tujuan untuk
mengetahui
hasil
klasifikasi
dan
membandingkan
besarnya
kesalahan
klasifikasi dari metode QUEST dan CHAID
pada klasifikasi data nasabah Adira Kredit
Elektronik Cabang Denpasar.
Metode QUEST merupakan algoritma
yang diperkenalkan oleh Loh dan Shih [3],
sebagai salah satu bentuk metode pohon
klasifikasi yang menghasilkan pohon biner.
QUEST diterapkan pada data dengan variabel
respon kategorik dan variabel prediktor
berupa variabel kategorik maupun numerik.
QUEST merupakan modifikasi dari analisis
diskriminan kuadratik. Analisis diskriminan
kuadratik diterapkan pada proses penentuan
simpul penyekat.
Algoritma QUEST dibagi menjadi tiga bagian yaitu, algoritma pemilihan variabel penyekat, algoritma penentuan simpul penyekat, dan algoritma penghentian pembentukan pohon [3].
Langkah-langkah algoritma pemilihan
variabel penyekat dengan variabel kategorik
adalah sebagai berikut: pertama, untuk setiap
variabel prediktor kategorik, lakukan uji
khi-kuadrat dan hitung
p-value. Kedua, pilih
(27)
p-Faiza, N., Sumarjaya, I W., Srinadi, I G.A.M. Metode Quest dan Chaid pada Klasifikasi Karakteristik Nasabah Kredit
164
value
terkecil atau yang paling signifikan
sebagai variabel penyekat (Loh dan Shih [3]).
Setelah terpilih variabel penyekat, langkah selanjutnya adalah menentukan simpul penyekat.
Apabila variabel penyekat yang terpilih berupa
variabel kategorik dan terdiri lebih dari dua kategori, maka dilakukan transformasi ke variabel numerik dan selanjutnya diterapkan analisis diskriminan kudratik untuk mencari akar
dari persamaan kuadrat ,
dengan:
̅ ̅
̅ ̅ | | .
dengan ̅ dan adalah rata-rata dan ragam
variabel penyekat dari pengamatan variabel
respon pertama, sedangkan ̅ dan adalah
rata-rata dan ragam variabel penyekat dari pengamatan variabel respon kedua[3]. Jika akar yang dihasilkan adalah akar tunggal, maka akar tersebut dipilih sebagai simpul penyekat. Tetapi jika akar yang dihasilkan terdiri dari 2 akar, maka akan dipilih akar yang mendekati rata-rata dari variabel respon pertama sebagai simpul penyekat.
Proses pemilihan simpul secara rekursif akan
terhenti apabila salah satu dari aturan
penghentian tercapai. Ada empat aturan
penghentian pembentukan pohon yaitu: pertama, jika simpul penyekat menjadi murni yaitu apabila semua kasus masuk ke dalam salah satu kategori variabel respon. Kedua, jika semua kasus yang terdapat di dalam simpul memiliki nilai-nilai identik untuk tiap variabel prediktor. Kedua, jika kedalaman pohon sudah mencapai kedalaman pohon maksimum yang ditetapkan. Keempat, jika banyaknya kasus yang masuk ke dalam simpul sudah mencapai jumlah minimum yang ditetapkan.
Hasil analisis dari metode QUEST akan dibandingkan dengan metode pendahulunya, yaitu metode CHAID. CHAID merupakan algoritma yang diperkenalkan oleh Kass (1980), metode klasifikasi yang lebih dulu diterapkan dan menghasilkan pohon nonbiner (Kass [2]).
CHAID diterapkan pada data dengan variabel respon dan variabel prediktor berupa variabel kategorik.
CHAID membedakan variabel prediktor kategorik menjadi tiga bentuk yang berbeda, yaitu: monotonik, bebas, dan mengambang (Gallagher [1]).
Algoritma CHAID secara lengkap yaitu sebagai berikut (Kass [2]): Pertama, untuk setiap variabel prediktor, buat tabulasi silang kategori variabel prediktor dengan kategori-kategori variabel respon. Kedua, untuk setiap tabulasi silang yang diperoleh (susun subtabel
yang berukuran yang mungkin, adalah
banyaknya kategori variabel respon) cari pasangan kategori variabel prediktor yang memiliki angka uji paling kecil. Jika angka uji tidak mencapai nilai kritis, gabungkan kedua
kategori tersebut menjadi satu kategori
campuran. Ulangi langkah ini sampai angka uji kategori campuran melampaui nilai kritis. Ketiga, untuk setiap kategori gabungan yang terbentuk dari 3 atau lebih kategori asal, temukan pemisahan biner yang memiliki angka uji yang paling besar (pemisahan berdasarkan tipe variabel prediktor). Jika angka uji ini lebih besar dari nilai kritis, buatlah pemisahan tersebut dan kembali ke langkah 2 di atas. Keempat, untuk setiap tabulasi silang variabel prediktor yang telah digabungkan secara optimal, pilih yang memiliki angka uji paling besar. Jika angka uji ini lebih besar dari nilai kritis, bagilah data
menurut kategori–kategori yang telah
digabungkan dari variabel prediktor yang telah
dipilih. Pada tahap ini apabila terjadi
pengurangan tabel kontingensi dari tabel asal maka gunakan uji koreksi Bonferoni dan jika tidak maka lakukan uji khi-kuadrat untuk uji signifikansi. Kelima, untuk setiap pembagian data yang belum dianalisis, kembali ke langkah 1.
Dalam menyeleksi apakah seseorang layak mendapatkan pinjaman kredit, dibutuhkan suatu analisis statistika salah satunya dengan metode klasifikasi. Dalam hal ini, metode klasifikasi digunakan untuk membagi suatu nasabah ke dalam kelompok yang lebih kecil kelompoknya berdasarkan status pembayaran kredit lancar atau
(28)
E-Jurnal Matematika Vol. 4 (4), November 2015, pp. 163-168 ISSN: 2303-1751
macet. Kelompok-kelompok yang terbentuk tersebut akan digunakan oleh Adira Kredit Elektronik Cabang Denpasar sebagai acuan untuk menentukan sasaran utama pemasaran dengan mempertimbangkan status kredit. Dengan penentuan kelompok sasaran kredit yang tepat,
diharapkan risiko kredit macet bisa
diminimalkan.
Adanya kesamaan karakteristik dari metode QUEST dan CHAID yaitu dapat diterapkan pada data variabel kategorik dan dalam pemilihan variabel penyekat menggunakan uji khi-kuadrat. Sehingga penulis tertarik untuk melakukan penelitian dengan metode QUEST dan CHAID yang akan diterapkan pada data nasabah Adira Kredit Elektronik Cabang Denpasar. Penelitian ini membandingkan hasil klasifikasi dari kedua metode tersebut untuk dapat dijadikan bahan analisis perusahaan dalam menentukan calon nasabah pada masa yang akan datang.
2. METODE PENELITIAN
Penelitian ini mengambil data nasabah Adira Kredit Elektronik Cabang Denpasar sebagai study kasus. Data diperoleh dari hasil pengisian formulir aplikasi permohonan kredit nasabah Adira Kredit Elektronik Cabang Denpasar yang sebelumnya sudah pernah mengajukan kredit dan melakukan pengajuan kembali pada bulan September sampai dengan Oktober 2014.
Adapun Variabel yang digunakan dalam penelitian ini berupa variabel kategori yaitu
meliputi status kredit ( ), jenis kelamin ( ),
status pernikahan ( ), jenis pekerjaan ( ), dan
status tempat tinggal ( ), pendidikan terakhir
( ), jabatan nasabah ( ), lama angsuran ( ),
dan pendapatan per bulan ( ).
Langkah-langkah yang dilakukan dalam metode penelitian ini adalah:
1. Mengumpulkan dan menyeleksi data.
2. Meringkas dan menyajikan data.
3. Pembentukan pohon klasifikasi.
4. Menginterpretasi hasil klasifikasi.
5. Perbandingan persentase kesalahan klasifikasi.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1. Klasifikasi dengan Metode QUEST Gambar 1 menunjukkan bahwa dari 626 sampel yang diteliti, hasil yang didapatkan adalah nasabah dengan status lancar sebanyak 550 orang (87,9%) dan nasabah dengan status macet sebanyak 76 orang (12,1%). Variabel pendapatan
per bulan ( ) adalah variabel prediktor yang
paling signifikan, sehingga variabel tersebut
dipilih sebagai variabel penyekat. Variabel
pendapatan per bulan ( ) disekat menjadi 2
simpul, yaitu simpul ke-1 dengan kategori
nasabah yang memiliki pendapatan per bulan <Rp2.000.000 dan Rp2.000.000-Rp5.000.000 menjadi satu simpul, dan simpul ke-2 dengan
kategori nasabah yang memiliki pendapatan per
bulan >Rp5.000.000 menjadi satu simpul. Pada simpul ke-1 proses penyekatan dilanjutkan dan menjadi simpul dalam, karena variabel status
tempat tinggal ( ) merupakan variabel prediktor
kedua yang signifikan untuk membagi kategori pada simpul ke-1. Sementara pada simpul ke-2 proses penyekatan dihentikan karena semua kasus yang terdapat di dalam simpul memiliki nilai-nilai identik untuk tiap variabel prediktor, sehingga simpul ke-2 menjadi simpul akhir.
Variabel status tempat tinggal ( ) disekat
menjadi 2 simpul, yaitu simpul ke-3 dengan
kategori nasabah yang status tempat tinggal milik
mertua, kontrak, dan kos menjadi satu kelompok,
dan simpul ke-4 dengan kategori nasabah yang
status tempat tinggal milik sendiri, keluarga, orang tua, dan perusahaan menjadi satu kelompok. Pada simpul ke-3 dan simpul ke-4 proses penyekatan dihentikan karena semua kasus yang terdapat di dalam simpul ke-3 dan simpul ke-4 memiliki nilai-nilai identik untuk tiap variabel prediktor, sehingga simpul ke-3 dan simpul ke-4 menjadi simpul akhir. Dengan demikian, analisis dengan metode QUEST menghasilkan tiga simpul akhir.
(29)
Faiza, N., Sumarjaya, I W., Srinadi, I G.A.M. Metode Quest dan Chaid pada Klasifikasi Karakteristik Nasabah Kredit
166
Gambar 1. Diagram Pohon Klasifikasi QUEST untuk Data Nasabah
Hasil metode QUEST berdasarkan Gambar 1 mendapatkan 3 kelompok, yang diringkas dalam Tabel 1 dan Tabel 2 berikut:
Tabel 1. Hasil Klasifikasi Dari Diagram Pohon QUEST
Kelompok 1 Nasabah yang memiliki
pendapatan per bulan <Rp2.000.000 dan Rp2.000.000-Rp5.000.000 dengan status tempat tinggal milik mertua, kontrak, dan kos.
Kelompok 2 Nasabah yang memiliki
pendapatan per bulan <Rp2.000.000 dan Rp2.000.000-Rp5.000.000 dengan status tempat tinggal milik sendiri, keluarga, orang tua.
Kelompok 3 Nasabah dengan pendapatan per
bulan >Rp5.000.000.
Tabel 2. Status Kredit Nasabah Pada Setiap Kelompok
Kelompok
Lancar Macet Prediksi
status kredit
N % N %
1 173 75,9 55 24,1 Lancar
2 174 92,1 15 7,9 Lancar
3 203 97,1 6 2,9 Lancar
Sumber: Data diolah, 2015
3.2. Klasifikasi dengan Metode CHAID
Gambar 2 menunjukkan bahwa variabel
status tempat tinggal ( ) adalah variabel
prediktor yang paling signifikan terhadap variabel
status kredit ( ). Setelah dikoreksi dengan
pengali Bonferroni diperoleh nilai khi-kuadrat
variabel status tempat tinggal ( ) sebesar
32,661, sehingga variabel tersebut dipilih sebagai variabel penyekat.
Variabel status tempat tinggal ( ) disekat
menjadi 2 simpul, yaitu simpul ke-1 dan simpul ke-2. Pada simpul ke-1 terjadi penggabungan antara kategori status tempat tinggal milik sendiri, keluarga, orang tua, dan perusahaan karena jumlah nasabah berstatus lancar dan macet pada status tempat tinggal tersebut hampir seimbang atau hal ini berarti bahwa kategori status tempat tinggal milik sendiri, keluarga, orang tua, dan perusahaan memenuhi syarat kesignifikanan khi-kuadrat untuk bisa digabung menjadi satu simpul
kategori campuran.Pada simpul ke-2 juga terjadi
penggabungan antara kategori status tempat tinggal milik mertua, kos, dan kontrak menjadi satu simpul kategori campuran. Pada simpul ke-1 dan simpul ke-2 proses penyekatan dilanjutkan dan merupakan simpul dalam.
Variabel pendapatan per bulan ( )
merupakan variabel prediktor kedua yang signifikan untuk menyekat kategori pada simpul ke-1 dan simpul ke-2. Variabel pendapatan per
bulan ( ) pada simpul ke-1 disekat menjadi 2
simpul, yaitu simpul ke-3 dan simpul ke-4. Pada simpul ke-3 terjadi penggabungan antara kategori nasabah yang memiliki pendapatan per bulan <Rp2.000.000 dan Rp2.000.000-Rp5.000.000 menjadi satu simpul kategori campuran dan
simpul ke-4 dengan kategori nasabah yang
memiliki pendapatan per bulan >Rp5.000.000
menjadi satu simpul. Pada simpul ke-3 dan
simpul ke-4 proses penyekatan dihentikan karena tidak ada lagi variabel prediktor yang signifikan untuk membagi kategori pada simpul ke-3 dan simpul 4, sehingga simpul 3 dan simpul ke-4 menjadi simpul akhir. Selanjutnya untuk simpul ke-2 disekat menjadi 2 simpul, yaitu simpul ke-5 dan simpul ke-6. Pada simpul ke-5 terjadi penggabungan antara kategori nasabah yang
(1)
2. KAJIAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Peramalan
Peramalan (forecasting) adalah suatu seni dan ilmu untuk memperkirakan kejadian pada masa depan. Peramalan dilakukan dengan melibatkan pengambilan data masa lalu dan merubahnya ke masa yang akan datang dengan suatu bentuk model matematis (Heizer dan Render [1]). Pada dasarnya terdapat dua metode peramalan (Hakim [2]) yaitu:
1. Metode Peramalan Kualitatif
Metode peramalan kualitatif digunakan ketika data historis tidak tersedia, dengan kata lain peramalan kualitatif merupakan peramalan yang tidak berbentuk angka. Metode peramalan kualitatif disebut juga metode subjektif.
2. Metode Peramalan Kuantitatif
Metode peramalan kuantitatif menggunakan data historis atau data masa lampau. Metode peramalan kuantitatif dapat dibagi menjadi dua tipe yaitu (Hakim [2]):
a. Metode peramalan kausal meliputi penentuan faktor-faktor yang berhubungan dengan variabel yang diprediksi.
b. Metode peramalan deret waktu meliputi proyeksi dari nilai-nilai yang akan datang dari variabel yang sepenuhnya didasarkan pada observasi masa lalu dan masa kini variabel tersebut.
2.2 Konsep Deret Waktu
Data deret waktu adalah data yang disusun berdasarkan urutan terjadinya waktu. Data tersebut menggambarkan perkembangan suatu kejadian atau suatu kegiatan. Analisis deret waktu merupakan suatu metode kuantitatif yang mempelajari pola gerakan data masa lampau yang teratur (Wirawan [3]).
Deret waktu mempunyai empat komponen yaitu (Heizer dan Render [1]):
a. Komponen Tren adalah pergerakan data sedikit demi sedikit meningkat atau menurun, seperti perubahan pendapatan dan penyebaran umur.
b. Komponen Musiman adalah pola data yang berulang pada kurun watu tertentu, seperti harian, mingguan, bulanan, atau kuartalan.
c. Komponen Siklis adalah pola dalam data yang terjadi setiap beberapa tahun.
d. Komponen Variasi Acak adalah satu titik khusus dalam data yang disebabkan oleh peluang dan situasi yang tidak biasa. Variasi acak tidak mempunyai pola khusus, jadi tidak dapat diprediksi.
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 1. Grafik Keempat Komponen, (a) Tren, (b) Musiman, (c) Siklis, (d) Variasi Acak
2.3 Model Deret Waktu
Model deret waktu dapat dibedakan menjadi dua yaitu model deret waktu stasioner dan model deret waktu non-stasioner.
Salah satu kelas proses stasioner deret waktu adalah proses ARMA (Autoregressive Moving Average). Proses ARMA ini meliputi proses AR (Autoregressive) dan proses MA (Moving Average) sebagai berikut:
1. Proses AR (Autoregressive)
Proses autoregresif dengan tingkat dinotasikan , memenuhi persamaan (Wei [4]):
dengan adalah koefisien autoregresif untuk
, dan adalah tingkat AR. Persamaan (1) dapat ditulis menggunakan operator backshift (B):
(2)
( )
dapat dinyatakan dalam operator backshift
( ) sebagai:
dengan
. 2. Proses MA (Moving Average)
Model moving average dengan tingkat dinotasikan , adalah (Wei [4]):
dengan adalah parameter model MA untuk
, adalah tingkat MA. Persamaan (2) dapat ditulis menggunakan operator backshift
B:
( )
dapat dinyatakan dalam operator backshift ( ) sebagai:
dengan
3. Proses ARMA
Model autoregressive moving average
dengan tingkat dan dinotasikan , adalah (Wei [4]):
dengan adalah koefisien autoregresif unuk
, adalah tingkat AR, adalah parameter MA ke- untuk , dan adalah tingkat MA.
Menurut Wei [4], model rerata bergerak terintergrasi autoregresif dengan tingkat dan dinotasikan ARIMA , memenuhi persamaan:
dengan
adalah koefisien AR (Autoregressive) dengan
adalah koefisiean MA (Moving Average) dengan tingkat ,
menyatakan proses differencing dengan tingkat , adalah koefisien AR (Autoregressive) dengan tingkat , dan adalah koefisien MA (Moving Average) dengan tingkat , dan menyatakan rata-rata (mean) pada proses ARIMA
.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam analisis deret waktu adalah sebagai berikut (Rosadi [5]): Langkah pertama adalah identifikasi model. Identifikasi secara sederhana dilakukan dengan cara melihat plot dari data dengan tujuan untuk mengetahui apakah data sudah stasioner atau belum. Kestasioneran data dapat dilihat dari bentuk fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial. Apabila data belum stasioner dalam varians maka dilakukan transformasi Box-Cox dan apabila data deret waktu belum stasioner dalam rata-rata (mean) maka dilakukan proses differencing. Jika data sudah stasioner maka langkah selanjutnya adalah menduga dan menentukan bentuk model ARMA sesuai dengan proses differencing sehingga bentuk model ARMA yang diduga tersebut dapat menggambarkan sifat-sifat data dengan membandingkan plot ACF atau PACF dengan sifat-sifat fungsi ACF atau PACF dari model ARMA.
Setelah menduga dan menentukan bentuk model ARIMA maka, langkah selanjutnya adalah mengestimasi parameter dalam model. Untuk mengetahui apakah koefisien hasil estimasi signifikan atau tidak dapat digunakan pengujian statistik uji- .
Langkah selanjutnya adalah melakukan pemeriksaan diagnostik dari model yang telah diestimasi. Untuk mengetahui apakah residual yang dihitung berdasarkan model yang telah diestimasi mengikuti galat dari model sifat white noise atau tidak, maka dilakukan pengujian sisaan white noise melalui nilai autokorelasinya.
(3)
haruslah optimal untuk mendapatkan suatu model terbaik. Metode yang digunakan untuk mengetahui kualitas dari model adalah Akaike’s
Information Criterion (AIC). Nilai AIC terkecil dapat mewakili model tersebut merupakan model terbaik. Persamaan untuk menghitung nilai AIC adalah sebagai berikut (Wei [4]):
( )
dengan adalah banyaknya parameter dalam model, adalah jumlah kuadrat residual dan
adalah banyaknya data residual.
Setelah mendapatkan model terbaik dari kandidat model yang diduga maka langkah selanjutnya adalah membuat model peramalan berdasarkan model ARIMA yang terpilih.
Langkah selanjutnya adalah menetukan peramalan. Setelah model peramalan ditentukan sesuai dengan model ARIMA yang terpilih, selanjutnya adalah melakukan peramalan dengan menggunakan bantuan program R.
3. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan adalah data sekunder diperoleh dari penjualan bulanan produksi dodol (kilogram) dari bulan Januari 2009 sampai Maret 2014.
Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah data bulanan jumlah permintaan dari keempat varian dodol, besarnya keuntungan masing-masing dari keempat varian dodol, besarnya pemakaian dan kapasitas bahan baku, besarnya upah tenaga kerja, hasil peramalan jumlah permintaan keempat varian dodol, dan tujuan-tujuan yang ingin dicapai oleh usaha dagang menjadi urutan kepentingan prioritas.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Untuk mengetahui model dan hasil prediksi pada keempat varian dodol tersebut maka dilakukan langkah-langkah berikut:
i. Identifikasi Model
Langkah pertama yaitu membuat plot deret waktu:
(a) (b)
(c) (d) Gambar 2. Plot Deret Waktu (a) Varian Dodol
Merah, (b) Varian Dodol Kayu Sugih, (c) Varian Dodol Ketan Hitam, (d) Varian Dodol Kacang
Langkah kedua yaitu membuat plot uji kenormalan:
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 3. Plot Uji Kenormalan (a) Varian Dodol Merah, (b) Varian Dodol Kayu Sugih, (c) Varian Dodol Ketan Hitam, (d) Varian Dodol Kacang
(4)
Langkah ketiga adalah membuat plot fungsi autokorelasi (ACF):
(a) (b)
(c) (d) Gambar 4. Plot ACF (a) Varian Dodol Merah, (b)
Varian Dodol Kayu Sugih, (c) Varian Dodol Ketan Hitam, (d) Varian Dodol Kacang
Langkah keempat adalah membuat plot fungsi autokorelasi parsial (PACF):
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 5. Plot PACF (a) Varian Dodol Merah, (b) Varian Dodol Kayu Sugih, (c) Varian Dodol Ketan Hitam, (d) Varian Dodol Kacang
Langkah kelima adalah membuat plot transformasi Box-Cox:
(a) (b)
(c) (d) Gambar 6. Plot Transformasi Box-Cox (a) Varian
Dodol Merah, (b) Varian Dodol Kayu Sugih, (c) Varian Dodol Ketan Hitam, (d) Varian Dodol Kacang
Langkah keenam adalah menduga bentuk model ARMA yang sesuai untuk data aktual sehingga diperoleh kandidat model ARIMA (1,0,1), ARIMA (0,0,1), dan ARIMA (1,0,1).
ii. Mengestimasi Parameter
Mengestimasi parameter dalam model dilakukan dengan bantuan program R sebagai berikut:
Tabel 1. Estimasi ARIMA untuk Permintaan Dodol Merah
Estimasi Parameter dalam
Model
AIC ARIMA(0,0,1) 0,0486 425,88 ARIMA(1,0,0) 0,0705 425,78 ARIMA (1,0,1) 0,8423 -0,7314 425,45
Tabel 2. Estimasi ARIMA untuk Permintaan Dodol Kayu Sugih
Estimasi Parameter dalam
Model
AIC ARIMA(0,0,1) 0,0321 431,09
(5)
Tabel 3. Estimasi ARIMA untuk Permintaan Dodol Ketan Hitam
Estimasi Parameter dalam
Model
AIC ARIMA(0,0,1) 0,0774 411,82 ARIMA(1,0,0) 0,0857 411,79 ARIMA (1,0,1) 0,15232 -0,0673 413,78
Tabel 4. Estimasi ARIMA untuk Permintaan Dodol Kacang
Estimasi Parameter dalam
Model
AIC ARIMA(0,0,1) -0,1099 416,53 ARIMA(1,0,0) -0,0856 416,66 ARIMA (1,0,1) 0,8927 -1,000 416,99
iii.Pemeriksaan Diagnostik dan Pemilihan Model Terbaik
Berdasarkan pada tabel estimasi parameter dalam model, maka diperoleh model terbaik untuk keempat varian dodol sebagai berikut: a. Model ARIMA (1,0,1) model terbaik untuk
dodol merah, secara matematis dapat ditulis:
̂
̂ 0,0982 0,7314
b. Model ARIMA (1,0,0) model terbaik untuk dodol kayu sugih, secara matematis dapat ditulis:
̂
̂ 0,0464
c. Model ARIMA (1,0,0) model terbaik untuk dodol ketan hitam, secara matematis dapat ditulis:
̂
̂ 0,0857
d. Model ARIMA (0,0,1) model terbaik untuk dodol kacang, secara matematis dapat ditulis:
̂
̂ 0,1099
iv.Peramalan
Langkah selanjutnya adalah peramalan
dari model ARIMA terbaik. Model ARIMA
terbaik untuk peramalan enam bulan
kedepan yaitu dari periode April sampai
dengan September 2014 dapat dilihat pada
tabel di bawah ini:
Tabel 5. Hasil Peramalan Model ARIMA Periode April-September 2014 untuk Dodol Merah
Nilai Peramalan
Bulan
April Mei Juni Juli Agustus September
23,5 23,7 23,8 24 24,1 24,3
Tabel 6. Hasil Peramalan Model ARIMA Periode April-September 2014 untuk Dodol Kayu Sugih
Nilai Peramalan
Bulan
April Mei Juni Juli Agustus September
25,8 25,9 25,9 25,9 25,9 25,9
Tabel 7. Hasil Peramalan Model ARIMA Periode April-September 2014 untuk Dodol Ketan Hitam
Nilai Peramalan
Bulan
April Mei Juni Juli Agustus September
27,8 28,6 28,6 28,6 28,6 28,6
Tabel 8. Hasil Peramalan Model ARIMA Periode April-September 2014 untuk Dodol Kacang
Nilai Peramalan
Bulan
April Mei Juni Juli Agustus September
(6)
5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian dapat disimpulkan sebagai berikut:
1. Model terbaik untuk keempat varian dodol adalah sebagai berikut untuk varian dodol merah diperoleh ARIMA (1,0,1), varian dodol kayu sugih adalah ARIMA (1,0,0) varian dodol ketan hitam diperoleh ARIMA (1,0,0), dan untuk varian dodol kacang diperoleh model terbaik adalah ARIMA (0,0,1).
2. Selanjutnya, untuk hasil prediksi jumlah permintaan keempat varian dodol yang harus diproduksi dalam bulan April dan Mei 2014 adalah dodol merah sebesar 23,5 dan 23,7 kg, dodol kayu sugih adalah sebesar 25,8 dan 25,9kg, dodol ketan hitam diperoleh hasil sebesar 27,8 dan 28,6kg, dan dodol kacang sebesar 25,3 dan 25,4kg.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Heizer, Jay dan Render, Barry. 2006.
Operations Management. Edisi Ketujuh.Terjemahan:Dwianoegrahwati Setyoningsih dan Indra Almahdy. Jakarta: Selemba Empat
[2] Hakim, Abdul. 2004. Statistika Deskriptif untuk Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta: Ekonisia.
[3] Wirawan, Nata. 2001. Statistik 1 (Stastistik Deskriptif). Denpasar: Keraras emas.
[4] Wei, William W. S. 1990. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods.Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Canada.
[5] Rosadi, Dedi. 2012. Ekonomitrika dan Analisis Runtun Waktu Terapan dengan Eviews.Yogyakarta:Andi.