alin13 (1)
Aljabar Linier
(2)
Jadwal Kuliah
Hari : Rabo jam : 15.30
Sistem Penilaian
UTS 30 %
UAS 30 %
Tugas 40 %
(3)
Silabus
•
Bab I Matriks dan Operasinya
•Bab II Determinan Matriks
•
Bab III Invers Matriks
•
Bab IV Sistem Persamaan Linear
•
Bab V Sistem Persamaan Linear Homogen
•Bab VI Matlab (SPL)
•
Bab VII Vektor
•
Bab VIII Perkalian Vektor
•Bab IX Ruang Vektor
•
Bab X Proses Gram Schmidt
•
Bab XI Transformasi Linier Kernel
•Bab XII Nilai Eigen , Vektor Eigen
•Bab XIII MATLAB
(4)
Sub Pokok Bahasan 1
1. Matriks dan Operasinya
Sub Pokok Bahasan
– Matriks dan Jenisnya
– OperasiMatriks
– Operasi Baris Elementer
–Sifat OperasiMatriks
Beberapa Aplikasi Matriks
– Representasi image (citra)
– C
hanel/Frequency assignment
–
Operation Research
(5)
Pengertian Matrix
Beberapa pengertian tentang matriks :
1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.
3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.
Notasi yang digunakan
Atau Atau
(6)
Matriks
Notasi Matriks
A =
mn m
m
n n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
....
:
:
:
:
....
...
2 1
2 22
21
1 12
11
Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n) Baris ke
-1
Kolom ke -2
Matrix A berukuran (ordo) m x n
Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan sama (notasi A = B)
(7)
Jenis Matriks
(i)
MATRIKS NOL
, adalah matriks yang semua
elemennya nol
Sifat-sifat :
A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
A*0=0, begitu juga 0*A=0.
(ii)
MATRIKS BUJURSANGKAR
, adalah matriks yang
jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan
elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal
utama dari matriks bujursangkar A tersebut.
Contoh : Matriks berukuran 2x2
A =
3
2
4
1
(8)
Jenis Matriks
(iii) MATRIKS DIAGONAL,
adalah matriks bujursangkar
yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol.
Contoh :
(iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY,
adalah matriks
diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.
Contoh :
Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A
3
0
0
0
5
0
0
0
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
(9)
Jenis Matriks
(v) MATRIKS SKALAR,
adalah matriks diagonal yang
semua elemennya sama tetapi bukan nol atau
satu.
Contoh :
A=
(vi) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR),
adalah matriks bujursangkar yang semua elemen
dibawah diagonal elemennya = 0.
A =
4
0
0
0
4
0
0
0
4
4
0
0
5
4
0
1
2
3
(10)
(Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR),
adalah matriks bujursangkar yang semua elemen
diatas diagonal elemennya = 0.
A=
(viii) MATRIKS SIMETRIS,
adalah matriks bujursangkar
yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat
juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah
matriks yang transposenya sama dengan dirinya
sendiri.
Contoh :
A = =
4
9
6
0
4
1
0
0
3
1
1
0
1
3
2
0
2
1
TA
1
1
0
1
3
2
0
2
1
TA
A
(11)
(ix) MATRIKS ANTISIMETRIS,
adalah matriks yang
trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut.
Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal
utamanya = 0
Contoh :
0
1
2
0
1
0
4
3
2
4
0
1
0
3
1
0
A
A
T
0
1
2
0
1
0
4
3
2
4
0
1
0
3
1
0
(12)
TRANSPOSE MATRIKS
Jika diketahui suatu matriks A=a
ijberukuran mxn
maka transpose dari A adalah matriks A
T=nxm
yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i
dari A sebagai kolom ke-i dari A
T.
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
(A+B)
T= A
T+ B
T
(A
T)
T= A
k(A
T) = (kA)
T(13)
Operasi Matrix
•
Penjumlahan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat
dijumlahkan
Contoh =
a.
b.
h
d
g
c
f
b
e
a
h
g
f
e
d
c
b
a
6
7
7
4
1
4
1
3
5
3
6
1
(14)
Operasi Matrix
•
Pengurangan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat
dkurangkan
Contoh =
a.
b.
h
d
g
c
f
b
e
a
h
g
f
e
d
c
b
a
4
1
5
2
1
4
1
3
5
3
6
1
(15)
Operasi Matrix
Perkalian Matriks
• Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :
• Perkalian Matriks dengan Matriks
Misalkan A berordo
pxq dan B berordo mxn
Syarat : A X B haruslah
q = m ,
hasil perkalian AB ,
berordo
pxn
ks
kr
kq
kp
s
r
q
p
k
) 2 3 ( ) 3 2 (,
xx
t
u
s
r
q
p
B
g
f
e
d
b
a
A
) 2 2 ( ) 2 3 ( ) 3 2 (.
.
x x xgu
fs
eq
gt
fr
ep
du
bs
aq
dt
br
ap
u
t
s
r
q
p
g
f
e
d
b
a
B
A
(16)
Hukum Perkalian Matriks :
Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
Tidak Komutatif, A*B
B*A
Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
(i) A=0 dan B=0
(ii) A=0 atau B=0
(iii) A
0 dan B
0
(17)
Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain.
Contoh : OBE 1
OBE2
4
2
0
1
2
3
3
2
1
4
2
0
3
2
1
1
2
3
2 1b
b
A
2
1
1
3
7
1
2
0
1
0
1
1
4
1
3
1
1
2
7
1
2
0
4
0
4
4
1b
A
(18)
OBE3
5
1
1
0
7
1
2
0
1
0
1
1
3
1
1
2
7
1
2
0
1
0
1
1
3 1 b
b
(19)
Definisi yang perlu diketahui :
0
0
0
0
1
3
0
0
3
1
1
1
B
– Baris pertama dan ke-2 dinamakan
baris tak nol, karena
pada
kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2
dinamakan
unsur pertama tak nol pada baris
masing-masing.
– Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan
satu utama.
– Baris ke-3 dinamakan
baris nol, karena setiap unsur
pada baris
ke-3 adalah nol.
(20)
OBE
Sifat matriks hasil OBE :
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3
(Proses Eliminasi
Gauss)
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua
sifat
(Proses Eliminasi
Gauss-Jordan)
(1)
Operasi Matrix
Perkalian Matriks
• Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :
• Perkalian Matriks dengan Matriks
Misalkan A berordo
pxq dan B berordo mxn
Syarat : A X B haruslah
q = m ,
hasil perkalian AB ,
berordo
pxn
ks
kr
kq
kp
s
r
q
p
k
) 2 3 ( ) 3 2 (,
xx
t
u
s
r
q
p
B
g
f
e
d
b
a
A
) 2 2 ( ) 2 3 ( ) 3 2 (.
.
x x xgu
fs
eq
gt
fr
ep
du
bs
aq
dt
br
ap
u
t
s
r
q
p
g
f
e
d
b
a
B
A
(2)
Hukum Perkalian Matriks :
Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
Tidak Komutatif, A*B
B*A
Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
(i) A=0 dan B=0
(ii) A=0 atau B=0
(iii) A
0 dan B
0
(3)
Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain.
Contoh : OBE 1
OBE2
4
2
0
1
2
3
3
2
1
4
2
0
3
2
1
1
2
3
2 1b
b
A
2
1
1
3
7
1
2
0
1
0
1
1
4
1
3
1
1
2
7
1
2
0
4
0
4
4
1b
A
(4)
OBE3
5
1
1
0
7
1
2
0
1
0
1
1
3
1
1
2
7
1
2
0
1
0
1
1
3 1 b
b
(5)
Definisi yang perlu diketahui :
0
0
0
0
1
3
0
0
3
1
1
1
B
– Baris pertama dan ke-2 dinamakan
baris tak nol, karena
pada
kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2
dinamakan
unsur pertama tak nol pada baris
masing-masing.
– Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan
satu utama.
– Baris ke-3 dinamakan
baris nol, karena setiap unsur
pada baris
ke-3 adalah nol.
(6)
OBE
Sifat matriks hasil OBE :
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.