Directory UMM :Labkom_ICT:labkom:bisection:
Modul 5
METODE BI DANG-PARUH ( BI SECTI ON) untuk
Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR N ON -LI NI ER TUNGGAL
A. Pendahuluan
Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal atau PANLT merupakan
sembarang fungsi atau persamaan aljabar yang terbentuk
berdasarkan proyeksi ‘fungsional’ variabel bebasnya (pada sumbu
datar, absis) pada variabel terikatnya (pada sumbu tegak, ordinat):
y ( x) ≡
f ( x)
Sedangkan problem utama yang dijumpai dalam pencarian akar
suatu PANLT adalah: ‘perpotongan’ persamaan (kurva) itu dengan
sumbu datar pada titik α (sehingga akarnya disebut juga sebagai α),
dan pada saat yang bersamaan fungsi f(x) tersebut juga mencapai
‘nilai nol’nya. Bentuk umum PANLT ini dapat dituliskan sebagai:
f ( x) = 0
Berbagai teknik telah dikembangkan untuk pencarian akar (atau
akar-akar) dari suatu PANLT dengan bentuk umum seperti di atas.
Bebarapa di antaranya dapat dikelompokkan dalam metode-metode
berikut:
1. ‘Metode Titik Tetap’ (fixed-point), yaitu suatu metode
pendekatan numeris yang terbentuk dari reorganisasi PANLT
sedemikian rupa sehingga dihasilkan 2 buah fungsi, di sisi yang
satu hanya mengandung variabel bebasnya saja sedangkan di sisi
lainnya berbentuk g(x), suatu fungsi dalam bentuk yang lain.
Metode ini memerlukan 1 (satu) buah harga x (disebut sebagai xawal) sebagai ‘tebakan’ untuk memulai proses iterasi. Karena
sifatnya yang kurang praktis, bahkan tidak efisien dan juga
lambat dalam mencapai konvergensi, maka metode ini tidak
akan dibicarakan lebih lanjut dalam kuliah ini.
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(1/1)
2. ‘Metode Bidang Bebas’ atau lebih spesifik lagi ‘Metode Bidang
Paruh’ (Bisection). Prinsip dari metode ini adalah “pemaruhan”
(nilai rata-rata) dari nilai estimasi akar suatu PANLT yang
dibentuk dengan cara ‘menebak’ 2 buah harga awal pada interval
[a,b] yang bertempat-kedudukan ‘mengapit’ (di kiri dan kanan)
akar atau jawab yang sebenarnya. Metode ini pada umumnya
memerlukan 2 (dua) buah tebakan untuk harga-harga x-awal (x0
dan x1).
3. ‘Metode Tangent’ atau yang dikenal sebagai Metode Newton
atau Metode Newton-Raphson, yang dihasilkan dari ekspansi
f(α) sampai suatu harga x tertentu (xn) menggunakan deret
Taylor, dengan cara mengabaikan term order (α - xn)2 atau yang
lebih tinggi. Alternatif lain, penurunan tersebut juga dapat
dilakukan secara geometris, yang akan dijelaskan lebih lanjut
pada Modul 7.
4. ‘Metode Secant’, yang terbentuk dari pendekatan melalui ‘garis
secant’ di sekitar jawab atau akar persamaan α. Di sisi lain,
metode ini sebenarnya bentuk atau ‘varian numeris’ dari bentuk
turunan yang dipersyaratkan oleh Metode Newton Raphson.
Metode ini akan dijelaskan lebih jauh pada Modul 8.
B. Solusi Akar PANLT dengan Metode Bisection
Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan Metode Bisection
memiliki sifat-sifat numeris sebagai berikut:
(a) Selalu melakukan pembagian dua (pemaruhan) interval [a,b]
yang mengapit akar α, sehingga setelah n kali iterasi akan
didapatkan akar persamaan yang berdekatan dengan harga
yang sebenarnya (solusi analitis), dengan memperhitungkan
‘kriteria’ (akurasi) yang diinginkan.
(b) Kecepatan atau laju konvergensi dari metode bisection dapat
diperkirakan menggunakan persamaan pendekatan:
α − cn
≤
( ) (b − a )
1 n
2
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(2/2)
yang dapat dibuktikan bahwa:
α
=
lim cn
n →∞
(c) Panjang (b − a ) menggambarkan ‘panjang interval’ yang
digunakan sebagai ‘harga awal’ untuk memulai proses
iterasi dalam ‘metode bisection’; yang berarti bahwa metode
ini memiliki ‘konvergensi linier’ dengan laju 1 2 .
C. Representasi Grafis dari Metode Bisection
Representasi grafis dari metode bisection sebagai berikut:
f(x)
[a
b]
X0
X2
X1
x
Gambar 5.1. Representasi grafis metode bisection.
Dari representasi grafis di atas, dapat diambil kesimpulan dengan
jelas, bahwa:
x2
=
x1 − x0
2
sehingga setelah n kali iterasi akan diperoleh:
atau
xn +1
=
x1 − x0
2n
Pada saat panjang interval [a,b] tidak melampaui suatu harga t
(yang di dalamnya terdapat akar α), sedemikian rupa sehingga jarak
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(3/3)
akar α tersebut dengan ekstremitas interval tidak melebihi t, maka
pada saat itu toleransi perhitungan sudah dapat dilakukan.
D. Algoritma Metode Bisection
Asumsi awal yang harus diambil adalah: ‘menebak’ interval awal
[a,b] dimana f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula harus
terletak ‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar α, sedemikian rupa
sehingga:
f (a) ⋅ f (b) ≤ 0
Algoritma BISECT(f,a,b,akar,ε,iter,itmax,flag)
1. Tebak harga interval [a,b]; tentukan ε; dan
itmax
2. Set f0 = f(a); iter = 0; flag = 0;
3. Tentukan atau hitung akar = c := (a + b)/2;
iter = iter + 1;
4. Jika f(a)·f(c) ≤ 0 maka b = c jika tidak a = c
dan f0 = f(a);
5. Jika (b – a) ≤ ε maka flag = 1 jika iter >
itmax maka flag = 2;
6. Jika flag = 0 ulangi ke nomor 3;
7. Akar persamaan adalah: akar = (a + b)/2,
sebagai akar terbaru;
8. Selesai.
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(4/4)
E. Listing Program Metode Bisection
Diberikan persoalan untuk mengitung akar (akar-akar) persamaan
f(x) = 0, sebagai berikut:
f ( x) ≡
x − e1 x
= 0
Listing program sederhana (non-subroutine) dan program dengan
subroutine disertakan dalam gambar-gambar 5.2. dan 5.3. di bawah
ini, yang ditulis dalam Bahasa FORTRAN 77 (kompatibel dengan
Bahasa FORTRAN 90/95):
C
C
C
C
C
C
C
C
Program: Solusi Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal (PANLT)
dengan Metode 'Bisection'
VARIAN: Program sederhana/Non-Subroutine
Kondisi proses dinyatakan dalam variabel 'flag'
flag = 0; berarti sistem masih dalam proses iterasi
flag = 1; berarti proses telah mencapai konvergensi
flag = 2; berarti jumlah iterasi maksimum telah terlampaui
------------------------------------------------------------implicit none
REAL*8 eps,f,fx,f0,x,x0,x1
INTEGER flag,iter,maxiter
WRITE(*,'(A,$)') 'Harga-harga awal x0, x1 : '
READ(*,*) x0,x1
WRITE(*,'(A,$)') 'Jumlah iterasi maksimum : '
READ(*,*) maxiter
WRITE(*,'(A,$)') 'Epsilon/kriteria proses : '
READ(*,*) eps
f0 = f(x0)
iter = 0
flag = 0
DO WHILE(flag .EQ. 0)
iter = iter + 1
x = (x0 + x1)/2
fx = f(x)
IF ((f0*fx) .LE. 0.0D0) THEN
x1 = x
ELSE
x0 = x
f0 = fx
ENDIF
IF ((x1 - x0) .LE. eps) THEN
flag = 1
ELSEIF (iter .GT. maxiter) THEN
flag = 2
ENDIF
ENDDO
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(5/5)
x = (x0 + x1)/2
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
'x0 = ',x0
'x1 = ',x1
'x = ',x
'f(x) = ',f(x)
'Jumlah iterasi = ',iter
STOP
END
FUNCTION f(x)
REAL*8 f,x
f = x - exp(1.0D0/x)
RETURN
END
Gambar 5.2. Listing program sederhana (tanpa subroutine).
C
C
C
C
Program: Solusi Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal (PANLT)
dengan Metode 'Bisection'
VARIAN: Program dengan Subroutine
------------------------------------------------------------implicit none
external f
REAL*8 eps,f,x,x0,x1
INTEGER flag,iter,maxiter
WRITE(*,'(A,$)') 'Harga-harga awal x0, x1 : '
READ(*,*) x0,x1
WRITE(*,'(A,$)') 'Jumlah iterasi maksimum : '
READ(*,*) maxiter
WRITE(*,'(A,$)') 'Epsilon/kriteria proses : '
READ(*,*) eps
CALL BISECT(f,x0,x1,x,eps,iter,maxiter,flag)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
'x0 = ',x0
'x1 = ',x1
'x = ',x
'f(x) = ',f(x)
'Jumlah iterasi = ',iter
STOP
END
FUNCTION f(x)
REAL*8 f,x
f = x - exp(1.0D0/x)
RETURN
END
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(6/6)
SUBROUTINE BISECT(ff,x0,x1,x,eps,itnum,itmax,prflag)
-------------------------------------------------------Sub-program: Solusi PANLT dengan metode BISECTION
|
atau NILAI PARUH
|
ff
: fungsi f(x) = 0 yang akan dicari akarnya |
x0
: nilai x-awal di sebelah kiri akar f(x)
|
x1
: nilai x-awal di sebelah kanan akar f(x)
|
x
: akar f(x), nilai paruh (antara x0 dan x1) |
eps
: kriteria atau ketelitian penghitungan
|
itnum
: jumlah iterasi yang dilakukan proses
|
itmax
: jumlah pembatas iterasi untuk proses
|
prflag : identifikasi untuk konvergensi, yaitu:
|
0 = proses sedang/akan berlangsung
|
1 = proses mencapai konvergensinya
|
2 = jumlah iterasi maksimum (itmax) telah |
terlampaui
|
--------------------------------------------------------
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
REAL*8 eps,ff,fx,f0,x,x0,x1
INTEGER prflag,itnum,itmax
f0 = ff(x0)
itnum = 0
prflag = 0
DO WHILE(prflag .EQ. 0)
itnum = itnum + 1
x = (x0 + x1)/2
fx = ff(x)
IF ((f0*fx) .LE. 0.0D0) THEN
x1 = x
ELSE
x0 = x
f0 = fx
ENDIF
IF ((x1 - x0) .LE. eps) THEN
prflag = 1
ELSEIF (itnum .GT. itmax) THEN
prflag = 2
ENDIF
ENDDO
x = (x0 + x1)/2
RETURN
END
Gambar 5.3. Listing program dengan subroutine.
Tugas:
Cari akar (akar-akar) dari persamaan:
f ( x) = e − x ⋅ ln( x) !
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(7/7)
F. Pustaka yang bersesuaian
Atkinson, Kendal E., “An Introduction to Numerical Analysis”,
John Wiley & Sons, Toronto, pp. 39-44, 1978.
Atkinson, L.V., Harley, P.J., “An Introduction to Numerical
Methods with Pascal”, Addison-Wesley Publishing Co., Tokyo,
pp. 46-49, 1983.
Bismo, Setijo, “Kumpulan Bahan Kuliah Metode Numerik”,
Jurusan TGP-FTUI, 1999.
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(8/8)
METODE BI DANG-PARUH ( BI SECTI ON) untuk
Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR N ON -LI NI ER TUNGGAL
A. Pendahuluan
Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal atau PANLT merupakan
sembarang fungsi atau persamaan aljabar yang terbentuk
berdasarkan proyeksi ‘fungsional’ variabel bebasnya (pada sumbu
datar, absis) pada variabel terikatnya (pada sumbu tegak, ordinat):
y ( x) ≡
f ( x)
Sedangkan problem utama yang dijumpai dalam pencarian akar
suatu PANLT adalah: ‘perpotongan’ persamaan (kurva) itu dengan
sumbu datar pada titik α (sehingga akarnya disebut juga sebagai α),
dan pada saat yang bersamaan fungsi f(x) tersebut juga mencapai
‘nilai nol’nya. Bentuk umum PANLT ini dapat dituliskan sebagai:
f ( x) = 0
Berbagai teknik telah dikembangkan untuk pencarian akar (atau
akar-akar) dari suatu PANLT dengan bentuk umum seperti di atas.
Bebarapa di antaranya dapat dikelompokkan dalam metode-metode
berikut:
1. ‘Metode Titik Tetap’ (fixed-point), yaitu suatu metode
pendekatan numeris yang terbentuk dari reorganisasi PANLT
sedemikian rupa sehingga dihasilkan 2 buah fungsi, di sisi yang
satu hanya mengandung variabel bebasnya saja sedangkan di sisi
lainnya berbentuk g(x), suatu fungsi dalam bentuk yang lain.
Metode ini memerlukan 1 (satu) buah harga x (disebut sebagai xawal) sebagai ‘tebakan’ untuk memulai proses iterasi. Karena
sifatnya yang kurang praktis, bahkan tidak efisien dan juga
lambat dalam mencapai konvergensi, maka metode ini tidak
akan dibicarakan lebih lanjut dalam kuliah ini.
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(1/1)
2. ‘Metode Bidang Bebas’ atau lebih spesifik lagi ‘Metode Bidang
Paruh’ (Bisection). Prinsip dari metode ini adalah “pemaruhan”
(nilai rata-rata) dari nilai estimasi akar suatu PANLT yang
dibentuk dengan cara ‘menebak’ 2 buah harga awal pada interval
[a,b] yang bertempat-kedudukan ‘mengapit’ (di kiri dan kanan)
akar atau jawab yang sebenarnya. Metode ini pada umumnya
memerlukan 2 (dua) buah tebakan untuk harga-harga x-awal (x0
dan x1).
3. ‘Metode Tangent’ atau yang dikenal sebagai Metode Newton
atau Metode Newton-Raphson, yang dihasilkan dari ekspansi
f(α) sampai suatu harga x tertentu (xn) menggunakan deret
Taylor, dengan cara mengabaikan term order (α - xn)2 atau yang
lebih tinggi. Alternatif lain, penurunan tersebut juga dapat
dilakukan secara geometris, yang akan dijelaskan lebih lanjut
pada Modul 7.
4. ‘Metode Secant’, yang terbentuk dari pendekatan melalui ‘garis
secant’ di sekitar jawab atau akar persamaan α. Di sisi lain,
metode ini sebenarnya bentuk atau ‘varian numeris’ dari bentuk
turunan yang dipersyaratkan oleh Metode Newton Raphson.
Metode ini akan dijelaskan lebih jauh pada Modul 8.
B. Solusi Akar PANLT dengan Metode Bisection
Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan Metode Bisection
memiliki sifat-sifat numeris sebagai berikut:
(a) Selalu melakukan pembagian dua (pemaruhan) interval [a,b]
yang mengapit akar α, sehingga setelah n kali iterasi akan
didapatkan akar persamaan yang berdekatan dengan harga
yang sebenarnya (solusi analitis), dengan memperhitungkan
‘kriteria’ (akurasi) yang diinginkan.
(b) Kecepatan atau laju konvergensi dari metode bisection dapat
diperkirakan menggunakan persamaan pendekatan:
α − cn
≤
( ) (b − a )
1 n
2
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(2/2)
yang dapat dibuktikan bahwa:
α
=
lim cn
n →∞
(c) Panjang (b − a ) menggambarkan ‘panjang interval’ yang
digunakan sebagai ‘harga awal’ untuk memulai proses
iterasi dalam ‘metode bisection’; yang berarti bahwa metode
ini memiliki ‘konvergensi linier’ dengan laju 1 2 .
C. Representasi Grafis dari Metode Bisection
Representasi grafis dari metode bisection sebagai berikut:
f(x)
[a
b]
X0
X2
X1
x
Gambar 5.1. Representasi grafis metode bisection.
Dari representasi grafis di atas, dapat diambil kesimpulan dengan
jelas, bahwa:
x2
=
x1 − x0
2
sehingga setelah n kali iterasi akan diperoleh:
atau
xn +1
=
x1 − x0
2n
Pada saat panjang interval [a,b] tidak melampaui suatu harga t
(yang di dalamnya terdapat akar α), sedemikian rupa sehingga jarak
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(3/3)
akar α tersebut dengan ekstremitas interval tidak melebihi t, maka
pada saat itu toleransi perhitungan sudah dapat dilakukan.
D. Algoritma Metode Bisection
Asumsi awal yang harus diambil adalah: ‘menebak’ interval awal
[a,b] dimana f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula harus
terletak ‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar α, sedemikian rupa
sehingga:
f (a) ⋅ f (b) ≤ 0
Algoritma BISECT(f,a,b,akar,ε,iter,itmax,flag)
1. Tebak harga interval [a,b]; tentukan ε; dan
itmax
2. Set f0 = f(a); iter = 0; flag = 0;
3. Tentukan atau hitung akar = c := (a + b)/2;
iter = iter + 1;
4. Jika f(a)·f(c) ≤ 0 maka b = c jika tidak a = c
dan f0 = f(a);
5. Jika (b – a) ≤ ε maka flag = 1 jika iter >
itmax maka flag = 2;
6. Jika flag = 0 ulangi ke nomor 3;
7. Akar persamaan adalah: akar = (a + b)/2,
sebagai akar terbaru;
8. Selesai.
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(4/4)
E. Listing Program Metode Bisection
Diberikan persoalan untuk mengitung akar (akar-akar) persamaan
f(x) = 0, sebagai berikut:
f ( x) ≡
x − e1 x
= 0
Listing program sederhana (non-subroutine) dan program dengan
subroutine disertakan dalam gambar-gambar 5.2. dan 5.3. di bawah
ini, yang ditulis dalam Bahasa FORTRAN 77 (kompatibel dengan
Bahasa FORTRAN 90/95):
C
C
C
C
C
C
C
C
Program: Solusi Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal (PANLT)
dengan Metode 'Bisection'
VARIAN: Program sederhana/Non-Subroutine
Kondisi proses dinyatakan dalam variabel 'flag'
flag = 0; berarti sistem masih dalam proses iterasi
flag = 1; berarti proses telah mencapai konvergensi
flag = 2; berarti jumlah iterasi maksimum telah terlampaui
------------------------------------------------------------implicit none
REAL*8 eps,f,fx,f0,x,x0,x1
INTEGER flag,iter,maxiter
WRITE(*,'(A,$)') 'Harga-harga awal x0, x1 : '
READ(*,*) x0,x1
WRITE(*,'(A,$)') 'Jumlah iterasi maksimum : '
READ(*,*) maxiter
WRITE(*,'(A,$)') 'Epsilon/kriteria proses : '
READ(*,*) eps
f0 = f(x0)
iter = 0
flag = 0
DO WHILE(flag .EQ. 0)
iter = iter + 1
x = (x0 + x1)/2
fx = f(x)
IF ((f0*fx) .LE. 0.0D0) THEN
x1 = x
ELSE
x0 = x
f0 = fx
ENDIF
IF ((x1 - x0) .LE. eps) THEN
flag = 1
ELSEIF (iter .GT. maxiter) THEN
flag = 2
ENDIF
ENDDO
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(5/5)
x = (x0 + x1)/2
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
'x0 = ',x0
'x1 = ',x1
'x = ',x
'f(x) = ',f(x)
'Jumlah iterasi = ',iter
STOP
END
FUNCTION f(x)
REAL*8 f,x
f = x - exp(1.0D0/x)
RETURN
END
Gambar 5.2. Listing program sederhana (tanpa subroutine).
C
C
C
C
Program: Solusi Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal (PANLT)
dengan Metode 'Bisection'
VARIAN: Program dengan Subroutine
------------------------------------------------------------implicit none
external f
REAL*8 eps,f,x,x0,x1
INTEGER flag,iter,maxiter
WRITE(*,'(A,$)') 'Harga-harga awal x0, x1 : '
READ(*,*) x0,x1
WRITE(*,'(A,$)') 'Jumlah iterasi maksimum : '
READ(*,*) maxiter
WRITE(*,'(A,$)') 'Epsilon/kriteria proses : '
READ(*,*) eps
CALL BISECT(f,x0,x1,x,eps,iter,maxiter,flag)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
WRITE(*,*)
'x0 = ',x0
'x1 = ',x1
'x = ',x
'f(x) = ',f(x)
'Jumlah iterasi = ',iter
STOP
END
FUNCTION f(x)
REAL*8 f,x
f = x - exp(1.0D0/x)
RETURN
END
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(6/6)
SUBROUTINE BISECT(ff,x0,x1,x,eps,itnum,itmax,prflag)
-------------------------------------------------------Sub-program: Solusi PANLT dengan metode BISECTION
|
atau NILAI PARUH
|
ff
: fungsi f(x) = 0 yang akan dicari akarnya |
x0
: nilai x-awal di sebelah kiri akar f(x)
|
x1
: nilai x-awal di sebelah kanan akar f(x)
|
x
: akar f(x), nilai paruh (antara x0 dan x1) |
eps
: kriteria atau ketelitian penghitungan
|
itnum
: jumlah iterasi yang dilakukan proses
|
itmax
: jumlah pembatas iterasi untuk proses
|
prflag : identifikasi untuk konvergensi, yaitu:
|
0 = proses sedang/akan berlangsung
|
1 = proses mencapai konvergensinya
|
2 = jumlah iterasi maksimum (itmax) telah |
terlampaui
|
--------------------------------------------------------
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
REAL*8 eps,ff,fx,f0,x,x0,x1
INTEGER prflag,itnum,itmax
f0 = ff(x0)
itnum = 0
prflag = 0
DO WHILE(prflag .EQ. 0)
itnum = itnum + 1
x = (x0 + x1)/2
fx = ff(x)
IF ((f0*fx) .LE. 0.0D0) THEN
x1 = x
ELSE
x0 = x
f0 = fx
ENDIF
IF ((x1 - x0) .LE. eps) THEN
prflag = 1
ELSEIF (itnum .GT. itmax) THEN
prflag = 2
ENDIF
ENDDO
x = (x0 + x1)/2
RETURN
END
Gambar 5.3. Listing program dengan subroutine.
Tugas:
Cari akar (akar-akar) dari persamaan:
f ( x) = e − x ⋅ ln( x) !
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(7/7)
F. Pustaka yang bersesuaian
Atkinson, Kendal E., “An Introduction to Numerical Analysis”,
John Wiley & Sons, Toronto, pp. 39-44, 1978.
Atkinson, L.V., Harley, P.J., “An Introduction to Numerical
Methods with Pascal”, Addison-Wesley Publishing Co., Tokyo,
pp. 46-49, 1983.
Bismo, Setijo, “Kumpulan Bahan Kuliah Metode Numerik”,
Jurusan TGP-FTUI, 1999.
Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 5: Metode Bisection untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal)
(8/8)